dr inż. Mariusz Kaleta - ia.pw.edu.plmkaleta/zarzadzanieprojektami/modgraf/... · harmonogramu...

Harmonogramowanie czynności (1)

dr inż. Mariusz Kaleta

Instytut Automatyki i Informatyki StosowanejPolitechnika Warszawska

Październik 2011

dr inż. Mariusz Kaleta Elementy zarządzania produkcją 1 / 50

Podstawy

Przedmiot harmonogramowania

Obszar badań operacyjnych związany zmodelowaniem wybranych problemów decyzyjnychopracowywaniem algorytmów optymalizacyjnych i decyzyjnych

Typowe obszary aplikacyjne tomodele i algorytmy harmonogramowania i zarządzania procesamiprodukcji dóbr oraz usługdystrybucji w systemach produkcyjnych, informacyjnych,komunikacyjnychjako element informatycznych systemów zarządzania


Podstawy

Metodyka badań operacyjnych

Cykl postępowaniaDeskryptywna analiza problemu

Tworzenie modelu decyzyjnego

Opracowanie algorytmu i rozwiązywanie

Analiza rozwiązań (analiza wrażliwościowa i parametryczna)

Sprzężenie zwrotne (porównanie z obiektem rzeczywistym iewentualne wprowadzenie dodatkowych warunków)


Podstawy

Modelowanie rzeczywistych obiektów

Model obiektuPewien wzorcowy (bardziej lub mniej precyzyjny) opis, abstrakcyjna,uproszczona reprezentacja obiektu, przedstawiająca wybrane cechylub zasady działania

Nie jest dokładną kopią modelowanego obiektu

Rodzaje modeli: techniczny, matematyczny, symulacyjny

Model deskryptywny vs. decyzyjny

Model matematycznyZawiera istotne stałe i zmienne wielkości parametry obiektu orazmatematyczne zależności opisujące relacje pomiędzy parametrami


Podstawy

Modelowanie rzeczywistych obiektów

Model decyzyjnyModel matematyczny, w którym występują określone kryteria, warunkioraz zmienne decyzyjne z pewnego zbioru rozwiązań

Istnieje pewna swoboda wyboru decyzji i możliwość ich oceny

Jeżeli zmienne decyzyjne są poddawane procesowi optymalizacji –model optymalizacyjny


Podstawy

Podstawowe pojęcia

System obsługiZłożony z wielu procesorów

Na procesorach wykonywane pewne zadania elementarne, czylioperacje

Do systemu napływają obiekty (zadania), które są przetwarzane wwyniku wykonywania operacji na poszczególnych procesorach

Zadania mogą składać się z wielu operacji, np. powiązanych relacjąpoprzedzania

System modelowany jako sieć złożona z pojedynczych stanowiskobsługi


Podstawy

Podstawowe pojęcia

Stanowisko obsługiPojedyncze stanowisko obsługi składa się z

procesorabufora wejściowego (w szczególności o zerowej pojemności)zadań nadchodzących

Zadania gotowe do obsługi na danym stanowisku konkurują międzysobą o dostęp do procesora oraz inne wymagane zasoby


Podstawy

Podstawowe pojęcia

ProcesPrzebieg następujących po sobie i powiązanych przyczynowookreślonych stanów systemu (przebieg zmian stanów systemu)

Zmiany występują w sposób nieciągły – proces dyskretny

Zmiany występują w sposób ciągły – proces ciągły

ZasóbPewna ilość posiadanych środków materialnych lub niematerialnych

Zebrana, nagromadzona w celu wykorzystywania przy realizacjiplanowanych zadań, operacji czy procesów

Zasób może stać się istotnie zauważalny dopiero wtedy, gdy gozaczyna brakować

Zasób jest tym, czego brak może spowodować zablokowanie realizacjiprocesu


Podstawy

Podstawowe pojęcia

Klasyfikacja zasobówZasoby zużywalne

Zasoby dostępne w ograniczonej ilości w rozważanym okresie czasu,których porcje są zużywane podczas wykonywania operacjiJeżeli porcja zasobu jest przydzielona do wykonywania operacji,wielkość dostępnego zasobu jest na stałe redukowana o wielkośćzużytej porcjiPrzykłady: energia, materiały, pieniądze

