1

・振動の基礎理論

SI（ International System of Units）基本単位

量 名 称 記 号

長 さ メートル m

質 量 キログラム kg

時 間 秒 s

電 流 アンペア A

熱力学温度 ケルビン K

物質量 モ ル mol

光 度 カンデラ cd

単位の基礎

倍 数 接頭語

長 さm

質 量kg

時 間s

1012 T : tera

109 G : giga

106 M : mega ton

103 k : kilo km kg

102 h : hecto

101 da : deca

100 m g s

10-1 d : deci

10-2 c : centi cm

10-3 m : milli mm mg ms

10-6 μ : micro μm μg μs

10-9 n : nano nm ng ns

10-12 p : pico

単位の基礎

1920 1940 1960 1980 2000 2020

10-18

10-17

10-16

10-15

10-14

10-13

10-12

10-11

10-10

10- 9

10- 8

10- 7

10- 6

相対

標準

不確

かさ

年

地球の自転から定義

1日 = 86,400秒（～1956年）

地球の公転から定義1年 = 31,556,925.9747秒

（1956～1967）

Cs133原子に共鳴するマイクロ波の周期から定義1秒 = 9,192,631,770周期

（1967～）

秒の定義の変遷

光時計（秒の再定義）

「秒の二次表現」から誕生

（20XX年～）

時間 伝播距離

1s 300,000km

1ms 300km

1μs 300m

1ns 30cm

1ps 0.3mm

電気の伝播距離

1mとは

地球の子午線の4000万分の1

メートル原器

白金:90%，イリジウム:10%の合金摂氏零度に1m

1885年 国際度量衡に加盟

1960年 Kr(クリプトン)86が発する光の 1,650,763.73λ を1mとした．

1983年 299,792,458分の1光秒の到達距離に改定．

光の速度はおよそ30万km，地球を1秒間に7回り半光速の3億分の1が1m

振動の基礎理論

2

年 定義内容絶対的な不確かさ

相対的な不確かさ

1795年子午線1/4相当の距離の1/10000000 ．ドランブルとメシャンの測定から

0.5–0.1 mm 10−4

1869年最初の原器「Metre des Archives」．白金製．フランス国立中央文書館保管．

0.05–0.01 mm 10−5

1889年白金-イリジウム合金製原器の氷融点温度時の長さ（第1回CGPM） メートル原器

0.2–0.1 µm 10−7

1960年原子変換；クリプトン86の光の波長の1650763.73倍（第11回CGPM）

0.01–0.005 µm 10−8

1983年真空中で光が1/299792458秒に進む距離（第17回CGPM）

0.1 nm 10−10

メートルの定義と不確かさの変遷

スケールの分解能

変位振幅 振動数 振動加速度 振動速度

1.0mm 15.9Hz 10m/s2 100mm/s

0.1mm 15.9Hz 1.0m/s2 10mm/s

0.01mm 15.9Hz 0.1m/s2 1.0mm/s

1.0μm 159Hz 1.0m/s2 1.0mm/s

0.1μm 159Hz 0.1m/s2 0.1mm/s

0.01μm 1.59kHz 1.0m/s2 0.1mm/s

1.0nm 1.59kHz 0.1m/s2

0.1nm 15.9kHz 1.0m/s2

0.01nm 15.9kHz 0.1m/s2

変位振幅と振動

1795年 蒸留水1リットル，液温:摂氏4度 を1キログラムの質量 と定義．

1799年 キログラム原器 が作製

1kgとは

純度の高いケイ素の結晶に含まれる原子の数を正確に数え上げ，一定数をもって１キログラムと定義する方法．ケイ素（2.3290g/cm3）は半導体材料として研究が進み，純粋で大きな結晶を作りやすいから選ばれた．

日本，米国，英国，ドイツなどが協力して研究を進め，原子の数をどれだけ正確に数えられるか精度を競っている．2010年現在，アボガドロ定数の値は 6.02214129(27)×1023mol-1だが，括弧内の数値は不確かさであと1桁判れば移行できる．

