Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat...

80
zalącznik nr 2a do wniosku habilitacyjnego Autoreferat Zbigniew Leśniak Podstawowe dane osobowe: Imię i nazwisko: Zbigniew Leśniak Adres: Instytut Matematyki, Uniwersytet Pedagogiczny w Krakowie, ul. Podchorążych 2, 30-084 Kraków Email: [email protected] Posiadane dyplomy i stopnie naukowe: 1988 – magister matematyki (Uniwersytet Jagielloński w Krakowie), tytul pracy magisterskiej: Aksjomat Martina, promotor: dr B. Grell 1994 doktor nauk matematycznych (Wydzial Matematyczno-Fizyczno- Techniczny WSP w Krakowie), tytul rozprawy doktorskiej: Równanie Abela na plaszczyźnie i pewne jego zastosowania w teorii iteracji, promotor: prof. dr hab. M. C. Zdun Studia i przebieg pracy zawodowej: 1983-1988 – Uniwersytet Jagielloński w Krakowie, Wydzial Matematyki i Fi- zyki, studia na kierunku matematyka od 1 października 1988 r. do chwili obecnej zatrudniony w Instytucie Matema- tyki Uniwersytetu Pedagogicznego im. Komisji Edukacji Narodowej w Krako- wie (wcześniej WSP i AP) - na stanowisku naukowo-dydaktycznym: 1988-1989 asystent stażysta, 1989-1994 asystent, od 1994 adiunkt 1

Transcript of Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat...

Page 1: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

załącznik nr 2a do wniosku habilitacyjnego

AutoreferatZbigniew Leśniak

Podstawowe dane osobowe:Imię i nazwisko: Zbigniew LeśniakAdres: Instytut Matematyki, Uniwersytet Pedagogiczny

w Krakowie, ul. Podchorążych 2, 30-084 KrakówEmail: [email protected]

Posiadane dyplomy i stopnie naukowe:

• 1988 – magister matematyki (Uniwersytet Jagielloński w Krakowie), tytułpracy magisterskiej: Aksjomat Martina, promotor: dr B. Grell

• 1994 – doktor nauk matematycznych (Wydział Matematyczno-Fizyczno-Techniczny WSP w Krakowie), tytuł rozprawy doktorskiej: Równanie Abelana płaszczyźnie i pewne jego zastosowania w teorii iteracji, promotor: prof. drhab. M. C. Zdun

Studia i przebieg pracy zawodowej:

• 1983-1988 – Uniwersytet Jagielloński w Krakowie, Wydział Matematyki i Fi-zyki, studia na kierunku matematyka

• od 1 października 1988 r. do chwili obecnej zatrudniony w Instytucie Matema-tyki Uniwersytetu Pedagogicznego im. Komisji Edukacji Narodowej w Krako-wie (wcześniej WSP i AP) - na stanowisku naukowo-dydaktycznym: 1988-1989asystent stażysta, 1989-1994 asystent, od 1994 adiunkt

1

Page 2: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

Spis treści

1 Wskazane osiągnięcie naukowe i pozostałe publikacje 31.1 Lista prac składających się na osiągnięcie naukowe . . . . . . . . . . 31.2 Lista pozostałych publikacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Omówienie wyników wskazanego osiągnięcia naukowego 62.1 Homeomorfizmy Brouwera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Relacja współzbieżności do nieskończoności . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 Obszary prostowalne potoku homeomorfizmów Brouwera . . . . . . . 192.4 Postać potoku homeomorfizmów Brouwera . . . . . . . . . . . . . . . 232.5 Pierwiastki iteracyjne homeomorfizmu Brouwera zanurzalnego w potok 282.6 Równoważność topologiczna potoków homeomorfizmów Brouwera . . 302.7 Sprzężenie topologiczne potoków homeomorfizmów Brouwera . . . . . 33

3 Omówienie pozostałych osiągnięć naukowych 403.1 Homeomorfizmy Brouwera - wyniki uzupełniające . . . . . . . . . . . 40

3.1.1 Pierwiastki iteracyjne homeomorfizmów Spernera . . . . . . . 403.1.2 Relacja współzbieżności do nieskończoności dla homeomorfi-

zmu Brouwera zanurzalnego w potok . . . . . . . . . . . . . . 433.1.3 Maksymalne obszary prostowalne potoku homeomorfizmów

Brouwera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.1.4 Pierwsze przedłużenie graniczne potoku homeomorfizmów

Brouwera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2 Inne wyniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2.1 Równanie różniczkowe d’Alemberta . . . . . . . . . . . . . . . 523.2.2 Inwolucje płaszczyzny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.2.3 Funkcje kawałkami monotoniczne . . . . . . . . . . . . . . . . 553.2.4 Rozwiązania przybliżone równania całkowego Volterry . . . . . 583.2.5 Model kolejkowy dla sieci LAN . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.2.6 Rozwiązania i stabilność uogólnienia równania Frécheta . . . . 643.2.7 Punkty stałe operatorów i stabilność w sensie Ulama . . . . . 66

Bibliografia 73

2

Page 3: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

Rozdział 1

Wskazane osiągnięcie naukowe ipozostałe publikacje

Cykl publikacji wskazany jako osiągnięcia naukowe składa się z 6 publikacji i zostałzatytułowany:

Potoki homeomorfizmów Brouwera – postać, równoważnośći sprzężenie topologiczne

1.1 Lista prac składających się na osiągnięcie na-ukowe

Wskazany cykl publikacja obejmuje następujące pozycje:

[A1] Z. Leśniak, On boundaries of parallelizable regions of flows of free mappings,Abstr. Appl. Anal., Vol. 2007 (2007), Article ID 31693, 8 pp.

[A2] Z. Leśniak, On a decomposition of the plane for a flow free mappings, Publ.Math. Debrecen 75 (2009), No. 1-2, 191–202.

[A3] Z. Leśniak, On fractional iterates of a Brouwer homeomorphism embeddable ina flow, J. Math. Anal. Appl. 366 (2010), No. 1, 310–318.

[A4] Z. Leśniak, On the topological equivalence of flows of Brouwer homeomorphi-sms, J. Difference Equ. Appl. 22 (2016), 853–864.

[A5] Z. Leśniak, On properties of the set of invariant lines of a Brouwer homeomor-phism, J. Difference Equ. Appl. 24 (2018), 746–752.

[A6] Z. Leśniak, On the topological conjugacy of Brouwer flows, Bull. Malays. Math.Sci. Soc., DOI: 10.1007/s40840-017-0567-8.

3

Page 4: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

1.2 Lista pozostałych publikacjiPozostałe publikacje ułożone w porządku chronologicznym tworzą następującą listę:

[B1] Z. Leśniak, On homeomorphic and diffeomorphic solutions of the Abel equationon the plane, Ann. Polon. Math. 58 (1993), No. 1, 7–18.

[B2] Z. Leśniak, On simultaneous Abel inequalities, Opuscula Math. 14 (1994), 107–115.

[B3] M.C. Zdun, Z. Leśniak, On iteration groups of singularity-free homeomorphismsof the plane, Ann. Math. Sil. 8 (1994), 203–210.

[B4] Z. Leśniak, On the system of the Abel equations on the plane, Ann. Math. Sil.9 (1995), 105–122.

[B5] Z. Leśniak, Constructions of fractional iterates of Sperner homeomorphismsof the plane, Förg-Rob, W. (ed.) et al., Iteration theory. Proceedings of theEuropean conference, ECIT ’92, Batschuns, Austria, September 13–19, 1992,World Scientific, Singapore (1996), 182–192.

[B6] Z. Leśniak, On continuous iteration groups of some homeomorphisms of theplane, Grazer Math. Ber. 334 (1997), 193–198.

[B7] Z. Leśniak,On fractional iterates of a homeomorphism of the plane, Ann. Polon.Math. 79 (2002), No. 2, 129–137.

[B8] Z. Leśniak, On an equivalence relation for free mappings embeddeable in a flow,Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg. 17 (2003), No. 7, 1911–1915.

[B9] Z. Leśniak, On parallelizability of flows of free mappings, Aequationes Math.71 (2006), No. 3, 280–287.

[B10] Z. Leśniak, On parallelizable regions of flows of the plane, Grazer Math. Ber.350 (2006), 175–183.

[B11] Z. Leśniak, On maximal parallelizable regions of flows of the plane, Int. J. PureAppl. Math. 30 (2006), No. 2, 151–156.

[B12] Z. Leśniak, On boundary orbits of a flow of free mappings of the plane, Int. J.Pure Appl. Math. 42 (2008), No. 1, 5–11.

[B13] Z. Leśniak, On the first prolongational limit set of flows of free mappings, Tam-kang J. Math. 39 (2008), No. 3, 263–269.

[B14] Z. Leśniak, On the existence of analytic solutions of the d’Alembert equation,Int. J. Pure Appl. Math. 48 (2008), No. 3, 385–397.

4

Page 5: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

[B15] Z. Leśniak, Yong-Guo Shi, One class of planar rational involutions, NonlinearAnal. 74 (2011), No. 17, 6097–6104.

[B16] Z. Leśniak, On the structure of Brouwer homeomorphisms embeddable in a flow,Abstr. Appl. Anal., Vol. 2012 (2012), Article ID 248413, 8 pp.

[B17] Yong-Guo Shi, Lin Li, Z. Leśniak, On conjugacy of r-modal interval maps withnon-monotonicity height equal to 1, J. Difference Equ. Appl. 19 (2013), 573–584.

[B18] K. Ciepliński, Z. Leśniak, On conjugacy equation in dimension one, BanachCenter Publ. 99 (2013), 31–44.

[B19] Z. Leśniak, On strongly irregular points of a Brouwer homeomorphism embed-dable in a flow, Abstr. Appl. Anal., Vol. 2014 (2014), Article ID 638784, 7pp.

[B20] J. Brzdęk, K. Ciepliński, Z. Leśniak, On Ulam’s type stability of the linearequation and related issues, Discrete Dyn. Nat. Soc., Vol. 2014 (2014), Art. ID536791, 14 pp.

[B21] A. Bahyrycz, J. Brzdęk, Z. Leśniak, On approximate solutions of the generalizedVolterra integral equation, Nonlinear Anal. Real World Appl. 20 (2014), 59–66.

[B22] Z. Leśniak, Yong-Guo Shi, Topological conjugacy of piecewise monotonic func-tions of nonmonotonicity height ≥ 1, J. Math. Anal. Appl. 423 (2015), 1792–1803.

[B23] J. Brzdęk, L. Cădariu, K. Ciepliński, A. Fošner, Z. Leśniak, Survey on re-cent Ulam stability results concerning derivations, J. Funct. Spaces, Vol. 2016(2016), Article ID 1235103, 9 pp.

[B24] J. Brzdęk, El-s. El-hady, W. Förg-Rob, Z. Leśniak, A note on solutions of afunctional equation arising in a queueing model for a LAN gateway, Aequatio-nes Math. 90 (2016), 671–681.

[B25] J. Brzdęk, Z. Leśniak, R. Malejki, On the generalized Fréchet functional equ-ation with constant coefficients and its stability, Aequationes Math. 92 (2018),355–373.

[B26] J. Brzdęk, El-s. El-hady, Z. Leśniak, On fixed points of a linear operator ofpolynomial form of order 3, J. Fixed Point Theory Appl. 20 (2018), No. 2,Article:85, 10 pp.

[B27] J. Brzdęk, El-s. El-hady, Z. Leśniak, On Fixed-point theorem in classes of func-tion with values in a dq-metric space, J. Fixed Point Theory Appl. 20 (2018),No. 4, Article:143, 16 pp.

5

Page 6: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

Rozdział 2

Omówienie wyników wskazanegoosiągnięcia naukowego

Rozdział ten stanowi zasadniczą część tego opracowania. Omówiono w nim wynikiprac wchodzących w skład cyklu stanowiącego wskazane osiągnięcie naukowego. Roz-dział podzielony został na siedem podrozdziałów zgodnie z rozpatrywanymi kolejnozagadnieniami.

W pierwszym z nich przedstawiono definicje i twierdzenia stanowiące punkt wyj-ścia do badań dotyczących homeomorfizmów Brouwera. Po wprowadzeniu odpowied-nich deficji zamieszczone zostało tutaj twierdzenie Brouwera o translacji i lemat Bro-uwera. Następnie podano deficje punktów regularnych i osobliwych oraz twierdzenieo strukturze dowolnego homeomorfizmu Brouwera pochodzące z pracy T. Hommyi H. Terasaki, które wraz z twierdzeniem Brouwera o translacji wytyczyło programbadań. W podrozdziale tym omówiono również podstawowe własności potoków ho-meomorfizmów Brouwera.

W podrozdziale drugim przedstawiono własności relacji współzbieżności do nie-skończoności. Większość z prezentowanych tu wyników zachodzi dla dowolnego ho-meomorfizmu Brouwera bez założenia, że homeomorfizm ten jest zanurzalny w potok.Pokazano tutaj również zastosowanie twierdzenia o równości zbioru punktów silnieosobliwych homeomorfizmu Brouwera i pierwszego przedłużenia granicznego potoku,w który ten homeomorfizm jest zanurzony do wykazania kolejnych własności relacjiwspółzbieżności do nieskończoności przy dodanym już założeniu, że homeomorfizmBrouwera jest zanurzalny w potok.

W podrozdziale trzecim przedstawiono twierdzenia dotyczące obszarów prosto-walnych potoku homeomorfizmów Brouwera. Ważną rolę w naszych badaniach od-grywają trajektorie zawarte w brzegu tych obszarów. Dlatego też większość z prezen-towanych tu wyników opisuje własności pierwszego przedłużenia granicznego brzeguobszarów prostowalnych.

Najważniejszym wynikiem podrozdziału czwartego jest twierdzenie o postaci po-toku homeomorfizmów Brouwera. Znaleźć tutaj można również wynik opisujący za-

6

Page 7: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

leżności między homeomorfizmami prostującymi maksymalnych obszarów prostowal-nych tworzących rodzinę pokrywającą płaszczyznę, która występuje w tym twierdze-niu.

W podrozdziale piątym pokazano zastosowanie twierdzenia o postaci potoku ho-meomorfizmów Brouwera do wyznaczenia pierwiastków iteracyjnych homeomorfizmuBrouwera zanurzalnego w potok. Wykazując ciągłość konstruowanych pierwiastkówkorzystamy z własności trajektorii zawartych w brzegu maksymalnych obszarów pro-stowalnych należących do rodziny występującej w głównym twierdzeniu poprzedniegopodrozdziału.

Podrozdział szósty poświęcony jest topologicznej równoważności potoków home-omorfizmów Brouwera. Zamieszczono tu m.in. wynik, który mówi, że homeomor-fizm realizujący równoważność topologiczną takich potoków przekształca pierwszeprzedłużenie graniczne jednego z tych potoków na pierwsze przedłużenie granicznedrugiego z nich.

Najważniejsze wyniki znajdują się w podrozdziale siódmym. Dotyczą one sprzę-żenia topologicznego potoków homeomorfizmów Brouwera. W dowodzie twierdzeniao sprzężeniu wykorzystano twierdzenie o postaci potoku homeomorfizmów Brouweraoraz twierdzenia dotyczące topologicznej równoważności takich potoków.

W spisie literatury zostały umieszczone pozycje, które miały istotny wpływ naomówione tutaj wyniki (bezpośredni lub pośredni).

2.1 Homeomorfizmy BrouweraW podrozdziale tym omówimy podstawowe własności odwzorowań nazywanych ho-meomorfizmami Brouwera, tj. homeomorfizmów płaszczyzny na siebie, które nie po-siadają punktów stałych i zachowują orientację. Przedstawimy tu m.in. twierdzenieBrouwera o translacji oraz twierdzenie o strukturze dowolnego homeomorfizmu Bro-uwera pochodzące od T. Hommy i H. Terasaki.

Zanim przystąpimy do przedstawienia własności homeomorfizmów Brouweraustalimy niezbędną terminologię (terminologia ta będzie używana w całym tym opra-cowaniu). Przez krzywą rozumiemy odwzorowanie ciągłe γ : [0, 1]→ R2, zaś krzywąbędącą odwzorowaniem różnowartościowym nazywamy łukiem. Krzywą zamkniętąnazywamy taką krzywą γ, że γ(0) = γ(1). Przez krzywą Jordana rozumiemy krzywązamkniętą taką, że γ| [0,1) jest odwzorowaniem różnowartościowym. Krzywe oznaczaćbędziemy małymi literami alfabetu greckiego. Zbiór wartości krzywej będziemy teżniekiedy nazywać krzywą i analogicznie zbiór wartości łuku będziemy nazywać łu-kiem, ale dla uniknięcia nieporozumień obraz oznaczać będziemy dużą literą alfabetułacińskiego.

Indeks Indγ(p) punktu p względem krzywej zamkniętej γ takiej, że p ∈ R2 \γ([0, 1]) definiujemy dwuetapowo. W pierwszym kroku określamy indeks punktu p =

7

Page 8: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

(x0, y0) ∈ R2 względem krzywych rodziny γk : k ∈ Z, gdzie

γk(t) = (x0 + cos 2kπt, y0 + sin 2kπt),

kładąc Indγk(p) = k (zależność krzywej γk od punktu p nie jest zaznaczona w ozna-czeniu tej krzywej, gdyż nie będzie potrzeby zmiany ustalonego punktu). Obrazemkrzywej γk dla k 6= 0 jest okrąg o środku p i promieniu 1 i zbiór jednoelementowy(x0 + 1, y0) dla k = 0.

Następnie korzystając z twierdzenia mówiącego, że dla każdej krzywej zamkniętejγ takiej, że p ∈ R2 \ γ([0, 1]), istnieje dokładnie jedno k ∈ Z takie, że krzywe γ i γksą homotopijne w R2 \ p (zob. Newman [93], Theorem 8.6, str. 192), definiujemyIndγ(p) jako indeks punktu p względem krzywej γk homotopijnej z γ w R2 \ p.

Do zdefiniowania pojęcia zachowywania orientacji przez homeomorfizm płaszczy-zny na siebie wykorzystujemy następujące twierdzenie.

Twierdzenie 2.1. (Newman [93], Theorem 11.1, str. 197) Dla każdego homeomor-fizmu f płaszczyzny na siebie istnieje dokładnie jedna liczba df ∈ −1, 1 taka, że

Indγ(p) = df · Indfγ(f(p))

dla każdego p ∈ R2 i każdej krzywej zamkniętej γ : [0, 1]→ R2 takiej, że p 6∈ γ([0, 1]).

Jeśli df = 1, to mówimy, że homeomorfizm f zachowuje orientację, natomiast wprzypadku, gdy df = −1 mówimy, że f zmienia orientację. Ponieważ df nie zależy odwyboru punktu p i krzywej zamkniętej γ dla rozstrzygnięcia czy dany homeomorfizmf płaszczyzny na siebie zachowuje czy zmienia orientację wystarczy ustalić punkt pi sprawdzić indeksy punktów p i f(p) względem odpowiednio γ i f γ dla jednejwybranej krzywej Jordana γ takiej, że p 6∈ γ([0, 1]) oraz Indγ(p) 6= 0. Dla homeomor-fizmów płaszczyzny, które są klasy C1 warunkiem koniecznym i wystarczającym nazachowywanie orientacji jest to, aby jakobian tego homeomorfizmu był dodatni w conajmniej jednym punkcie (zob. Newman [93], Theorem 11.2, str. 198).

Badania homeomorfizmów płaszczyzny bez punktów stałych zachowującychorientację zostały zapoczątkowane przez Luitzena E.J. Brouwera. W 1912 r. zo-stało opublikowane twierdzenie nazywane twierdzeniem Brouwera o translacji, któremożna sformułować w następujący sposób.

Twierdzenie 2.2. (Brouwer [19], Translationssatz) Niech f będzie homeomorfizmemBrouwera. Wówczas dla dowolnego p ∈ R2 istnieją obszar jednospójny Up taki, żep ∈ Up, f(Up) = Up, oraz homeomorfizm ϕ : Up → R2 spełniający równanie Abela

ϕ(f(x, y)) = ϕ(x, y) + (1, 0) dla (x, y) ∈ Up (2.1)

taki, że dla każdego t ∈ R przeciwobraz ϕ−1(t×R) jest domknięty na płaszczyźnie.

8

Page 9: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

Warunek (2.1) oznacza, że zacieśnienie f |Up homeomorfizmu Brouwera f do ob-szaru jednospójnego Up jest sprzężone topologicznie z translacją T daną wzoremT (x1, x2) = (x1 + 1, x2) poprzez homeomorfizm ϕ : Up → R2, tj.

ϕ f |Up = T ϕ.

Twierdzeniem Brouwera o translacji nazywane jest też twierdzenie, które sformu-łował i wykazał Stephen A. Andrea ([5], Proposition 1.1). Twierdzenie to ma słabsząwypowiedź od oryginalnego sformułowania twierdzenia Brouwera. Pojawia się ono wksiążce S. Alperna i V. S. Prasada [4] w następującej postaci.

Twierdzenie 2.3. (Alpern, Prasad [4], Theorem 5.1, str. 32) Niech f będzie home-omorfizmem Brouwera. Wówczas jeśli kontinuum (tj. niepusty, spójny i zwarty zbiór)D spełnia warunek f(D) ∩D = ∅, to fn(D) ∩D = ∅ dla każdego n ∈ Z \ 0.

W tym opracowaniu, jeśli pojawi się nazwa twierdzenie Brouwera o translacjibędziemy mieć na myśli Twierdzenie 2.2.

Istotną rolę w dowodach twierdzeń opisujących własności homeomorfizmów Bro-uwera odgrywa lemat Brouwera.

Twierdzenie 2.4. (Brouwer [19], Satz 1 & 2) Niech f będzie homeomorfizmem Bro-uwera oraz p ∈ R2. Niech K będzie łukiem o początku p i końcu f(p) takim, że

f(K) ∩K = f(p).

Wówczas zbiór⋃n∈Z f

n(K) jest homeomorficznym obrazem zbioru liczb rzeczywi-stych.

Łuk K występujący w lemacie Brouwera nazywany jest łukiem translacyjnym(ang. translation arc). Terminu łuk używamy tu mając na myśli obraz odwzorowaniaciągłego różnowartościowego γ : [0, 1] → R2, gdyż w tym przypadku ważne jest,że γ(0) = p i γ(1) = f(p), a parametryzacja zbioru K nie odgrywa roli. Zbiór⋃n∈Z f

n(K) nazywać będziemy krzywą translacyjną.Zauważmy, że dla homeomorfizmu ϕ występującego w twierdzeniu Brouwera o

translacji zbiór Cs := ϕ−1(R × s) jest krzywą translacyjną dla każdego s ∈ R.Przeciwobraz ten nie musi być jednak zbiorem domkniętym na płaszczyźnie. Przed-miotem naszego zainteresowania będą krzywe translacyjne, które są zbiorami do-mkniętymi. W celu skrócenia wypowiedzi homeomorficzny obraz prostej będący zbio-rem domkniętym na płaszczyźnie będziemy nazywać linią. Przy badaniu własnościhomeomorfizmów Brouwera ważną rolę odgrywają też relacje opisujące wzajemnepołożenie trójek parami rozłącznych linii niezmienniczych.

Oznaczmy przez F dowolną rodzinę złożoną z linii parami rozłącznych. Każdyelement rodziny F na mocy twierdzenia Jordana dla sfery rozcina płaszczyznę na dwaobszary jednospójne. Zatem dwa różne zbiory C1, C2 rodziny F dzielą płaszczyznę

9

Page 10: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

na trzy obszary jednospójne w taki sposób, że tylko jeden z nich zawiera zarównoC1, jak i C2 w swym brzegu. Obszar ten nazywamy pasem pomiędzy C1 i C2.

Dla dowolnych różnych między sobą elementów C1, C2, C3 rodziny F dokładniejedna z następujących możliwości może mieć miejsce: albo dokładnie jeden ze zbio-rów C1, C2, C3 jest zawarty w pasie pomiędzy pozostałymi dwoma, albo każdy zezbiorów C1, C2, C3 jest zawarty w pasie pomiędzy pozostałymi dwoma. W pierwszymprzypadku piszemy Ci|Cj|Ck (dla różnych między sobą i, j, k ∈ 1, 2, 3), gdy Cjleży w pasie pomiędzy Ci i Ck. W drugim przypadku piszemy |C1, C2, C3|. Innymisłowy, albo dokładnie jeden ze zbiorów Ci, Cj, Ck, powiedzmy Cj, rozcina płaszczy-znę w taki sposób, że pozostałe dwa zbiory zawierają się w różnych składowych jegodopełnienia R2 \ Cj, albo każdy ze zbiorów Ci, Cj, Ck rozcina płaszczyznę w takisposób, że pozostałe dwa zbiory zawierają się w tej samej składowej jego dopełnienia.

Wzajemne położenie trójek elementów pokrywającej płaszczyznę rodziny pa-rami rozłącznych i domkniętych homeomorficznych obrazów prostej rozważał Wil-fred Kaplan [58], przy czym wyróżniał on trzy możliwe konfiguracje. Konfiguracje|C1, C2, C3|+ i |C1, C2, C3|− występujące w pracy W. Kaplana zostały zastąpione tu-taj przez konfigurację |C1, C2, C3|, gdyż w naszych rozważaniach nie jest istotne czykrzywa Jordana mająca dokładnie jeden punkt wspólny z każdym ze zbiorów C1, C2,C3 i orientację wyznaczoną przez kolejność tych punktów jest zgodnie czy przeciwniezorientowana w stosunku do okręgu jednostkowego.

Omówimy teraz definicję i podstawowe własności relacji współzbieżności do nie-skończoności pochodzącej z pracy Stephena Andrei [5]. W definicji tej relacji wyko-rzystywane są ciągi iteracji łuków. Jeśli f jest homeomorfizmem Brouwera, to dlakażdego punktu p ∈ R2 zachodzi warunek fn(p)→∞ przy n→ ±∞ (zob. Brouwer[19], Satz 8). Natomiast, własność ta na ogół nie zachodzi, jeśli punkt zastąpimyłukiem.

Definicję relacji współzbieżności do nieskończoności określonej na płaszczyźnie dladowolnego homeomorfizmu Brouwera f możemy sformułować w następujący sposób:

p ∼ q, jeśli p = q lub p, q są końcami pewnego łuku K, dlaktórego fn(K)→∞ przy n→ ±∞.

Zauważmy, że zdefiniowana powyżej relacja jest relacją równoważności. Zagwaran-towanie zwrotności relacji w samym sformułowaniu definicji pozwala uniknąć łukówzdegenerowanych.

S. Andrea wykazał, że homeomorfizm Brouwera nie może mieć dokładnie dwóchklas abstrakcji (zob. [5], Proposition 3.2). Ponadto zauważył, że dla każdej liczbynaturalnej n różnej od 2 można skonstruować homeomorfizm Brouwera posiadającydokładnie n klas abstrakcji. W przeglądowej pracy Mortona Browna [21] można zna-leźć przykłady homeomorfizmów Brouwera z przeliczalnym zbiorem klas abstrakcji,jak i mających nieprzeliczalnie wiele klas abstrakcji.

Przejdziemy teraz do zagadnienia niezmienniczości klas abstrakcji relacji współ-zbieżności do nieskończoności. M. Brown, E.E. Slaminka, W. Transue [23] oraz E.W.

10

Page 11: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

Daw [29] podali przykłady takich homeomorfizmów Brouwera, które nie posiadajążadnej niezmienniczej klasy abstrakcji.

M. Brown ([21], str. 56) zauważa, że homeomorfizm Brouwera nie posiada nie-zmienniczej klasy abstrakcji wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje domknięta krzywatranslacyjna, tj. żadna krzywa translacyjna nie jest zbiorem domkniętym. Jeżelipewna klasa abstrakcji jest niezmiennicza, to w klasie tej zawarta jest pewna do-mknięta krzywa translacyjna. Konstrukcja takiej krzywej translacyjnej została opi-sana w dowodzie twierdzenia mówiącego, że homeomorfizm Brouwera nie może miećdokładnie dwu klas abstrakcji (Andrea [5], Proposition 3.2).

Przejdziemy teraz do twierdzenia z pracy T. Hommy i H. Terasaki [51] opisującegostrukturę dowolnego homeomorfizmu Brouwera. Dla dowolnego ciągu podzbiorów(An)n∈N płaszczyzny definiujemy granicę górną lim supn→∞ An jako zbiór punktówp ∈ R2 takich, że każde otoczenie punktu p ma punkty wspólne z nieskończeniewieloma wyrazami ciągu (An)n∈N. Możemy zapisać to w następujący sposób

lim supn→∞

An =∞⋂n=1

cl (∞⋃m=n

Am).

Zatem lim supn→∞ An jest zbiorem domkniętym.Dla homeomorfizmu Brouwera f i podzbioru B płaszczyzny definiujemy dodatni

zbiór graniczny ωf (B) jako granicę górną ciągu jego iteracji (fn(B))n∈N oraz ujemnyzbiór graniczny αf (B) jako granicę górną ciągu (f−n(B))n∈N. Zbiory te możemy przyzałożeniu, że B jest zwarty przedstawić w następującej postaci (zob. Nakayama [91]):

ωf (B) = q ∈ R2 : istnieją ciągi (pj)j∈N, (nj)j∈N takie, że pj ∈ B,nj ∈ N, nj →∞, fnj(pj)→ q przy j →∞,

αf (B) = q ∈ R2 : istnieją ciągi (pj)j∈N, (nj)j∈N takie, że pj ∈ B,nj ∈ N, nj →∞, f−nj(pj)→ q przy j →∞.

