XLVI I I KONFERENCJA N AUKOW A KOMITETU INŻ YNIERII LĄDOWEJ I WODNEJ PAN

I KOMITETU NAUKI PZITB

Opole – Krynica 2002 Wiesław BARAN1 Bronisław JĘ DRASZAK1

DEFORMACJA POWŁ OK OBROTOWYCH OD WPŁ YWU TEMPERATURY

1. Wstęp

W cienkościennych konstrukcjach o kształcie powłok obrotowych z racji ich znacznych wymiaró w geometrycznych (gdyż są to głó wnie: kominy, chłodnie kominowe, silosy, zbiorniki...), wystę pują znaczą ce przemieszczenia wywołane zmianami temperatury. Zmiany temperatury płaszcza powłoki są zwią zane z czynnikami meteorologicznymi i eksploatacyjnymi. W parametrach meteorologicznych dominuj ą cy wpływ na zmiany temperatury powłoki wywiera temperatura powietrza atmosferycznego oraz zmiana natę żenia składowych promieniowania słonecznego. Długi okres eksploatacji tych konstrukcji, przeważnie w agresywnym środowisku powoduje, że coraz czę ściej wykonywane są oceny ich stanu technicznego. Ocenę taką dokonuje się przeważnie na podstawie faktycznego stanu materiałó w konstrukcyjnych oraz na podstawie analizy statycznej i dynamicznej dokonanej dla rzeczywistej geometrii powłoki, któ ra czę sto znacznie odbiega od projektowanej. Pomiar kształtu tak dużych obiektó w, wykonywany jest w określonym przedziale czasowym, rozcią gają cym się niejednokrotnie na okres kilku dni. Dlatego można przypuszczać, że opró cz deformacji wynikają cej z degradacji konstrukcji, mierzone są chwilowe przemieszczenia bę dą ce odpowiedzią na działanie określonego pola temperatury. Biorą c to pod uwagę zrealizowano (wykorzystują c liniową teorię powłok [1], [2]) rozwią zanie analityczne opisują ce stan przemieszczenia wywołanego dowolnym, stacjonarnym polem temperatury.

2. Matematyczny model przemieszczeń powłoki wywołanych zmianami temperatury

Opiszemy deformację powierzchni środkowej powłok obrotowych wywołaną działaniem pola temperatury. Odpowiedź określimy podają c wektor przemieszczenia w, a dokładniej składowe tego wektora 1w , 2w , 3w odniesione do bazy kowariantnej r1, r2, m (rys. 1). Wartości poszukiwanych wielkości uzyskano wykorzystują c:

1 Dr inż ., Wydział Budownictwa Politechniki Opolskiej

12

− zwią zki geometryczne pomię dzy tensorem odkształcenia błonowego ijγ , a składowymi

wektora przemieszczenia iw , 3w w postaci:

ijikjk

jkik

ij bwgwgw 322 −+=γ , (1) gdzie:

ijg - wspó łczynniki pierwszej formy ró żniczkowej powierzchni środkowej,

ijb - wspó łczynniki drugiej formy ró żniczkowej powierzchni środkowej, − wzory na tensor odkształcenia błonowego od wpływu temperatury:

ijtij gεγ = . (2)

k ji

r

m r 2

r 1

Ró wnanie wektorowe powierzchni:

( ) ( ) ( )[ ] kjir 1221 sincosf uuuu ++= , (3) gdzie:

f(u 1) – funkcja opisują ca tworzą cą powłoki, u 1, u 2 - wspó łrzę dne krzywoliniowe,

)π2,02 ∈u ,

02 =u - wskazuje kierunek pó łnocny,

22 π

=u - wskazuje kierunek zachodni,

π=2u - wskazuje kierunek południowy,

232 π

=u - wskazuje kierunek wschodni.

