Ciąg geometryczny

www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIR ZADAN Z MATEMATYKI

CIAG GEOMETRYCZNYDefinicja

Ciag (an) nazywamy geometrycznym jezeli iloraz kazdych dwch jego kolejnych wyrazwjest stay (nie zalezy od n). W jezyku wzorw piszemy, ze istnieje liczba q 6= 0, dla ktrej

an+1 = qan, dla n > 1.

Liczbe q nazywamy ilorazem ciagu (an).

Ciag stay(a, a, a, a, . . .)

jest ciagiem geometrycznym o ilorazie q = 1.

Ciag naprzemienny(a,a, a,a, . . .)

jest ciagiem geometrycznym o ilorazie q = 1.

Ciagi(1, 2, 4, 8, 16, 32, . . .)(1, 3, 9, 27, 81, 243, . . .)(

1,12

,14

,18

,116

,1

32, . . .

)(

1,13

,19

, 127

,1

81, 1

243, . . .

).

kolejnych poteg 2, 3, 12 ,13 sa ciagami geometrycznymi o ilorazach odpowiednio2, 3, 12 ,13 .

Ciagi skonczone(8, 12, 18, 27)

(4,

log 16, log 2)(tg ,1, ctg ).

sa geometryczne (z ilorazmi 32 ,

log 22 , 1tg odpowiednio).

Ciagi(1, 2, 3, 4, 5, . . .)(1, 4, 9, 16, 25, . . .)(2, 4,8, 16, 32,64, 128, 256,512, . . .)

nie sa geometryczne, bo iloraz kolejnych wyrazw zalezy od tego, ktre wyrazyprzez siebie dzielimy (nie jest stay).

Materia pobrany z serwisu www.zadania.info1


Dlaczego geometryczny?

Dlaczego ciag o staych ilorazach kolejnych wyrazw nazywamy ciagiem geometrycznym?Powodem jest bardzo uzyteczna charakteryzacja takiego ciagu:

Ciag o wyrazach dodatnich jest ciagiem geometrycznym wtedy i tylko wtedy,gdy kazdy wyraz, z wyjatkiem pierwszego (i ostatniego jezeli ciag jest skonczo-ny) jest srednia geometryczna wyrazw sasiednich.

W jezyku wzorw piszemy

an =an1an+1, dla n > 2.

Wykluczenie z powyzszego warunku wyrazw pierwszego i ostatniego powinno byc oczy-wiste kazdy z tych wyrazw ma tylko jednego sasiada.

Ciag (4, 9, 16) nie jest geometryczny bo

4 16 = 8 6= 9.

Aby sprawdzic, czy ciag (8, 12, 18, 27) jest geometryczny wystarczy sprawdzicprawdziwosc dwch rwnosci

8 18 =

144 = 12

12 27 =

324 = 18.

Wzory

Z definicji ciagu geometrycznego

an+1 = qan, dla n > 1.

widac, ze kazdy kolejny wyraz powstaje z poprzedniego przez pomnozenie przez liczbe q.To oznacza, ze cay ciag jest wyznaczony przez swj pierwszy wyraz a1 i iloraz q. Mozna tonawet powiedziec dokadniej: n-ty wyraz powstaje z pierwszego przez mnozenie n 1 razyprzez iloraz q (bo drugi powstaje przez mnozenie przez q, trzeci przez mnozenie przez q2

itd.). Daje to nam wzr na n-ty wyraz ciagu geometrycznego.

an = a1qn1.



Ile jest rwny 14 wyraz ciagu geometrycznego

5,152

,454

,1358

,30516

, . . .

Gdy sie przyjrzymy to powinno byc widac, ze mamy do czynienia z ciagiem geo-metrycznym o ilorazie q = 32 . Zatem

a14 = a1q13 = 5 (3

2

)13= 5 3

13

213.

Obliczmy iloraz ciagu geometrycznego (an), w ktrym a129 = 5 i a126 = 40.Ze wzoru na n-ty wyraz ciagu geometrycznego mamy

5 = a129 = a1q12840 = a126 = a1q125

Dzielac pierwsza rwnosc przez druga mamy

540

= 18=

a1q128

a1q125= q3 q = 1

2.