T. Homma i H. Terasaka [51] wprowadzili pojęcia punktu dodatnio osobliwego iujemnie osobliwego dla dowolnego homeomorfizmu Brouwera. Wykorzystali w tymcelu pojęcie zbioru Jordana rozumianego jako suma krzywej Jordana i obszaru ogra-niczonego wyciętego z płaszczyzny przez tę krzywą. Punkt p nazywamy dodatnioosobliwym, jeśli dla każdego zbioru Jordana B zawierającego p w swym wnętrzumamy ωf (B) 6= ∅, natomiast ujemnie osobliwym, jeśli dla każdego zbioru Jordana Bzawierającego p w swym wnętrzu zachodzi αf (B) 6= ∅. Punkt, który jest dodatniolub ujemnie osobliwy nazywamy punktem osobliwym, a punkt, który nie jest osobliwynazywamy punktem regularnym.

Dla dowolnego punktu osobliwego p homeomorfizmu Brouwera f definiujemyzbiór P+(p) jako iloczyn wszystkich dodatnich zbiorów granicznych ωf (B), gdzieB jest zbiorem Jordana zawierającym punkt p w swym wnętrzu. Podobnie defi-niujemy zbiór P−(p) jako iloczyn wszystkich ujemnych zbiorów granicznych αf (B).Ponadto, kładziemy P (p) := P+(p) ∪ P−(p). Punkt dodatnio osobliwy p nazywamysilnie dodatnio osobliwym, jeśli P+(p) 6= ∅. Analogicznie, punkt ujemnie osobliwy p

11

Page 12: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

nazywamy silnie ujemnie osobliwym, jeśli P−(p) 6= ∅. Mówimy, że punkt p jest silnieosobliwy, jeśli jest silnie dodatnio osobliwy lub silnie ujemnie osobliwy. W przeciw-nym przypadku, punkt osobliwy p nazywamy słabo osobliwym.

Wspomniane wyżej twierdzenie o strukturze homeomorfizmu Brouwera możnasformułować w następującej postaci.

Twierdzenie 2.5. (Homma, Terasaka [51], First structure theorem) Niech f będziehomeomorfizmem Brouwera. Wówczas płaszczyznę można przedstawić jako sumę pa-rami rozłącznych zbiorów trzech typów: Oi : i ∈ I, gdzie I = N lub I = 1, . . . , ndla pewnego n ∈ N, O′

i : i ∈ N oraz F . Zbiory Oi : i ∈ I i O′i : i ∈ N

są składowymi zbioru wszystkich punktów regularnych takimi, że każdy ze zbiorówOi jest niezmienniczym obszarem jednospójnym, który jest sumą parami rozłącznychdomkniętych krzywych translacyjnych, a każdy ze zbiorów O

′i jest obszarem jedno-

spójnym spełniającym warunek O′i ∩ fn(O

′i) = ∅ dla każdego n ∈ Z \ 0. Natomiast,

zbiór punktów osobliwych F jest domknięciem zbioru punktów silnie osobliwych.

Wyniki prezentowane w tym opracowaniu dotyczyć będą głównie homeomorfi-zmów Brouwera zanurzalnych w potok. Dlatego też przedstawimy teraz pojęcia uży-wane przy badaniu własności takich potoków.

Potokiem (ciągłą grupą iteracji, grupą jednoparametrową) nazywamy rodzinę ho-meomorfizmów płaszczyzny na siebie f t : t ∈ R z działaniem składania spełniającąwarunki:

(1) funkcja φ : R2 × R→ R2, φ(x, t) = f t(x) jest ciągła,

(2) f t(f s(x)) = f t+s(x) dla x ∈ R2, t, s ∈ R.

Mówimy, że homeomorfizm Brouwera f jest zanurzalny w potok, jeśli istnieje potokf t : t ∈ R taki, że f = f 1.

Można wykazać, że każdy element potoku f t : t ∈ R, gdzie f t jest homeomor-fizmem płaszczyzny na siebie, musi zachowywać orientację. Co więcej, w przypadkugdy jeden z elementów potoku jest homeomorfizmem Brouwera, dowolny homeomor-fizm tego potoku różny od identyczności nie posiada punktów stałych. Fakt tenwynika z następującego twierdzenia.

Twierdzenie 2.6. (Andrea [5], Proposition 2.1) Niech f będzie homeomorfizmemBrouwera zanurzalnym w potok f t : t ∈ R. Wówczas dla każdego p ∈ R2 zachodziwarunek f t(p)→∞ przy t→ ±∞.

Zatem jeśli jeden z elementów potoku jest homeomorfizmem Brouwera, to każdyhomeomorfizm tego potoku różny od identyczności jest homeomorfizmem Brouwera.Wówczas mówimy, że f t : t ∈ R jest potokiem homeomorfizmów Brouwera.

Z Twierdzenia 2.6 otrzymujemy, że trajektoria dowolnego punktu p ∈ R2, tj. zbiórCp := f t(p) : t ∈ R jest krzywą translacyjną będącą zbiorem domkniętym. Dlategoteż rodzina wszystkich trajektorii potoku homeomorfizmów Brouwera f t : t ∈ R

12

Page 13: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

jest ważnym przykładem określonej powyżej rodziny F i możemy rozważać w niejzdefiniowane powyżej dwie konfiguracje trójek linii parami rozłącznych.

Przy założeniu, że homeomorfizm Brouwera f jest zanurzalny w potok f t :t ∈ R, klasy abstrakcji relacji współzbieżności do nieskończoności są niezmiennicze.Dokładniej, dla każdej klasy abstrakcji G zachodzi warunek f t(G) = G dla t ∈ R(zob. Andrea [5], Proposition 3.1). W szczególności, dla każdego punktu p ∈ R2

trajektoria Cp jest zawarta w tej klasie abstrakcji Gp, do której należy punkt p.Przypomnimy teraz definicję obszaru prostowalnego potoku homeomorfizmów

Brouwera. Obszar U ⊂ R2 nazywamy obszarem prostowalnym potoku f t : t ∈ R,jeśli istnieje homeomorfizm ϕ : U → R2 spełniający warunek

ϕ(f t(x, y)) = ϕ(x, y) + (t, 0), (x, y) ∈ U, t ∈ R. (2.2)

Obszar prostowalny U nazywamy maksymalnym obszarem prostowalnym potokuf t : t ∈ R, jeśli nie jest on zawarty w żadnym innym obszarze prostowalnymtego potoku.

Warunek (2.2) oznacza, że potok f t|U : t ∈ R jest topologicznie sprzężony zpotokiem translacji T t : t ∈ R, gdzie T t dane jest wzorem T t(x, y) = (x+ t, y) dla(x, y) ∈ R2, t ∈ R, tj.

ϕ f t|U = T t ϕ, t ∈ R.

Dla każdego t ∈ R przeciwobraz ϕ−1(t×R) ma dokładnie jeden punkt wspólnyz każdą z trajektorii potoku f t : t ∈ R zawartych w obszarze U . Dowolny zbiórS ⊂ U o tej własności, że dla każdego p ∈ U istnieje dokładnie jedna liczba τ(p)taka, że f τ(p)(p) ∈ S nazywamy cięciem obszaru U . Istnienie ciągłego cięcia obszaruU , tj. cięcia o tej własności, że funkcja τ : U → R jest ciągła, jest równoważneprostowalności tego obszaru (zob. Bhatia, Szegö [14], Theorem 2.4, str. 49).

W badaniach dotyczących maksymalnych obszarów prostowalnych potoków ho-meomorfizmów Brouwera ważną rolę odgrywa pojęcie pierwszego przedłużenia gra-nicznego. Podane poniżej definicje zostały zaczerpnięte z książki A. Pelczara [96](por. Bhatia, Szegö [14]). Dla potoku f t : t ∈ R definiujemy

J+(q) = p ∈ R2 : istnieją ciągi (qn)n∈N oraz (tn)n∈N takie, żeqn → q, tn → +∞, f tn(qn) → p przy n →+∞,

J−(q) = p ∈ R2 : istnieją ciągi (qn)n∈N oraz (tn)n∈N takie, żeqn → q, tn → −∞, f tn(qn) → p przy n →+∞ .

Zbiór J(q) = J+(q) ∪ J−(q) nazywamy pierwszym przedłużeniem granicznympunktu q. Dla zbioru H ⊂ R2 definiujemy odpowiednio

J+(H) =⋃q∈H

J+(q), J−(H) =⋃q∈H

J−(q), J(H) =⋃q∈H

J(q).

13

Page 14: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

Zbiory J+(q) i J−(q) są domknięte i niezmiennicze dla każdego q ∈ R2 (zob.Bhatia, Szegö [14], Theorem 4.3, str. 26). Jeżeli H jest zbiorem zwartym, to zbioryJ+(H) i J−(H) są domknięte (zob. Pelczar [96], Twierdzenie 57.1, str. 135). Po-nadto J+(q) = J+(f t(q)) oraz J−(q) = J−(f t(q)) dla wszystkich q ∈ R2 i t ∈ R(zob. Pelczar [96], Twierdzenie 57.2, str. 136). Natomiast, zbiór J(R2) może nie byćdomknięty (zob. McCann [86], Example 3.10).

Dla dowolnych p, q ∈ R2 bezpośrednio z definicji otrzymujemy, że p ∈ J(q)+

wtedy i tylko wtedy, gdy q ∈ J(p)−. Jeżeli f t : t ∈ R jest potokiem homeomorfi-zmów Brouwera, to dla każdego p ∈ R2 mamy p 6∈ J(p) oraz J+(p)∩J−(p) = ∅ (zob.McCann [86], Proposition 1.5 oraz Proposition 2.11).

2.2 Relacja współzbieżności do nieskończonościW rozdziale tym omówimy wyniki opisujące własności relacji współzbieżności donieskończoności. Definicja i podstawowe własności tej relacji zostały przedstawionew poprzednim podrozdziale. Wyniki zamieszczone w tym podrozdziale, za wyjąt-kiem ostatniego z prezentowanych tu twierdzeń, zostały uzyskane bez założenia, żehomeomorfizm Brouwera jest zanurzalny w potok.

Twierdzenie zamykające ten rozdział dotyczy trajektorii zawartych w różnych kla-sach abstrakcji relacji współzbieżności do nieskończoności. W jego dowodzie wykorzy-stano twierdzenie, które charakteryzuje zbiór punktów silnie osobliwych homeomor-fizmu Brouwera zanurzalnego w potok za pomocą pojęcia pierwszego przedłużeniagranicznego pochodzącego z teorii ciągłych układów dynamicznych. Pozostałe wynikiopisujące własności relacji współzbieżności do nieskończoności dla homeomorfizmówBrouwera zanurzalnych w potok znajdują się w drugim rozdziale tego opracowaniazawierającym wyniki uzupełniające.

Przypomnijmy, że jeśli f jest homeomorfizmem Brouwera, to każda jego iteracjafn dla n 6= 0, jest również homeomorfizmem Brouwera. Dlatego też relację współ-zbieżności do nieskończoności możemy zdefiniować zarówno dla f , jak i dla fn.Twierdzenie 2.7. ([A3], Proposition 3.3) Niech f będzie homeomorfizmem Bro-uwera, n liczbą całkowitą różną od 0. Wówczas homeomorfizmemy Brouwera f orazfn mają te same klasy abstrakcji relacji współzbieżności do nieskończoności.

W głównej części dowodu tego twierdzenia pokazujemy, że jeśli dla pewnych punk-tów p, q ∈ R2 istnieje łuk K o końcach p oraz q taki, że fnm(K)→∞ przym→ ±∞,to dla tego łuku zachodzi również warunek fk(K)→∞ przy k → ±∞.

Przejdziemy teraz do problemu niezmienniczości klas abstrakcji relacji współ-zbieżności do nieskończoności. Rozpoczniemy od twierdzenia, które mówi, że home-omorfizmu Brouwera przekształca klasy abstrakcji na klasy abstrakcji.Twierdzenie 2.8. ([A3], Proposition 3.4) Niech f będzie homeomorfizmem Bro-uwera, zaś Gii∈I rodziną wszystkich klas abstrakcji relacji współzbieżności do nie-skończoności. Wówczas dla każdego i ∈ I istnieje j ∈ I takie, że f(Gi) = Gj.

14

Page 15: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

Dlatego też dla wykazania niezmienniczości klasy Gi wystarczy sprawdzić, że dlapewnego p ∈ Gi zachodzi warunek f(p) ∈ Gi.

Następny z prezentowanych tu wyników mówi, że jeśli pewna klasa abstrakcji re-lacji współzbieżności do nieskończoności jest niezmiennicza względem pewnej iteracjihomeomorfizmu Brouwera f , to jest ona również niezmiennicza ze względu na f .

Twierdzenie 2.9. ([A3], Proposition 3.6) Niech f będzie homeomorfizmem Bro-uwera, n liczbą całkowitą różną od 0. Wówczas dla każdej klasy abstrakcji G0 re-lacji współzbieżności do nieskończoności równość fn(G0) = G0 implikuje warunekf(G0) = G0.

W dowodzie tego twierdzenia dla danej klasy abstrakcji G0 rozważamy rodzinęGm : m ∈ Z, gdzie Gm := fm(G0) dla m ∈ Z. Z założenia fn(G0) = G0 wynika, żerodzina ta zawiera co najwyżej n różnych klas abstrakcji. Stosując wynik z pracy S.Andrei dotyczący skończonej rodziny zbiorów rozłącznych i łukowo spójnych (zob.[5], Proposition 1.3), otrzymujemy że kazdy z elementów tej rodziny jest równy G0.

Zatem w przypadku, gdy rodzina wszystkich klas abstrakcji relacji współzbież-ności do nieskończoności zdefiniowanej dla danego homeomorfizmu Brouwera f jestskończona, każda z klas abstrakcji jest niezmiennicza ze względu na f . Wynika to zTwierdzeń 2.8 oraz 2.9, gdyż w tym przypadku f permutuje elementy tej rodziny.

Przedstawimy teraz wyniki dotyczące linii niezmienniczych, czyli homeomorficz-nych obrazów prostej, które są zbiorami domkniętymi niezmienniczymi względemustalonego homeomorfizmu Brouwera. Następne twierdzenie mówi, że takie linie sąkrzywymi translacyjnymi.

Twierdzenie 2.10. ([A5], Proposition 2.1) Niech f będzie homeomorfizmem Bro-uwera, a C linią. Załóżmy, że f(C) = C. Wówczas dla każdego p0 ∈ C⋃

n∈Z

fn(Kp0f(p0)) = C, (2.3)

gdzie Kp0f(p0) oznacza łuk o końcach p0, f(p0) zawarty w C. Ponadto, fn(Kpq)→∞przy n→ ±∞ dla dowolnych p, q ∈ C, gdzie Kpq oznacza łuk o końcach p, q zawartyw C.

Bezpośrednio z Twierdzenia 2.10 otrzymujemy, że każda linia niezmiennicza ho-meomorfizmu Brouwera jest domkniętą krzywą translacyjną zawartą w pewnej klasieabstrakcji relacji współzbieżności do nieskończoności. Stąd, na mocy Twierdzenia 2.8,klasa ta jest niezmiennicza.

Wniosek 2.11. ([A5], Corollary 2.2) Niech f będzie homeomorfizmem Brouwera, a Clinią. Załóżmy, że f(C) = C. Wtedy istnieje klasa abstrakcji G relacji współzbieżnoścido nieskończoności taka, że C ⊂ G. Ponadto, f(G) = G.

15

Page 16: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

Podczas badania własności klas abstrakcji relacji współzbieżności do nieskończo-ności z wykorzystaniem zbiorów Jordana może okazać się, że istotna jest informacjaczy z założenia, że krzywa Jordana stanowiąca brzeg zbioru Jordana zawiera się wpewnej klasie abstrakcji, wynika że zbiór Jordana wyznaczony przez tę krzywą za-wiera się w tej klasie. Stosując Wniosek 2.11 możemy wykazać nastepujący wynikdotyczący tego zagadnienia.

Twierdzenie 2.12. ([A5], Proposition 2.3) Niech f będzie homeomorfizmem Bro-uwera. Załóżmy, że dla każdego p ∈ R2 istnieje linia niezmiennicza Cp taka, żep ∈ Cp. Wówczas każda klasa abstrakcji G relacji współzbieżności do nieskończono-ści jest jednospójna.

Warto zaznaczyć, że w powyższym wyniku nie zakładamy, że linie niezmienniczerodziny Cp : p ∈ R2 są albo rozłączne, albo równe. W pracy S. Andrei [5] możnaznaleźć przykład homeomorfizmu Brouwera posiadającego klasę abstrakcji o tej wła-sności, że wszystkie linie niezmiennicze zawarte w tej klasie mają przeliczalnie wielepunktów wspólnych.

Korzystając z Twierdzenia 2.10 można udowodnić następujący wynik dotyczącyłuku łączącego dwie niezmiennicze linie zawarte w tej samej klasie abstrakcji relacjiwspółzbieżności do nieskończoności.

Twierdzenie 2.13. ([A5], Theorem 3.1) Niech f będzie homeomorfizmem Brouwera,a C1, C2 liniami takimi, że C1∩C2 = ∅. Załóżmy, że f(C1) = C1, f(C2) = C2 oraz C1,C2 są zawarte w tej samej klasie abstrakcji relacji współzbieżności do nieskończoności.Niech Kpq będzie łukiem o końcach p, q takim, że p ∈ C1, q ∈ C2 oraz (Kpq \p, q)∩(C1 ∪ C2) = ∅. Wówczas fn(Kpq)→∞ przy n→ ±∞.

W dowodzie tego twierdzenia wychodzimy od łuku K0 o końcach należących dolinii C1, C2, dla którego zachodzi warunek fn(K0) → ∞ przy n → ±∞. Istnienietakiego łuku, przy założeniu, że linie C1, C2 są zawarte w tej samej klasie abstrakcji,otrzymujemy bezpośrednio z definicji relacji współzbieżności do nieskończoności. Wcelu wykazania, że ciąg iteracji łuku Kpq występującego w założeniach dowodzonegotwierdzenia również zmierza do nieskończoności wykorzystujemy fakt, że linie C1,C2 są domkniętymi krzywymi translacyjnymi. Dzięki temu przy pomocy łuku K0

możemy skonstruować zbiór Jordana Bf zawierający łuk Kpq taki, że fn(Bf ) →∞ przy n → ±∞, gdzie przez zbiór Jordana rozumiemy sumę krzywej Jordana iograniczonej składowej jej dopełnienia.

Skonstruowana krzywa Jordana Jf będąca brzegiem zbioru Jordana Bf jest sumączterech łuków, z których jeden jest zawarty w linii C1, jeden w linii C2, a pozostałedwa mają tę własność, że każdy z tych łuków ma z liniami C1, C2 po jednym punkciewspólnym będącym jednym z jego końców. Stąd otrzymujemy, że zbiór Jordana Bf

jest zawarty w tej samej klasie abstrakcji co linie C1, C2, gdyż każdy punkt zbioruBf można połączyć z liniami C1, C2 łukiem zawartym w tym zbiorze.

16

Page 17: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

Zamieszczony poniżej wynik mówi, że dla dowolnych dwóch rozłącznych linii nie-zmienniczych zawartych w tej samej klasie abstrakcji relacji współzbieżności do nie-skończoności, pas pomiędzy tymi liniami zawiera się w zbiorze punktów regularnych.

Wniosek 2.14. ([A5], Corollary 3.2) Niech f będzie homeomorfizmem Brouwera,a C1, C2 liniami takimi, że C1 ∩ C2 = ∅. Załóżmy, że f(C1) = C1, f(C2) = C2

oraz C1, C2 są zawarte w tej samej klasie abstrakcji G relacji współzbieżności donieskończoności. Wówczas każdy punkt pasa pomiędzy C1, C2 jest regularny i należydo klasy G.

Wynik ten jest wnioskiem z dowodu Twierdzenia 2.13. Jedyna różnica w stosunkudo tamtego rozumowania polega na tym, że konstruowany zbiór Jordana Bf ma za-wierać pewne otoczenie dowolnie ustalonego punktu p pasa pomiędzy liniami C1,C2. Ponieważ ciąg iteracji zbioru Bf zmierza do nieskończoności, więc punkt p jestregularny. Ponadto, p należy do klasy abstrakcji G zawierającej linie C1, C2, ponie-waż punkt p możemy połączyć z dowolnym punktem zbioru (C1 ∪ C2) ∩ Bf łukiemzawartym w Bf .

Przejdziemy teraz do omówienia wyników dotyczących zależności pomiędzy kon-figuracjami trójek parami rozłącznych linii niezmienniczych a relacją współzbieżnoścido nieskończoności. Korzystając z Twierdzeń 2.10 i 2.13 możemy wykazać następu-jące twierdzenie.

Twierdzenie 2.15. ([A5], Theorem 4.1) Niech f będzie homeomorfizmem Brouwera,zaś C1, C2, C3 parami rozłącznymi liniami. Załóżmy, że f(Ci) = Ci dla i ∈ 1, 2, 3.Jeśli |C1, C2, C3|, to każda z linii C1, C2, C3 jest zawarta w innej klasie abstrakcjirelacji współzbieżności do nieskończoności.

Zasadniczą część dowodu stanowi pokazanie, że żaden łukK o końcach należącychdo dwu spośród linii C1, C2, C3 rozłączny z trzecią z nich nie spełnia warunkufn(K) → ∞ przy n → ±∞. Zatem na mocy Twierdzenia 2.13 żadne dwie spośródtych linii nie mogą być zawarte w tej samej klasie abstrakcji.

Z powyższego twierdzenia otrzymujemy wynik dotyczący konfiguracji trójki li-nii niezmienniczych w przypadku, gdy dwie z nich zawierają się w tej samej klasieabstrakcji.

Wniosek 2.16. ([A5], Corollary 4.2) Niech f będzie homeomorfizmem Brouwera,zaś C1, C2, C3 parami rozłącznymi liniami. Załóżmy, że f(Ci) = Ci dla i ∈ 1, 2, 3oraz C1, C2 są zawarte w tej samej klasie abstrakcji G relacji współzbieżności donieskończoności. Jeśli C3 zawiera się w pasie pomiędzy C1, C2, to C1|C3|C2 orazC3 ⊂ G.

Pozostałe wyniki prezentowane w tym rozdziale dotyczą homeomorfizmów Bro-uwera f zanurzalnych w potok f t : t ∈ R. Wówczas trajektorie potoku f t : t ∈ Rsą parami rozłącznymi liniami niezmienniczymi homeomorfizmu Brouwera f , a zbiór

17

Page 18: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

punktów regularnych homeomorfizmu Brouwera możemy opisać przy użyciu rela-cji współzbieżności do nieskończoności. Dokładniej, zbiór punktów regularnych jestrówny sumie wnętrz wszystkich klas abstrakcji relacji współzbieżności do nieskoń-czoności (por. [B16], Proposition 2.1). Wynik ten omówiony został dokładniej wnastępnym rozdziale zawierającym wyniki uzupełniające (zob. Twierdzenie 3.21).Przedstawimy tam również Twierdzenie 3.24, które mówi, że zbiór punktów silnieosobliwych homeomorfizmu Brouwera zanurzalnego w potok f t : t ∈ R jest równypierwszemu przedłużeniu granicznemu tego potoku (por. [B19], Corollary 3).

Twierdzenie 3.9 zamieszczone w następnym rozdziale mówi, że każda klasa abs-trakcji relacji współzbieżności do nieskończoności zawarta jest w pewnym obszarzeprostowalnym. Dlatego też dla dowolnych punktów p, q należących do tej samej klasyabstrakcji tej relacji istnieje cięcie ciągłe przechodzące przez punkty p, q. Z Twier-dzenia 2.13 otrzymujemy, że łuk Kpq o końcach p, q zawarty w tym cięciu spełniawarunek fn(Kpq) → ∞ przy n → ±∞. Postępując analogicznie jak w dowodzieTwierdzenia 2.13 otrzymujemy, że (f t)n(Kpq) → ∞ przy n → ±∞ dla każdegot ∈ R \ 0. Zatem klasy abstrakcji relacji współzbieżności do nieskończoności zdefi-niowanej dla homeomorfizmu Brouwera f t będącego elementem potoku f t : t ∈ Rnie zależą od t ∈ R \ 0.

Zatem, korzystając ze wspomnianego wyżej Twierdzenia 3.21 otrzymujemy więc,że zbiory punktów regularnych elementów f t potoku f t : t ∈ R, gdzie t ∈ R\0, sąrówne. Co więcej, Wniosek 3.26 zamieszczony w następnym rozdziale mówi, że zbiorypunktów silnie osobliwych są równe dla każdego różnego od identyczności elementuf t potoku homeomorfizmów Brouwera f t : t ∈ R, tj. dla t ∈ R \ 0. Stąd równieżzbiory punktów słabo osobliwych są równe dla każdego elementu f t tego potoku dlat ∈ R \ 0. Dlatego też możemy mówić o zbiorach punktów silnie osobliwych, słaboosobliwych i regularnych potoku homeomorfizmów Brouwera.

Przejdziemy teraz do omówienia wyniku dotyczącego trajektorii potoku home-omorfizmów Brouwera zawartych w różnych klasach abstrakcji relacji współzbieżno-ści do nieskończoności. Zasadniczą rolę w jego dowodzie odgrywa wspomniane wyżejTwierdzenie 3.24. W dowodzie tym skorzystamy również z następującego wyniku,który otrzymujemy z definicji pierwszego przedłużenia granicznego i trójargumento-wych relacji zdefiniowanych w zbiorze trajektorii potoku homeomorfizmów Brouwera.

Twierdzenie 2.17. ([A1], Proposition 3.1) Niech f t : t ∈ R będzie potokiemhomeomorfizmów Brouwera. Jeśli p ∈ J(q), to |Cp, Cq, Cr| dla każdego r ∈ Dpq, gdzieDpq oznacza pas pomiędzy trajektoriami Cp, Cq punktów p, q.

Zapowiedziany wyżej wynik opisujący wzajemne położenie trajektorii potoku ho-meomorfizmów Brouwera możemy sformułować w następujący sposób.

Twierdzenie 2.18. ([A4], Theorem 3.6) Niech f t : t ∈ R będzie potokiem home-omorfizmów Brouwera. Niech q1 ∈ G1, q2 ∈ G2 oraz G1, G2 będą różnymi klasamiabstrakcji relacji współzbieżności do nieskończoności. Wówczas istnieje punkt r taki,

18

Page 19: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

że |Cq1 , Cr, Cq2|, gdzie Cq1, Cq2, Cr oznaczają odpowiednio trajektorie punktów q1, q2,r.

Zasadnicza część dowodu tego twierdzenia dotyczy sytuacji, w której q1 ∈ bdG1

oraz składowa zbioru R2 \ Cq1 zawierająca Cq2 oznaczana przez H jest rozłącznaz G1. Wówczas, jeśli q1 należy do brzegu pewnej klasy zawartej w H, to w celuwykazania istnienia punktu r takiego, że |Cq1 , Cr, Cq2|, wykorzystujemy własnościrelacji współzbieżności do nieskończoności przedstawione w rozdziale zawierającymwyniki uzupełniające (por. Twierdzenia 3.13 i 3.14).

Trudniejszy natomiast okazuje się przypadek, gdy q1 nie należy do brzegu żad-nej klasy abstrakcji zawartej w H. Wówczas na podstawie twierdzenia Whitneya-Bebutova (por. Bhatia, Szegö [14], str. 52) otrzymujemy istnienie lokalnego cię-cia K zawierającego q1 rozłącznego z trajektorią Cq2 . Następnie ustalamy dowolneq0 ∈ K ∩ H. Jeśli |Cq1 , Cq0 , Cq2 |, to biorąc r = q0 otrzymujemy tezę naszego twier-dzenia.

Pozostaje przypadek Cq1|Cq0|Cq2 . Wówczas kluczowe znaczenie ma pokazanie, żepas Dq1q0 pomiędzy trajektoriami Cq1 , Cq0 zawiera punkt silnie osobliwy q3 o tejwłasności, że Cq1|Cq3|Cq0 . Następnie korzystając z Twierdzenia 3.24 otrzymujemy,że P (q3) = J(q3). Zatem istnieje p3 taki, że p3 ∈ J(q3). Wówczas p3 ∈ Dq1q3 lubp3 ∈ Dq0q3 . Jeśli p3 ∈ Dq1q3 , to z Twierdzenia 2.17, otrzymujemy |Cq1 , Cp3 , Cq3|. Jeślinatomiast p3 ∈ Dq0q3 , to z Twierdzenia 2.17 dostajemy |Cq0 , Cp3 , Cq3|. Zatem w obuprzypadkach |Cq1 , Cp3 , Cq2|. Kładąc r = p3 otrzymujemy tezę naszego twierdzenia.

Na Twierdzenie 2.18 możemy patrzeć jak na rozszerzenie wspomnianego wyżejTwierdzenia 3.14 na przypadek, gdy brzegi klas G1, G2 są rozłączne. Nie jest jednakna ogół prawdą, że każdy punkt r ∈ Dq1q2 \ (G1 ∪G2) spełnia warunek |Cq1 , Cr, Cq2|.Twierdzenie 2.18 zostało wykorzystane w dowodzie zamieszczonej w dalszej częścitego rozdziału jednej z własności homeomorfizmu realizującego równoważność topo-logiczną potoków homeomorfizmu Brouwera.

2.3 Obszary prostowalne potoku homeomorfizmówBrouwera

W rozdziale tym omówimy własności obszarów prostowalnych dla potoku home-omorfizmów Brouwera, tj. obszarów na których potok homeomorfizmów Brouwerajest topologicznie sprzężony z potokiem translacji.

Przedstawianie własności brzegu obszarów prostowalnych (niekoniecznie maksy-malnych w sensie zawierania) rozpoczniemy od wyniku mówiącego o jego niezmien-niczości.

Twierdzenie 2.19. ([A1], Proposition 2.1) Brzeg obszaru prostowalnego U potokuhomeomorfizmów Brouwera f t : t ∈ R jest niezmienniczy.

