ĆWICZENIE 2 WYKRESY sił przekrojowych dla belek prostych bez pisania funkcji

Układ płaski - konwencja zwrotu osi układu domniemany globalny układ współrz ędnych ze zwrotem osi jak na rysunku (nawet jeśli go nie rysujemy). Układ własny – wersor normalny zewnętrzny do płaszczyzny podziału, wersor styczny o zwrocie jak od wersora normalnego idą wskazówki zegara, wersor momentów , który ciągnie wyróżnione włókna.

Związki różniczkowe w układzie płaskim

zz

dQq

dx= − y

z

dMQ

dx= + x

dNq

dx= +

( dQ

qdx

= − ) ( dM

Qdx

= + ) (dN

ndx

= + )

xq składowa obciążenia ciągłego równoległa do osi x układu związanego z osią elementu belkowego lub ramowego (kierunek podłużny)

zq składowa obciążenia ciągłego prostopadła do osi x układu związanego z osią elementu belkowego lub ramowego (kierunek poprzeczny)

Znak w związkach różniczkowych podyktowany jest skrętnością układu globalnego Uwaga: w drugiej płaszczyźnie znaki są inne Układ przestrzenny - konwencja zwrotu osi układu Prawoskrętny układ globalny. Układ własny jest również prawoskrętny i jeśli normalna zewnętrzna jest zgodna z osią X globalną to pozostałe wersory też są zgodne ze zwrotami poszczególnych osi układu globalnego Analiz ę przeprowadzamy osobno w ka żdym przedziale charakterystycznym Nie ma konieczno ści pisania funkcji, gdy znany jest jej typ oraz warto ść pocz ątkowa i ko ńcowa w przedziale

Podstawowe przypadki

• ( ) 0q x = (brak obciążenia ciągłego w danym przedziale) ⇒ ( )Q x

funkcja stała ⇒ ( )M x funkcja liniowa

• ( ) constansq x = (stałe obciążenie ciągłe w danym przedziale)

⇒ ( )Q x funkcja liniowa ⇒ ( )M x funkcja kwadratowa

Szczególny przypadek: jeśli istnieje 0x ; ( )0 0Q x = ⇒ ( )0 ekstrM x M= (ekstremum lokalne funkcji momentu

• ( ) ax+bq x = (obciążenie ciągłe trójkątne lub trapezowe w danym

przedziale) ⇒ ( )Q x funkcja kwadratowa ⇒ ( )M x funkcja 3 stopnia

Zasady graficzne sporz ądzania wykresów sił przekrojowych dla belek Wykresy N i Q

• Wykres sił dodatnich może być narysowany zarówno po górnej jak i

dolnej stronie elementu

• Znak umieszczamy pod wykresem

• Wartości określamy w punktach charakterystycznych*

Wykres M

• nie umieszczamy znaku

• wykres rysujemy po stronie włókien rozciąganych

• Wartości określamy w punktach charakterystycznych*

* • Wykres N może być nieciągły w danym punkcie belki prostej, tylko

wtedy gdy występuje tam siła skupiona mająca niezerową składową na kierunek podłużny

• Wykres Q może być nieciągły w danym punkcie belki prostej, tylko wtedy gdy występuje tam siła skupiona mająca niezerową składową na kierunek poprzeczny

• Wykres M może być nieciągły w danym punkcie belki prostej, tylko wtedy gdy występuje tam moment skupiony

• Jeśli wykres jest nieciągły to musimy obliczać wartość lewostronną i prawostronną w danym punkcie

• Jeśli wykres jest ciągły to musimy obliczać wartość lewostronną albo/lub prawostronną w danym punkcie i wiadomo, że z drugiej strony wartość jest ta sama.

Zadanie. sporz ądzenie wykresów funkcji sił przekrojowych

W przypadku gdy nie ma potrzeby obliczania siły przekrojowej z lewej i prawej strony punktu charakterystycznego obliczenia przeprowadza się tylko raz.

