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El método CPA en la resolución de problemas aditivos y multiplicativos en estudiantes de Básica Primaria

Yamileth Posso Gamboa

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales

Manizales, Colombia

2020

El método CPA en la resolución de problemas aditivos y multiplicativos en estudiantes de Básica Primaria

Yamileth Posso Gamboa

Tesis presentada como requisito parcial para optar al título de:

Magíster en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales

Director:

MS.C Jaider A. Figueroa Flórez

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales

Manizales, Colombia

2020

Resumen V

Resumen

El presente trabajo tiene como objetivo contribuir al desarrollo de procesos asociados al

pensamiento numérico en el contexto de la adición y la multiplicación, en estudiantes de

tercer grado de primaria, a partir del uso del método CPA y el enfoque de resolución de

problemas como estrategia didáctica. Se enmarca en el paradigma cualitativo y es de

carácter descriptivo pues pretende exponer avances y dificultades de los estudiantes en

torno al abordaje y solución de problemas aditivos y multiplicativos planteados. Durante

el proceso de intervención, se aplican tres tipos de instrumentos: test diagnóstico, guía

de intervención (fase concreta), y test de finalización (fase pictórica y abstracta). Dentro

de los resultados obtenidos, se resaltan los avances en torno a la capacidad de abordar

y resolver problemas aditivos y multiplicativos, evidenciado el uso de las diversas

estructuras (cambio, combinación, comparación e igualación) para el caso de lo aditivo y

en el contexto multiplicativo (factor multiplicante, adición repetida, razón, producto

cartesiano), donde el uso de la fase concreta fue determinante. Además, se evidenciaron

avances en los procesos de razonamiento, comunicación de ideas, modelamiento,

ejercitación de procedimiento y por supuesto en la resolución de problemas

Palabras clave: Resolución de problemas, método CPA, procesos de actividad

matemática, problemas aditivos, problemas multiplicativos.

VI Método CPA en la resolución de problemas aditivos y multiplicativos

The CPA method in solving additive and multiplicative problems in elementary school students

Abstract

The present work aims to contribute to the development of processes associated with numerical

thinking in the context of addition and multiplication, in third grade students, from the use of the

CPA method and the problem solving approach as a didactic strategy. This strategy is framed in

the qualitative paradigm and is descriptive in nature, as it aims to expose progress and difficulties

of the students regarding the approach and solution of additive and multiplicative problems.

During the intervention process, three types of instruments are applied: diagnostic test,

intervention guide (concrete phase), and completion test (pictorial and abstract phase). Among

the results obtained, the advances regarding the ability to tackle and solve additive and

multiplicative problems are highlighted, evidencing the use of the various structures (change,

combination, comparison and equalization) in the case of the additive and in the context

multiplicative (multiplying factor, repeated addition, ratio, Cartesian product), where the use of

the specific phase was decisive. In addition, progress was evidenced in the reasoning processes,

communication of ideas, modeling, procedural exercise, and of course in problem solving.

Keywords: The resolution of problems, CPA method, mathematical activity

processes, additive problems, multiplicative problems.

Contenido VII

Contenido

Resumen .......................................................................................................................... V

Abstract........................................................................................................................... VI

Lista de figuras ............................................................................................................... IX

Lista de tablas ................................................................................................................ XI

Introducción .................................................................................................................... 1

1. Capítulo 1: Horizonte del trabajo............................................................................. 3 1.1 Descripción y planteamiento del problema ......................................................... 3 1.2 Justificación ........................................................................................................ 6

1.2.1 Pertinencia ....................................................................................................... 6 1.2.2 Importancia ...................................................................................................... 7 1.2.3 Viabilidad ......................................................................................................... 7

1.3 Objetivos ............................................................................................................ 8 1.3.1 Objetivo General .............................................................................................. 8 1.3.2 Objetivos específicos ....................................................................................... 8

2 Capítulo 2: Marco referencial .................................................................................. 9 2.1 Marco de antecedentes ...................................................................................... 9

2.1.1 Concepciones sobre la enseñanza de la resta: un estudio en el ámbito de la formación permanente del profesorado” ..................................................................... 9 2.1.2 Fortaleciendo procesos de pensamiento numérico en básica primaria, a partir del uso comprensivo de las estructuras aditivas ....................................................... 11 2.1.3 Un estudio sobre el tipo de estructuras aditivas usadas en problemas planteados en los textos de matemáticas de primaria más usados en Colombia ..... 12 2.1.4 Experiencias pedagógicas de niños y niñas desarrolladas en el área de matemáticas en unidades educativas ....................................................................... 14 2.1.5 Aplicación de una estrategia de resolución de problemas para niños ............ 15 2.1.6 La enseñanza de estrategias de resolución de problemas matemáticos en la ESO1: un ejemplo concreto ...................................................................................... 16

2.2 Marco Teórico .................................................................................................. 17 2.2.1 Algunos referentes básicos educativos en los que se enmarca la propuesta: Lineamientos Curriculares, Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas (EBCM), y Los Derechos Básicos de Aprendizaje (DBA) que propone el Ministerio de Educación Nacional .................................................................................................. 17 2.2.2 La metodología de resolución de problemas y método concreto-pictórico-abstracto .................................................................................................................. 27

VIII Método CPA en la resolución de problemas aditivos y multiplicativos

2.2.3 Estructura aditiva y multiplicativa ................................................................... 33 2.3 Marco conceptual.............................................................................................. 35

2.3.1 Guía didáctica ............................................................................................... 35 2.3.2 Estructura aditiva ........................................................................................... 35 2.3.3 La multiplicación y su estructura .................................................................... 35 2.3.4 Resolución de problemas .............................................................................. 36 2.3.5 Método CPA .................................................................................................. 36

3 Capítulo 3: Metodología .........................................................................................39 3.1 Enfoque del trabajo ........................................................................................... 39 3.2 Instrumentos metodológicos ............................................................................. 39

3.2.1 Test diagnóstico ............................................................................................ 40 3.2.2 Guía de intervención: fase concreta .............................................................. 40 3.2.3 Test de finalización: fase pictórica y abstracta ............................................... 42

3.3 Población .......................................................................................................... 42 3.4 Fuentes de información..................................................................................... 42 3.5 Cómo se analizarán los resultados ................................................................... 42

4 Capítulo 4: Resultados y análisis ..........................................................................45 4.1 Experiencia adquirida en el test diagnóstico ..................................................... 45

4.1.1 Resolución de problemas .............................................................................. 45 4.1.2 Comprensión de las estructuras aditiva y multiplicativa por parte de los estudiantes .............................................................................................................. 46 4.1.3 Los cinco procesos de la actividad matemática planteados por el MEN ........ 52

4.2 Experiencia adquirida en la guía de intervención: fase concreta ....................... 52 4.3 Experiencia adquirida en test de finalización: fase pictórica .............................. 64 4.4 Experiencia adquirida en test de finalización: fase abstracta ............................ 69

5 Capítulo 5: Conclusiones .......................................................................................77

Bibliografía .....................................................................................................................79

ANEXOS ..........................................................................................................................83

A. Anexo A: Guía diagnóstica: Adición y multiplicación fase pictórica y abstracta83

B. Anexo B: Guía didáctica del docente para la enseñanza de la adición y la multiplicación, orientada desde el uso del método CPA y la resolución de problemas fase concreta ...............................................................................................87

C. Anexo C: Guía de finalización: Adición y multiplicación fase pictórica ........... 105

D. Anexo D: Guía de finalización: Adición y multiplicación fase abstracta .......... 111

Contenido IX

Lista de figuras

Pág. Figura 1. Problema aditivo, categoría de cambio. Guía diagnóstica. .............................. 47

Figura 2. Problema adictivo, categoría de combinación. Guía diagnóstica. .................... 48

Figura 3. Problema aditivo, categoría de comparación. Guía diagnóstica....................... 49

Figura 4. Problema aditivo, categoría de igualación. Guía diagnóstica. .......................... 49

Figura 5. Problema multiplicativo, categoría de razón. Guía didáctica. ........................... 50

Figura 6. Problema multiplicativo, categoría de adiciones repetidas. Guía diagnóstica. . 51

Figura 7. Problema multiplicativo, categoría de factor multiplicante. Guía diagnóstica. .. 52

Figura 8. Actividad 5 de guía fase concreta. Estructura aditiva. ...................................... 54

Figura 9. Actividad 3 de guía fase concreta. Estructura aditiva. ...................................... 55

Figura 10. Actividad 1 de guía fase concreta. Estructura aditiva. .................................... 57

Figura 11.Actividad 4 de guía fase concreta. Estructura aditiva. ..................................... 58



Figura 14.Actividad 5 de guía fase concreta. Estructura aditiva ...................................... 60

Figura 15.Actividad 2 de guía fase concreta. Estructura aditiva. ..................................... 61


Figura 17. Actividad 1 de guía fase concreta. Estructura multiplicativa. .......................... 63

Figura 18.Problema aditivo: categoría de cambio. Guía fase pictórica de finalización. ... 66

Figura 19.Problema aditivo, categoría de combinación. Guía fase pictórica de finalización.

....................................................................................................................................... 66

Figura 20. Problema multiplicativo, categoría adición repetida. Guía fase pictórica de

finalización. .................................................................................................................... 67

Figura 21. Problema multiplicativo, categoría factor multiplicante. Guía de finalización,

fase pictórica. ................................................................................................................. 68

X Método CPA en la resolución de problemas aditivos y multiplicativos

Figura 22. Problema multiplicativo, categoria de razon. Guía de finalizacion fase pictorica

....................................................................................................................................... 68

Figura 23. Problemas aditivos, categoría de cambio. Guía de finalización fase abstracta.

....................................................................................................................................... 70

Figura 24. Problema aditivo, categoría de combinación. Guía de finalización fase

abstracta. ........................................................................................................................ 71

Figura 25.Problema aditivo, categoría de comparación. Guía fase abstracta de

finalización. ..................................................................................................................... 72

Figura 26. Problema aditivo, categoría de igualación. Guía fase pictórica de finalización.

....................................................................................................................................... 73

Figura 27. Problema multiplicativo, categoría adiciones repetidas. Guía de finalización

fase abstracta. ................................................................................................................ 73

Figura 28. Problema multiplicativo, categoría de factor multiplicante. Guía de finalización

fase abstracta. ................................................................................................................ 74

Figura 29. Problema multiplicativo, categoría de razón. Guía de finalización fase

abstracta. ........................................................................................................................ 74

Contenido XI

Lista de tablas

Pág.

Tabla 1: Ejemplos de problemas según su estructura aditiva ......................................... 34

Tabla 2: Tipo de problema según su estructura multiplicativa ......................................... 34

Tabla 3: Actividades diseñadas en fase concreta por categoria de estructura aditiva ..... 41

Tabla 4: Actividades diseñadas en fase concreta por categoría de estructura multiplicativa

....................................................................................................................................... 41

Contenido XII

Introducción

Enseñar matemática en la escuela primaria, ha sido considerada por muchos profesores

como una actividad orientada al alcance de logros netamente relacionados con

contenidos y el manejo de algoritmos. Así, un profesor da por terminada su tarea cuando

el estudiante es capaz de resolver una suma, una resta, una multiplicación o una división,

como ejercicio de lápiz y papel, ignorando que la enseñanza de las matemáticas va

mucho más allá que el simple manejo de un algoritmo. En esta medida, los estudiantes

se vuelven expertos en hacer operaciones con números, pero sin un sentido real para

ellos. Esto, es un grave error reflejado en el momento en que los estudiantes son

expuestos a situaciones problema de la vida cotidiana o problemas propuestos por

pruebas escritas externas (de tipo pictórico o grafico, o abstracto de enunciado verbal),

en donde se evidencia que no han desarrollado procesos asociados al pensamiento

matemático, que les permita comprender, razonar y resolver las situaciones problema

que se les plantea.

En los documentos de Estándares Básicos de Competencias en Matemática (Ministerio

de Educación Nacional [MEN], 2006), y los Lineamientos Curriculares (Ministerio de

Educación Nacional [MEN], 1998) se expone unos referentes pedagógicos a tener en

cuenta a la hora de preparar y desarrollar las clases por parte de los docentes. En estos

documentos se plantea, por ejemplo, que la actividad matemática, se fundamenta en

cinco procesos generales como son, formular y resolver problemas; modelar procesos y

fenómenos de la realidad; comunicar; razonar, formular y comparar, y ejercitar

procedimientos y algoritmos. Cada uno de estos procesos debe pensarse, planearse y

desarrollarse en el aula de clase para posibilitar el desarrollo del pensamiento

matemático en los estudiantes. Lo que comúnmente se hace en la escuela tradicional es

planear y desarrollar mayormente el último proceso, eliminando la posibilidad de

desarrollar los otros por parte del estudiantado.

2 Introducción

La propuesta del presente trabajo busca aportar al proceso de enseñanza y aprendizaje,

a partir de una estrategia específica, donde el objetivo que se persigue es ir más allá del

manejo de los algoritmos, es apuntar a la comprensión de los principios matemáticos

subyacentes tras las fórmulas, al desarrollo de procesos asociados al pensamiento

matemático que les permita a los estudiantes resolver problemas de su contexto social

cotidiano, problemas planteados en el contexto escolar y en las pruebas externas. Para

lograr dicho propósito se han tomado en cuenta dos elementos que resultan esenciales

en la enseñanza de las matemáticas como lo es: la resolución de problemas y el uso del

método concreto-pictórico-abstracto (método CPA). Estos dos elementos incluidos en

una propuesta de enseñanza, resultan ser una recreación de la realidad en la que está

inmerso todo ser humano y a partir de la cual se hace necesario el uso de la matemática

y por ende el desarrollo del pensamiento en esta área, y en donde los procesos

generales de la actividad matemática propuestos por el MEN se desarrollan de manera

implícita.

La propuesta de enseñanza y aprendizaje está dirigida a estudiantes de grado 3º de

primaria de la Institución Educativa San José Sede Cerro Azul, y está referida a un

concepto específico de la matemática como es la adición y la multiplicación.

El documento se desarrolla en cinco capítulos. El primero está referido al Horizonte del

trabajo (descripción del problema, justificación y objetivos). En el segundo, reposa el

Marco referencial que consta del Marco de antecedentes, teórico y conceptual. En el

capítulo tres se encuentra la Metodología de la investigación (el tipo de trabajo,

instrumentos metodológicos, población, fuentes de información y análisis e interpretación

de resultados). En el cuarto se hallan los Resultados y la Discusión y finalmente, en el

quinto capítulo se cierra con las Conclusiones y Recomendaciones de la investigación.

1. Capítulo 1: Horizonte del trabajo

1.1 Descripción y planteamiento del problema

Es evidente que el sistema educativo en Colombia presenta muchas falencias, las cuales

se ven reflejadas en el escaso nivel de desarrollo del pensamiento que presentan los

estudiantes en las diferentes etapas de su escolaridad. En el caso de las matemáticas,

por ejemplo, es posible considerar que los estudiantes completan su etapa escolar

obligatoria sin haber desarrollado procesos asociados al pensamiento matemático, ni

unas habilidades básicas para enfrentar problemas relacionados con las matemáticas.

Los procesos que se desarrollan en la mayoría de las escuelas son por transmisión de

contenidos, donde la finalidad es rebozar a los estudiantes de información, que carece de

significado para ellos, información que no utilizan en su vida diaria, y en efecto se forman

estudiantes con amplios conocimientos, pero incapaces de resolver problemas de su vida

cotidiana.

Para Ballestero (2008), es uno de los campos de las matemáticas que mayor dificultad

adquiere para los estudiantes de básica primaria es la resolución de problemas.

Evidencia de ello son los resultados que nos arrojan las pruebas de estado (Pruebas

Saber), la mayoría basadas en resolución de problemas. De esta manera se deduce que

los estudiantes terminan su año escolar con su cuaderno lleno de conceptos vistos en las

clases, tales como operaciones fundamentales básicas (suma, resta y multiplicación),

algunos problemas carentes de significado para ellos y ejercicios de lápiz y papel, que a

lo sumo son capaces de resolver mecánicamente, pero no alcanzan a desarrollar

procesos asociados al pensamiento matemático, que les permita enfrentarse de manera

comprensiva a la resolución de un problema, tampoco desarrollan una apropiación de los

principios matemáticos subyacentes tras las fórmulas o algoritmos, que les permitan

aplicar correctamente estas operaciones.

4 Método CPA en resolución de problemas aditivos y multiplicativos

Así la Institución Educativa San José sede Cerro Azul no resulta ser la excepción de esta

problemática, por el contrario, es un claro ejemplo de lo mencionado anteriormente. En

esta institución educativa, la docente titular pudo observar durante las clases, que, si bien

los estudiantes hacían manejo de los algoritmos de las operaciones básicas, aún no

desarrollaban la capacidad de comprender el fundamento de dichas operaciones, ni de

cómo y cuándo aplicarlas, también presentaban dificultad para interpretar diferentes

situaciones problema.

Cuando se indaga un poco acerca de la forma de enseñanza que se ha trabajado en el

área de matemáticas en la sede, se puede concluir que no se aleja de lo descrito

anteriormente, pues en los procesos de clase ha primado el mecanicismo en la

resolución de algoritmos, y la sesión de resolución de problemas se ha venido

proponiendo como estrategia de afianzamiento, en donde los estudiantes no requieren de

procesos involucrados al desarrollo de pensamiento matemático, pues con tan solo leer

el planteamiento y tomar los valores expresados y ubicarlos en una fórmula ha sido

suficiente para resolver dichos problemas.

Como se plantea en los referentes pedagógicos expuestos por el MEN, la actividad

matemática y por ende la planeación y desarrollo de las clases en esta área, debe

considerar el desarrollo de los cinco procesos mencionados anteriormente, o por lo

menos de algunos de ellos. Es entonces como se hace necesario el abordaje de

estrategias didácticas que permitan el desarrollo de estos procesos. En esta dinámica de

búsqueda de estrategias didácticas, se empieza partiendo de una idea que Julián De

Zubiria comenta en una entrevista (2018): “es necesario que, en las instituciones

educativas, se enseñe para la vida”, y las matemáticas como una necesidad están

inmersas en la vida de los seres humanos desde la antigüedad. En una revisión histórica,

Galán (2012) encuentra que algunas culturas antiguas como en la China, sus pobladores

necesitaban resolver los problemas de la vida diaria y la matemática era el lenguaje a

partir del cual podían hacerlo, plantea que sus matemáticas reflejaban el modo de vida

que tenían las culturas. Las principales actividades que sus habitantes practicaban eran

la agricultura, la ingeniería poco avanzada y los problemas de impuestos. De esta

manera, es como las matemáticas deben ser presentadas a los estudiantes, como una

búsqueda de solución a la que ellos mismos llegarán, a partir de problemas propuestos.

Capítulo 1 5

Por otra parte, y considerando que las matemáticas surgen como la necesidad humana

de resolver problemas de tipo cuantitativo en el contexto en el que el individuo está

inmerso, y que dicho contexto es de tipo físico, surge la necesidad de tener en cuenta la

interacción que hace el individuo que aprende con el material concreto que pasa a ser el

objeto de estudio o generador de las situaciones problema (y que es cuantificable). Por

ejemplo, en la agricultura, en problemas de impuestos, en la ingeniería y en muchas

otras actividades humanas, hay uno o varios objetos manipulables y cuantificables, tales

como, las dimensiones de las parcelas, la cantidad de producido o cosecha, el cálculo en

la cantidad de dinero que deberán pagar los pobladores por sus impuestos o la cantidad

de telas que se podían sacar a partir de una materia prima. Así, entonces es importante

tener en cuenta que la manipulación del material concreto por parte del que aprende es

parte esencial para el desarrollo del aprendizaje, pues le permite al estudiante crear

referentes cognitivos para la posterior comprensión de problemas planteados desde lo

pictórico, numérico y abstracto. Dicho de otra manera, a un estudiante le será más fácil

pensar de manera lógica cuando es capaz de vivenciar el problema y de manipular

objetos.

A este respecto, Área (2010) afirma que “el material didáctico facilita los procesos de

enseñanza y aprendizaje de los alumnos, pues estos experimentan situaciones de

aprendizaje de forma manipulativa, permitiéndoles conocer, comprender e interiorizar las

nociones estudiadas, por medio de sensaciones” (citado en Valenzuela 2012, pp.14-15).

Y para García de la Hoz (1988), “el trabajo manual es la fuente de conocimiento, ya que

los sentidos son la puerta de entrada de este. Aunque el oído y la vista son la primera

puerta de entrada, el tacto también permite integrar conocimientos en nuestra vida”

(citado en Valenzuela 2012, p. 34).

Frente a esta situación educativa, se procede a formular el problema que define la

propuesta de investigación del presente trabajo.

Formulación del problema:

¿Cómo contribuir al desarrollo de procesos asociados al pensamiento numérico en el

contexto de la adición y la multiplicación, en estudiantes de tercer grado de primaria?


1.2 Justificación

1.2.1 Pertinencia

El desarrollo del presente trabajo surge como una propuesta ante la problemática

expuesta y está encaminada a fortalecer los procesos de enseñanza en matemática,

específicamente en el concepto de adición y multiplicación en 3º de primaria.