Jest jeszcze jeden wzr do zapamietania, mianowicie wzr na sume n poczatkowych wyra-zw ciagu geometrycznego, w ktrym q 6= 1.

Sn = a1 + a2 + + an = a1 1 qn

1 q .

Obliczmy sume 100 poczatkowych wyrazw ciagu an =(13)n1

.

Ciag (an) jest ciagiem geometrycznym z a1 = 1 i q = 13 , zatem

S100 =1

(13)100

1(13) = 1 131004

3

=34 1

4 399 .

Uzasadnijmy, ze kazdy wyraz ciagu an = 2n1 jest o 1 wiekszy od sumy wszystkichpoprzednich wyrazw.Ciag an jest ciagiem geometrycznym z a1 = 1 i q = 2. Zatem

Sn1 =1 2n1

1 2 = 2n1 1 = an 1.



Monotonicznosc

Dosc oczywista wasnosc, ale wyraznie to napiszemy, bo czasem pojawia sie w sformuowa-niach zadan. Niech (an) bedzie ciagiem geometrycznym o ilorazie q 6= 0. Wtedy

a) ciag (an) jest rosnacy wtedy i tylko wtedy, gdy a1 > 0 i q > 1, lub a1 < 0 i 0 < q < 1;

b) ciag (an) jest malejacy wtedy i tylko wtedy, gdy a1 > 0 i 0 < q < 1, lub a1 < 0 i q > 1;

b) ciag (an) jest stay wtedy i tylko wtedy, gdy a1 = 0 lub q = 1;

c) nie jest monotoniczny w pozostaych przypadkach.

Pierwszy z ciagw geometrycznych(1

2,1

4,1

8, . . .

)(

13

,19

,1

27, . . .

)jest rosnacy, a drugi malejacy.

Ciag geometryczny (12

,14

,18

, 116

, . . .)

nie jest monotoniczny.

Zadania.info Podoba Ci si ten poradnik?Poka go koleankom i kolegom ze szkoy!TIPS & TRICKS

1Do tej pory udawalismy, ze definicja ciagu geometrycznego jest adna i elegancka, ale czasnajwyzszy troche zejsc na ziemie. W zasadzie najbardziej intuicyjna definicja ciagu geome-trycznego jest zadanie aby ilorazy an+1an byy stae (nie zalezay od n). Taki warunek ma jednakjedna wade: w mysl takiej definicji ciag skadajacy sie z samych zer nie jest geometryczny.Tymczasem z rznych powodw wygodnie jest traktowac go jako ciag geometryczny i dla-tego w naszej definicji ciagu geometrycznego (na poczatku poradnika) napisalismy warunekan+1 = qan. W mysl takiej definicji ciag zerowy jest geometryczny (np. z ilorazem q = 1).

Nie jest to niestety koniec kopotw, bo warunek an+1 = qan spenia dowolny ciag postaci

(a, 0, 0, 0, 0, . . .)

(z q = 0). Jednak takiego dziwnego ciagu nie chcemy uwazac za geometryczny i dlatego wdefinicji ciagu geometrycznego zaozylismy, ze q 6= 0.



2Popularny motyw zadan to polecenie sprawdzenia lub uzasadnienia, ze ciag jest geome-tryczny. W takiej sytuacji musimy policzyc iloraz kazdych dwch wyrazw i sprawdzic, zejest stay (czyli, ze nie zalezy od n).

Uzasadnijmy, ze ciag zdefiniowany wzorem an = 5 23n132n+1 jest geometryczny.Liczymy

an+1an

=5 23n+232n+35 23n132n+1

=2323n13232n+1

23n132n+1

=89

.

Zgodnie z oczekiwaniami iloraz jest stay (nie zalezy od n), co konczy uzasadnienie.