質量の新しい定義の方向（決定）

シリコンの球体

シリコンは不純物が少なくダイヤモンドのような結晶体である．球体の直径を数nmで計測することで

正確に体積がわかり，その球体の分子数が求まり，正確に質量がわかることになる．

◆ 下図の天秤で測っている直径90mmの球形の物質の質量Mはいくらか．

1 kg30 mm

221 mm

振動の基礎理論

3

SI単位の固有の名称を持つ組立単位

量 名 称 記 号

力 ニュートン N = kgm/s2 質量1kgに1m/s2の加速度を発生させる力 F=M・A

圧力や応力 パスカル Pa = N/m2 1m2当り1Nの力を発生させる圧力

エネルギー ジュール J = N・m 1Nの力で1m移動させた仕事量

仕事率・動力 ワット W = J/s 1秒間に費やすｴﾈﾙｷﾞｰ量

振動数 ヘルツ Hz = 1/s 1秒間の繰り返し回数

単位の基礎

力（N：ニュートン）

M質量F A

2s

mAkgMNF

kgM

NF

s

mA

2

s

mvsT

s

mA

2

sTkgM

NF

s

mv

2s

mkgN

引力 （万有引力）質量をもつすべての物体の間に働く引き合う力．

引 力

2r

mMGFgrav

2

3111067384.6

skg

mG

2r

mMGmg

mr 6

7

10366.62

104

G

rgM

2

kg24

11

26

10955.51067384.6

10366.680665.9

質量mの重量は 地球一周は4万kmだから，半径rは

地球の質量Mは

重量と質量

質量(kg)加速度を乗算していない

（物質の量をあらわす）

重量は(kg m/s2) 質量に加速度を乗算した力である

重量 = 質量×重力加速度

地球上の重力加速度は場所により違うので不便．

標準重力加速度を決めて世界中で使うことにした．

1880年： 9.80619920m/s2 「北緯45度の海上の重力加速度の値」

1901年： 9.80665m/s2と国際度量衡総会で規定

無重力の空間では， 1kgの質量の重量は0kgm/s2である．

「秤」は力を計っている．その測った力を決められた数値（重力加速度）で

割った値（質量）を表示している．

圧力 Pressure（Pa：パスカル）

2

2

2

mS

NFPaP

21

1

mS

NFPaP

F2

P P

P

PPPPPP P

F1

S1

S2

1

212

S

SFF

ピストンB

ピストンA

◆ ピストンAの面積が14 cm2，ピストンBの面積224 cm2のパスカルの原理を利用

した油圧ジャッキがある．ここでテコを応用してピストンAに200 Nを加えると，

ピストンBに発生する力はいくらか．

振動の基礎理論

4

応力 Stress（Pa：パスカル）

応力とは，固体の物質を外力Fによって変形させたときに，その歪みを戻そうとする内力のことである．変形させようとする外力 ＝ 変形を戻そうとする内力（応力） である．

応力を考える場合，図のように物体を仮想的に切断して２つの面を作り，内力の方向と作用している面の両方について考える必要がある．

外力F

内力

内力

物質が大きいほど，同じ率で歪めるのに必要な外力は大きくなる．そのため，断面積S あたりの応力σに換算することで，大きさによる影響が省かれる．

外力

－F面積S

2mS

NFPa

力が働くと形が変化する物体を弾性体という．ほとんどの物質は弾性体である．ヤング率は，簡単にいうと物質の硬さを示す値の一つである．ヤング率E とは，外力Fで物質を伸ばしたとき，応力σ （伸ばすのに必要な単位面積あたりの内力）を，ひずみε（単位長さあたりの伸び率）で割ったものである．硬くて変形し難い物質ほど，ヤング率（弾性率）が高く，単位はPaである．

ヤング率（Pa：パスカル）

ヤング率が約100GPaである銅では，断面積1mm2，長さ1mのワイヤに10kgのおもりをぶら下げると，0.1%のひずみが生じ，約1mm伸びることが推定できる．

L(m) ΔL(m)

F(N)

S(m2)

mL

mL

mS

NF

L

LS

F

PaE

2

SI単位の固有の名称を持つ組立単位を含むものの例

量 記 号

粘 度 Pa・s 液体の粘りの度合い

力のモーメント・トルク N・m 回転させる力，回転する力

ばね定数 N/m 1mたわませる，縮ませる力

単位の基礎

v (m/s)

F (N)

－F (N)

h (m)

粘性液 （粘性係数 ： η）

h

vSF

粘度 Viscosity（Pa･s）

粘度は，流体のねばりの度合であり，粘性率，粘性係数とも呼ぶ．

s

m

N

s

mv

mh

mS

NFsPa

22

ニュートンの式

S (m2)

力のモーメント，トルク

L (m)

F (N)トルク ： 回転する力，回転させる力

mLNFNmTorque mL

NmTorqueNF

回転機械のトルク測定

振動の基礎理論

5

歯車式トルク検出器

歯車式トルク検出器

ひずみゲージ式トルク検出器

F (N)

D (m)