Zasoby odnawialneOgraniczone chwilowo, dostępne w w ograniczonej liczbie lub ilości wkażdej chwiliJeżeli pewna liczba lub ilość zasobu ograniczonego chwilowo zostanieprzydzielona podczas wykonywania operacji, to po zakończeniuwykonywania operacji ta liczba lub ilość zasobu zostanie zwolniona imoże być później wykorzystywana przy innych operacjachPrzykłady: maszyna, procesor, mocy chwilowa


Podstawy

Podstawowe pojęcia

CzasJest szczególnym rodzajem zasobu

Wyróżnionym ze względu na nieubłagalny i niezależny odpodejmowanych decyzji

Jest zmienną niezależną, w funkcji której określamy dostępnośćinnych zasobów


Podstawy

Podstawowe pojęcia

Czynności/operacje/zdarzenia

Operacja – część procesu obejmująca czynności realizowane wjednorodnych warunkach (na jednym obiekcie z wykorzystaniemustalonego zestawu zasobów)

Operacja jest zazwyczaj utożsamiana z pojedynczymi czynnościami

Zdarzenia – charakteryzując bieżący stan operacji, np. rozpoczęcie,zakończenie

Ukończenie operacji może być jednoczesne z rozpoczęcie innychoperacji

Atrybutem operacji jest jej czas trwania, a atrybutem zdarzeniachwila wystąpienia


Podstawy

Procesy dyskretne

Proces dyskretny jest złożony z operacji dyskretnych

Przejście do kolejnych operacji po ukończeniu wcześniejszych operacjiwymaga nieciągłej zmiany warunków realizacji procesu, np.ukończenia pewnej usługi, przydzielenia zasobu, zmiany asortymentuprodukcji, wymiany narzędzia, montażu kilku detali w jeden podzespół

Proces złożony – składa się z wielu działających współbieżnieprocesów składowych (operacji), które są wzajemnie związane ioddziałują na siebie np. poprzez występowanie warunkówpoprzedzania pewnych operacji oraz konieczność dzielenia wspólnychzasobówModel wirtualny (model ”systemu operacyjnego”)

Każdy proces jest traktowany współbieżnie jako realizowany nawirtualnym zestawie własnych zasobów (procesorów)Pozwala na ukrycie złożonych powiązań pomiędzy procesamiwspółbieżnymi konkurującymi o dostęp do wspólnych zasobów


Podstawy

Macierz zasoby/procesy

Zasoby Procesy współbieżneproces 1 ... proces i ...

Zasób 1 X XZasób 2 XZasób 3 X XZasób 4 X


Podstawy

Wykres Gantta

Wykres obrazujący realizację operacji zaalokowanych do procesorów na osiczasu

1

4

5

2 3

HarmonogramowanieWyznaczanie najlepszych przebiegów procesów dyskretnych –harmonogramu realizacji operacji oraz przydziału zasobów do realizacjioperacji


Podstawy

Charakterystyka zadań

Parametry

j indeks zadania, j = 1, . . . , nnj liczba operacji zadania jl indeks procesora, l = 1, . . . , Laj chwila przybycia zadania do systemurj chwila gotowości do obsługiqj czas dostawy po wykonaniu zadaniadj pożądany termin ukończenia zadaniaDj krytyczny termin ukończenia zadaniapj czas wykonywania zadaniawj priorytet zadania


Podstawy

Miary jakości

Miary charakteryzujące zadanie j

Sj chwila rozpoczęcia wykonywania zadaniaCj chwila zakończenia zadania (lub termin dostawy,

gdy qj > 0)Wj czas oczekiwania, czas wykonania pj może być ma-

łym ułamkiem WjFj = Cj − rj czas przepływu (przebywania zadania j w syste-

mie)Lj = Cj − dj czas opóźnienia (dodatni lub ujemny)Tj = max(0, Lj) czas spóźnieniaEj = max(0,−Lj) czas przyspieszenia, wyprzedzenia, np. z karą hjUj Uj = 1, gdy zadanie spóźnione, Uj = 0 w prze-

ciwnym przypadkuUNj = Ej + Tj nieterminowość, (niepunktualność)UNwj = hjEj + wjTj nieterminowość ważona


