Zbiór zadań z geometrii

Dominik BurekMichał Woźny

Kraków 2019

1

ISBN XXX-X-XXXX-XXXX-X

2

Kąty 45◦, 60◦, 90◦

1. W trójkącie ABC (rys. 1) kąt przy wierz-chołki A ma miarę 60◦. Pokazać, że punkty B, C,ortocentrum oraz środki okręgów wpisanego i opi-sanego w trójkącie ABC leżą na jednym okręgu.

2. Punkt H jest ortocentrum nierównoramien-nego trójkąta ABC (rys. 2). Punkt S jest środ-kiem tego łuku BC okręgu opisanego na trójkącieBCH, który zawiera punkt H. Znaleźć miarę kątaBAC jeśli spełniona jest równość AH = AS.

3. Okręgi ω1 i ω2 (rys. 3) o promieniu r przeci-nają się w punktach A i B, przy czym |AB| = r.Z punktu P leżącego na ω1 prowadzimy stycznedo ω2, które przecinają ω1 w punktach X i Y .Pokazać, że prosta XY jest styczna do ω2.

4. W trójkącie ABC (rys. 4) zachodzi równośćAB = AC. Dwusieczne kątów CAB oraz ABCprzecinają jego boki BC oraz AC odpowiedniow punktach D i E. Punkt K jest środkiem okrę-gu wpisanego w trójkąt ADC. Załóżmy ponadto,że ]BEK = 45◦. Wyznaczyć możliwe wartości]CAB.

A

B C

H I O

rys. 1

A

B C

H S

rys. 2

A

B

PX

Yrys. 3

A

B CD

E

K

rys. 4

3

5. W trójkącie różnobocznym ABC (rys. 5) kątprzy wierzchołku A ma miarę 60◦. Na dwusiecz-nych kątów ABC i BCA wybrano punkty B′ i C′,że BC′ ‖ CA oraz CB′ ‖ AB. Prosta B′C′ prze-cina okrąg opisany na trójkącie ABC w punktachD i E, odpowiednio. Pokazać, że trójkąt ADE jestrównoramienny.

6. Dany jest trójkąt ABC (rys. 6), w którym

8. W trójkącie równobocznym ABC (rys. 8)okręgi ω i o są odpowiednio okręgiem wpisanym iopisanym. Punkty X i Y leżą na odcinkach AB iAC, odpowiednio tak, że prosta XY zawiera śro-dek trójkąta ABC. Okręgi Ω1 i Ω2 mają średniceXC i Y B, odpowiednio. Pokazać, że Ω1 i Ω2 prze-cinają się w punktach leżących na ω i o.

9. Dany jest trójkąt równoboczny ABC (rys. 9).Punkt P leży na krótszym łuku AB okręgu opi-sanego na tym trójkącie. Punkt M jest środkiemodcinka AC. Punkt Q jest symetryczny do punk-tu P względem punktu M . Wykaż, że BQ = PQ.

10. W trójkącie równobocznym ABC (rys. 10)na boku AC dany jest punkt T. Punkty M iN leżą na krótszych łukach AB i BC okręguopisanego na trójkącie ABC, tak że MT ‖ BCoraz NT ‖ AB. Proste AN i MT przecinająsię w punkcie X, a proste CM i NT przecinająsię w punkcie Y. Pokazać, że obwody wielokątówAXY C i XMBNY są równe.

A

B C

X

Y

P

Q

rys. 8

A

B C

M

P

Q

rys. 9

A

B C

M

N

TX

Y

rys. 10

5

Podobieństwo i symediany

11. Punkt M jest środkiem boku BC trójkątaABC (rys. 11). Punkt D leży wewnątrz trójkątaABC i spełnia równości

15. Dany jest czworokąt ABCD wpisany wokrąg o środku w punkcie O. Proste AB i CDprzecinają się w punkcie Q, proste AD i BCw punkcie R, a przekątne AC i BD w punkcieP . Punkt M jest punktem Miquela czworokątaAQCR. Pokazać, że:

1. OM ⊥ QR (rys. 15a).2. Czwórki punktów C, O, A, M oraz B, O,

D, M leżą na jednym okręgu (rys. 15b).

3. PunktyO,M , P są współliniowe (rys. 15c).

4. M jest obrazem inwersyjnym punktu Pwzględem okręgu opisanego na czworoką-cie ABCD (rys. 15d).

AB

C

D M

O

P

Q

R

rys. 15a

A B

C

D M

O

P

Q

R

rys. 15b

AB

C

D M

O

P

Q

R

rys. 15c

AB

C

D M = P∗

O

P

Q

R

rys. 15d

7

16. Trójkąt ABC (rys. 16) jest wpisany w okrągω. Styczne do ω w punktach B i C przecinają sięw punkcie T. Punkt S leży na półprostej BC tak,że AS ⊥ AT. Punkty B1 i C1 leżą na ST (C1leży między B1 i S) tak że B1T = BT = C1T.Pokazać, że trójkąty ABC i AB1C1 są podobne.

