Laboratorium Materiałów konstrukcyjnych i Eksploatacyjnych – P.Wr. – WME

1

Dobór materiałów konstrukcyjnych

Cel ćwiczenia

Zapoznanie się z zasadami i procedurami doboru materiałów wg zadanych kryteriów oraz praktycz-

nym zapoznaniem się z programem umożliwiającym realizacje tych zadań. W ćwiczeniu zostaną za-

prezentowane wybrane przykłady mające zastosowanie w mechanice i energetyce.

Zasady określania kryteriów do wyboru materiałów

Liczba materiałów dostępnych na runku sięga już dziesiątków tysięcy. Wybór właściwego materiału

do konkretnego zastosowania staje się, więc problemem samym w sobie. Aby go rozwiązać konieczny

jest dostęp do elektronicznych baz danych zawierających użyteczne informacje na temat jak najwięk-

szej liczby materiałów oraz oprogramowania pozwalającego dokonywać selekcji na podstawie kryte-

riów określonych przez konstruktora.

Dobór materiałów jest procesem optymalizacyjnym1 polegającym na znalezieniu materiału, który

najlepiej nadaje się do określonego zadania – celu projektu – przy założonych ograniczeniach. Trud-

ność polega na tym, że nie wystarczy wybrać materiał ze względu na minimalną lub maksymalną

wartość jakiejś własności (wytrzymałość, sztywność itp.), ale dodatkowo trzeba uwzględnić wymaga-

nia funkcjonalne, geometrię i inne ograniczenia, które komplikują wybór. Zagadnienie sprowadza się

do znalezienia tzw. wskaźnika funkcjonalności zależnego od własności materiałowych, którego maksy-

malizacja wyznacza materiał optymalny ze względu na określony cel. Wyznaczenie wskaźnika funk-

cjonalności odbywa się wg następującego algorytmu:

a) Ustalenie cechy podlegającej optymalizacji.

b) Wyprowadzenie równania cechy w postaci przedstawiającej wymagania funkcjonalne

(uwzględniające cechy geometryczne, funkcjonalne i materiałowe) – funkcja celu.

c) Ustalenie ograniczeń projektowych.

d) Wyprowadzenie równań przedstawiających ograniczenia projektowe (uwzględniające cechy

geometryczne, funkcjonalne i materiałowe).

e) Ustalenie zmiennych swobodnych (niewyszczególnionych w projekcie).

f) Podstawienie zmiennych swobodnych wyliczonych z (d) do równania (b).

g) Pogrupowanie zmiennych w trzy zbiory: funkcjonale (obciążenia, ugięcia…), geometryczne

(wymiary, momenty bezwładności przekrojów …) i materiałowe (własności).

h) Odczytanie wskaźnika funkcjonalności M.

Następny rozdział opisuje przykład rozwiązania takiego zadania.

Przykład: kryterium minimum masy przy maksimum wytrzymałości

W konstrukcjach mobilnych (pojazdy, statki, urządzenie przenośne itp.) konieczne jest dobranie mate-

riału zapewniającego minimalną masę przy jednoczesnej dobrej wytrzymałości. Minimalna masę

gwarantują materiały o małej gęstości , zaś dobrą wytrzymałość materiały o wysokiej granicy pla-

styczności Re lub wytrzymałości Rm. Czy zatem należy szukać materiału, który jest lekki, czy który jest

wytrzymały? Na przykład małą masę może zapewnić nawet materiał o dużej gęstości, jeżeli tylko ma

wysoką wytrzymałość Re, bo w tym przypadku do przeniesienia obciążenia potrzebne będą mniejsze

przekroje, które przełożą się małą masę. Z kolei lekki materiał o zbyt małej wytrzymałości będzie

1 Optymalizacja polega na znalezieniu maksimum lub minimum pewnej funkcji tzw. funkcji celu przy zadanych

ograniczeniach.

Laboratorium Materiałów konstrukcyjnych i Eksploatacyjnych – P.Wr. – WME

2

wymagał większych przekrojów, co może zniwelować wpływ malej na masę konstrukcji. Może lep-

szym rozwiązaniem będzie znalezienie materiału o najwyższym stosunku Re/?

Rys. 1. Schemat obciążenia i utwierdzeń dla wału, dla którego należy dobrać materiał na gwarantujący mini-malną masę przy jednoczesnej dobrej wytrzymałości.

Aby ten problem rozwiązać należy wyznaczyć odpowiedni do danego zadania wskaźnik funkcjonal-

ności, który pomoże w wyborze właściwego materiału.