19

Page 20: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

W dowodzie tego twierdzenia wykorzystujemy niezmienniczość obszaru prosto-walnego U oraz fakt, że domknięcie obszaru prostowalnego nie ma punktów wspól-nych z jedną ze składowych, na które rozcina płaszczyznę trajektoria dowolnegopunktu należącego do brzegu tego obszaru (por. Twierdzenie 3.15).

Z Twierdzenia 2.19 wnioskujemy, że brzeg obszaru prostowalnego jest sumą tra-jektorii. Przedstawimy teraz twierdzenie opisujące wzajemne położenie trajektoriibrzegowych obszaru prostowalnego.

Twierdzenie 2.20. ([A1], Proposition 2.2) Niech U będzie obszarem prostowalnympotoku homeomorfizmów Brouwera f t : t ∈ R. Wówczas |Cp1 , Cp2 , Cp3| dla dowol-nych różnych trajektorii Cp1, Cp2, Cp3 zawartych w bdU .

W dowodzie tego twierdzenia stosujemy wykorzystywany już w tym podrozdzialefakt, że każda z trzech rozpatrywanych trajektorii brzegowych musi rozcinać płasz-czyznę w ten sposób, że pozostałe dwie trajektorie zawarte są w tej samej składowejjej dopełnienia (por. Twierdzenie 3.15).

Zastępując w powyższym rozumowaniu jedną z trajektorii brzegowych obszaru Uodpowiednio położoną trajektorią zawartą w U otrzymujemy kolejny wynik.

Twierdzenie 2.21. ([A1], Proposition 2.3) Niech U będzie obszarem prostowalnympotoku homeomorfizmów Brouwera f t : t ∈ R. Niech r ∈ U oraz H będzie składowązbioru R2 \ Cr. Wówczas dla dowolnych różnych trajektorii Cp1, Cp2 zawartych wbdU ∩H zachodzi warunek |Cp1 , Cp2 , Cr|.

Obszar U jest prostowalny wtedy i tylko wtedy, gdy J(U) ∩ U = ∅ (zob. Bhatia,Szegö [14], Theorem 1.8, str. 46 oraz Theorem 2.4, str. 49). Stąd dla każdego ob-szaru prostowalnego U zachodzi warunek J(U) ⊂ bdU , gdyż z definicji pierwszegoprzedłużenia granicznego otrzymujemy J(U) ⊂ clU .

Szczególne znaczenie w opisie potoków homeomorfizmów Brouwera mają maksy-malne obszary prostowalne, tj. obszary prostowalne nie będące właściwymi podzbio-rami żadnego obszaru prostowalnego. Jeśli U jest maksymalnym obszarem prosto-walnym, to J(U) = bdU (zob. McCann [86], Proposition 2.6).

Do opisu maksymalnych obszarów prostowalnych możemy również wykorzystaćrelację współzbieżności do nieskończoności. Maksymalny obszar prostowalny U po-toku homeomorfizmów Brouwera f t : t ∈ R jest bowiem sumą klas abstrakcjirelacji współzbieżności do nieskończoności (por. Twierdzenie 3.16). Trajektorie brze-gowe tych klas abstrakcji mogą zawierać się albo w tym obszarze, albo w jego brzegu.

Trajektorie zawarte w obszarze prostowalnym U będące trajektoriami brzego-wymi klas abstrakcji relacji współzbieżności do nieskończoności są podzbioramizbioru punktów osobliwych. Wynika to ze wspomnianego wcześniej Twierdzenia 3.21,które mówi, że zbiór punktów regularnych jest równy sumie wnętrz klas abstrakcjirelacji współzbieżności do nieskończoności (por. [B16], Proposition 2.1). Własno-ści trajektorii brzegowych klas abstrakcji relacji współzbieżności do nieskończoności

20

Page 21: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

zostały omówione dokładniej w następnym rozdziale tego opracowania w części po-święconej wynikom uzupełniającym.

Dla każdego obszaru prostowalnego U trajektorie będące podzbiorami zbioruJ(bdU)∩U zawarte są w zbiorze punktów silnie osobliwych (zob. Twierdzenie 3.24).Nie oznacza to jednak, że wszystkie pozostałe trajektorie zawarte w obszarze prosto-walnym U są podzbiorami zbioru punktów regularnych. Obszar prostowalny może bo-wiem zawierać trajektorie składające się z punktów słabo osobliwych (por. McCann[86], Example 3.10).

Kolejne wyniki prezentowane tutaj dotyczyć będą zbioru J(p) ∩ U dla p ∈ bdU ,gdzie U jest obszarem prostowalnym. Omówimy m.in. rezultat mówiący o jednoznacz-ności trajektorii zawartej w pierwszym przedłużeniu granicznym trajektorii brzego-wej maksymalnego obszaru prostowalnego, która leży w tym obszarze. Rozpoczniemyod wyniku, który odgrywa zasadniczą rolę w dowodzie tego faktu.

Twierdzenie 2.22. ([A1], Proposition 2.4) Niech f t : t ∈ R będzie potokiemhomeomorfizmów Brouwera. Niech q1, q2 ∈ J(p), Cq1 6= Cq2. Wówczas |Cq1 , Cq2 , Cr|dla każdego r ∈ Dq1,q2 \ Cp, gdzie Dq1,q2 jest pasem pomiędzy Cq1, Cq2.

W dowodzie tego twierdzenia wykazujemy najpierw, że p ∈ Dq1,q2 , a następniewykluczamy przypadek Cq1 | Cr | Cq2 . Gdyby bowiem ten przypadek miał miejsce, topunkty q1, q2 musiałyby należeć do różnych składowych zbioru R2 \Cr. Stąd punkt pnależałby do jednej ze składowych zbioru R2 \Cr, gdyż p 6∈ Cr. Zatem p nie mógłbynależeć do pierwszego przedłużenia granicznego tego z punktów q1, q2, który leży wskładowej R2 \ Cr nie zawierającej p, co jest sprzeczne z założeniem.

W powyższym rozumowaniu korzystamy z założenia, że p 6∈ Cr. W przypadku,gdy p ∈ Cr konfiguracja Cq1 | Cr | Cq2 może mieć miejsce.

Z Twierdzenia 2.22 otrzymujemy wniosek opisujący własności trajektorii zawar-tych w pierwszym przedłużeniu granicznym punktu należącego do brzegu obszaruprostowalnego.

Wniosek 2.23. ([A1], Corollary 2.5) Niech U będzie obszarem prostowalnym potokuhomeomorfizmów Brouwera f t : t ∈ R. Niech p ∈ bdU oraz q1, q2 ∈ U . Załóżmy,że q1, q2 ∈ J(p). Wówczas Cq1 = Cq2.

Wniosek ten został udowodniony metodą nie wprost. Przypuśćmy, że Cq1 6= Cq2 .Wtedy w pasie Dq1,q2 musi istnieć punkt r ∈ U . Z prostowalności obszaru U otrzymu-jemy Cq1 | Cr | Cq2 . Z drugiej strony na mocy Twierdzenia 2.22 mamy |Cq1 , Cq2 , Cr|,a więc otrzymujemy sprzeczność.

Jeśli U jest maksymalnym obszarem prostowalnym potoku homeomorfizmów Bro-uwera oraz p ∈ bdU , to zbiór J(p) ∩ U jest niepusty. Zatem z Wniosku 2.23 otrzy-mujemy wspomniany wyżej wynik.

Wniosek 2.24. ([A6], Corollary 1.4) Niech U będzie maksymalnym obszarem prosto-walnym potoku homeomorfizmów Brouwera f t : t ∈ R. Niech p ∈ bdU . Wówczaszbiór J(p) ∩ U składa się z dokładnie jednej trajektorii.

21

Page 22: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

Z powyższego wniosku nie wynika wzajemna odpowiedniość między trajektoriamibrzegowymi maksymalnego obszaru prostowalnego U a trajektoriami zawartymi wzbiorze J(bdU) ∩ U . Może się bowiem zdarzyć, że dwóm różnym trajektoriom Cp1 ,Cp2 zawartym w brzegu obszaru U odpowiada ta sama trajektoria zawarta w zbiorzeJ(bdU) ∩ U , tj. J(p1) ∩ U = J(p2) ∩ U .

Następne wyniki pokazują zastosowanie relacji współzbieżności do nieskończono-ści przy badaniu obszarów prostowalnych potoku homeomorfizmów Brouwera. Wśródnich szczególne znaczenie mają maksymalne obszary prostowalne, gdyż takie obszarytworzą pokrycie płaszczyzny w przedstwionym w następnym podrozdziale twierdze-niu o postaci potoku homeomorfizmów Brouwera.

Podamy teraz warunek wystarczający na to, aby część wspólna obszaru pro-stowalnego z jedną ze składowych dopełnienia trajektorii zawartej w tym obszarzeprostowalnym, zawierała punkty należące tylko do jednej z klas abstrakcji relacjiwspółzbieżności do nieskończoności.

Twierdzenie 2.25. ([A1], Proposition 4.1) Niech U będzie obszarem prostowalnympotoku homeomorfizmów Brouwera f t : t ∈ R oraz r ∈ U . Niech H będzie składowązbioru R2 \Cr taką, że H ∩ J(bdU)∩U = ∅. Wówczas H ∩U jest zawarte w pewnejklasie abstrakcji relacji współzbieżności do nieskończoności.

Przedstawimy teraz szkic dowodu tego twierdzenia. Korzystając z założenia, żeH ∩ J(bdU) ∩ U = ∅ wykazujemy najpierw, że dla dowolnych p, q ∈ H ∩ U pas Dpq

zawiera się w U . Następnie wykorzystując tę własność dowodzimy, że dla dowolnychp1, q1 ∈ Dpq istnieje łuk K o końcach p1, q1 taki, że fn(K) → ∞ przy n → ±∞.Zatem pas Dpq zawiera się w pewnej klasie abstrakcji. Zatem, w celu wykazanie,że dowolnie ustalone punkty p1, q1 ∈ H ∩ U należą do tej samej klasy abstrakcjiwystarczy dobrać p, q ∈ H ∩ U takie, że p1, q1 ∈ Dpq.

Z powyższego twierdzenia otrzymujemy następujący wniosek.

Wniosek 2.26. ([A1], Corollary 4.2) Niech U będzie obszarem prostowalnym potokuhomeomorfizmów Brouwera f t : t ∈ R oraz r ∈ U . Niech H będzie składową zbioruR2 \Cr taką, że H ∩bdU = ∅. Wówczas H ⊂ U oraz H jest zawarte w pewnej klasieabstrakcji relacji współzbieżności do nieskończoności.

Przy założeniach Twierdzenia 2.25 może istnieć punkt p ∈ H ∩U taki, że w pasieDpr znajdują się punkty nie należące do U . Założenia Wniosku 2.26 wykluczająnatomiast taką możliwość.

Wybrane wyniki dotyczące maksymalnych obszarów prostowalnych potoku home-omorfizmów Brouwera, które nie znalazły się w tym podrozdziale, zostały omówionew następnym rozdziale tego opracowania w części poświęconej wynikom uzupełnia-jącym.

22

Page 23: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

2.4 Postać potoku homeomorfizmów BrouweraRozdział ten poświęcony jest głównie twierdzeniu o postaci potoku homeomorfi-zmów Brouwera, które mówi o istnieniu co najwyżej przeliczalnej rodziny maksy-malnych obszarów prostowalnych pokrywającej płaszczyznę. W każdym z tych obsza-rów rozważamy układ współrzędnych wyznaczony przez homeomorfizm prostujący.Przedstawimy również własności funkcji opisujących przejście między tymi układamiwspółrzędnych na częściach wspólnych obszarów rozważanej rodziny pokrywającejpłaszczyznę.

W konstrukcji rodziny maksymalnych obszarów prostowalnych korzystamy z ideiWilfreda Kaplana [58], [59]. Dla dowolnego potoku homeomorfizmów Brouwera jakozbioru indeksów konstruowanej rodziny użyjemy zdefiniowanej przez W. Kaplanaklasy ciągów składającej się z ciągów skończonych liczb całkowitych o własnościachopisanych poniżej.

Dla dowolnego niepustego zbioru X przez X<ω oznaczać będziemy zbiór wszyst-kich ciągów skończonych, których wyrazy należą do zbioru X. Drzewem nad X na-zywamy dowolny podzbiór T zbioru X<ω zamknięty ze względu na segmenty począt-kowe (prefiksy), tj. dla dowolnych liczb naturalnych m, n takich, że n > m, jeśli(x1, . . . , xm, . . . , xn) ∈ T , to (x1, . . . , xm) ∈ T .

Niech α = (x1, . . . , xn) ∈ X<ω. Wówczas dla dowolnego x ∈ X przez α xbędziemy oznaczać konkatenację ciągu α i ciągu jednoelementowego x, tj. ciąg(x1, . . . , xn, x).

Klasę A+ ciągów skończonych liczb całkowitych dodatnich będziemy nazywaćdopuszczalną, jeśli A+ ⊂ Z <ω

+ jest drzewem nad Z+ oraz spełnione są warunki:

(i) A+ zawiera ciąg jednoelementowy 1 i nie zawiera żadnego innego ciągu jedno-elementowego;

(ii) jeśli α k ∈ A+ dla pewnego k > 1, to również α (k − 1) ∈ A+.

Klasę A− ciągów skończonych liczb całkowitych ujemnych będziemy nazywaćdopuszczalną, jeśli A− ⊂ Z <ω

− jest drzewem nad Z− oraz spełnione są warunki:

(iii) A− zawiera ciąg jednoelementowy −1 i nie zawiera żadnego innego ciągu jed-noelementowego;

(iv) jeśli α k ∈ A− dla pewnego k < −1, to również α (k + 1) ∈ A−.

Zbiór A = A+ ∪ A−, gdzie A+ i A− są pewnymi dopuszczalnymi klasami cią-gów skończonych liczb całkowitych dodatnich i ujemnych, odpowiednio, będziemynazywać dopuszczalną klasą ciągów skończonych.

W celu otrzymania dla dowolnie ustalonego potoku homeomorfizmów Brouwerapokrycia płaszczyzny występującego w głównym wyniku tego podrozdziału wykorzy-stujemy następujący lemat.

23

Page 24: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

Lemat 2.27. ([A2], Lemma 2.1) Niech f t : t ∈ R będzie potokiem homeomor-fizmów Brouwera. Niech p ∈ R2. Wówczas istnieje co najwyżej przeliczalna rodzinamaksymalnych obszarów prostowalnych Uj : j ∈ J, gdzie J jest zbiorem liczb całko-witych dodatnich lub J = 1, . . . , N dla pewnej liczby całkowitej dodatniej N taka,że p ∈ U1 i dla każdej liczby całkowitej dodatniej n zbiór clB(p, n), gdzie B(p, n) jestkołem otwartym o środku w p i promieniu n, jest pokryta przez skończoną podrodzinęU1, . . . , Ujn rodziny Uj : j ∈ J. Ponadto jn ≤ jn+1 dla każdego n.

Przedstawimy teraz główny wynik opisujący postać potoków homeomorfizmówBrouwera. Wynik ten mówi, że dla każdego takiego potoku możemy dobrać pokry-cie płaszczyzny złożone z maksymalnych obszarów prostowalnych indeksowane wużyteczny sposób przez odpowiednio dobraną co najwyżej przeliczalną dopuszczalnąklasę ciągów skończonych.

Twierdzenie 2.28. ([A2], Theorem 2.2) Niech f t : t ∈ R będzie potokiem home-omorfizmów Brouwera. Wówczas istnieje co najwyżej przeliczalna dopuszczalna klasaciągów skończonych A = A+ ∪ A− oraz rodzina trajektorii Cα : α ∈ A i rodzinamaksymalnych obszarów prostowalnych Uα : α ∈ A takie, że U1 = U−1, C1 = C−1

orazCα ⊂ Uα, α ∈ A, (2.4)⋃

α∈A

Uα = R2, (2.5)

Uα ∩ Uα i 6= ∅, α i ∈ A, (2.6)

Cα i ⊂ bdUα, α i ∈ A, (2.7)

|Cα, Cα i1 , Cα i2|, α i1, α i2 ∈ A, i1 6= i2, (2.8)

Cα|Cα i|Cα i j, α i j ∈ A. (2.9)

Konstrukcja rodzin wystepujących w Twierdzeniu 2.28 rozpoczyna się od trajek-torii C1 dowolnie wybranego punktu p ∈ R2 i maksymalnego obszaru prostowalnegoU1 występującego w Lemacie 2.27. Bierzemy następnie C−1 := C1 oraz U−1 := U1. Wprzypadku, gdy potok f t : t ∈ R nie jest sprzężony z potokiem translacji, punkt pmożna wybrać tak, aby p ∈ J(R2).

Mając skonstruowany ciąg α ∈ A oraz odpowiadające mu Cα, Uα, w przypadku,gdy bdUα ∩Hα 6= ∅ indeksujemy bijektywnie zbiór wszystkich trajektorii zawartychw

bdUα ∩Hα

ciągami postaci α k zaczynając od k = 1 i biorąc kolejne liczby całkowite dodatnie k,jeśli α ∈ A+, oraz zaczynając od k = −1 i biorąc kolejne liczby całkowite ujemne k,gdy α ∈ A−, gdzie H1, H−1 są składowymi zbioru R2\C1, natomiast dla α = β l ∈ Azbiór Hα jest składową R2\Cα, która nie ma punktów wspólnych z Uβ. W przypadku,gdy bdUα ∩Hα = ∅ ciąg α ∈ A będzie liściem drzewa A+ lub A−.

24

Page 25: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

Następnie rozszerzamy A o wszystkie tak dobrane ciągi α k i dla każdego z tychciągów α k oznaczamy przez Cα k trajektorię indeksowaną przez α k i bierzemy jakoUα k element podrodziny Uj : j = 1, . . . , jmα k

rodziny występującej w Lemacie 2.27zawierający Cα k, gdzie mα k jest najmniejszą liczbą całkowitą, która jest większa lubrówna odległości trajektorii Cα k od punktu p. Lemat 2.27 gwarantuje, że skonstru-owana rodzina maksymalnych obszarów prostowalnych spełnia warunek (2.5).

Dla rodziny Uα : α ∈ A maksymalnych obszarów prostowalnych występującejw Twierdzeniu 2.28 rozważamy homeomorfizmy prostujące ϕα : Uα → R2 takie, żeϕα(Cα) = R× 0 oraz

ϕα(Nα) = R× (0,+∞) dla α ∈ A+,

ϕα(Nα) = R× (−∞, 0) dla α ∈ A−,gdzieNα := Uα∩Hα. Każdy z tych homeomorfizmów przekształca trajektorie zawartew Uα na proste poziome. Homeomorfizmy prostujące będziemy nazywać też mapami.

Związki pomiędzy homeomorfizmami prostującymi określonymi na częściachwspólnych maksymalnych obszarów prostowalnych skonstruowanych metodą przed-stawioną powyżej opisane są w poniższym twierdzeniu.

Twierdzenie 2.29. ([A2], Proposition 3.1) Niech f t : t ∈ R będzie potokiemhomeomorfizmów Brouwera, a Uα : α ∈ A rodziną maksymalnych obszarów prosto-walnych występującą w Twierdzeniu 2.28. Wówczas istnieje taka rodzina homeomor-fizmów prostujących ϕα : α ∈ A+, gdzie ϕα : Uα → R2, że dla każdego α i ∈ A+

ϕα i(Uα ∩ Uα i) = R× (cα i, 0),

ϕα(Uα ∩ Uα i) = R× (cαα i, dαα i),

gdzie cαα i ∈ R∪−∞, dαα i ∈ R∪+∞, cα i ∈ [−∞, 0) są stałymi takimi, że cαα i <dαα i oraz co najmniej jedna ze stałych cαα i, d

αα i jest skończona. Ponadto, istnieje

funkcja ciągła µα i : (cαα i, dαα i) → R i homeomorfizm να i : (cαα i, d

αα i) → (cα i, 0)

takie, że homeomorfizm

hα i : R× (cαα i, dαα i)→ R× (cα i, 0)

określony wzoremhα i := ϕα i (ϕα|Uα∩Uα i

)−1 (2.10)

ma postać

hα i(t, s) = (µα i(s) + t, να i(s)), t ∈ R, s ∈ (cαα i, dαα i). (2.11)

Podobnie, istnieje taka rodzina homeomorfizmów prostujących ϕα : α ∈ A−, gdzieϕα : Uα → R2, oraz ϕ−1 = ϕ1, że dla każdego α i ∈ A−

ϕα i(Uα ∩ Uα i) = R× (0, cα i),

25

Page 26: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

ϕα(Uα ∩ Uα i) = R× (cαα i, dαα i),

gdzie cαα i ∈ R∪−∞, dαα i ∈ R∪+∞, cα i ∈ (0,+∞) są stałymi takimi, że cαα i <dαα i oraz co najmniej jedna ze stałych cαα i, d

αα i jest skończona. Ponadto, istnieje

funkcja ciągła µα i : (cαα i, dαα i) → R i homeomorfizm να i : (cαα i, d

αα i) → (0, cα i)

takie, że homeomorfizm

hα i : R× (cαα i, dαα i)→ R× (0, cα i)

określony wzorem (2.10) ma postać (2.11).

Postać homeomorfizmu hα i występującego w Twierdzeniu 2.29 otrzymujemy roz-wiązując równanie funkcyjne

hα i(t1 + t2, s) = hα i(t1, s) + (t2, 0), t1, t2, s ∈ R.

Przybliżymy teraz własności homeomorfizmu να i występującego w Twierdzeniu2.29. Zgodnie z określeniem homeomorfizmu prostującego ϕα i, dla każdego α i ∈A trajektoria Cα i odpowiada wartości 0 parametru s w układzie współrzędnychwyznaczonym przez ten homeomorfizm, ponieważ w mapie ϕα i druga współrzędnakażdego punktu należącego do Cα i jest równa 0, tj. ϕα i(Cα i) = R× 0.

Pokażemy poniżej, że homeomorfizm να i można rozszerzyć poprzez przypisaniewartości 0 jednemu z końców przedziału (cαα i, d

αα i) będącego dziedziną tego home-

omorfizmu. W celu uproszczenia zapisu ograniczymy się do dopuszczalnej klasy cią-gów skończonych A+ (dla klasy A− sytuacja jest analogiczna). Wybór odpowiedniegokońca tego przedziału zależy od tego czy homeomorfizm να i jest rosnący, czy male-jący. Wówczas przy założeniu, że takie rozszerzenie istnieje mamy να i(cαα i) = 0, jeślihomeomorfizm να i jest malejący, oraz να i(dαα i) = 0, jeśli να i jest rosnący.

W celu zdefiniowania poszukiwanego rozszerzenia musimy najpierw znaleźć tra-jektorię zawartą w obszarze Uα, która będzie odpowiadać poprzez mapę ϕα wartościν−1α i(0), tj. trajektorię ϕ−1

α (R× ν−1α i(0)). Na mocy Wniosku 2.24 zbiór Uα ∩ J(Cα i)

składa się z jednej trajektorii, którą oznaczamy przez Cαα i. Jeden z końców przedziału

(cαα i, dαα i) jest wartością parametru s w układzie współrzędnych wyznaczonym przez

homeomorfizm ϕα odpowiadającą trajektorii Cαα i. Dokładniej, trajektoria Cα

α i od-powiada wartości cαα i w przypadku, gdy homeomorfizm να i jest malejący, a wartościdαα i w przypadku, gdy να i jest rosnący.

Wynik zamieszczony poniżej pokazuje, że wybór końca przedziału (cαα i, dαα i), na

który rozszerzymy homeomorfizm να i zależy od tego jak trajektoria Cαα i jest po-

łożona względem trajektorii Cα i Cα i, gdyż wzajemne położenie tych trajektoriiwyznacza czy homeomorfizm να i jest rosnący, czy malejący.

Lemat 2.30. ([A2], Remark 3.2) Niech f t : t ∈ R będzie potokiem homeomor-fizmów Brouwera, a Uα : α ∈ A rodziną maksymalnych obszarów prostowal-nych występującą w Twierdzeniu 2.28. Załóżmy, że α i ∈ A+. Jeśli Cα|Cα

α i|Cα i

26

Page 27: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

lub Cα = Cαα i, to homeomorfizm να i : (cαα i, d

αα i) → (cα i, 0) występujący w Twier-

dzeniu 2.29 jest malejący oraz odpowiednio cαα i > 0 lub cαα i = 0. Natomiast, jeśli|Cα, Cα

α i, Cα i|, to homeomorfizm να i jest rosnący oraz dαα i > 0.

W powyższym wyniku jedna z liczb cαα i, dαα i jest wartością parametru s odpowia-

dająca trajektorii Cαα i w układzie współrzędnych wyznaczonym przez homeomorfizm

ϕα. Zgodnie z konstrukcją rodziny trajektorii Cα : α ∈ A+ opisaną w dowodzieTwierdzenia 2.28, wartość ta nie może być ona ujemna.

Poniżej zamieszczamy wypowiedź wspomnianego wyżej twierdzenia o rozszerze-niu homeomorfizmu να i.

Twierdzenie 2.31. ([A6], Proposition 1.6) Niech f t : t ∈ R będzie potokiemhomeomorfizmów Brouwera, a Uα : α ∈ A rodziną maksymalnych obszarów prosto-walnych występującą w Twierdzeniu 2.28. Załóżmy, że α i ∈ A+. Jeśli Cα|Cα

α i|Cα ilub Cα = Cα

α i, to ϕα(Cαα i) = R × cαα i i homeomorfizm να i : (cαα i, d

αα i) → (cα i, 0)

występujący w Twierdzeniu 2.29 można rozszerzyć do homeomorfizmu określonegona [cαα i, d

αα i) kładąc να i(cαα i) = 0. Natomiast, jeśli |Cα, Cα

α i, Cα i|, to ϕα(Cαα i) =

R×dαα i i homeomorfizm να i można rozszerzyć do homeomorfizmu określonego na(cαα i, d

αα i] kładąc να i(d

αα i) = 0.

W celu przedstawienia idei dowodu Twierdzenia 2.31 rozważmy przypadek, gdyhomeomorfizm να i jest malejący. Wówczas ϕ−1

α (R× cαα i) = Cαα i. Wynika to stąd,

że ϕ−1α i(R×να i(s)) = ϕ−1

α (R×s) dla s ∈ (cαα i, dαα i), tj. να i(s) oraz s odpowiadają

tej samej trajektorii zawartej w Uα∩Uα i. Stąd dla każdego ciągu (sn)n∈N takiego, żesn ∈ (cαα i, d

αα i) dla n ∈ N, zachodzi warunek limn→∞ sn = cαα i wtedy i tylko wtedy,

gdy limn→∞ να i(sn) = 0, ponieważ Cαα i ⊂ J(Cα i).

Funkcje ciągłe µα i występujące w Twierdzeniu 2.29 reprezentują natomiast czaspotrzebny na to, aby z punktu o współrzędnych (0, να i(s)) w mapie ϕα i dotrzeć dopunktu o współrzędnych (0, s) w mapie ϕα. Innymi słowy, funkcja µα i reprezentujeczas potrzebny na to, aby z punktu należącego do ciągłego cięcia Kϕα i

obszaruprostowalnego Uα i dotrzeć do punktu należącego do ciągłego cięcia Kϕα obszaruprostowalnego Uα, gdzie Kϕα i

:= ϕ−1α i(0 × R) oraz Kϕα := ϕ−1

α (0 × R).Poniższy wynik dotyczy granicy ciągu (µα i(sn))n∈N dla ciągu (sn)n∈N rozważa-

nego w dowodzie Twierdzenia 2.31.

Twierdzenie 2.32. ([B19], Proposition 8) Niech f t : t ∈ R będzie potokiem home-omorfizmów Brouwera, a Uα : α ∈ A rodziną maksymalnych obszarów prostowal-nych występującą w Twierdzeniu 2.28. Funkcje µα i występujące w Twierdzeniu 2.29spełniają warunek

lims→cαα iµα i(s) =

−∞ gdy Cα i ⊂ J+f t(C

αα i),

+∞ gdy Cα i ⊂ J−f t(Cα i)

27

Page 28: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

w przypadku, gdy Cα|Cαα i|Cα i or Cα = Cα

α i or the condition

lims→dαα iµα i(s) =

−∞ gdy Cα i ⊂ J+f t(C

αα i),

+∞ gdy Cα i ⊂ J−f t(Cα i)

w przypadku, gdy |Cα, Cαα i, Cα i|.

Twierdzenie 2.32 implikuje, że trajektorie Cα i oraz Cαα i nie mogą być zawarte

w tym samym obszarze prostowalnym, natomiast Twierdzenie 2.31 związane jestz własnością potoku mówiącą, że trajektorie Cα i oraz Cα

α i nie mają rozłącznychotoczeń strumieniowych.

2.5 Pierwiastki iteracyjne homeomorfizmu Bro-uwera zanurzalnego w potok

W rozdziale tym rozważamy problem wyznaczenia postaci wszystkich zachowują-cych orientację pierwiastków iteracyjnych homeomorfizmu Brouwera zanurzalnego wpotok, tj. zachowujących orientację rozwiązań homeomorficznych g równania funk-cyjnego

gn = f, (2.12)

gdzie n jest liczbą naturalną, zaś f jest danym homeomorfizmem Brouwera zanu-rzalnym w potok f t : t ∈ R.

Wyznaczanie pierwiastków iteracyjnych danej funkcji jest jednym z ważniejszychzagadnień w teorii iteracji. Główna idea ogólnej metody wyznaczania pierwiastkówiteracyjnych pochodzi z prac S. Łojasiewicza [81] i M. Kuczmy [68]. Konstrukcjawszystkich pierwiastków iteracyjnych homeomorfizmu Brouwera sprzężonego z trans-lacją została podana w [B7].