17. W pięciokącie wypukłym ABCDE (rys. 17)takim, że

20. W czworokącie wypukłym ABCD (rys. 20)boki BC i AD mają równą długość. Punkty Ei F leżą wewnątrz BC i AD odpowiednio tak,że BE = DF. Proste AC i BD przecinają sięw punkcie P a proste BD i EF przecinają sięw punkcie Q. Proste EF i AC przecinają się wpunkcie R. Rozpatrzmy trójkąty PQR przy zmie-niających się punktach E i F. Pokazać, że okręgiopisane na tych trójkątach mają punkt wspólnyróżny od P.

21. Dany jest ostrokątny różnoboczny trójkątABC (rys. 21). Okrąg ω o środku w O przechodziprzez B i C oraz przecina boki AB i AC odpo-wiednio w punktach E i D. Punkt P leży na łukuBC okręgu opisanego na trójkącie ABC zawiera-jącym punkt A. Udowodnić, że proste BD, CE iOP przecinają się w jednym punkcie wtedy i tylkowtedy gdy środki okręgów wpisanych w trójkątyPBD i PCE pokrywają się.

22. Okrąg wpisany o środku w punkcie I jeststyczny do boku BC nierównoramiennego trójką-ta ABC (rys. 22) w punkcie D. Punkt X leżyna łuku BC (niezawierającego punktu A) okręguopisanego na trójkącie ABC. Punkty E i F są rzu-tami punktu X na proste BI i CI, odpowiednio.Punkt M jest środkiem odcinka EF . Pokazać, żejeśli MB = MC, to

24. Punkt M jest środkiem odcinka boku BCtrójkąta ABC (rys. 24) wpisanego w okrąg Ω.Punkty E i F leżą na bokach CA i AB, odpo-wiednio, przy czym ME = MF . Styczne w punk-tach E i F do okręgu Γ opisanego na trójkącieAEF przecinają się w punkcie S. Okręgi Ω i Γprzecinają się w punkcie G 6= A. Pokazać, że

Okrąg wpisany i dopisany

27. Dany jest trójkąt ABC (rys. 27). Niech I bę-dzie środkiem okręgu wpisanego, zaś J środkiemokręgu A-dopisanego. Prosta AI przecina okrągopisany na trójkącie ABC w punkcie S 6= A. Udo-wodnić, że SB = SI = SC = SJ .

28. Okrąg wpisany w trójkąt ABC (rys. 28) jeststyczny do boków AC i AB odpowiednio w punk-tach D i E. Punkt F jest rzutem prostokątnympunktu B na prosta AC. PunktK jest symetrycz-ny do punktu F względem prostej DE. Dowieść,ze punkt K leży na dwusiecznej kąta ABC.

29. Dany jest trójkąt ABC (rys. 29). Niech I bę-dzie środkiem okręgu wpisanego, zaś E i F punk-tami styczności tego okręgu z bokami AC i AB,odpowiednio. Punkt Q jest punktem przecięciaprostych BI i EF , a M i N są odpowiednio środ-kami boków BC i AC. Pokazać, że:

1.

30. Dany jest trójkąt ABC (rys. 30). Okrąg wpi-sany jest styczny do BC w punkcie P . Niech PSbędzie średnicą okręgu wpisanego, zaś R punk-tem przecięcia prostych AS i BC. Udowodnić, żeBP = CR

31. Dany jest trójkąt ABC (rys. 31). Okrąg wpi-sany jest styczny do boków BC, AC i AB odpo-wiednio w punktach D, E i F . Niech DS będzieśrednicą okręgu wpisanego i tnie EF w K. Udo-wodnić, że AK jest środkową.

32. W trójkącie ABC (rys. 32) punkt X leży napółprostej BC, na zewnątrz trójkąta ABC. Po-kazać, że przy zmieniającym się położeniu punk-tu X, osie potęgowe okręgów wpisanych w trój-kąty ABX i ACX przechodzą przez jeden punktwspólny.

33. Punkt I jest środkiem okręgu wpisanego wtrójkąt ABC (rys. 33). Prosta AI przecina prostąBC w punkcie D oraz okrąg opisany na trójkącieABC w punkcie S 6= A. Punkt K jest środkiemokręgu wpisanego w trójkąt DSB, a punkt L - wtrójkąt DSC. Punkt P jest odbiciem symetrycz-nym punktu I względem prostej KL. Wykazać, że

34. Okrąg wpisany w trójkąt ABC (rys. 34) jeststyczny do boków BC, CA, AB odpowiednio wpunktach D, E, F . Odcinek DS jest średnicą tegookręgu. Proste AS, ES, FS przecinają prostą BCodpowiednio w punktach A′, E′, F ′. Wykazać, żeA′ jest środkiem odcinka E′F ′.

35. W trójkącie ostrokątnym ABC (rys. 35)punkt D jest spodkiem wysokości opuszczonej zwierzchołka A, a punkty M i N są rzutami pro-stokątnymi punktu D odpowiednio na boki AB iAC. ProsteMN oraz AD przecinają okrąg opisa-ny na trójkącie ABC odpowiednio w punktach P ,Q oraz A, R. Dowieść, że punkt D jest środkiemokręgu wpisanego w trójkąt PQR.