ばね定数は，材質が同じでならば長さ，厚さで異なる．

ばね定数

mD

NFk mDkNF

1m たわませる（伸ばす，縮ませる）ために必要な力

Stiffness ：

F (N)

D (m)

◆ SIの基本単位を組み立ててばね定数を表したものはどれか．

1. kg m3 / s2

2. kg m2 / s2

3. kg m /s2

4. kg / s2

5. kg /(ms2)

sin Dy

θ

D

ftDty 2sin

（rad/s）f 2

角振動数(angular frequency)，または円振動数(circular frequency)と呼ぶ．

tDty sin

y

振動の基礎理論

6

rad2

2

下の波形は，位相がπ/2 遅れている．という．

2sin

tDty tDty sin

(b)

(a)

β

tDty sin 位相差、初期位相

位相差／初期位相

◆ 図の波形を式で示せ．

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

200ms

a

ランダム振動の実効値

:ﾋﾟｰｸ値A

T

i dtxT

A0

2rms

1

rmsA

AFC ..

:実効値Arms

N

ii xx

N 1

2

1

1標準偏差：

:p-p値Ap-p

正弦波の値

A:振幅値Arms:実効値

Ap-p

:p-p値

AAA 7071.02

1rms

414.1.. rmsA

AFC

AAA 637.02

ave

R

A

RA

dtaT

R T

i 2

2

0

2

2rms

AA

A

A2

実効値とは

ia

RaP ii2

平均エネルギ

等価直流値

EQDC値

2乗するとエネルギ値になる値電気工学で，交流信号の大きさを直流信号と比較する必要から生まれた．

rms値が1Vの交流は，直流1Vの電池と同じ電力を抵抗負荷に供給する．

振動の基礎理論

7

◆ x = Acosωt + Bsinωtで表される振動の片振幅はいくらか．

◆ x = Acosωt + Bsinωtで表される振動の実効値はいくらか．

◆ x = Acosωt + Bsinωtで表される振動の両振幅はいくらか．

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

tbtatA sinsin

同一振動数の加算

tctA sin

cos222 abbac

coscos

sinsinarctan

ba

ba

tbtatA sinsin

sincoscossinsin tatata

tbatbatA cossinsinsincoscos

tc sin

22sinsincoscos babac

cos222 abba

sincoscossin ttctA

sincoscossinsin tbtbtb

cba coscoscos

cba sinsinsin

coscos

sinsinarctan

ba

ba

同一振動数の加算の証明

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

tbtatA 21 sinsin

異なる振動数の加算

2

22 baArms

tbtatA 21 sinsin

T

rms dttbtaT

A0

2

21 sinsin1

T

dttbttabtaT 0 2

22211

22 sinsinsin2sin1

TTT

tdtT

btdtt

T

abtdt

T

a0

22

0 210 12

2

sinsinsin2

sin

Ttdtdttdt2

12cos

2

1

2

1sin2

2

22 baArms

異なる振動数の加算の証明

0cos2

1cos

2

1sinsin tdttdttdtt

- 2 .5

- 2

- 1 .5

- 1

- 0 .5

0

0 .5

1

1 .5

2

2 .5

- 2 .5

- 2

- 1 .5

- 1

- 0 .5

0

0 .5

1

1 .5

2

2 .5

図2 Arms=1

図1 Arms=1

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

図3 Arms=1

EQPeak

EQp-p

rmspp AEQ 22

rmspeak AEQ 2

EQp-p値の例

振動の基礎理論

8

1ｓ

1ｓ

5Hz の波形

10Hz の波形

振動数（Frequency）： ( Hz )

1ｓ

T

T

2f

21

fT(Hz) (s)

振動数と周期の関係

1Tf

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 1 2 3 4 5時間 (s)

振動

速度

(mm

/s)

◆ 図の振動波形の振動数はいくらか

◆ 図の振動波形の周期はいくらか．

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

50 100 150 200

振動速度

(mm

/s)時間 (ms)

◆ 図の振動波形の周期はいくらか．

◆ 前問の振動波形の周波数はいくらか．

◆ 正弦振動において振動数f，周期Tの関係を示す以下の式について答えよ．

11

).(

1)().(

1).(

1).(

2

fTd

fTc

fTb

fTa1．(a)の式が間違い

2．(b)の式が間違い

3．(c)の式が間違い

4．(d)の式が間違い

5．すべての式が正しい

+

加算波形のFFT分析

アンバランス成分と

噛み合い振動数

f

f

うねり

振動の基礎理論

9

+

加算波形のFFT分析

アンバランス成分と

噛み合い振動数

f

f

うねり

+

加算波形のFFT分析

うなり(Beat)