Jeżeli f jest homeomorfizmem płaszczyzny na siebie, g jest odwzorowaniem cią-głym spełniającym równanie (2.12) dla pewnej liczby naturalnej n > 0, to g jestrównież homeomorfizmem płaszczyzny na siebie (zob. [B7], Remark 1). Ponadto,jeśli f nie ma punktów stałych, to g nie ma punktów stałych.

Niech f będzie homeomorfizmem płaszczyzny na siebie zachowującym orientację,a g odwzorowaniem ciągłym spełniającym równanie (2.12) dla pewnej nieparzystejliczby naturalnej n. Wówczas g jest również homeomorfizmem płaszczyzny na siebiezachowującym orientację (zob. [B7], Remark 2). Dla parzystych n równanie (2.12)może mieć również homeomorficzne rozwiązania zmieniające orientację. Przedmiotemnaszych rozważań są jednak tylko homeomorfizmy płaszczyzny na siebie zachowująceorientację nie posiadające punktów stałych, czyli rozpatrujemy tylko rozwiązania grównania (2.12) będące homeomorfizmami Brouwera.

Przy wyznaczaniu pierwiastków iteracyjnych homeomorfizmu Brouwera zanurzal-nego w potok korzystamy z postaci tego potoku opisanej w Twierdzeniach 2.28 i 2.29.Poniższy lemat umożliwia wykazanie głównego wyniku tego rozdziału.

28

Page 29: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

Lemat 2.33. ([A3], Lemma 4.6) Niech f będzie homeomorfizmem Brouwera zanu-rzalnym w potok f t : t ∈ R. Niech Cα : α ∈ A oraz Uα : α ∈ A będą ro-dzinami trajektorii i maksymalnych obszarów prostowalnych występującymi w Twier-dzeniu 2.28, a ϕα : α ∈ A rodziną homeomorfizmów występującą w Twierdzeniu2.29. Wówczas dla każdego α ∈ A i każdego p ∈ Cα istnieje ε > 0 takie, że kołoB(p, ε) o środku p i promieniu ε ma punkty wspólne z dokładnie dwoma elemen-tami rodziny Gα : α ∈ A, gdzie Gα := ϕ−1

α (R × [0,+∞)) jeśli α ∈ A+ orazGα := ϕ−1

α (R× (−∞, 0]) jeśli α ∈ A−.

W dowodzie tego lematu dla każdego α ∈ A definiujemy rodzinę trajektorii Sα :=Cα ∪ Cα i : α i ∈ A. Rodzina ta może być dla pewnych α ∈ A równa Cα(sytuacja taka ma miejsce w przypadku, gdy dla obszaru prostowalnego Uα spełnionesą założenia Wniosku 2.26). Każda z trajektorii zbioru Cα : α ∈ A jest elementemdokładnie dwu rodzin Sα, a mianowicie S1 i S−1 dla α ∈ 1,−1 oraz z Sβ i Sβ i dlaα = β i.

Korzystając z Twierdzeń 2.20 i 2.21 otrzymujemy, że dla każdego α ∈ A zachodzi|Cp1 , Cp2 , Cp3 | dla dowolnych różnych między sobą trajektorii Cp1 , Cp2 , Cp3 należącychdo Sα. Ustalmy α ∈ A. Jesli rodzina Sα jest skończona, to dla każdego α i ∈ A ikażdego p ∈ Cα i istnieje koło o środku p rozłączne z każdym elementem rodzinySα różnym od Cα i, gdyż trajektorie potoku homeomorfizmów Brouwera są zbioramidomkniętymi.

W przypadku, gdy zbiór Sα nie jest skończony, to aby otrzymać tezę lematumożemy jeszcze skorzystać z odpowiedniego twierdzenia z książki A. Becka (zob. [9],Lemma 11.6). Twierdzenie to mówi, że jeśli S jest nieskończoną podrodziną rodzinyF wszystkich trajektorii potoku płaszczyzny nie posiadającego punktów stałych taką,że dla rożnych C1, C2, C3 ∈ S zachodzi warunek |C1, C2, C3|, to S jest przeliczalnaoraz każdy podzbiór zwarty płaszczyzny ma punkty wspólne jedynie ze skończeniewieloma elementami rodziny S.

Analogiczne twierdzenie można znaleźć w pracy W. Kaplana (zob. [58], Theorem32). W. Kaplan otrzymuje taką samą tezę jak A. Beck przy założeniu, że F jestrodziną homeomorficznych obrazów prostej domkniętych na płaszczyźnie taką, żedla każdego p ∈ R2 istnieje dokładnie jedno C ∈ F takie, że p ∈ C oraz istniejezbiór otwarty Up zawierający p, który może być przekształcony homeomorficznie nawnętrze kwadratu (x, y) ∈ R2 : |x| < 1, |y| < 1 w taki sposób, że obraz częściwspólnej każdego elementu rodziny F ze zbiorem Up jest równy zbiorowi postaci(x, y) ∈ R2 : |x| < 1, y = c dla pewnego c ∈ R takiego, że |c| < 1.

Konstrukcja pierwiastków iteracyjnych homeomorfizmu Brouwera jest przedsta-wiona w następującym twierdzeniu.

Twierdzenie 2.34. ([A3], Theorem 4.7) Niech f będzie homeomorfizmem Brouwerazanurzalnym w potok, n liczbą naturalną dodatnią. Niech Cα : α ∈ A oraz Uα : α ∈A będą rodzinami trajektorii i maksymalnych obszarów prostowalnych występującymiw Twierdzeniu 2.28. Dla każdego α ∈ A niech f tα : t ∈ R będzie potokiem na Uα

29

Page 30: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

takim, że f 1α(x) = f(x) dla x ∈ Uα, α ∈ A. Załóżmy, że f

1n

1 (x) = f1n−1(x) dla każdego

x ∈ C1 = C−1 orazlimk→∞

f1nα (xk) = f

1n

α i(x) (2.13)

dla każdego x ∈ Cα i i każdego ciągu (xk)k∈N elementów obszaru Uα takiego, żelimk→∞ xk = x. Wówczas funkcja g określona warunkiem

g(x) = f1nα (x), x ∈ Gα, α ∈ A, (2.14)

gdzie Gα : α ∈ A jest rodziną występującą w Lemacie 2.33, jest homeomorfizmemBrouwera spełniającym równanie (2.12). Ponadto, każdy homeomorfizm Brouwera gspełniający równanie (2.12) może być skonstruowany w ten sposób.

Zanurzalność homeomorfizmu Brouwera f w potok gwarantuje istnienie rodzinCα : α ∈ A oraz Uα : α ∈ A występujących w Twierdzeniu 2.28. Następnieoddzielnie na każdym z obszarów Uα rozważamy dowolny potok zawierający home-omorfizm f |Uα . Od potoków tych wymagamy jedynie, aby spełniały warunek (2.13).

Najistotniejszym fragmentem dowodu Twierdzenia 2.34 jest wykazanie, że funkcjag określona wzorem (2.14) jest ciągła. Przy wykazywaniu ciągłości funkcji g korzy-stamy z założenia, że limk→∞ f

1nα (xk) = f

1n

α i(x) dla x0 ∈ Cα i i każdego ciągu (xk)k∈Nelementów obszaru Uα takiego, że limk→∞ xk = x.

Następnie wykorzystujemy wspomniany wyżej fakt, że dla dowolnego homeomor-fizmu f płaszczyzny na siebie każde ciągłe rozwiązanie g równania (2.12) jest home-omorfizmem płaszczyzny na siebie. Zachowywanie orientacji przez homeomorfizm gotrzymujemy z faktu, że g zacieśnione do maksymalnego obszaru prostowalnego U1

jest elementem potoku f t1 : t ∈ R określonego na tym obszarze.

2.6 Równoważność topologiczna potoków home-omorfizmów Brouwera

W rozdziale tym przedstawimy wyniki dotyczące topologicznie równoważnych po-toków homeomorfizmów Brouwera. Opisywać one będą zależności między zbioramipunktów regularnych i silnie osobliwych, a także między maksymalnymi obszaramiprostowalnymi takich potoków.

Rozpocznijmy od wyniku dotyczącego zbiorów punktów regularnych topologicz-nie równoważnych potoków homeomorfizmów Brouwera.

Twierdzenie 2.35. ([A4], Theorem 4.1) Niech f t : t ∈ R i gt : t ∈ R będąrównoważnymi topologicznie potokami Brouwera, a Φ : R2 → R2 homeomorfizmemrealizującym tę równoważność. Wówczas Φ odzorowuje zbiór punktów regularnychpotoku f t : t ∈ R na zbiór punktów regularnych potoku gt : t ∈ R.

30

Page 31: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

W dowodzie tego twierdzenia wykazujemy, że dla każdej klasy abstrakcji F0 re-lacji współzbieżności do nieskończoności potoku f t : t ∈ R istnieje klasa abs-trakcji G0 relacji współzbieżności do nieskończoności potoku gt : t ∈ R taka, żeΦ(intF0) = intG0. Przypomnijmy, że mówiąc o klasie abstrakcji relacji współzbieżno-ści do nieskończoności potoku mamy na myśli klasę abstrakcji tej relacji zdefiniowanejdla dowolnego elementu tego potoku nie będącym identycznością. Wówczas na mocywspomnianego wcześniej Twierdzenia 3.21 mówiącego, że zbiór punktów regularnychjest równy sumie wnętrz klas abstrakcji relacji współzbieżności do nieskończonościoraz faktu, że Φ jest homeomorfizmem płaszczyzny na siebie otrzymujemy tezę po-wyższego twierdzenia.

W celu pokazania równości Φ(intF0) = intG0, ustalamy dowolny punkt p ∈intF0. Wówczas istnieją punkty q1, q2 ∈ intF0 należące do różnych składowych do-pełnienia trajektorii Cp potoku f t : t ∈ R. Korzystając z niezmienniczości klasabstrakcji relacji współzbieżności do nieskończoności oraz z Twierdzeń 2.18 i 2.15otrzymujemy, że trajektorie C ′

Φ(q1) i C ′

Φ(q2) potoku gt : t ∈ R zawierają się wtej samej klasie abstrakcji, którą oznaczamy przez G0. Wówczas z Wniosku 2.14otrzymujemy, że Φ(p) ∈ intG0. W ten sposób wykazujemy, że Φ(intF0) ⊂ intG0.Stosując to samo rozumowanie dla Φ−1, dostajemy Φ−1(intG0) ⊂ intF0, a zatemmamy Φ(intF0) = intG0.

Na mocy Twierdzenia 2.35 otrzymujemy, że homeomorfizm realizujący topolo-giczną równoważność potoków homeomorfizmów Brouwera przeksztalca zbiór punk-tów osobliwych na zbiór punktów osobliwych. Własność tę możemy wzmocnić zaste-pując zbiór punktów osobliwych zbiorem punktów silnie osobliwych. Wynik ten zostałsformułowany dla pierwszych przedłużeń granicznych, ale na mocy Twierdzenia 3.24zbiór punktów silnie osobliwych homeomorfizmu Brouwera jest równy pierwszemuprzedłużeniu granicznemu potoku zawierającego ten homeomorfizm.

Twierdzenie 2.36. ([A4], Theorem 5.3) Niech f t : t ∈ R i gt : t ∈ R będą rów-noważnymi topologicznie potokami Brouwera, a Φ : R2 → R2 homeomorfizmem reali-zującym tę równoważność. Wówczas Φ(Jf (R2)) = Jg(R2), gdzie Jf (R2) oraz Jg(R2)oznaczają odpowiednio pierwsze przedłużenie graniczne potoków f t : t ∈ R andgt : t ∈ R.

W dowodzie tego twierdzenia ustalamy dowolny punkt p ∈ Jf (R2) i oznaczamyprzez H0 tę składową zbioru R2 \ Cp, która nie jest rozłączna z Jf (p) (może sięzdarzyć, że każda ze składowych zbioru R2 \ Cp spełnia ten warunek). Następnieustalamy q ∈ Jf (p) ∩ H0. W celu wykazania, że Φ(q) ∈ Jg(Φ(p)) rozważamy dwaprzypadki: przypadek, gdy istnieje klasa abstrakcji G0 relacji współzbieżności donieskończoności taka, że p ∈ bdG0 oraz G0 ⊂ H0 oraz przypadek, gdy punkt pnie należy do brzegu żadnej z klas abstrakcji zawartych w H0. W pierwszym z tychprzypadków możemy zastosować bezpośrednio wyniki zamieszczone w [B13] (zob.Twierdzenia 3.19 i 3.20).

W drugim z nich korzystamy dodatkowo z ciągu trajektorii (Cn)n∈N zawartych w

31

Page 32: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

zbiorze punktów osobliwych o tej własności, że dla każdej liczby naturalnej n zachodziwarunek Cp|Cn+1|Cn oraz dla każdego p0 ∈ Cp istnieje ciąg (xn)n∈N taki, że p0 =limn→∞ xn oraz xn ∈ Cn. Następnie dla tego ciągu trajektorii stosujemy rozumowanieprzedstawione w [B13]. W rozumowaniu tym główną rolę odgrywa fakt, iż jeśli q ∈Jf (p), to trajektorie Cp i Cq nie posiadają rozłącznych otoczeń strumieniowych, tj.otoczeń będących sumami trajektorii.

Rozumowanie, którego szkic przedstawiliśmy powyżej prowadzi bezpośrednio donastępującego wyniku, który można traktować jako uszczegółowienie Twierdzenia2.36.

Twierdzenie 2.37. ([A6], Proposition 2.3) Niech f t : t ∈ R i gt : t ∈ R będąrównoważnymi topologicznie potokami Brouwera, a Φ : R2 → R2 homeomorfizmemrealizującym tę równoważność. Wówczas, jeśli q ∈ Jf (p), to Φ(q) ∈ Jg(Φ(p)) dladowolnych p, q ∈ R2, gdzie Jf (R2) and Jg(R2) oznaczają odpowiednio pierwsze prze-dłużenie graniczne potoków f t : t ∈ R and gt : t ∈ R.

Przejdziemy teraz do omówienia własności dotyczących maksymalnych obszarówprostowalnych topologicznie równoważnych potoków homeomorfizmów Brouwera.

Twierdzenie 2.38. ([A6], Proposition 2.1) Niech f t : t ∈ R i gt : t ∈ R będąrównoważnymi topologicznie potokami Brouwera, a Φ : R2 → R2 homeomorfizmemrealizującym tę równoważność. Wówczas, jeśli U jest maksymalnym obszarem pro-stowalnym potoku f t : t ∈ R, to Φ(U) jest maksymalnym obszarem prostowalnympotoku gt : t ∈ R.

W dowodzie tego twierdzenia wykorzystujemy fakt, że homeomorfizm realizującytopologiczną równoważność potoków homeomorfizmów Brouwera przekształca cią-głe cięcia obszaru prostowalnego U potoku f t : t ∈ R na ciągłe cięcia obszaruΦ(U). Stąd wnioskujemy, że Φ(U) jest obszarem prostowalnym potoku gt : t ∈ R.Przypuszczenie, że Φ(U) nie jest maksymalnym obszarem prostowalnym potokugt : t ∈ R prowadzi do sprzeczności z założeniem, że U jest maksymalnym ob-szarem prostowalnym potoku f t : t ∈ R.

Kolejny wynik prezentowany w tym rozdziale mówi, że dla równoważnych topo-logicznie potoków homeomorfizmów Brouwera można wybrać tę samą dopuszczalnąklasę ciągów skończonych dla rodzin maksymalnych obszarów prostowalnych opisa-nych w Twierdzeniu 2.28.

Twierdzenie 2.39. ([A6], Theorem 2.4) Niech f t : t ∈ R i gt : t ∈ R będąrównoważnymi topologicznie potokami homeomorfizmów Brouwera, a Φ : R2 → R2

homeomorfizmem realizującym tę równoważność. Niech Cf,α : α ∈ A będzie rodzinątrajektorii, a Uf,α : α ∈ A rodziną maksymalnych obszarów prostowalnych potokuf t : t ∈ R, dla których zachodzą warunki (2.4) - (2.9) oraz Uf,1 = Uf,−1, Cf,1 =Cf,−1, gdzie A = A+∪A− jest dopuszczalną klasą ciągów skończonych. Niech Cg,α :=Φ(Cf,α) oraz Ug,α := Φ(Uf,α) dla α ∈ A. Wówczas Cg,α : α ∈ A jest rodziną

32

Page 33: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

trajektorii oraz Ug,α : α ∈ A rodziną maksymalnych obszarów prostowalnych potokugt : t ∈ R dla których zachodzą warunki (2.4) - (2.9). Ponadto,

Φ(Cαf,α i) = Cα

g,α i, α i ∈ A, (2.15)

gdzie Cαf,α i oraz C

αg,α i są jednoznacznie wyznaczonymi trajektoriami zawartymi od-

powiednio w Jf (Cf,α i) ∩ Uf,α oraz Jg(Cg,α i) ∩ Ug,α.

W celu pokazania, że każdy ze zbiorów Ug,α : α ∈ A jest maksymalnym obsza-rem prostowalnym potoku gt : t ∈ R korzystamy z Twierdzenia 2.38. Natomiastfakt, że każdy ze zbiorów Cg,α : α ∈ A jest trajektorią potoku gt : t ∈ R zawartąw Jg(R2) otrzymujemy z Twierdzenia 2.36. Następnie wykazujemy warunek (2.15)korzystając z Twierdzenia 2.37 i Wniosku 2.24.

2.7 Sprzężenie topologiczne potoków homeomorfi-zmów Brouwera

W rozdziale tym przedstawimy wyniki opisujące warunki na to, aby potoki home-omorfizmów Brouwera były sprzężone topologicznie. Ogólna postać takiego potokuzostała zaprezentowana w Twierdzeniu 2.28.

S. Andrea ([5], Theorem 4.1) udowodnił twierdzenie mówiące, że homeomorfizmBrouwera jest sprzężony topologicznie z translacją wtedy i tylko wtedy, gdy posiadadokładnie jedną klasę abstrakcji relacji współzbieżności do nieskończoności. Wówczaswszystkie potoki zawierające taki homeomorfizm są ze sobą sprzężone topologicznie(por. Twierdzenie 3.11). W szczególności są one sprzężone z potokiem translacji.Prezentowane tutaj twierdzenia dotyczą potoków homeomorfizmów Brouwera, którenie są sprzężone topologicznie z potokiem translacji.

Niech f t : t ∈ R będzie potokiem homeomorfizmów Brouwera. Na mocy Twier-dzenia 2.28, istnieje dopuszczalna rodzina ciągów skończonych A, rodzina trajektoriiCf,α : α ∈ A oraz rodzina maksymalnych obszarów prostowalnych Uf,α : α ∈ A,dla których zachodzą warunki (2.4) - (2.9). Korzystając z Twierdzenia 2.29 otrzymu-jemy że dla każdego z obszarów Uf,α istnieje homeomorfizm prostujący przekształ-cający trajektorie potoku f t : t ∈ R na proste poziome w układzie współrzędnych,w którym współrzędne punktu oznaczamy przez t oraz s.

Korzystając z tych rodzin podamy warunek, który gwarantuje istnienie home-omorfizmu realizującego sprzężenie topologiczne potoków homeomorfizmów Bro-uwera f t : t ∈ R, gt : t ∈ R oraz przedstawimy konstrukcję tego homeomorfizmu.Głównym krokiem tej konstrukcji będzie przedłużenie konstruowanego homeomorfi-zmu Ψ z obszaru prostowalnego Uf,α na trajektorie Cf,α i dla α i ∈ A. Korzystamytutaj z Lematu 2.33 mówiącego, że dowolny punkt p ∈ Cf,α i posiada otoczenie za-warte w Uf,α ∪ Uf,α i.

33

Page 34: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

Dla każdego α i ∈ A oznaczmy przez Cαf,α i jednoznacznie wyznaczoną trajektorię

zawartą w Uf,α∩J(Cf,α i) (por. Twierdzenie 2.24). Zgodnie z określeniem homeomor-fizmu prostującego ϕf,α i, trajektoria Cf,α i odpowiada wartości parametru s = 0 wukładzie współrzędnych wyznaczonym przez ten homeomorfizm.

Twierdzenie 2.31 mówi, że trajektoria Cαf,α i odpowiada jednej z wartości cαf,α i,

dαf,α i w układzie współrzędnych wyznaczonym przez homeomorfizm prostujący ϕf,αw zależności od położenia tej trajektorii względem trajektorii Cf,α i Cf,α i, gdzie cαf,α i,dαf,α i są stałymi występującymi w Twierdzeniu 2.29.

Niech f t : t ∈ R oraz gt : t ∈ R będą równoważnymi topologicznie potokamihomeomorfizmów Brouwera, a Φ : R2 → R2 homeomorfizmem realizującym tę rów-noważność. Niech A będzie dopuszczalną rodziną ciągów skończonych, Cf,α : α ∈ Arodziną trajektorii, a Uf,α : α ∈ A rodziną maksymalnych obszarów prostowalnychpotoku f t : t ∈ R, które istnieją na mocy Twierdzenia 2.28. Niech ϕf,α : α ∈ A,gdzie ϕf,α : Uf,α → R2 rodziną homeomorfizmów prostujących występującą w Twier-dzeniu 2.29.

Przy pomocy homeomorfizmu Φ realizującego topologiczną równoważność poto-ków możemy wyznaczyć odpowiednie rodziny Cg,α : α ∈ A i Ug,α : α ∈ A dlapotoku gt : t ∈ R. W tym celu połóżmy Cg,α := Φ(Cf,α) oraz Ug,α := Φ(Uf,α)dla α ∈ A. Wówczas na mocy Twierdzenia 2.39, Cg,α : α ∈ A jest rodziną tra-jektorii, a Ug,α : α ∈ A rodziną maksymalnych obszarów prostowalnych potokugt : t ∈ R, dla których zachodzą warunki (2.4) - (2.9). Niech ϕg,α : α ∈ A, gdzieϕg,α : Ug,α → R2 jest rodziną homeomorfizmów prostujących opisaną w Twierdzeniu2.29.

Dla α i ∈ A+ niech

bαf,α i :=

cαf,α i, gdy Cf,α|Cα

f,α i|Cf,α i lub Cf,α = Cαf,α i,

dαf,α i, gdy |Cf,α, Cαf,α i, Cf,α i|.

(2.16)

Wówczasϕf,α(Cα

f,α i) = R× bαf,α i.

Podobnie niech

bαg,α i :=

cαg,α i, gdy Cg,α|Cα

g,α i|Cg,α i lub Cg,α = Cαg,α i,

dαg,α i, gdy |Cg,α, Cαg,α i, Cg,α i|.

(2.17)

Wtedyϕg,α(Cα

g,α i) = R× bαg,α i.

Stąd(ϕg,α Φ ϕ−1

f,α)(R× bαf,α i) = R× bαg,α i,

gdyż z Twierdzenia 2.39 otrzymujemy, że Φ(Cαf,α i) = Cα

g,α i.

34

Page 35: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

Dla klasy A− sytuacja jest analogiczna. Jedyna różnica tkwi w definicji stałychbαf,α i oraz b

αg,α i. W tym przypadku kładziemy

bαf,α i :=

dαf,α i, gdy Cf,α|Cα

f,α i|Cf,α i lub Cf,α = Cαf,α i,

cαf,α i, gdy |Cf,α, Cαf,α i, Cf,α i|.

(2.18)

oraz

bαg,α i :=

dαg,α i, gdy Cg,α|Cα

g,α i|Cg,α i lub Cg,α = Cαg,α i,

cαg,α i, gdy |Cg,α, Cαg,α i, Cg,α i|.

(2.19)

Zatem dla topologicznie równoważnych potoków Brouwera f t : t ∈ R orazgt : t ∈ R mamy

bαf,α i = cαf,α i ⇔ bαg,α i = cαg,α i, (2.20)

ponieważ każdy homeomorfizm zachowuje zdefiniowane wyżej relacje trójargumen-towe między liniami. Ponadto,

bαf,α i < bαf,α j ⇔ bαg,α i < bαg,α j (2.21)

dla α i, α j ∈ A, i 6= j, gdyż dla każdego α ∈ A homeomorfizm ϕg,α Φ ϕ−1f,α jest

silnie rosnący ze względu na drugą zmienną.Przedstawimy teraz główny wynik dotyczący zagadnienia sprzężenia topologicz-

nego potoków homeomorfizmów Brouwera.

Twierdzenie 2.40. ([A6], Theorem 3.2) Niech f t : t ∈ R oraz gt : t ∈ R będąrównoważnymi topologicznie potokami homeomorfizmów Brouwera. Załóżmy, że dlakażdego α i ∈ A istnieje funkcja ciągła γα i : Iαf,α i → R i homeomorfizm rosnącyβα i : Iαf,α i → Iαg,α i takie, że

µf,α i(s) = (µg,α i βα i)(s) + γα i(s), s ∈ Iαf,α i, (2.22)

oraz lims→bαf,α i

βα i(s) = bαg,α i, lims→bαf,α i

γα i(s) = aαg,α i dla pewnych aαg,α i ∈ R, gdzieµf,α i, µg,α i są funkcjami ciągłymi, zaś cαf,α i, d

αf,α i, c

αg,α i, d

αg,α i stałymi określonymi w

Twierdzeniu 2.29, natomiast Iαf,α i := (cαf,α i, cαf,α i+ε

αf,α i), I

αg,α i := (cαg,α i, c

αg,α i+ε

αf,α i)

w przypadku, gdy bαg,α i = cαg,α i lub Iαf,α i := (dαf,α i − εαf,α i, d

αf,α i), I

αg,α i := (dαg,α i −

εαg,α i, dαg,α i) w przypadku, gdy bαg,α i = dαg,α i dla pewnych εαf,α i > 0 oraz εαg,α i > 0,

gdzie bαf,α i oraz bαg,α i są zdefiniowane warunkami (2.16) oraz (2.17) lub (2.18) oraz

(2.19), odpowiednio. Ponadto załóżmy, że dla dowolnych α i, α j ∈ A, i 6= j, jeśliCαf,α i = Cα

f,α j oraz Cf,α i, Cf,α j są zawarte w tej samej składowej zbioru R \ Cαf,α i,

to zachodzi warunek βα i = βα j. Wówczas potoki f t : t ∈ R oraz gt : t ∈ R sąsprzężone topologicznie.

Konstrukcję homeomorfizmu realizującego sprzężenie topologiczne potoków f t :t ∈ R, gt : t ∈ R przeprowadzamy indukcyjnie. Na mocy Twierdzenia 2.39 dla

35

Page 36: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

obu potoków możemy wziąć tę samą dopuszczalną rodzinę ciągów skończonych, gdyżpotoki te są równoważne topologicznie. Dla każdej liczby naturalnej n definiujemyA+n := α ∈ A+ : |α| = n oraz A−n := α ∈ A− : |α| = n, gdzie |α| oznacza długość

ciągu α. Z definicji dopuszczalnej rodziny ciągów skończonych otrzymujemy, że jeśliA+n = ∅ dla pewnego n, to A+

m = ∅ dla wszystkich m > n. Podobnie, jeśli A−n = ∅dla pewnego n, to A−m = ∅ dla wszystkich m > n.

Z określenia homeomorfizmów prostujących wynika, że Cf,α = ϕ−1f,α(R × 0)

oraz Cg,α = ϕ−1g,α(R × 0). Dla każdego α ∈ A połóżmy Gf,α := ϕ−1

f,α(R × [0,+∞))

jeśli α ∈ A+ oraz Gf,α := ϕ−1f,α(R × (−∞, 0]) jeśli α ∈ A−. Oznaczmy przez Hf,α

składową zbioru R2 \ Cf,α zawierającą Gf,α \ Cf,α. Stąd Cf,α i ⊂ Hf,α dla każdegoα i ∈ A. Podobnie, niech Gg,α := ϕ−1

g,α(R × [0,+∞)) jeśli α ∈ A+ oraz Gg,α :=ϕ−1g,α(R × (−∞, 0]) jeśli α ∈ A−. Oznaczmy przez Hg,α składową zbioru R2 \ Cg,α

zawierającą Gg,α \ Cg,α. Wtedy Cg,α i ⊂ Hg,α dla każdego α i ∈ A.Dla każdej liczby naturalnej n takiej, że A+

n 6= ∅ definiujemy U+f,n kładąc U+

f,n :=

Gf,1 w przypadku, gdy n = 1 oraz U+f,n := U+

f,n−1 ∪⋃α∈A+

nGf,α w przypadku, gdy

n > 1. Podobnie, definiujemy U+g,n kładąc U+

g,n := Gg,1 dla n = 1 oraz U+g,n :=

U+g,n−1 ∪

⋃α∈A+

nGg,α dla n > 1. Analogicznie definiujemy U−f,n i U−g,n w przypadku,

gdy A−n 6= ∅.Przechodzimy teraz już do przedstawienia zapowiedzianego wcześniej opisu kon-

strukcji homemorfizmu realizującego sprzężenie topologiczne potoków f t : t ∈ Roraz gt : t ∈ R. Konstrukcję tę rozpoczynamy od zdefiniowania tego home-omorfizmu na obszarze prostowalnym Uf,1. Ponieważ Uf,1 = U+

f,1 ∪ Cf,1 ∪ U−f,1 i

Ug,1 = U+g,1 ∪ Cg,1 ∪ U−g,1, więc homeomorfizm zdefiniowany w pierwszym kroku kon-

strukcji będzie wykorzystany w konstrukcji homemorfizmu realizującego sprzężenietopologiczne dla obu składowych Hf,1 i Hf,−1 zbioru R2 \ Cf,1.

Następnie pokażemy jak rozszerzyć ten homeomorfizm do homeomorfizmu reali-zującego sprzężenie topologiczne rozważanych potoków określonego na Uf,1 ∪ Hf,1.Wykorzystujemy tutaj fakt, że zbiór Cf,1∪Hf,1 jest sumą wstępującego ciągu, któregowyrazami są zbiory U+

f,n. Zbiór wartości tego rozszerzenia będzie równy Ug,1 ∪Hg,1.Dla składowej Hf,−1 homeomorfizm realizujący sprzężenie topologiczne rozważanychpotoków definiujemy analogicznie.

