CHARAKTERYSTYKI CZASOWE PODSTAWOWYCH CZŁONÓW LINIOWYCH UKŁADÓW AUTOMATYKI

Przy analizie elementów układów automatyki spotyka się elementy o różnej naturze fizycznej

(elementy elektryczne, mechaniczne, pneumatyczne, hydrauliczne, itp.), ale są one opisane

takimi samymi typami równań różniczkowych lub algebraicznych. Takie elementy nazywa

się członami automatyki. Jeżeli opis matematyczny takiego członu jest na tyle prosty, że nie

można lub nie ma potrzeby przedstawiać go w postaci prostszej, to takie człony nazywamy

członami podstawowymi. Wprowadzenie członów podstawowych znacznie ułatwia analizę bądź syntezę układów automatyki, bez względu na ich naturę fizyczną. Opis matematyczny

takich członów sprowadza się bowiem do kilku typów prostych równań (algorytmów

działania członów).

W dalszej kolejności zostaną omówione poszczególne rodzaje podstawowych członów

automatyki z podaniem ich równań czasowych, transmitancji, i charakterystyk czasowych w

odpowiedzi na skok jednostkowy (wymuszenie stałe u(t) =1(t)).

I. Człon proporcjonalny

Równanie dynamiki członu ma następującą postać: )()( tkuty = , (I.1)

gdzie k jest współczynnikiem wzmocnienia (proporcjonalności).

Transmitancja operatorowa wyraża się zależnością: ksK =)( . (I.2)

Równanie statyki (dla stanów ustalonych - wszystkie pochodne przyjmujemy jako zero) ma

postać: kUY = (I.3)

Y

α = arctgk

U

Rys. I.1. Charakterystyka statyczna członu proporcjonalnego

2

Odpowiedź skokowa dla wymuszenia u(t) = 1(t) wyraża się wzorem:

kth =)( . (I.4)

h(t)

k1(t)k

t

Rys. I.2. Odpowiedź skokowa członu proporcjonalnego

Przykłady członów proporcjonalnych to między innymi dźwignia dwuramienna (rys. I.3).

F1 F2

l1 l2

Rys. I.3. Człon proporcjonalny – dźwignia dwuramienna

Zależność pomiędzy siłami oddziałującymi na końcach pręta, wyznaczona z równania

momentów, ma postać:

12

12 F

l

lF = , (I.4)

gdzie l1, l2 – ramiona dźwigni.

Transmitancja operatorowa tego członu, określona jako stosunek transformaty siły F2 do

transformaty siły F1:

ksK =)( , (I.5)

gdzie 2

1

l

lk = .

II. Człon inercyjny pierwszego rzędu

Równanie dynamiki członu inercyjnego pierwszego rzędu:

kuydt

dyT =+ , (II.1)

gdzie: k – współczynnik wzmocnienia,

T – stała czasowa.

Równanie dynamiki w postaci operatorowej ma postać: )()1)(( skUTssY =+ , (II.2)

3

czyli

)(1

)( sUTs

ksY

+= . (II.3)

Transmitancja operatorowa opisana jest wzorem:

K(s) =1+Ts

k. (II.4)

Równanie statyki:

kUY = . (II.5)

Charakterystyka statyczna jest analogiczna, jak dla członu proporcjonalnego (rys. I.1).

W celu uzyskania odpowiedzi skokowej wstawiamy do równania (II.4) zależność U(s)=1/s:

)1

()(

TsTs

ksY

+

= . (II.6)

Odpowiedź skokową członu inercyjnego pierwszego rzędu otrzymujemy korzystając

z odwrotnego przekształcenia Laplace’a =)(th L-1 )]([ sY :

)1()( T

t

ekth−

−= . (II.7) Charakterystykę skokową członu inercyjnego pierwszego rzędu pokazano na rys. 3.7.

h(t) T t

0,6

3 k

k

Rys. II.1. Charakterystyka skokowa członu inercyjnego pierwszego rzędu

Wstawiając do równania (II.7) t=T otrzymujemy:

kyT 632,0= . (II.8)

Stała czasowa T określa czas dochodzenia do nowego stanu ustalonego po zakłóceniu

spowodowanym sygnałem skokowym. W praktyce przyjmuje się, że następuje to po około

pięciu stałych czasowych T. Graficzny sposób wyznaczania wartości stałej czasowej T,

polega na wykreśleniu stycznej do krzywej, przechodzącej przez początek układu i

odczytaniu odcinka, jaki ta styczna wyznacza na poziomie stanu ustalonego k (rys. II.1).