Podstawy

Miary jakości harmonogramu

maksymalny czas zakończenia Cmax = maxj Cjmaksymalny czas przepływu Fmax = maxj Fj

maksymalne opóźnienie Lmax = maxj Ljmaksymalne spóźnienie Tmax = maxj Tj

suma czasów zakończenia∑nj=1 Cj

suma czasów przepływu∑nj=1 Fj

suma czasów opóźnienia∑nj=1 Lj

suma czasów spóźnienia∑nj=1 Tj

liczba zadań spóźnionych∑nj=1 Uj

suma czasów nieterminowości∑nj=1 UNj

ważona suma czasów zakończenia∑nj=1 wjCj

ważona suma czasów przepływu∑nj=1 wjFj

ważona suma czasów opóźnienia∑nj=1 wjLj

ważona suma czasów spóźnienia∑nj=1 wjTj

ważona liczba zadań spóźnionych∑nj=1 wjUj

ważona suma nieterminowości∑nj=1 wjUNj


Podstawy

Klasyfikacja problemów szeregowania

Miary równoważne∑wjCj =

∑wjFj +

∑wj rj =

∑wjLj +

∑wjdj

Notacja 3-polowa α|β|γα – charakteryzuje rodzaj systemu obsługi

1 – system jednoprocesorowyP – układ procesorów równoległychO – otwarty system obsługiF – system przepływowyJ – ogólny system gniazdowyLiczba procesorów m oraz ewentualnie inne parametry charakteryzującezasoby i topologię systemu


Podstawy


Notacja 3-polowa α|β|γβ – charakteryzuje zadania

podzielność (pmtn) lub niepodzielność zadańwymaganie dodatkowych zasobów (res)relacje poprzedzania (prec)występowanie niezerowych czasów gotowości rj lub dostaw qjcharakterystyki czasów wykonywania operacjiterminy krytyczne zadańwymagania niemożności oczekiwania w kolejkachpuste pole oznacza zadania niepodzielne i niezależne, rj = 0, qj = 0oraz dowolne czasy wykonywania pj

γ – definiuje kryterium jakości


Podstawy


Notacja 3-polowa α|β|γP4||Cmax – szeregowanie niepodzielnych i niezależnych zadań na 4procesorach równoległych z kryterium CmaxO3|ptmn|

∑Fj – szeregowanie podzielnych i niezależnych zadań w

trzyprocesorowym, otwartym systemie obsługi z kryteriumminimalizacji sumy czasów przepływu


Podstawy

Reguły priorytetowe

Reguły statyczneLIFO (Last In First Out)

FIFO (First In First Out)

LPT (Longest Processing Time First)

SPT (Shortest Processing Time First)

EDD (Earliest Due Date First)


Podstawy


Reguły dynamiczne

pj(t) suma czasów pozostałych do wykonania operacji zadania Tj wchwili t

nj(t) liczba pozostałych do wykonania operacji zadania Tj w chwili t

MWR (Most Work Remaining) priorytet największej pozostałejpracochłonności pj(t)

STR (Slack Time Remaining)

STRj(t) = dj − t − pj(t)

STO (Slack Time remaining per Operation)

STOj(t) =dj − t − pj(t)nj(t)


Podstawy


Reguły dynamiczneCR (Critical Ratio)

CRj =STRj(t)STRj(0)

lub

CRj =STRj(t)pj(t)


Modele sieciowe

Wprowadzenie

Problemy harmonogramowania a modele siecioweWiele zadań harmonogramowania można modelować jako zadaniasieciowe, szczególnie

zagadnienia planowania procesów produkcyjnych (planowanieprzedsięwzięcia)planowanie dystrybucji dóbrprzydział pracowników do stanowisk

Modele sieciowe są ”łatwe”własność unimodularnościdedykowane algorytmy sieciowe


Modele sieciowe

Podstawowe oznaczenia

Elementy modelu sieciowegoZbiór wierzchołkówV = {1...m}Zbiór krawędziE = {(i , j)} : i , j ∈ V }Graf G = (V ,E )