振動数の差分の振動数で振幅が大小する

f

f

うなり

+

加算波形のFFT分析

うなり(Beat)

振動数の差分の振動数で振幅が大小する

f

f

うなり

Mod

変調波形のFFT分析

噛み合い振動数を

回転成分で変調

f

ff

Mod

変調波形のFFT分析

噛み合い振動数を

回転成分で変調

f

ff

変調波形のFFT分析

tatf ccc sin tatf sss cos

tattatf cccssm sinsincos

c

sc sc

tatftf ccsm sin

tata

ta

tf ccscs

scs

m sinsin2

sin2

ca

2sa

c

s

a

aM 変調度

振動の基礎理論

10

変調波形のFFT分析sc

c

sc

c

+

変調波形のFFT分析

scsccscc sincos4.0cossin4.0sin5.0sin4.0sin5.0

scsccscc sincos4.0cossin4.0sin5.0sin4.0sin5.0

sccscscc cossin8.0sinsin4.0sin4.0sin

c

sc sc

sc cos8.01sin

◆ 図は二つの正弦振動が重なり合ったうねりの変位波形を示している．

二つの振動数はおおよそいくらか．

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

0 100

時間 (ms)

◆ この二つの正弦振動の振幅はそれぞれいくらか．

◆ この変位波形の振動シビアリティはいくらか．

◆ この波形の振動速度のスペクトル図はどれか．

0

1

2

3

4

5

fL fH

frequency (Hz)

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

fL fH

frequency (Hz)

2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

fL fHfrequency (Hz)

3

0

1

2

3

4

5

fL fH

frequency (Hz)

4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

fL fH

frequency (Hz)

5

.

◆ 側帯波（サイドバンド）に関する次の記述で適切でないものはどれか．

1．側帯波はスペクトル線図においてある基本周波数の両側に現れる周波数成

分である．

2．ある正弦波形において，その振幅を周期的に変化させると側帯波が現れる．

3．うなりの波形を周波数分析すると側帯波が観測される．

4．軸受けの内輪にスポット傷が発生すると内輪傷パス周波数の両側に側帯波

が現れる．

5．歯車において軸に偏心がある場合にはかみ合い周波数の両側に側帯波が

現れる．

振動の基礎理論

11

◆ この二つの振動の振動数はいくらか．

ms

0

1

0 1 0 2 0 3 0 4 0

位相による波形の違い

-2

-1

0

1

2

-2

-1

0

1

2

-2

-1

0

1

2

-2

-1

0

1

2

-2

-1

0

1

2

-2

-1

0

1

2

-2

-1

0

1

2

-2

-1

0

1

2

-2

-1

0

1

2

-2

-1

0

1

2

-2

-1

0

1

2

-2

-1

0

1

2

-2

-1

0

1

2

(b)

(a)

50Hzから85Hzまで、1Hz毎に36個の正弦振動を合成

正弦振動の合成例

振動の種類

日本橋200 km

速度制限80 km/h

0 – 80 km/h加速試験

8.0 s

tvd

tav

(b)

(a)

(c)

(b)

(a)

t

変 位

ftDty 2sin

(c)

(a)

(b)

Δt

ΔD

vt

D

tydt

d

t

Dt

0

lim

(b)

(a)

(c)

(b)

(a)

t(b)

(a)

(c)

(b)

(a)

t

ftdt

dDty

dt

dtv 2sin

t

tydt

d

(b)

(a)

(c)

(b)

(a)

t(b)

(a)

(c)

(b)

(a)

t

ftfDtv 2cos2

振動の基礎理論

12

(b)

(a)

(c)

(b)

(a)

t

変 位

ftDty 2sin

(c)

(a)

(b)

Δt

ΔD

vt

D

tydt

d

t

Dt

0

lim

(b)

(a)

(c)

(b)

(a)

t

変 位

ftDty 2sin

(c)

(a)

(b)

Δt

ΔD

vt

D

tydt

d

t

Dt

0

lim

(b)

(a)

(c)

(b)

(a)

t(b)

(a)

(c)

(b)

(a)

t

ftdt

dDty

dt

dtv 2sin

t

tydt

d

(b)

(a)

(c)

(b)

(a)

t

(c)

(a)

(b)

ftDty 2sin

ftfDtv 2cos2

振動速度

半径Dの，この円周上を回る点の速度のことである．

振動速度とは

D

-1

0

1

1s

D

v = 2πD

1Hzの振動の場合

-1

0

1

1s

D

V=2πD

1Hzの振動の場合

-1

0

1

1s

V=2πD×5

5Hzの振動の場合

振動速度と変位の関係

振動速度と振動加速度の関係

ftfDtv 2cos2

ftdt

dfDtv

dt

dta 2cos2

(c)