Rozważmy wał (rys.1.) o końcach zamocowanych w łożyskach obciążony w środku siłą P. Za-

łóżmy, że narzuconym warunkiem konstrukcyjnymi jest długość l, zaś średnica d jest jeszcze nieznana

(zmienna swobodna). Zastosujmy do tego wspomniany poprzednio algorytm.

(a) Zgodnie z warunkami zadania wielkością podlegającą optymalizacji jest masa wału, która ma

osiągać wartość minimalną czyli m min.

(b) Masa belki dana jest wzorem

𝑚 =𝜋𝑑2

4𝑙 𝜌 (1)

(c) Ograniczeniem projektowym jest wytrzymałość belki czyli maksymalne naprężenia w wale max,

które nie powinny przekraczać wartości dopuszczalnych kz = Re/X, ( X – współczynnik bezpie-

czeństwa)

𝜎𝑚𝑎𝑥 ≤ 𝑘𝑧 = 𝑅𝑒/𝑋. (2)

(d) Maksymalne naprężenie max, w tak obciążonym i utwierdzonym wale dane jest równaniem:

𝜎𝑚𝑎𝑥 =𝑀𝑔

𝑤𝑚𝑎𝑥

=16 𝑃𝑙

𝜋 𝑑3≤

𝑅𝑒

𝑋, (3)

gdzie 𝑤𝑚𝑎𝑥 = 𝜋𝑑3/32 jest wskaźnikiem na zginanie przekroju kołowego zaś Mg = Pl/2 momen-

tem zginającym.

(e) W obu równaniach (1 i 3) nieznana zmienną (zmienną swobodną), którą trzeba wyrugować jest d

a wylicza się ją z (3).

𝑑 = √16 𝑋𝑃𝑙

𝜋𝑅𝑒

3

. (4)

(f) Wyliczoną zmienną swobodną d daną teraz równaniem (4) wstawia się do (1).

(g) Ostatecznie, po przekształceniach, równanie na masę wałka ma postać

𝑚 = [(𝑃𝑋)2/3](√43

𝜋 𝑙5/3) (𝜌

𝑅𝑒2/3

) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ∙ 𝜌

𝑅𝑒2/3

. (5)

(h) Po prawej stronie równania (5) dwa pierwsze czynniki, ujęte w nawiasy, grupują parametry

funkcjonalne (obciążenie P i współczynnik bezpieczeństwa X) oraz geometryczne (długość wałka

l), które są dla określonego zadania stałe gdyż wynikają z założeń projektowych. Ostatni czynnik,

czyli

𝜌

𝑅𝑒2/3

= 𝑀𝑅−1 (6)

Laboratorium Materiałów konstrukcyjnych i Eksploatacyjnych – P.Wr. – WME

3

reprezentuje własności materiałowe a jego odwrotność MR jest szukanym wskaźnikiem funkcjonal-

ności. Jest on zmienną, którą trzeba tak dobrać, aby uzyskać minimum masy.

Nietrudno zauważyć, że minimum to osiąga się wybierając materiał o największej wartości MR. Mate-

riały o tej samej wartości MR są równoważne ze względu na założone kryterium i reprezentują mate-

riały zamienne.

Rys. 2. Wybór materiału spełniającego kryterium minimum masy przy maksi-

mum wytrzymałości na wykresie Re – we współrzędnych logarytmicznych. Wskaźniki funkcjonalności: - dla rozciągania pręta:

𝑀𝑅1 =𝑅𝑒

𝜌

- dla zginanie belki (6):

𝑀𝑅2 =𝑅𝑒

2/3

𝜌

- dla zginania płyty:

𝑀𝑅3 =𝑅𝑒

1/2

𝜌

są reprezentowane na wykresie liniami prostymi. Kierunek wzrostu pokazuje strzałka.

Dokonując analogicznej analizy dla rozciągania prętów oraz zginania płyt można ustalić podobne

wskaźniki funkcjonalności MR1, MR3 przedstawione obok rys.2. Wszystkie one są funkcją i Re. Dla

ułatwienia wyboru, materiały przedstawia się na płaszczyźnie określonej współrzędnymi (, Re), sto-

sując na osiach skalę logarytmiczną. Każdy materiał reprezentowany jest przez pojedynczy punkt a

grupa materiałów o zbliżonych wartościach skupia się w tej samej okolicy zakreślonej na wykresie

owalem.