Rys. 1. Przyję ty opis powierzchni środkowej powłoki obrotowej Zależności (1), (2) prowadzą do układu ró wnań, rozpisanego dla przyję tej parametryzacji krzywiznowej:

( )

=−+

=+

=−

. gwbwgwg

,gwg,wg

,gwb wgg

t

t2

t

223

2222

221

122

1212

221

11

113

1111

1111

,,21

2,

,

ε

ε

ε

(4)

Do wzoru (2) na tensor odkształcenia błonowego podstawiono odkształcenia jednostkowe tε obliczone ze wzoru:

stt tε α= , (5)

13

gdzie: tα - wspó łczynnik liniowej rozszerzalności termicznej.

Temperaturę powierzchni środkowej powłoki st przyję to z rozkładu liniowego dla temperatury powierzchni wewnę trznej i zewnę trznej płaszcza powłoki wt i zt opisanej zależnościami:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑=

+=n

www uψuuψut0

2121 sinScosCψ

ψψ , (6)

( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑=

+=n

zzz uψuuψut0

2121 sinScosCψ

ψψ . (7)

Dla uzyskania cią głej funkcji opisują cej pole temperatury, wykorzystano interpolacje zdefiniowanego w sposó b dyskretny pola temperatury po wspó łrzę dnych ró wnoleżnikowych za pomocą funkcji trygonometrycznych dla wybranych ró wnoleżnikó w, a po wspó łrzę dnych południkowych za pomocą wielomianu interpolują cego lub aproksymują cego wspó łczynniki wystę pują ce w opisie funkcji trygonometrycznych. Podejście takie dało nam funkcję cią głą , ró żniczkowalną ż ą daną ilość razy po wspó łrzę dnych 1u i 2u w postaci wzoró w (6), (7).

2.1. Przemieszczenia przy obcią żeniu osiowo-symetrycznym

Temperaturę zewnę trzną i wewnę trzną na powierzchni powłoki opisano po obwodzie za pomocą szeregó w trygonometrycznych. Biorą c pod uwagę pierwsze wyrazy szeregó w (6), (7) dla 0=ψ otrzymano opis obcią żenia osiowo-symetrycznego, któ ry jest czę ścią składową opisywanego działania. Układ ró wnań (4) dla tej czę ści obcią żenia uprościł się i przyją ł postać:

( )

=−

=

=−

,,21

,0,

,,

223

221

122

12

22

113

111

1111

otoo

o

otoo

εgwbwg

wg

εgwbwgg

(8)

gdzie:

( ) ( ).

2

10100 uCuCαε zw

tt+

= (9)

Rozwią zują c układ ró wnań (8) otrzymano wzory na składowe 1

0w , 20w i 3

0w wektora przemieszczenia od czę ści obcią żenia osiowo-symetrycznego:

,1 122

22

1111

0

11

10

+

−= ∫ Cdug

bbgε

gw t (10)

,02 =ow (11)

−= 0

2210122

22

30 ,

211

tεgwgb

w . (12)

14

2.2. Przemieszczenia przy obcią żeniu osiowo-niesymetrycznym Dokonują c rozdzielenia zmiennych dla czę ści obcią żenia niesymetrycznego opisanego szeregiem trygonometrycznym (6) i (7) przy 0≠ψ na składniki szeregu zwią zane z funkcją

( )2cos uψ oraz na składniki zwią zane z funkcją ( )2sin uψ , układ ró wnań (4) przyją ł postać:

( )

=−±

=+

=−

,gwbwgwg

,wgwgψ ,εgwb wgg

ψtψψψ

ψψ

ψt

ε223

222

221

122

12

221

11

113

1111

1111

,21

0,

,

m (13)

gdzie znaki gó rne odnoszą się do wyrazó w szeregu zwią zanych z funkcją ( )2cos uψ ,

natomiast dolne z funkcją ( )2sin uψ . Układ ró wnań (13) sprowadzono do ró wnania ró żniczkowego rzę du drugiego o wspó łczynnikach funkcyjnych:

( ) ( ) ( )1111

1111

1 ,, uwuqwupw ψψψψψ υ=++ , (14)

gdzie:

( )

−+

=

22

122

22

111

11

22

1’22

11

11

2211

11

22

22

111

2,,

gg

gg

bb

gg

bbg

gg

bbup , (15)