4

Rys. II.2. Charakterystyka skokowa członu inercyjnego pierwszego rzędu (T=var)

Na rys. II.2 przedstawiono odpowiedzi na skok jednostkowy członu inercyjnego I-rzędu dla

trzech różnych stałych czasowych: T1=0,1; T2=1; T3=5.

Przykładem inercyjnego członu pierwszego rzędu jest silnik obcowzbudny prądu stałego. Na

rys. II.3 przedstawiono uproszczony schemat silnika obcowzbudnego prądu stałego.

W układzie tym sterujemy prędkością kątowa w(t) za pomocą napięcia twornika U(t).

Zależność wiążącą te wielkości można wyznaczyć korzystając z równań, opisujących obwód

elektryczny i mechaniczny maszyny.

Uw=const

ω

U

i

eR

J

φ

Rys. II.3. Człon inercyjny pierwszego rzędu - obcowzbudny silnik prądu stałego

5

Ue

R i

Rys. II.4. Schemat obwodu elektrycznego twornika

Na rys. II.4 przedstawiono schemat obwodu elektrycznego twornika, uwzględniający

oporność R twornika oraz siłę elektromotoryczną indukcji e. Siła elektromotoryczna jest

równa:

ϕωce= , (II.9) gdzie: c – stała konstrukcyjna maszyny,

φ – strumień wzbudzenia,

ω – prędkość obrotowa silnika.

Ponieważ napięcie Uw w obwodzie wzbudzenia jest stałe, stały jest także strumień

wzbudzenia φ. Możemy zatem napisać: ωeke= , (II.10)

gdzie ke – stała elektromechaniczna maszyny.

Stosując drugie prawo Kirchhoffa do obwodu twornika otrzymujemy równanie:

e k U iRe= = −ω . (II.11)

Równanie równowagi momentów na wale silnika ma postać:

oe MMdt

dJ −=ω

, (II.12)

gdzie: J – całkowity moment bezwładności,

Me – moment elektromagnetyczny silnika,

Mo – moment obciążenia.

Zachodzi także zależność (II.13):

M c i k ie m m= =φ , (II.13) gdzie km – stała mechaniczna.

Wobec tego podstawiając do równania (II.12) zależności (II.11) i (II.13), otrzymujemy

równanie dynamiki silnika:

omeeem

Mkk

RU

kdt

d

kk

JR−=+

1ω

ω (II.14)

6

oraz

oou MkUkdt

dT −=+ωω

, (II.15)

gdzie: emkk

JRT = - stała czasowa obiektu,

kku

e

=1

; me

o kk

Rk = – wzmocnienia statyczne.

III. Człon oscylacyjny

Równanie dynamiki członu oscylacyjnego ma postać:

ukydt

dy

dt

ydnnn22

2

2

2 ωωξω =++ , (III.1)

gdzie: k – współczynnik wzmocnienia,

nω – współczynnik drgań nietłumionych (pulsacja drgań nietłumionych),

ξ – współczynnik tłumienia.

Postać operatorowa powyższych równań:

)(2

)(22

2

sUss

ksY

nn

n

ωξωω++

= . (III.2)

Transmitancja operatorowa przedstawia się następująco:

22

2

2)(

nn

n

ss

ksK ωξω

ω++

= . (III.3)

Równanie w mianowniku transmitancji operatorowej (III.3) jest wielomianem drugiego rzędu

i w zależności od wyróżnika ∆ może mieć różne pierwiastki. Dla układu oscylacyjnego

zachodzi warunek ∆<0.

02 22 =++ nnss ωξω , (III.4)

)1(444 22222 −=−=∆ ξωωωξ nnn . (III.5)

Aby wyróżnik powyższych równań był mniejszy od zera, współczynnik tłumienia musi

spełniać zależność 0 < ξ < 1 (ograniczenie dolne związane jest z warunkiem stabilności).

Wtedy, na przykład równanie (3.73), ma dwa pierwiastki sprzężone:

)1( 21 ξξω −−−= js n ,

(III.6)

)1( 22 ξξω −+−= js n .