Las motivaciones que guían la propuesta son de carácter metodológico, ya que busca

abordar el problema desde dos perspectivas que resultan esenciales en el proceso de

enseñanza/aprendizaje: la primera hace referencia a la metodología de enseñanza por

resolución de problemas y la segunda hace referencia al uso de material concreto como

simiente a una comprensión pictórica y abstracta de las matemáticas. Según Ballestero

(2008) “La metodología empleada en la enseñanza de resolución de problemas en

matemáticas, es un elemento clave para el logro satisfactorio de los contenidos en esta

área” (p. 124). Por otro lado, Área (2010) afirma que “el material didáctico facilita los

procesos de enseñanza y aprendizaje de los alumnos, pues estos experimentan

situaciones de aprendizaje de forma manipulativa, permitiéndoles conocer, comprender e

interiorizar las nociones estudiadas, por medio de sensaciones” (citado en Valenzuela,

2012 pp. 14-15). De esta manera se considera que el estudiante, a partir de la interacción

con el material concreto puede comprender mejor las situaciones matemáticas que se le

plantean y además de ello crear elementos en su pensamiento que le puedan permitir

interpretar situaciones de tipo escrito, ya sea pictórico o abstracto.

Así mismo resulta ser una propuesta de enseñanza y aprendizaje consecuente con los

lineamientos curriculares del MEN, ya que entre sus planteamientos de planeación de la

enseñanza de las matemáticas toma tres aspectos fundamentales como son: los cinco

procesos generales de la actividad matemática, que serán considerados de manera

implícita en el diseño y desarrollo de la propuesta; el contexto, que puede abordarse a

partir de situaciones problema diseñadas en la propuesta (de las matemáticas y/o de la

vida cotidiana) y el pensamiento numérico, uno de los cinco pensamientos planteados en

este mismo documento.

Capítulo 1 7

1.2.2 Importancia

Con esta propuesta se pretende reducir el desfase que hay en la forma en que se enseña

la matemática (la mayoría de los casos de forma tradicional) y en la forma en que el MEN

evalúa (por resolución de problemas). Se espera que el presente trabajo sirva como

propuesta de articulación entre una metodología de enseñanza que realmente esté

relacionada con la forma de evaluación vigente, es decir, que desarrolle capacidades y

procesos asociados al pensamiento matemático del estudiante, que le permita

enfrentarse a las situaciones problema planteados desde las pruebas escritas propuestas

por el MEN, y en otros contextos.

Finalmente se espera hacer un análisis del impacto positivo que puede producir orientar

la enseñanza/aprendizaje del concepto de la adición y la multiplicación a través de la

metodología de resolución de problemas y el uso del método concreto-pictórico-abstracto

como una estrategia de enseñanza novedosa que genera motivación y capta el interés

en los estudiantes. De esta manera resultaría ser un aporte para el profesorado en

general y una invitación a desarrollar su práctica bajo los fundamentos que guían la

propuesta; así mismo, resultaría ser un aporte para facilitar el aprendizaje de los

estudiantes de básica primaria en esta área.

1.2.3 Viabilidad

Con respecto a la viabilidad, se puede considerar que es un proyecto que tiene

aceptación en el contexto, pues se cuenta con una cantidad de estudiantes aceptables

para las observaciones, estudiantes dispuestos a aprender, con las condiciones físicas

de espacio adecuadas para las fases del trabajo. Por otro lado se dispone de los

materiales requeridos para la aplicación del proyecto, pues son materiales asequibles, de

bajo costo y de diseño sencillo por parte de los mismos estudiantes y del docente.


1.3 Objetivos

1.3.1 Objetivo General

Contribuir al desarrollo de procesos asociados al pensamiento numérico en el contexto

de la acción y la multiplicación, en estudiantes de tercer grado de primaria, a partir del

uso del método CPA y el enfoque de resolución de problemas como estrategia didáctica.

1.3.2 Objetivos específicos

Diseñar y aplicar actividades de aprendizaje basadas en la resolución de problemas y

el método CPA, con relación a problemas de tipo aditivo y multiplicativo, y sus

diversas estructuras..

Dar cuenta del avance y dificultades presentes en los estudiantes, a través de la

descripción de las habilidades evidenciadas y procesos de la actividad matemática

desarrollados en la resolución de problemas de tipo aditivo y multiplicativo.

2 Capítulo 2: Marco referencial

2.1 Marco de antecedentes

Se ha realizado una revisión de algunas investigaciones con respecto a dos campos de

interés para este trabajo: 1) sobre la enseñanza del concepto de la adición y la

multiplicación, 2) sobre algunas propuestas de enseñanza a partir de la resolución de

problemas, el uso de material concreto y del método CPA.

A continuación se presentan tres estudios sobre la enseñanza del concepto de la adición

y la multiplicación.

2.1.1 Concepciones sobre la enseñanza de la resta: un estudio en el ámbito de la formación permanente del profesorado”

Autores: Mario Martínez y Núria Gorgorió (2004) México.

Objetivo: identificar algunas concepciones de los profesores sobre la enseñanza y

aprendizaje de la resta, y determinar la relación que existe entre dichas concepciones y

las propuestas de enseñanza que hacen dichos profesores.

Metodología: realización de un estudio de tipo cualitativo, con un grupo de 9 profesores

de educación primaria de escuela pública en México, en el que se identifican algunas

concepciones de los profesores sobre la enseñanza y aprendizaje de la resta, en

particular el papel que asignan a la contextualización, se determina la relación que existe

entre dichas concepciones y las propuestas de enseñanza que hacen los profesores en

el concepto de la resta.

Los profesores que hicieron parte del estudio realizaron un análisis de caso, que


consistió en una situación pedagógica hipotética en la que un profesor describe las

dificultades de aprendizaje de tres estudiantes con respecto a la resta. A partir de este

análisis, los profesores daban su punto de vista, dejando manifiesto sus concepciones.

Además de ello se les permitió diseñar propuestas de enseñanza para superar dichas

dificultades

Resultados y conclusiones: en los resultados obtenidos se pueden observar varias

contradicciones de los profesores con respecto a las concepciones acerca de la

enseñanza y aprendizaje, y sus propuestas de enseñanza frente al tema de la resta. Por

ejemplo, en algunos datos recogidos los profesores consideran que se deben plantear a

los niños, principalmente, problemas o situaciones reales representados con material

concreto; o representados a través de dibujos. Sin embargo, todas las situaciones

propuestas por los profesores para enseñar a los niños el tema en cuestión son referidas

a problemas de enunciado escrito y ejercicios numéricos. El planteamiento de problemas

y ejercicios a través de otras formas de representación, como por ejemplo, a través de

material concreto, vivenciales a través de juegos, de forma oral o gráfica estaban

ausentes en sus propuestas.

Otra situación que se hace evidente es que los profesores tienen una tendencia a

considerar que los factores que inciden en las dificultades de aprendizaje están más

relacionados con problemas cognitivos particulares de los estudiantes, que con la

didáctica implementada en la enseñanza de dicho concepto.

Relación del antecedente con la actual investigación: la investigación señala la

coexistencia de profesores con concepciones tradicionales y profesores constructivistas

sobre la enseñanza de la resta y de las matemáticas. Una coexistencia contradictoria

entre las concepciones de los profesores y el tipo de situaciones de intervención

didáctica que proponen. Así, con respecto a la contradicción entre la concepción de los

profesores y su práctica, resulta ser un estímulo a la realización de la estrategia

didáctica, ya que esta puede ser útil como una propuesta concreta de enseñanza basada

en dichas concepciones.

Capítulo 2 11

2.1.2 Fortaleciendo procesos de pensamiento numérico en básica primaria, a partir del uso comprensivo de las estructuras aditivas

Autora: Maryuri Bermúdez Grajales (2017). Manizales, Colombia.

Objetivo: fortalecer procesos de pensamiento numérico en estudiantes de básica

primaria, a partir de actividades de aprendizaje basadas en situaciones aritméticas que

posibiliten su adecuada comprensión y solución.

Metodología: la investigación llevada a cabo fue cualitativa-descriptiva. Entendida como

aquella donde se pretende describir procesos y avances, donde se estudia la calidad de

las actividades, relaciones, asuntos, medios y materiales en determinada situación o

problema. El diseño de la propuesta de investigación consistió en la elaboración y

ejecución de tres talleres: uno de diagnóstico, otro de afianzamiento y por último un taller

de profundización. En estos talleres se analizaron los avances y dificultades de los

estudiantes en cuatro procesos, que son tomados de la unión de las teorías planteadas

por el Método Singapur y las Variables de Schoenfeld (1992): conceptos y recursos;

meta-cognición y control: actitudes y sistemas de creencias; y finalmente heurística y

procesos-habilidades. En el diseño de estos talleres se propuso actividades de

aprendizaje basadas en situaciones aritméticas que posibilitaran la adecuada

comprensión y solución, usando diversas estrategias. Los problemas trabajados y

analizados fueron de tipo verbal. El análisis de la investigación tuvo en cuenta aspectos

relevantes como: las palabras involucradas en el planteamiento de los problemas de tipo

verbal, análisis semántico (Variables de Nesher y Estándares Curriculares: Categoría de

cambio, de combinación, de comparación y de igualación) y problemas de varias etapas.

Resultados y conclusiones: esta propuesta de investigación arrojó resultados

interesantes, entre estos se destaca la reorganización de conceptos y recursos, los

avances en procesos de metacognición, control del aprendizaje matemático (diversas

formas de comunicación), replanteamiento de actitudes y sistemas de creencias,

desarrollo de heurísticas, procesos, y habilidades matemáticas entre otros. Posibilitó el

fortalecimiento de procesos asociados al pensamiento numérico, a partir de los talleres


de aprendizaje basados en situaciones aritméticas que posibilitaron una adecuada

comprensión y uso de diversas estrategias para la solución de problemas.

Relación del antecedente con la actual investigación: esta investigación se relaciona

con la propuesta objeto de estudio, en la medida en que presenta una propuesta de

intervención en el aula para abordar el tema de problemas aditivos, siendo este uno de

los temas desarrollados en el presente trabajo. Se plantea una estrategia para la

resolución de problemas aditivos de tipo verbal por parte de los estudiantes, enfatizando

en el análisis semántico, de palabras involucradas, y problemas de varias etapas. Los

resultados de esta investigación resultan ser un aporte ya que invita a tener en cuenta la

importancia de que los estudiantes desarrollen la capacidad de análisis en el

planteamiento de los problemas escritos, la capacidad de interpretación de las palabras

involucradas y la creación de diversas estrategias de solución.

2.1.3 Un estudio sobre el tipo de estructuras aditivas usadas en problemas planteados en los textos de matemáticas de primaria más usados en Colombia

Autor: Jorge Enrique Silva Zambrano (2018), Manizales, Colombia.

Objetivo: realizar un análisis didáctico en torno al tipo de estructuras aditivas usadas en

los problemas que se plantean en textos de matemáticas de primaria más usados en

Colombia, para determinar el grado de coherencia entre lo planteado por las políticas

colombianas en Educación Matemática y el tipo de problemas encontrados.

Metodología: la investigación se enmarca dentro del enfoque mixto. Inicialmente se

procedió a seleccionar las editoriales que más producen y distribuyen los textos de

matemática de primaria en Colombia. Esto se hizo por medio de entrevistas informales a

algunos docentes, visitas o contacto directo con las editoriales, e indagación en algunas

páginas educativas. Posteriormente se procedió al análisis didáctico en torno al tipo de

estructuras aditivas usadas en los problemas matemáticos, tomando como referente a

autores como Vergnaud y Nesher, a fin de promover en el estudiante el desarrollo del

pensamiento numérico, incluyendo referentes teóricos y pedagógicos de la comunidad

académica y el MEN. Las variables determinadas fueron cualitativas, y luego a estas se

Capítulo 2 13

les asignó, bajo conteo una valoración cuantitativa, que permitió el análisis estadístico

explicativo.

Resultados y conclusiones: los resultados arrojados indican que las estructuras más

abordadas en los problemas matemáticos se clasifican según las categorías de

Vergnaud, como las de transformación, composición y relación, y según Nesher como de

cambio y comparación. Estos resultados no son coherentes con lo que propone el MEN

en los Lineamientos Curriculares, Los Derechos Básicos de Aprendizaje y los Estándares

Básicos de Competencias Matemáticas. Pues por medio de estos documentos en MEN

invita a abordar todo tipo de estructuras en las clases para enriquecer el aprendizaje y

lograr un conocimiento conceptual avanzado. Así, las categorías que más se trabajan,

especialmente en algunas de las editoriales seleccionadas plantean problemas con las

estructuras aditivas más sencillas de resolver. Esta investigación es dirigida

especialmente para la comunidad docente de primaria y las editoriales que producen

textos matemáticos en primaria. Los resultados de la misma ofrecen la posibilidad de

reconocer los libros de texto de matemáticas más apropiados acordes a lo propuesto por

el MEN, por otro lado permitirá a las editoriales replantear los contenidos que presentan

incluyendo una estructura de conocimientos más completa y que realmente esté

contribuyendo a alcanzar un conocimiento conceptual avanzado.

Relación del antecedente actual con la investigación: este antecedente se relaciona

con la presente investigación en la medida en que se considera que los libros de texto

resultan ser la herramienta más común e importante para la planeación de las clases de

los docentes y por ende, del aprendizaje que los estudiantes puedan desarrollar en la

ejecución de dichas clases. Así mismo, el análisis que se hace está relacionado con uno

de los temas que se desarrolla en la presente investigación como son las estructuras

aditivas en primaria. Es un aporte la revisión que se hace de este antecedente, ya que

analiza cómo se está presentando en los libros de texto estas estructuras por medio de

los problemas que se plantean.

En los resultados de la investigación se establece que los textos de matemática en

primaria más usados en Colombia presentan, solo o mayormente, los problemas aditivos

con las estructuras más sencillas de resolver, negando la posibilidad de enriquecer el


aprendizaje de los estudiantes y lograr un conocimiento conceptual avanzado. Así, los

docentes, confiando su preparación de clase en lo que propone el texto, contribuyen a

que los estudiantes presenten dificultades y vacíos de aprendizaje. Esta es parte de la

problemática que se quiere atacar por medio de la presente propuesta de trabajo, pero

desde otra perspectiva, creando un material basado en planteamiento de problemas

matemáticos y plantea el desarrollo de todas las estructuras propuestas por autores

como Nesher y el MEN.

A continuación se exponen algunas propuestas de enseñanza a partir de resolución de

problemas y/o el uso de material concreto.

2.1.4 Experiencias pedagógicas de niños y niñas desarrolladas en el área de matemáticas en unidades educativas

Autores: Elizabeth Chila y Frida Medrano Rojas (2005). Oruro, Bolivia.

Objetivo: aplicar una serie de estrategias metodológicas consistentes en orientar la

matemática aplicada a la resolución de problemas del contexto y el cálculo mental para

fortalecer los procesos de enseñanza y aprendizaje de sus instituciones educativas.

Metodología: estas estrategias toman en cuenta los aprendizajes previos de los

estudiantes, y están centradas en que estos construyan sus aprendizajes con ayuda del

docente, y donde las actividades desarrolladas sean participativas, activas y prácticas.

En el desarrollo de las actividades específicas de aula, los niños toman en cuenta las

fases del aprendizaje manipulativa, gráfica, y simbólica, por tanto se hace uso de material

concreto como factor esencial de aprendizaje. Las estrategias matemáticas

desarrollados, fueron siempre con base a la resolución de problemas. Un ejemplo de las

estrategias utilizadas en este trabajo y que resulta ser un elemento importante para esta

propuesta es la tienda escolar, por medio de esta estrategia, los estudiantes manipulan

objetos y dineros didácticos.

Resultados y conclusiones: Chila y Medrano comentan que los resultados obtenidos a

partir de la implementación de las estrategias indican aspectos muy positivos con

respecto al aprendizaje, por ejemplo, los estudiantes aplican modelos algorítmicos y

Capítulo 2 15

heurísticos para plantear y resolver ejercicios y problemas matemáticos, utilizan múltiples

opciones al operar en la resolución de problemas, reflexionan, son críticos, trabajan el

razonamiento lógico-matemático y el cálculo mental, en base a la resolución de

problemas, socializan los problemas explicando los procedimientos que utilizaron para su

solución.

Relación del antecedente con la actual investigación: a partir de este antecedente

como propuesta de enseñanza en Bolivia, y en cuya estrategia se tuvo en cuenta el

aprendizaje por medio de resolución de problemas y material concreto, brindando unos

resultados positivos frente al aprendizaje de los estudiantes, es posible impulsar la

propuesta del presente trabajo en nuestro país.

2.1.5 Aplicación de una estrategia de resolución de problemas para niños

Autores: Manuel Aguilar Villagrán y José Navarro Guzmán (2000), Universidad de Cádiz,

España.

Objetivo: diseñar y comprobar la eficacia del entrenamiento específico en resolución de

problemas aritméticos de educación primaria.

Metodología: se evaluaron las habilidades de 98 estudiantes de 8 años de edad, para

resolver problemas aritméticos verbales de una sola operación. A partir de la evaluación

previa, se desarrolló la propuesta de enseñanza consistente en un programa específico

para el entrenamiento de habilidades en resolución de problemas, centrado en medidas

heurísticas generales. Los investigadores hacen una categorización en el planteamiento

de los problemas así: problemas de cambio, combinación, comparación, isomorfismo de

medidas y producto cartesiano. La estrategia de enseñanza fue fundamentada en la

psicología cognitiva, en la que se tuvo en cuenta tres componentes esenciales, el

manipulativo, el gráfico y el simbólico.

Resultados y conclusiones: los resultados obtenidos confirmaron la eficacia de la

propuesta de enseñanza, se observaron diferencias significativas y positivas antes y

después de aplicada la propuesta. Los estudiantes tomaron conciencia de las diferentes


categorías semánticas de los problemas de estructura aditiva y multiplicativa, y de las

estrategias utilizadas para resolverlos adecuadamente.

Relación del antecedente con la actual investigación: esta investigación resulta ser

muy importante para la propuesta de enseñanza que se pretende desarrollar, tanto desde

el punto de vista estructural, como de los resultados. Desde el punto de vista estructural

porque es una estrategia de enseñanza cuya organización brinda elementos a tener en

cuenta en la propuesta que se pretende realizar, tales como la categorización del

planteamiento de problemas, y las fases; y desde el punto de vista de los resultados

porque siendo una estrategia que toma en cuenta elementos importantes para la

propuesta que se pretende realizar, tales como la resolución de problemas y el uso de

material concreto, ha mostrado su efectividad, ya que los estudiantes del grupo

experimental obtuvieron un avance importante en el desarrollo de sus capacidades

matemáticas.

2.1.6 La enseñanza de estrategias de resolución de problemas matemáticos en la ESO1: un ejemplo concreto

Autores: Manoli Pifarré Manoli y Jaume Sanuy (2001) Universidad de Lleida, España.

Objetivo: aportar nuevos datos sobre cómo abordar la enseñanza – aprendizaje de

resolución de problemas a partir de estrategias generales y heurísticas, particularmente

en el concepto de proporcionalidad directa, a estudiantes de 3º de primaria.

Se pretendía que los estudiantes por medio de la aplicación de esta propuesta

desarrollaran algunas capacidades a partir de las cuales, pudieran razonar y justificar su

postura acerca de diferentes situaciones de la vida real, en la que era pertinente pensar

matemáticamente.

Metodología: algunos elementos que se tuvieron en cuenta en el diseño y desarrollo de

la propuesta son la contextualización de los problemas a resolver en situaciones

cotidianas de su entorno, utilización de métodos de enseñanza donde se hace visible las

acciones para resolver un problema, diseño de materiales didácticos para guiar el

procedimiento de los estudiantes y generar espacios de reflexión y discusión.

Capítulo 2 17

Resultados y conclusiones: el trabajo realizado muestra finalmente unos resultados

positivos en cuanto al aprendizaje de los estudiantes. También brinda algunos elementos

acerca de cómo es posible potenciar en los estudiantes capacidades en la resolución de

problemas tales como la autointerrogación, discusión del proceso de resolución, análisis,

planificación, ejecución y revisión. De esta manera se estimula el desarrollo de

autonomía en los estudiantes, y se potencia el pensamiento matemático.

Relación del antecedente con la investigación actual: los elementos tenidos en

cuenta en la metodología desarrollada, también serán tenidos en cuenta en la presente

investigación. Se pretende que con la propuesta de enseñanza a realizar se puedan

alcanzar resultados similares en una población de estudiantes colombianos y

considerando específicamente la resolución de problemas en el tema de operaciones

básicas, a través del método CPA.

2.2 Marco Teórico

La propuesta que se pretende desarrollar está sustentada en varios componentes

teóricos, y se hace necesario recurrir a la literatura para sustentarlos y definirlos. Dichos

componentes se estructuraron en tres secciones. La primera corresponde a algunos

referentes básicos educativos en los que se enmarca la propuesta, teniendo en cuenta

Los Lineamientos Curriculares, y los Estándares Básicos de Competencias en

Matemáticas (EBCM) que propone el MEN. La segunda corresponde a los elementos

base de la propuesta como lo es el método concreto-pictórico-abstracto y la metodología

de resolución de problemas. La tercera sección hace referencia al concepto que se

aborda en la propuesta y que se pretende que sea aprendido por los estudiantes como lo

es la estructura aditiva y multiplicativa.

2.2.1 Algunos referentes básicos educativos en los que se enmarca la propuesta: Lineamientos Curriculares, Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas (EBCM), y Los Derechos Básicos de Aprendizaje (DBA) que propone el Ministerio de Educación Nacional

Teniendo en cuenta que la propuesta de trabajo no puede estar desfasada de las

pretensiones del Ministerio de Educación Nacional con la educación, ni del currículo


educativo que este propone, entonces el presente trabajo se ha estructurado de tal

manera que esté en coherencia con lo dicho. Así, en el documento de Lineamientos

Curriculares, se plantea que, para organizar el currículo escolar, y por ende las

actividades escolares, en un todo armonioso se debe tener en cuenta tres grandes

aspectos como son: los procesos generales de la actividad matemática, los

conocimientos básicos y el contexto (MEN, 1998). En este sentido se describe cada uno

y al final se menciona de qué manera han sido tenidos en cuenta en la propuesta de

trabajo.