(a)

(b)

(b)

(a)

(c)

(a)t

(a)

振動の基礎理論

13

振動速度と振動加速度の関係

ftfDtv 2cos2

ftDfta 2sin22

(c)

(a)

(b)

(b)

(a)

(c)

(a)t

(a)

変位 振動速度 振動加速度

ftDty 2sin

ftfDtv 2cos2

ftDfta 2sin22

変位／振動速度／振動加速度の関係

変 位 振動速度 振動加速度

微分 微分

積分積分

Af

AV

2

22 f

AD

D DfV 2 DfA 2

2

変位／振動速度／振動加速度の関係

微分

の掛け算f2

積分

の割り算f2

振動の種類

変位

からの変換

振動速度

からの変換

振動加速度

からの変換 単位

変位 mm，μm

振動速度 mm/s，m/s

振動加速度 m/s2

D f

VD

2

22 f

AD

fDV 2 V f

AV

2

DfA2

2 fVA 2 A

変位／振動速度／振動加速度の関係

振動加速度：A

振幅値 (m/s2)

振動速度：V

振幅値 (mm/s)

変位：D

p-p値 (μm)

周波数：f

(Hz)

振動加速度

A

振動速度

V

変位

D

周波数

f

f

VD 31014.3

DfV 31014.3

251097.1 DfA

VfA 31028.6

変位／振動速度／振動加速度／周波数

2

41007.5f

AD

f

AV 159

D

Vf 318

D

Af 225

ADV 707.0A

VD

2

2

V

Af 159

D

VA

2

2

DfV 31014.3

251097.1 DfA

f

VD 31014.3

VfA 31028.6

2

41007.5f

AD

f

AV 159

D

Vf 318

D

VA

2

2

D

Af 225

ADV 707.0

A

VD

2

2

V

Af 159

◆ 振動速度が8.9 mm/s である．振動数を50 Hzとすると，振動加速度はいくらか．

◆ 振動加速度が6.28 m/s2である．振動数を1.0 kHzとすると，振動速度はいくらか．

振動の基礎理論

14

◆ 振動加速度が1.11 m/s2(rms)で、振動速度が3.33 mm/s(rms)の振動がある．

この振動を正弦振動とすると振動数はいくらか．

◆ 前問の振動の変位波形におけるp-p値はいくらか．

◆ 2160rpmで回転しているモータが振動している．このモータの振動加速度を

測定したら1.39m/s2であった．回転数を1830rpmに下げたら振動加速度はい

くらになるか．ただし，回転数によって振動変位は変わらないものとする．

◆ 図に示す比較校正装置で振動計の感度の校正を行うことにする．正弦波発信器から159.15Hzの正弦波を発信させ，基準振動計が振動加速度で1.0m/s2を示すように電力増幅器の出力を調整した．次に，基準センサの上に感度校正をする被検振動計のセンサをのせて被検振動計の振動加速度の表示が1.0m/s2になるように調整することで感度校正作業が終わる．ここで，被検振動計が振動速度しか測れない振動計の場合，振動計の表示がいくつを表示するように調整すれば良いか次の中から選べ．