36. Okrąg wpisany w trójkąt ABC (rys. 36)jest styczny do boków BC, CA, AB odpowiedniow punktach D, E, F . Niech DK będzie średnicąokręgu wpisanego, zaś S punktem przecięcia DEi FK. Udowodnić, że AS jest równoległe do BC.

37. Niech BC będzie średnicą okręgu ω o środkuO (rys. 37). Punkt A leżący na okręgu ω spełniawarunek 0◦ <

38. Dany jest okrąg ω (rys. 38) o środku w punk-cie I wpisany w trójkąt ABC. Niech punkty M iN będą środkami boków odpowiednio AB i AC.Pokazać, że biegunem prostej MN względem ωjest ortocentrum trójkąta BIC.

39. W trójkącie ABC (rys. 39) punkt I jest środ-kiem okręgu wpisanego. Punkt P leży wewnątrztrójkąta oraz:

42. W trójkącie ABC (rys. 42) dwusieczne ką-tów ABC i BCA przecinają boki CA i AB od-powiednio w B1 i C1. Niech I będzie środkiemokręgu wpisanego, zaś M i N punktami przecię-cia prostej B1C1 z okręgiem opisanym na trójką-cie ABC. Pokazać, że promień okręgu opisanegona trójkącie MIN jest dwa razy dłuższy od pro-mienia okręgu opisanego na trójkącie ABC.

43. Okrąg ω wpisany trójkąt ABC (rys. 43) jeststyczny do boków BC, CA, AB odpowiednio wpunktach D, E, F . Niech J będzie środkiem okrę-gu A-dopisanego, zaś M i N środkami odcinkówDE oraz DF odpowiednio. Udowodnić, że biegu-nem prostej MN względem ω jest punkt J .

44. Niech ω będzie okręgiem wpisanym w trój-kąt ABC (rys. 44) o środku w punkcie I. Prostarównoległa do BC zawierająca I przecina boi ACi AB odpowiednio w punktach E oraz F . NiechE′ będzie punktem symetrycznym do E wzglę-dem prostej BI, zaś F ′ punktem symetrycznymdo F względem prostej CI. Udowodnić, że prostaE′F ′ jest styczna do ω.

A

B

B1

C

C1IM

N

O

Q

rys. 42

A

B CD

EF

J

MN

I

rys. 43

A

B C

E

E′

F

F ′

I

rys. 44

15

45. Dany jest trójkąt ABC (rys. 45), w któ-rym AB 6= AC. Punkty K, L, M są środkamiboków odpowiednio BC, CA, AB. Okrąg wpisa-ny w trójkąt ABC o środku w I jest styczny doBC w punkcie D. Prosta przechodząca przez śro-dek ID prostopadła do IK przecina prostą LMw P . Udowodnić, że

49. Dany jest trójkąt ABC (rys. 49), w którymAB + AC = 3BC. I jest środkiem okręgu wpisa-nego stycznego do boków AC i AB dpowiednio wE i F . Niech K i L będą punktami symetryczny-mi do E i F względem punktu I. Udowodnić, żeczworokąt BKLC jest cykliczny.

50. Niech ABC będzie trójkątem ostrokątnym(rys. 50), w którym AB > AC oraz Γ jest okrę-giem opisanym na tym trójkącie. Niech M bę-dzie środkiem łuku BC okręgu Γ niezawierającympunktu A. Punkt D jest przecięciem półprostychAC i BM . Punkt E 6= C jest przecięciem dwu-siecznej wewnętrznej kąta ACB z okręgiem opi-sanym na trójkącie BDC. Przypuśćmy, że E leżywewnątrz trójkąta ABC, zaś N jest przecięciemDE i okręgu Γ, przy czym E jest środkiem DN .Udowodnić, że N jest środkiem odcinka IBIC ,gdzie IB oraz IC to środki odpowiednio okręguB-dopisanego i C-dopisanego.

51. Niech I będzie środkiem okręgu wpisanegow trójkąt ABC (rys. 51), zaś E i F punktamistyczności tego okręgu z bokami odpowiednio ACi AB. Punkt O jest środkiem okręgu opisanego natrójkącie BIC. Pokazać, że

52. W trójkącie ABC (rys. 52) okrąg wpisanyjest styczny do boków BC,CA i AB w punktachodpowiednio D, E i F. Proste równoległe do DE iDF przechodzące przez C i B odpowiednio prze-cinają się w punkcie P. Pokazać, że PE = PF.

