dr inż. STANISŁAW SZKÓŁKA

Politechnika Wrocławska

Charakterystyki częstotliwościowe cewek Rogowskiego

W artykule przedstawiono wyniki badań symulacyjnych dotyczących wierności trans-

formacji przebiegów odkształconych prądów przez cewkę Rogowskiego ekranowaną dodatkowo ekranem aluminiowym. Zamieszczono wyniki badań poświęconych wpły-

wowi parametrów cewki i rezystancji obciążenia na charakterystyki amplitudowo-

fazowe przetwornika z cewką Rogowskiego. Omówiono zbadanie możliwości wykorzy-

stania indukcyjności własnej cewki jako członu całkującego sygnału wyjściowego.

1. WSTĘP

Kompaktowa budowa cewek Rogowskiego spra-

wia, że małe rozmiary i ciężar w połączeniu z dużą

wiernością przekształcania i niską ceną predestynują

je do roli atrakcyjnego przetwornika prądu prze-

miennego [2, 3, 5, 1]. Zaleta liniowego przekształ-

cania sygnału odnosi się wyłącznie do sinusoidalne-

go przebiegu prądu. Z uwagi na wzrastającą liczbę

i moc odbiorników nieliniowych wykorzystanie tej

cechy staje się problematyczne [5]. Różniczkujące

działanie cewki sprawia, iż na jej zaciskach wyj-

ściowych pojawia się sygnał będący pochodną mo-

nitorowanego prądu. W przypadku sinusoidalnego

przebiegu prądu sygnał wyjściowy będzie sinusoidą,

ale przesuniętą o kąt 90° pomniejszony o kąt ψ wy-

nikający z charakterystyki amplitudowo-fazowej

przetwornika. Występujące przesunięcie fazowe

pomiędzy przebiegiem prądu i sygnałem wyjścio-

wym cewki uniemożliwia bezpośrednie wykorzy-

stanie tego sygnału jako wielkości wejściowej wielu

współczesnych układów elektroenergetycznej auto-

matyki zabezpieczeniowej. Pojawia się też kolejny

problem – w jaki sposób całkować sygnał wyjścio-

wy w celu uzyskania wiernego obrazu przebiegu

pierwotnego. Najkorzystniejszą formą całkowania

byłoby wykorzystanie indukcyjności własnej cewki.

Zastosowanie analogowo-cyfrowych układów cał-

kujących ograniczy możliwość liniowego prze-

kształcania w szerokim zakresie wartości monito-

rowanych prądów. Brak magnetowodu w przetwor-

nikach z cewką Rogowskiego sprawia, iż konstruk-

cje te są podatne na wpływ strumieni pasożytni-

czych. Zwarta budowa nowoczesnych aparatów

i urządzeń elektrycznych sprawia, iż silny wpływ

pól elektromagnetycznych pochodzących od sąsied-

nich torów prądowych należy ograniczać przez sto-

sowanie różnego rodzaju ekranów cewki [4]. Nasu-

wa się pytanie, czy i w jakim stopniu obecność

ekranów wpłynie na charakterystyki amplitudowo-

fazowe takich przetworników. Niniejszy artykuł jest

próbą udzielenia na nie odpowiedzi.

2. CHARAKTERYSTYKI AMPLITUDOWO-

FAZOWE PRZETWORNIKÓW

Z CEWKĄ ROGOWSKIEGO

Pod pojęciem „przetwornik” rozumie się cewkę

Rogowskiego wyposażoną w zespół ekranów ma-

gnetycznych i elektrostatycznych zapewniających

konstrukcji maksymalną odporność na wpływ stru-

mieni pasożytniczych i elektryczności statycznej

[4]. W [1] poruszono problematykę przenoszenia

wyższych harmonicznych przez cewkę Rogowskie-

go z amorficznym rdzeniem. Rodzi się w tym kon-

tekście pytanie, czy i w jakim stopniu obecność

ekranów wpłynie na przenoszenie wyższych harmo-

nicznych oraz charakterystyki amplitudowo-fazowe

przetwornika.

Z uwagi na sugestie [2] odnośnie do możliwości

wykorzystania indukcyjności własnej jako członu

Nr 6(520) LISTOPAD-GRUDZIEŃ 2014 19

całkującego w jednym z badanych przetworników

(RC1) znacznie zwiększono indukcyjność własną

cewki i przeprowadzano badania symulacyjne.