Macierz incydencjiA = [aik ]m×n

1 1 1 0 0 0−1 0 0 1 1 00 0 −1 −1 0 10 −1 0 0 −1 −1


Modele sieciowe


Parametry sieciPrzepustowość łuków x ijJednostkowe koszty/zyski na łukach cijPrzepływ xijOgraniczenia na dywergencje węzłów bi

Dywergencja

P(i) – zbiór poprzednikówN(i) – zbiór następników

Dywergencjadivx(i) =

∑j∈N(i)

xij −∑j∈P(i)

xji


Modele sieciowe


Dywergencja

Źródła o wydajności bi : divx(i) ¬ bi∑(i ,j)∈E

xij ¬ bi

Ujścia o zapotrzebowaniu −bi : divx(i) −bi∑(j ,i)∈E

xji ¬ bi

Wierzchołki pośredniczące bi = 0: divx(i) = 0∑(i ,j)∈E

xij −∑

(j ,i)∈Exji = 0


Modele sieciowe

Model sieciowy a model ZPL

Zadanie przypływu w sieci to szczególny przypadek modelu ZPL

minxx0 = cT x

Ax = b

0 ¬ x ¬ x

gdzie A jest macierzą incydencji


Modele sieciowe

Funkcja celu

Maksymalizacja przepływu (zdefiniowane przepustowości)Minimalizacja kosztu przesyłu (zdefiniowane koszty)

Koszty addytywne (nieograniczone przepustowości)Koszty addytywne (ograniczone przepustowości)Koszt maksymalny (nieograniczone przepustowości)Koszt maksymalny (ograniczone przepustowości)


Modele sieciowe

Zadanie maksymalnego przepływu

Należy znaleźć przepływ o maksymalnej wartości pomiędzy źródłem aujściem w sieci przepływowej

Algorytm Forda-FulkersonaMetoda iteracyjna

W każdej iteracji poszukiwana ścieżka powiększająca przepływPrzebieg iteracji

Cechowanie wierzchołkówAktualizacja przepływów


Modele sieciowe


Cechowanie wierzchołkówDla wierzchołka j cechowanie za pomocą pary (i{+|−}, ε)A jest wierzchołkiem z którego jest rozważany przepływznak + lub - oznacza zwiększenie lub zmniejszenie dywergencji węzła jε jest wartością o jaką przepływ może zostać zmodyfikowany

Wierzchołek początkowy jest cechowany (−,∞)

Dalej cechujemy nieocechowane wierzchołki...i jest ocechowany (??, ε), j jest nieocechowany, (i , j) ∈ E , xij < x ij , tocechujemy (i+,min{ε, x ij − xij})i jest ocechowany (??, ε), j jest nieocechowany, (j , i) ∈ E , xji > 0, tocechujemy (i−,min{ε, xij})

...dopókiOcechowany zostanie wierzchołek końcowy – znaleziono ścieżkępowiększającąNie będzie można ocechować końcowego, ani żadnego innegowierzchołka


Modele sieciowe


Aktualizacja przepływuPrzepływy są zmieniane rozpoczynając od wierzchołka końcowego iprzechodząc łukami zgodnie ze znakowaniem

Wszystkie przepływy są zmieniane o wartość ε dla wierzchołkakońcowego

Przepływ na łuku (i , j) jest zwiększany, gdy znakowanie wwierzchołku i jest ’+’

Przepływ na łuku (i , j) jest zmniejszany, gdy znakowanie wwierzchołku i jest ’-’


Modele sieciowe

Minimalny przekrój sieci

Minimalny przekrój sieciPrzekrój (S ,T ) grafu G = (V ,E ) jest podziałem V na rozłączonepodzbiory S i T takie, że S ∪ T , S ∩ T = ∅Przepustowość przekroju (S ,T ) wynosi

∑(i ,j)∈E :i∈S ,j∈T xij

Minimalny przekrój sieci to przekrój, którego przepustowość jestnajmniejsza ze wszystkich przekrojów sieci