2.2.1.1 Procesos generales de la actividad matemática

Enseñar matemáticas no es una actividad que se reduce al simple hecho de lograr que

los estudiantes operen correctamente los algoritmos, ni la memorización de leyes o

formulas, como se ha mencionado anteriormente, sino que esta actividad resulta ser más

compleja; el documento de Lineamientos Curriculares en Matemáticas menciona que

deben existir algunos procesos generales presentes en toda actividad matemática, que

explicitan lo que significa ser matemáticamente competente (MEN, 1998), estos son: la

formulación, tratamiento y resolución de problemas, modelar procesos y fenómenos de la

realidad, comunicar, razonar y formulación, comparación y ejercitación de procedimientos

y algoritmos.

El primer proceso es la formulación, tratamiento y resolución de problemas. Hace

referencia a la problematización del aprendizaje en matemáticas, donde lo que el

estudiante está aprendiendo en matemáticas le genera inquietudes, e invita a la

búsqueda de soluciones. Según el documento de Estándares Básicos en Competencias

Matemáticas, este proceso:

Podría convertirse en el principal eje organizador del currículo de matemáticas,

porque las situaciones problema proporcionan el contexto inmediato en donde el

quehacer matemático cobra sentido, en la medida en que las situaciones que se

aborden estén ligadas a experiencias cotidianas y, por ende, sean más

significativas para los alumnos(MEN, 2006, p. 52).

Por otra, parte plantea que:

Capítulo 2 19

La formulación, el tratamiento y la resolución de los problemas suscitados por una

situación problema permiten desarrollar una actitud mental perseverante e

inquisitiva, desplegar una serie de estrategias para resolverlos, encontrar

resultados, verificar e interpretar lo razonable de ellos, modificar condiciones y

originar otros problemas (MEN, 2006, p. 52).

El segundo proceso es modelar procesos y fenómenos de la realidad. Hace referencia

a todo tipo de representación que hacen los estudiantes para entender mejor cualquier

situación problemática que se les plantea. De acuerdo al texto de EBCM:

Un modelo puede entenderse como un sistema figurativo mental, gráfico o

tridimensional que reproduce o representa la realidad en forma esquemática para

hacerla más comprensible […]

La modelación puede hacerse de formas diferentes, que simplifican la situación y

seleccionan una manera de representarla mentalmente, gestualmente,

gráficamente o por medio de símbolos aritméticos o algebraicos, para poder

formular y resolver los problemas relacionados con ella. Un buen modelo mental o

gráfico permite al estudiante buscar distintos caminos de solución, estimar una

solución aproximada o darse cuenta de si una aparente solución encontrada a

través de cálculos numéricos o algebraicos sí es plausible y significativa, o si es

imposible o no tiene sentido. En una situación problema, la modelación permite

decidir qué variables y relaciones entre variables son importantes, lo que posibilita

establecer modelos matemáticos de distintos niveles de complejidad, a partir de

los cuales se pueden hacer predicciones, utilizar procedimientos numéricos,

obtener resultados y verificar qué tan razonable son éstos respecto a las

condiciones iniciales (MEN, 2006, pp. 52-53).

El tercer proceso es comunicar. Hace referencia al desarrollo de la comunicación en

matemáticas, a la capacidad de expresar por diferentes medios las inquietudes, las

posturas, las opiniones, las interpretaciones que se tienen de una situación matemática.

Este proceso resulta muy importante, ya que es a partir de este que los estudiantes


adquieren la capacidad de dar argumento y sustento a lo que están construyendo en su

pensamiento. De acuerdo al texto EBCM se plantea que:

la adquisición y dominio de los lenguajes propios de las matemáticas ha de ser un

proceso deliberado y cuidadoso que posibilite y fomente la discusión frecuente y

explícita sobre situaciones, sentidos, conceptos y simbolizaciones, para tomar

conciencia de las conexiones entre ellos y para propiciar el trabajo colectivo, en el

que los estudiantes compartan el significado de las palabras, frases, gráficos y

símbolos, aprecien la necesidad de tener acuerdos colectivos y aun universales y

valoren la eficiencia, eficacia y economía de los lenguajes matemáticos (MEN,

2006 p. 54).

El cuarto proceso es el razonamiento. Según el mismo documento, plantea que:

El desarrollo del razonamiento lógico empieza en los primeros grados apoyado en

los contextos y materiales físicos que permiten percibir regularidades y relaciones;

hacer predicciones y conjeturas; justificar o refutar esas conjeturas; dar

explicaciones coherentes; proponer interpretaciones y respuestas posibles y

adoptarlas o rechazarlas con argumentos y razones. Los modelos y materiales

físicos y manipulativos ayudan a comprender que las matemáticas no son

simplemente una memorización de reglas y algoritmos, sino que tienen sentido,

son lógicas, potencian la capacidad de pensar y son divertidas (MEN, 2006, p.54).

El quinto proceso es la formulación, comparación y ejercitación de procedimientos.

Este proceso es el que mayormente se practica en las escuelas, en donde resulta

sumamente importante que los estudiantes manejen los algoritmos perfectamente de

acuerdo al tema que se esté trabajando, pero este proceso debe estar estrechamente

ligado a los cuatro procesos anteriores para que realmente cobre sentido en el

pensamiento de los estudiantes. Según el texto de EBCM:

Este proceso implica comprometer a los estudiantes en la construcción y

ejecución segura y rápida de procedimientos mecánicos o de rutina, también

llamados “algoritmos”, procurando que la práctica necesaria para aumentar la

velocidad y precisión de su ejecución no oscurezca la comprensión de su carácter

Capítulo 2 21

de herramientas eficaces y útiles en unas situaciones y no en otras y que, por lo

tanto, pueden modificarse, ampliarse y adecuarse a situaciones nuevas, o aun

hacerse obsoletas y ser sustituidas por otras (MEN, 2006, p. 55).

En la propuesta del presente trabajo se procuró que en todo el proceso los estudiantes

desarrollaran éstos cinco procesos, ya que como se mencionó inicialmente uno de los

factores que inciden en la baja comprensión por parte de los estudiantes en el tema de la

adición y la multiplicación es que en las escuelas principalmente se trabaja el último

proceso, en donde se hace énfasis en la ejercitación de procedimientos y algoritmos,

dejando de lado el razonamiento, la modelación, la comunicación y la resolución de

problemas.

A continuación se describe la forma de desarrollar implícitamente estos cinco procesos

en el desarrollo de la propuesta.

Formular y resolver problemas: en la medida en que todas las actividades están

diseñadas a partir de la formulación y resolución de problemas muy cercanos a la

vida cotidiana de los estudiantes, en los que se requiere que los estudiantes analicen

la situación planteada, para ello el docente interviene generando inquietudes que

conlleven a dicho análisis por parte de los estudiantes.

Modelar procesos y fenómenos de la realidad: en la medida en que la mayoría de

las actividades están diseñadas a partir de situaciones que son comunes a la realidad

de los estudiantes, como por ejemplo, la tienda, el juego de sapo, la estimación de

medidas, etc. Además de ello, los estudiantes deben en lo posible, realizar

representaciones en el papel, para poder interpretar las situaciones problema que se

les presenta y su propuesta de solución, lo que les da la posibilidad de crearse

modelos mentales, que le permitan responder ante situaciones similares planteadas

en otros escenarios.

Comunicar: teniendo en cuenta que los estudiantes todo el tiempo están siendo

estimulados a dar sus puntos de vista, sus opiniones y propuestas de solución frente

a las situaciones que se les plantea; esto lo pueden comunicar de forma verbal,


escrita, grafica, etc. “Usar la argumentación, la prueba y la refutación, el ejemplo y el

contraejemplo, como medios de validar y rechazar conjeturas, y avanzar en el camino

hacia la demostración” (MEN 2006, p. 51).

Razonar, formular y comparar: en la medida en que los estudiantes deben

comprender la situación planteada, razonar ante lo que se les pregunta y diseñar un

plan para resolverlo, formularlo y compararlo con el resultado que obtienen sus

compañeros en el momento en que se socializan las propuestas de solución, además

compararlo con situaciones semejantes, lo que los lleva a capacidad de hacer juicios

matemáticos.

Ejercitar procedimientos y algoritmos: teniendo en cuenta que las actividades

están diseñadas para que el estudiante comprenda el fundamento de un algoritmo,

que lo use con sentido, que participe de las acciones que subyacen tras las formulas.

2.2.1.2 Conocimientos básicos

Como se plantea en el documento de Estándares Básicos de Competencias en

Matemáticas, el pensamiento matemático se subdivide en cinco pensamientos que son:

el pensamiento numérico, el pensamiento espacial, el pensamiento métrico, el

variacional, y el pensamiento aleatorio. Para sustento teórico del presente trabajo se

analiza el pensamiento numérico, ya que la propuesta se enfoca en este, sin embargo se

puede mencionar que se toca en algunos momentos los otros pensamientos.

Según el documento de EBCM el pensamiento numérico plantea:

el desarrollo de los procesos curriculares y la organización de actividades

centradas en la comprensión del uso y de los significados de los números y de la

numeración; la comprensión del sentido y significado de las operaciones y de las

relaciones entre números, y el desarrollo de diferentes técnicas de cálculo y

estimación. […]

Capítulo 2 23

En el caso de los números naturales, las experiencias con las distintas formas de

conteo y con las operaciones usuales (adición, sustracción, multiplicación y

división) generan una comprensión del concepto de número asociado a la acción

de contar con unidades de conteo simples o complejas y con la reunión, la

separación, la repetición y la repartición de cantidades discretas (MEN, 2006, pp.

58-59).

Mcintosh (1992) afirma que:

El pensamiento numérico se refiere a la comprensión general que tiene una

persona sobre los números y las operaciones junto con la habilidad y la

inclinación a usar esta comprensión en formas flexibles para hacer juicios

matemáticos y para desarrollar estrategias útiles al manejar números y

operaciones (citado en MEN, 1998, p.26).

Así se refleja una inclinación y una habilidad para usar números y métodos

cuantitativos como medios para comunicar, procesar e interpretar información, y

se crea la expectativa de que los números son útiles y de que las matemáticas

tienen una cierta regularidad (MEN, 1998, p. 26).

En este orden de ideas se considera que la propuesta del presente trabajo se hace en

relación a este pensamiento y procura aportar al desarrollo del mismo en los estudiantes

intervenidos, de tal manera que busca que ellos asuman los números como una forma de

representación que facilita la solución de las situaciones problemáticas en contextos

significativos para ellos, así mismo puedan hacer juicios matemáticos, estimaciones, el

manejo de operaciones y reflexión sobre las respuestas que se obtienen.

Como aparece en el documento de Lineamientos Curriculares en Matemáticas, los

números tienen diferentes significados de acuerdo al contexto en que se utilicen, por

ejemplo, como secuencia verbal, para contar, para expresar una cantidad de objetos o

como cardinal, para medir, para marcar una posición o como ordinal, como código o

símbolo, entre otras (MEN 1998). En la propuesta del presente trabajo, se procuró que


los estudiantes tuvieran un acercamiento y un trabajo con los números desde todos estos

significados.

2.2.1.3 El contexto

Según los Lineamientos Curriculares en Matemáticas, “el contexto tiene que ver con los

ambientes que rodean al estudiante y que le dan sentido a las matemáticas que aprende”

(MEN, 1998, p.19). El docente tiene la tarea de crear un ambiente de aprendizaje

cercano a las situaciones reales que el estudiante encuentra en su diario vivir. Este

mismo documento plantea que, una de las tareas que atañen al docente es que:

debe simular en su clase una microsociedad científica, si quiere que los

conocimientos sean medios económicos para plantear buenos problemas y para

solucionar debates, si quiere que los lenguajes sean medios de dominar

situaciones de formulación y que las demostraciones sean pruebas (MEN, 1998,

p. 99).

En este sentido la propuesta de trabajo fue diseñada como intento de generar dicha

microsociedad científica, en donde las actividades no solo estaban creadas a partir del

contexto real y cercano a los estudiantes, sino que en cada momento se generaron

situaciones problema, lo que conllevó a la discusión participativa de los estudiantes, al

surgimiento de muchas inquietudes en ellos y la necesidad de demostrar por medios de

la interacción con los objetos el fundamento de cada una de las acciones matemáticas

que se seguían para resolver los problemas, y por consiguiente el fundamento de la

utilización de símbolos matemáticos, para facilitar la resolución. Es así como el manejo

de los algoritmos, siendo un proceso muy importante en la actividad matemática surge

como una necesidad para simbolizar y facilitar un proceso, no como el objetivo principal

de la enseñanza.

Comprensión del concepto de las operaciones

Según el documento de Lineamientos Curriculares en Matemáticas:

Los aspectos básicos que según varios investigadores (por ejemplo, NCTM, 1989;

Dickson, 1991; Rico, 1987; Mcintosh, 1992)se pueden tener en cuenta para

Capítulo 2 25

construir el significado de las diferentes operaciones y que pueden dar pautas

para orientar el aprendizaje de cada operación, tienen que ver con:

Reconocer el significado de la operación en situaciones concretas

Reconocer los modelos más usados y prácticos de las operaciones.

Comprender las propiedades matemáticas de las operaciones.

Comprender el efecto de cada operación y las relaciones entre operaciones.

En el proceso de aprendizaje de cada operación hay que partir de las distintas

acciones y transformaciones que se realizan en los diferentes contextos

numéricos y diferenciar aquellas que tienen rasgos comunes, que luego permitan

ser consideradas bajo un mismo concepto operatorio. Por ejemplo las acciones

más comunes que dan lugar a conceptos de adición y sustracción son agregar y

desagregar, reunir y separar, acciones que se trabajan simultáneamente con las

ideas que dan lugar al concepto de número.

Al destacar los aspectos cuantitativos de las acciones, en donde el niño describe

las causas, etapas y efectos de una determinada acción, en una segunda etapa

está abstrayendo las diferentes relaciones y transformaciones que ocurren en los

contextos numéricos haciendo uso de diversos esquemas o ilustraciones con los

cuales se está dando un paso hacia la expresión de las operaciones a través de

modelos. (MEN, 1998, pág. 30)

En la propuesta del presente trabajo se hizo énfasis en que los estudiantes pudieran

vivenciar las acciones que se mencionan en el párrafo anterior, en donde ellos pudieran

apropiar y comprender el fundamento de realizar una determinada operación y, de esta

manera, dar sentido a los procesos matemáticos que realizan. Así, por ejemplo, esas

acciones que dan lugar a conceptos de adición y sustracción como agregar y desagregar,

reunir y separar estuvieron presentes en el diseño y desarrollo de la propuesta.


Estándares Básicos de Competencias Matemáticas (EBCM).

Los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas se basa en niveles de avance

en el desarrollo “de las competencias asociadas con los cinco tipos de pensamiento

matemático: numérico, espacial, métrico, aleatorio y variacional” (MEN, 2006, p. 76).

El conjunto de estándares debe entenderse en términos de procesos de

desarrollo de competencias que se desarrollan gradual e integradamente, con el

fin de ir superando niveles de complejidad creciente en el desarrollo de las

competencias matemáticas a lo largo del proceso educativo (MEN, 2006, p. 76).

De acuerdo a estos referentes, y en relación a la temática abordada en la presente

propuesta, se decreta que:

Al finalizar el grado tercero los estudiantes estarán en capacidad de:

Describir, comparar y cuantificar situaciones con números, en diferentes contextos y

con diversas representaciones.

Usar representaciones –principalmente concretas y pictóricas– para explicar el valor

de posición en el sistema de numeración decimal.

Usar representaciones –principalmente concretas y pictóricas– para realizar

equivalencias de un número en las diferentes unidades del sistema decimal.

Resolver y formular problemas en situaciones aditivas de composición y de

transformación.

Usar diversas estrategias de cálculo (especialmente cálculo mental) y de estimación

para resolver problemas en situaciones aditivas y multiplicativas.

Identificar, si a la luz de los datos de un problema, los resultados obtenidos son o no

razonables.

Se espera con la propuesta del presente trabajo estimular el desarrollo de estas

capacidades propuestas como referentes pedagógicos en el área de matemáticas.

Derechos Básicos de Aprendizaje (DBA)

Los DBA son un conjunto de saberes fundamentales que se planean para cada año

escolar como referentes de planeación en el aula, desde grado primero hasta grado once

Capítulo 2 27

en las áreas fundamentales. Los DBA se han estructurado en concordancia con los EBC

y con los Lineamientos Curriculares. (MEN, 2016)

En una revisión de los DBA segunda versión, propuestos en matemática para el grado

tercero se encuentra que el tema de la presente propuesta guarda relación con los

siguientes:

Interpreta, formula y resuelve problemas en diferentes contextos, tanto aditivos de

composición, transformación y comparación; como multiplicativos directos e inversos.

Propone, desarrolla y justifica estrategias para hacer estimaciones y cálculos con

operaciones básicas en la solución de problemas.

Establece comparaciones entre cantidades y expresiones que involucran operaciones

y relaciones aditivas y multiplicativas y sus representaciones numéricas.

Se espera que con la aplicación de la propuesta se pueda estimular el desarrollo de

estos saberes propuestos en los estudiantes intervenidos, de igual manera para la

planeación de la propuesta se ha tenido en cuenta este referente. La formulación de

problemas adictivos y multiplicativos, y el manejo de los algoritmos de las operaciones

básicas en la solución de problemas.

2.2.2 La metodología de resolución de problemas y método concreto-pictórico-abstracto

La propuesta del presente trabajo toma dos elementos muy importantes para su diseño,

como es el método de enseñanza por resolución de problemas y el método concreto-

pictórico-abstracto. A continuación, se describe lo encontrado en la literatura al respecto.

2.2.2.1 Aprendizaje basado en problemas

El Aprendizaje Basado en Problemas (ABP) es una estrategia de enseñanza- aprendizaje

que se inicia con un problema real o realístico, en la que un equipo de estudiantes se

reúne para buscarle solución. El problema debe plantear un conflicto cognitivo, debe ser

retador, interesante y motivador para que el alumno se interese por buscar la solución

(Morales y Landa, 2004).


Barrows (1986) define al Aprendizaje Basado en Problemas como “un método de

aprendizaje basado en el principio de usar problemas como punto de partida para la

adquisición e integración de los nuevos conocimientos” (citado en Morales y Landa,

2004, p. 147).

Barrows (1996) define sus características de la siguiente manera:

El aprendizaje está centrado en el alumno. Bajo la guía de un tutor, los

estudiantes deben tomar la responsabilidad de su propio aprendizaje,

identificando lo que necesitan conocer para tener un mejor entendimiento y

manejo del problema en el cual están trabajando […].

El aprendizaje se produce en grupos pequeños de estudiantes […].

Los profesores son facilitadores o guías. El tutor plantea preguntas a los

estudiantes que les ayude a cuestionarse y encontrar por ellos mismos la

mejor ruta de entendimiento y manejo del problema […].

Los problemas forman el foco de organización y estímulo para el estudiante

[…]. El problema representa el desafío que los estudiantes enfrentarán en la

práctica y proporciona la relevancia y la motivación para el aprendizaje […].

Los problemas son un vehículo para el desarrollo de habilidades de

resolución. Esta característica se traduce en presentar un problema del

mundo real o lo más cercano posible a una situación real […].

La nueva información se adquiere a través del aprendizaje autodirigido.

Durante este aprendizaje autodirigido […].Los estudiantes trabajan juntos,

discuten, comparan, revisan y debaten permanentemente lo que han

aprendido (citado en Morales y Landa, 2004, pp. 147-149).

En la propuesta de trabajo se hizo el intento de desarrollar todas estas características.

Así, por ejemplo, el aprendizaje estuvo centrado en el estudiante, era él quien

identificaba las características de la situación planteada y proponía una solución, por

supuesto contando con la intervención del docente, quién le ayudaba a cuestionarse, y

que cumplía el rol de guía. Los grupos de estudiantes fueron pequeños, de tres

estudiantes.

Capítulo 2 29

El planteamiento de problemas fueron el foco de organización y el estímulo para los

estudiantes. Así, por ejemplo, toda la estructura de la propuesta está basada en

problemas, es decir, durante todo el desarrollo los estudiantes debían resolver problemas

llevando un hilo conductor hacía el objetivo de cada una de las actividades. De esta

manera se estimulaba todo el tiempo al estudiante a pensar en las acciones y

procedimientos que iba desarrollando, entonces los problemas fueron el vehículo para el

desarrollo de habilidades de resolución.

En cada una de las actividades, los estudiantes trabajaron juntos, discutían, comparaban,

revisaban y debatían acerca de sus respuestas y de lo que habían ido aprendiendo.

A lo largo del proceso de adopción del ABP en las distintas especialidades e instituciones

se ha logrado identificar claramente el efecto que produce en el aprendizaje. Se puede

mencionar entre los más importantes: (Morales y Landa, 2004)

Facilita la comprensión de los nuevos conocimientos, lo que resulta

indispensable para lograr aprendizajes significativos […].

El ABP promueve la disposición afectiva y la motivación de los alumnos,

indispensables para lograr aprendizajes significativos […].

