ELEKTRONIKA CYFROWAELEKTRONIKA CYFROWA

�� MateriaMateriałły pomocnicze do wyky pomocnicze do wykłładadóóww

�� Dla Dla AiZAiZ zaoczne inzaoczne inŜŜynierskie, ynierskie, semsem. 1 . 1

Wykorzystane materiaWykorzystane materiałłyy

�� ŁŁuba T. Ukuba T. Ukłłady logiczne, PW 2006ady logiczne, PW 2006

�� WenckaWencka A. NOTATKI Z TECHNIKI CYFROWEJA. NOTATKI Z TECHNIKI CYFROWEJ

PW 2006PW 2006

�� www.elektronika.org.plwww.elektronika.org.pl

WprowadzenieWprowadzenie

�� Elektroniczne ukElektroniczne ukłłady analogowe a cyfrowe ady analogowe a cyfrowe

�� UkUkłład cyfrowy a ukad cyfrowy a ukłład logicznyad logiczny

�� KodyKody

�� Algebra Algebra BooleBoole’’aa -- zazałłooŜŜeniaenia

Uproszczona klasyfikacja ukUproszczona klasyfikacja ukłładadóów elektronicznychw elektronicznych

Wzmacniacze

.

.

.

Układy liniowe

Modulatory

Prostowniki

Powielacze

...

Układy nieliniowe

Układy analogowe

Uklady kombinacyjne

Układy synchroniczne Układy asynchroniczne

Układy sekwencyjne

Układy cyfrowe

Układy elektroniczne

POJPOJĘĘCIE UKCIE UKŁŁADU CYFROWEGO, ADU CYFROWEGO,

POJPOJĘĘCIE UKCIE UKŁŁADU LOGICZNEGOADU LOGICZNEGO

UKŁAD

LOGICZNY

xm

x2

x1 y1

y2

yn

xi∈∈∈∈{0;1} i=1,2,...,m

yj ∈∈∈∈{0;1} j=1,2,...,n

Implementacja funkcji logicznych : Implementacja funkcji logicznych : Bramki Bramki

Programowalny ukProgramowalny ukłład logicznyad logiczny

UKŁAD

LOGICZNY

xm

x2

x1 y1

y2

yn

sks2s1

SPOSOBY PRZEDSTAWIANIA SPOSOBY PRZEDSTAWIANIA INFORMACJI W UKINFORMACJI W UKŁŁADACH LOGICZNYCHADACH LOGICZNYCH

1. Kodowanie cyfrowe

2. Kody:

• NKB

• BCD (Binary Coded Decimal)

• „1 z n”

• Unitarny

• Kod wskaźnika 7- elementowego

• Gray’a

Kodowanie cyfroweKodowanie cyfrowe

INFORMACJA CIĄGI

BINARNE

KODOWANIE

NKB NKB –– Naturalny kod binarnyNaturalny kod binarny

0 1 2 3 4 5 6 7

0

0

00

0 0 0

11

1

1 1 11

2

4

8

000 001 010 011 100 101 110 111

NKB w zakresie od 0 do 15NKB w zakresie od 0 do 15

11224488

111111111515

001111111414

110011111313

000011111212

111100111111

001100111010

1100001199

0000001188

1111110077

0011110066

1100110055

0000110044

1111000033

0011000022

1100000011

0000000000

Kod BCD Kod BCD

(25)10 = ( 1 1 0 0 1 )NKB

16 8 4 2 1

(25)10 = ( 0 0 1 0 0 1 0 1 )BCD (KaŜda cyfra oddzielnie){ {

2 5

Potrzebne są 4 bity, poniewaŜ koduje się dziesięć

cyfr ( od 0 do 9)

Kod Kod „„ 1 z n 1 z n ””

W praktyce uW praktyce uŜŜywa siywa sięę „„ 1 z 10 1 z 10 ”” (naturalny, pierścieniowy lub

pierwotny)