Postać transmitancji operatorowej (III.3) można przedstawić następująco:

7

))1())(1(()(

22

2

ξξωξξωω

−++−−+=

jsjs

ksK

nn

n . (III.7)

Równanie statyki członu oscylacyjnego, tak jak dla wcześniej omawianych przypadków, ma

postać: kUY = . (III.8)

Charakterystyka statyczna jest analogiczna, jak dla układu proporcjonalnego ( rys. I.1).

W celu uzyskania odpowiedzi skokowej, należy skorzystać z odwrotnego przekształcenia

Laplace’a, wyznaczając wyrażenie:

L-1=)]([ sY L-1 ]

1

2[

22

2

sss

k

nn

n

ωξωω++

. (III.9)

Odpowiedź skokowa członu oscylacyjnego =)(th L-1 )]([ sY ma postać:

)]sin(1

11[)(

2ϕω

ξξω +

−−= − tekth w

tn , (III.10)

gdzie ω ω ξw n= −1 2 pulsacja drgań własnych.

Charakterystykę skokową członu oscylacyjnego przedstawiono na rys. III.1.

h(t) tne ξω−

k

Tt

t

a

b

Rys. III.1. Charakterystyka skokowa członu oscylacyjnego

Parametry k, wn, x można wyznaczyć korzystając z właściwości charakterystyki skokowej

członu oscylacyjnego (III.10).

Współczynnik wzmocnienia k można wyznaczyć na podstawie charakterystyki skokowej dla

wartości ustalonej h(t), czyli:

ktht

=∞>−

)(lim . (III.11)

8

Przyjmując za Tt czas (rys. III.1) pomiędzy dwoma kolejnymi maksimami (Tt=tb- ta) oraz

wyznaczając wartości funkcji dla czasów ta oraz tb, otrzymujemy następujące zależności:

)]1sin(1

11[)( 2

2ϕξω

ξξω +−

−−= −

ant

a tekth an , (III.12)

)]1sin(1

11[)( 2

2ϕξω

ξξω +−

−−= −

bnt

b tekth bn , (III.13)

tnabn

bn

anTtt

t

t

b

a eee

e

b

a

kth

kth ξωξωξω

ξω====

−

−−

−

−

)(

)(

)(. (III.14)

Ponieważ dla funkcji sinusoidalnej zachodzi zależność: πξωω 21 2

=−= tntw TT , (III.15)

czyli

t

nT21

2

ξπω

−

= . (III.16)

Podstawiając zależność (III.16) do wyrażenia (III.14) otrzymujemy:

21

2)ln(

ξπξξω−

== tnTb

a, (III.17)

stąd

)(ln4

)ln(

22

b

ab

a

+

=

πξ . (III.18)

Tak więc dokonując pomiarów a, b, Tt na charakterystyce skokowej, otrzymanej np. na

drodze doświadczalnej, można wyznaczyć parametry ξ i wn, czyli zidentyfikować parametry

modelu obiektu.

9

Rys. III.2. Charakterystyka skokowa członu oscylacyjnego (ξ =var)

Na rys. III.2 przedstawiono odpowiedzi układu oscylacyjnego dla trzech różnych wartości

parametru ξ : ξ 1=0,125; ξ 2=0,5; ξ 3=0,85.

Rys. III.3. Charakterystyka skokowa członu oscylacyjnego ( nω =var)

Na rys. III.3 przedstawiono odpowiedzi układu oscylacyjnego dla trzech różnych wartości

parametru nω : 1nω =2; 2nω =4; 3nω =8.

10

Przykładem członu oscylacyjnego jest układ elektryczny RLC (rys. III.3).

W układzie tym sygnałem wejściowym jest napięcie uwe, natomiast sygnałem wyjściowym

napięcie na kondensatorze uwy.

R L

Cuwe uwy

Rys. III.4. Człon oscylacyjny – układ elektryczny RLC

Równanie różniczkowe, opisujące układ, wyznaczamy z drugiego prawa Kirchhoffa,

uwzględniając zależność pomiędzy prądem i napięciem na kondensatorze:

wewy uudt

diLRi =++ , (III.19)

dt

duCi

wy= , (III.20)

zatem

wewywywy

uudt

duRC

dt

udLC =++

2

2

. (III.21)

Transmitancja operatorowa układu ma postać:

2nn

2

2n

2we

wy

s2s)LC

1s

L

Rs(LC

1

U

U)s(K ωξω

ω++

=++

== , (III.22)

gdzie: LC

1n =ω ,

L

CR

2=ξ .