53. Niech I będzie środkiem okręgu wpisanegow trójkąt ABC (rys. 53), zaś AD średnicą okręguopisanego na tym trójkącie. Punkty E i F leżąna półprostych BA i CA odpowiednio, przy czymdługości odcinków BE i CE są równe połowie ob-wodu trójkąta ABC. Pokazać, że EF ⊥ DI

A

B CD

E

F I

Prys. 52

A

B C

D

E

F

I

rys. 53

18

Potęga punktu

54. Okrąg wpisany w trójkąt ABC (rys. 54) jeststyczny do boków AB i AC odpowiednio w punk-tach Z i Y . Odcinki BY i CZ przecinają się wpunkcie G, zaś punkty R i S wybrano tak, żeczworokąty BCY R i BCSZ są równoległoboka-mi. Wykazać, że GR = GS.

55. Dany jest trójkąt ABC (rys. 55), w którym

58. Punkt H jest ortocentrum trójkąta ostrokąt-nego ABC (rys. 58). Okrąg ΓA o środku w środkuodcinka BC przechodzi przez punkt H i przecinaprostą BC w punktach A1 i A2. Analogicznie de-finiujemy punkty B1, B2 oraz C1 i C2. Pokazać,że punkty A1, A2, B1, B2, C1 i C2 leżą na jednymokręgu.

59. Okrąg wpisany w trójkąt ABC (rys. 59) jeststyczny do boków BC, CA i AB w punktach od-powiednio D, E i F . Punkty K, L, M i N są od-powiednio środkami odcinków AE,AF,BF,BD.Proste KL i MN przecinają się w punkcie S. Po-kazać, że SA = SB.

60. Niech ωB i ωC będą okręgami dopisanymiw trójkącie ABC (rys. 60) do boków odpowiednioAC i AB. Ponadto, niech ω′B i ω

′C będą okręga-

mi symetrycznymi do ωB i ωC kolejno względemśrodków boków AC i AB. Pokazać, że oś potęgo-wa ω′B i ω

′C połowi obwód trójkąta ABC.

A

A1 A2B

B1

B2

C

C1

C2

H

rys. 58

A

B CD

EF

I

KL

M

N

S

rys. 59

A

B C

ω′

B

ω′

C

rys.60

20

61. Okręgi ω1, ω2 o środkach O1 i O2 odpowied-nio, przecinają się w punkcie P (rys. 61). Stycz-na zewnętrzna do ω1 i ω2 jest styczna do nich wpunktach A i B w tej kolejności. Prosta prostopa-dła do BP przechodząca przez punkt A przecinaO1O2 w punkcie Q. Pokazać, że

Twierdzenie o motylku

63. Dana jest cięciwa PQ okręgu Ω (rys. 63).Dane są również dwie inne cięciwy AC i BD prze-chodzące przez punktM , będący środkiem odcin-ka PQ. Niech X będzie punktem przecięcia ABi PQ, zaś Y punktem przecięcia CD i PQ. Do-wieść, że XM = MY .

64. W trójkącie ABC (rys. 64) punkt H jest or-tocentrum, a D środkiem boku BC. Prosta pro-stopadła do DH przechodząca przez H tnie AB iAC w punktach X i Y . Dowieść, że DX = DY .

65. W trójkącie ABC (rys. 65) punkt H jestortocentrum, a D jest spodkiem wysokości opusz-czonej z wierzchołka A. Niech O będzie środkiemokręgu opisanego na ABC. Prosta prostopadła doOD przechodząca przez D tnie AB w punkcie X.Dowieść, że

67. W nierównoramiennym trójkącie ABC (rys.67) punkty O i I są odpowiednio środkami okręguopisanego i wpisanego, odpowiednio. Punkt B′,jest obrazem punktu B w symetrii względem pro-stej OI i leży wewnątrz kąta ABI. Pokazać, żestyczne w punktach B′, I do okręgu opisanego natrójkącie BB′I przecinają się na prostej AC.

A

BC

B′

I

O

rys. 67

23

Prosta Simsona

68. Dany jest trójkąt ABC (rys. 68) wpisany wokrąg ω oraz punkt P leżący na tym okręgu. Rzu-ty prostokątne punktu P na proste BC,CA,ABoznaczmy odpowiednio przezD,E, F . Dowieść, żepunkty D,E, F leżą na jednej prostej.

69. Punkt P leży na okręgu ω opisanym na trój-kącie ABC (rys. 69). PunktyX, Y i Z są obrazamipunktu P w symetrii względem boków odpowied-nio BC, CA i AB. Dowieść, że punkty X, Y i Zleżą na jednej prostej, która zawiera ortocentrumtrójkąta ABC.

70. Punkt H jest ortocentrum trójkąta ABC(rys. 70). Prosta ` przechodzi przez H. Poka-zać. że obrazy prostej ` względem boków trójkątaABC przecinają się w punkcie leżącym na okręguopisanym na trójkącie ABC.

71. Prosta l przechodzi przez wierzchołek A trój-kąta równobocznego ABC (rys. 71). Okrąg ωb ośrodku w punkcie Ib jest styczny do odcinka ACw punkcie B1 oraz jest styczny do prostych l iBC. Okrąg ωc o środku w punkcie Ic jest stycznydo odcinka AB w punkcie C1 oraz do prostych li BC. Pokazać, że ortocentrum trójkąta AC1B1leży na prostej IbIc.