Ponieważ Uf,1 i Ug,1 są obszarami prostowalnymi, więc istnieje homeomorfizmΨ1 : Uf,1 → Ug,1 realizujący sprzężenie topologiczne potoków f t|Uf,1 : t ∈ R orazgt|Ug,1 : t ∈ R. Homeomorfizm możemy dobrać tak, aby Ψ1(Cf,1) = Cg,1 orazΨ1(C1

f,1 i) = C1g,1 i dla 1 i ∈ A+ oraz Ψ1(C−1

f,−1 i) = C−1g,−1 i dla −1 i ∈ A−.

Ustalmy dowolną liczbę naturalną n o tej własności, że A+n+1 6= ∅. Załóżmy, że

mamy zdefiniowany homeomorfizm Ψn : U+f,n → U+

g,n realizujący sprzężenie topolo-giczne potoków f t|U+

f,n: t ∈ R oraz gt|U+

g,n: t ∈ R o tej własności, że dla każdego

α i ∈ A+ takiego, że |α| ≤ n mamy Ψn(Cf,α) = Cg,α oraz Ψn(Cαf,α i) = Cα

g,α i.Ponadto dla każdego α ∈ A+ takiego, że |α| ≤ n zacieśnienie Ψα : Gf,α → Gg,α

36

Page 37: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

homeomorfizmu Ψn do zbioru Gf,α jest postaci Ψα := ϕ−1g,α ψα (ϕf,α|Gf,α), gdzie

ψα(t, s) = (ηα + t, θα(s)), (t, s) ∈ R× [0,+∞),

przy czym θα : [0,+∞)→ [0,+∞) jest homeomorfizmem rosnącym o tej własności,że θα(bαf,α i) = bαg,α i dla α i ∈ A oraz θα zacieśnione do przedziału Iαf,α i jest równeβα i. Istnienie takiego homeomorfizmu θα wynika z warunku (2.21). Z określeniahomeomorfizmu Ψ1 mamy η1 = 0, zaś pozostałe wartości ηα dla α ∈ A+ takich, że|α| ≤ n, zostały wyznaczone w kolejnych krokach konstrukcji.

Ustalmy dowolne α i ∈ A+n+1. Oznaczmy przez (t, s) współrzędne punktów należą-

cych do Uf,α względem mapy ϕf,α oraz przez (t′, s′) współrzędne punktów należącychdo Uf,α i względem mapy ϕf,α i. Wtedy na mocy (2.11) dostajemy, że t′ = µf,α i(s)+toraz s′ = νf,α i(s) dla t ∈ R oraz s ∈ (cαf,α i, d

αf,α i). Podobnie, oznaczmy przez

(u, v) współrzędne punktów należących do Ug,α względem mapy ϕg,α oraz przez(u′, v′) współrzędne punktów należących do Ug,α i względem mapy ϕg,α i. Wówczasu′ = µg,α i(v) + u oraz v′ = νg,α i(v) dla u ∈ R, v ∈ (cαg,α i, d

αg,α i).

Zależność między współrzędnymi punktów należących do Uf,α oraz Ug,α możemywyrazić przy pomocy homeomorfizmu ψα. Warunek (u, v) = ψα(t, s) oznacza, żeu = ηα + t oraz v = θα(s) dla t ∈ R oraz s ∈ [0,+∞). Na zbiorach Uf,α ∩ Uf,α i orazUg,α ∩ Ug,α i zmieniamy układy współrzędnych. Wówczas otrzymujemy

u′ = µg,α i(βα i(ν−1f,α i(s

′))) + ηα + t′ − µf,α i(ν−1f,α i(s

′))

orazv′ = νg,α i(βα i(ν

−1f,α i(s

′))).

Korzystając z założenia naszego twierdzenia dostajemy u′ = −γα i(ν−1f,α i(s

′))+ηα+t′.Niech

ηα i(s′) := −γα i(ν−1

f,α i(s′)) + ηα

orazξα i(s

′) := νg,α i(βα i(ν−1f,α i(s

′)))

dla s′ ∈ (df,α i, 0), gdzie df,α i = νf,α i(cαf,α i + εαf,α i) lub df,α i = νf,α i(d

αf,α i −

εαf,α i). Wówczas korzystając z założenia twierdzenia otrzymujemy lims′→0 ηα i(s′) =

−aαg,α i+ηα oraz lims′→0 ξα i(s′) = 0, gdyż po zmianie układu współrzędnych warunek

s → bαf,α i oznacza, że s′ → 0. Zatem funkcję φαα i : R × (df,α i, 0) → R × (dg,α i, 0)

określoną wzoremφαα i(t

′, s′) := (ηα i(s′) + t′, ξα i(s

′))

możemy przedłużyć do homeomorfizmu określonego na R×(df,α i, 0] kładąc ηα i(0) :=−aαg,α i + ηα oraz ξα i(0) := 0.

Po zmianie układów współrzędnych zacieśnienie homeomorfizm Ψα do obszaruGf,α ∩ Uf,α i ma postać

Ψα|Gf,α∩Uf,α i= ϕ−1

g,α φαα i (ϕf,α|Gf,α∩Uf,α i).

37

Page 38: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

Zatem przedłużając homeomorfizm φαα i otrzymujemy przedłużenie homeomorfizmuΨα na Gf,α ∪ Cf,α i, które przekształca Cf,α i na Cg,α i, gdyż ξα i(0) = 0.

Definiujemy Ψα i : Gf,α i → Gg,α i wzorem Ψα i := ϕ−1g,α iψα i(ϕf,α i|Gf,α i

), gdzie

ψα i(t, s) = (ηα i + t, θα i(s)), (t, s) ∈ R× [0,+∞),

przy czym ηα i := ηα i(0), natomiast θα i : [0,+∞)→ [0,+∞) jest homeomorfizmemrosnącym o tej własności, że θα i(bα if,α i j) = bα ig,α i j dla α i j ∈ A oraz θα i zacieśnionedo przedziału I α if,α i j jest równe βα i j.

Rozszerzenie homeomorfizmu Ψn na zbiór U+f,n+1 definiujemy w następujący spo-

sóbΨn+1(p) :=

Ψn(p), p ∈ U+

f,n,

Ψα i(p), p ∈ Gf,α i, α i ∈ A+n+1.

Wówczas Ψn+1 jest homeomorfizmem realizującym sprzężenie topologiczne potokówf t|U+

f,n+1: t ∈ R oraz gt|U+

g,n+1: t ∈ R.

Omówienie wyników dotyczących topologicznego sprzężenia potoków homeomor-fizmów Brouwera kończymy twierdzeniem, które mówi, że założenia wykorzystywaneprzy konstruowaniu homeomorfizmu realizującego sprzężenie topologiczne są warun-kami koniecznymi istnienia takiego homeomorfizmu.

Twierdzenie 2.41. ([A6], Proposition 3.3) Niech f t : t ∈ R oraz gt : t ∈ Rbędą sprzężonymi topologicznie potokami Brouwera. Wówczas dla każdego α i ∈ Aistnieje funkcja ciągła γα i : Iαf,α i → R i homeomorfizm rosnący βα i : Iαf,α i → Iαg,α itakie, że zachodzi warunek (2.22), tj.

µf,α i(s) = (µg,α i βα i)(s) + γα i(s), s ∈ Iαf,α i,

gdzie µf,α i, µg,α i, cαf,α i, dαf,α i, c

αg,α i, d

αg,α i są określone w Twierdzeniu 2.29, oraz

Iαf,α i := (cαf,α i, cαf,α i + εαf,α i), I

αg,α i := (cαg,α i, c

αg,α i + εαf,α i) w przypadku, gdy bαg,α i =

cαg,α i lub Iαf,α i := (dαf,α i − εαf,α i, d

αf,α i), I

αg,α i := (dαg,α i − εαg,α i, d

αg,α i) w przypadku,

gdy bαg,α i = dαg,α i dla pewnych εαf,α i > 0 oraz εαg,α i > 0, gdzie bαf,α i, bαg,α i są zdefi-

niowane warunkami (2.16) oraz (2.17) lub (2.18) oraz (2.19), odpowiednio. Ponadtolims→bα

f,α iβα i(s) = bαg,α i, lims→bα

f,α iγα i(s) = aαg,α i dla pewnego aαg,α i ∈ R.

W zaprezentowanym poniżej szkicu dowodu powyższego twierdzenia pokażemyjak przy założeniu, że rozważane potoki są sprzężone topologicznie zdefiniować funk-cje γα i oraz βα i. Niech Cf,α : α ∈ A, Uf,α : α ∈ A, ϕf,α : α ∈ A orazCg,α : α ∈ A, Ug,α : α ∈ A, ϕg,α : α ∈ A będą wyżej opisanymi rodzinami.Oznaczmy przez (t, s) współrzędne punktów należących do Uf,α względem home-omorfizmu ϕf,α oraz przez (u, v) współrzędne punktów należących do Ug,α względemhomeomorfizmu ϕg,α. Niech Φ : R2 → R2 będzie homeomorfizmem realizującymsprzężenie topologiczne potoków. Ustalmy dowolny ciąg skończony α i ∈ A. Rozwa-żać będziemy przypadek, gdy bαg,α i = cαg,α i (drugi z przypadków jest podobny).

38

Page 39: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

Podobnie jak w dowodzie Twierdzenia 2.40 znajdujemy εαf,α i > 0 takie, że prze-dział (cαf,α i, c

αf,α i + εαf,α i) nie zawiera żadnej z liczb bαf,α j dla α j ∈ A. Oznaczmy

przez φαα i zacieśnienie funkcji ϕg,α Φϕ−1f,α do zbioru R× (cαf,α i, c

αf,α i+εαf,α i). Wów-

czas φαα i : R× (cαf,α i, cαf,α i + εαf,α i)→ R× (cαg,α i, c

αg,α i + εαg,α i) oraz (u, v) = φαα i(t, s).

Definiujemy funkcję βα i : (cαf,α i, cαf,α i + εαf,α i)→ (cαg,α i, c

αg,α i + εαg,α i) wzorem

βα i(s) = v.

Wówczas βα i jest homeomorfizmem rosnącym, gdyż Φ jest homeomorfizmem prze-kształcającym trajektorie potoku f t : t ∈ R na trajektorie potoku gt : t ∈ Roraz Φ(Cα

f,α i) = Cαg,α i.

Niech Kf,α := ϕ−1f,α(0 × R) oraz Kf,α i := ϕ−1

f,α i(0 × R). Wtedy dla każdegos ∈ (cαf,α i, c

αf,α i + εαf,α i) wartość µf,α i(s) wyraża czas potrzebny na to, aby wzdłuż

trajektorii ϕ−1f,α(R×s) potoku f t : t ∈ R dotrzeć od cięcia Kf,α i do cięcia Kf,α .

Połóżmy Lg,α := Φ(Kf,α) oraz Lg,α i := Φ(Kf,α i). Wówczas Lg,α jest cięciem w Ug,αoraz Lg,α i jest cięciem w Ug,α i, gdyż Φ jest homeomorfizmem przekształcającymtrajektorie potoku f t : t ∈ R na trajektorie potoku gt : t ∈ R. Korzystając zzałożenia, że Φ : R2 → R2 realizuje sprzężenie topologiczne potoków otrzymujemy,że dla każdego s ∈ (cαf,α i, c

αf,α i + εαf,α i) wartość µf,α i(s) wyraża czas potrzebny na

to, aby wzdłuż trajektorii ϕ−1g,α(R × βα i(s)) potoku gt : t ∈ R dotrzeć od cięcia

Lg,α i do cięcia Lg,α, gdyż v = βα i(s).Niech Kg,α := ϕ−1

g,α(0 × R) oraz Kg,α i := ϕ−1g,α i(0 × R). Dla każdego

s ∈ (cαf,α i, cαf,α i + εαf,α i) oznaczmy przez τg,α(s) czas potrzebny na to, aby wzdłuż

trajektorii ϕ−1g,α(R × βα i(s)) potoku gt : t ∈ R dotrzeć od cięcia Kg,α do cięcia

Lg,α oraz przez τg,α i(s) czas potrzebny na to, aby wzdłuż tej samej trajektorii dotrzećod cięcia Kg,α i do cięcia Lg,α i. Wówczas dla każdego s ∈ (cαf,α i, c

αf,α i + εαf,α i) mamy

µg,α i(βα i(s)) = µf,α i(s) + τg,α i(s)− τg,α(s).

Definiujemy funkcję γα i : (cαf,α i, cαf,α i + εαf,α i)→ R wzorem

γα i(s) := τg,α(s)− τg,α i(s), s ∈ (cαf,α i, cαf,α i + εαf,α i).

Wtedyµf,α i(s) = (µg,α i βα i)(s) + γα i(s)

dla każdego s ∈ (cαf,α i, cαf,α i + εαf,α i).

39

Page 40: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

Rozdział 3

Omówienie pozostałych osiągnięćnaukowych

Celem tego rozdziału jest przedstawienie zarysu moich zainteresowań naukowychi prowadzonych badań na podstawie krótkiego opisu wyników pochodzących z pracpowstałych po doktoracie, które nie wchodzą w skład wskazanego osiągnięcia nauko-wego. Uzyskane wyniki zostały pogrupowane ze względu na rozważane zagadnienia.W pierwszej części tego rozdziału znajdują się wyniki uzupełniające dotyczące home-omorfizmów Brouwera, które nie weszły do zasadniczego rozdziału tego opracowaniapoświęconego omówieniu wskazanego osiągnięcia naukowego. W drugiej zaś częścitego rozdziału przedstawione zostały wyniki z innych obszarów moich badań. Roz-dział ten nie zawiera omówienia prac przeglądowych [B18], [B20] i [B23].

3.1 Homeomorfizmy Brouwera - wyniki uzupełnia-jące

Wyniki zamieszczone w tej części tego rozdziału opisują wybrane własności home-omorfizmów Brouwera zanurzalnych w potok. W szczególności, przedstawione zo-stały wyniki dotyczące homeomorfizmów Spernera i homeomorfizmów Reeba, któreto klasy homeomorfizmów dostarczają najprostszych przykładów homeomorfizmówBrouwera.

3.1.1 Pierwiastki iteracyjne homeomorfizmów Spernera

W pracy [B7] wyznaczono wszystkie ciągłe rozwiązania g równania

gn(x) = f(x) dla x ∈ R2, (3.1)

gdzie n ∈ Z, n > 1, a f jest homeomorfizmem płaszczyzny na siebie spełniającymwarunek

40

Page 41: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

(S) dla każdego zbioru JordanaB zbiór fm(B) jest rozłączny zB dla prawie wszyst-kich m ∈ Z,

gdzie przez zbiór Jordana rozumiemy sumę krzywej Jordana i ograniczonej składowejjej dopełnienia.

Homeomorfizm płaszczyzny na siebie f spełniający warunek (S) nazywamy ho-meomorfizmem Spernera. Warunek (S) możemy również rozpatrywać na dowolnymniezmienniczym zbiorze jednospójnym H, w tym przypadku w warunku (S) bierzemyB ⊂ H. Mówimy wtedy o homeomorfizmie Spernera na H.

Z warunku (S) wynika bezpośrednio, że f nie ma punktów stałych. Homeomorfizmspełniający warunek (S) może zachowywać lub zmieniać orientację. HomeomorfizmSpernera zachowujący orientację jest więc homeomorfizmem Brouwera.

Emanuel Sperner [105] wykazał twierdzenie, które mówi, że jeśli homeomorfizmBrouwera f ma własność (S), to jest on sprzężony topologicznie z translacją o wektor(1, 0) (zob. [105], Satz 27). Ponieważ warunek (S) zachodzi w przypadku, gdy f jesttranslacją, twierdzenie odwrotne jest również prawdziwe.

D. Betten [13] udowodnił, że zmieniający orientację homeomorfizm płaszczyznyna siebie spełnia warunek (S) wtedy i tylko wtedy, gdy jest sprzężony topologiczniez symetrią z poślizgiem S1 daną wzorem

S1(x1, x2) = (x1 + 1,−x2) dla (x1, x2) ∈ R2. (3.2)

Symetria z poślizgiem S1 odgrywa tutaj podobną rolę jak translacja o wektor (1, 0)dla zachowujących orientację homeomorfizmów Spernera, gdyż jeśli homeomorfizmpłaszczyzny f jest sprzężony topologicznie z pewną symetrią z poślizgiem, to jest onsprzężony topologicznie z S1 (por. [B7], Lemma 1).

Prezentację wyników dotyczących równania (3.1) rozpoczniemy od twierdzenia,które mówi, że klasa homeomorfizmów Spernera jest zamknięta ze względu na ope-rację wyznaczania pierwiastków iteracyjnych w klasie funkcji ciągłych.

Twierdzenie 3.1. ([B7], Proposition 3) Niech f będzie homeomorfizmem płaszczyznyna siebie, g jest funkcją ciągłą oraz gn = f dla pewnego n ∈ Z, n > 1. Wówczas, jeślif spełnia warunek (S), to g jest homeomorfizmem płaszczyzny na siebie spełniającymwarunek (S).

Postać wszystkich ciągłych pierwiastków iteracyjnych homeomorfizmu Sperneraopisują następujące dwa twierdzenia.

Twierdzenie 3.2. ([B7], Theorem 3) Niech f będzie zachowującym orientację ho-meomorfizmem Spernera. Wtedy

(a) dla dowolnego parzystego n ∈ Z, n > 0 funkcja g jest ciągłym rozwiązaniemrównania (3.1) wtedy i tylko wtedy, gdy wyraża się jednym z następującychwzorów

g = ϕ−1 T 1n ϕ (3.3)

41

Page 42: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

lubg = ϕ−1 S 1

n ϕ, (3.4)

gdzie ϕ jest homeomorficznym rozwiązaniem równania Abela

ϕ(f(x)) = ϕ(x) + (1, 0) dla x ∈ R2, (3.5)

zaś T 1n, S 1

nmają odpowiednio postać

T 1n(x1, x2) := (x1 +

1

n, x2) dla (x1, x2) ∈ R2, (3.6)

S 1n(x1, x2) := (x1 +

1

n,−x2) dla (x1, x2) ∈ R2. (3.7)

(b) dla dowolnego nieparzystego n ∈ Z, n > 1, funkcja g jest ciągłym rozwiązaniemrównania (3.1) wtedy i tylko wtedy, gdy wyraża się wzorem (3.3), gdzie ϕ jesthomeomorficznym rozwiązaniem równania (3.5), a T 1

njest dane wzorem (3.6).

Twierdzenie 3.3. ([B7], Theorem 4) Niech f będzie zmieniającym orientację home-omorfizmem Spernera, n nieparzystą liczbą naturalną większą od 1. Wtedy funkcja gjest ciągłym rozwiązaniem równania (3.1) wtedy i tylko wtedy, gdy wyraża się wzorem(3.4), gdzie ϕ jest homeomorficznym rozwiązaniem równania

ϕ(f(x)) = S0(ϕ(x)) + (1, 0) dla x ∈ R2, (3.8)

a S 1njest dane wzorem (3.7).

W przypadku, gdy n jest parzyste nie istnieją rozwiązania równania (3.1) przyzałożeniu, że f zmienia orientację (zob. [B7], Remark 3).

Bezpośrednia konstrukcja ciągłych rozwiązań równania (3.1) przedstawiona zo-stała w pracy [B5] (zob. [B5], Theorem 1 i Theorem 2). Konstrukcja ta oparta jestna warunku

(B) istnieje linia K (tj. homeomorficzny obraz prostej domknięty na płaszczyźnie)taka, że

K ∩ f(K) = ∅, (3.9)U0 ∩ f(U0) = ∅, (3.10)⋃n∈Z

fn(U0) = R2, (3.11)

gdzie U0 = M0 ∪ f(K), a M0 jest pasem pomiędzy K i f(K).

Warunek ten jest bowiem równoważny warunkowi (S) dla dowolnego homeomorfizmupłaszczyzny na siebie (zob. [B1], Theorem 1 oraz [B7], Theorem 2).

W pracy [B5] omówiono również zagadnienie doboru linii K występującej w wa-runku (B) przy konstruowania rozwiązań równania (3.1). Problem pojawia się zewzględu na to że, dla homeomorfizmów Spernera f , g, dla których zachodzi f = gn

dla pewnej liczby naturalnej n > 1 oraz liniiK występującej w warunku (B), warunekK ∩ g(K) = ∅ może nie być spełniony.

42

Page 43: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

3.1.2 Relacja współzbieżności do nieskończoności dla home-omorfizmu Brouwera zanurzalnego w potok

W podrozdziale tym omówimy wyniki pochodzące z prac [B8], [B9], [B12]. Dotycząone relacji współzbieżności do nieskończoności określonej dla ustalonego homeomor-fizmu Brouwera. Definicja i wybrane własności tej relacji zostały omówione w zasad-niczej części tego opracowania. Przedstawione tutaj wyniki zostały wykazane przyzałożeniu, że homeomorfizm Brouwera jest zanurzalny w potok.

W pracy [B8] przedstawione zostały podstawowe własności relacji współzbieżno-ści do nieskończoności. Najważniejsza z tych własności dotyczy trajektorii zawartychw tej samej klasie abstrakcji.

Twierdzenie 3.4. ([B8], Proposition 2.2) Niech f będzie homeomorfizmem Brouwerazanurzalnym w potok f t : t ∈ R. Niech C1, C2 będą różnymi trajektoriami tegopotoku. Jeśli C1, C2 są zawarte w tej samej klasie abstrakcji relacji współzbieżnoścido nieskończoności, to każdy punkt pasa pomiędzy C1 i C2 należy do tej klasy.

W następnym podrozdziale przedstawimy natomiast wynik z pracy [B10] do-tyczący pasa pomiędzy trajektoriami leżącymi w różnych klasach abstrakcji relacjiwspółzbieżności do nieskończoności (zob. Twierdzenie 3.13).

Praca [B8] zawiera również wynik mówiący, że zacieśnienie każdego elementupotoku homeomorfizmów Brouwera różnego od identyczności do dowolnej klasy abs-trakcji G0 o niepustym wnętrzu jest homeomorfizmem Spernera na G0.

Twierdzenie 3.5. ([B8], Theorem 3.1) Niech f będzie homeomorfizmem Brouwerazanurzalnym w potok f t : t ∈ R. Niech G0 będzie klasą abstrakcji, która nie składasię tylko z jednej trajektorii tego potoku. Wówczas zacieśnienie f |G0 homeomorfizmuf do G0 jest homeomorfizmem Spernera na G0.

W pracy [B9] można znaleźć kolejne własności relacji współzbieżności do nie-skończoności. W wypowiedzi pierwszego z prezentowanych tu wyników występujetrójargumentowa relacja określona w zbiorze trajektorii potoku (definicja tej relacjiznajduje się w zasadniczej części tego opracowania). Jest on rozszerzeniem jednegoz wyników pracy [B8] (por. [B8], Lemma 2.1).

Twierdzenie 3.6. ([B9], Proposition 2.1) Niech f będzie homeomorfizmem Brouwerazanurzalnym w potok f t : t ∈ R. Dla dowolnych różnych między sobą trajektoriiC1, C2, C3 potoku f t : t ∈ R, jeśli | C1, C2, C3|, to każda z tych trajektorii jestzawarta w innej klasie abstrakcji relacji współzbieżności do nieskończoności.

Następny z omawianych wyników tej pracy dotyczy trajektorii punktów należą-cych do brzegu klas abstrakcji relacji współzbieżności do nieskończoności.

Twierdzenie 3.7. ([B9], Proposition 2.3) Niech f będzie homeomorfizmem Brouwerazanurzalnym w potok f t : t ∈ R. Niech G0 będzie klasą abstrakcji relacji współzbież-ności do nieskończoności oraz niech p ∈ G0 ∩ bdG0. Wówczas trajektoria Cp punktup zawiera się w G0 ∩ frG0.

43

Page 44: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

Korzystając z Twierdzeń 3.6 i 3.7 wykazujemy wynik opisujący brzeg dowolnejklasy abstrakcji tej relacji.

Twierdzenie 3.8. ([B9], Proposition 2.4, Corollary 2.7) Niech f będzie homeomor-fizmem Brouwera zanurzalnym w potok f t : t ∈ R. Dla dowolnej klasy abstrakcjiG relacji współzbieżności do nieskończoności jej brzeg jest sumą trajektorii potokuf t : t ∈ R. Ponadto, klasa abstrakcji G może zawierać co najwyżej dwie trajektoriezawarte w jej brzegu.

Praca [B9] zawiera również wynik, który rozszerza Twierdzenie 3.5.

Twierdzenie 3.9. ([B9], Theorem 4.2) Niech f będzie homeomorfizmem Brouwerazanurzalnym w potok f t : t ∈ R. Dla każdej klasy abstrakcji G0 relacji współ-zbieżności do nieskończoności istnieje obszar jednospójny H niezmienniczy względemf t : t ∈ R taki, że G0 ⊂ H i f |H jest homeomorfizmem Spernera na H.

Praca [B12] zawiera dalsze wyniki opisujące własności trajektorii zawartych wbrzegu klas abstrakcji relacji współzbieżności do nieskończoności dla homeomorfi-zmów Brouwera zanurzalnych w potok.

W pracy tej wykazane zostało, że jeśli p należy do brzegu pewnej klasy abstrakcjiG0, to dla każdej klasy abstrakcji G takiej, że G\Cp 6= ∅, gdzie Cp oznacza trajektoriępunktu p, zbiór clG \ Cp jest zawarty w jednej ze składowych zbioru R2 \ Cp (zob.[B12], Corollary 4).

Głównym wynikiem tej pracy jest następujące twierdzenie.

Twierdzenie 3.10. ([B12], Theorem 6) Niech f będzie homeomorfizmem Brouwerazanurzalnym w potok f t : t ∈ R. Niech G0 będzie klasą abstrakcji, która nie jestpojedynczą trajektorią oraz niech p ∈ bdG0. Wówczas dla każdej klasy abstrakcjiG 6= G0 zawartej w składowej zbioru R2 \Cp zawierającej clG0 \Cp zachodzi warunekp 6∈ bdG.

Z powyższego twierdzenia otrzymujemy dwa wnioski opisujące własności trajek-torii brzegowych klas abstrakcji badanej relacji. Pierwszy z nich mówi, że dla każdegopunktu p, jeśli klasa zawierająca punkt p nie jest pojedynczą trajektorią, to p możenależeć do brzegu co najwyżej dwu klas, gdyż w każdej ze składowych dopełnieniatrajektorii punktu p może być zawarta co najwyżej jedna klasa abstrakcji zawie-rająca w swym brzegu punkt p (zob. [B12], Corollary 7). Natomiast drugi z nichdotyczy punktu, którego trajektoria sama tworzy klasę abstrakcji. Wówczas punktten może należeć do brzegu co najwyżej trzech klas - klasy równej trajektorii tegopunktu i co najwyżej po jednej z klas zawartych w każdej ze składowych dopełnieniatej trajektorii (zob. [B12], Corollary 7).

44

Page 45: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

3.1.3 Maksymalne obszary prostowalne potoku homeomorfi-zmów Brouwera

W podrozdziale tym omówimy wyniki pochodzące z prac [B6], [B10], [B11]. Zawie-rają one wyniki opisujące własności maksymalnych obszarów prostowalnych. Defi-nicja maksymalnego obszaru prostowalnego i najważniejsze twierdzenia dotyczącedotyczące obszarów prostowalnych znajdują się w głównej części tego opracowania.

W pracy [B6] badane były pewne potoki homeomorfizmów Brouwera, które nie sąsprzężone topologicznie z potokiem translacji. Celem tych badań było wyznaczeniezwiązku pomiędzy homeomorfizmami, które realizują sprzężenie topologiczne z poto-kiem translacji na obszarach prostowalnych mających niepuste przecięcie. Otrzymanapostać odwzorowania przejścia pomiędzy homeomorfizmami realizującymi sprzęże-nie została później przeniesiona na przypadek dowolnego potoku homeomorfizmówBrouwera, który został omówiony w głównej części tego opracowania.

Najprostszą strukturę trajektorii spośród potoków, które nie są sprzężone topolo-gicznie z potokiem translacji mają potoki Reeba. Definiujemy je korzystając z pojęciatopologicznej równoważności potoków. Niech

P0 := (x, y) ∈ R2 : x > 0, y > 0,P1 := (x, y) ∈ R2 : x < 0, y > 0,P2 := (x, y) ∈ R2 : x > 0, y < 0,Lx := (x, 0) ∈ R2 : x > 0,Ly := (0, y) ∈ R2 : y > 0

oraz H := P0 ∪ P1 ∪ P2 ∪ Lx ∪ Ly. Mówimy, że potok homeomorfizmów Brouweraf t : t ∈ R jest potokiem Reeba jeśli jest on topologicznie równoważny potokowiht : t ∈ R, gdzie dla każdego t ∈ R homeomorfizm ht : H → H jest określonywzorem

ht(x, y) :=

(2tx, 2−ty) dla (x, y) ∈ P0 ∪ Lx ∪ Ly,(x, 2−ty) dla (x, y) ∈ P1,(2tx, y) dla (x, y) ∈ P2.

Z powyższej definicji otrzymujemy istnienie wzajemnej odpowiedniości międzytrajektoriami potoków f t : t ∈ R oraz ht : t ∈ R, ponieważ homeomorfizmrealizujący równoważność topologiczną przekształca trajektorie jednego z potokówna trajektorie drugiego z nich. Dowolny homeomorfizm Brouwera będący elementempotoku Reeba posiada trzy klasy abstrakcji relacji współzbieżności do nieskończościodpowiadające odpowiednio zbiorom P0, P1 ∪ Ly, P2 ∪ Lx, z których pierwsza jestzbiorem otwartym, a pozostałe dwa są zbiorami domkniętymi. Ogólnie, homeomor-fizm Brouwera posiadający dokładnie trzy klasy abstrakcji relacji współzbieżnoścido nieskończości nazywamy homeomorfizmem Reeba. W rozdziale tym rozważamyjedynie homeomorfizmy Reeba zanurzalne w potok.