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

8

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

5

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

UnitarnyUnitarny

( 1 ) 1

( 2 ) 11

( 3 ) 111

( 4 ) 1111

Kod wskaKod wskaźźnika 7nika 7-- elementowegoelementowego

bgf

e

d

c

a

a b c d e f g

0 1 1 1 1 1 1 0

2 1 1 0 1 1 0 1

6 1 0 1 1 1 1 1

1 0 1 1 0 0 0 0

8 1 1 1 1 1 1 1

3 1 1 1 1 0 0 1

5 1 0 1 1 1 0 14 0 1 1 0 0 1 1

9 1 1 1 1 0 1 1

7 1 1 1 0 0 0 0

Kod Kod GrayGray’’aa

2- bitowy

0 00 11 11 0

3- bitowy

0 0001 0012 0113 0104 1105 1116 1017 100

1- bitowy n = 101

110 111

101

000 001

011010

100

11

00 01

10

Kod Kod GrayGray’’aa dla czterech zmiennychdla czterech zmiennych

00000011

11000011

11110011

00110011

00111111

11111111

11001111

00001111

00001100

11001100

11111100

00111100

00110000

11110000

11000000

00000000

1110 1111

1101

1000 1001

10111010

1100

0110 0111

0101

0000 0001

00110010

0100

Algebra Algebra BooleBoole’’aa -- PodstawyPodstawy

1. ZałoŜenia algebry Boole’a

2. Definicja działań „+” i „*”

3. Aksjomaty

4. Twierdzenia

5. Ilustracja dowodu twierdzenia a + a * b = a

6. Ilustracja praw pochłaniania w algebrze zbiorów

7. Funkcja boolowska

8. Tabela prawdy (logiczna)

9. Zapis numeryczny

10. Dekompresja Shannona

11. Minimalizacja funkcji

boolowskich

ZaZałłooŜŜenia algebry Booleenia algebry Boole’’aa

BinarnBinarnąą algebralgebręę BooleBoole’’a tworza tworząą: :

�� ZbiZbióór dwuelementowy {0;1}r dwuelementowy {0;1}

�� WyrWyróóŜŜnione elementy tego zbioru nione elementy tego zbioru –– 0 i 1 (czyli oba s0 i 1 (czyli oba sąą

wyrwyróóŜŜnione )nione )

�� Dwa dziaDwa działłania (operacje, funktory) ania (operacje, funktory) –– suma logiczna (+) oraz suma logiczna (+) oraz iloczyn logiczny (*) zdefiniowane dalejiloczyn logiczny (*) zdefiniowane dalej

�� Zestaw aksjomatZestaw aksjomatóów 1w 1-- 5, 15, 1’’-- 55’’

�� WynikajWynikająący z aksjomatcy z aksjomatóów zestaw twierdzew zestaw twierdzeńń 11-- 7, 17, 1’’-- 77’’, 8, 8

Definicja dziaDefinicja działłaańń „„++”” oraz oraz „„**”” w algebrze Boolew algebrze Boole’’aa

11111111

00110011

00111100

00000000

a*b a*b a+b a+b bbaa

a, b ∈∈∈∈ {0;1}

lub ∪ i ∩

Aksjomaty wedAksjomaty wedłług Huntingtonaug Huntingtona

Aksjomat ten Aksjomat ten stanowi stanowi wwłłaaśściwie ciwie definicjdefinicjęędziadziałłania ania „„--””zwanego zwanego negacjnegacjąą

55’’. Istnieje taki . Istnieje taki element a, element a, ŜŜee

a * a = 0a * a = 0

5. Istnieje taki 5. Istnieje taki element a, element a, ŜŜe e

a + a = 1a + a = 1

Istnieje element Istnieje element neutralnyneutralny pod pod wzglwzglęędem sumy dem sumy (iloczynu)(iloczynu)

44’’. a * 1 = a . a * 1 = a 4. a + 0 = a 4. a + 0 = a

RozdzielnoRozdzielnośćść

iloczynu (sumy) iloczynu (sumy) wzglwzglęędem sumy dem sumy (iloczynu)(iloczynu)

33’’. a + b * c = (a . a + b * c = (a + b) * (a + c)+ b) * (a + c)

3. a * (b + c) = a * 3. a * (b + c) = a * b + a *cb + a *c

PrzemiennoPrzemiennośćść

sumy (iloczynu)sumy (iloczynu)22’’. a * b = b * a. a * b = b * a2. a + b = b + a2. a + b = b + a

Wynik sumy Wynik sumy (iloczynu) nale(iloczynu) naleŜŜy y do zbioru {0;1}do zbioru {0;1}

11’’. a * b . a * b ∈∈∈∈∈∈∈∈ {0,1}{0,1}1. a + b 1. a + b ∈∈∈∈∈∈∈∈ {0,1}{0,1}

OkreOkreśślenialeniaAksjomatyAksjomaty

TwierdzeniaTwierdzenia

Prawo podwPrawo podwóójnej negacjijnej negacji

8. a = a8. a = a

Prawo istnienia elementu Prawo istnienia elementu przeciwnegoprzeciwnego

77’’. 1 = 0 . 1 = 0 7. 0 = 17. 0 = 1

Prawa de Morgana !Prawa de Morgana !66’’. a * b = a + b. a * b = a + b6. a + b = a * b6. a + b = a * b

Prawo idempotentnoPrawo idempotentnośścici55’’. a * a = a. a * a = a5. a + a = a 5. a + a = a