A

B CD

E

F

P rys. 68

A

B C

HX

Y

Z

Prys. 69

A

B C

H

rys. 70

A

B C

H

B1C1

Ib

Ic

rys. 71

24

72. W czworokącie ABCD (rys. 72) opisanymna okręgu prosta l przechodząca przez wierzcho-łek A przecina bok BC w punkcieM oraz półpro-stą−−→DC w punkcie N . Punkty I1, I2, I3 są środ-

kami okręgów wpisanych odpowiednio w trójką-ty ABM , MNC, NDA. Dowieść, że ortocentrumtrójkąta I1I2I3 leży na prostej l.

73. Punkt H jest ortocentrum trójkąta ABC(rys. 73). Prosta ` przechodzi przez H, natomiastpunkt P leży na `. Punkty P1, P2 są obrazamipunktu P w symetrii względem prostych BC iAC, odpowiednio. Punkt S jest przecięciem obra-zów prostej ` w symetrii względem boków trójką-ta ABC. Pokazać, że punkty P1, P2, C, S leżą najednym okręgu.

74. Dany jest trójkąt ABC (rys. 74) wpisany wokrąg ω. Punkt K ∈ ω i punkt A leżą po prze-ciwnych stronach prostej BC. Punkty L, M sąodbiciami punktu K względem AB, BC. Okrągprzechodzący przez punkty B, L, M przecina ωpo raz drugi w punkcie E. Punkt H jest orto-centrum trójkąta ABC. Wykazać, że proste KH,EM, BC mają punkt wspólny.

75. Dany jest trójkąt ABC (rys. 75) i prosta lprzechodząca przez wierzchołek A i nieprzecina-jąca odcinka BC. Punkt O1 jest środkiem okręgustycznego do odcinka AB, prostej BC i prostej l,przy czym okrąg ten jest rozłączny z wnętrzemtrójkąta ABC. Punkt O2 jest środkiem okręgustycznego do odcinka AC, prostej BC i prostej l,przy czym okrąg ten jest rozłączny z wnętrzemtrójkąta ABC. Zaś punkt O3 jest środkiem okrę-gu A-dopisanego trójkąta ABC. Dowieść, że or-tocentrum trójkąta O1O2O3 leży na prostej BC.

A B

C

D

M

N

I1

I2I3H

rys. 72

A

B C

HP

P1

P2

Srys. 73

A

BC

E

H

K

L M

rys. 74

A

B CH

O1

O2

O3

rys. 75

25

76. Dane są punktyA, B, C, D, E takie, że czwo-rokąt ABCD (rys. 76) jest równoległobokiem, aczworokąt BCED jest wpisany w okrąg. Prostal przechodząca przez A przecina wnętrze odcin-ka CD w punkcie F, a prostą BC w punkcie G.Przypuśćmy, że EF = EG = EC. Wykazać, że ljest dwusieczną kąta

80. Punkt H jest ortocentrum trójkąta ABC(rys. 80). Punkt P leży na okręgu opisanym.Pokazać, że prosta Simsona punktu P i prostaPH przecinają się na okręgu 9-punktów trójkątaABC.

81. Niech ABC będzie trójkątem ostrokątnym(rys. 81) a Γ jego okręgiem opisanym. Niech ` bę-dzie prostą styczną do Γ, i niech `a, `b i `c będąobrazami prostej ` względem prostych BC, CA iAB, odpowiednio. Pokazać, że okrąg opisany natrójkącie DEF wyznaczonym przez proste `a, `b i`c jest styczny do Γ.

A

B C

H

P rys. 80

A

B C

D

E

F

`

rys. 81

27

Inwersja√bc

82. W trójkącie ABC (rys. 82) dwusieczna kątaBAC przecina bok BC w punkcie D oraz okrągopisany Ω na trójkącie ABC w punkcie E. Okrągω o średnicy DE przecina Ω ponownie w punkcieF . Pokazać, że AF jest symedianą trójkąta ABC.

83. Punkt I jest środkiem okręgu wpisanego wtrójkąt ABC (rys. 83), zaś ω jest okręgiem opisa-nym na tym trójkącie. Okrąg styczny do odcinkówAB, AC jest styczny do okręgu ω w punkcie P , aS jest środkiem tego łuku BC okręgu ω, na któ-rym leży punkt A. Wykazać, że punkty P , I, S sąwspółliniowe.

84. Punkt I jest środkiem okręgu wpisanego wtrójkąt ABC (rys. 84). Prosta AI przecina okrągopisany o w punkcie X. Punkt Q leży na łuku BCokręgu o, który nie zawiera punktu A. Punkt Dleży na odcinku BC po przeciwnej stronie prostejAI niż punkt Q, przy czym

85. W trójkącie ABC (rys. 85) punkty K i Lsą środkami boków odpowiednio AB i AC. PunktP 6= A jest punktem przecięcia okręgów opisanychna trójkątach ABL i ACK. Niech Q 6= A będziepunktem przecięcia prostej AP i okręgu opisanegona trójkącie AKL. Pokazać, że 2AP = 3AQ.