45

Page 46: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

Trajektorie potoku f t : t ∈ R odpowiadające zbiorom Lx oraz Ly poprzezhomeomorfizm realizujący topologiczną równoważność są trajektoriami brzegowymiklas abstrakcji i zawierają się w pierwszym przedłużeniu granicznym tego potoku.Potok Reeba posiada dwa maksymalne obszary prostowalne odpowiadające zbioromP1∪Ly ∪P0, P2∪Lx∪P0, z których każdy jest sumą dwóch klas abstrakcji. Ponadtokażda z trajektorii odpowiadających zbiorom Lx oraz Ly stanowi brzeg jednego ztych obszarów prostowalnych i zawiera się w drugim z nich.

Przedstawienie wyniku dotyczącego potoków Reeba poprzedzimy twierdzeniemopisującym postać potoków zawierających homeomorfizm Spernera.

Twierdzenie 3.11. ([B3], Theorem 1) Niech D ⊂ R2 będzie obszarem jednospójnym.Wówczas potok f t : t ∈ R określony na D jest sprzężony topologicznie z potokiemtranslacji wtedy i tylko wtedy, gdy f 1 jest homeomorfizmem Spernera na D.

Innymi słowy, każdy potok f t : t ∈ R taki, że f 1 jest homeomorfizmem Sperneramożna opisać wzorem

f t(x) = ϕ−1(ϕ(x) + (t, 0)) dla x ∈ D, t ∈ R, (3.12)

gdzie ϕ : D → R2 jest homeomorficznym rozwiązaniem równania Abela, czyli rów-nania (3.5). Homeomorficzne rozwiązania tego równania zależą od funkcji określonejna odpowiednio dobranym pasie, a ich konstrukcja została opisana w pracy [B1].Ponadto, z warunku (3.12) otrzymujemy, że każdy element tego potoku różny odidentyczności jest homeomorfizmem Spernera, ponieważ istnienie homeomorficznegorozwiązania równania (3.5) jest równoważne warunkowi (S). Stąd, jeśli f t : t ∈ Rjest potokiem homeomorfizmów Brouwera, to dla każdego t ∈ R \ 0 element f t|Hpotoku f t|H : t ∈ R, gdzie H jest obszarem prostowalnym występującym w Twier-dzeniu 3.9, jest homeomorfizmem Spernera.

W sformułowaniach wyników zawartych w pracy [B6] wykorzystywane są dia-gramy Kaplana (zob. Beck [19], Rozdział 11). Dla każdego potoku f t : t ∈ R ho-meomorfizmów Brouwera można bowiem wyznaczyć diagram Kaplana zawierającyuogólnione wielokąty (dopuszczamy nieskończoną liczbę boków) wpisane w okrąg icięciwy równoległe do boków tych wielokątów odpowiadające trajektoriom potoku.Cięciwy te (wliczając boki uogólnionych wielokątów) odpowiadają trajektoriom tegopotoku z jednym wyjątkiem. Mianowicie, każdy z tych uogólnionych wielokątów madokładnie jeden bok, który nie odpowiada żadnej z trajektorii potoku. Dla potokuReeba diagram Kaplana ma tylko jeden uogólniony wielokąt, którym jest trójkąt.Każdy z odcinków koła wyciętych przez boki tego trójkąta odpowiada jednej klasieabstrakcji relacji współzbieżności do nieskończoności, przy czym jedna z nich jestzbiorem otwartym, a pozostałe dwie są zbiorami domkniętymi.

Przedstawimy teraz twierdzenie o postaci potoków Reeba (w pracy [B6] badanebyły też dwa typy potoków o 5 klasach abstrakcji relacji współzbieżności do nieskoń-czoności).

46

Page 47: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

Twierdzenie 3.12. ([B6], Theorem 1) Niech f t : t ∈ R będzie potokiem Reeba.Oznaczmy przez G0 tę klasę abstrakcji relacji współzbieżności do nieskończoności,która jest zbiorem otwartym, a przez G1, G2 pozostałe dwie klasy abstrakcji. Wówczasistnieją homeomorfizmy ϕ1, ϕ2 odwzorowujące odpowiednio G0 ∪G1, G0 ∪G2 na R2

takie, że

f t(x) =

ϕ−1

1 (ϕ1(x) + (t, 0)), x ∈ G0 ∪G1,ϕ−1

2 (ϕ2(x) + (t, 0)), x ∈ G0 ∪G2,(3.13)

a funkcja ψ = ϕ2 (ϕ1|G0)−1 : ϕ1(G0) −→ ϕ2(G0) ma postać

ψ(x, y) = (x+ α(y), β(y)), (x, y) ∈ ϕ1(G0), (3.14)

gdzie α : (0,+∞) → R jest odwzorowaniem ciągłym, zaś β jest homeomorfizmemprzedziału (0,+∞) na siebie.

Postać (3.13) otrzymujemy z Twierdzenia 3.11 zastosowanego do obszarów jed-nospójnych G0 ∪G1 i G0 ∪G2. Rozwiązując odpowiednie równanie funkcyjne otrzy-mujemy następnie (3.14).

W pracy [B10] badano obszary prostowalne potoku homeomorfizmów Brouwerakorzystając z własności klas abstrakcji relacji współzbieżności do nieskończonościzawartych w tych obszarach.

Omówienie wyników tej pracy rozpoczniemy od zaanonsowanego w poprzednimpodrozdziale twierdzenia, które mówi, że w pasie pomiędzy trajektoriami punktównależących do różnych klas abstrakcji można znależć punkt nie należący do żadnej ztych klas.

Twierdzenie 3.13. ([B10], Theorem 2.2) Niech f będzie homeomorfizmem Brouwerazanurzalnym w potok f t : t ∈ R. Niech punkty p, q należą odpowiednio do różnychklas abstrakcji G1, G2 relacji współzbieżności do nieskończoności. Wówczas istniejepunkt r leżący w pasie Dpq pomiędzy trajektoriami Cp i Cq punktów p i q taki, żer 6∈ G1 ∪G2.

Korzystając z tego twierdzenia wykazujemy zamieszczony poniżej główny wynikpracy [B10] związany z istnieniem wspólnych trajektorii brzegowych klas abstrakcjizawartych w tym samym obszarze prostowalnym.

Twierdzenie 3.14. ([B10], Theorem 3.3) Niech M0 będzie obszarem prostowalnympotoku homeomorfizmów Brouwera, a G1, G2 klasami abstrakcji relacji współzbież-ności do nieskończoności. Załóżmy, że G1 ∪G2 ⊂M0 oraz bdG1 ∩ bdG2 6= ∅. Niechp ∈ G1, q ∈ G2. Wówczas istnieje punkt z ∈ Dpq taki, że z ∈ bdM0, gdzie Dpq

oznacza pas między trajektoriami Cp, Cq punktów p, q. Ponadto, z 6∈ G1 ∪G2.

Praca [B11] zawiera wyniki dotyczące maksymalnych obszarów prostowalnychpotoku homeomorfizmów Brouwera. Do opisu brzegu tych obszarów wykorzystuje

47

Page 48: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

się pojęcie pierwszego przedłużenia granicznego potoku. Jeśli bowiemM jest maksy-malnym obszarem prostowalnym, to J(M) = bdM (zob. McCann [86], Proposition2.6).

Omówienie wyników tej pracy rozpoczniemy od następującego wyniku wykorzy-stywanego w zasadniczej części tego opracowania.

Twierdzenie 3.15. ([B11], Corollary 2) Niech M będzie obszarem prostowalnymoraz p ∈ bdM . Wówczas zbiór clM \Cp jest zawarty w jednej ze składowych zbioruR2 \ Cp.

Następny z zamieszczonych tu wyników pokazuje, że zależność pomiędzy pojęciemmaksymalnego obszaru prostowalnego a relacją współzbieżności do nieskończonościpokazana na przykładzie potoku Reeba zachodzi dla każdego potoku homeomorfi-zmów Brouwera.

Twierdzenie 3.16. ([B11], Theorem 4) Niech f t : t ∈ R będzie potokiem home-omorfizmów Brouwera. Wówczas każdy maksymalny obszar prostowalny M potokuf t : t ∈ R jest sumą klas abstrakcji relacji współzbieżności do nieskończoności.

Kolejny z prezentowanych tu wyników tej pracy implikuje, że punkty wewnętrzneklas abstrakcji nie mogą należeć do brzegu maksymalnych obszarów prostowalnych.

Twierdzenie 3.17. ([B11], Proposition 5) Niech f t : t ∈ R będzie potokiem ho-meomorfizmów Brouwera. Jeśli q należy do wnętrza pewnej klasy abstrakcji relacjiwspółzbieżności do nieskończoności, to q 6∈ J(R2).

Warto zaznaczyć tutaj, że twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Przykładhomeomorfizmu Brouwera zanurzalnego w potok, dla którego istnieją punkty nale-żące do brzegu pewnej klasy abstrakcji i nie będące elementami zbioru J(R2) możnaznaleźć w pracy R. McCanna (zob. [86], Example 3.10).

Na mocy Twierdzenia 3.17 otrzymujemy, że każdy punkt zbioruM ∩J(bdM) na-leży do brzegu pewnej klasy abstrakcji zawartej w M . Zbiór J(bdM) może równieżzawierać punkty nie należące doM , czyli punkty brzegu maksymalnego obszaru pro-stowalnego M mogą również należeć do pierwszego przedłużenia granicznego punk-tów nie należących doM . Przedstawiony poniżej wynik mówi, że może się to zdarzyćjedynie wtedy, gdy orbita brzegowa sama stanowi klasę abstrakcji.

Twierdzenie 3.18. ([B11], Proposition 8) Niech f t : t ∈ R będzie potokiem ho-meomorfizmów Brouwera. Niech M będzie maksymalnym obszarem prostowalnym,p ∈ bdM . Niech G0 będzie klasą abstrakcji zawierającą p, która nie jest pojedynczątrajektorią. Wówczas p 6∈ J(q) dla dowolnego q należącego do składowej zbioru R2\Cpnie zawierającej M .

48

Page 49: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

3.1.4 Pierwsze przedłużenie graniczne potoku homeomorfi-zmów Brouwera

W podrozdziale tym omówimy wyniki pochodzące z prac [B13], [B16] i [B19]. Do-tyczą one głównie związku pomiędzy pierwszym przedłużeniem granicznym potokuhomeomorfizmów Brouwera f t : t ∈ R, a klasami abstrakcji relacji współzbieżnoścido nieskończoności określonej dla homeomorfizmu Brouwera f będącego elementemtego potoku. Pokażemy również, że pierwsze przedłużenie graniczne potoku home-omorfizmów Brouwera jest równe zbiorowi punktów silnie osobliwych dowolnego ho-meomorfizmu Brouwera należącego do tego potoku.

Przypomnijmy, że na mocy Twierdzenia 3.17, punkty wewnętrzne klas abstrak-cji nie mogą należeć do pierwszego przedłużenia granicznego. W podrozdziale tymprzedstawimy wynik mówiący, że suma wnętrz klas abstrakcji rozważanej relacji jestrówna zbiorowi punktów regularnych homeomorfizmu Brouwera będącego elemen-tem rozważanego potoku, więc w sposób naturalny pojawia się pytanie o związekpierwszego przedłużenia granicznego ze zbiorem punktów osobliwych.

W pracy [B13] opisujemy własności punktów należących do pierwszego przedłu-żenia granicznego przy pomocy relacji współzbieżności do nieskończoności. Rozpo-czynamy od wyniku, w którym z założenia q ∈ J(p) otrzymujemy, że p oraz q należądo brzegu tej samej klasy abstrakcji relacji współzbieżności do nieskończoności.

Twierdzenie 3.19. ([B13], Theorem 2.1) Niech f t : t ∈ R będzie potokiem ho-meomorfizmów Brouwera. Niech G0 będzie klasą abstrakcji, która nie jest pojedynczątrajektorią. Niech p ∈ bdG0, zaś H0 będzie składową zbioru R2 \ Cp zawierającąclG0 \ Cp. Wówczas dla każdego q ∈ H0, jeśli q ∈ J(p), to q ∈ clG0.

Przy dodatkowym założeniu o położeniu punktów należących do brzegu rozwa-żanej klasy abstrakcji, Twierdzenie 3.19 można odwrócić.

Twierdzenie 3.20. ([B13], Theorem 3.2) Niech f t : t ∈ R będzie potokiem ho-meomorfizmów Brouwera. Niech G0 będzie klasą abstrakcji, która nie jest pojedynczątrajektorią. Niech p ∈ bdG0, q ∈ bdG0 oraz Cp 6= Cq. Załóżmy, że punkty p i qnależą do tej samej składowej zbioru R2 \Cr dla pewnego r ∈ G0. Wówczas p ∈ J(q).

Jeżeli opuścimy założenie o położeniu punktów p, q ∈ bdG0 w tej samej składowejdopełnienia pewnej trajektorii zawartej w G0, teza powyższego twierdzenia na ogółnie zachodzi.

Praca [B16] pokazuje związek między relacją współzbieżności do nieskończonościokreśloną dla homeomorfizmu Brouwera zanurzalnego w potok a zbiorami punktówregularnych i osobliwych tego homeomorfizmu.

Omówienie wyników tej pracy rozpoczniemy od twierdzenia, które opisuje zbiórpunktów regularnych homeomorfizmu Brouwera zanurzalnego w potok.

49

Page 50: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

Twierdzenie 3.21. ([B16], Proposition 2.1) Niech f będzie homeomorfizmem Bro-uwera zanurzalnym w potok f t : t ∈ R. Wówczas zbiór punktów regularnych home-omorfizmu f jest równy sumie wnętrz wszystkich klas abstrakcji relacji współzbieżno-ści do nieskończoności.

Korzystając z Twierdzenia 3.21 wykazujemy następujący wynik o niezmienniczo-ści zbioru punktów regularnych.

Twierdzenie 3.22. ([B16], Proposition 3.1) Niech f będzie homeomorfizmem Bro-uwera zanurzalnym w potok f t : t ∈ R. Niech p będzie punktem regularnym. Wów-czas kazdy punkt trajectorii Cp = f t(p) : t ∈ R jest punktem regularnym.

Przejdziemy teraz do wyników opisujących zbiór punktów osobliwych homeomor-fizmu Brouwera zanurzalnego w potok. Z Twierdzenia 3.17 zamieszczonego w po-przednim podrozdziale otrzymujemy, że elementami pierwszego przedłużenia granicz-nego potoku homeomorfizmów Brouwera mogą być tylko punkty brzegowe klas abs-trakcji relacji współzbieżności do nieskończoności. Zatem z Twierdzenia 3.21 otrzy-mujemy, że do pierwszego przedłużenia granicznego mogą należeć tylko punkty oso-bliwe.

Przedstawiony poniżej wynik dotyczy związku zbioru punktów silnie osobliwychhomeomorfizmu Brouwera i pierwszego przedłużenia granicznego potoku, w któryten homeomorfizm jest zanurzony.

Twierdzenie 3.23. ([B16], Proposition 3.1) Niech f będzie homeomorfizmem Bro-uwera zanurzalnym w potok f t : t ∈ R. Niech p będzie punktem silnie osobliwym.Wówczas J(p) 6= ∅.

Powyższe twierdzenie mówi, że zbiór punktów silnie osobliwych jest zawarty wpierwszym przedłużeniem granicznym, gdyż

J(p) 6= ∅ ⇔ p ∈ J(R2).

Co więcej, okazuje się, że zbiory te są równe (zob. Twierdzenie 3.24). Zatem zbiórpunktów brzegowych klas abstrakcji relacji współzbieżności do nieskończoności nienależących do pierwszego przedłużenia granicznego jest równy zbiorowi punktówsłabo osobliwych.

Przedstawimy teraz twierdzenie, na mocy którego otrzymujemy wspomniany wy-żej fakt, że zbiór punktów silnie osobliwych homeomorfizmu Brouwera jest równypierwszemu przedłużeniu granicznemu potoku, do którego należy ten homeomorfizm.

Twierdzenie 3.24. ([B19], Corollary 3) Niech f będzie homeomorfizmem Brouwerazanurzalnym w potok f t : t ∈ R. Wówczas P+(p) = J+(p) oraz P−(p) = J−(p) dlakażdego p ∈ R2.

50

Page 51: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

Zasadniczą część dowodu powyższego twierdzenia stanowi rozumowanie prowa-dzące do wykazania inkluzji J+(p) ⊂ P+(p) (zob. [B19], Theorem 2). W dowodzietej inkluzji ustalamy dowolny punkt q ∈ J+(p). W celu wykazania, że q ∈ P+(p)ustalamy dowolny zbiór Jordana B zawierający w swym wnętrzu punkt p i pokazu-jemy, że q ∈ ωf (B). Główną rolę w dowodzie odgrywają łuki K i L takie, że K ⊂ B,p ∈ K i q ∈ L mające co najwyżej jeden punkt wspólny z każdą z trajektorii potoku,tj. będące cięciami lokalnymi potoku. Korzystając z założenia q ∈ J+(p) pokazujemyistnienie ciągu liczb naturalnych kn dążącego do nieskończoności oraz ciągu punktówwn ∈ fkn(K) ∩ L dążącego do q. Kładąc zn := f−kn(wn) otrzymujemy ciąg punktówzbioru Jordana B o tej własności, że fkn(zn)→ q, co oznacza, że q ∈ ωf (B).

Z twierdzenia 3.24 otrzymujemy wnioski dotyczące zbioru punktów silnie osobli-wych dla homeomorfizmu Brouwera zanurzalnego w potok oraz pierwszego przedłu-żenia granicznego potoków homeomorfizmów Brouwera.

Wniosek 3.25. ([B19], Corollary 4) Niech f będzie homeomorfizmem Brouwera za-nurzalnym w potok. Wówczas pierwsze przedłużenia graniczne wszystkich potokówzawierających homeomorfizm f są równe.

Wniosek 3.26. ([B19], Corollary 5) Niech f będzie homeomorfizmem Brouwera za-nurzalnym w potok f t : t ∈ R. Wówczas zbiory punktów silnie osobliwych wszyst-kich homeomorfizmów f t, gdzie t ∈ R \ 0, są równe.

Ostatni wniosek pozostanie prawdziwy, gdy zbiór punktów silnie osobliwych za-stąpimy zbiorem punktów osobliwych. Wynika to z faktu, że zbiór punktów osobli-wych jest domknięciem zbioru punktów silnie osobliwych (zob. Twierdzenie 2.5).

Na koniec tego podrozdziału pokażemy jeszcze rolę Twierdzeń 3.22 oraz 3.24 wwykazaniu, że dla dowolnego potoku homeomorfizmów Brouwera zbiory punktówsilnie osobliwych, słabo osobliwych i regularnych są niezmiennicze względem tegopotoku, tj. jeśli punkt należy do dowolnego z tych zbiorów, to cała trajektoria tegopunktu zawarta jest w tym samym zbiorze.

Niezmienniczość zbiorów punktów regularnych wynika bezpośrednio z Twierdze-nia 3.22. Z Twierdzenia 3.24 otrzymujemy natomiast równość pomiędzy zbiorempunktów silnie osobliwych homeomorfizmu Brouwera zanurzalnego w potok a pierw-szym przedłużeniem granicznym tego potoku. Niezmienniczość zbioru punktów sil-nie osobliwych otrzymujemy więc z niezmienniczości pierwszego przedłużenia gra-nicznego. Zatem również zbiór punktów słabo osobliwych jest niezmienniczy, gdyżpozostałe dwa z trzech rozpatrywanych tu zbiorów są niezmiennicze oraz suma tychtrzech rozłącznych zbiorów jest całą płaszczyzną.

3.2 Inne wynikiW tej części tego rozdziału przedstawione zostały wyniki, które nie są bezpośredniopowiązane z zasadniczym rozdziałem tego opracowania. Dotyczą one głównie roz-

51

Page 52: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

wiązań i stabilności równań funkcyjnych, w tym problemu wyznaczania pierwiast-ków iteracyjnych i warunków gwarantujących sprzężenie topologiczne dla kawałkamimonotonicznych odwzorowań ciągłych odcinka. Ponadto, można tutaj znaleźć wy-niki dotyczące równań całkowych, różniczkowych i różnicowych oraz ich stabilnościw sensie Ulama.

3.2.1 Równanie różniczkowe d’Alemberta

W pracy [B14] badane jest równanie różniczkowe cząstkowe d’Alemberta

uuxy − uxuy = 0. (3.15)

Równanie (3.15) traktujemy jako podrozmaitość Σ w przestrzeni dżetów J2(R2,R).W przestrzeni tej rozważamy kanoniczny zewnętrzny układ różniczkowy (ang. exte-rior differential system) (I, ω), gdzie I jest ideałem różniczkowym generowanymprzez 1-formy

θ1 = du− uxdx− uydy,θ2 = dux − uxxdx− uxydy,θ3 = duy − uxydx− uyydy,

zaś ω = dx ∧ dy jest 2-formą wyznaczającą warunek niezależności. Oznacza to, żezmiennymi niezależnymi są x i y, a rozmaitościami całkowymi są podniesienia wy-kresów funkcji u : R2 → R do J2(R2,R). Kanoniczny zewnętrzny układ różniczkowynazywany jest strukturą kontaktową.

Niech I będzie podmodułem modułu 1-form Ω1(Σ) generowanym przez θ1, θ2, θ3,tj.

I = spanθ1, θ2, θ3.Niech

J = spanθ1, θ2, θ3, dx, dy.Dla struktury kontaktowej piszemy (I, J) zamiast (I, ω). Para (I, J) jest liniowymukładem Pfaffa, tj. dθi ≡ 0 mod J dla 1 ≤ i ≤ 3, ponieważ każdy układ równańróżniczkowych wyrażony jako przestrzeń kontaktowa na wyznaczonej przez niegopodrozmaitości Σ ⊂ Jk(Rn,Rm) jest liniowym układem Pfaffa.

Istnienie analitycznych rozwiązań tego równania wykazujemy w oparciu o twier-dzenie Cartana-Kählera dla liniowych układów Pfaffa zaczerpnięte z książki T. A.Iveya i J. M. Landsberga (zob. [55], str. 176). W celu wykazania inwolutywnościwystępującej w założeniach tego twierdzenia dokonujemy zmiany zmiennych nieza-leżnych i z równania (3.15) otrzymujemy równanie

uuyy + uuxy − uxuy − u2y = 0. (3.16)

Po skorzystaniu z twierdzenia Cartana-Kählera powracamy do zmiennych x orazy wyjściowego równania. Przy użyciu tych zmiennych główny wynik pracy [B14]możemy sformułować w następujący sposób.

52

Page 53: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

Twierdzenie 3.27. ([B14], Corollary 5.2) Dla każdego punktu (x0, y0) ∈ R2 ist-nieje jedyne analityczne rozwiązanie u równania (3.15) określone w otoczeniu punktu(x0, y0) spełniające warunki

u(x0, y0) = u0,ux(x+ x0,−x+ y0) = f(x),uy(x+ x0,−x+ y0) = g(x),

|x| < ε

dla pewnego ε > 0, gdzie u0 6= 0 jest dowolną stałą, a f , g dowolnymi funkcjamianalitycznymi.

3.2.2 Inwolucje płaszczyzny

Wpracy [B15] wyznaczone zostały wszystkie rozwiązania równania funkcyjnego Bab-bage’a

ϕ2 = id (3.17)

należące do klasy funkcji wymiernych ϕλ : R2 \ (L1 ∪ L2)→ R2 \ (L1 ∪ L2) postaci

ϕλ(x, y) :=

(a1x+ a2y + a3

a4x+ a5y + a6

,b1y + b2x+ b3

b4y + b5x+ b6

), (3.18)

gdzie λ = (a1, ..., a6, b1, ..., b6) ∈ R12, zaś L1 i L2 oznaczają proste złożone z punktówpłaszczyzny dla których odpowiednie mianowniki występujące w definicji funkcjiϕλ(x, y) zerują się.

Zastosowana metoda polegała na przekształconiu równania (3.17) na układ rów-nań wielomianowych wielu zmiennych, a następnie przedstawieniu zbioru algebra-icznego będącego zbiorem rozwiązań tego układu równań algebraicznych jako sumyrozmaitości algebraicznych otrzymanych za pomocą rozkładu prymarnego. Umoż-liwiło to podanie warunków koniecznych i wystarczających dla 12 parametrówai, bi, i = 1, 2, ..., 6 na to, aby funkcja ϕλ była inwolucją, tj. aby ϕλ spełniała równanie(3.17).

Wstawiając (3.18) do równania (3.17) i porównując współczynniki występującepo obu stronach otrzymanego równania dostajemy układ równań wielomianowychpostaci

f1 = f2 = ... = f18 = 0, (3.19)

przy czym każdy z wielomianów fj, dla j = 1, 2, ..., 18, jest wielomianem jedno-rodnym stopnia 3 zmiennych ai, bi, i = 1, 2, ..., 6. Wyznaczenie rozwiązań równaniaϕ2λ = id jest więc równoważne wyznaczeniu rozwiązania układu równań wielomiano-

wych (3.19).Proces wyznaczania rozwiązań rozważanego układu równań wielomianowych roz-

dzielamy na 4 etapy poprzez rozważenie następujących przypadków:

53

Page 54: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

(H1) a4 = a5 = a6 − 1 = b4 = b5 = b6 − 1 = 0;

(H2) a4 = a5 = a6 − 1 = 0 oraz b24 + b2

5 6= 0;

(H3) b4 = b5 = b6 − 1 = 0 oraz a24 + a2

5 6= 0;

(H4) (a24 + a2

5)(b24 + b2

5) 6= 0.

W pierwszych trzech przypadkach przy wyznaczaniu rozwiązań wykorzystano bazyGröbnera, zaś w ostatnim z nich skorzystano z algorytmu dzielenia opisanego wksiążce D.E. Knutha ([23], str. 368–369). W tym miejscu omówimy tylko przypadki(H1) - (H3).

Omówienie rozpoczynamy od przypadku (H1).

Twierdzenie 3.28. ([B15], Theorem 1) Niech ϕλ : R2 → R2 będzie dana wzorem

ϕλ(x, y) := (a1x+ a2y + a3, b1y + b2x+ b3) .

Wówczas funkja ϕλ jest inwolucją wtedy i tylko wtedy, gdy z dokładnością do funkcjisprzęgającej danej wzorem H(x, y) = (y, x) ma jedną z następujących postaci:

(1) (x, y) 7→ (x, y).

(2) (x, y) 7→ (−x+ a3, −y + b3).

(3) (x, y) 7→ (x, −y + b2x+ b3).

(4) (x, y) 7→ (−x+ a3, y + b2x− a3b22

).

(5) (x, y) 7→(a1x+ a2y + a3, −a1y +

1−a21a2

x− a3(a1+1)a2

).

W dowodzie tego twierdzenia rozważamy ideał I1 := 〈f1, ..., f24〉, przy czym

f19 := a4, f20 := a5, f21 := a6 − 1,

f22 := b4, f23 := b5, f24 := b6 − 1

są wielomianami pochodzącymi z warunku (H1). Minimalny rozkład prymarny ideałuI1 otrzymujemy za pomocą funkcji minAssGTZ pochodzącej z biblioteki primdec.libprogramu Singular opartej na algorytmie, którego twórcami są Gianni, Trager i Za-charias. Stosując tę funkcję względem porządku dopuszczalnego

b6 > b5 > b4 > a6 > a5 > a4 > b3 > b2 > b1 > a3 > a2 > a1

w pierścieniu Q[b6, b5, b4, a6, a5, a4, b3, b2, b1, a3, a2, a1] otrzymujemy minimalny roz-kład prymarny ideału I1 składający się z trzech ideałów I11, I12, I13, gdzie

I11 = 〈a1 − 1, a2, a3, b1 − 1, b2, b3, a4, a5, a6 − 1, b4, b5, b6 − 1〉,I12 = 〈a1 + 1, a2, b1 + 1, b2, a4, a5, a6 − 1, b4, b5, b6 − 1〉,I13 = 〈b1 + a1, b2a2 + a2

1 − 1, b3a1 − b3 − b2a3,

b3a2 + a3a1 + a3, a4, a5, a6 − 1, b4, b5, b6 − 1〉.

54

Page 55: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

Ponieważ I11, I12, I13 są minimalnymi ideałami pierwszymi stowarzyszonymi z I1,więc V(I1) = V(I11)∪V(I12)∪V(I13), przy czym dla dowolnego ideału I przez V(I)oznaczamy zbiór zer tego ideału. Ponadto, obliczone w ten sposób zbiory generatorówideałów I11, I12, I13 są ich zredukowanymi bazami Gröbnera.

Zauważmy, że ideały I11 oraz I12 odpowiadają odpowiednio postaciom (1) oraz(2) funkcji ϕλ z dowodzonego twierdzenia. O ideale I13 wykazujemy natomiast, żeodpowiada on postaciom (3), (4) w przypadku, gdy a2 = 0, oraz postaci (5) wprzypadku, gdy a2 6= 0.

Dla przypadku (H2) otrzymujemy minimalny rozkład prymarny składający się wdwóch ideałów.

Twierdzenie 3.29. ([B15], Theorem 2) Niech funkcja ϕλ : R2 \L2 → R2 \L2 będziedana wzorem

ϕλ(x, y) :=

(a1x+ a2y + a3,

b1y + b2x+ b3

b4y + b5x+ b6

), b2

4 + b25 6= 0.