El ABP provoca conflictos cognitivos en los estudiantes […].

En el ABP el aprendizaje resulta fundamentalmente de la colaboración y la

cooperación […].

El ABP permite la actualización de la Zona de Desarrollo Próximo de los

estudiantes (p. 151).

Morales y Landa (2004), indican que el ABP:

insiste en la adquisición de conocimientos y no en la memorización de los mismos

con propósitos inmediatistas, permite la integración del conocimiento posibilitando

una mayor retención y la transferencia del mismo a otros contextos. Estimula la

adquisición de habilidades para identificar problemas y ofrecer soluciones

adecuadas a los mismos, promoviendo de esta manera el pensamiento crítico (p.

152).


2.2.2.2 Método concreto-pictórico-abstracto

El método concreto-pictórico-abstracto (CPA), que se aplicó en el diseño y desarrollo de

la propuesta del presente trabajo, es tomado del Método Singapur (Espinoza, Matus,

Barbe, Fuentes y Márquez, 2016).A continuación se describe las características de este

método.

El Método Singapur es una metodología de acercamiento que evoluciona desde el uso

de material concreto a la representación pictórica del problema y, posteriormente, a la

utilización de símbolos y de un lenguaje más abstracto. A partir de este proceso, se

espera que los estudiantes puedan reconocer la relación entre los datos y la incógnita del

problema, comprenderlo mejor y resolverlo. Este método busca el logro de los siguientes

objetivos en los estudiantes:

Adquirir y aplicar conceptos y habilidades matemáticas.

Desarrollar habilidades cognitivas y metacognitivas, a través del enfoque de

resolución de problemas matemáticos.

Desarrollar actitudes positivas hacia las matemáticas.

Estos objetivos se lograrán“a través de una estructura pentagonal que articula el

desarrollo de conceptos, habilidades, procesos matemáticos, metacognición y actitudes

necesarias para el aprendizaje, cuyo foco central es la resolución de problemas en

contextos significativos” (Espinoza et al., 2016,p. 93).

Estos componentes están fuertemente interrelacionados y todos deben materializarse en

la resolución de problemas matemáticos. A continuación se describe cada uno de estos

componentes:

Habilidades: manipulación algebraica, visualización espacial, análisis de datos,

medición, uso de herramientas matemáticas, estimación.

Procesos: los procesos son las habilidades generales necesarias para adquirir y aplicar

conocimientos matemáticos. Estos procesos incluyen:

Razonar: Analizar problemas y construir argumentos lógicos.

Capítulo 2 31

Comunicar y hacer conexiones: Utilizar lenguaje matemático para expresar ideas

precisas.

Aplicar y modelar: Relacionar el conocimiento matemático aprendido con el mundo

real, ampliar la comprensión de conceptos y métodos esenciales y desarrollar

competencia matemática.

Modelar: Modelar es representar un problema u objeto que existe fuera del campo de

las matemáticas, en forma matemática. Se puede utilizar para ello un diagrama o

dibujo.

La metacognición: es el pensar sobre cómo piensa uno. Para desarrollar la

metacognición se sugieren las siguientes prácticas:

Resolver problemas abiertos y no rutinarios.

Enseñar a los estudiantes habilidades generales de resolución de problemas,

indicando cómo se utilizan y aplican para resolver problemas.

Discutir las diversas soluciones y estrategias de resolución.

Motivar a los estudiantes a buscar formas alternativas de resolver un problema.

Pensar en voz alta.

Reflexionar continuamente.

Las actitudes: las actitudes de los estudiantes hacia las matemáticas están

influenciadas por sus experiencias de aprendizaje, estas incluyen:

Creencias sobre la utilidad de las matemáticas.

Interés y capacidad de disfrutar las matemáticas.

Apreciación de la belleza y el poder de las matemáticas.

Confianza en el uso de las matemáticas.

Perseverancia en resolver problemas.

Para lograr desarrollar actitudes positivas, se deben planear actividades que:

Sean divertidas, significativas y relevantes.

Ayuden a desarrollar la autoconfianza.

Permitan desarrollar el gusto por la materia.


Conceptos: numéricos, geométricos, probabilísticos, algebraicos, estadísticos, analíticos

(Alianza Educativa, s.f.).

La estructura de la propuesta de trabajo estuvo fundamentada en este método, así todas

las actividades se diseñaron siguiendo tres fases. Primero, una fase concreta, en donde

los estudiantes tienen la oportunidad de tener un primer acercamiento a la matemática

teniendo contacto directo con materiales concretos en situaciones de contexto real. Esta

fase se considera una de las más importantes en el proceso de aprendizaje de los

estudiantes, ya que es en ésta donde los estudiantes tienen la oportunidad de crear

modelos mentales matemáticos en la medida en que interactúan con objetos reales en

situaciones problema contextualizadas.

Tal como lo afirma Llinares (1994):

una de las tareas que debe desarrollar un profesor en la actualidad es propiciar

“diferentes niveles de comprensión matemática” en los alumnos. Dicha

comprensión está relacionada, según autores como Piere y Kieran, citados por

Llinares, con el uso de referentes concretos y la generación de imágenes

mentales por parte de los estudiantes (citado en Bonilla, Sánchez y Guerrero,

1999, p. 64).

Posteriormente se desarrolla la fase pictórica, en donde el estudiante aplica esos

conocimientos y modelos mentales para la interpretación de problemas planteados desde

lo pictórico y actúa en la solución. Finalmente una fase abstracta, en donde se enfrenta al

estudiante a situaciones contextualizadas, pero presentadas verbalmente, en donde los

estudiantes deben aplicar los elementos desarrollados en su pensamiento a partir de las

otras fases.

Este modelo articula en su estructura el desarrollo de cinco componentes mencionados

anteriormente. Algunos de estos fueron desarrollados en el diseño de la propuesta de

trabajo. Por ejemplo, en el componente de habilidades se tuvo en cuenta la

manipulación algebraica, el uso de herramientas matemáticas y la estimación. En el

componente de los procesos, razonar, comunicar, aplicar y modelar. En el componente

de la metacognición, resolver problemas abiertos y no rutinarios, enseñar a los

estudiantes habilidades generales de resolución de problemas, discutir las diversas

Capítulo 2 33

soluciones y estrategias de resolución, motivar a los estudiantes a buscar formas

alternativas de resolver un problema, pensar en voz alta, reflexionar continuamente. En el

componente de actitudes, creencias sobre la utilidad de las matemáticas, interés y

capacidad de disfrutar las matemáticas, confianza en el uso de las matemáticas,

perseverancia en resolver problemas. Y en el componente de conceptos, el numérico.

2.2.3 Estructura aditiva y multiplicativa

2.2.3.1 Estructura auditiva

De acuerdo con Bonilla et al. (1999):

Se dice que un problema aritmético comporta una estructura aditiva si para su

solución se requiere del uso de una adición. En este contexto la resta se clasifica

como un tipo especial de adición. Se asume que una estructura aditiva es aquella

estructura o relación que sólo está formada por sumas o sustracciones. (p. 58)

Nesher(citado en Bonilla et al. 1999):

elabora una clasificación de la adición basada en la estructura semántica, que le

permite clasificar los problemas de estructura aditiva en: cambio, combinación,

comparación e igualación.

Categoría de cambio: incremento o disminución de una cantidad inicial para

crear una cantidad final (en estos problemas hay implícito una acción) lo

desconocido puede ser cualquier cantidad o el incremento o la disminución.

Categoría de combinación: relación entre una colección y dos subcolecciones

disyuntas (parte-todo) La combinación no implica cambio. Lo desconocido puede

referir a cualquiera de las partes o al todo.

Categoría de comparación: comparación entre dos colecciones la relación se

establece utilizando términos como “más que”, “menos que” las tres cantidades

que intervienen son una el referente, otra el referido y otra la comparación.


Categoría de igualación: se produce alguna acción relacionada con la

comparación entre dos colecciones disyuntas. Ver Tabla 1 (pp. 60-61).

Tabla 1

Ejemplos de problemas según su estructura aditiva.

Tipo de problema Problema

Combinación En la escuela Patio Bonito2 hay 7 niñas jugadoras de basketbool y 9 niñas jugadoras de fútbol. ¿Cuántas deportistas hay en total?

Cambio aumentar Julio tiene 9 camisetas. Le regalan 7 camisetas más. ¿Cuántas reúne en total?

Cambio disminuir La profesora tiene que ponerle tareas a 16 niños, 9 ya la tienen. ¿A cuántos niños le falta la tarea?

Comparación Pilar tiene 9 hebillas y Julia 7 más que Pilar. ¿Cuántas hebillas tiene Julia?

Igualación Julián tiene 9 lápices.Si Julián pierde 2 tendrá tantos como Antonia. ¿Cuántos lápices tiene Antonia?

Fuente: Bonilla et al., 1999, p. 61.

2.2.3.2 Estructura multiplicativa

De acuerdo a los Lineamientos Curriculares se encuentra que una clasificación muy en

común de la estructura mutiplicativa es: factor multiplicante, adición repetitiva, razón y

producto cartesiano (ver Tabla 2).

Tabla 2

Tipo de problema según su estructura multiplicativa.

Tipo de problema Problema

Factor multiplicante Juan tenía 3 carritos. María Tenía 4 veces más. ¿Cuántos carritos tenía María?

Adición repetida Juan compró 3 carritos cada día durante 4 días. ¿Cuántos carritos tiene en total?

Razón Cuatro niños tenían 3 carritos cada uno. ¿Cuántos carritos tenían en total?

Producto cartesiano Un carrito de juguete se fabrica en 3 amaños distintos y en 4

colores diferentes. ¿Cuántos carritos distintos se pueden

comprar?

Fuente: Adaptación, MEN (1998, pp. 3334).

Capítulo 2 35

Estas dos estructuras, tanto aditiva como multiplicativa representaron la parte conceptual

o tema de la propuesta de trabajo. Para cada una de las respectivas clasificaciones se

diseñaron actividades, de tal manera que los estudiantes analizaran cada una de ellas

mediante las situaciones problemáticas.

2.3 Marco conceptual

2.3.1 Guía didáctica

Según García Aretio (1997), se entiende por guía didáctica “como el documento que

orienta el estudio, acercando a los procesos cognitivos del alumno el material didáctico,

con fin de que pueda trabajarlo de manera autónoma”(p. 19).

La guía didáctica “constituye un instrumento motivador de primer orden y el sustituto más

característico de la orientación y ayuda del profesor de la enseñanza convencional”

(García Aretio, 1997, p. 20). Sin embargo, a esta definición se le agrega que a pesar de

que el estudiante puede trabajarla de manera autónoma, es esencial la intervención del

docente, no solo para la organización del contexto escolar de aprendizaje, o escenario de

aprendizaje, sino también para la orientación y estimulación del pensamiento a partir de

dichas intervenciones.

2.3.2 Estructura aditiva

Vergnaud (1995), (citado en Ordoñez, 2014)), define la estructura aditiva como “la

capacidad que se tiene para identificar, comprender y abordar las situaciones en las que

tiene aplicabilidad las operaciones de suma y resta”(p. IX).

2.3.3 La multiplicación y su estructura

La multiplicación “es, ante todo, una operación aritmética tanto de naturaleza unitaria,

como binaria, que puede interpretarse como una suma reiterada (sin ser lo mismo), o

como un producto cartesiano” (Lurduy y Romero, 1999, p. 103).

Se consideran problemas con estructura multiplicativa “aquellos que se pueden resolver

a través de una multiplicación o una división” (Lurduy y Romero, 1999, p. 112).


2.3.4 Resolución de problemas

Para Morales y Landa (2004):

“El Aprendizaje Basado en Problemas (ABP) es una estrategia de enseñanza-

aprendizaje que se inicia con un problema real o realístico, en la que un equipo de

estudiantes se reúne para buscarle solución. El problema debe plantear un

conflicto cognitivo, debe ser retador, interesante y motivador para que el alumno

se interese por buscar la solución” (p. 152).

2.3.5 Método CPA

Es un método de enseñanza de las matemáticas que parte de un planteamiento y es que

debe ser enseñada en tres fases. La primera fase llamada fase concreta, en donde los

estudiantes tienen un primer acercamiento a las matemáticas con material concreto

manipulable, de tal manera que los estudiantes pueden percibir, cuantificar, palpar entre

otras el objeto de estudio. A partir de esta primera fase se busca que los estudiantes

construyan referentes mentales para la comprensión de la presentación de las

matemáticas en otras formas como por ejemplo, la representación pictórica, es decir, por

medio de imágenes acompañadas de datos o la presentación abstracta, donde solo hay

enunciados verbales.

En una segunda fase llamada pictórica se presentan las matemáticas (incluyendo el

planteamiento de problemas) por medio de imágenes acompañadas de datos y

enunciado.

Finalmente, una fase abstracta en donde las matemáticas son presentadas solo con

enunciados verbales o simbología abstracta como datos y números.

Este método es trabajado en el Método Singapur que se define como:

una metodología de acercamiento que evoluciona desde el uso de material

concreto a la representación pictórica del problema y, posteriormente, a la

utilización de símbolos y de un lenguaje más abstracto. A partir de este proceso,

se espera que los estudiantes puedan reconocer la relación entre los datos y la

Capítulo 2 37

incógnita del problema, comprenderlo mejor y resolverlo (Espinozaet a,l. 2016, p.

93.

3 Capítulo 3: Metodología

Luego de definir el problema de investigación, plantear los objetivos y explicar el marco

teórico del presente trabajo, se procede a determinar las características sobre el enfoque

y el diseño de la investigación que se llevará a cabo, la definición de las variables, la

determinación de la población, la recolección de datos y los respectivos análisis.

3.1 Enfoque del trabajo

El enfoque metodológico de la investigación del presente trabajo es cualitativo-

descriptivo. Cualitativo, porque la variable de estudio se refiere a procesos de

pensamiento asociados al contexto numérico y corresponde a esta tipología; y

descriptivo, por cuanto se describen avances y dificultades de los estudiantes en los

procesos de resolución de problemas aditivos y multiplicativos, y cómo inciden la calidad

de las actividades, los materiales, y la estrategia utilizada.

El alcance de la investigación es de tipo exploratorio, ya que se tiene en cuenta la

implementación de una estrategia orientada desde la metodología de resolución de

problemas y el uso del método CPA, buscando que los estudiantes desarrollen procesos

asociados al pensamiento numérico, se apropien de los principios matemáticas

subyacentes tras las formulas, y cómo consecuencia desarrollen habilidades que les

permita resolver diferentes situaciones problema.

3.2 Instrumentos metodológicos

Los instrumentos metodológicos del presente trabajo consisten en el diseño y aplicación

de 3 guías. En cada una de las guías se trabaja una serie de actividades relacionadas

con el concepto de la adición y la multiplicación y sus estructuras. La secuencia de

aplicación es muy importante, ya que a partir de ello se pretende llevar a los estudiantes


desde un estado inicial a un estado final luego de pasar por todas las fases, y así

desarrollar habilidades y procesos asociados al pensamiento matemático. En cada una

de las fases mencionadas se espera desarrollar de manera implícita los cinco procesos

de la actividad matemática (formular y resolver problemas; modelar procesos y

fenómenos de la realidad; comunicar; razonar, formular y comparar, y ejercitar

procedimientos y algoritmos) que los estudiantes no han podido desarrollar previamente.

A continuación, se describen los tres instrumentos.

3.2.1 Test diagnóstico

Aquí se espera establecer el estado inicial de los estudiantes, es decir, cómo ellos están

resolviendo problemas de tipo aditivo y multiplicativo. En este se plantea una serie de

problemas organizados en estructuras aditiva (combinación, cambio, comparación e

igualación) y multiplicativa (factor multiplicante, adición repetida, razón y producto

cartesiano).

3.2.2 Guía de intervención: fase concreta

Es la segunda guía, hace referencia a la parte práctica del trabajo, está dividida en dos:

una guía para el estudiante y la otra guía para el docente. Ambas tienen el mismo

contenido práctico, las mismas actividades y los mismos problemas, solo que a la guía

del docente se le anexa materiales necesarios para las actividades, instrucciones y

sugerencias.

Referente a la guía del estudiante, es en esta donde el estudiante tendrá un primer

acercamiento de tipo concreto con esas situaciones matemáticas, es esta fase la que se

considera más importante, pues es el punto de partida para el desarrollo de los procesos

que se pretenden alcanzar en los estudiantes. Y es durante la aplicación de esta donde

mayoritariamente se desarrollarán los cinco procesos de la actividad matemática en los

estudiantes (MEN, 2006). Durante esta fase los estudiantes cuentan con un material

escrito como guía en el que deberán registrar la solución a cada uno de los problemas

que se van trabajando de manera concreta, es decir, en ella deberán registrar sus

conclusiones, sus representaciones, sus acuerdos como equipo frente a los

planteamientos que se proponen en mencionada guía. Es importante aclarar que las

Capítulo 3 41

respuestas planteadas por los estudiantes en esta guía en su mayoría no son

espontáneas ni genuinas, puesto que son filtradas a partir de los acuerdos que se toman

entre los integrantes del grupo y de la intervención de la docente, es decir, que si algún

estudiante tiene una idea errada, antes de dar su respuesta en la guía, se discute con el

grupo, la docente interviene con preguntas y contrapreguntas, generando otras

situaciones problema, que generen conflicto cognitivo, también la docente acude a las

demostraciones con ayuda del material concreto. De esta manera se espera que se

llegue a un acuerdo razonable por todos los estudiantes, y finalmente se registre en la

guía. A esto se le considera como el proceso más importante de la propuesta, pues como

se mencionó anteriormente es tratar de simular una “micro sociedad científica” en donde

es importante la comunicación entre las partes, la verificación, la demostración, las

conclusiones grupales, entre otras.

La guía está estructurada como lo muestra la Tabla 3 y la Tabla 4:

Tabla 3

Actividades diseñadas en fase concreta por categoría de estructura aditiva.

Estructura aditiva

Categoría de cambio

Categoría de combinación

Categoría de comparación

Categoría de igualación

Actividad 1 Actividad 1 Actividad 1 Actividad 1 Actividad 2 Actividad 2 Actividad 2 Actividad 2 Actividad 3 Actividad 3 Actividad 3 Actividad 3 Actividad 4 Actividad 4 Actividad 4 Actividad 4 Actividad 5 Actividad 5 Actividad 5 Actividad 6

Fuente: Propia

Tabla 4

Actividades diseñadas en fase concreta por categoría de estructura multiplicativa.

Estructura multiplicativa

Adición repetida Producto cartesiana

Factor multiplicante

Razón

Actividad 1 Actividad 1 Actividad 1 Actividad 1 Actividad 2 Actividad 2 Actividad 3 Actividad 4

Fuente: Propia


3.2.3 Test de finalización: fase pictórica y abstracta

Se espera que los estudiantes apliquen los procesos matemáticos desarrollados en la

fase anterior. Es en el desarrollo de este test, donde se espera concretar si se alcanzó el

objetivo de la propuesta, es decir, si los estudiantes tuvieron un cambio positivo en el

desarrollo de procesos asociados al pensamiento matemático y el desarrollo

comprensivo de los principios matemáticos subyacentes tras las fórmulas o algoritmos,

pues es a partir de las fases anteriores donde esta toma sentido, se puede entonces

empezar a establecer a partir de ella, si la propuesta tuvo un efecto positivo.

3.3 Población

La población en la que se desarrollará la investigación son estudiantes de 3º de primaria

de la I.E.T. San José, sede Cerro Azul. Esta institución es de carácter rural, con un

enfoque activista de metodología de Escuela Nueva, multigrado y unitaria. Los

estudiantes son procedentes en su generalidad de padres agricultores y madres amas de

casa, con un bajo nivel escolar y económico.

3.4 Fuentes de información

Las fuentes de información para el presente trabajo consisten en tres aspectos:

1) La producción escrita, que consiste en todo el trabajo escrito producido por los

estudiantes durante el desarrollo de la propuesta.

2) La comunicación docente y estudiante, que consiste en la interacción verbal durante

el desarrollo de la propuesta entre el docente y el estudiante.

3) La comunicación estudiante – estudiante. A partir del análisis de estas fuentes de

información se podrá establecer el progreso en el pensamiento de los estudiantes.

3.5 Cómo se analizarán los resultados

La información obtenida será representada y analizada por medio de la descripción. La

recolección de datos será mayormente de tipo verbal y escrito. Se harán las

comparaciones entre los resultados obtenidos al inicio de la intervención y después de la

aplicación de la estrategia. Con ello se busca identificar si hubo un tipo de ganancia en el

Capítulo 3 43

aprendizaje, es decir, si hubo un avance en el desarrollo de procesos asociados al

pensamiento matemático en los estudiantes del grupo. La docente como investigadora

activa en el proceso hace intervenciones y apoyo durante la aplicación de la propuesta.

Se tomarán muestras representativas de la producción escrita de cada una de las guías

aplicadas. Las muestras serán descritas de manera detallada, teniendo en cuenta los

siguientes referentes:

Enseñanza por Resolución de Problemas y el uso del método CPA.

La interpretación de las estructuras aditiva y multiplicativa por parte de los

estudiantes.

Los cinco procesos de la actividad matemática planteados por el MEN.

Es importante aclarar que en la guía diagnostica no se tendrá en cuenta el referente del

uso del método CPA, ya que esta guía solo se presenta por medio de problemas de tipo

escrito, con representación pictórica y abstracta.

Finalmente, se llegará a unas conclusiones, a partir de las cuales se define si la

propuesta de enseñanza realmente se puede considerar como un aporte a la forma de

impartir la enseñanza del concepto de la adición y la multiplicación.