Do wyznaczenia charakterystyk amplitudowo-

fazowych przetworników wykorzystano parametry

dwóch cewek Rogowskiego oznaczonych w dalszej

części jako RC1 i RC2. Parametry realnej cewki

RC2 – o stałej przekształcania s dla harmonicznej

podstawowej 1 mV/A, ekranowanej magnetycznie

i statycznie – zmierzono przy dwóch częstotliwo-

ściach: 1 i 5 kHz. Uśrednione wartości parametrów

tej cewki wynoszą: Rc = 130 Ω, Lc = 5 mH, CE =

0,1 nF (tab. 1). Podana wartość pojemności CE do-

tyczy pojemności cewki Rogowskiego w stosunku

do uziemionego ekranu E.

Tabela 1.

Zestawienie parametrów dla cewek RC1 i RC2

Oznaczenie

przetwornika

Rezystancja

RC [Ω] Indukcyjność

LC [H]

Pojemność

CE [pF]

Stała przekształcania

s [mV/A]

Ekrany

magnetyczne

Ekran

elektrostatyczny E

RC1 130 0,5 100 1 TAK TAK

RC2 130 0,005 100 1 TAK TAK

W hipotetycznym przetworniku RC1 zwiększono

100-krotnie wartość indukcyjności w stosunku do

rzeczywistej wartości indukcyjności istniejącej cewki

RC2. Należy tutaj nadmienić, iż uzyskanie tak dużej

wartości indukcyjności w cewce powietrznej wiąza-

łoby się ze znacznym powiększeniem liczby zwojów

i rozmiarów cewki, co praktycznie wyklucza taką

konstrukcję.

Do wyznaczania charakterystyk amplitudowo-

fazowych oraz symulacji procesu transformacji od-

kształconego prądu wykorzystano pakiet symulacyj-

ny TCAD7. Skupione parametry (RC, LC, CE) cewki

Rogowskiego przedstawiono w postaci dziesięciu

trójników (R’, L’, C’) połączonych szeregowo i ob-

ciążonych rezystancją Ro (rys. 1).

W tak przyjętym modelu pomija się indukcyjność

rozproszenia i zakłada się, że LC = M + 10 L’.

Rys. 1. Model cewki Rogowskiego wykorzystany do wyznaczania charakterystyk amplitudowo-fazowych

przetworników oraz symulacji transformacji odkształconych przebiegów prądów [opracowanie własne]

W celu uzyskania charakterystyk amplitudowo-

fazowych przetwornika RC1 przeprowadzono symu-

lację pracy układu z rys. 1. dla następujących warto-

ści częstotliwości: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 i 100 kHz

przy dwóch krańcowych wartościach rezystancji

obciążenia Ro = 10 i 100 kΩ. Uzyskane wyniki

przedstawiono w postaci charakterystyki amplitudo-

wo-fazowej na rys. 2. Miejscem geometrycznym

wskazów napięcia UR jest okrąg o średnicy ER. Za-

równo kąt ψ przesunięcia fazowego pomiędzy tymi

wielkościami, jak i amplituda UR jest funkcją warto-

ści przekształcanej częstotliwości oraz rezystancji

obciążenia. Znajomość charakterystyki pozwoli na

optymalny dobór parametrów pracy przetwornika

w zależności od wymaganego stopnia dokładności

przekształcania w zadanym zakresie częstotliwości.

MECHANIZACJA I AUTOMATYZACJA GÓRNICTWA

20

Rys. 2. Charakterystyki amplitudowo-fazowe

przetwornika RC1 dla różnych wartości częstotliwo-

ści i rezystancji obciążenia Ro = 10 i 100 kΩ

[opracowanie własne]

Za amplitudę ER sem eR(t) przyjęto wartość

ER = 10ej0

mV. Na kołowej charakterystyce amplitu-

dowo-fazowej łukami poszczególnych częstotliwości

oznaczono skrajne położenia wskazów napięcia UR

dla dwóch wartości rezystancji obciążenia Ro – 10

i 100 kΩ. Przykładowe wskazy napięcia UR naniesio-

no dla częstotliwości f = 1 kHz, przy czym strzałka

łuku określa miejsce wskazu UR dla obciążenia 100

kΩ, a początek łuku – dla obciążenia 10 kΩ. W anali-

zowanym zakresie częstotliwości amplituda napięcia

UR zmienia się w granicach od 10 do ok. 9,5 mV,

a faza y w granicach ok. -1 do -16 stopni. Ze wzro-

stem częstotliwości przekształcania – w miarę zbli-

żania się do częstotliwości rezonansowej (ok. 80

kHz) – amplitudy napięcia UR maleją do zera, a fazy

y dążą do -90 stopni. Po przekroczeniu częstotliwo-

ści rezonansowej faza y zmienia się skokowo do +90

stopni, a wartość napięcia UR zaczyna ponownie

wzrastać.