Wówczas funkja ϕλ jest inwolucją wtedy i tylko wtedy, gdy z dokładnością do funkcjisprzęgającej danej wzorem H(x, y) = (y, x) ma jedną z następujących postaci::

(1) (x, y) 7→(x, b1y+b2x+b3

b4y−b1

).

(2) (x, y) 7→(−x+ a3,

b1y+b3b4y−b1

).

W dowodzie tego twierdzenia stosujemy funkcję minAssGTZ programu Singulardo ideału I2 := 〈f1, ..., f21, g3〉, gdzie g3 jest wielomianem danym wzorem g3 :=1 − c3(b2

4 + b25)2, przy czym c3 jest dodatkową zmienną. Zauważmy, że wynik dla

przypadku (H3) możemy otrzymać bezpośrednio z Twierdzenia 3.29.

3.2.3 Funkcje kawałkami monotoniczne

W pracach [B17] i [B22] rozważamy problem sprzężenia topologicznego ciągłych ka-wałkami silnie monotonicznych funkcji przedziału.

Mówimy, że funkcje ciągłe f : I → I oraz g : J → J , gdzie I oraz J są nie-zdegenerowanymi przedziałami domkniętymi, są sprzężone topologicznie jeśli istniejehomeomorfizm ϕ : I → J taki, że

ϕ f = g ϕ. (3.20)

Niech I := [a, b], gdzie a < b. Niech r ∈ N. Mówimy, że funkcja f : I → Ijest kawałkami silnie monotoniczna lub r-modalna jeśli jest ona ciągłą oraz istniejedla niej podział odcinka a = t0 < t1 < · · · < tr < ... < tr+1 = b taki, że f jestsilnie monotoniczna na każdym z przedziałów [ti, ti+1] dla i = 0, 1, . . . , r, oraz f nie

55

Page 56: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

jest monotoniczna w żadnym otoczeniu punktu ti dla i = 1, . . . , r. Punkty t1, . . . , tr,będziemy nazywać punktami niemonotoniczności funkcji f .

Niech Sr(I) będzie rodziną wszystkich r-modalnych funkcji przedziału I na siebie,gdzie r jest liczbą całkowitą nieujemną. Dla funkcji f ∈ Sr(I) oznaczmy przez N(f)liczbę punktów niemonotoniczności tej funkcji. Zauważmy, że

0 = N(f 0) ≤ N(f) ≤ N(f 2) ≤ · · · ≤ N(fn) ≤ N(fn+1) ≤ · · · ,

gdzie fn oznacza n-tą iterację funkcji f . Niech H(f) oznacza najmniejszą liczbęcałkowitą nieujemną n taką, że N(fn) = N(fn+1), o ile taka liczba istnieje. Jeślinie istnieje liczba całkowita nieujemna n taka, że N(fn) = N(fn+1), to kładziemyH(f) :=∞. Liczbę H(f) nazywamy stopniem niemonotoniczności funkcji f .

W pracy [B17] rozważamy rodzinę

S1r (I) :=

f ∈ Sr(I) : f(x) < x dla x ∈ (t0, t1], f(t1) ≥ f(tr+1), f(t2i) =

f(t0) dla i = 0, . . . ,⌊r

2

⌋, f(t2j−1) = f(t1) dla j = 2, . . . ,

⌊r + 1

2

⌋.

Z określenia tej rodziny otrzymujemy, że H(f) = 1 dla każdej funkcji f ∈ S1r (I).

Główny wynik pracy [B17] zawiera warunek konieczny i wystarczający na to, abyfunkcje f ∈ S1

r (I) i g ∈ S1r (J) były sprzężone topologicznie.

Twierdzenie 3.30. ([B17], Theorem 1) Niech r będzie liczbą całkowitą nieujemną,I = [a, b] oraz J = [c, d] dla pewnych a, b, c, d ∈ R takich, że a < b oraz c < d.Załóżmy, że dla funkcji f ∈ S1

r (I) oraz g ∈ S1r (J) odpowiednio (ti)

ri=1 oraz (si)

ri=1 są

punktami niemonotoniczności, zaś t0 = a, tr+1 = b, s0 = c, sr+1 = d. Wówczas f ,g są sprzężone topologicznie wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi jeden z następującychwarunków

(i) istnieje liczba całkowita dodatnia m taka, że f(tr+1) = fm(t1), g(sr+1) =gm(s1);

(ii) f(tr+1) = t0, g(sr+1) = s0;

(iii) istnieje liczba całkowita dodatnia m taka, że f(tr+1) ∈ (fm+1(t1), fm(t1)),g(sr+1) ∈ (gm+1(s1), gm(s1)).

Ponadto, w każdym z przypadków (i) oraz (ii) dowolny homeomorfizm φ0 :[f(t1), t1]→ [g(s1), s1] taki, że

φ0(t1) = s1, φ0(f(t1)) = g(s1)

można przedłużyć na I do homeomorficznego rozwiązania równania (3.20), zaś wprzypadku (iii) takie przedłużenie istnieje jeśli φ0 spełnia dodatkowo warunek

φ0(f−m0 (f(tr+1))) = g−m0 (g(sr+1)),

gdzie f0 := f |[t0,t1], g0 := g|[s0,s1].

56

Page 57: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

Z powyższego twierdzenia otrzymujemy wniosek dotyczący sprzężenia topologicz-nego funkcji f ∈ S1

r (I) z jej iteracjami.

Wniosek 3.31. ([B17], Corollary 1) Niech r będzie liczbą całkowitą nieujemną, I =[a, b] dla pewnych a, b ∈ R takich, że a < b. Załóżmy, że funkcja f ∈ S1

r (I) spełniajeden z warunków f(tr+1) = t0, f(tr+1) = f(t1). Wówczas f oraz fn are są sprzężonetopologicznie dla każdej liczby całkowitej dodatniej n.

Korzystając z tego wniosku wykazujemy, że każdy pierwiastek iteracyjny g ∈S1r (I) funkcji f ∈ S1

r (I), tj. rozwiązanie równania gn = f wyraża się wzorem

g = φ−1 f φ,

gdzie φ jest homeomorfizmem realizującym sprzężenie topologiczne funkcji f oraz fn(por. [B17], Corollary 2). Dlatego też, konstrukcję opisaną w Twierdzeniu 3.30 możnazastosować do wyznaczenia pierwiastków iteracyjnych funkcji f ∈ S1

r (I) spełniającejzałożenia Wniosku 3.31.

W pracy [B22] badamy natomiast następującą klasę funkcji r-modalnych

Mr(I) :=f ∈ Sr(I) : f([t0, t1]) ⊆ [t0, t1], f(x) < x dla x ∈ (t1, tr+1)

.

oraz jest podklasy postaci

MHr (I) := f ∈Mr(I) : H = H(f)

dla H ∈ Z, H > 0. Zauważmy, że S1r (I) ⊂M1

r(I).Z definicji stopnia niemonotoniczności wynika, że dla dowolnej funkcji f ∈Mr(I),

jeśli H(f) ma wartość skończoną, to H(f) jest równe najmniejszej liczbie całkowitejnieujemnej n o tej własności, że dla każdego x ∈ I zachodzi warunek fn(x) ∈ I0,gdzie I0 := [t0, t1].

Konstruując homeomorficzne rozwiązania równania (3.20) dla funkcji f ∈MHr (I)

oraz g ∈ MHr (J) potrzebujemy porównać dla różnych x1, x2 ∈ I wartości naj-

mniejszych liczb całkowitych nieujemnych n1 oraz n2 takich, że fn1(x1) ∈ I0 orazfn2(x2) ∈ I0. Dlatego też w pracy [B22], dla f ∈ Mr(I) oraz x ∈ I wprowadzamypojęcie stopnia niemonotoniczności punktu x względem f warunkiem

Hf (x) := infn ∈ N : f n(x) ∈ I0,

where I0 = [t0, t1].Związek pomiędzy wartościami stopnia niemonotoniczności funkcji f a stopnia

niemonotoniczności punktu x względem f opisuje następujący wynik.

Twierdzenie 3.32. ([B22], Proposition 2.2) Dla każdego f ∈Mr(I)

H(f) = supH(f, x) : x ∈ I.

57

Page 58: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

Ponadto, jeśli H := H(f) <∞, to

H(f) = maxH(f, pi) : i = 1, . . . , N(fH) + 1,

gdzie pi są punktami niemonotoniczności funkcji fH dla i = 1, . . . , N(fH) orazpN(fH)+1 = tr+1.

Warto w tym miejscu podkreślić, że wartość H(f) nie musi być równamaxH(f, ti) : i = 0, 1, ..., r + 1 (zob. [B22], Remark 2.1).

Dla dowolnych f ∈Mr(I) oraz x ∈ I rozważamy ciąg liczb naturalnych If (x) :=(ik(x))k∈N określony w następujący sposób

ik(x) :=

l gdy fk(x) ∈ Il \ t1, . . . , tr, l ∈ 0, . . . r,m gdy fk(x) ∈ Im ∩ Im+1 = tm, m ∈ 0, . . . r − 1.

Zauważmy, że dla każdego x ∈ I ciąg (ik(x))k∈N jest słabo malejący.Ciągi iteracji punktów niemonotoniczności funkcji f ∈ MH

r (I) oraz g ∈ MHr (J)

odgrywają zasadniczą rolę w zamieszczonym poniżej głównym wyniku pracy [B22].

Twierdzenie 3.33. ([B22], Theorem 4.1) Niech f ∈ MHr (I) oraz g ∈ MH

r (J).Wówczas f , g są sprzężone topologicznie wtedy i tylko wtedy, gdy If (ti) = Ig(si) dlai = 0, 1, ..., r + 1 oraz istnieje silnie rosnąca funkcja ϕ0 : I0 → J0, która realizujesprzężenie topologiczne funkcji f0, g0 oraz

(i) ϕ0 fmi(ti) = gmi(si), i = 0, 1, ..., r + 1, gdy H <∞, (3.21)(ii) ϕ0 fmi(ti) = gmi(si), i = 0, 1, ..., r, gdy H =∞, (3.22)

gdzie mi := H(ti) = H(si), f0 := f |I0, g0 := g|I0. Ponadto, istnieje jedyne rozszerze-nie ϕ funkcji ϕ0, które realizuje sprzężenie topologiczne funkcji f , g.

3.2.4 Rozwiązania przybliżone równania całkowego Volterry

Praca [B21] zawiera wyniki dotyczące przybliżonych rozwiązań następującego uogól-nienia równania całkowego Volterry

ψ(x) =

∫ x

a

N(x, t, ψ(α(x, t)) dt+G(x), x ∈ I, (3.23)

gdzie I jest przedziałem rzeczywistym postaci [a,∞) lub [a, b] lub [a, b) dla pewnycha < b,

∫oznacza całkę Bochnera, G : I → B, N : I × I ×B → B oraz α : I × I → I

są danymi funkcjami ciągłymi, zaś ψ : I → B szukaną funkcją ciągłą. Dodatkowo wcałej pracy zakładamy, że istnieje funkcja ciągła L : I × I × R+ → R+ taka, że

‖N(x, t, u1)−N(x, t, u2)‖ ≤ L(x, t, ‖u1 − u2‖), x, t ∈ I, u1, u2 ∈ B (3.24)

58

Page 59: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

orazL(x, t, s1) ≤ L(x, t, s2), x, t ∈ I, 0 ≤ s1 ≤ s2. (3.25)

Niech CB(I) oznacza przestrzeń wszystkich funkcji ciągłych odwzorowującychI w B, zaś CR+(I) przestrzeń wszystkich funkcji ciągłych odwzorowujących I wR+ = [0,+∞). Niech T : CB(I) → BI oraz Λ : CR+(I) → R+

I będą operatoramiokreślonymi w następujący sposób

T f(x) :=

∫ x

a

N(x, t, f(α(x, t))

)dt+G(x), f ∈ CB(I), x ∈ I, (3.26)

Λf(x) :=

∫ x

a

L(x, t, η(α(x, t))

)dt, η ∈ CR+(I), x ∈ I, (3.27)

gdzie CD oznacza rodzinę wszystkich funkcji określonych na niepustym zbiorze D owartościach w zbiorze C.

Dla dowolnych ε ∈ R+I oraz γ ∈ R+

I definiujemy

Lε(γ) := inf s ∈ R+ : γ(x) ≤ sε(x) dla x ∈ I,

przy czym zakładamy, że inf ∅ = ∞. Ponadto, dla każdego φ ∈ BI definiujemyfunkcję ‖φ‖ ∈ R+

I , kładąc

‖φ‖(x) := φ(x), x ∈ I.

Przypomnijmy, że funkcję h ∈ R+R+ nazywamy podaddytywną jeśli

h(s+ t) ≤ h(s) + h(t), s, t ∈ R+.

Zamieszczony poniżej główny wynik pracy [B21] mówi o istnieniu dla danegorozwiązania przybliżonego równania (3.23) rozwiązania dokładnego tego równania(w klasie funkcji ciągłych) wraz z oszacowaniem odległości między nimi.

Twierdzenie 3.34. ([B21], Theorem 1) Niech ϕ ∈ CB(I), gdzie I = [a, b) lub I =[a, b] dla pewnych a < b. Niech ε ∈ CR+(I) będzie dane wzorem

ε(x) :=∥∥∥ϕ(x)−

∫ x

a

N(x, t, ϕ(α(x, t))

)dt−G(x)

∥∥∥, x ∈ I. (3.28)

Załóżmy, że

σ0(x) :=∞∑n=0

Λnε(x) <∞, x ∈ I. (3.29)

Wówczas T (CB(I)) ⊂ CB(I), dla każdego x ∈ I istnieje granica

ψ(x) := limn→∞

T nϕ(x) (3.30)

59

Page 60: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

oraz funkcja ψ ∈ BI określona w ten sposób jest ciągłym rozwiązaniem równania(3.23) spełniającym warunek

‖ψ(x)− ϕ(x)‖ ≤ σ0(x), x ∈ I. (3.31)

Ponadto, jeśli funkcja L(x, t, ·) jest podaddytywna dla dowolnych x, t ∈ I, to dlakażdej funkcji η : I → R+ takiej, że

limn→∞

Λnη(x) = 0, x ∈ I, (3.32)

funkcja ψ dana wzorem (3.30) jest jedynym rozwiązaniem równania (3.23) takim, że

Lσ0+η(‖ψ − ϕ‖) <∞. (3.33)

W powyższym twierdzeniu zakładamy, że przedział I jest skończony. W celuwykazania analogicznego wyniku dla przedziału nieskończonego potrzebujemy do-datkowego założenia o podaddytywności funkcji L(x, t, ·) (por. [B21], Corollary 2).Założenie to występuje w Twierdzeniu 3.34, ale tylko w kontekście jednoznacznościrozwiązań równania (3.23).

Z Twierdzenia 3.34 otrzymujemy wniosek, którego zastosowanie pokażemy koń-cząc omówienie pracy [B21].

Wniosek 3.35. ([B21], Corollary 3) Niech ϕ ∈ CB(I), gdzie I = [a, b) lub I = [a, b]dla pewnych a < b. Niech ε : I → R+ będzie dane wzorem (3.28). Załóżmy, że istniejąfunkcje ciągłe ε0 : I → R+, L : I×I×R+ → R+ oraz K : I → [0, 1) takie, że ε ≤ ε0,zachodzą warunki (3.24), (3.25) oraz∫ x

a

L(x, t,K(α(x, t))nε0(α(x, t))) dt ≤ K(x)n+1ε0(x), x ∈ I, n ∈ N. (3.34)

Wówczas ψ : I → B dane wzorem (3.30) jest ciągłym rozwiązaniem równania (3.23)takim, że

‖ψ(x)− ϕ(x)‖ ≤ ε0(x)

1−K(x), x ∈ I. (3.35)

Rozważmy równanie

ψ(x) =

∫ x

a

(x− t)ψ(t) dt+G(x), x ∈ [0, 1], (3.36)

gdzie G : [0, 1] → R jest funkcją ciągłą. Równanie to ma postać (3.23), gdzie I =[0, 1], B = R, N(x, t, u) = (x − t)u dla x, t ∈ [0, 1], u ∈ R oraz α(x, t) = t dlax, t ∈ [0, 1]. Równanie (3.36) ma jedyne rozwiązanie ψ jako liniowe równanie Volterrytypu splotowego. W przypadku, gdy G(x) = x rozwiązanie to można podać jawniew postaci wzoru, mianowicie ψ(x) = sinhx.

60

Page 61: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

Niech ϕ : [0, 1]→ R będzie funkcją ciągłą, zaś c stałą rzeczywistą dodatnią taką,że

|ϕ(x)−∫ x

a

(x− t)ϕ(t) dt−G(x)| ≤ c, x ∈ [0, 1],

tj. bierzemy ε0(x) = c dla x ∈ [0, 1]. Zauważmy, że warunek (3.34) zachodzi dla Kdanego wzorem K(x) = 1

2dla x ∈ [0, 1]. Z Wniosku 3.35 otrzymujemy, że

|ϕ(x)− ψ(x)| ≤ 2 c, x ∈ [0, 1],

gdzie ψ jest jedynym rozwiązaniem równania (3.36). Ponadto, jeśli |G(x) − x| < cdla x ∈ [0, 1], to

|ϕ(x)− sinhx| ≤ 4 c, x ∈ [0, 1].

3.2.5 Model kolejkowy dla sieci LAN

W pracy [B24] rozważamy równanie funkcyjne

(M(x, y)− xy)P (x, y) = (1− y)(M(x, 0) + r1ξ2xy)P (x, 0) (3.37)+ (1− x)(M(0, y) + r2ξ1xy)P (0, y)

− (1− x)(1− y)M(0, 0)P (0, 0),

dla ustalonych rj, sj ∈ (0, 1), j = 1, 2, gdzie

M(x, y) = (r1 + r1s1y + ξ1xy)(r2 + r2s2x+ ξ2xy), (3.38)

ξj = rjsj dla j = 1, 2 oraz q = 1 − q dla dowolnego q ∈ R. Funkcja szukana Pokreślona jest dla x, y ∈ D, gdzie D := z ∈ C : |z| ≤ 1.

Równanie (3.37) pojawia się w badaniach dwuwymiarowych modeli kolejkowychdla sieci LAN i należy do klasy równań wykorzystywanych podczas modelowaniakomunikacji sieciowej. Ogólna postać równań tej klasy jest następująca

C1(x, y)P (x, y) =C2(x, y)P (x, 0) + C3(x, y)P (0, y) (3.39)+ C4(x, y)P (0, 0) + C5(x, y),

gdzie Cj, dla j = 1, ..., 5, są danymi funkcjami dwóch zmiennych zespolonych x, y.Wstawiając do równania (3.39)

C1(x, y) = (r1 + r1s1y + ξ1xy)(r2 + r2s2x+ ξ2xy)− xy, (3.40)C2(x, y) = (1− y)r1(r2 + r2s2x+ ξ2xy),

C3(x, y) = (1− x)r2(r1 + r1s1y + ξ1xy),

C4(x, y) = −(1− x)(1− y)r1 r2,

C5(x, y) = 0,

61

Page 62: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

otrzymujemy równanie (3.37).Omówienie wyników pracy [B24] rozpoczniemy od ogólnego wyniku dotyczącego

równania (3.37). Rozpatrywać je będziemy na zbiorze T 2 dla dowolnego T ⊂ Ctakiego, że 0 ∈ T . Niech

K := (x, y) ∈ T 2 : C1(x, y) = 0,K0 := x ∈ T : (x, 0) ∈ K, K0 := x ∈ T : (0, x) ∈ K.

Poniższe twierdzenie dostarcza opisu wszystkich rozwiązań P : T 2 → C równania(3.37) (w szczególności, również analitycznych rozwiązań dla T = D).

Twierdzenie 3.36. ([B24], Theorem 2.1) Jeśli funkcja P : T 2 → C spełnia równanie(3.37), to istnieją funkcje f, g : T → C takie, że f(0) = g(0),

C2(x, y)f(x) + C3(x, y)g(y) + C4(x, y)g(0) = 0, (x, y) ∈ K, (3.41)

oraz

P (x, y) =C2(x, y)f(x) + C3(x, y)g(y) + C4(x, y)g(0)

C1(x, y), (3.42)

(x, y) ∈ T 2 \ K,

gdzie C1, C2, C3, C4 są postaci (3.40). W szczególności,

P (x, 0) = f(x), P (0, y) = g(y), x ∈ T \ K0, y ∈ T \ K0. (3.43)

Ponadto, jeśli T = D, to każda funkcja P : T 2 → C określona wzorem (3.42) dlapewnych funkcji ciągłych f, g : T → C, dla których zachodzą warunki f(0) = g(0)oraz (3.41), spełnia równanie (3.37).

Twierdzenie 3.36 pokazuje, że przy poszukiwaniu rozwiązania P : D2 → C rów-

nania (3.37) zarówno w klasie funkcji analitycznych, jak również w klasie funkcjiciągłych, kluczowe znaczenie ma znalezienie odpowiednio, par funkcji analitycznychlub ciągłych f, g : D → C spełniających warunek (3.41) (dla każdego P funkcje tesą wyznaczone jednoznacznie na mocy (3.43)). Dlatego też skoncentrujemy się terazna warunku (3.41).

W rozpatrywanym przypadku T = D mamy

K = (x, y) ∈ D 2 : M(x, y) = xy.

Warunek M(x, y) = xy można zapisać w postaci

(r1 + r1s1y + ξ1xy)(r2 + r2s2x+ ξ2xy) = xy, (3.44)

62

Page 63: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

co oznacza, że dla każdego ustalonego x mamy równanie kwadratowe (ze względu nazmienną y)

a(x)y2 + b(x)y + c(x) = 0,

gdzie

a(x) ≡ ξ1ξ2x2 + r1s1ξ2x, (3.45)

b(x) ≡ r2s2ξ1x2 + (r1ξ2 + r1r2s1s2 + r2ξ1 − 1)x+ r1s1r2,

c(x) ≡ r1r2s2x+ r1r2.

Ponieważ a(x) 6= 0 dla x 6∈ 0,−s1/s1, więc istnieją funkcje y1, y2 : C \0,−s1/s1 → C dla których zachodzi

a(x)y2 + b(x)y + c(x) = a(x)(y − y1(x))(y − y2(x)).

Niech

Kj := (x, yj(x)) : x ∈ D ∩D2= (x, yj(x)) : x ∈ D, |yj(x)| ≤ 1,

Dj := x ∈ D : (x, yj(x)) ∈ Kj = x ∈ D : |yj(x)| ≤ 1dla j = 1, 2, gdzie D := D \ 0. Wówczas Kj = (x, yj(x)) : x ∈ Dj dla j = 1, 2oraz

K ⊂ K1 ∪ K2 ∪ (−s1/s1, y0), (0, y).Rozważmy przypadek szczególny

s1 < 1/2, r2 <1− r1

2− s2

. (3.46)

Wówczas korzystając ze wzoru Viety dostajemy

|y1(x)y2(x)| =∣∣∣ c(x)

a(x)

∣∣∣ > 1, x ∈ D = D \ 0.

Bez straty ogólności możemy wybrać funkcje y1, y2 tak, aby |y1(x)| ≤ |y2(x)| dlax ∈ D. Stąd |y2(x)| > 1 dla x ∈ D, a więc D2 = ∅.

Następnie pokazujemy, że w rozpatrywanym przypadku warunek (3.41) zachodziwtedy i tylko wtedy, gdy funkcje f, g : D → C spełniają warunek

f(x) =r2(1− x)g(0)

r2 + r2s2x+ ξ2xy1(x)(3.47)

− r2(r1 + r1s1y1(x) + ξ1xy1(x))(1− x)g(y1(x))

r1(1− y1(x))(r2 + r2s2x+ ξ2xy1(x))

dla x ∈ D1, x 6= 1. Zatem Twierdzenie 3.36 daje w tym przypadku możli-wość otrzymania opisu wszystkich ciągłych oraz wszystkich analitycznych rozwiązańP : D

2 → C równania (3.37).Dla rozwiązań ciągłych równania (3.37) opis ten formułujemy w poniższym twier-

dzeniu, które stanowi główny wynik pracy [B24].

63

Page 64: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

Twierdzenie 3.37. ([B24],Theorem 4.1) Załóżmy, że warunek (3.46) jest spełniony.Funkcja ciągła P : D

2 → C spełnia równanie (3.37) wtedy i tylko wtedy, gdy istniejefunkcja ciągła g : D → C taka, że

P (x, y) =C2(x, y)f(x) + C3(x, y)g(y) + C4(x, y)g(0)

C1(x, y), (3.48)

(x, y) ∈ D 2, y 6= y1(x),

gdzie f jest dane wzorem (3.47). W szczególności, f(x) = P (x, 0) oraz g(x) = P (0, x)dla x ∈ D.

3.2.6 Rozwiązania i stabilność uogólnienia równania Frécheta

Praca [B25] zawiera wyniki dotyczące następującego równania funkcyjnego o stałychwspółczynnikach

A1F (x+ y + z) + A2F (x) + A3F (y) + A4F (z) = (3.49)A5F (x+ y) + A6F (x+ z) + A7F (y + z),

gdzie A1, . . . , A7 ∈ K oraz K ∈ R,C, rozważanego dla funkcji F : X → Y ,gdzie (X,+) jest monoidem przemiennym (tj. półgrupą z elementem neutralnymoznaczanym przez 0), zaś Y jest przestrzenią Banacha nad ciałem K. Równanie tojest uogólnieniem równania Frécheta

F (x+ y + z) + F (x) + F (y) + F (z) = F (x+ y) + F (x+ z) + F (y + z). (3.50)

Jeśli X jest grupą i Y jest grupą abelową podzielną przez 2, to rozwiązanie ogólnerównania (3.50) ma postać sumy funkcji kwadratowej i addytywnej.

Badanie zbioru rozwiązań równania (3.49) rozpoczynamy od przypadku F (0) = 0odgrywającego główną rolę w wyznaczeniu tego zbioru.

Twierdzenie 3.38. ([B25], Proposition 3) Jeśli niezerowa funkcja F : X → Y taka,że F (0) = 0, spełnia równanie (3.49), to

A2 = −A1 + A5 + A6,A3 = −A1 + A5 + A7,A4 = −A1 + A6 + A7.

(3.51)

Z powyższego twierdzenia otrzymujemy wynik dotyczący addytywnych rozwiązańrównania (3.49).

Wniosek 3.39. ([B25], Corollary 5) Niezerowa funkcja addytywna a : X → Y speł-nia równanie (3.49) wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi warunek (3.51).

64

Page 65: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

Główny wynik pracy [B25] opisujący zbiór rozwiązań równania (3.49) w rozwa-żanym przypadku dotyczy sytuacji, w której równanie to nie daje się sprowadzić dorównania (3.50) przez podzielenie stronami przez niezerowy element ciała K.

Twierdzenie 3.40. ([B25], Theorem 7) Jeśli Ai 6= Aj dla pewnych i, j ∈ 1, ..., 7,to każde rozwiązanie F : X → Y równania (3.49) takie, że F (0) = 0 jest funkcjąaddytywną.

Z Twierdzenia 3.40 otrzymujemy następujący opis zbioru rozwiązań równania(3.49) w przypadku, gdy F (0) = 0.

Wniosek 3.41. ([B25], Corollary 9) Jeśli Ai 6= Aj dla pewnych i, j ∈ 1, ..., 7 orazzachodzi warunek

A1 + A2 + A3 + A4 6= A5 + A6 + A7,

to każde rozwiązanie równania (3.49) jest funkcją addytywną.

Przechodząc do przypadku ogólnego (tj. pomijając założenie, że F (0) = 0) otrzy-mujemy stąd następujący wynik podający ogólne rozwiązanie równania (3.49).

Wniosek 3.42. ([B25], Corollary 10) Załóżmy, że Ai 6= Aj dla pewnych i, j ∈1, ..., 7. Jeśli F : X → Y jest rozwiązaniem równania (3.49), to

F (x) = a(x) + c, x ∈ X, (3.52)

gdzie a : X → Y jest funkcją addytywną oraz c = F (0).

Praca [B25] zawiera również wynik o stabilności w sensie Ulama równania (3.49).

Twierdzenie 3.43. ([B25], Theorem 13) Załóżmy, że A2 + A3 + A4 6= 0 oraz

β0 :=

∣∣∣∣A5 + A6 + A7 − A1

A2 + A3 + A4

∣∣∣∣ < 1.

Niech L : X3 → [0,∞) spełnia warunek

L(kx, ky, kz) ≤ ckL(x, y, z), (x, y, z) ∈ X3 \ (0, 0, 0), k ∈ 2, 3 (3.53)

dla pewnych c2, c3 ∈ [0,∞) takich, że β := b2c2 + b3c3 < 1, gdzie

b2 :=

∣∣∣∣A5 + A6 + A7

A2 + A3 + A4

∣∣∣∣ , b3 :=

∣∣∣∣ A1

A2 + A3 + A4

∣∣∣∣ . (3.54)

Jeśli funkcja f : X → Y spełnia warunek

‖A1f(x + y + z) + A2f(x) + A3f(y) + A4f(z)− A5f(x+ y) (3.55)− A6f(x+ z)− A7f(y + z)‖ ≤ L(x, y, z), (x, y, z) ∈ X3,

65

Page 66: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

to istnieje jedyna funkcja F : X → Y będąca rozwiązaniem równania (3.49) taka, żeF (0) = 0 oraz

‖f(x)− F (x)‖ ≤ ρL(x), x ∈ X, (3.56)

gdzie

ρL(x) :=L(x, x, x)

|A2 + A3 + A4|(1− γ(x)), x ∈ X, (3.57)

przy czym

γ(x) :=

β gdy x 6= 0,β0 gdy x = 0.

W dowodzie powyższego twierdzenia dla rozwiązania przybliżonego f : X → Yrównania (3.49) istnienie rozwiązania dokładnego F : X → Y tego równania speł-niającego warunek (3.56) uzyskuje się korzystając z twierdzenia o punkcie stałym,które pochodzi z pracy, której autorami są J. Brzdęk, J. Chudziak i Z. Páles (zob.[24]).