1．0.1 mm/s

2．0.2 mm/s

3．0.5 mm/s

4．1.0 mm/s

5．2.0 mm/s電力増幅器 正弦波発信器

基準振動計

被験振動計

加振器

被検センサ

基準センサ1.0 m/s2

159.15 Hz

？mm/s

◆ 正弦振動において変位D，振動速度V，振動加速度A，振動数f の関係を示す

以下の式について答えよ．

D

Afd

D

VAc

f

AVb

f

VDa

2

1)(

)(

2)(

2)(

2

1．(a)の式が間違い

2．(b)の式が間違い

3．(c)の式が間違い

4．(d)の式が間違い

5．すべての式が正しい

◆ 振動加速度が10.0 (m/s2)rmsで，振動の変位が28.3 (μm)p-pである．この振動を

正弦波振動とすると振動数はいくらか．

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

m/s2

図3 振動加速度波形

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

図2 振動速度波形

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

振動数が 2Hzで振幅1.0mmの振動と，

振動数が32Hzで振幅が24.7μmの振動

変位／振動速度／振動加速度の関係

mm/s

図1 変位波形

mm

振動の基礎理論

15

変位、速度、加速度の関係

1001010.1

A

2m/s1k

1m

2m/s10m

2m/s0.1

2m/s10

2m/s1

1nm

μm

μm

μm

V= 1.0mm/s

100k10k1k

D

10nm

0.1

1

10

100

1mm

2m/s100μmA=ω

VD=V

/ω

2m/s

振動数 Hz

変位の測定は・100Hz以下の低周波振動・応力（ストレス）が問題となる振動・振幅自体が問題となる振動

（隙間監視など）大型回転機械

振動速度の測定は・10Hz～1kHzの中帯域波振動・騒音も問題となる振動・ISOの振動評価値（ISO10816等）

を適用する場合一般産業回転機械

振動加速度の測定は・1kHz以上の高周波振動・力や荷重などを問題とする場合・測定場所が限られる場合・測定対象物が非常に小さい

高速小型回転機械

振動の種類

1. 変位 mm, μm

2. 振動速度 m/s, mm/s

3. 振動加速度 m/s2, mm/s2

fDV 2

D

DffVA2

22

変位と繰り返しの積 → 疲労1

E = mV2 運動エネルギー2

F = mA → 力

運動

変位 → ストレス

ばね（変位）

一定の力Fは，機械成分に一定の変位Dで作用

10Hz以下の振動は，変位量（ストレス）で機械を壊す．

kばね定数

DkF

F

D

オイルダンパー（速度）

一定の力Fは，機械成分に一定の速度Vで作用

10Hz～1kHzの振動は疲労（繰り返し回数と変位量）で機械を壊す．

c粘性係数

VcF

F

V

質量（加速度）

一定の力Fは，機械成分に一定の加速度Aで作用

1kHz以上の振動は力で機械を壊す．

m質量F A

AmF

振動の基礎理論

16

減衰のない

1自由度の自由振動

自由振動

◆ 固有振動数とは，振動系が（ ）振動しているときの（ ）である．

括弧に当てはまる語句は何か．

1自由度系の固有振動数

k ： ばね定数

m ： 質 量

Y

F

YkF F ： 復元力

YkF ： 復元力

2

2

dt

tydmtamtF

tykdt

tydm

2

2

これを運動方程式という．

tyktF

ばねから受ける復元力は、位置（時間）によって変化する

マスに作用している力は，質量×加速度であり

外力が作用しない場合，双方の力が等しくつり合うので，

1自由度系の固有振動数

1自由度系の固有振動数

tfYty n2sin

tfYftv nn 2cos2

tfYfta nn 2sin22

tyktam

YkYfm n 2

2

m

kfn

2

1 (Hz)

k

mTn 2

固有振動数fnは初期の変位量Yや重力加速度gに依らない．固有振動数fnを高くするためには質量mを小さくするか，ばね定数kを大きくする．

◆ 質量200gのおもりをつるすと19.6μm伸びるコ

イルばねがある．このばね・質量系の固有振

動数と周期を求めよ．

振動の基礎理論

17

◆ 質量が不明なおもりをつるすと19.6μm伸びる

コイルばねがある．このばね・質量系の固有

振動数を求めよ．

◆ 図に示すように，片持ちはりの先端に質量mが1kgを置いたときに，

δ＝10μm撓んだ．ばね定数kはいくらか．

この振動系の固有振動数fnはいくらか．

◆ ばね定数の分らないばねと，質量が分らないマスがある．マスをばねに付け

て鉛直にぶらさげ，自由振動させたところ，20回上下するのに10秒かかった．

このマスに100gの付加質量を付けて，再度自由振動させたところ，今度は

20回上下するのに12秒かかった．ばねのばね定数kおよび質量mはいくらか．

振子の振動

mg

l

m

長さlの糸に質量mの重りを吊るす．

mg

重りの動いた円弧の長さ y(t)，

tlty

tldt

tldta nn

n

sinsin 2

2

2

質量 m の接線方向の加速度v(t)は，

質量 m に働く復元力F(t) は，

質量 m に作用する力F(t) は，

tmltamtF nn sin2

tl n sin (θが小の時)

tmgtF n sin (θが小の時)