Z jednej strony zwiększanie rezystancji obciążenia

Ro korzystnie wpływa na charakterystyki przeno-

szenia, z drugiej zaś – czyni układ bardziej podat-

nym na zakłócenia. Dlatego też do dalszych symu-

lacji przyjęto trzy możliwe wartości rezystancji

Ro – 10, 20 i 40 kΩ.

Na rys. 3. przedstawiono uzyskaną symulacyjnie

charakterystykę amplitudową przetwornika CR1.

Obecność aluminiowego ekranu elektrostatycznego

E nie wpływa znacząco na wartości amplitud uzy-

skiwanego z przetwornika sygnału UR w zakresie

częstotliwości do 10 kHz. Przy większych warto-

ściach częstotliwości dochodzi do rezonansu,

w związku z którym amplituda spada do zera

(rys. 3a), a faza y zmienia się skokowo od -90° do

+90° (rys. 4a). Rezystancja Ro obciążenia przetwor-

nika ma znaczący wpływ na dokładność transforma-

cji. Wzrasta ona wraz ze wzrostem wartości Ro.

Na rys. 4. przedstawiono charakterystyki fazowe

przetwornika CR1.

a)

b)

Rys. 3. Charakterystyki amplitudowe przetwornika RC1 dla różnych wartości rezystancji obciążenia Ro:

a) ekranowanego, b) nieekranowanego [opracowanie własne]

Nr 6(520) LISTOPAD-GRUDZIEŃ 2014 21

a)

b)

Rys. 4. Charakterystyki fazowe przetwornika RC1 dla różnych wartości rezystancji obciążenia Ro:

a) ekranowanego, b) nieekranowanego [opracowanie własne]

Badania symulacyjne odnoszące się do charaktery-

styk amplitudowych i fazowych realnego przetworni-

ka RC2 wykazały, iż jego parametry pozwalają na

wierne przenoszenie sygnałów o częstotliwościach do

16 kHz. Istotną rolę w dokładności przetwarzania

odgrywa rezystancja obciążenia. Wyniki badań

przedstawiono w postaci wykresów (rys. 5 a i b).

a)

b)

Rys. 5. Charakterystyka przetwornika RC2:

a) charakterystyka amplitudowa, b) charakterystyka fazowa [opracowanie własne]

3. TRANSFORMACJA PRZEBIEGÓW ODKSZTAŁCONYCH

Indukowana w cewce sem eR(t) ma przebieg pro-

stokątny o wartości max. A = 10 mV, a częstotliwość

podstawowa f = 50 Hz (ωt = 314 [1/s] – rys. 6).

Do przykładowej symulacji transformacji odkształ-

conego przebiegu prądu wybrano klasyczny przebieg

piłokształtny (rys. 7) opisany zależnością (1).

Rys. 6. Idealny przebieg prostokątny sem eR(t)

[opracowanie własne]

Rys. 7. Idealny przebieg monitorowanego prądu i(t)

indukującego sem eR(t) z rys. 6 [opracowanie własne]

MECHANIZACJA I AUTOMATYZACJA GÓRNICTWA

22

Indukowaną sem eR można w przybliżeniu zapisać

w postaci sumy pierwszych 21 harmonicznych:

. (1)

Po uwzględnieniu przyjętych założeń otrzymuje

się:

eR = 12,74 coswt – 4,24 cos3wt + 2,54 cos5wt

– 1,82 cos7wt + ……….+ 0,61 cos21wt, (2)

a po przejściu na zapis sinusoidalny przebieg indu-

kowanej sem eR(t) można zapisać:

eR = 12,74 sin(wt+90) + 4,24 sin(3wt+270)

+ 2,54 sin(5wt+90) + 1,82 sin(7wt+270) +

….+ 0,61 sin(21wt+90). (3)

Przy założeniu, że stała przekształcania s cewki

Rogowskiego dla 1. harmonicznej wynosi [1 mV/A],

odpowiadający indukowanej sem eR(t) przebieg indu-

kującego ją prądu i(t) (rys. 7) można zapisać jako:

,(4)

a po przekształceniu:

i (t) = 12,74 sinwt – 1,41 sin3wt + 0,51 sin5wt

– 0,26 sin7wt + ….+ 0,03 sin21wt. (5)

Siła elektromotoryczna eR(t) cewki Rogowskiego –

opisana zależnością (3) (rys. 6) – składa się z 21

szeregowo ze sobą połączonych źródeł napięciowych

(rys. 1) poszczególnych harmonicznych ekR(t). Moni-

torowany prąd i(t) zastąpiono połączonymi równole-

gle źródłami prądowymi poszczególnych harmonicz-

nych prądu (5).