Podkreslmy jeszcze, ze uzasadniajac geometrycznosc ciagu musimy sprawdzic, ze kazdedwa ilorazy kolejnych wyrazw ciagu sa rwne. Jezeli natomiast chcemy pokazac, ze ciagnie jest geometryczny to wystarczy znalezc jeden przykad dwch ilorazw kolejnych wy-razw, ktre sa rzne (nie trzeba liczyc wszystkich ilorazw).

Ciag (1, 2, 3, 4, 5) nie jest geometryczny bo

216= 3

2.

3Zazmy na chwile, ze wyrazy ciagu geometrycznego (an) sa dodatnie. Jezeli zapiszemywzr oglny ciagu w postaci

an = a1qn1 =a1q qn

i wyobrazimy sobie, ze zamiast n jest napisany x, to powinno byc jasne, ze wykres ciagu(an) bedzie skada sie punktw lezacych na wykresie funkcji wykadniczej y = a1q qx. Przytej interpretacji widac wyraznie, ze ciag jest rosnacy dla q > 1, malejacy dla q < 1 i stay dlaq = 1.

Narysujemy wykresy ciagw an =(3

2

)n1oraz an = 13

(23

)n1.

-1 +3 +5 +10 x-1

+1

+5

+10

ya =1, q=3/21

a =13, q=2/31



4Podajac wzr an =

an1an+1 wyraznie zaznaczylismy, ze zachodzi on dla ciagu geome-

trycznego o wyrazach dodatnich.

W ciagu geometrycznym (1,1, 1,1, 1, . . .) nie jest prawda, zea2 =

a1a3.

Jest to duze ograniczenie, bo ciagi geometryczne o wyrazach ujemnych pojawiaja sie w zada-niach dosc czesto. Jest na to jednak bardzo prosta rada. Warunek ze srednia nalezy zastapicwarunkiem:

a2n = an1an+1.

atwo sprawdzic, ze ten wzr zachodzi bez zadnych ograniczen dotyczacych ciagu (an).

Wyznaczmy wartosci parametru x, dla ktrych liczby 3x 2, 2x 3, x sa kolejnymiwyrazami ciagu geometrycznego.Sprawdzamy, kiedy kwadrat srodkowego wyrazu jest iloczynem pozostaychdwch.

(2x 3)2 = (3x 2)x4x2 12x+ 9 = 3x2 2xx2 10x+ 9 = 0 = 100 36 = 64x = 1 x = 9.

Otrzymujemy w ten sposb dwa ciagi (1,1, 1) oraz (25, 15, 9). Zauwazmy, ze nieudaoby sie nam rozwiazac tego zadania w ten sposb, gdybysmy chcieli uzywacwzoru z pierwiastkiem.

5Pisalismy przed chwila, ze wzr

a2n = an1an+1

dziaa dla dowolnego ciagu geometrycznego. Jezeli jednak chcemy uzywac tego wzoru dodowodzenia, ze ciag jest geometryczny, to potrzebujemy dodac jedno zaozenie: musimyzaozyc, ze wyrazy ciagu sa niezerowe.

Trzywyrazowy ciag (0, 0, 1) spenia warunek

a22 = a1 a3,ale nie jest geometryczny.



Wyznaczmy wartosc x dla ktrej liczby x2, x, x + 3 sa kolejnymi wyrazami ciagugeometrycznego.Liczymy

x2 = x2 (x+ 3)0 = x2(x+ 3 1)x = 0 x = 2.

x = 2 daje nam poprawny ciag 4,2, 1, ale x = 0 daje ciag (0, 0, 3), ktry nie jestgeometryczny.

6

Liczac sume ciagu geometrycznego warto wyaczyc tyle ile sie da przed nawias, dzieki temuunikniemy zbednego przepisywania takich samych wyrazen.

W okregu o promieniu r rysujemy okrag o srednicy r, nastepnie robimy to samo wnowo narysowanym okregu itd.

Obliczmy sume pl kolejnych dziesieciu otrzymanych w ten sposb okregw.Liczymy

pir2 + pi( r

2

)2+ pi

( r4

)2+ pi

( r8

)2+ + pi

( r29)2

=

= pir2(

1 +14+

116

+1

64+ + 1

49

)=

= pir2 11

410

1 14= pir2 4

10 1(4 1)49 = pir

2(

43 1

3 49)

.