0x =

(0) 5xF = −

(0) 2,5zF = − (0) 0yM =

2x −=

(2) 5xF = −

(2) 2,5zF = − (2) 5,0yM = −

2x += (2) 5 5 0xF = − + = (2) 2.5 2.5 0zF = − + =

(2) 5 30 25yM = − + =

4x −=

(4) 5 5 0xF = − + =

(4) 2.5 2.5 0zF = − + =

(4) 2.5 4 2.5 2 30 25yM = − ⋅ + ⋅ + =

4x +=

(4) 5zF = −

6x −=

(6) 0xF =

(6) 5zF = −

(6) 15yM = +

6x +=

(6) 20zF =

(6) 20yM = −

8x −=

(8) 0xF =

(8) 0zF =

(8) 0yM =

Wykresy:

Wypukłość wykresu momentów jak „wiatr wieje w żagle”

Przykład na kartkówkę

omówienie wypukłości wykresów Q, M

Odtw arzanie obci ążeń na belce z podanych wykresów

• Nie zawsze jest możliwe (może brakować danych)

• Muszą być podane podpory, ( jeśli nie to uzyskujemy tylko siły i nie

wiadomo czy są to obciążenia czy reakcje podporowe)

I II III

Przedział I • Początkowa wartość siły podłużnej -1 , siła skupiona o wartości 1

skierowana przeciwnie do wersora normalnego lokalnego układu własnego.

• Początkowa wartość siły poprzecznej -1 , siła skupiona o wartości 1 skierowana przeciwnie do wersora stycznego lokalnego układu własnego. 1 1P kN=

• Wykres sił poprzecznych liniowy, to obciążenie ciągłe ma wartość stałą. Skierowanie przeciwne do wersora układu lokalnego.

1 3 1 3I IP q l kN q l kN+ ⋅ = ⇒ + ⋅ =

• Wykres momentów zaczyna się od zero, to brak momentu skupionego na końcu belki Dla końca przedziału I

1 1 14 1 42 2

I Iq l q lP l kNm l kNm

⋅ ⋅⋅ + = ⇒ ⋅ + =

• Z dwóch ostatnich punktów wynika 1 /q kN m= 1 2l m=

Przedział II

• Skok siły podłuznej o wartość 1 , zwrot skoku do góry czyli zgodny z wersorem normalnym.

• Skok siły poprzecznej o wartość 5 , zwrot skoku do góry czyli zgodny z wersorem stycznym. Siła skupiona podporowa o wartości 5 kN.

• Brak skoku momentu, to brak momentu skupionego na początku przedziału II.

• Taki sam kąt nachylenia wykresu sił poprzecznych jak w przedziale I i wykres liniowy.

• 1 /q kN m= , 2 2l m= (z proporcji rysunku)

• ekstremów na wykresie momentów brak

Przedział III (analiza od końca belki)

• Brak obciążenia ciągłego Q=constans, reakcja podpory przesuwnej

• Brak obciążenia podłużnego,

• Początkowa wartość siły poprzecznej -4, siła skupiona o wartości 4 skierowana przeciwnie do wersora stycznego lokalnego układu własnego. 2 4P kN= .

• Początkowa wartość momentu 12 , po stronie włókien górnych.

• Koniec przedziału III ( na styku z II)

• Skok momentu o 2 w kierunku włókien dolnych oglądanych od strony prawej

• Skok siły poprzecznej o wartość 4 o zwrocie zgodnym ze styczną

• 2IIIl m= z proporcji geometrycznych

Sprawdzanie poprawności: wartości skoków na poszczególnych wykresach, kąty nachylenia wykresów po obu stronach

PRZYKŁAD z ekstremami momentów

reakcje podporowe:

( ) 0M A =∑ 4 5 2.5 8 7 2.4 4 9 5 11 0CR⋅ ⋅ + − ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ =

3.8CR kN=

0X =∑ 5 0AH − = 5AH kN=

( ) 0M C =∑ 11.6AR kN=

Sprawdzenie: 0Y =∑ 11.6 2.4 4 4 5 5 0+ ⋅ − ⋅ − =

Przedział AB miejsce zerowe wykresu sił poprzecznych

0 0

11.6 8.4

5x x=

− 0 2.9x m⇒ =

Przedział CD miejsce zerowe wykresu sił poprzecznych

1 1

4.6 5.0

4x x=

− 1 1.92x m⇒ =

Wartości momentu zginającego:

( )0 0M = ( )22.9

2.9 11.6 2.9 4 16.842

M kNm= ⋅ − ⋅ =

( )5 11.6 5 4 5 2.5 8.0M kNm− = ⋅ − ⋅ ⋅ =

( )5 11.6 5 4 5 2.5 8 16.0M kNm− = ⋅ − ⋅ ⋅ + =

( )7 11.6 7 4 5 4.5 8 0.8M kNm= ⋅ − ⋅ ⋅ + = −

( )21.92

8.92 11.6 8.92 4 5 6.42 8 3.8 1.92 2.4 5.22

M kNm= ⋅ − ⋅ ⋅ + + ⋅ + ⋅ = −