86. Dany jest trójkąt ABC (rys. 86) oraz punk-ty I, J będące środkami okręgów odpowiedniowpisanego w ABC i A-dopisanego. Niech P i Qbędą punktami przecięcia prostych prostopadłychdo AI przechodzących odpowiednio przez I i J zprosta BC. Udowodnić, że

89. Niech punkty D, B, C, E leżą na jednej pro-stej w tej właśnie kolejności (rys. 89) i niech punktA spełnia równości AB = DB oraz AC = EC.Poprowadźmy dwusieczne kątów ABC oraz ACBi ich przecięcia z okręgiem opisanym na trójką-cie ABC oznaczmy odpowiednio przez K i L, zaśich przecięcia z przeciwległymi bokami trójkątaABC odpowiednio przez P i Q. Niech X będzieśrodkiem okręgu opisanego na trójkącie DBL, zaśY środkiem okręgu opisanego na trójkącie ECK.Przez S oznaczmy punkt przecięcia CX i BY .Udowodnić, że AS ⊥ PQ.

90. Trójkąt ABC (rys. 90) jest wpisany w okrągω. Prostam równoległa do BC przecina boki AB,AC w punktach D, E odpowiednio, oraz przeci-na ω w punktach K, L (gdzie D leży między K iE). Okrąg γ1 jest styczny do odcinków KD i BDoraz jest styczny do ω, okrąg γ2 jest styczny doodcinków LE i CE oraz styczny do ω. Przy zmie-niającej się prostej m wyznaczyć zbiór punktówprzecięcia stycznych wewnętrznych okręgów γ1 iγ2.

91. W trójkącie ABC (rys. 91) punkty K i Lleżą na boku BC tak, że

93. Punkt O jest środkiem okręgu opisanego natrójkącie ABC (rys. 93). Okrąg ω jest styczny doboków AB i AC odpowiednio w punktach M iN oraz do okręgu opisanego na trójkącie BOC.Pokazać, że prosta MN połowi odcinek AI, gdzieI jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC.

94. Niech ABC będzie trójkątem ostrokątnym(rys. 94), a Ω okręgiem opisanym na tym trójką-cie. Punkt B0 jest środkiem AC, zaś C0 jest środ-kiem AB. Niech D będzie spodkiem wysokościopuszczonej z wierzchołka A, a G środkiem cięż-kości trójkąta ABC. Okrąg ω przechodzi przezpunkty B0 i C0 i jest styczny do Ω w punkcieX 6= A. Dowieść, że punkty D, G, X są współli-niowe.

95. Punkt O jest środkiem okręgu opisanego natrójkącie ABC (rys. 95). Niech T będzie punktemprzecięcia okręgu opisanego na trójkącie BOC zokręgiem przechodzącym przez punkty A i C istycznym do AB. K jest punktem przecięcia pro-stych TO i BC. Dowieść, że prosta AK jest stycz-na do okręgu opisanego na trójkącie ABC

96. Niech Ib, Ic będą środkami okręgów B-dopisanego i C-dopisanego w trójkącie ABC (rys.96). PQ jest cięciwą okręgu opisanego na trójką-cie ABC równoległą do BC i przecinającą odcinkiAB i AC. Udowodnić, że jeżeli BC przecina APw punkcie R to

97. Trójkąt ABC (rys. 97) jest wpisany w okrągΩ. Punkty R i S leżą na odcinkach odpowiednioAB i AC, przy czym BR = RS = SC. Prostastyczna do Ω w punkcie A przecina prostą RS wpunkcie P. Punkt I jest środkiem okręgu wpisa-nego w trójkąt ARS. Pokazać, że PA = PI.

A

RS

I

B C

P

rys. 97

32

Dwustosunek i biegunowe

98. Jeśli punkty A, C, B iD leżą w tej kolejnościna jednej prostej k (rys. 98), oraz punkt X nie na-leży do k, to dowolne dwa z trzech następującychwarunków implikują trzeci

1. (A,B;C,D) = 1,

2. Prosta XC jest dwusieczną kąta AXB,

3. XC ⊥ XD.

99. Dane są dwa różne okręgi o1 i o2 (rys. 99)o środkach odpowiednio O1 i O2. Niech punktyP i Q będą środkami odpowiednio jednokładno-ści zewnętrznej i wewnętrznej okręgów o1 i o2.Wykazać, że (P,Q;O1, O2) = 1.

100. Dane są dwa ortogonalne (prostopadłe)okręgi o1 i o2 (rys. 100) o środkach odpowiednioO1 i O2. Prosta przechodząca przez O1 przecinaokrąg o1 w punktach A i B, a okrąg o2 w punk-tach C i D. Wykazać, że (A,B;C,D) = 1.