Logarytmując równanie (6) i wyliczając ze względu na log(Re) łatwo zauważyć, że dla danej MR2

logarytmy obu własności pozostają w zależności liniowej

log 𝑅𝑒 =3

2log 𝜌 +

3

2log 𝑀𝑅2 (7)

i na rys.2 przedstawiają prostą o nachyleniu 3/2. Analogicznie współczynniki nachyleń dla pozosta-

łych liczb przewodnich wynoszą 1 oraz 2. Materiały leżące na tej samej linii są równoważne i wykazu-

ją jednakową funkcjonalność. Te, które znajdują się nad linią są lepsze, te pod linią gorsze. Obszar

wyboru jest więc wyznaczony prostą stałej wartości MR2 , prostą pionową określającą maksymalną

wartość oraz poziomą wyznaczającą minimalną wartość Re i zlokalizowany jest w lewym górnym

rogu rys.2.

Inne wskaźniki funkcjonalności

Oczywiście, aby wybrać konkretny materiał należy uwzględnić inne warunki jak np. cenę, wpływ na

środowisko, własności technologiczne itp. Każde z tych warunków definiuje specyficzny filtr, który

zawęża zbiór wyboru pozostawiając ostatecznie jeden lub kilka materiałów do wyboru. Może się zda-

rzyć, że przy zbyt wygórowanych wymaganiach nie udaje się wybrać konkretnego materiału i wtedy

trzeba zrewidować kryteria.

Analizy analogiczne do przedstawionej wyżej można przeprowadzać dla innych celów projek-

towych określając w ten sposób liczby przewodnie przydatne przy wyborze materiału ze względu na

inne funkcje. Na przykład powyższy przykład łatwo można zaadaptować do celu minimalizacji kosz-

tu lub energochłonności produkcji, jako że obie wartości są proporcjonalne do masy. Adaptacja polega

Laboratorium Materiałów konstrukcyjnych i Eksploatacyjnych – P.Wr. – WME

4

na podstawieniu w miejsce iloczynu C lub e , gdzie C jest ceną jednostkową materiału (zł/kg), zaś

e jednostkową energochłonnością wytworzenia części (np. MJ/kg). Poniższe tabele przedstawiają wy-

brane wskaźniki funkcjonalności dla różnych celów projektowych i projektowanych elementów.

Tabela 1. Minimalizacja masy, kosztu, energochłonności

Element Wielkości projektowe Zmienne

swobodne

Wskaźnik funkcjonalności dla:

wytrzymałości sztywności

Pręt (rozciąganie) Obciążenie, sztywność długość Pole przekroju

Re/ E/

Cylinder (ciśnienie wew.) Ciśnienie, promień Grubość ścianki

Powłoka kulista (ciśnienie) j.w. j.w. E/(

Belka (zginanie) Obciążenie, długość Pole przekroju (Re)2/3

/ E

1/2/

Płyta (zginanie) Obciążeni, długość grubość (Re)1/2

/

Dla kosztu i energochłonności w miejsce podstawia się odpowiednio C lub e , gdzie C – cena jednostkowa materiału (zł/kg);

e – energochłonność wytworzenia w stosunku do jednostki masy (np. MJ/kg)

Tabela 2. Wybrane wskaźniki funkcjonalności dla typowych elementów stosowanych w energetyce (materiały o większym wskaźniku są lepsze ze względu na zadany cel)

Element Cel projektu Wskaźnik funkcjonalności

Sprężyna Minimum objętości – zadana energia zmagazynowana Re

2/E

Minimum masy – zadana energia zmagazynowana Re2/(E

Wirujący dysk Maksymalna prędkość kątowa – zadany promień Re/

Koło zamachowe Maksymalizacja zgromadzonej energii w jednostce masy

Uszczelka Maksimum pow. styku – zadany nacisk Re/E, Re

Zbiornik ciśnieniowy Odkształcenie plastyczne przed pęknięciem Kc/Re

Przeciek przed zniszczeniem Kc2/Re

Izolacja cieplna

Minimalny strumień ciepłą w stanie ustalonym 1/

Minimalne zużycie energii w cyklu grzewczym a1/2

/= (cp)-1/2

Akumulator ciepła Maks. akumulacja energii dla ustalonej temperatury i czasu /a1/2

= (cp)1/2

Element odporny na udar cieplny Minimalne naprężenia termiczne Re/(E)

Wymiennik ciepła Maksymalny strumień energii przy zadanym ciśnieniu i różnicy temperatur Re

Kc – krytyczny współczynnik intensywności naprężeń; – współczynnik przewodności cieplnej, – współczynnik rozszerzal-

ności cieplnej; E – moduł Younga; cp – ciepło właściwe; a = /(cp) – dyfuzyjność cieplna

Podane w tabelach wskaźniki są liniami prostymi na wykresach, których osie reprezentują występują-

ce we wskaźniku wielkości przy zastosowaniu na obu osiach skal logarytmicznych. Wykładniki (lub

ich iloczyn/iloraz) występujące przy wielkościach fizycznych przedstawiają wówczas nachylenie pro-

stej odpowiadającej określonej wartości liczby przewodniej.