7

Podkreslmy wyraznie, ze wzr

Sn = a1 1 qn

1 q

na sume poczatkowych wyrazw ciagu geometrycznego ma sens tylko w przypadku q 6= 1,czyli w przypadku ciagu, ktry nie jest stay (w przypadku ciagu staego mamy Sn = na1).Czasami mozna to przegapic w zadaniach z parametrem.



Rozwiazmy rwnanie 1 + x+ x2 + x3 + x4 + x5 = 0.Lewa strona jest suma pierwszych 6 wyrazw ciagu geometrycznego o ilorazie x,wiec mamy

1 x61 x = 0

1 x6 = 0 x = 1.Rozwiazanie x = 1 jest jednak bedne, bo w tym przypadku nie mozemy stosowacwzoru na sume kolejnych wyrazw ciagu geometrycznego (ten przypadek trzebarozwazyc osobno).

Rozwiazmy rwnanie 1 + x+ x2 + x3 = 1 + 1x +1x2 +

1x3 .

Z lewej strony mamy ciag geometryczny o ilorazie x, a z prawej ciag o ilorazie 1x .Zatem

1 x41 x =

1 1x41 1x

x4 1x 1 =

x41x4x1x

=(x4 1)x(x 1)x4 /

x 1x4 1

1 =1x3

x = 1.Rozwiazanie x = 1 musimy jednak odrzucic, bo dla x = 1 powyzsze rachunki niemaja sensu. Jezeli jednak sprawdzimy, to sie okaze, ze x = 1 jest pierwiastkiemwyjsciowego rwnania. Po prostu musimy ten przypadek sprawdzic osobno.

8Jezeli zapiszemy wzr na sume poczatkowych wyrazw ciagu geometrycznego w postaci

a1 + a1q+ a1q2 + + a1qn1 = qn 1q 1 / : a1(q 1)

(q 1)(qn1 + qn2 + + q2 + q+ 1) = qn 1to widac, ze jest on szczeglnym przypadkiem wzoru skrconego mnozenia na rznice n-tych poteg. Dla niektrych osb jest to sposb na zapamietanie wzoru na Sn.

9W pierwszej chwili moze sie wydawac, ze wzr

a2n = an1an+1

jest sposobem na rozwiazanie wszystkich zadan zwiazanych z ciagiem geometrycznym.Moze i jest w tym troche prawdy, ale czesto stosowanie tego wzoru nie jest najkrtszymsposobem na rozwiazanie zadania.

W wielu zadaniach najkrtsza droga do rozwiazania jest oznaczanie kolejnych wyrazwciagu przez a, aq, aq2, . . .. Metoda ta jest bardzo efektywna, bo mamy tylko dwie niewiadomei wystarcza dwa rwnania aby wyznaczyc cay ciag.



Obliczmy iloczyn pietnastu poczatkowych wyrazw ciagu geometrycznego (an) owyrazach dodatnich, w ktrym a5 a11 = 4.Ze wzory an = a1qn1 mamy

4 = a5 a11 = a1q4 a1q10 = a21q14 = (a1q7)2.Poniewaz ciag ma wyrazy dodatnie, daje to nam a1q7 = 2 i szukany iloczyn jestrwny

a1a2 a15 = a1 (a1q) (a1q2) (a1q14) == a151 q

1+2++14 = a151 q1514

2 =

= a151 q157 =(a1q7

)15= 215 = 32768.

Wyznaczmy dugosci krawedzi prostopadoscianu o objetosci 8 i powierzchni ca-kowitej 28, wiedzac, ze dugosci te tworza ciag geometryczny.Jezeli oznaczymy dugosci krawedzi prostopadoscianu przez a, aq, aq2 to mamyukad{

a aq aq2 = 8 (aq)3 = 8 aq = 22a aq+ 2aq aq2 + 2a aq2 = 28 1q (aq)2 + (aq)2 q+ (aq)2 = 14.