101. W trójkącie ABC (rys. 101) punkty X, Yi Z leżą odpowiednio na bokach BC, CA i AB.Prosta Y Z przecina prostą AB w punkcie X′. Po-każ, że (B,C;X,X′) = 1 wtedy i tylko wtedy, gdyproste AX, BY i CZ przecinają się w jednympunkcie.

102. Dane są trzy punkty współliniowe A, B i C(rys. 102) takie, że punkt C jest środkiem odcinkaAB. Pokaż, że (A,B;C,X∞) = 1.

A BC D

X

rys. 98

O1 O2P Q

rys. 99

O1 O2A

BC

D

rys. 100

A

B CX X ′

YZ

rys. 101

A BC X∞rys. 102

33

103. W trójkącie ABC (rys. 103) okrąg wpisanyo środku I jest styczny w punktach D, E i F doboków odpowiednio BC, CA i AB. Punkt M torzut prostokątny punktu D na prosta EF . NiechP będzie środkiem odcinkaDM . Pokaż, że jeśliHjest ortocentrum w trójkącie BIC to prosta PHpołowi odcinek EF .

104. ABCD jest czworokątem wypukłym (rys.104), w którym prosta AC jest dwusieczną kątaBAD. Punkt E leży na odcinku CD, a F jestprzecięciem BE i AC. Odcinek DF przedłużamydo przecięcia z bokiem BC w punkcie G. Wyka-zać, że

106. W trójkącie ABC (rys. 106) punkt D jestpunktem przecięcia dwusiecznej kąta przy wierz-chołku A z bokiem BC. Punkty I1 i I2 są środ-kami okręgów wpisanych w odpowiednio trójkątyABD i ADC. Prosta I1I2 przecina proste AB iAC odpowiednio w punktach F i E. Wykazać żeproste AD, BE i CF przecinają się w jednympunkcie.

107. W trójkącie ABC (rys. 107) dwusieczna ką-ta przy wierzchołku A przecina prostą BC i okrągopisany na trójkącie ABC odpowiednio w punk-tach D i M . Niech ω będzie okręgiem o środku wpunkcie M promieniu MB. Prosta l przechodzą-ca przez punkt D, przecina ω w punktach P i Q.Pokaż, że prosta AD jest dwusieczną kąta PAQ.

108. Niech M będzie środkiem boku AC trój-kąta ABC (rys. 108), a K — punktem półpro-stej BA leżącym poza odcinkiem BA. ProstaKMprzecina bok BC w punkcie L, a P jest takimpunktem odcinka BM , że półprosta PM jestdwusieczną kąta LPK. Prosta l jest równoległado BM i przechodzi przez punkt A. Wykazać, żerzut prostopadły punktu M na prostą l leży naprostej PK.

A

B CD

EF

I1 I2

rys. 106

A

B CD

M

P

Q

rys. 107

A

B C

K

L

M

P

rys. 108

35

109. Niech O oraz I będą odpowiednio środkiemokręgu opisanego i środkiem okręgu wpisanego wtrójkąt ABC (rys. 109). Prosta prostopadła doOI i przechodząca przez I przecina BC w punkcieY , zaś dwusieczną kąta zewnętrznego przy wierz-chołku A w punkcie X. W jakim stosunku punktI dzieli odcinek XY ?

110. Dany jest czworokąt ABCD (rys. 110) opi-sany na okręgu ω o środku w punkcie I. Punkt Tjest rzutem punktu I na prostą BD. Pokaż, żeprosta BD jest dwusieczną kąta ATC.

111. W trójkącie ABC (rys. 111) punkt I jestśrodkiem okręgu wpisanego. Punkty D i E leżąna prostej BC (w kolejności E, B, D, C) tak, że(E,D;B,C) = 1. Punkt F jest rzutem punktu Dna prostą IE. Pokazać, że

113. Okrąg wpisany o środku w punkcie I jestwpisany w trójkąt ABC (rys. 113) i jest stycznydo BC w punkcie D. Odcinek AK jest średnicąokręgu opisanego na trójkącie ABC. Punkt L jesttaki, że AL ⊥ BC oraz IL ⊥ AD. Pokazać, żeKL połowi odcinek ID.

114. W trójkącie ABC (rys. 114) okrąg wpisanyω jest styczny do boku BC w punkcie K. PunktD jest spodkiem wysokości trójkąta ABC opusz-czonej z wierzchołka A. Punkt M jest środkiemodcinka AD. Prosta KM przecina ω w punkcieN . Pokazać, że okrąg opisany na trójkącie BNCjest styczny do ω.

115. Czworokąt ABCD jest wpisany w okrągω (rys. 115). Odcinek AC jest średnicą ω orazAC ⊥ BD. Punkt M jest środkiem odcinka AD.Prosta prostopadła do prostej BM przechodzącaprzez punkt C przecina prostą AD w punkcie P .Pokazać, że prosta BP jest styczna do okręgu ω.