Prawo dominacji elementu Prawo dominacji elementu max (min) max (min)

44’’. a * 0 = 0. a * 0 = 04. a + 1 = 1 4. a + 1 = 1

33’’. a * (a + b) = a * b. a * (a + b) = a * b3. a + a * b = a + b3. a + a * b = a + b

Prawo absorbcji Prawo absorbcji (poch(pochłłaniania)aniania)

22’’. a * (a + b) = a . a * (a + b) = a 2. a + a * b = a 2. a + a * b = a

Prawo Prawo łąłącznocznośści sumy ci sumy (iloczynu)(iloczynu)

11’’. a * (b * c ) = (a * b) . a * (b * c ) = (a * b) * c* c

1. a + (b + c) = (a + b) 1. a + (b + c) = (a + b) + c+ c

OkreOkreśślenialeniaTwierdzeniaTwierdzenia

Ilustracja dowodu twierdzenia Ilustracja dowodu twierdzenia a + a * b = aa + a * b = ametodmetodąą zero zero –– jedynkowjedynkowąą (wg tabeli prawdy(wg tabeli prawdy))

111111111111

111100110011

000000001100

000000000000

aaa + a * a + a * bb

a * ba * baa

Prawa Prawa strona strona

Lewa stronaLewa strona

bbaa

Wykazano, Ŝe L = P

Odpowiedniki funkcji logicznychOdpowiedniki funkcji logicznych

11∪∪∪∪∪∪∪∪PrawdaPrawda

00∅∅∅∅∅∅∅∅FaFałłszsz

--‘‘~~

**∩∩∩∩∩∩∩∩∧∧∧∧∧∧∧∧

++∪∪∪∪∪∪∪∪vv

Algebra BooleAlgebra Boole’’aaAlgebra Algebra zbiorzbioróów w

Rachunek ZdaRachunek Zdańń

Interpretacja fizyczna binarnej algebry BooleInterpretacja fizyczna binarnej algebry Boole’’aa

zestyk rozwierny zestyk zwierny

+

negacja afirmacja

+

suma logiczna iloczyn logiczny

++

Interpretacja fizyczna aksjomatInterpretacja fizyczna aksjomatóów binarnej algebry Boolew binarnej algebry Boole’’aa

a

b

a

c

a

b a

b

a

c

a

a

b b

c

a

a

a

a

a

b c

a b ab

aa

aa

5. 5. 55’’..

4.4.44’’..

3. 3. 33’’..

2. 2. 22’’. .

Funkcja boolowska i sposoby jej Funkcja boolowska i sposoby jej okreokreśślanialania

1. Definicja funkcji

2. Sposoby określania w analizie matematycznej

3. Sposoby określania w teorii układów logicznych

Definicja funkcji boolowskiejDefinicja funkcji boolowskiej

Funkcją boolowską m zmiennych x1, x2,..., xm , gdzie

xi ∈∈∈∈{0;1}, nazywamy takie odwzorowanie, które

wariancjom zero- jedynkowym zmiennych x1, x2,..., xm

przyporządkowuje wartość funkcji y równą 0 lub 1,

co moŜna symbolicznie zapisać :

y = f (x1, x2,..., xm )

UKŁAD

LOGICZNY

xm

x2

x1 y = f (x1, x2,..., xm )

2m

Sposoby okreSposoby okreśślania funkcji lania funkcji w teorii ukw teorii ukłładadóów logicznychw logicznych

1. Tabela prawdy

2. Formuła boolowska

3. Graf

4. Uproszczony zapis numeryczny

Ad 1: Ad 1: Tabela prawdy dla jednej funkcjiTabela prawdy dla jednej funkcji

11......1111

........

........

........

00......0000

yyxxmm......xx11 x2

(m+1) kolumn2

m w

iers

zy

Tabela prawdy dla wielu funkcjiTabela prawdy dla wielu funkcji

x2

11......1111

........

........

........

00......0000

yyxxmm......xx11

......

..

..

..

......

yynn......yy22

(m+n) kolumn

2m

wie

rszy

Ad.2: Ad.2: FormuFormułła boolowskaa boolowska

Formuła boolowska jest to zapis ( wyraŜenie ) funkcji przy

uŜyciu zmiennych x1,x2, ... , xm ,, negacji tych zmiennych oraz

symboli 0, 1 za pomocą działań „+” , „ * ” .

Dopuszcza się w formule uŜycie nawiasów.

Daną funkcję moŜna przedstawić róŜnymi formułami, ale dana

formuła reprezentuje sobą tylko jedna funkcję.

Przykład.: a*( a + b ) ; a + a * b ; a * b + a * b to formuły

prezentujące tą samą funkcję.