( ) ( )

−

−

=

22

112

1’22

122

1’22

11

11

22

11

111

11

22

22

111

2,

2,

ggψ

gg

gg

bb

gg

gg

bbuqψ , (16)

( ) .1’11

22

22

11

11

22

22

111

−= ψ

tψtψ g

gbb

gg

bbu εευ (17)

Z ró wnania (14) wyznaczono składową 1

ψw wektora przemieszczenia dla poszczegó lnych wyrazó w rozwinię cia obcią żenia w szereg trygonometryczny, pozostałe składowe wektora przemieszczenia wyznaczono z wzoró w:

−+= ψ

t'ψψψ εgwgwgb

w 111

1111

1’1111

3

211 , (18)

+−

±= 3

221

1’222222

2

211

ψψψtψ wbwgεg

gψw . (19)

2.3. Przemieszczenia od odkształceń jednostkowych

Ł ą czne przemieszczenia w uję ciu tensorowym od czę ści obcią żenia osiowo-symetrycznego i osiowo-niesymetrycznego wyznaczono sumują c wartości uzyskanych wynikó w dla poszczegó lnych wyrazó w szeregu opisują cego rozkłady temperatury zgodnie z wzorami:

15

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ].sincos,

,cossin,

,sincos,

1

213213130

213

1

212212120

212

1

211211110

211

∑

∑

∑

=

=

=

++=

++=

++=

n

ψψsψc

n

ψψsψc

n

ψψsψc

uψuwuψuwuwuuw

uψuwuψuwuwuuw

uψuwuψuwuwuuw

(20)

Wielkości fizyczne z uję cia tensorowego uzyskano korzystają c z wzoró w transformacyjnych w postaci:

ww wgw wgw .,, 33

2222

1111 === ¬¬¬ (21)

3. Przykład obliczeniowy

Na podstawie opisanego w p. 2. modelu matematycznego opracowano program komputerowy do wyznaczania przemieszczeń powłoki poddanej wpływom termicznym. Do obliczeń przyję to powłokę hiperboloidalną o wymiarach jak na rys. 2a.

a)

b)

Rys. 2. Geometria powłoki hiperboloidalnej i oznaczenie punktó w na gó rnym jej brzegu

3.1. Przyję te rozkłady pola temperatury

Jako obcią żenie przyję to przyrosty temperatury zewnę trznej i wewnę trznej powierzchni płaszcza powłoki od temperatury scalenia konstrukcji C t o100 = . Korzystają c z danych dotyczą cych rozkładu temperatury zawartych w pracach [3], [4] oraz otrzymanych od ich autora (któ re określały pola temperatury w sposó b dyskretny), opisano obcią żenie wzorami (6), (7). Jeden z rozkładó w pó l temperatur wzię tych do obliczeń pokazano na rys. 3. i rys. 4.

( )21

1

17.6715.27f

+=

uu

16

090

180270

360

-71

-40

-9

22

20

30

40

090

180270

360

-71

-40

-9

22

Rys. 3. Przyrosty temperatury na powierzchni wewnę trznej powłoki chłodni nieczynnej dla 21 czerwca godz. 1700

090

180270

360

-71

-40

-9

22

20

30

40

090

180270

360

-71

-40

-9

22

Rys. 4. Przyrosty temperatury na powierzchni zewnę trznej powłoki chłodni nieczynnej dla 21 czerwca godz. 1700

u1 [m]

tw [oC]

u2 [o]

Max ( 12.7m, 279o ) = 41.6oC Min (-102.0m, 144o ) = 21.6oC

Max ( -61.7m, 99o ) = 41.3oC Min (-102.0m, 333o ) = 25.1oC

u1 [m]

tz [oC]

u2 [o]

17

3.2. Wyniki obliczeń przemieszczeń wybranych punktów powłoki Na rys. 5. pokazano poziome, a na rys. 6. pionowe przemieszczenia wybranych punktó w na gó rnym brzegu powłoki w okresie jednej doby (dla 21 czerwca) obliczone co godzinę . Przemieszczenia poziome przedstawiono w układzie topograficznym, gdzie oś (E) wskazuje przemieszczenia w centymetrach na kierunku wschodnim, natomiast oś (N) na kierunku pó łnocnym.