A

B CD

I

K

L

rys. 113

A

B CDK

M

N

rys. 114

A

B

C

D

M

P

rys. 115

37

116. Dany jest trójkąt ABC (rys. 116). Punkt Ijest środkiem okręgu ω wpisanego w ten trójkąt,a punkt D jest dowolnym punktem na odcinkuBC. Okręgi ωB i ωC o środkach w punktach IBi IC to okręgi wpisane odpowiednio w trójkątyABD i ACD. Niech ωB będzie styczny do BCw punkcie E, a ωC w punkcie F . Ponadto P =IBIC ∩ AD, X = BI ∩ CP oraz Y = CI ∩ BP .Pokazać, że proste EX i FY przecinają się naokręgu ω wpisanym w trójkąt ABC.

117. Proste CA i CB są styczne do okręgu ωodpowiednio w punktach A i B (rys. 117). PunktX jest odbiciem punktu A względem punktu B.Okrąg ω′ opisany na trójkącie CBX przecina po-nownie okrąg ω w punkcie D. Prosta CD przecinaω ponownie w punkcie E. Dowieść, że prosta EXjest styczna do okręgu ω′.

118. Punkt M jest środkiem odcinka BC trój-kąta ABC (rys. 118). Okrąg ω o średnicy AMprzecina proste AB i AC odpowiednio w punk-tach D i E. Styczne w punktach D i E do okrę-gu ω przecinają się w punkcie P . Udowodnić, żePB = PC.

A

B CDE F

I

Ib

Ic

P

X Y

rys. 116

A

B

C DE

X

rys. 117

A

B C

DE

M

P rys. 118

38

Sprzężenie izogonalne

119. Dany jest trójkąt ABC (rys. 119) i opisa-ny na nim okrąg ω o środku w O. Punkty P i Qsą izogonalnie sprzężone w trójkącie ABC. NiechD 6= A będzie punktem przecięcia prostej AP zokręgiem ω, zaś M i N 6= D punktami przecięćprostej OD odpowiednio z odcinkiem BC i okrę-giem ω. Udowodnić, że

123. Punkty P i Q są punktami izogonalniesprzężonymi w trójkącie ABC (rys. 123). Poka-zać, że obraz prostej AP względem dwusiecznejkąta wewnętrznego BPC oraz obraz prostej AQwzględem dwusiecznej kąta wewnętrznego BQCsą symetryczne względem prostej BC.

124. Pokazać, że następujące pary punktów sąizogonalnie sprzężone:

• Ortocentrum i środek okręgu opisanego(rys. 124a).

• Środek jednokładności wewnętrznej okrę-gów wpisanego i opisanego i punkt Gergin-na (rys. 124b).

• Środek jednokładności zewnętrznej okrę-gów wpisanego i opisanego i punkt Nagela(rys. 124c).

A

B C

PQ

rys. 123

A

B C

HO

rys. 124a

A

B C

G S

rys. 124b

A

B C

N

S

rys. 124c

40

125. W trójkącie ABC (rys. 125) punkty P iQ są izogonalnie sprzężone. Proste AP, BP, CPprzecinają boki BC, CA i AB w punktach odpo-wiednio D, E i F. Punkt O jest środkiem okręguopisanego na trójkącie ABC. Prosta przechodzą-ca przez punkt A i prostopadła do EF przecinaOD w punkcie X. Pokazać, że QX ⊥ BC.

126. Punkty P i Q są punktami izogonalniesprzężonymi w trójkącie ABC (rys. 126). TrójkątPAPBPC jest trójkątem spodkowym punktu P ,zaś trójkąt QAQBQC jest trójkątem spodkowympunktu Q. Niech H = PBPC ∩QBQC . Udowod-nić, że AH ⊥ PQ.

A

B CD

EF O

P

Q

X

rys. 125

A

B C

H

P

PA

PBPC

Q

QA

QBQC

rys. 126

41

Krzywe stożkowe

127. Pokazać, że cztery punkty przecięcia dwóchparabol, których kierownice są prostopadłe, leżąna okręgu (rys. 127).

128. Okrąg o środku w punkcie O1 i elipsa ośrodku w punkcie O2 są styczne zewnętrznie orazdwie wspólne styczne zewnętrzne są równoległe(rys. 128). Pokazać, że długość odcinka O1O2 jestsumą pół osi małej i pół osi wielkiej elipsy.

129. Pokazać, że trzy styczne do paraboli two-rzą trójkąt, którego okręg opisany zawiera ogniskoa ortocentrum leży na kierownicy paraboli (rys.129).

130. Niech ABC i PQR będą trójkątami (rys.130) takimi, że A i P są środkami boków QR iBC, odpowiednio oraz QR i BC są dwusiecznymiodpowiednio kątów BAC i QPR. Pokazać, że

AB +AC = PQ+ PR.

P1

P2P3

P4

rys. 127

O1 O2

rys. 128

A

B

CF

H

rys. 129

A

B CP

Q

R rys. 130

42

131. Niech ABC będzie trójkątem równobocz-nym (rys. 131) a punkty M i N środkami AB iAC, odpowiednio. Niech P będzie punktem leżą-cym po tej samej stronie prostej AB co punkt C,zaś punkt Q leży na prostej BN oraz