4 Capítulo 4: Resultados y análisis

4.1 Experiencia adquirida en el test diagnóstico

La guía diagnóstica se aplicó permitiendo a los estudiantes el uso de sus saberes

previos. Las respuestas y estrategias que ellos aplicaron fueron libres, con la finalidad de

identificar el dominio que los estudiantes tenían con respecto a los problemas

matemáticos planteados. En la guía diagnóstica se utilizaron problemas matemáticos de

tipo pictórico y abstracto, de enunciado verbal, organizados en las diferentes estructuras

aditiva y multiplicativa.

4.1.1 Resolución de problemas

En general se observaron dificultades en los estudiantes a la hora de resolver los

problemas, algunos de estos causan más dificultad que otros, es decir, se identifica que

hay problemas de estructuras aditivas y multiplicativas que causan mayor dificultad en los

estudiantes. En la mayoría de los casos, ellos no logran interpretar la situación

problemática que se les plantea; si bien entienden que el problema se resolverá

utilizando alguna de las operaciones básicas vistas en las clases, no han tenido una

comprensión previa del fundamento de cada operación, por tal razón aplican cualquiera

de ellas (esto se percibe más en unos problemas que en otros, como se analizará más

adelante). Así, en muchos casos, sin comprensión alguna, lo que ellos hicieron fue tomar

los valores que aparecían planteados en el problema y aplicaron la operación más

vigente en su pensamiento. Algunos estudiantes no aplican algoritmos a la hora de

responder, solo seleccionan la respuesta que ellos consideran correcta, y cuando se les

pide justificar su respuesta no lo logran hacer.

Algunas actitudes observadas en los estudiantes fueron de temor y de pereza, en otros

fue de ansiedad por atinar a la respuesta correcta. Algunos estudiantes expresan: “no


entiendo el problema”. Otros simplemente acomodaron los valores en un algoritmo y

expresan la respuesta.

4.1.2 Comprensión de las estructuras aditiva y multiplicativa por parte de los estudiantes

Con respecto a las estructuras aditivas se encuentra que hay mayor dificultad en resolver

problemas con estructuras de comparación y de igualación, pues en la mayoría de los

casos no respondieron de manera correcta, utilizaron algoritmos con los que no era

posible resolver el problema, y cuando se les pregunta “porqué utilizaron dichos

algoritmos” no son capaces de justificarlo. Con respecto a las otras estructuras aditivas,

tales como cambio y combinación hubo una mejor respuesta por parte de algunos

estudiantes, sin embargo a la hora de justificar sus respuestas solo una estudiante logra

hacerlo de manera aceptable.

Caso 1

En este caso se presenta un problema aditivo de categoría de cambio. Esta categoría o

estructura se define según los soportes teóricos como “incremento o disminución de una

cantidad inicial para crear una cantidad final”.

En este caso se evidencia que el estudiante A interpreta el problema como disminución

de una cantidad inicial, siendo que este se presenta como un incremento de una cantidad

inicial para crear una final. Se puede concluir que no hubo una buena interpretación del

planteamiento. Por otro lado, a pesar de usar el algoritmo de la resta, acorde a su errada

interpretación, no hace manejo correcto del algoritmo como tal. B y D dan una respuesta

correcta, sin embargo, solo B es capaz de justificar su respuesta, D no justifica y no

completa la representación de su algoritmo, pues no pone el signo correspondiente. C no

hace ningún tipo de representación, ni algorítmica, ni de ningún tipo, parece que

responde de manera aleatoria, buscando adivinar la respuesta, y cuando se le pregunta

el “por qué” de su elección no justifica (ver Figura 1).

Capítulo 4 47

Figura 1. Problema aditivo, categoría de cambio. Guía diagnóstica.

Caso 2

En este caso se presenta un problema aditivo, de categoría de combinación. Según los

soportes teóricos de define como “relación entre una colección y dos subcolecciones

disyuntas. Lo desconocido puede referir a cualquiera de las partes o al todo”.

A, B y C responden de manera correcta, de acuerdo a su elección interpretan el

problema como la relación entre dos subcolecciones, cuya incógnita está en establecer el

todo, sin embargo, solo C hace buen uso del algoritmo utilizado. A no representa

correctamente el algoritmo, pues obvia el signo, y B, no desarrolla algoritmo, no hay

evidencia de su trabajo mental. Para el caso de D, no hay interpretación, ni buen manejo

del algoritmo, no ubica bien los valores en la sustracción que realiza (ver Figura 2).


Figura 2. Problema adictivo, categoría de combinación. Guía diagnóstica.

Caso 3

En este caso se plantea un problema aditivo de categoría de comparación. Según los

soportes teóricos se define como “comparación entre dos colecciones, utilizando el

término más que, menos que”. Tanto B, como C y D dan respuestas erradas. B y D solo

hacen elección de la respuesta, sin presentar ningún tipo de representación que de

evidencia de un trabajo mental. En el caso de B maneja el algoritmo incorrecto y lo opera

de manera incorrecta. En el caso de A, da una respuesta correcta, pero sin ningún tipo

de representación gráfica ni algorítmica que de evidencia del trabajo mental para

interpretar la situación y resolverla (ver Figura 3).

Capítulo 4 49

Figura 3. Problema aditivo, categoría de comparación. Guía diagnóstica.

Caso 4

En este caso se presenta un problema de tipo aditivo con categoría de igualación. Según

los soportes teóricos de define como “se produce alguna acción relacionada con la

comparación entre dos colecciones disyuntas”.

A, da una respuesta correcta, sin embargo, no hay evidencia de cómo resolvió la

situación. Para el caso de B y D además de dar una respuesta errada, no realizan ningún

tipo de representación para llegar a la respuesta dada. Tanto para B, C y D se evidencia

que no hay interpretación de problema con este tipo de estructura (ver Figura 4).

Figura 4.Problema aditivo, categoría de igualación. Guía diagnóstica.


Caso 5

En este caso se plantea un problema multiplicativo de categoría de razón. B, C, D

responden de manera errada, no se evidencia interpretación del problema, ni una

representación que dé cuenta de su trabajo mental para interpretar. Para el caso de A, no

se asume la multiplicación como un algoritmo que permite obtener un total cuando hay

cantidades iguales que se repiten, sino que se desarrolla la suma, sin embargo, el

algoritmo utilizado no está bien representado, pues le falta el signo (ver Figura 5).

Figura 5. Problema multiplicativo, categoría de razón. Guía didáctica.

Caso 6

En este caso se presenta un problema multiplicativo de categoría de adiciones repetidas,

en donde se puede establecer un patrón de cambio. A, no tiene en cuenta el punto o la

posición de partida que se expresa en el planteamiento del problema, B no da una

Capítulo 4 51

respuesta concreta. C y D dan una respuesta correcta, pero no hacen ningún tipo de

representación que dé cuenta de su pensamiento (ver Figura 6).

Figura 6.Problema multiplicativo, categoría de adiciones repetidas. Guía diagnóstica.

Caso 7

En este caso se presenta un problema de tipo multiplicativo, categoría de factor

multiplicante, en el que se hace una comparación entre dos cantidades y se pueden

hacer expresiones como “veces más o veces menos”.

En el caso de A, B y D, dan la misma respuesta errada, no hay interpretación de este tipo

de estructura, no hacen representaciones algorítmicas ni gráficas que den cuenta del

pensamiento asociado para la interpretación y solución del problema. En el caso de C, la

respuesta dada es correcta, pero tampoco existe ningún tipo de representación (ver

Figura 7).


Figura 7. Problema multiplicativo, categoría de factor multiplicante. Guía diagnóstica.

4.1.3 Los cinco procesos de la actividad matemática planteados por el MEN

En la guía diagnostica se observa que los estudiantes solo ejercitan un proceso de la

actividad matemática, como lo es la ejercitación de procedimientos y algoritmos, sin

embargo no en todos los casos, pues en algunos ni siquiera se evidenciaba este

proceso. En otros casos, el manejo del algoritmo utilizado era errado. A la hora de

resolver los problemas propuestos en la guía, en la mayoría de los casos, lo hacen de

manera superficial, pues no se les percibe actividad de razonamiento, no reflexionan

acerca de las respuestas dadas. No hacen ningún tipo de modelación propia que les

permita aclarar el problema que se les plantea. En algunos casos se percibe como si el

reto fuera adivinar la operación correcta, pero no hay un ejercicio mental matemático o

razonamiento que dé soporte a sus respuestas. Por ejemplo, cuando ellos plantean que

lo que se debe hacer es una suma, entonces se les pregunta el porqué, y ellos no saben

cómo justificar su elección.

4.2 Experiencia adquirida en la guía de intervención: fase concreta

El trabajo propuesto en esta fase cuenta con dos tipos de guías, una diseñada para el

docente y otra para el estudiante. En la guía del estudiante aparece el planteamiento de

los problemas, la descripción de las situaciones que se plantean en cada una de las

Capítulo 4 53

actividades y los espacios para la respuesta de los estudiantes. En la guía del docente

aparece la descripción de la situación problema, las preguntas problematizadoras,

algunas sugerencias, y los materiales concretos requeridos para la actividad.

La estrategia de aplicación de la propuesta en esta fase consta de los siguientes pasos:

1. Se crea la situación con el material concreto (en pocos casos el material concreto es

el mismo espacio del aula con los materiales allí presentes y los estudiantes).

2. La docente plantea la situación problema.

3. Los estudiantes participan y dan sus puntos de vista.

4. Cuando el estudiante tiene dudas o es necesario corregirle se le plantean preguntas y

contrapreguntas que generen conflictos o dudas.

5. Se hacen demostraciones con los mismos materiales concretos, esto implica que los

estudiantes puedan manipular y vivenciar el planteamiento de la situación y las

acciones y el mecanismo de resolverlo.

6. Se toman posturas y se concluye, hay una construcción y análisis a las respuestas de

manera colectiva e individual.

7. Se plantea a los estudiantes que deben modelar la situación y la solución que se le

dio al problema, ya sea por medio de un dibujo, de un esquema, de un pictograma o

por medio de barras.

En este sentido, las respuestas dadas por los estudiantes en esta guía no son

completamente espontáneas, ni basadas en sus conocimientos previos, pues durante su

desarrollo se pone en marcha el efecto de la enseñanza por resolución de problemas y el

uso del material concreto, en donde también se trabajan los procesos de la actividad

matemática, entonces se cuestiona al estudiante, se le intenta generar conflictos

conceptuales, se le lleva a la vivencia de las acciones matemáticas de las operaciones,

se les plantea la importancia de modelar, se les estimula a comunicar, a razonar y

reflexionar sobre las respuestas dadas. Todo esto potencia su capacidad de dar

respuesta a los problemas plantados en la guía (evidencias de ello las veremos en el

transcurso de los resultados)

El efecto del uso del método CPA

Las actividades se diseñaron de tal manera que tocaran varios escenarios del contexto

real de los estudiantes, de esas realidades cercanas para ellos en donde están inmersas


las matemáticas, y los números tienen significados reales, ya sea números como

secuencia verbal, para contar y expresar una cantidad de objetos, para medir, para

marcar una posición, como ordinal, o como código o símbolo.

Los estudiantes se mostraban motivados y dispuestos, observaban los materiales de

trabajo que ellos podían manipular, lo que les generaba una disposición positiva hacia el

trabajo que se iba a realizar. Se mostraban atentos a las indicaciones.

Los estudiantes pudieron vivenciar las acciones y el fundamento que subyace tras las

formulas, esto lo hicieron por medio de las actividades concretas y de la manipulación

directa del objeto de estudio.

Los modelos y materiales físicos y manipulativos (Figura 8) ayudan a comprender que las

matemáticas no son simplemente una memorización de reglas y algoritmos, sino que

tienen sentido, son lógicas, potencian la capacidad de pensar y son divertidas (MEN

2006).

Figura 8.Actividad 5 de guía fase concreta. Estructura aditiva. Fuente: Propia

Enseñanza por medio del método de Resolución de Problemas

El uso del método de resolución de problemas fue fundamental en el proceso, ya que

representó el desafío y el estímulo, permitía que los estudiantes se cuestionaran todo el

Capítulo 4 55

tiempo, e invitaba a la búsqueda de soluciones, era un reto para ellos poder resolver

esos planteamientos. La docente planteó preguntas todo el tiempo, que ayudaron a los

estudiantes a hacerse dichos cuestionamientos y a buscar ellos mismos la mejor ruta de

entendimiento.

La interacción con la docente fue también muy importante ya que permitió un clímax de

confianza, ante lo cual los estudiantes daban su punto de vista sin temor a ser

ridiculizados. El uso del método de resolución de problemas, invitó a los estudiantes a ser

muy participativos a involucrarse en el proceso. La actitud mental era perseverante y

permitía proponer diversas soluciones ante los problemas planteados.

La docente jugó un rol muy importante ya que durante esta fase del trabajo fue

generadora de ejemplos y contraejemplos, invitó a razonar las respuestas de los

estudiantes permitiendo la refutación, la argumentación y la posibilidad de demostración

(Figura 9).



Comprensión de las estructuras aditiva y multiplicativa por parte de los

estudiantes

Durante la aplicación de la propuesta se permitió a los estudiantes interpretar y vivenciar

la acción subyacente tras cada uno de los algoritmos trabajados, por ejemplo, las

situaciones en donde se hace evidente la aplicación de una resta, porque estamos

quitando, o estamos retrocediendo, o estamos comparando dos cantidades. O cuando lo

que se observa es una situación multiplicativa, pues hay repetición de cantidades iguales,

o se deben hacer combinaciones, o saltos teniendo en cuenta un patrón multiplicativo

(múltiplos). Durante todo el tiempo se resaltó la acción ligada al algoritmo utilizado,

también, en la estimación de los resultados, por ejemplo, ¿si aplicamos una resta entre

estas dos cantidades el resultado será menor o mayor?, estas preguntas, aunque

parezcan absurdas, resultan ser una inicial separación de respuestas aleatorias, cómo

los estudiantes responden inicialmente, pues ellos aprenden a estimar y a reflexionar

sobre sus resultados o respuestas.

De esta manera, la mayoría de estudiantes fue apropiando el fundamento de los

algoritmos de la suma, la resta y la multiplicación. El “por qué y para qué se usan”. Frente

a diferentes situaciones problema que resultaron familiares a su contexto. En la medida

en que se iba avanzando en las actividades, las respuestas que se escuchaban por parte

de los estudiantes eran más satisfactorias, pues se acercaban al objetivo de la propuesta

del presente trabajo.

Estructura aditiva: categoría de cambio.

En esta categoría se diseñaron 5 actividades, en ellas se pretendía que los estudiantes

interpretaran primeramente la suma como un algoritmo que permite obtener un total,

luego de que a una cantidad inicial se le añade otra. Nesher define esta estructura como:

“incremento o disminución de una cantidad inicial para crear una cantidad final”(citado en

Bonilla et al. 1999, p. 60). Durante esta actividad los estudiantes pueden vivenciar las

acciones que fundamentan dicha operación y en esta medida la aplicación de la

operación se hace con sentido.

Por otro lado, en esta misma categoría hay un segundo problema que se les plantea

donde la acción ya no es añadir sino quitar, a la cantidad inicial, se le quita una parte; en

este sentido se hizo énfasis en que los estudiantes pudieran vivenciar la acción

Capítulo 4 57

subyacente en un nuevo algoritmo como es el de la resta, la que permite dar cuenta de la

cantidad final. Cuando se les preguntó a los estudiantes datos tan sencillos de estimación

como por ejemplo, ¿la cantidad que quedará luego de restar será mayor o menor que la

que se tenía inicialmente? Se nota que los estudiantes estimulan su pensamiento, y dan

cuenta de su respuesta de una manera justificada.

Así mismo, cuando se les preguntó a los estudiantes, el significado de cada uno de los

números involucrados en la operación, ellos pueden dar cuenta de esto (Figura 10).

Figura 10. Actividad 1 de guía fase concreta. Estructura aditiva. Fuente: Propia

En la actividad 2, se plantea un problema donde se hace observable para los estudiantes

que si tengo una cantidad total, pero esa cantidad se compone de dos aportes, yo puedo

visualizar uno de los aportes quitando el aporte del otro y por tanto, la acción es quitar y

se traduce en el algoritmo de la resta.

Durante la actividad 4, hubo un estudiante que se le dificultaba entender qué operación

hacer para obtener los puntos ganados en total, por tal razón, se le hizo una

ejemplificación con semillas como si fueran puntos, de tal forma que él pudiera observar

las acciones de acumular (añadir) y perder (quitar) puntos. De esta manera logró

entender y resolver el problema allí propuesto (ver Figura 11).



Durante la actividad 5 los estudiantes manejaron un buen ritmo, se observó que

interpretaron bien el problema, pues todos lograron resolverlo de manera adecuada. Los

estudiantes se fueron apropiando del efecto de cada operación, y por medio de la

demostración concreta reconocieron su significado.

Estructura aditiva: categoría de combinación.

En esta categoría se diseñaron 6 actividades, en las que se pretendía que los

estudiantes llevaran a su contexto escolar el fundamento de la acción que subyace en las

operaciones cuando se conoce una cantidad total, y necesitan saber la composición de

esa cantidad total en dos cantidades que la constituyen. Se hace visible, por ejemplo, en

la actividad 1 que cuando se tiene el total de los estudiantes y se salen las niñas, se

quedan los hombres, al retirarse las niñas de la cantidad total de estudiantes, se

evidencia que la acción es quitar, y los estudiantes determinan fácilmente qué operación

se desarrolla automáticamente y qué significa lo que resulta, es decir, si se salen las

niñas quedan los niños, si le resto los niños al total quedan las niñas que componen el

grupo. Todos los estudiantes lo desarrollaron sin ninguna dificultad.

Con la actividad 2 se pretendía que los estudiantes pudiesen observar por medio del

trabajo con longitudes, cuándo es necesario utilizar el algoritmo de la suma, si lo que

necesito o debo hacer es añadir, y cuando el algoritmo de la resta cuando lo que debo

Capítulo 4 59

hacer es quitar o cortar una parte de esa longitud. Es importante esta actividad, porque

permite que los estudiantes relacionen el pensamiento numérico con el métrico (Figura

12).


En la medida en que los estudiantes resuelven los problemas y se involucran se va

creando un ambiente de confianza, la comunicación resulta muy importante y ellos

adquieren propiedad en sus opiniones (ver Figura 13 y 14).



Figura 14.Actividad 5 de guía fase concreta. Estructura aditiva Fuente: Propia

En la actividad 3 de esta categoría, se involucra el tiempo como una condición, es decir,

se reúnen dos cantidades, pero una de ellas se obtiene en un tiempo diferente a la otra.

Luego el planteamiento de las situaciones problema estimula el pensamiento del

estudiante en la medida en que él debe determinar esa cantidad que se le entregó

inicialmente de la cual se tiene el dato, pero si cuenta con otros datos como es el total de

objetos reunidos y la cantidad de objetos que se obtuvo recientemente. Se observó en el

aula que el tipo de planteamientos en los que el estudiante debe establecer una de las

partes del todo, les cuesta dificultad; con esta actividad se pretende que sea observable

la acción que se realiza para poder obtener ese resultado y la operación propicia para

determinarlo.

Estructura aditiva: categoría de comparación.

Para esta categoría se diseñaron 5 actividades, con ellas se pretendía que el estudiante

pueda vivenciar y hacer observable las acciones implícitas en la resolución de problemas

en donde se comparan dos cantidades y se tiene que determinar la diferencia de dichas

cantidades. Según Nesher define esta estructura de la siguiente manera: “comparación

entre dos colecciones, la relación se establece utilizando términos como ‘mas qué’,

‘menos que’”(citado en Bonilla et al. 1999, p. 60). Entonces en la primera actividad se

hace observable (ya que se plantea en diferentes colores), que para determinar la

diferencia, es la resta el algoritmo adecuado para resolverlo, en este sentido se pretende

Capítulo 4 61

que el estudiante se siga apropiando de la acción subyacente tras la fórmula matemática

y pueda dar cuenta de ello. Esto se refuerza con las actividades que le siguen en esta

categoría (figura 15).


Estructura aditiva: categoría de igualación.

Para esta categoría se diseñaron 4 actividades, en las que se pretendía que el estudiante

pueda vivenciar las acciones subyacentes tras los algoritmos en el momento en el que se

le hace necesario quitar cantidades o añadir para igualar a una cantidad establecida, lo

que se refleja en el algoritmo adecuado como una simbología matemática para resolver

los planteamientos problemas planteados.

En la actividad 2 se involucra un juego donde los estudiantes obtienen y pierden

puntajes. Los estudiantes establecieron los cálculos, y luego se hicieron las

comparaciones entre los puntajes obtenidos por unos y otros estudiantes. En estas

actividades finales se va observando como el estudiante se ha ido apropiando del uso de

las diferentes operaciones ya sea aditiva o multiplicativa, dando un sentido al desarrollo

matemático que realiza.

En la actividad 4, el objetivo era que el estudiante pudiera vivenciar u observar las

acciones por medio de las cuales se pueden resolver problemas en los que además de

pertenecer a estructura aditiva, categoría de igualación se involucra otro factor como es

el tiempo,es decir, que el estudiante observe qué implicación matemática tiene el


establecer el tiempo trascurrido desde una fecha a otra, o desde un momento a otro, y

relacione esto con el fundamento de la operación adecuada.