振子の振動

mg

l

m

tmgtF n sin

質量 m に働く復元力F(t) は，

質量 m に作用する力F(t) は，

tmltF nn sin2

運動方程式は，

mgmlfn 2

2

l

gfn

2

1

g

lTn 2

振り子の周期Tnは糸の長さlと重力加速度gに依存し，重りの質量 m に依らない．

mg

振子の振動

◆ 紐の長さ l が1.0mの場合， 周期Tnは

いくらか．

振動の基礎理論

18

一定振幅の強制力による強制振動

（減衰がない場合）

強制振動

◆ 振動系が（ ）によって振動している状態のことを（ ）振動という．

括弧に当てはまる語句は何か．

運動方程式

-kx : 復元力

tPkxxcxm o cos

運動方程式

tPo cos : 外力

txx o cos

txx o sin

txx o cos2

xc : 減衰力

m

k

x

c

c ： 粘性減衰係数

tPo cos

tPtkxtxm coscoscos 0002

m

k

x

c

c ： 粘性減衰係数

tPo cos

tPtkxtxm coscoscos 0002

20

0mk

Px

m

kn 2

n

km

20

2

20

0

1

1

nn

k

P

kk

Px

運動方程式

応答倍率

m

k

x

c

c ： 粘性減衰係数

tPo cos

20

0

1

1

n

k

Px

k

Pst

0 静たわみ（static deflection）

周期的な外力の一定振幅P0が静的に作用したときのばねのたわみ量

20

1

1

n

st

x

st

f

xM

0 応答倍率（magnification factor）

共振

m

k

x

c

c ： 粘性減衰係数

tPo cos

2

1

1

n

fM

は共振n

Mfはωとωnの関数

共振が発生すると，機械が一気に破壊したり，

大きな繰り返し応力が加わって疲労破壊に至る．

強制振動で重要なことは，共振は絶対に避けること

ω＝ωnでは，Mfは無限大

振動の基礎理論

19

床(壁)への振動伝達

m

k

x

c

c ： 粘性減衰係数

tPo cos

20

0

1

1

n

fP

kxM

P0のMf倍の力がばねを介して基礎に伝わる

00 Fkx ばねの両端に発生する力

0

0

P

FM f 00 PMF f

一定振幅の強制力による強制振動

（減衰がある場合）

強制振動

◆ 共振とは，（ ）振動において，振動系に加えられる加振振動数とその

振動系の（ ）振動数がほぼ一致した時に発生する，振動の振幅が大

きくなる現象である．括弧に当てはまる語句は何か．

運動方程式

-kx : 復元力

tPkxxcxm o cos

運動方程式

tPo cos : 外力

tBtAx sincos

tBtAx cossin

tBtAx sincos 22

xc : 減衰力

m

k

x

c

c ： 粘性減衰係数

tPo cos

tBmtAmtP sincoscos 220

tkBtkAtBctAc sincoscossin

tBmtAmtP sincoscos 220

tkBtkAtBctAc sincoscossin

02 PBcAmk

02 BmkAc

222

20

cmk

mkPA

222

0

cmk

cPB

txtBtAx cossincos 0

222

0220

cmk

PBAx

2

11 tantan

mk

c

A

B

運動方程式

222

00

cmk

Px

2

1tan

mk

c

m

kn 2

n

km

22

2

00

21

1

nn

k

Px

2

1

1

2

tan

n

n

mk

c

2

k

c

k

c n

n

22

2

2

n

kc

2

運動方程式

振動の基礎理論

20

応答倍率

222

00

21

1

nn

k

Px

2

1

1

2

tan

n

n

k

Pst

0 静たわみ（static deflection）

22

2

0

21

1

nn

st

f

xM

0

1

2

3

4

5

6

0 0.5 1 1.5 2 2.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5

π

π/2

0

ζ= 0

ζ= 0

0.1

0.25

0.10.25

21

21

応答倍率

位相（遅れ角θ）特性

θ

Mf

応答倍率

2

1

n

2

0.1 1 10

-40

-20

0

20

0.1 1 10π

π/2

0

ζ= 0

ζ= 0

0.10.25

0.10.25

21

21

応答倍率

位相（遅れ角θ）特性

θ

20

log

Mf

応答倍率

n

外力と振動の位相関係

外力

振動

θ: 同相

n

外力と振動の位相関係

外力

振動

θ: 90°遅れ

n

外力

振動

θ: 逆相

外力と振動の位相関係

n

振動の基礎理論

21

22

2

2

21

21

nn

n

22

222

21

2

nn

n