W tabeli 2. przedstawiono uzyskane z symulacji

wartości amplitud i faz poszczególnych harmonicz-

nych: monitorowanego prądu i(t), sem e(t) induko-

wanej w cewce oraz napięcia UR(t) występującego na

przykładowym obciążeniu przetwornika RC1 rezy-

stancją o wartości 20 kΩ, przy czym:

k – rząd harmonicznej,

Ikm – amplituda k-tej harmonicznej monito-

rowanego prądu i(t),

Ekm – amplituda k-tej harmonicznej induko-

wanej siły elektromotorycznej e(t),

URkm – amplituda k-tej harmonicznej napięcia

U(t) na rezystancji obciążenia Ro,

yi, ye, yuR – fazy początkowe harmonicznych od-

powiednio – prądu i(t), siły elektromo-

torycznej e(t), napięcia UR(t).

Tabela 2.

Wartości amplitud i faz harmonicznych prądu i(t), sem e(t) i napięcia uR(t) na rezystorze Ro = 20 kΩ

obciążającym przetwornik RC1 [opracowanie własne]

k Ikm yi Ekm ye URkm yuR

- [A] [°] [mV] [°] [mV] [°]

1 12,73 0 12,73 90 12,66 89,5

3 1,41 180 4,24 270 4,22 268,7

5 0,51 0 2,55 90 2,53 87,8

7 0,26 180 1,82 270 1,81 266,9

9 0,16 0 1,41 90 1,40 86,0

11 0,11 180 1,16 270 1,15 265,1

13 0,07 0 0,98 90 0,97 84,2

15 0,06 180 0,85 270 0,84 263,3

17 0,04 0 0,75 90 0,74 82,5

19 0,03 180 0,67 270 0,66 261,6

21 0,03 0 0,61 90 0,60 80,7

Jak wynika z danych przedstawionych w tabeli 2.,

przetwornik CR1 ze sztucznie zawyżoną wartością

indukcyjności wiernie przenosi amplitudy poszcze-

gólnych harmonicznych w badanym zakresie do 21.

harmonicznej. Największy błąd kątowy, wynoszący

ok. 10°, występuje przy transformacji 21. harmonicz-

nej.

Uzyskanie odpowiedzi na pytanie, czy możliwe jest

wykorzystanie indukcyjności własnej cewki jako

członu całkującego, wymagało przeprowadzenia

symulacji porównawczej transformacji przebiegu

prądu (5) przez obydwa przetworniki CR1 i CR2.

Przetwornik CR2 jest modelem rzeczywistym. Po-

równując przebiegi napięć wyjściowych URC1 i URC2

Nr 6(520) LISTOPAD-GRUDZIEŃ 2014 23

obu przetworników dla różnych wartości rezystancji

obciążenia Ro (rys. 8), nietrudno zauważyć, że

w miarę jej zmniejszania przebieg napięcia URC1

hipotetycznego przetwornika RC1 zbliża się (rys. 9b)

do idealnego przebiegu monitorowanego prądu

(rys. 7). W analizowanym zakresie częstotliwości (do

21. harmonicznej) efekt całkowania występuje, ale

tylko w przetworniku o sztucznie zawyżonej wartości

indukcyjności.

a)

b)

Rys. 8. Przebieg napięcia UR ekranowanego przetwornika RC na tle przebiegu sem ER dla rezystancji obciążenia

Ro =10 kΩ: a) przetwornik RC1, b) przetwornik RC2 [opracowanie własne]

a)

b)

Rys. 9. Przebieg napięć UR ekranowanych przetworników RC1 i RC2 na tle przebiegu sem ER:

a) dla rezystancji obciążenia Ro=1 kΩ, b) dla rezystancji obciążenia Ro=100 Ω [opracowanie własne]

Natomiast w rzeczywistym przetworniku RC2 nie

udało się uzyskać efektu całkowania i nawet przy

Ro = 100 Ω przebieg napięcia URC2 rzeczywistego

przetwornika RC2 nadal posiada kształt sem ER.