Rozpatrywany czwórnik RLC jest członem oscylacyjnym jeżeli ξ<1, czyli C

LR 2< .

IV. Człon całkujący

Równanie dynamiki członu całkującego:

∫= t

dukty0

)()( ττ . (IV.1)

11

Zapisując powyższe równanie w postaci operatorowej:

)()( sUs

ksY = . (IV.2)

Transmitancja operatorowa członu wynosi:

s

ksK =)( , (IV.3)

a równanie statyki członu ma postać: U = 0. (IV.4)

Na podstawie wyrażenia ( )(lim ssYysu

∞>−= ) możemy stwierdzić, że wzmocnienie członu

całkującego w stanie ustalonym przyjmuje (dla wymuszenia stałego) wartość równą nieskończoności:

∞=u

u

u

y. (IV.5)

Oznacza to, że dla zerowego sygnału wejściowego sygnał na wyjściu może przyjmować dowolną stałą wartość.

Odpowiedź skokową członu całkującego wyznaczamy dokonując transformacji Laplace’a

równania (IV.1):

ss

ksY

1)( = , (IV.6)

a następnie wyznaczając oryginał równania (IV.6):

ktth =)( . (IV.7)

Charakterystyka skokowa członu przedstawiona jest na rys. IV.1.

h(t) kt t

Rys. IV.1. Charakterystyka skokowa członu całkującego

Przykładem członu całkującego jest zbiornik z wodą (rys. IV.1). Wysokość zbiornika h jest

wielkością wyjściową, natomiast przepływ Q wielkością wejściową.

12

Q

A

h

Rys. 4.2. Człon całkujący - zbiornik z cieczą

Zakładając, że lustro wody ma pole powierzchni A, wysokość zbiornika można określić z zależności:

∫=

t

QdtA

h0

1. (IV.8)

Transmitancja operatorowa układu ma postać:

s

k

AssQ

sHsK ===

1

)(

)()( , (IV.9)

gdzie A

k1= .

V. Człon różniczkujący rzeczywisty

Równanie dynamiki rzeczywistego członu różniczkującego ma postać:

dt

duky

dt

dyT =+ , (V.1)

W postaci operatorowej:

)()()1( sksUsYTs =+ , (V.2) skąd otrzymujemy:

)(1

)( sUTs

kssY

+= . (V.3)

Transmitancja operatorowa rzeczywistego członu różniczkującego:

1)(

+=

Ts

kssK . (V.4)

Równanie statyki członu różniczkującego rzeczywistego:

0=Y . (V.5)

Charakterystyka statyczna jest analogiczna, jak dla idealnego członu różniczkującego.

13

Odpowiedź skokową członu wyznaczamy przekształcając równanie (V.3):

+=

Ts

T

ksY

11

)( (V.6)

i wyznaczając oryginał =)(th L-1 )]([ sY :

T

t

eT

kth

−

=)( . (V.7)

Charakterystykę skokową rzeczywistego członu różniczkującego przedstawiono na rys. V.1.

h(t)

k/T

t

0,36

8k/T

T

Rys. V.1. Charakterystyka skokowa rzeczywistego członu różniczkującego

Rys. V.2. Charakterystyka skokowa członu różniczkującego rzeczywistego (T=var)

Na rys. V.2 przedstawiono odpowiedzi układu różniczkującego dla trzech różnych stałych

czasowych: T1=0,1; T2=0,5; T3=1.

Przykładem rzeczywistego członu różniczkującego jest czwórnik CR (rys. V.2), gdzie

wielkością wyjściową jest napięcie na rezystancji uwy, natomiast wielkością wejściową napięcie zasilania uwe. Równania opisujące układ są następujące:

14

.

,1

R

ui

uidtC

u

wy

wy

t

we

=

+= ∫ (V.8)

Po prostych przekształceniach i zróżniczkowaniu pierwszego równania otrzymujemy:

dt

duCRu

dt

duCR we

wywy

=+ . (V.9)

Ruwe

C

uwy

i

Rys. V.3. Człon różniczkujący rzeczywisty – czwórnik CR

Transmitancja operatorowa:

1)(

)()(

+==

Ts

ks

sU

sUsK

we

wy , (V.10)

gdzie: RCk = , RCT = .