Maksymalny przepływ w sieci jest równy minimalnemu przekrojowi wsieci (minimalny przekrój jest wąskim gardłem w sieci)

Wyznaczanie minimalnego przekroju sieciPo ostatniej iteracji algorytmu F.-F. otrzymujemy minimalny przekrój sieci(V1,V2), gdzie V1 to wierzchołki oznakowane, a V2 wierzchołkinieoznakowane


Modele sieciowe

Zadanie przydziału

Zadanie przydziałuNależy przydzielić (skojarzyć) dwie kategorie obiektów/zasobów, np.procesory i zadania, tak aby

każdy procesor był przydzielony do co najwyżej jednego zadania

każde zadanie było przydzielone do co najwyżej jednego procesora

minimalizować pewne kryterium jakości

PrzykładyPrzydział zespołów/pracowników do stanowisk/zadań

Przydział zadań do stanowisk obróbki

Przydział zleceń do filii


Modele sieciowe

Zadanie przydziału – model sieciowy

Model sieciowy

Zasoby z pierwszej grupy

Zasoby z drugiej grupy


Modele sieciowe

Zadanie przydziału – funkcja celu

Przydział jak największej liczby zasobów – maksymalizacja przepływu

Minimalizacja sumy kosztów przy zadanej liczbie skojarzeń

Minimalizacja najdroższego przydziału przy zadanej liczbie skojarzeń


Modele sieciowe

Zadanie przydziału – przykład

PrzykładPrzydzielić jak najwięcej zadań 1..4 do zespołów A..D

A B C D1 X X2 X3 X X4 X X

Model sieciowy


Modele sieciowe

Szeregowanie zadań jako problem przydziału

Wiele zadań szeregowania można przedstawić jako problemyprzydziału

Wierzchołkom mogą odpowiadać operacje, zadania, zasoby, procesory,jednostki czasu, pozycje zadania w uszeregowaniu, itp.

Przepływy na łukach modelują przydział elementów


Modele sieciowe

Szeregowanie zadań jako problem przydziału

Przydział zasobów do zadań – sformułowanien zadań do wykonania

Każde zadanie wymaga jednostki zasobu i jest realizowane wprzedziale czasu [ai ; bi ]

Czas potrzebny na przezbrojenie zasobu z zadania i na zadanie jwynosi rijNależy zminimalizować liczbę jednostek zasobu

Przydział zasobów do zadań – sposób rozwiązaniaWyznaczamy macierz relacji poprzedzania aij zawierającą 1 jeżelizadanie j może być wykonane po zadaniu i , 0 w p.p.

Szukamy maksymalnego przydziału zadań do zadań przy możliwychprzydziałach zdefiniowanych przez aij


Modele sieciowe

Minimalizacja kosztów przydziału

Koszty sumacyjneKlasyczne sformułowanie ZPL problemu sieciowego

maxxx0 = cT x∑j

xij ¬ 1

∑i

xij ¬ 1

xi ,j ∈ {0, 1} ∀(i , j) ∈ E


Modele sieciowe

Minimalizacja sumy kosztów przydziału

Algorytm węgierskiMacierz kosztów cn×n

Krok 1Od każdego elementu macierzy kosztów odejmij najmniejszą wartość wdanym wierszuOd każdego elementu macierzy kosztów odejmij najmniejszą wartość wdanej kolumnie

Krok 2 – sprawdzenie liczby niezależny zerWykreśl linie pionowe i poziome przechodzące przez zera w macierzykosztów, tak aby liczba linii była minimalnaJeżeli użyto n to koniec algorytmu

Krok 3 – powiększenie liczby zer niezależnychZnajdź najmniejszy nieskreślony elementOdejmij ten element od wszystkich nieskreślonych elementówDodaj ten element do wszystkich elementów podwójnie skreślonych


Modele sieciowe

Minimalnokosztowe zadanie przydziału

Cel: dokonać przydziału jak największej liczby zasobów przy jaknajmniejszym koszcieDekompozycja problemu na dwa etapy:

Maksymalizacja przydziału poprzez sprowadzenie do zadaniamaksymalnego przypływu

Minimalizacja kosztów przy zadanej liczbie skojarzeń poprzezsprowadzenie do problemu minimalnokosztowego przepływu w sieci


Modele sieciowe


Minimalizacja maksymalnego kosztuMetoda progowa

Wyznaczenie progu startowego C , np. jako wybór większej wartości zminimum z każdego wiersza i minimum z każdej kolumny

Usunięcie wszystkich elementów większych od C

Sprawdzenie, czy istnieje pełny przydział

Jeżeli nie istnieje, to zwiększamy wartość C do następnej wielkości ztabeli i dopisujemy wartości do tabeli

Najmniejsze C dla którego istnieje przydział pełny, jest poszukiwanymczasem cyklu


Modele sieciowe


Minimalizacja maksymalnego kosztu – przykładPrzydział pracowników do stanowisk

A B C D F1 18 16 17 192 9 133 20 22 25 154 14 15 15 225 28 16 11


Modele sieciowe

Sieciowe modele dystrybucji dóbr

Problem transportowym dostawców, n odbiorców

Zapotrzebowanie odbiorcy j wynosi Djm∑i=1

xij Dj ∀j = 1, . . . n

Zdolności wytwórcze wytwórcy i wynoszą Cin∑j=1

xij ¬ Ci ∀i = 1, . . .m

Przepływy są nieujemne xij 0

Minimalizacja sumarycznych kosztów, gdzie kij jest jednostkowymkosztem przesyłu

minK =m∑i=1

n∑j=1

kijxij


Modele sieciowe

Problem transportowy

Problem transportowy

n

1

m

1[0;C1]

[0;Cn]

i jS T[0;Ci]

[D1;∞]

[Dj;∞]

[Dm;∞]

k11k1jk1m

ki1kijkim

kn1 knjknm


Modele sieciowe

Zarządzanie produkcją i dystrybucją wyrobów

Zarządzanie produkcją i dystrybucją wyrobówZakłady produkcyjne z1, . . . , zl , . . . , zJ , wyroby w1, . . . ,wi , . . . ,wN ,odbiorcy o1, . . . , or , . . . , oKZnane koszty wytworzenia cli oraz transportu clirZnane zapotrzebowania dirDokonać alokacji zleceń do zakładów

2

1 1

1 2

2 1

2 2

2 3

1

1 1

2 1

3 1

1 2

2 3

2

1

Zakład j Zakład j, wyrób i Wyrób i, odbiorca k Odbiorca kdr inż. Mariusz Kaleta Elementy zarządzania produkcją 47 / 50

Modele sieciowe

Wyznaczanie marszrut

Problem komiwojażera, TSP (traveling salesman problem)

Polega na znalezieniu minimalnego cyklu Hamiltona (każdywierzchołek jest odwiedzony dokładnie raz) w pełnym grafie ważonym

Przykłady problemów: wyznaczanie marszrut narzędzie podczasobróbki (np. produkcja układów scalonych), logistyce (np.harmonogramowanie tras dostaw), planowaniu (np. układanie planówelementarnych)

Problem NP-trudny

Heurystyki i algorytmy przybliżone


Modele sieciowe

Problem komiwojażera – minimalizacja przezbrojeń

Plany elementarne

1

2

3

4

Model komiwojażera


Modele sieciowe

Problem marszrutyzacji (VRP – Vehicle Routing Problem)

Polega na wyznaczeniu optymalnych tras przewozowych dla pewnejlokalizacji odbiorców, centrów dystrybucyjnych, określonej liczbyśrodków transportu i przy założonych ograniczeniach

Obsługa zlecenia przez co najwyżej jeden pojazdOgraniczona pojemność towarówOkienka czasowe, w których pojazd musi odwiedzić zadają lokalizacjęMaksymalna długość trasy...

Problem NP-trudny

Heurystyki


dr inż. Mariusz Kaleta - ia.pw.edu.plmkaleta/zarzadzanieprojektami/modgraf/... · harmonogramu...

Documents

Transcript of dr inż. Mariusz Kaleta - ia.pw.edu.plmkaleta/zarzadzanieprojektami/modgraf/... · harmonogramu...