Efekt całkowania z pewnością zacznie występować

silniej w zakresie bardzo dużych częstotliwości. Na-

suwa się tutaj wniosek, że w elektroenergetyce, gdzie

pasmo branych pod uwagę harmonicznych kończy

się praktycznie na 50. harmonicznej (2,5 kHz), nie uda

się, niestety, wykorzystać indukcyjności własnej cewki

Rogowskiego jako członu całkującego w układach

monitorowania i pomiaru prądu.

Na rys. 10. przedstawiono powiększony fragment

napięcia przetwornika RC2 na tle indukowanej

w cewce sem ER. Jak widać, maksymalne różnice

wartości chwilowych obu sygnałów wynoszą ok.

0,1 mV, a przesunięcie fazowe praktycznie nie jest

zauważalne.

Rys. 10. Powiększony fragment przebiegu napięcia UR ekranowanego przetwornika RC2 na tle przebiegu sem ER

dla rezystancji obciążenia Ro = 20 kΩ [opracowanie własne]

MECHANIZACJA I AUTOMATYZACJA GÓRNICTWA

24

4. PODSUMOWANIE

Jakość przekształcania przetworników prądowo-

napięciowych z cewką Rogowskiego w znaczącej

mierze zależy od ich konstrukcji, a przede wszystkim

od obecności ekranów magnetycznych [4] i elektro-

statycznych.

Dokładność przekształcania jest funkcją zarówno

samych parametrów cewki Rogowskiego, wartości

rezystancji obciążenia, jak i zakresu częstotliwości

transformowanego sygnału.

Użycie ekranu elektrostatycznego nie wpływa na

charakterystyki amplitudowo-fazowe rzeczywistego

przetwornika w zakresie częstotliwości do 10 kHz.

Wykorzystanie indukcyjności własnej realnej cewki

jako członu całkującego jest niemożliwe w zakresie

niskiej częstotliwości do ok. 2,5 kHz.

Użycie analogowych układów całkujących sygnał

wyjściowy przetwornika sprawi, iż zaleta w postaci

liniowości przekształcania zostanie częściowo utra-

cona.

Zastosowanie przetwornika z cewką Rogowskiego

do określonego celu (wyłącznie monitorowanie war-

tości prądu lub jako wielkość wejściowa do zabez-

pieczeń) musi uwzględniać nie tylko warunki środo-

wiskowe (obecność zakłócających pól elektromagne-

tycznych) – oczekiwany zakres przenoszonych czę-

stotliwości i dokładności transformacji zależy przede

wszystkim od parametrów cewki Rogowskiego i re-

zystancji jej obciążenia.

Literatura

1. Habrych M., Lubryka J., Macierzyński D., Kozłowski A., Mora-wiec M.: Przetwornik prądowo-napięciowy ze zmodyfikowanym rdzeniem amorficznym do pomiarów prądowych przebiegów od-

kształconych. Mechanizacja i Automatyzacja Górnictwa 2012, nr 10 (500), s. 24-29.

2. Miedziński B., Szkółka S., Borczyński J., Kowalski Z.: Właści-

wości przetworników prądowych z cewką Rogowskiego w ukła-dach pomiarowych zabezpieczeń. Mechanizacja i Automatyzacja

Górnictwa 2004, nr 7 (402), s. 77-84.

3. Miedziński B., Szkółka S., Wiśniewski G., Lisowiec A.: Cewki

Rogowskiego jako elementy nowoczesnych układów automatyki i pomiarów. Mechanizacja i Automatyzacja Górnictwa 2008, nr 2 (433), s. 23-30.

4. Szkółka S., Zych K.: Wybrane aspekty ekranowania Cewek Ro-

gowskiego. Mechanizacja i Automatyzacja Górnictwa 2014, nr 1 (515), s. 5-13.

5. Szkółka S., Wiśniewski G.: Rogowski coil as a modern sensor

for monitoring of current. Przegląd Elektrotechniczny 2009, nr 1, s. 131-135.

Artykuł został zrecenzowany przez dwóch niezależnych recenzentów.

Pełnych radości, spokoju i nadziei

Świąt Bożego Narodzenia

oraz zdrowia, szczęścia, optymizmu,

energii, wszelkiej pomyślności,

sukcesów w życiu prywatnym i zawodowym

w Nowym, 2015 Roku

wszystkim P.T. Czytelnikom

życzy

Redakcja MiAG

adziei

ia

mizmu,

ości,

awodowym

om