Estructura multiplicativa: categoría de adición repetida

Para esta categoría se diseñaron 4 actividades. En la primera actividad se estableció la

representación concreta de que cuando tengo una cantidad que se repite varías veces,

puedo establecer dos caminos de solución para hallar el total, el primer camino es hacer

sumas repetidas, la otra es aplicar una multiplicación. En medio del trabajo y discusión se

llega a la conclusión de que el camino más práctico para hallar un total es hacer una

multiplicación. La actividad se desarrolló varias veces, con diferentes materiales y

cantidades.

En la segunda actividad se planteó el juego de la tienda de modas, los estudiantes

debían hacer los inventarios y determinar el dinero que se recogía al vender toda la

mercancía, luego debían establecer como compradores cuánto sería el costo de comprar

determinada cantidad de artículos. Los estudiantes se muestran motivados, y

concentrados en los cuestionamientos de la docente para establecer la respuesta a cada

uno de los planteamientos propuestos en la guía. Los estudiantes interpretan el

fundamento de la multiplicación en este tipo de estructura, en este caso ya no con

cantidades discretas sino con dinero. En la actividad 3 y 4 ya se propuso el mismo

fundamento de la estructura multiplicativa que se estaba trabajando, pero esta vez con

longitudes (Figura 16).


Capítulo 4 63

Estructura multiplicativa: categoría de producto cartesiano

Para esta categoría se propuso solo una actividad con puntos, en donde se llevó a los

estudiantes a considerar que cuando se tienen cantidades que implican dos dimensiones

y se necesita establecer la cantidad total existen dos formas de hacerlo, una es contar la

totalidad de elementos y la otra es acudir a la multiplicación por dimensiones. La

actividad de desarrollo con puntos en foamy, y en el desarrollo de la misma se generaban

las demostraciones y se estimulaba el pensamiento por medio de las situaciones

problema que se planteaban.

Estructura multiplicativa: categoría de factor multiplicante

Para esta categoría se propuso dos actividades. En la actividad 1 (Figura 17) se planteó

el ejercicio de las consignaciones en un banco, consignaciones seguidas del mismo

valor. Los estudiantes, además de establecer el patrón de cambio, también debían

comparar cuántas veces más o cuántas veces menos tenía un estudiante con respecto al

otro de acuerdo a las consignaciones hechas. Para este tipo de actividad fue muy

importante la representación propia, es decir, la modelación que ellos hacían para no

perderse en el ejercicio.En este sentido, más allá de la aplicación del algoritmo, fue muy

importante la modelación.

Figura 17. Actividad 1 de guía fase concreta. Estructura multiplicativa. Fuente: Propia

Estructura multiplicativa: categoría de razón

Para esta categoría se desarrolló una actividad referente a saltos, a razón de una

cantidad. Los estudiantes disfrutaron de la actividad, les resultó lúdica. Respondieron a


cada una de las preguntas problema, y comunicaron sus ideas utilizando lenguaje

matemático.


En esta guía se pidió a los estudiantes que expresaran por medio de un gráfico o dibujo

la interpretación que hacían del problema, al principio se nota dificultad, los estudiantes

constantemente preguntaron cómo hacerlo, pero posteriormente lograron volverse

autónomos en esa tarea, lo que hace una gran contribución a la comprensión que estos

hacen del planteamiento del problema.

El hecho de que los estudiantes deban hacer modelación, exige en alguna medida que

deban razonar y en la medida en que se les pide que expliquen lo que han dibujado

entonces están ejercitando la comunicación. La modelación permite decidir qué variables

o relaciones son importantes, también permite hacer predicciones, utilizar procedimientos

numéricos de manera consciente (MEN 2006).

Se les invitó a los estudiantes, en cada una de las actividades a que expresaran su

proceso de solución ante las situaciones expuestas. Ellos daban sus argumentos. En la

mayoría de los casos se logró que sus justificaciones fueran coherentes y acordes a lo

que se esperaba. La comunicación entre ellos también fue muy positiva, ya que en

ciertos casos algunos estudiantes explicaban a otros algunos puntos que se les

dificultaba comprender. También comparaban sus respuestas y de ahí sus argumentos a

la hora de sustentarlas. El trabajo colectivo fue fundamental en esta fase del trabajo.

El manejo de algoritmos que los estudiantes hicieron en cada una de las situaciones

problema que se plantearon estuvo estrechamente relacionado con los otros cuatro

procesos de la actividad matemática que estos desarrollaron, de esta manera se puede

percibir cómo cobra sentido en el pensamiento de los estudiantes.

4.3 Experiencia adquirida en test de finalización: fase pictórica

El efecto del uso del método CPA.

La aplicación del método CPA resultó ser de gran importancia, pues a partir de ello, como

lo evidencian los estudiantes, se logró desarrollar elementos asociados al pensamiento

Capítulo 4 65

matemático, con lo que pudieron resolver los problemas planteados en esta guía, y

hacerlo de tal manera que pudieran justificar sus respuestas explicando el proceso y el

algoritmo elegido para hacerlo.

Resolución de Problemas.

Todos los ejercicios planteados en esta guía fueron a base de resolución de problemas,

lo que les resultó familiar a los estudiantes, pues en la guía fase concreta se trabajó todo

el tiempo bajo este enfoque. En algunos casos fue necesario releer el planteamiento,

pero se logró observar que habían desarrollado algunos elementos en su pensamiento

que les permitían hacer frente a la solución de cada uno de esos problemas, ya no se

notaba ese desánimo de no saber cómo resolverlo como se observó en algunos

momentos al inicio en la guía diagnostica.

Comprensión de las estructuras aditiva y multiplicativa por parte de los

estudiantes.

Para el desarrollo de esta guía se permitió que los estudiantes la aplicaran de manera

individual y sin intervención de la docente, pues es en esta guía de finalización donde los

estudiantes debían aplicar lo desarrollado en la fase anterior, es decir, debían poner en

juego el desarrollo de habilidades y de elementos asociados al pensamiento matemático

para poder interpretar dichas situaciones problema y resolverlas.

Se observó un avance positivo en el pensamiento de los estudiantes, pues la mayoría

logró distinguir las estructuras aditiva y multiplicativa en el planteamiento de las

situaciones problema. En gran parte de las situaciones planteadas, los estudiantes

hicieron sus esquemas propios de modelación para comprender mejor aquellos

problemas que encontraban un poco más complejos. Se observó que los estudiantes

hacían el esfuerzo por comprender, teniendo una actitud competitiva. También se les

observó pensantes mientras resolvían los problemas. A continuación se hace un análisis

por cada una de las estructuras en esta guía.

Caso 1

En este caso se presentó un problema aditivo, con categoría de cambio. Todos los

estudiantes A B y C, hacen la correcta interpretación del problema, y aplican el algoritmo

adecuado. Cuando se les pide que den cuenta del “porqué” de su elección, ellos


responden con argumentos, refiriéndose a las actividades trabajadas durante la guía

concreta, específicamente a aquellas actividades donde se trabajó esta tipo de

estructura. Refieren palabras como: “profe, así como lo trabajamos en la actividad…

tengo una cantidad y le agrego otra, entonces la operación adecuada es una suma” (ver

Figura 18).

Figura 18.Problema aditivo: categoría de cambio. Guía fase pictórica de finalización.

Caso 2

En este caso se presenta un problema de tipo aditivo con categoría de combinación.

Como se puede observar aquí en A, B y C, en todos los casos de estudiantes

intervenidos hacen la interpretación del problema. Se apoyan en las imágenes para tratar

de modelar la situación planteada, al separar las dos partes del todo. Reconocen que la

operación más adecuada para resolver la situación planteada es hacer una resta, es

decir, que identifican la acción subyacente a dicho algoritmo (ver Figura 19).

Figura 19.Problema aditivo, categoría de combinación. Guía fase pictórica de finalización.

A B C

A B C

Capítulo 4 67

Caso 3

En este caso se planteó un problema multiplicativo con categoría de adición repetida. Los

estudiantes hicieron modelos muy similares para representar, interpretar y comprender

mejor el problema, como se muestra en A, B y C. En este caso no desarrollaron un

algoritmo (ver Figura 20).

Figura 20. Problema multiplicativo, categoría adición repetida. Guía fase pictórica de finalización.

Caso 4

En este caso se presentó un problema multiplicativo con categoría de factor multiplicante.

Los estudiantes interpretan bien la situación problema, sin embrago no desarrollan

ningún tipo de algoritmo, como se evidencia en A, B y C para lo que ellos argumentan

que no es necesario: “profe, con las imágenes en las respuestas podemos saber cuál es,

la suma de tres veces esa moneda se hace mental” (ver Figura 21).

A B C


Figura 21. Problema multiplicativo, categoría factor multiplicante. Guía de finalización, fase pictórica.

Caso 5

En este caso se presentó un problema multiplicativo con categoría de razón. En este

planteamiento, la mayoría de los estudiantes hizo la representación por medio de dibujos

como se muestra en A, B y C. Desarrollaron el algoritmo adecuado para resolver este

tipo de problemas. Reconocieron que, a razón de que cambia una cantidad, cambia la

otra cantidad con la que se encuentra relacionada, en este caso la cantidad de carros

con respecto a la cantidad de llantas (ver Figura 22).

Figura 22. Problema multiplicativo, categoria de razon. Guía de finalizacion fase pictorica Los cinco procesos de la actividad matemática planteados por el MEN

A B C

A B C

Capítulo 4 69

Los estudiantes hacen modelaciones en el papel cuando lo consideran necesario para la

interpretación de la situación problema planteada, en la mayoría de los casos cuando el

problema les resulta un poco confuso.

En el momento de socializar, es decir, de discutir acerca de los procesos desarrollados

para resolver el problema y los algoritmos trabajados, los estudiantes mostraron un

interés de participar, y comunicar sus mecanismos de solución, lo hicieron de manera

argumentativa. Hubo fluidez en su comunicación, lo que resulta ser positivo en otros

aspectos de su aprendizaje, hicieron buen manejo del lenguaje matemático para

expresar sus ideas.

Todos los estudiantes aplicaron el algoritmo adecuado para la resolución de la mayoría

de los problemas, y lo hicieron de tal forma que podían dar cuenta de su elección.

4.4 Experiencia adquirida en test de finalización: fase abstracta

El efecto del uso del método CPA y de la enseñanza por medio del método de

Resolución de Problemas.

A partir del trabajo hecho por los estudiantes en esta guía se puede observar que el

método de resolución de problemas y la aplicación del método CPA logró estimular el

desarrollo de su pensamiento matemático, pues la mayoría de los estudiantes logró

resolver con éxito los problemas planteados, encontrando en su pensamiento elementos

que le permiten comprender y dar cuenta de una solución para dichos problemas. Algo

muy importante que fue posible a partir de la aplicación del proyecto, es la comunicación

que se logró en los estudiantes pues ellos, lograron justificar los procedimientos

desarrollados para la solución de los problemas con una propiedad auténtica.

Compresión de las estructuras aditiva y multiplicativa por parte de los estudiantes.

Para el desarrollo de esta guía se deja que los estudiantes la apliquen de manera

individual y la única intervención de la docente, es para preguntarle acerca de las

estrategias utilizadas para la resolución de las situaciones problema, es decir para que

ellos justifiquen el “porqué” eligieron determinado algoritmo. En esta guía es donde los


estudiantes aplicaron lo desarrollado en las fases anteriores, las habilidades y los

procesos asociados al pensamiento matemático.

Se observó un avance positivo en el pensamiento de los estudiantes, pues la mayoría

logró distinguir las estructuras aditiva y multiplicativa en el planteamiento de las

situaciones problema. Aun cuando, por ejemplo, en la guía de finalización fase abstracta,

el planteamiento de los problemas no cuentan con ilustraciones que les ayude a

interpretar. Se observó que los estudiantes hicieron el esfuerzo por comprender, tuvieron

una actitud competitiva. Ellos se mostraban pensativos e interesados mientras resolvían

los problemas.

A continuación se analizan algunos casos:

Caso 1

En este caso se plantean tres situaciones problema de tipo aditivo con categoría de

cambio. Tanto en el primer problema como en el segundo el cambio se da como

disminución de la cantidad inicial. En el tercer problema, el cambio se hace como

incremento de una cantidad inicial para dar una final. En los tres casos, todos los

estudiantes logran interpretar el problema. Algunos hacen modelación con dibujos y otros

estudiantes optan por solo desarrollar el algoritmo. La operación que desarrollaron en

todos los casos fue la adecuada, como se observa en A, B y C (ver Figura 23).

Figura 23. Problemas aditivos, categoría de cambio. Guía de finalización fase abstracta.

A B

C

Capítulo 4 71

Caso 2

En este caso se presentaron dos problemas aditivos con categoría de combinación. En el

problema número 4, todos los estudiantes intervenidos logran interpretarlo como un

problema en donde existen dos cantidades que componen un todo y que la incógnita está

en determinar el todo. El algoritmo que desarrollan para solucionarlo es el adecuado.

Solo un estudiante, el A, hace un modelo, pero que no muestra mucha información a

tener en cuenta. En los otros dos casos los estudiantes solo desarrollan el algoritmo que

les permite llegar a la respuesta (ver Figura 24). Cuando se les pidió a los estudiantes

que justificaran sus respuestas, lograron dar cuenta de ellas, algunos aludiendo a las

actividades desarrolladas en la fase concreta. Para la situación problema 5, el estudiante

A no desarrolló algoritmo, y su respuesta fue errada, en los estudiantes B y C,

desarrollaron el algoritmo adecuado y su respuesta es correcta, sin embargo no hacen

uso de otro tipo de modelación. En el planteamiento de la situación problema numero 6,

todos los estudiantes lograron interpretar el problema de manera correcta, desarrollaron

el algoritmo adecuado y su respuesta fue acertada, sin embargo no hacen modelación.

Figura 24. Problema aditivo, categoría de combinación. Guía de finalización fase abstracta.

A B C


Caso 3

En este caso se presentó un problema aditivo, con categoría de comparación. Esta

categoría exige determinar una cantidad con respecto a la otra, teniendo como dato

disponible la diferencia que hay entre las dos cantidades mencionadas. Para ello es

necesario agregarle a una de las cantidades esa diferencia para establecer la otra

cantidad. Efectivamente los estudiantes hacen uso del algoritmo adecuado, hacen la

interpretación del problema. Cuando se les pide justificar verbalmente sus respuestas,

ellos lo hacen con argumento matemático (ver Figura 25).

Figura 25.Problema aditivo, categoría de comparación. Guía fase abstracta de finalización.

Caso 4

Aquí se presenta un problema de tipo aditivo con categoría de igualación. Los

estudiantes interpretaron la situación problema de manera correcta como lo muestran A,

B y C. Utilizaron el algoritmo adecuado para resolverla. En este caso no hay opciones de

respuesta como en los otros casos. Los estudiantes pueden dar cuenta de sus

respuestas por medio de la comunicación verbal, es decir, son capaces de justificar su

A

B

C

Capítulo 4 73

estrategia de resolución. No consideran necesaria la modelación en este caso (ver Figura

26).

Figura 26. Problema aditivo, categoría de igualación. Guía fase pictórica de finalización.

Caso 5

En este caso se presentó un problema multiplicativo, categoría de adición repetida.

Todos los estudiantes lograron interpretar el problema. Hicieron modelaciones que les

permitió comprender mejor el planteamiento de la situación, y dieron una respuesta

acertada. Sin embargo no desarrollan un algoritmo. Ellos plantean que los dibujos que

hicieron les permite saber la respuesta sin necesidad de hacer uso del algoritmo, sin

embargo ellos exponen que: “los dibujos pueden ser como para mostrar que la cantidad

de caramelos tendrían que ser múltiplos de 5”, al referirse a ello, se puede considerar

que desarrollan multiplicación en su pensamiento, aunque no la plasmen en el papel (ver

Figura 27).

Figura 27. Problema multiplicativo, categoría adiciones repetidas. Guía de finalización fase abstracta.

A B C

A

B

C


Caso 6

En este caso se plantó un problema multiplicativo, categoría de factor multiplicante. Los

estudiantes lograron interpretar la situación problema de manera correcta y desarrollan el

algoritmo adecuado para resolverlo. Los estudiantes fueron capaces de justificar de

manera verbal, las estrategias que utilizaron. En este caso no hacen modelación (ver

Figura 28).

Figura 28. Problema multiplicativo, categoría de factor multiplicante. Guía de finalización fase abstracta.

Caso 7

En este caso se planteó un problema multiplicativo con categoría de razón de cambio.

Todos los estudiantes logran interpretar la situación, hacen uso del algoritmo adecuado

para resolver dicha situación. En este caso hacen la modelación por medio de dibujos.

Cuando se les pide que justifiquen su respuesta de manera verbal, ellos aluden a las

actividades desarrolladas en la fase concreta (ver Figura 29).

Figura 29. Problema multiplicativo, categoría de razón. Guía de finalización fase abstracta.

Capítulo 4 75


Los estudiantes hicieron modelaciones de una gran parte de los problemas planteados

en esta fase de la guía 3. En el momento de socializar, es decir, de discutir acerca de los

procesos desarrollados para resolver el problema y los algoritmos trabajados, los

estudiantes mostraron un interés de participar, y comunicar sus mecanismos de solución,

lo hicieron de manera argumentativa. Hubo fluidez en su comunicación.

Todos los estudiantes aplicaron el algoritmo adecuado para la resolución de los

problemas, y lo hicieron de tal forma que podían dar cuenta justificada de su elección.

5 Capítulo 5: Conclusiones

La experiencia adquirida a lo largo del proceso de intervención, da pie para sacar las

siguientes conclusiones:

Se pudo contribuir al desarrollo de procesos asociados al pensamiento numérico

en el contexto de la adición y la multiplicación, particularmente en lo que atañe al

uso de sus diversas estructuras que jugaron un factor importante en el abordaje y

solución de los problemas planteados

El método CPA, especialmente su fase concreta, fue determinante a la hora de

resolver los problemas planteados y dar respuesta a las preguntas suscitadas en

los test y la guía. La manipulación con objetos concretos, genera ciertas

habilidades en los estudiantes para determinar las estructuras implícitas en los

problemas y diversas estrategias para dar solución a un mismo problema,

además, la capacidad de argumentar y comunicar sus ideas, mejora.

La técnica CPA y el enfoque de resolución de problemas incitan de manera

espontánea el desarrollo de los procesos inherentes en toda actividad matemática

(razonar, modelar, ejercitar, comunicar ideas y resolver problemas).

Las clases de matemáticas deben ser planeadas del tal manera que el primer

acercamiento que ellos tengan con el objeto de estudio sea de forma concreta y

vivencial, en donde los estudiantes puedan manipular y observar las diferentes

situaciones problemas y las acciones por medio de las cuales las resuelve, de

manera que las operaciones, los algoritmos y esa simbología matemática, surja

como una necesidad de utilidad, como una forma práctica de cómo resolver un

problema, pero que antes de ello, hay una acción que se identifica como forma de


solución. Ya posteriormente se puede presentar la matemática de forma pictórica

y abstracta, pues los estudiantes han creado elementos y procesos en su

pensamiento que les permite interpretar y dar cuenta de las situaciones y

conceptos en esta forma de presentación.

Presentar la matemática en un primer acercamiento de forma pictórica y

abstracta, puede generar dificultad para el estudiante, pues en su pensamiento

difícilmente hay elementos que le permitan interpretar y dar cuenta de lo que se le

plantea, como lo muestran los resultados en la guía diagnóstica. Este error es

comúnmente cometido por muchos docentes al planear sus clases solo a base

del contenido de un libro de texto, en donde la matemática por lo regular es

presentada de manera pictórica y abstracta, consiguiendo que los estudiantes

encuentren apatía en el área de las matemáticas.

Con el desarrollo de esta propuesta se logró que los estudiantes disfrutaran de su

aprendizaje, eso era evidente en su disposición, en su participación y su atención

a cada una de las indicaciones.

En la guía de finalización fase pictórica y abstracta se evidencia una mejora en los

resultados respecto a la guía diagnóstica. Este tipo de enseñanza estimula el

pensamiento matemático, hace que los estudiantes no den respuestas vacías o al

azar, sino que estimula al pensamiento relacional para que el estudiante pueda

dar una respuesta con argumentos adecuados. Así se estimula y desarrolla un

aprendizaje duradero, pues el enfoque no es el manejo del algoritmo sino el

reconocimiento de las acciones que resuelven un problema.

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ANEXOS

A. Anexo A: Guía diagnóstica: Adición y multiplicación fase pictórica y abstracta

(Estructura aditiva: categoría cambio) 1. María tiene 12 marcadores de colores para pintar un afiche. Su amiga Marcela le ha

prestado 9 marcadores más. ¿De cuántos marcadores de colores dispone María para

pintar su afiche? (fuente propia).

A. 12

B. 3

C. 21

D. 9

(Estructura aditiva: categoría combinación) 2. Gina y Pedro tienen varias fichas del mismo juego.

Gina tiene 23 fichas y Pedro tiene 35 ¿Cuántas fichas tienen en total si quieren construir una

figura con todas ellas? (Cartilla Prueba Saber (CPS) 2016 pág. 6)

A. 12

B. 35

C. 48

D. 58

(Estructura aditiva: categoría combinación)

3. Federico tiene estas monedas. (CPS 2013 pág. 3)


¿Cuál grupo de monedas representa la misma cantidad de dinero?

(Estructura aditiva: categoría comparación) 4. Pedro tiene 16 canicas. Camilo tiene 5 canicas más que Pedro ¿Cuántas canicas tiene

Camilo? (fuente propia).