Podstawiajac w drugiej rwnosci aq = 2 mamy

4q+ 4q+ 4 = 14 / q

2

2 + 2q2 5q = 0 = 25 16 = 9q =

12 q = 2.

Daje to odpowiednio a = 4 lub a = 1. W obu przypadkach otrzymujemy dugoscikrawedzi: 1,2,4.

10

Warto nauczyc sie dostrzegac ciagi geometryczne, bo potrafia byc pomocne w zadaniach,ktre z pozoru nie maja z ciagiem geometrycznym nic wsplnego.



Obliczmy sume 15 poczatkowych wyrazw ciagu (an) zdefiniowanego wzorem

an = 99 9 n

.

Poniewaz an = 10n 1 mamya1 + a2 + + a15 =(10 1) + (102 1) + + (1015 1) == (10 + 102 + + 1015) 15 == 10 1 10

15

1 10 15 =109(

1015 1) 15.

11Wybierajac z ciagu geometrycznego co k-ty wyraz znowu otrzymujemy ciag geometryczny,ale o ilorazie qk.

Obliczmy sume a1 + a4 + a7 + + a16 jezeli an = 43n .Ciag an jest ciagiem geometrycznym o ilorazie 13 , wiec wybierajac co trzeci wyrazotrzymamy ciag geometryczny o ilorazie 127 . Mamy obliczyc sume 6 poczatkowychwyrazw tego ciagu, czyli

S = a1 1 12761 127

=43 27

6 1(27 1) 275 =

23(

2713 1

13 275)

.

12Poniewaz logarytm zamienia iloczyn na sume, logarytmujac wyrazy ciagu geometrycznego(an) o wyrazach dodatnich otrzymamy ciag arytmetyczny.

log an = log(a1qn1

)= log a1 + (n 1) log q

o pierwszym wyrazie log a1 i rznicy log q.

Uzasadnijmy, ze jezeli (an) jest ciagiem geometrycznym o wyrazach dodatnich towszystkie punkty postaci (n, log an) leza na jednej prostej.Na mocy powyzej uwagi mamy

(n, log an) = (n, log a1 + (n 1) log q),czyli punkty te leza na prostej

y = log a1 + (n 1) log q = n log q+ log a1 log q = x log q+ log a1q .



13

Ciag geometryczny jest waznym zrdem przykadw granic ciagw.Jezeli |q| < 1 to to wyrazy ciagu geometrycznego (an) o ilorazie q daza bardzo szybko

(wykadniczo) do 0. Symbolicznie zapisujemy to wzorem

limn+ an = 0.

Dla q = 1 mamy ciag stay, wiec limn+ an = a1, natomiast dla q = 1 sytuacja jest ciekaw-

sza, bo mamy ciag naprzemienny (a1,a1, a1,a1, . . .), ktry jest jednym z najprostszychprzykadw ciagw, ktre nie maja granicy.

Jezeli q > 1 to ciag an dazy do + lub (w zaleznosci od znaku a1), natomiast dlaq < 1 ponownie otrzymujemy ciag rozbiezny (czyli taki, ktry nie ma granicy).

14Ciag geometryczny w naturalny sposb prowadzi do pojecia szeregw liczbowych, ale otym mozecie poczytac w poradniku o szeregu geometrycznym.

15Oczywiscie nie jest prawda, ze kazdy ciag jest ciagiem geometrycznym, ale okazuje sie, zeprzy pewnych dodatkowych zaozeniach zaczyna byc to prawie prawda.

Mozna uzasadnic, ze kazdy ciag speniajacy zaleznosc rekurencyjna

an+2 = an+1 + an

jest suma dwch ciagw geometrycznych. W szczeglnosci ciag Fibonacciego, kt-ry otrzymujemy zakadajac dodatkowo, ze a1 = a2 = 1 mozemy zapisac w postaci

an = 15

(15

2

)n+

15

(1 +

52

)n.

Oba ciagi z prawej strony powyzszej rwnosci sa geometryczne. Wiecej szczegwna ten temat mozecie znalezc w poradniku o ciagach.


Ciąg geometryczny

Documents

Transcript of Ciąg geometryczny