Przebieg ćwiczenia

1. Prezentacja programu przez prowadzonego.

2. Wykonanie identycznych zadań w podgrupach.

3. Wykonanie indywidualnych zadań w podgrupach.

4. Sporządzenie raportu (w formie pliku PDF)

Zadania wspólne

1. Sprawdź przy pomocy programu czy ilość energii potrzebnej do wyprodukowania 1 kg mate-

riału jest skorelowana z ilością CO2 emitowaną podczas jego produkcji przeliczoną także na

Laboratorium Materiałów konstrukcyjnych i Eksploatacyjnych – P.Wr. – WME

5

1 kg materiału. Oszacuj ile wynosi ten współczynnik. Jakie materiały nie pasują do trendu? jak

to wygląda, ale w przeliczeniu na objętość materiału?

2. Sprawdź czy cena materiału jest skorelowana z energochłonnością jego produkcji. Które ma-

teriały nie pasują do schematu?

3. Sporządź wykres słupkowy materiały – cena i wyselekcjonuj materiały o cenie jednostkowej

między 5 15 zł/kg

4. Dla jakiej grupy materiałów (metale, ceramika, polimery) istnieje korelacja między E a Re.

5. Wyselekcjonuj materiały najbardziej przyjazne dla środowiska.

6. Sprawdź czy i dla jakich materiałów jest korelacja między współczynnikiem wyrównywania

temperatury a = /(cp) a przewodnością cieplną .

7. Wyselekcjonuj materiał o cenie jednostkowej 1 7 zł/kg, z którego można wykonać rurki wy-

miennika ciepła obmywane spalinami o temperaturze 500°C i bardzo dobrej odporności na

wodę i utlenianie w 500°C. Niech materiał ten ma wskaźnik funkcjonalności Re∙ lepszy niż

5∙109 (Pa∙W)/(K∙m). Niech współczynnik wyrównywania temperatury (dyfuzyjność cieplna) a

= /(cp) zawiera się w granicach 8,5∙10-6 ÷ 1,2∙10-5 m2/s. Niech materiał pozwala na metodę

produkcji przez wyciskanie (ang. Shaping – deformation – drawing). Jaki to materiał? Podaj jego

skład chemiczny i polską nazwę.

Zadania indywidualne

Dobierz materiał(y) najlepiej nadające się na (temat przydziela prowadzący):

1. Tarcze hamulcowe dla samochodu osobowego (masa ok. 1 t). Wskazówka: Weź pod uwagę dużą ilość ciepła wydzielającą się podczas hamowania; praca w warunkach

intensywnego tarcia i środowisku wilgotnym (także z udziałem pewnych ilości soli); kształt dysku.

2. Łopaty turbiny wiatrowej. Wskazówka: Weź pod uwagę: duże rozmiary i smukłość, montaż na wysokości; kontakt z wodą (opady);

wydłużony kształt a także fakt iż ich budowa przypomina skrzydło samolotowe (lekki szkielet + powło-

ka).

3. Kask rowerowy (materiał zasadniczy) chroniący głowę przed urazami. Wskazówka: Weź pod uwagę, zasadę działania polegającą na pochłanianiu energii uderzenia; fakt że jest

tom rodzaj ubioru, który musi być noszony i musi przynajmniej raz wytrzymywać pewne siły.

4. Łopatki turbiny gazowej. Wskazówka: Łopatki turbiny pracują w wysokiej temperaturze; w środowisku gazowym; w warunkach

dużych sił odśrodkowych i dynamicznych obciążeń grożących pękaniem (fracture toghness).

5. Izolację cieplną zapewniającą minimalne zużycie energii w cyklu grzewczym.

6. Rury przegrzewacza pary w kotle energetycznym. Wskazówka: Pracują w wysokiej temperaturze; w środowisku gazowym (spaliny); w warunkach dużych

ciśnień; służą do przejmowania ciepła między spalinami a parą.

Wskazówka do wszystkich zadań:

Przy wyborze materiału dodatkowymi kryteriami zawężającymi wybór są zawsze kryteria eko-

nomiczne oraz wpływ na środowisko; kształt części; sposób jej wytworzenia. Skorzystaj z funkcji

Serach programu w celu wytypowania materiału wg zastosowań. W zależności od zadania dobierz

odpowiednie kryteria zebrane w tab.2.

W sprawozdaniu zamieść wytypowane kryteria (uzasadnienie), zakresy własności materiałowych,

uzyskane wyniki czyli wybrany materiał lub grupa materiałów spełniająca postawione warunki. Po-

daj polskie odpowiedniki, jeśli jest to możliwe.