A. 5

B. 16

C. 21

D. 10

(Estructura aditiva: categoría igualación) 5. Sandra tiene 12 lápices, si ella pierde 3 lápices tendrá tantos como Andrés ¿Cuántos

lápices tiene Andrés? (fuente propia).

A. 9

B. 3

C. 15

D. 12

(Estructura multiplicativa: categoría de razón) 6. En una embotelladora se empacan los jugos en canastas, como se muestra en la figura.

(CPS 2013 pág. 3 )

¿Cuántas botellas contienen 3 canastas?

A. 8

B. 24

C. 27

D. 72

(Estructura multiplicativa: categoría sumas reiteradas)

7. Observa.

Anexo A. Guía diagnóstica: Adición y multiplicación fase pictorica y abstracta 85

8. ¿Cuáles números borró el profesor? (CPS 2013 pág. 10 )

A. 1, 2, 3

B. 2, 4, 6

C. 1, 3, 5

D. 2, 2, 2

(Estructura multiplicativa: categoría factor multiplicante) 9. Pablo tiene dos bombones que le dio su abuela. Si a Mario le dieron tres veces más

bombones que a Pablo ¿Cuántos bombones le dieron a Mario?(fuente propia)

A. 5 bombones

B. 6 bombones

C. 4 bombones

D. 2 bombones

(Estructura multiplicativa: categoría de sumas reiteradas) 10. A cada una de las niñas asistentes a una fiesta les dieron 3 tipos de moñas (de diferentes

colores). Si a la fiesta fueron 6 niñas ¿Cuántas moñas dieron en total? (fuente propia).

A. 9 moñas

B. 6 moñas

C. 18 moñas

D. 3 moñas

B. Anexo B: Guía didáctica del docente para la enseñanza de la adición y la multiplicación, orientada desde el uso del método CPA y la resolución de problemas fase concreta

LA ADICIÓN: ESTRUCTURA DICTIVA

CATEGORIA DE CAMBIO: situaciones en que una cantidad sufre incrementos o decrementos.

ACTIVIDAD 1

Materiales requeridos: cajitas de papel, semillas de diferentes colores, colores y monedas

didácticas, sapo elaborado artesanalmente con cartón, fichas de pasta, artículos diseñados en

foamy (pantalones, camisas, vestidos, zapatos, gorros, etc.), billetes didácticos.

Instrucción: El docente pide a los estudiantes que introduzcan una cantidad de semillas

establecida (se puede empezar con cantidades pequeñas y luego aumentar las cantidades).

Posteriormente el docente pasa entregándole a cada estudiante otra cantidad determinada de

semillas que deberán contar y luego introducir en la caja.

Planteamiento del problema 1

¿Qué cantidad de semillas tienes inicialmente? ________

Introduce otra cantidad adicional (la que te entregó la docente) ¿Cuánto adicionaste?_____

¿Qué pasa con la cantidad de semillas resultante? ¿Disminuye o aumenta? ________

Continúa: Para ello hay dos posibilidades, una es contar nuevamente, pero es dispendioso ¿Qué

otra estrategia puedo desarrollar para que no me toque contar todo desde el comienzo?

Si ya sé cuanto tenía inicialmente y sé cuanto agregué, ¿qué puedo hacer con estas dos

cantidades para obtener el total? ¿Qué operación o algoritmo puedo aplicar? (Representa por

medio de un grafico).

Instrucción: El docente debe llevar al estudiante a la comprensión de que es la suma el algoritmo

que permite unir o juntar dos cantidades y obtener un total.

Planteamiento de problema 2

Ahora, si a esa cantidad obtenida, le saco una cantidad determinada de semillas ¿cómo hago

para saber cuántas semillas me quedan sin necesidad de contar nuevamente desde el comienzo?

(Representa por medio de un grafico).

¿Qué datos son importantes saber para poder desarrollar el problema?

______________________________________________________________________________

____________

¿Qué operación o algoritmo debo desarrollar? ___________________________________


Instrucción: El docente debe llevar al estudiante a la comprensión de que es la resta el algoritmo

que permite quitar una cantidad de otra y obtener un valor resultante. Puede hacerlo inicialmente

a partir del conteo regresivo, es decir, cuando la cantidad inicial decrece la cantidad que se ha

sustraído. Pero es necesario llevar al estudiante a pensar que buscando ser más práctico puedo

llevarlo a un manejo numérico simbólico, a partir del manejo algorítmico.

ACTIVIDAD 2

Instrucción: Todos los estudiantes disponen de colores, entonces, se les pide que cuenten la

cantidad de colores de que disponen, luego busquen a un compañerito y cuenten ahora cuantos

colores reunieron entre los dos.


Tú dispones de cierta cantidad de colores, cuéntalos. Ahora reúnete con un compañero,

¿Cuántos colores tiene él (ella)? ____

Junta tus colores con los de él (ella). Al adicionar la cantidad tuya con la de tu compañero (a),

y vuelves a contar el total, ¿tendrás más o menos colores? _________.

¿Qué operación debo hacer para saber cuántos colores tengo ahora en total? (Representa por


Ahora, cambia la cantidad de colores de tu pareja y el tuyo con los de otra pareja. Cuéntalos

¿Cuántos tienen? _______

Ahora pregúntale solo a uno de ellos ¿Cuántos aportó? _______

¿Cómo hago para saber cuántos aportó el otro compañero? (Representa por medio de un

grafico).

ACTIVIDAD 3

Instrucción: Esta actividad también se puede trabajar con monedas didácticas en donde cada

estudiante dispone de cierta cantidad de monedas, con valores diferentes. Esto puede ser por

parejas o por filas.


Cuenta las monedas que te entregó tu profesora para saber cuánto dinero tienes y escríbelo:

______

Ahora reúnete con dos compañeros más, ¿Cuánto dinero tiene cada uno de ellos?

Compañero 1:______

Compañero 2: _______

Junta tus monedas con los de ellos. Al adicionar la cantidad de monedas tuya con la de tus

compañeros, y contarlas en total ¿podrás contar más o menos dinero?

¿Qué operación debo hacer para saber cuánto dinero reunieron entre los tres? (Representa por


Anexo B. Guía didáctica del docente. Uso del método CPA 89

ACTIVIDAD 4: JUEGO DE SAPO

Instrucción: Se les induce a los estudiantes a plantear entre ellos mismos las estrategias para el

conteo de puntos. Se les recuerda que hay unos huecos o espacios donde ganan puntos y otros

donde pierden puntos. Las puntuaciones son diferentes de acuerdo al hueco o el espacio.


Como puedes ver en el sapo hay unos huecos que te hacen ganar puntos, y otros que te hacen

perderlos.

Si tú o uno de tus compañeros obtiene un puntaje, y luego gana otros puntos más ¿Cómo

podemos saber la cantidad total de puntos acumulados? ¿Qué operación o algoritmo podemos

utilizar para resolverlo? (Representa por medio de un grafico).

Si tu o uno de tus compañeros pierde puntos ¿cómo podemos saber con cuantos puntos ha

quedado? ¿Qué algoritmo podemos utilizar para resolverlo?

Instrucción: se procede a jugar y en algunos momentos se hace un “pare” para que los

estudiantes hagan cuentas y utilicen los algoritmos correspondientes, o se puede hacer también al

final del juego.

Empecemos a jugar, anota en la siguiente tabla los puntajes perdidos y ganados.

Ahora deberás hacer cuentas. Deberás establecer qué operación desarrollar para resolver.

¿Cuántos puntos lograste obtuviste en las ganancias? ____________ ¿cuántos perdiste?

______________ ¿cuántos tienes en total? _________

ACTIVIDAD 5:

MODELACION DE LA TIENDA

Instrucción: los compradores identifican lo que van a adquirir. Para hacer las compras deben

registrarlo en el cuadro que aparece en la guía del estudiante. Deben identificar también la acción

que van a realizar y la operación adecuada para resolver la situación. Se le dará a cada

comprador un total de cien mil pesos en billetes didácticos así: 1 billete de cincuenta mil, dos de

veinte mil y uno de diez mil.


Sugerencia: para agilizar la actividad, las compras no podrán ser superiores a 6 artículos. Y los

artículos no deben tener precios altos, es decir, que la suma de todos no excedan los cien mil

pesos, esto para alcanzar el objetivo de la actividad.


Vamos a jugar a la tienda. Registra en la siguiente tabla los productos que adquieres en cada

tienda, el dinero que pagarás y cuanto deberá devolverte el tendero en caso de quedarte vueltos.

Para saber cuánto dinero tienes ¿debes sumar o restar los valores de los billetes? _________

Para no pagar por cada uno de los artículos por separado sino pagar el total de los artículos ¿qué

operación o algoritmo debo desarrollar para saber ese total a pagar?

¿Cuánto debes pagar por todos los artículos?__________

¿Tienes más o menos dinero del que vas a pagar? Si tienes más, entonces ¿qué va a suceder

cuando pagues? __________

Al dinero que tú le vas a pasar, ¿el tendero deberá quitarle o aumentarle el costo de los

productos?

¿Cuál es la operación o el algoritmo que debes desarrollar para saber cuánto te debe devolver?

¿Te devolverá más o menos del dinero que tenías?__________

¿Cuánto te debe devolver el tendero? __________

CATEGORIA DE COMBINACION: LA PARTE Y EL TODO

ACTIVIDAD 1

Instrucción: lo mismo con personas, es decir con los mismos estudiantes. Se les plantea que

deberán contar los estudiantes que componen el grupo. Luego de esa cantidad de estudiantes

cuantos son mujeres y cuántos son hombres. Ahora si se salen las mujeres del salón entonces

cuantos estudiantes quedarán y si se salen los hombres entonces cuantas niñas quedarán. Ahora,

ellos deberán representar cual es el algoritmo que permite establecer cuantos quedan, que

cantidades son importantes para obtener ese algoritmo.

Planteamiento del problema7

¿Cuántos estudiantes hay en tu salón?______

¿Cuántos son mujeres? _______

¿Cuántos son hombres? ______


Hay _____estudiantes en el salón. Si se salen las mujeres ¿qué operación se realiza

automáticamente? (Representa por medio de un grafico).

Si pasa esto, como resultado ¿qué queda? _____________________________________

Y si en lugar de salirse las mujeres, se salen los hombres ¿qué operación se realiza

automáticamente?

Si pasa esto, como resultado ¿qué queda? ______________________________________-

____________________________

ACTIVIDAD 2: MEDICION DE BORDES

Instrucción: El docente pide a los estudiantes por grupos bordear algún objeto asignado en forma

de decoración, pero solo dará una cinta 1 de longitud inferior a la que se necesita para bordear

todo el objeto, y otra cinta 2 con una longitud superior a la que se necesita para bordear todo el

objeto.

Medimos con un metro cada cinta y expresamos su medida en centímetros.


Mide con un metro cada una de las cintas que te entregó la profesora y expresa su medida en

centímetros.

Cinta 1: ________ cinta 2: _________

Bordea la primer figura plana indicada por la docente con la cinta 1, ¿debemos añadir otro pedazo

de cinta o quitarle un pedazo a la cinta que tenemos?

¿Cómo hacemos para saber cuánta cinta debemos

añadir?__________________________________________________________________

¿Cómo podemos expresarlo por medio de un algoritmo?___________________________

Instrucción: El docente debe llevar al estudiante a que considere que si bordeamos el objeto con

la cinta 1, queda una parte sin bordear, pero esa parte la podemos medir con el metro.

Si ya sabemos cuánto mide la cinta que tenemos y la longitud de la cinta que debemos añadir,

entonces ¿cómo podemos saber el total de cinta que se debe utilizar para cubrir todo el borde del

objeto? (Representa por medio de un grafico).

Si vamos a utilizar la cinta 2 para bordear el objeto, y sabemos que esa cinta es más larga que el

borde del objeto ¿qué debo hacer para poder utilizar esta cinta? (Representa por medio de un

grafico).

Si ya sabemos cuanta cinta se va en bordear todo el objeto y también sé cuánto mide la cinta 2,

¿qué debo hacer para saber cuánta cinta debo cortar?

________________________________________________________________________


¿Cuál es la operación o el algoritmo que debemos utilizar para saber cuánta cinta sobra?

_________________

Instrucción: el docente debe conducir al estudiante a la elaboración del algoritmo a partir de lo

que se está manipulando, este algoritmo debe ser escrito en el tablero y ser consensuado por

todos los estudiantes. Se trabaja la actividad con diferentes objetos.

ACTIVIDAD 3

Instrucción: De tarea hoy se les entregará dos bolsitas de papel con cierta cantidad de semillas.

Estas deben estar empacadas en bolsitas de papel, en las que el estudiante no podrá ver cuántas

hay.

Mañana deberán traerlas, esto para hacer una actividad. Los estudiantes deberán establecer qué

cantidad final les queda si al día siguiente se les entrega una cantidad determinada de semillas.

Deberán escribir el algoritmo y lo que representa cada número.

Planteamiento del problema 9:

Hoy recibieron ustedes cierta cantidad de monedas. ¿Cuántas te dieron?

_________________________

Reúnelas con las que la profesora te entregó el día de ayer. ¿Cuántas tienes hoy?

________________________________________________________________________

Si ya sabes cuantas tienes ahora en total, entonces ¿cómo haces para determinar cuántas tenías

ayer?

ACTIVIDAD 4

Instrucción: sacamos a dos estudiantes que hagan la modelación. Se plantea lo siguiente. Este

compañerito tiene tantas fichas para armar un objeto (fichas encajables), y esta compañerita tiene

otra cantidad. Se hacen preguntas problema referente a esta situación.


El compañerito que ha indicado la profesora a pasar al frente tiene cuántas fichas para armar una

figura: _________, y la compañerita que está en frente de él tiene otra cantidad, pero no sabes

con exactitud cuántas tiene.

Ellos juntaran sus fichas y contarán cuantas reunieron en total. ¿Cuántas tienen en total para

armar un objeto? ______ (Representa por medio de un grafico).

Ahora, ¿Cómo haces para saber cuántas aportó la compañerita?

ACTIVIDAD 5: PICTOGRAMAS


Observa que cada una de las figuras tiene una equivalencia, por ejemplo, alguna figura vale 5

puntos, otras valen 10 puntos, 20 puntos, 50 puntos y 100 puntos.

¿Cómo represento puedo representar 245 puntos?

Completa la siguiente tabla, de acuerdo al valor que representa cada una de las figuras:


Entonces podemos decir que el número 321 está compuesto por:

_____________________________________, esto equivale numéricamente a:

______________________________________________________________________________

_

ACTIVIDAD 6

Como puedes observar en el tablero se han pegado unas monedas con diferentes valores.

También se han pegado unos artículos con sus precios.


Si te quieres comprar una paleta, ¿de cuantas formas puedes pagar sin que te sobre dinero?

Ilústralo aquí.

Si te quieres comprar un perfume, ¿de cuantas formas puedes pagar sin que te sobre dinero?

Ilústralo aquí.

CATEGORIA DE COMPARACION: MAS QUE…MENOS QUE

ACTIVIDAD 1

Materiales requeridos: cajas elaboradas en papel, frascos transparentes de compota, semillas

de colores, puntos en foamy, barras con diferente longitud en foamy, billetes didácticos.

Introducimos cierta cantidad de semillas en un frasco rotulado como frasco 1, hacemos que los

mismos estudiantes las cuenten, luego introducimos la misma cantidad en otro frasco rotulado

como frasco 2.


¿Los dos frascos tienen igual cantidad? ______

Luego introducimos otras tantas semillas en el frasco 2, sugeridas por la profesora, pero estas

semillas deben tener un color diferente, para que se distingan de las que ya había.

Ahora ¿tienen la misma cantidad?

¿Cuál tiene más cantidad? ________ ¿Cuántas más?

¿Cuál tiene menos? _________ ¿cuántas menos? ______


Para obtener solo la cantidad de semillas que tiene de más el frasco 2, ¿qué podría hacer?

Instrucción: el docente lleva a la reflexión de que si saco del frasco 2 la cantidad que tenía

inicialmente, es decir, la misma cantidad que hay en el frasco 1, puedo obtener solo las semillas

de color, es decir, las que tengo de más en el frasco 2. Es decir que al sacar cierta cantidad del

frasco 2, estoy llevando al desarrollo de una sustracción y el algoritmo más adecuando para ello

sería una resta. Al que tiene más, se le sustrae la cantidad del que tiene menos y así se haya la

diferencia.

Ahorael docente toma los dos frascos que tiene cada grupo, y agrega a cada uno de ellos

cantidades de semillas distintas, esta vez se debe hacer con semillas del mismo color.

Los estudiantes deberán contar la cantidad de semillas en cada uno de los frascos y rotular cada

frasco con la cantidad respectiva.


Ahora toma dos frascos con dos cantidades diferentes de semillas. Cuéntalas, ¿Cuántas hay en el

frasco 1? _______ ¿Cuántas en el frasco 2? _____

Ahora debes rotular con una cinta la cantidad de semillas que hay en cada frasco.

¿Cómo podremos saber cuántas semillas más hay en un frasco que en el otro?

Instrucción: Como resulta difícil que los estudiantes lleguen a tal respuesta entonces se continúa

orientando. Ahora pedimos a los estudiantes que vacíen en el suelo las semillas del frasco que

tiene más semillas, y con esa cantidad de semillas vamos a llenar nuevamente el frasco, pero

ahora con la misma cantidad se semillas que tiene el frasco que aun está lleno. Se lleva a los

estudiantes a la observación de que si le quitamos a la cantidad que más tiene la que menos

tiene, es decir que igualamos las cantidades, podemos obtener lo que se tiene de más en un

frasco con respecto al otro; en esta acción donde quitamos a la cantidad que más se tiene a la

que menos se tiene me implica utilizar el algoritmo de la resta.

ACTIVIDAD 2

Instrucción: el docente dispone de dos hileras de puntos elaborados en foamy, una de esas

hileras tiene mayor cantidad de puntos que la otra. Se permite a los estudiantes observar.


¿Cómo podemos saber cuántos puntos más tiene una hilera con respecto a la otra? ¿Qué debes

contar? Se cuenta solo lo que hay de más. Entonces a la cantidad que más tiene le puedo quitar

la que menos tiene y puedo determinar cuántas hay de más. ¿Cómo podemos representar esto

por medio de un algoritmo u operación? (Representa por medio de un grafico).

ACTIVIDAD 3

Instrucción: el docente enseña a los estudiantes por grupos, barras delgadas en foamy con las

siguientes longitudes: 2 barras de 10 cm, 2 barras de 15 cm, y 2 barras de 25 cm. Les pide a los

estudiantes que indiquen aquellas que tienen igual longitud. Luego le pedimos que comparen dos


barras que tienen diferente longitud, que ponga una al lado de la otra de tal manera que sus bases

estén alineadas.


¿Qué podemos hacer para que estas dos barras tengan la misma longitud?

Instrucción: el docente entrega tijeras a cada grupo para que los estudiantes encuentren la forma

y hagan los cortes correspondientes.

Al hacer cortes, estoy quitando una porción de longitud a un objeto, entonces ¿qué operación

estoy accionando? Realízala aquí.

¿Cuánto tuve que quitar de una barra para alcanzar la longitud de la otra?________

¿Cuanto menos tiene una barra con respecto a la otra? ______ ¿Cuánto más? _________

Vamos a traducir estas acciones en algoritmos u operaciones que podemos desarrollar en el

papel.

ACTIVIDAD 4

Instrucción: la docente entrega por parejas cierta cantidad de dinero (billetes y monedas

didácticas), al estudiante 1 le entrega una cantidad diferente de dinero que al estudiante 2.


Tú tienes una cantidad diferente a la de tu compañero. ¿Quién tiene más? ___________ ¿Cuánto

más? __________ ¿quién tiene menos? _______ ¿Cuánto menos? __________

¿Qué operación me permite resolver y encontrar la respuesta? _________ realízala:

ACTIVIDAD 5

Instrucción: la docente entrega un metro por parejas de estudiantes, ellos deberán medir su

estatura.


¿Quién tiene menos estatura? __________ ¿Cuánto menos?___________ ¿quién tiene más

estatura? _________ ¿Cuánto más?________. (Representa por medio de un grafico).

CATEGORIA DE IGUALACION: CUANTO LE FALTA A….PARA LLEGAR A /CUANTO LE

DEBO QUITAR A…PARA LLEGAR A

ACTIVIDAD 1:

Materiales requeridos: azúcar, sal, harina, gramera.

Instrucción: Los estudiantes deberán pesar las cantidades de azúcar, sal y harina que se les

asigna.



Debes pesar cuanta cantidad de cada uno de los ingredientes tienes para iniciar la preparación de

la mezcla que vas a hacer.

Harina: _________ azúcar: __________ sal: ________

Lee la siguiente receta sin proceder aun a hacerla:

1. Toma un recipiente medible con 200 ml de agua. 2. Agrega ____ gramos de azúcar y

mézclalo. Ahora agrega _____ gr. de sal, y finalmente agrega _____ gr. de harina, y

mezcla todos los ingredientes.

¿Necesitas la misma cantidad que tienes para cada ingrediente o debes quitar o añadir en

algunos casos? ¿Cuánto debes quitar en cada caso?

Completa la tabla a continuación:

ACTIVIDAD 2

Instrucción: la docente parte de recordar a los estudiantes los puntajes obtenidos por cada uno

de ellos en el juego de sapo.