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

N

E

punkt (S) punkt(S/W) punkt (W)

Rys. 5. Obliczone dobowe przemieszczenia poziome gó rnego brzegu powłoki

1

1 ,5

2

2 ,5

3

3 ,5

4

4 ,5

5

0 6 12 18 24

(godz.)

(z)

pun k t (S ) pun k t (S /W ) pun k t (W )

Rys. 6. Obliczone dobowe przemieszczenia pionowe g ó rnego brzegu powłoki

4. Podsumowanie

Na podstawie przeprowadzonych obliczeń otrzymano dla analizowanej powłoki nastę pują ce ekstremalne wartości składowych wektora przemieszczenia:

400 1000

1700

18

• dla okresu 1 roku od kształtu wyjściowego powłoki wyznaczonego dla temperatury scalenia konstrukcji: − kier. styczny do południka powłoki: -5.8, +5.8 cm, − kier. styczny do ró wnoleżnika powłoki: -1.3, +1.2 cm, − kier. prostopadły do powierzchni środkowej powłoki: -2.1, +2.1 cm,

• dla okresu jednej doby (21 czerwca) od kształtu wyjściowego powłoki wyznaczonego dla pola temperatur określonego dla godziny 400: − kier. styczny do południka powłoki: -0.0, +3.1 cm, − kier. styczny do ró wnoleżnika powłoki: -1.3, +1.2 cm, − kier. prostopadły do powierzchni środkowej powłoki: -1.2, +1.6 cm.

W zależności od wymaganej dokładności pomiaró w kształtu powłoki można minimalizować wpływ przemieszczeń od zmian temperatury poprzez wybó r do pomiaró w dni z maksymalnym zachmurzeniem i minimalnymi wahaniami dobowymi temperatury powietrza atmosferycznego. W przypadku konieczności prowadzenia pomiaró w kształtu powłoki w czasie dni o dużym nasłonecznieniu i znacznych amplitudach temperatury powietrza atmosferycznego należy uwzglę dnić przemieszczenia od tego działania. Trzeba jednak zaznaczyć, że dla powłok o dużym stopniu degradacji, dokładność obliczeń przeprowadzonych zgodnie z podanym modelem może być znacznie mniejsza niż dla powłoki nieuszkodzonej, ze wzglę du na znacznie wię ksze odstę pstwa rzeczywistej pracy takiej powłoki od modelu sprę żystego.

Literatura

[1] BIELAK S., Nieliniowa teoria powłok cz. I, Wydawnictwo TiT, Opole 1994. [2] BIELAK S., Nieliniowa teoria powłok cz. II, Wyższa Szkoła Inżynierska w Opolu,

Studia i monografie, zeszyt 83, Opole 1995. [3] TARCZYŃ SKI L., The temperature load of the cooling tower shel subjected to climatic

actions, 3rd International Symposium on Natural Draught Cooling Towers , IASS, Paris, 1989.187-196.

[4] TARCZYŃ SKI L., Rozkład temperatury w powłoce żelbetowej hiperboloidalnej chłodni kominowej, Archiwum Inżynierii Lądowej, Tom XXX, z. 1, 1984, str. 146-169.

DEFORMATION OF SHELL OF REVOLUTION CAUSED BY TEMPERATURE

Summary

Problem of influence of stationary, non-symmetric field of temperature on deformations of thin-walled elastic shell of revolution is discussed in the paper. Analytical solution describing state of displacement for shell subjected to field of temperature is presented. The solution allowed to evaluate extremal values of components of vector of displacement for hyperboloidal cooling tower shell that can appear in a span of whole year and one day (i.e. on the 21-st of June). Obtained results prove that shape of the shell can be highly influenced by field of temperature. So it is important to take this influence into consideration during determination of actual shape of shell.