床(壁)への振動伝達

復元力

減衰力の反力

222

21

1

nn

床(壁)への振動伝達

0

1

2

3

4

5

6

0 0.5 1 1.5 2 2.5

ζ= 0

0.1

0.25

21

Mf

2

222

2

21

21

nn

n

アンバランス力による振動

2 mrF

tmrKxxCxM cos2

運動方程式

tBtAx sincos

tBtAx cossin

tBtAx sincos 22

tBCtACtBMtAM cossinsincos 22

tmrtKBtKA cossincos 2

tmrtKBtKA cossincos 2

22 mrBCAMK

02 BMKAC

2

222

2

mr

CMK

MKA

2

222

mr

CMK

CB

txtBtAx cossincos 0

222

222

0

CMK

mrBAx

2

11 tantan

MK

C

A

B

運動方程式

tBCtACtBMtAM cossinsincos 22

M

Kn 2

n

KM

22

2

2

0

21

nn

n

M

mrx

2

1

1

2

tan

n

n

MK

C

2 MKC 2

nn

KKC

22

2

2

運動方程式

222

2

0

CMK

mrx

2

1tan

MK

C

応答倍率

2

1

1

2

tan

n

n

M

mr

不つり合い量U

22

2

2

0

21

nn

n

M

mrx

mrU

MU

222

2

0

21

nn

nf

xM

振動の基礎理論

22

0 0.5 1 1.5 2 2.5

0

1

2

3

4

5

6

0 0.5 1 1.5 2 2.5π

π/2

0

ζ= 0

ζ= 0

0.1

0.25

0.10.25

21

21

応答倍率

位相（遅れ角φ）特性

θ

Mf

応答倍率

2

1

n

アンバランス力による振動

05.0 10fM

222

2

21

nn

nfM

0.001

0.01

0.1

1

10

100

0.1 1 10

遠心力

振動加速度

振動速度

振動変位

振動特性

振動数比（ω/ωn）

◆ 振動系に外力(励振)が加わり，それによって系が振動する現象(励振と同 じ振

動数をもつ)を（□自由，□強制，□自励）振動という．

非振動的なエネルギーがその系の内部で，振動的な励振に変換されて発生す

る振動現象を（□自由，□強制，□自励）振動という．

静止中の機械をインパルスして得られた振動波形を（□自由，□強制，□自励）

振動という．

実機における振動トラブルの多くが（□自由，□強制，□自励）振動および

（□自由，□強制，□自励）振動によって発生する．

括弧の中のどちらかの□にﾚ点を記せ．

◆ 共振発生時における外力に対する振動変位と位相角の関係で適切なもの

にﾚ点を記せ．

□ 90度遅れている

□ ほぼ45度遅れている

□ ほぼ90度進んでいる

□ ほぼ逆位相である

□ ほぼ同位相である

◆ 共振発生時における外力に対する振動速度と位相角の関係で適切なもの

にﾚ点を記せ．

□ 90度遅れている

□ ほぼ45度遅れている

□ ほぼ90度進んでいる

□ ほぼ逆位相である

□ ほぼ同位相である

振動の基礎理論

23

振動の形態

◆ 回転機械において回転数に対応する加振振動数が，回転軸の（ ）振

動数と一致する場合に，その回転数を（ ）速度と呼ぶ．

括弧に当てはまる語句は何か．

◆ 図のように片方の端を固定した板の固有振動数fnに関して適切でないも

にﾚ点を記せ．

fn

□ 長さに依存する

□ 幅に依存する

□ 厚さに依存する

□ 素材の密度に依存する

□ 重力加速度に依存する

t

fn

l

w

カンチレバーの固有振動数は，A

EI

l

2

2*

E：ヤング率，

I：断面2次モーメント

A：断面積

厚さt，幅wの矩形断面の2次モーメントは

12

3wtI

断面積は twA

これらを固有振動数の式に入れると，

1212

2

2

23

2

2

2

2* tE

lwt

wtE

lA

EI

l

固有振動数は，長さl，厚さt，密度ρに依存するが，幅wには依存しない．

強制振動

◆ 振動系に外力が（励振）が加わり，それによって系が励振と同じ振動数で振動

する現象．

自励振動

◆ 非振動的なエネルギーがその系の内部で，振動的な励振に変換されて発生

する振動現象．

スティクスリップ現象

◆ 強制振動に関する次の文章で適切でないものはどれか．

1．強制振動の振動数は，外力の振動数と同じである．

2．強制振動の位相は，外力の位相と異なることがある．

3．強制振動の振幅は，外力の振幅に対する倍率が変化することがある．

4．不つり合い振動は強制振動である．

5．オイルホイップは強制振動である．

◆ 自励振動に関する次の文章で適切でないものはどれか．

1．外力が振動していなくても自励振動が発生することがある．

2．自励振動の振動数は系がもつ固有振動数のことが多い．

3．不つり合い振動は自励振動である．

4．スティックスリップ現象は自励振動である．

5．オイルホイップは自励振動である．

振動の基礎理論