¿Recuerdas cuantos puntos obtuviste en el juego del sapo? Escribe aquí esa cantidad________

Pregúntale a otro compañero cuantos puntos obtuvo él y anótalo: ________

¿Debes quitar o poner a tu puntaje para alcanzar el puntaje de tu compañero? _______

¿Cuánto te falta o cuanto debes quitar para alcanzar el puntaje de tu compañero?

__________________

¿Qué operación hiciste para resolverlo? _______________________________________

ACTIVIDAD 3:

Instrucción: la docente selecciona a dos estudiantes y los pasa al tablero. A cada uno de ellos

entrega diferentes cantidades de dinero en billetes didácticos. Al compañero 1 le entrega $50.000,

al compañero 2 le entrega $80.000.


La profesora ha seleccionado 2 estudiantes para hacer la siguiente actividad. Al compañero 1 le

ha dado $50.000 (billetes didácticos), al compañero 2, le ha dado $80.000.


¿Quién tiene más dinero? ________

¿Cuánto le debo quitar al que más tiene para que alcance al que menos tiene?________

Entonces ¿cuánto más tiene uno que el otro?____________

¿Cuál es la operación que te permite establecer la respuesta? ______________________

ACTIVIDAD 4

Instrucción: la docente pega en el tablero una línea de tiempo hecha en cartulina, en ella está

representada la fecha de nacimiento de cada uno de los estudiantes y algunos eventos

importantes para ellos hasta el día de hoy, es decir, hasta la fecha actual (las fechas están dadas

en años).


Para saber hace cuantos años nací, ¿debo retroceder en el tiempo a avanzar en el tiempo?

¿A partir de qué fecha lo hago? _________

¿Cuál operación me permite establecer hace en qué año nací? Realízala aquí.

¿Cuándo te paras en la fecha actual y haces un conteo regresivo para llegar a otra fecha, estas

quitando o poniendo años a la fecha actual?__________________________ entonces, ¿Qué

operación resulta?__________________

ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA

CATEGORIA DE ADICION REPETIDA

ACTIVIDAD 1: MULTIPLICACION COMO SUMAS REITERADAS

Materiales requeridos: cajas elaboradas en papel, semillas de colores.

Instrucción: La docente inicia la clase haciendo uso del material. Organiza los estudiantes en dos

grupos, y les pide a cada grupo que introduzcan cierta cantidad de semillas en una caja. Luego le

dice a los estudiantes que deberán llenar otras cajas con la misma cantidad. La cantidad de cajas

que se llenan puede ser asignada por la docente o puede ser propuesta por los estudiantes. La

actividad se debe repetir con diferentes cantidades para así trabajar diferentes valores en la

multiplicación. Se hace una vez el algoritmo en el tablero, buscando el análisis por parte de los

estudiantes, y orientando a apropiar la estructura del algoritmo como una cantidad que se repite

cierta cantidad de veces.

La docente pregunta reiteradamente: ¿Cuántas semillas hay en una sola caja?, y si esa cantidad

la repito tantas veces, entonces ¿Cuántas hay ahora? La docente orienta la clase con respecto a

las respuestas de los estudiantes, puede acudir a la suma reiterada inicialmente, pero luego debe

llevarlos a considerar que cuando las sumas son reiteradas y del mismo valor se puede aplicar el

algoritmo de lamultiplicación para llegar a una respuesta más rápida.



Si tengo cierta cantidad de cajas con la misma cantidad de semillas, ¿cómo haces para saber

cuántas semillas hay en total. Realiza tu cálculo y la representación de la operación que

consideres adecuada.

¿Cuántas semillas hay en una sola caja? _______ ¿esa cantidad se repite cuantas veces?

________

¿Con qué operación puedo representar lo planteado anteriormente? _____________ realízala:

Entonces, ¿Cuántas semillas tengo en total?________

Repite la actividad con otra cantidad y completa:

¿Cuántas semillas hay en una sola caja? _______ ¿esa cantidad se repite cuantas veces?

________

¿Con qué operación puedo representar lo planteado anteriormente? _____________ realízala:

Entonces, ¿Cuántas semillas tengo en total?________

En la operación que realizaste indica cuál de los valores o números indica las veces que se repite

y cuál indica esa cantidad que se repite.

ACTIVIDAD 2

Vamos a jugar a la tienda de modas. Pero en este caso haremos inicialmente un inventario para

saber cuánto dinero se recogerá al vender todos los productos.

Tenemos: _______ camisas a un precios de__________

_______ Pantalones a un precio de _________

_______ pares de zapatos a un precio de ___________

¿Cuánto dinero se recogerán al vender todas las camisas? ___________ ¿qué operación me

permite establecer el resultado? ______________ realízala: (indica el número que representa el

valor de una camisa y el número que representa las veces que se repite ese valor)

¿Se puede utilizar la suma reiterada para establecer el valor total? _____

¿Cuánto dinero se recogerán al vender todos los pantalones? ___________ ¿qué operación me



¿Cuánto dinero se recogerán al vender todos los zapatos? ___________ ¿qué operación me



¿Cuánto dinero debo recoger en total por todos los productos vendidos? ___________ ¿qué

operación me permite establecer este resultado? Realízala:


Ahora la profesora es la vendedora y tu vas a comprar cierta cantidad de productos (debes de

comprar de dos productos en delante de la misma categoría. Completa el cuadro y determina

cuanto deberás pagar en total por tu compra.

ACTIVIDAD 3:

Materiales requeridos:lanitas y palillos con longitud de diferente medida.

Instrucción: Para el desarrollo de la siguiente actividad, se identifican diferentes objetos en el

salón, tales como por ejemplo, la puerta, la ventana, el escritorio de la docente, el piso del salón.

A cada uno de ellos se le mide la magnitud del perímetro con anterioridad y a partir de ello se

cortan lanitas de tal longitud que al multiplicar su medida cierta cantidad de veces, de la medida

exacta del perímetro o la longitud del objeto por uno de sus lados, puede ser su largo o su altura.


Tenemos que medir la longitud de ciertos objetos presentes en el salón, pero no tenemos metro ni

otro elemento con qué medir, solo contamos con lanas y palillos de ciertas longitudes.

Mide cada lana y cada palillo:

Lana blanca: ______ lana amarilla:________ lana roja: ______

Palillo grande: ______ palillo mediano: _______ palillo pequeño: ______

¿Cómo haremos para determinar la longitud de esos objetos haciendo uso solamente de las lanas

o palillos?

Ingéniate la forma: (puedes hacer gráficos u operaciones que te permitan llegar a la solución)

ACTIVIDAD 4


La profesora ha entregado por grupos polígonos regulares e irregulares en foamy. Debes medir

cada uno de los lados de esos polígonos y separar a un lado los regulares y a otro lado los

irregulares.

Ahora debes hallar el perímetro de esos polígonos, ¿a cuales aplicarías la multiplicación? ¿A los

regulares o a los irregulares? ¿Por qué?

A los que no les puedes aplicar la multiplicación para hallar su perímetro ¿cómo lo hallas

entonces? ___________________.


CATEGORIA DE: PRODUCTO CARTESIANO

ACTIVIDAD 1: MULTIPLICACION EN DOS PLANOS Y PROPIEDAD CONMUTATIVA

Materiales requeridos: fichas con puntos elaboradas en fommy y cartulina.

Instrucción: La profesora ha formado un rectángulo y un cuadrado con puntos bien puestos en

filas y en columnas, la clase se desarrolla conjuntamente con los estudiantes, llevándolos a

interpretar que en la medida en que se aumentan los puntos en ambas dimensiones, se aplica el

algoritmo de la multiplicación. Se hacen las operaciones que resultan ya sea en el tablero o en el

papel borrador que debe tener cada grupo para sus operaciones. Se ponen diferentes retos a los

estudiantes para que ellos mismos lleguen a los resultados.


¿Cuántos puntos conforman cada figura? _________________, ____________________

¿Qué operación me permite establecer la respuesta sin necesidad de contarlos todos?

______________ realízala.

Si voy a construir un rectángulo que tiene 12 puntos a nivel de filas y 8 a nivel de columnas,

entonces ¿Cuántos puntos necesitaré en total?

Ahora si tengo 50 puntos y quiero hacer un rectángulo con estos puntos ¿Cuántos tendré que

colocar de columnas y cuantos de filas? ¿Con qué operación puedo representarlo?

¿Y si tengo 25 puntos, me queda un rectángulo o puedo hacer un cuadrado? ¿Con qué operación

lo puedo representar?

¿Será lo mismo decir 3x4 que 4x3? Explica:

_________________________________________________

Si ahora no son puntos sino unidades de medida como por ejemplo el tablero, y digo que éste

tiene 90 cm de alto y 140 cm de ancho, entonces cuantos centímetros cuadrados tendrá en toda

su área o relleno ¿cómo lo resolverías?

CATEGORIA DE FACTOR MULTIPLICANTE.

ACTIVIDAD 1: SUMAS Y RESTAS REITERADAS DEL MISMO VALOR COMO PATRONES DE

CAMBIO

Materiales requeridos:semillas de colores, billetes didácticos y monedas hechas en cartulina

Instrucción: La docente debe establecer inicialmente una cantidad. Vamos a suponer que es el

dinero que se tiene en la cuenta de un banco. El estudiante deberá ir quitando en varios

momentos una cantidad determinada, es decir, deberá hacer retiros del mismo valor.



Jugaremos al cajero automático, haremos la suposición de que recién hemos recibido el sueldo de

un mes de trabajo. Consulta en tu cajero cuánto dinero tienes, anótalo: ___________. Ahora

harás retiros diarios del valor que te sugiera la docente, o podrás tu proponer tú un valor para

retirar a diario. Anota ese valor de dinero que vas a retirar:

________________________________________________________________________

Ahora, harás esos retiros en tu cajero. ¿El dinero que está en el banco ha cambiado su

valor?___________ ¿Disminuido o aumentado?________________ ¿De qué forma lo ha

hecho?________________________________________________________________________

____________

Completa la tabla, teniendo en cuanta que deberás hacer la operación que te permita resolver:

Esos cambios que ha tenido mi sueldo se llaman: _________ y cuando esos cambios han sido del

mismo valor, se dice que sigue un patrón, entonces a esos cambios los llamo: __________ de

__________. En este caso el valor inicial _________ (crece o decrece). (Representa por medio de

un gráfico)

Ahora vamos a hacer consignaciones. Podemos tener algún dinero en el banco o arrancar de

cero. Hacemos consignaciones diarias de cierta cantidad de dinero, pero debe ser la misma

cantidad para poderlo llamar Patrón de Cambio. Puedes acordar el valor con tu profesora.

(Representa por medio de un grafico).

Cuanto vas a consignar a diario: ____________

Completa la tabla, en cuanta que deberás hacer la operación que te permita resolver:


Esos cambios que ha tenido mi sueldo se llaman: _________ y cuando esos cambios han sido del

mismo valor, se dice que sigue un patrón, entonces a esos cambios los llamo: __________ de

__________. En este caso el valor inicial _________ (crece o decrece)

ACTIVIDAD 2

Instrucción: la docente organiza los estudiantes en círculo. Asignará un número a cada

estudiante siguiendo una secuencia.


De acuerdo a la secuencia que estableció la profesora. ¿Qué número tendrá el compañero

______________?

Siguiendo la secuencia, el compañero: ________________, tendré el número: ______. El patrón

de cambio que se ha seguido es: ____________________.

¿Por medio de qué operación puedo establecer cuál es el número que tendrá el compañero que a

profesora ha preguntado?

El ejercicio se repite siguiendo patrones diferentes.

CATEGORIA DE RAZON

ACTIVIDAD 1: MULTIPLOS.

Materiales requeridos: cinta numérica hasta el 100, elaborada en papel de colores.

Instrucción: Los estudiantes deberán hacer saltos teniendo en cuenta un patrón, es decir, saltar

cada dos, cada tres, cada cuatro, cada nueve o cada diez. A partir de ellos se establecerán las

acciones matemáticas, es decir, las operaciones que resultarían de esos saltos.


En el piso, la profesora ha pegado una cinta con unos números consecutivos. Debes saltar

teniendo en cuenta el patrón de cambio que indique la docente.

Completa la tabla, según las indicaciones de la docente:

Si estoy en la posición _______, pude haber hecho saltos de _____ en _______, ¿Cuántas

veces? ______

Si estoy en la posición _______, pude haber hecho saltos de _____ en _______, ¿Cuántas

veces? ______

¿Con qué operación matemática puedo representarlo?


SITUACION PROBLEMA DE VARIAS ETAPAS PARA CONCLUIR EL PROCESO.

La docente reparte alguna cantidad de dinero a cada uno de los estudiantes. Cada estudiante

tiene una cantidad diferente en billetes. La docente también reparte una cantidad de dinero en

monedas, pero esta cantidad es igual para todos los estudiantes. La docente plantea que la

cantidad de dinero que tienen en billetes deberá recogerse para hacer una acción humanitaria,

que consiste en comprarles a algunos perros de la calle cierta cantidad de bolsas de alimento

para perros. Y la cantidad de dinero que tienen en monedas será para comprar algunos helados.

La docente pide a los estudiantes que cuenten el dinero en billetes que la docente les dio.


Para saber cuánto dinero se recolecta en total, por la donación de cada uno de los estudiantes

¿qué se debe hacer? ¿Qué algoritmo u operación puedo desarrollar para determinarlo?

(represéntalo por medio de un grafico)

¿Cómo hacemos para saber cuánto dinero en total hay para comprar los helados en clase de

física?

¿Debo hacer lo mismo que hice con el dinero inicial? o ¿puedo hacer algo diferente, hacer una

operación diferente y más fácil?

C. Anexo C: Guía de finalización: Adición y multiplicación fase pictórica

Estudiante: ________________________

(Estructura aditiva: categoría de cambio)

1. Iván tiene esta colección de monedas. (Cartilla Prueba Saber (CPS) 2014 pág. 17)

Le regalaron 11 monedas más ¿Cuántas monedas, en total, tiene ahora Iván?

A. 11

B. 12

C. 22

D. 23

(Estructura aditiva: categoría de combinación)

2. Hoy nacieron 9 pollitos y los reunieron con los que nacieron ayer. Ahora en total, son

estos 17 pollitos. (CPS 2016, pág. 4)

¿Cuántos pollitos nacieron ayer?

A. 26

B. 17

C. 9

D. 8


3. Los niños de grado tercero asignaron figuras distintas a los números 100, 10 y 1, así:

(CPS 2015 pág. 7)


Usando la asignación anterior, un niño dibujó

¿Qué numero se representa en el dibujo?

A. 423

B. 342

C. 432

D. 324


4. Luis va a comprar una torta que cuesta $600 y tiene las siguientes monedas para pagarla.

¿De cuantas formas distintas puede pagar la torta sin recibir vueltas?

A. De 1 forma

B. De 2 formas

C. De 3 formas

D. De 4 formas


5. En un juego, cada jugador toma una ficha con un número y busca un compañero con otra

ficha. Si los número suman 10, el grupo gana.

Estos son los grupos que se formaron con sus respectivas fichas.

¿Cuál o cuáles grupos ganaron?

A. El grupo 1 solamente

B. El grupo 2 solamente

C. Los grupos 1 y 2 solamente

D. Los tres grupos

Anexo C: Guía de finalización: Adición y multiplicación fase pictórica 107

(Estructura aditiva: categoría de comparación)

6. Paula recogió 18 golosinas durante el Halloween. Martha recogió 7 golosinas más que

Paula ¿cuántas golosinas recogió Martha? (fuente propia).

A. 11

B. 25

C. 18

D. 7

(Estructura aditiva: categoría igualación)

7. Antonio tiene 9 carritos de juguete, si pierde 3, tendrá tantos como Jairo ¿Cuántos carritos

de juguete tiene Jairo? (fuente propia)

A. 6

B. 12

C. 9

D. 3

(Estructura multiplicativa: categoría adición repetida)

8. Una tira de lana mide 3 cm de longitud, y con esta se van a medir otras de mayor longitud.

(CPS 2016 pág. )

¿Cuál de las siguientes tiras NO se podría medir exactamente?


9. María y Julián están jugando a las escondidas, ambos deben contar hasta 50. Cuando

cuentan Julián lo hace de 2 en 2 y cuando cuenta María, lo hace de 5 en 5. (CPS 2012

pág. )


Acerca de los números de cada conjunto que cuentan María y Julián, es correcto afirmar que:

A. Los dos cuentan exactamente los mismos números.

B. Ningún número que cuenta Julián lo cuenta María.

C. Marta cuenta más números que Julián.

D. Julián cuenta más números que Martha.


10. Observa los saltos de la rana. (CPS 2012 pág.

¿Cuántos metros avanza la rana en cada salto?

A. 3 metros

B. 4 metros

C. 10 metros

D. 13 metros


11. Fíjate en la parte inferior de la figura. (CPS 2014 pág. 12)

En la parte inferior todos los números marcados son

A. Menores que 14

B. Mayores que 11

C. Múltiplos de 3

D. Múltiplos de 2


Anexo C: Guía de finalización: Adición y multiplicación fase pictórica 109

12. La profesora de grado tercero indica que la cantidad de flores que se presentan en la

figura se puede expresar como 4x3.

Otra expresión que representa la cantidad de flores que hay en la figura es.

A. 6x6

B. 2x6

C. 3x2

D. 3x3

(Estructura multiplicativa: categoría factor multiplicante)

13. Mario tiene la moneda que se muestra en la imagen.

Andrés tiene 3 veces más de lo que tiene Mario. ¿Cuál de las siguientes opciones ilustra la

cantidad de monedas que tiene Andrés? (fuente propia)

D.

E.

F.

G.

(Estructura multiplicativa: categoría de razón)

14. Dos carros tienen 8 ruedas como se muestra en la imagen. ¿Cuántas ruedas tendrán 4

carros? (fuente propia).

A 32

B 16

C 12

D 24

D. Anexo D: Guía de finalización: Adición y multiplicación fase abstracta

Estudiante: ______________________


1. En un taller había 9 tuercas sobre una mesa y de ellas se utilizaron 3 tuercas para

asegurar una lámina. ¿Cuántas tuercas quedaron sobre la mesa? (CPS 2015 pág. 9)

A. 6 tuercas

B. 7 tuercas

C. 11 tuercas

D. 12 tuercas


2. Lucas tenía 550 pesos y compro un dulce que constó 300 pesos. ¿con cuánto dinero

quedó Lucas? (CPS 2015 pág. 11)

A. 200 pesos

B. 250 pesos

C. 800 pesos

D. 850 pesos


3. A la fiesta de Carlos asistieron en principio 25 personas, luego llegaron 13 personas más.

¿Cuántas personas en total asistieron a la fiesta? (CPS 2012 pág. 15)

A. 12

B. 13

C. 25

D. 38


4. En una escuela estudian 334 niños y 386 niñas (CPS 2015 pág. 4)

¿Cuántos estudiantes hay en total en la escuela?

A. 610 estudiantes

B. 620 estudiantes

C. 720 estudiantes

D. 810 estudiantes


5. Francisco pagó un helado con una moneda de $500 y otra de $200 y no le sobró dinero.

Si Francisco hubiera pagado con un billete de $1000, le habría sobrado. (CPS 2013 pág. 2)

A. $100

B. $200

C. $300


D. $500


6. Daniel y Jorge quieren comprar dulces. Entre los dos reúnen $700, de los cuáles Daniel

aportó $450. (CPS 2013 pág. 12)

¿Cuánto dinero aportó Jorge?

A. $250

B. $350

C. $450

D. $1.150


7. En una escuela deportiva, el año pasado habían 45 inscritos. Este año hay 69. Eso

significa que el año pasado a este. (CPS 2012 pág. 25)

A. Se retiraron 14 personas

B. Se inscribieron 14 personas

C. Se retiraron 24 personas

D. Se inscribieron 24 personas más.

(Estructura aditiva: categoría de comparación)

8. En el año 2008, un colegio cumplió sus 35 años. ¿en qué año se fundó? (CPS 2013 pág.

12 )

A. En 2043

B. En 2035

C. En 1983

D. En 1973

(Estructura multiplicativa: categoría de adición repetida)

9. Daniela repartió los caramelos que tenía entre sus amigos. A cada uno de ellos le dio 5 y

no le sobraron. (CPS 2016 pág. 15 )

¿Cuál de los siguientes números NO puede corresponder a la cantidad de caramelos que tenía en

total Daniela?

A. 10

B. 15

C. 20

D. 23


10. El precio de algunas láminas en la tienda se muestran en la tabla. (CPS 2014 pág. 12 )

Anexo D: Guía de finalización: Adición y multiplicación fase abstracta 113

¿Cuántas láminas en total se pueden comprar con $1.200?

A. 1

B. 2

C. 4

D. 6


11. La tabla 1 muestra lo que compraron 2 niños en la cafetería. La tabla 2 muestra el precio

de dos productos. (CPS 2014 pág. 14 )

¿Cuánto le costó a Pilar lo que compró?

A. $1.500

B. $2.000

C. $2.500

D. $3.000


12. Pablo sumó el dinero que tenia:

La cantidad de dinero que tenía se puede expresar como (CPS 2013 pág. 3 )

A. 500 x 1

B. 500 x 2

C. 500 x 4

D. 500 x 5

(Estructura multiplicativa: categoría de factor multiplicante)

13. Juliana tiene 5 años. Paula su hermana mayor tiene 3 veces más años de los que tiene

Juliana ¿Cuántos años tiene Paula? (fuente propia).

A. 15 años

B. 10 años

C. 5 años

D. 12 años



14. Un gato tiene 4 patas ¿cuántas patas tendrán 5 gatos? (fuente propia)

A. 20

B. 10

C. 5

D. 9

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