3.2.7 Punkty stałe operatorów i stabilność w sensie Ulama

W pracach [B26] i [B27] udowodnione zostały twierdzenia o punkcie stałym i poka-zano ich zastosowanie do wykazania stabilności w sensie Ulama rozważanych typówrównań. Stabilność danego równania wykazujemy za pomocą odpowiednio zdefinio-wanego operatora. Punkty stałe tych operatorów okazują się być poszukiwanymirozwiązaniami spełniającymi określone warunki.

W literaturze można spotkać się z różnymi definicjami stabilności w sensie Ulama.Dlatego też w pracach [B26] i [B27] sprecyzowane zostało co rozumiemy pod tympojęciem. Dla przestrzeni (X, d), gdzie d jest metryką lub pewnym jej uogólnieniemokreślonym w X, zbioru S 6= ∅, niepustych klas D0 ⊂ D ⊂ XS, E ⊂ (R+

0 )S, orazoperatorów T : D → XS, S : E → (R+

0 )S mówimy, że równanie

T (ψ) = ψ

jest S–stabilne w D0, jeśli dla dowolnych ψ ∈ D0 oraz δ ∈ E takich, że

d(T (ψ)(t), ψ(t)

)≤ δ(t), t ∈ S,

istnieje rozwiązanie φ ∈ D tego równania takie, że

d(φ(t), ψ(t)

)≤ (Sδ)(t), t ∈ S,

gdzie AB rodzinę wszystkich funkcji określonych na B o wartościach w A.

66

Page 67: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

W pracy [B26] wykazane zostało twierdzenie o punkcie stałym dla operatoraliniowego typu wielomianowego stopnia 3 związane z zagadnieniem stabilności wsensie Ulama równania

p3L3ψ + p2L2ψ + p1Lψ = ψ, (3.58)

gdzie L : X → X jest danym operatorem liniowym zespolonej przestrzeni wektorowejX oraz p1, p2, p3 ∈ C, p3 6= 0. Dla operatora liniowego L : X → X definiujemyoperator P : X → X wzorem

Pψ := p3L3ψ + p2L2ψ + p1Lψ, ψ ∈ X. (3.59)

Równanie (3.58) możemy więc zapisać w postaci Pψ = ψ.W rozważaniach dotyczących operatora P ważną rolę odgrywają pierwiastki wie-

lomianu charakterystycznego równania (3.58), tj. pierwiastki wielomianu

P (x) = p3x3 + p2x

2 + p1x− 1. (3.60)

Z wzorów Viety otrzymujemy, że jeśli a1, a2, a3 ∈ C są pierwiastkami wielomianucharakterystycznego równania (3.58), to ai 6= 0 dla i ∈ 1, 2, 3 oraz

p3 =1

a1a2a3

, −p2 =1

a1a2

+1

a1a3

+1

a2a3

, p1 =1

a1

+1

a2

+1

a3

.

Punktów stałych operatora P poszukujemy przy założeniu, że przestrzeń X jestrozszerzoną zespoloną przestrzenią unormowaną. Przypomnijmy, że parę (X, ‖ · ‖)nazywamy rozszerzoną zespoloną przestrzenią unormowaną, jeśli X jest zespolonąprzestrzenią wektorową, zaś ‖ · ‖ jest funkcją określoną na X o wartościach w [0,∞](tj. funkcja ‖ · ‖ może przyjmować wartość ∞) taką, że dla dowolnych α ∈ C orazx, y ∈ X takich, że ‖x‖, ‖y‖ ∈ [0,∞) zachodzą warunki

‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖, ‖αx‖ = |α| ‖x‖,

oraz równość ‖x‖ = 0 zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy x jest wektorem zero-wym. Rozszerzoną zespoloną przestrzeń unormowaną X nazywamy rozszerzoną ze-spoloną przestrzenią Banacha, jeśli każdy ciąg Cauchy’ego elementów przestrzeni Xjest zbieżny.

Główny wynik pracy [B26] dotyczy punktów stałych zdefiniowanego powyżej ope-ratora P .

Twierdzenie 3.44. ([B26], Theorem 2) Niech X będzie rozszerzoną zespoloną prze-strzenią Banacha. Niech a1, a2, a3 ∈ C będą pierwiastkami wielomianu (3.60) takimi,że

ai 6= aj, i, j ∈ 1, 2, 3, i 6= j.

Załóżmy, że operator liniowy L spełnia warunek Lipschitza

‖Lf − Lg‖ ≤ L‖f − g‖, f, g ∈ X,

67

Page 68: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

z dodatnią stałą L taką, że

L < min |a1|, |a2|, |a3|. (3.61)

Wówczas dla każdego ϕ ∈ X takiego, że

ε :=∥∥Pϕ− ϕ∥∥ <∞, (3.62)

gdzie P wyraża się wzorem (3.59), operator P ma jedyny punkt stały ψ ∈ X taki, że

‖ϕ− ψ‖ <∞.

Ponadto,‖ϕ− ψ‖ ≤ Cε,

gdzie

C =

(1

|a2 − a1| |a3 − a1| (|a1| − L)+

1

|a1 − a2| |a3 − a2|(|a2| − L)

+1

|a1 − a3| |a2 − a3| (|a3| − L)

)|a1||a2||a3|. (3.63)

W dowodzie powyższego twierdzenia stosujemy twierdzenie o punktach stałychpochodzące z pracy, której autorami są J.B. Diaz i B. Margolis (zob. [30]), dla silniezwężających operatorów T1, T2, T3 : X → X zdefiniowanych wzorem

Tjf :=1

ajLf, f ∈ X, j = 1, 2, 3.

Dla każdego j = 1, 2, 3 jedyny punkt stały Fj operatora Tj jest wektorem własnymoperatora L.

Niech Y będzie zespoloną przestrzenią Banacha, a S zbiorem niepustym. W prze-strzeni Y S rozważamy normę supremum

‖f‖ := sups∈S‖f(s)‖, f ∈ Y S

będącą naturalnym przykładem normy rozszerzonej (nazywać ją będziemy rozsze-rzoną normę supremum). Stosując Twierdzenie 3.44 dla tej przestrzeni otrzymujemywynik o stabilności w sensie Ulama dla równania (3.58).

Twierdzenie 3.45. ([B26], Theorem 3) Niech Y będzie zespoloną przestrzenią Ba-nacha, a S zbiorem niepustym. Niech C będzie podprzestrzenią wektorową przestrzeniY S domkniętą ze względu na rozszerzoną normę supremum. Niech L : C → C będzieoperatorem liniowym. Załóżmy, że ai 6= aj dla i, j ∈ 1, 2, 3, i 6= j, oraz L spełniawarunek Lipschitza

‖Lf − Lg‖ ≤ L‖f − g‖, f, g ∈ C, (3.64)

68

Page 69: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

z dodatnią stałą L taką, że L < min |a1|, |a2|, |a3|. Wówczas dla kazdej funkcjiϕ ∈ C takiej, że

ε :=∥∥∥p3L3ϕ+ p2L2ϕ+ p1Lϕ− ϕ

∥∥∥ <∞,istnieje jedyne rozwiązanie ψ ∈ C równania (3.58) takie, że ‖ϕ− ψ‖ <∞. Ponadto,

‖ϕ− ψ‖ ≤ Cε,

gdzie C wyraża się wzorem (3.63).

W pracy [B27] wykazane zostało natomiast twierdzenie o punkcie stałym ope-ratora działającego w zaburzonej przestrzeni quasi metrycznej (w skrócie prze-strzeni dq-metrycznej). Mówimy, że para (X, d), gdzie X jest zbiorem niepustymoraz d : X × X → [0,+∞), jest zaburzoną przestrzenią quasi metryczną lub krócejprzestrzenią dq-metryczną, gdy funkcja d spełnia warunki:

(A1) jeśli d(x, y) = d(y, x) = 0, to x = y,

(A2) d(x, y) 6 d(x, z) + d(z, y)

dla dowolnych x, y, z ∈ X.Niech (X, d) będzie przestrzenią dq-metryczną. Mówimy, że x ∈ X jest granicą

ciągu (xn)n∈N elementów przestrzeni X, jeżeli

limn→∞

max d(xn, x), d(x, xn) = 0.

Z warunku (A2) otrzymujemy jednoznaczność tak zdefiniowanej granicy ciągu. Ciąg(xn)n∈N elementów przestrzeni X nazywamy ciągiem Cauchy’ego, jeśli

limN→∞

supm,n>N

d(xn, xm) = 0.

Przestrzeń dq-metryczną (X, d) nazywamy zupełną, jeśli każdy ciąg Cauchy’ego ele-mentów przestrzeni X ma granicę w X.

Dla przestrzeni dq-metrycznej (X, d) oraz dowolnego zbioru niepustego E okre-ślamy funkcję df : XE ×XE → R+

E kładąc

df (ξ, µ)(t) := d(ξ(t), µ(t)), ξ, µ ∈ XE, t ∈ E. (3.65)

Analogicznie jak w klasycznej przestrzeni metrycznej, jeśli (χn)n∈N jest ciągiem ele-mentów przestrzeni XE, to mówimy, że funkcja χ ∈ XE jest granicą punktową ciągufunkcyjnego (χn)n∈N, jeśli

limn→∞

maxdf (χ, χn)(t), df (χn, χ)(t)

= 0, t ∈ E.

69

Page 70: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

Funkcję χ ∈ Y E nazywamy natomiast granicą jednostajną ciągu (χn)n∈N, jeśli

limn→∞

supt∈E

maxdf (χ, χn)(t), df (χn, χ)(t)

= 0.

Niepusty podzbiór F przestrzeni XE nazywamy p-domkniętym (odpowiednio u-domkniętym), jeśli każda funkcja χ ∈ XE będąca granicą punktową (odpowiedniojednostajną) pewnego ciągu (χn)n∈N elementów zbioru F należy do F .

Dla funkcji f, g ∈ RE, piszemy f ≤ g, jeśli f(t) ≤ g(t) dla wszystkich t ∈ E. Niech∅ 6= C ⊂ XE, Λ: R+

E → R+E oraz ω ∈ R+

E. Mówimy, że operator T : C → XE jest(ω,Λ) – zwężający, jeśli

df (T ξ, T µ) ≤ Λδ

dla dowolnych ξ, µ ∈ C oraz δ ∈ R+E takich, że

δ ≤ ω, df (ξ, µ) ≤ δ.

Ponadto, w celu uproszczenia zapisu niektórych wzorów oznaczmy przez Λ0 operatoridentycznościowy na R+

E, tj. Λ0δ = δ dla każdego δ ∈ R+E.

Głównym wynikiem pracy [B27] jest następujące twierdzenie o punkcie stałym.

Twierdzenie 3.46. ([B27], Theorem 2) Niech (X, d) będzie przestrzenią dq-metryczną, E zbiorem niepustym, zaś df : XE × XE → R+

E funkcją określonąwzorem (3.65). Niech ∅ 6= C ⊂ XE, T : C → C oraz Λn : R+

E → R+E dla n ∈ N.

Załóżmy, że istnieją funkcje ε1, ε2 ∈ R+E oraz ϕ ∈ C takie, że

ε∗j(t) :=∞∑i=0

Λiεj(t) <∞, t ∈ E, j = 1, 2, (3.66)

df (T ϕ, ϕ) ≤ ε1, df (ϕ, T ϕ) ≤ ε2, (3.67)

lim infn→∞

Λ1

( ∞∑i=n

Λiεj

)(t) = 0, t ∈ E, j = 1, 2. (3.68)

Niech ε∗(t) := maxε1(t), ε2(t) dla t ∈ E. Jeśli T n jest operatorem (ε∗,Λn) –zwężającym dla n ∈ N i zachodzi jeden z warunków

(i) C jest p-domknięty;

(ii) C jest u-domknięty oraz ciąg(∑n

i=0 Λiεj)n∈N zmierza jednostajnie do ε∗j na

zbiorze E dla j = 1, 2,

to dla każdego t ∈ E istnieje granica

ψ(t) := limn→∞

T nϕ(t), (3.69)

70

Page 71: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

oraz funkcja ψ ∈ C zdefiniowana w ten sposób jest punktem stałym operatora Tspełniającym warunek

df (T nϕ, ψ) ≤∞∑i=n

Λiε1, df (ψ, T nϕ) ≤∞∑i=n

Λiε2, n ∈ N. (3.70)

Ponadto, zachodzą następujące warunki:

(a) dla każdego ciągu (kn)n∈N liczb całkowitych dodatnich spełniającego waruneklimn→∞ kn = ∞, funkcja ψ jest jedynym punktem stałym operatora T takim,że

df (T knϕ, ψ) ≤∞∑i=kn

Λiεj, df (ψ, T knϕ) ≤∞∑i=kn

Λiεl, n ∈ N,

dla pewnych j, l ∈ 1, 2;

(b) jeśli

lim infn→∞

Λnε∗j(t) = 0, j = 1, 2, t ∈ E, (3.71)

to ψ jest jedynym punktem stałym operatora T takim, że

df (ϕ, ψ) ≤ ε∗1, df (ψ, ϕ) ≤ ε∗2,

oraz dla dowolnych j, l ∈ 1, 2

ψ(t) = limn→∞

T knξ(t), t ∈ E (3.72)

dla wszystkich ξ ∈ C takich, że df (ξ, ψ) ≤ ε∗j oraz df (ψ, ξ) ≤ ε∗l i każdego ciągu(kn)n∈N liczb całkowitych dodatnich spełniającego warunek limn→∞ Λknε

∗m(t) =

0 dla t ∈ E oraz m ∈ j, l.

Pokażemy teraz zastosowanie powyższego twierdzenia do wykazania stabilnościw sensie Ulama równań funkcyjnych postaci

Φ(t, ψ(f1(t)), ..., ψ(fj(t))) = ψ(t), t ∈ E, (3.73)

gdzie E 6= ∅, j ∈ N, fi : E → E dla i = 1, . . . , j, Φ : E × Xj → X są dane, zaśψ : E → X funkcją szukaną.

Niech

(H1) Li : E → R+ dla i = 1, . . . , j, spełniają warunek

d(Φ(t, w1, ..., wj),Φ(t, z1, ..., zj)) ≤j∑

k=1

Lk(t)d(wk, zk)

dla t ∈ E oraz (w1, ..., wj), (z1, ..., zj) ∈ Xj takich, że d(zi, wi) ≤ e dla i =1, . . . , j,

71

Page 72: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

przy ustalonym e takim, że e > 0 lub e = ∞. Wówczas korzystając z Twierdzenia3.46 otrzymujemy wynik o stabilności równania (3.73).

Wniosek 3.47. ([B27], Corollary 6) Niech (X, d) będzie przestrzenią dq-metryczną,E 6= ∅, j ∈ N, Φ : E ×Xj → X oraz ε1, ε2 : E → R+. Załóżmy, że Li : E → R+ dlai = 1, . . . , j są funkcjami, dla których zachodzi (H1) przy e := sup ε∗j(t) : t ∈ E, j =1, 2, gdzie

ε∗j(t) :=∞∑i=0

Λiεj(t) <∞, t ∈ E, j = 1, 2.

Niech Λ : RE+ → RE

+ będzie określone wzorem

Λδ(t) :=

j∑k=1

Lk(t)δ(fk(t)), δ ∈ RE+, t ∈ E,

dla pewnych f1, . . . , fj : E → E. Wówczas, jeśli ϕ : E → X spełnia warunki

d(Φ(t, ϕ(f1(t)), ..., ϕ(fj(t))), ϕ(t)) ≤ ε1(t), t ∈ E,

d(ϕ(t),Φ(t, ϕ(f1(t)), ..., ϕ(fj(t)))) ≤ ε2(t), t ∈ E,

to istnieje granicaψ(t) := lim

n→∞T nϕ(t) (3.74)

dla każdego t ∈ E, gdzie T wyraża się wzorem

T ϕ(t) := Φ(t, ϕ(f1(t)), ..., ϕ(fj(t))), ϕ ∈ XE, t ∈ E,

oraz funkcja ψ : E → X określona wzorem (3.74) jest jedynym rozwiązaniem równa-nia (3.73) takim, że

d(ϕ(t), ψ(t)) ≤ ε∗1(t), d(ψ(t), ϕ(t)) ≤ ε∗2(t), t ∈ E.

Równanie różnicowe

ψ(i) = Φ(i, ψ(i+ 1)), i ∈ N, (3.75)

gdzie Φ : N×X → X jest funkcją daną, zaś ψ : N→ X funkcją szukaną, posłużyło wpracy [B27] jako przykład zastosowania Wniosku 3.47. Jest ono bowiem szczególnymprzypadkiem równania (3.73), gdzie E = N, j = 1 oraz f1(i) = i+ 1 dla i ∈ N.

72

Page 73: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

Bibliografia

[1] J.M. Aarts, L. G. Oversteegen, Whitney’s regular families of curves revisited,Contemp. Math. 117, 1–7, Amer. Math. Soc., Providence 1991.

[2] P.S. Alexandrov, Combinatorial topology, Vols. I,II,III, Graylock Press, Balti-more 1956, 1957, 1960.

[3] P.S. Alexandrov, H. Hopf, Topologie I, Springer, Berlin 1935.

[4] S. Alpern, V. S. Prasad, Typical dynamics of volume preserving homeomor-phisms, Cambridge Tracts in Mathematics 139, Cambridge University Press,Cambridge 2000.

[5] S.A. Andrea, On homeomorphisms of the plane which have no fixed points, Abh.Math. Sem. Hamburg 30 (1967), 61–74.

[6] M. A. Armstrong, Basic topology, Springer-Verlag, New York 1983.

[7] K. Baron, W. Jarczyk, Recent results on functional equations in a single variable,perspectives and open problems, Aequationes Math. 61 (2001), No. 1-2, 1–48.

[8] R.B. Barrar, Proof of the fixed point theorems of Poincaré and Birkhoff, Canad.J. Math. 19 (1967), 333–343.

[9] A. Beck, Continuous flows in the plane, Grundlehren der Mathematischen Wis-senschaften 201, Springer-Verlag, Berlin 1974.

[10] F. Béguin, F. Le Roux, Ensemble oscillant d’un homéomorphisme de Brouwer,homéomorphismes de Reeb, Bull. Soc. Math. France 131 (2003), No. 2, 149–210.

[11] W. Benz, Classical geometries in modern contexts. Geometry of real inner pro-duct spaces, Birkhäuser Verlag, Basel 2007.

[12] M. Bessa, J. Rocha, On the fundamental regions of a fixed point free conservativeHénon map, Bull. Austral. Math. Soc. 77 (2008), 37–48.

[13] D. Betten, Sperner-Homöomorphismen auf Ebene, Zylinder und Möbiusband,Abh. Math. Sem. Hamburg 44 (1975), 263–272.

73

Page 74: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

[14] O. Bhatia, G.P. Szegö, Stability theory of dynamical systems, Grundlehren derMathematischen Wissenschaften 161, Springer-Verlag, Berlin 1970.

[15] A. Blokh, E. Coven, M. Misiurewicz, Z. Nitecki, Roots of continuous piecewisemonotone maps of an interval, Acta Math. Univ. Comenian. (N.S.) 60 (1991),No. 1, 3–10.

[16] A. Blokh, L. Oversteegen, A fixed point theorem for branched covering maps ofthe plane, Fund. Math. 206 (2009), No. 1, 77–111.

[17] M. Bonino, A Brouwer-like theorem for orientation reversing homeomorphismsof the sphere, Fund. Math. 182 (2004), No. 1, 1–40.

[18] M. Bonino, Propriétés locales de l’espace des homéomorphismes de Brouwer,Ergodic Theory Dynam. Systems 19 (1999), No. 6, 1405–1423.

[19] L.E.J. Brouwer, Beweis des ebenen Translationssatzes, Math. Ann. 72 (1912),37–54.

[20] M. Brown, A new proof of Brouwer’s lemma on translation arcs, Houston J.Math. 10 (1984), No. 1, 35–41.

[21] M. Brown, Fundamental regions of planar homeomorphisms, Contemp. Math.117, 49–56, Amer. Math. Soc., Providence 1991.

[22] M. Brown, Homeomorphisms of two-dimensional manifolds, Houston J. Math.11 (1985), No. 4, 455–469.

[23] M. Brown, E.E. Slaminka, W. Transue, An orientation preserving fixed point freehomeomorphism of the plane which admits no closed invariant line, TopologyAppl. 29 (1988), 213–217.

[24] J. Brzdęk, J. Chudziak, Z. Páles, A fixed point approach to stability of functionalequations, Nonlinear Anal. 74 (2011), No. 17, 6728–6732.

[25] W.G. Chinn, N.E. Steenrod, First concepts of topology: the geometry of map-pings of segments, curves, circles, and disks, New Mathematical Library 18,Random House, New York 1966.

[26] G. Choquet, Topology, Pure and Applied Mathematics 19, Academic Press, NewYork 1966.

[27] K. Ciepliński, M. C. Zdun, On a system of Schröder equations on the circle,Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg. 13 (2003), No. 7, 1883–1888.

[28] C.C. Cowen, Iteration and the solution of functional equations for functionsanalytic in the unit disk, Trans. Amer. Math. Soc. 265 (1981), No. 1, 69–95.

74

Page 75: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

[29] E.W. Daw, A maximally pathological Brouwer homeomorphism, Trans. Amer.Math. Soc. 343 (1994), 559–573.

[30] J.B. Diaz and B. Margolis, A fixed point theorem of the alternative, for contrac-tions on a generalized complete metric space, Bull. Amer. Math. Soc. 74 (1968),305-309.

[31] J. Dugundji, Topology, Allyn and Bacon, Boston 1966.

[32] F. Dumortier, J. Llibre, J.C. Artés, Qualitative Theory of Planar DifferentialSystems, Springer, Berlin 2006.

[33] M. Elin, V. Goryainov, S. Reich, D. Shoikhet, Fractional iteration and functio-nal equations for functions analytic in the unit disk, Comput. Methods Funct.Theory 2 (2002), No. 2 , 353–366.

[34] R. Engelking, Topologia ogólna, Biblioteka Matematyczna 47, PWN, Warszawa1989.

[35] R. Engelking, K. Sieklucki, Geometria i topologia, cz. II: Topologia, BibliotekaMatematyczna 54, PWN, Warszawa 1980.

[36] D.B.A. Epstein, Pointwise periodic homeomorphisms, Proc. London Math. Soc.(3) 42 (1981), No. 3, 415–460.

[37] D.B.A. Epstein, Prime ends, Proc. London Math. Soc. (3) 42 (1981), No. 3,385–414.

[38] A. Fathi, An orbit closing proof of Brouwer’s lemma on translation arcs, Enseign.Math. 33 (1987), 315–322.

[39] J. Franks, A new proof of the Brouwer plane translation theorem, Ergod. Th.and Dynam. Sys. 12 (1992), 217–226.

[40] J. Franks, A variation on the Poincaré-Birkhoff theorem, Contemp. Math. 81,111–117, Amer. Math. Soc., Providence 1988.

[41] J. Franks, Generalizations of the Poincaré-Birkhoff theorem, Ann. of Math. (2)128 (1988), No. 1, 139–151.

[42] J. Franks, Recurrence and fixed points of surface homeomorphisms, Ergodic The-ory Dynam. Systems 8∗ (1988), Charles Conley Memorial Issue, 99–107.

[43] Y.H. Goo, Square roots of homeomorphisms, J. Chungcheong Math. Soc. 19(2006), No. 4, 409–415.

75

Page 76: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

[44] L. Guillou, A generalized translation theorem for free homeomorphisms of sur-faces, Proc. Amer. Math. Soc. 123 (1995), No. 10, 3243–3250.

[45] L. Guillou, Théorème de translation plane de Brouwer et généralisations duthéorème de Poincaré-Birkhoff, Topology 33 (1994), No. 2, 331–351.

[46] A. Haefliger, G. Reeb, Variétés (non séparées) à une dimension et structuresfeuilletées du plan, Enseign. Math. 3 (1957), 107–126.

[47] N.P. Hájek, Dynamical systems in the plane, Academic Press, London 1968.

[48] J.G. Hocking, G.S. Young, Topology, Addison-Wesley, Reading 1961.

[49] H. Hofer, E. Zehnder, Symplectic invariants and Hamiltonian dynamics, Bir-khäuser Verlag, Basel 1994.

[50] T. Homma, S. Kinoshita, On the regularity of homeomorphisms of En, J. Math.Soc. Japan 5 (1953), 365–371.

[51] T. Homma, H. Terasaka, On the structure of the plane translation of Brouwer,Osaka Math. J. 5 (1953), 233–266.

[52] S.D. Iliadis, An investigation of plane continua by means of Carathéodory primeends, (w jęz. rosyjskim) Dokl. Akad. Nauk SSSR 204 (1972), 1305–1308.

[53] S.D. Iliadis, Positions of continua on the plane and fixed points, (w jęz. rosyj-skim) Vestnik Moskov. Univ. Ser. I Mat. Meh. 25 (1970), No. 4, 66–70.

[54] M.C. Irwin, Smooth Dynamical Systems, Academic Press, London 1980.

[55] T.A. Ivey, J.M. Landsberg, Cartan for beginners: differential geometry via mo-ving frames and exterior differential systems, Graduate Studies in Mathematics61, American Mathematical Society, Providence 2003.

[56] W. Jarczyk, Babbage equation on the circle, Publ. Math. Debrecen 63 (2003),No. 3, 389–400.

[57] G.D. Jones, The embedding of homeomorphisms of the plane in continuous flows,Pac. J. Math. 41 (1972), 421–436.

[58] W. Kaplan, Regular curve-families filling the plane I, Duke Math. J. 7 (1940),154–185.

[59] W. Kaplan, Regular curve-families filling the plane II, Duke Math. J. 8 (1941),11–46.

76

Page 77: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

[60] B. Kerékjártó, On a a geometrical theory of continuous groups, I. Families ofpath-curves of continuous one-parameter groups of the plane, Ann. of Math. 27(1925), No. 2, 105–117.

[61] B. Kerékjártó, The plane translation theorem of Brouwer and the last geometrictheorem of Poinaré, Acta Sci. Math. (Szeged) 4 (1928-29), 86–102.

[62] B. Kerékjártó, Sur le groupe des transformations topologique du plan, Ann. Scu-ola Norm. Sup. Pisa CI. Sci II, Ser. 3 (1934), 393–400.

[63] B. Kerékjártó, Über die fixpunktfreien Abbildungen der Ebene, Acta Sci. Math.(Szeged) 6 (1932-34), 226–234.

[64] B. Kerékjártó, Vorlesungen über Topologie, Springer, Berlin 1923.

[65] D.E. Knuth, The Art of Computer Programming, Vol. 2, Addison-Wesley, Re-ading 1981.

[66] J. Krasinkiewicz, On internal composants of indecomposable plane continua,Fund. Math. 84 (1974), No. 3, 255–263.

[67] M. Kuczma, Functional equations in a single variable, Monografie Matema-tyczne 46, PWN, Warszawa 1968.

[68] M. Kuczma, On the functional equation ϕn(x) = g(x), Ann. Polon. Math. 11(1961), 161–175.

[69] M. Kuczma, B. Choczewski, R. Ger, Iterative functional equation, Encyclopediaof Mathematics and Its Applications 32, Cambridge University Press, Cam-bridge 1990.

[70] K. Kuratowski, Topologie I, Monografie Matematyczne 20, Warszawa 1952.

[71] K. Kuratowski, Topologie II. Espaces compacts, espaces connexes, plan euclidien,Monografie Matematyczne 21, Warszawa-Wrocław 1950.

[72] P. Le Calvez, Un version feuilletée du théorème de translation de Brouwer, Com-ment. Math. Helv. 79 (2004), 229–259.

[73] P. Le Calvez, Une version feuilletée équivariante du théorème de translation deBrouwer, Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 102 (2005), 1—98.

[74] P. Le Calvez, A. Sauzet, Un démonstration dynamique du théorème de transla-tion de Brouwer, Expo. Math. 14 (1996), 277–287.

[75] F. Le Roux, Classes de conjugaison des flots du plan topologiquement équivalentsau flot de Reeb, C. R. Acad. Sci. Paris 328, No. 1 (1999), 45–50.

77

Page 78: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

[76] F. Le Roux, Ensemble oscillant d’un homéomorphisme de Brouwer, homéomor-phismes de Reeb, Bull. Soc. Math. France 131 (2003), No. 2, 149–210.

[77] F. Le Roux, Il n’y pas de classification borélienne des homéomorphismes deBrouwer, Ergod. Th. and Dynam. Sys. 21 (2001), 233–247.

[78] F. Le Roux, Structures des homéomorphismes de Brouwer, Geom. Topol. 9(2005), 1689–1774.

[79] Lin Li, Dilian Yang, Weinian Zhang, A note on iterative roots of PM functions,J. Math. Anal. Appl. 341 (2008), No. 2, 1482–1486.

[80] J. Llibre, A. Mahdi, N. Vulpe, Phase portraits and invariant straight lines ofcubic polynomial vector fields having a quadratic rational first integral, RockyMountain J. Math. 41 (2011), No. 5, 1585-1629.

[81] S. Łojasiewicz, Solution générale de l’équation fonctionelle f(f(. . . f(x) . . .)) =g(x), Ann. Soc. Polon. Math. 24 (1951), 88–91.

[82] R.J. Martin, Möbius splines are closed under continuous iteration, AequationesMath. 64 (2002), No. 3, 274–296.

[83] S. Matsumoto, A characterization of the standard Reeb flow, Hokkaido Math.J. 42 (2013), No. 1, 69-80.

[84] S. Matsumoto, Flows of flowable Reeb homeomorphisms, Ann. Inst. Fourier,Grenoble 62 (2012), No. 3, 887-897.

[85] S. Mazurkiewicz, Sur les lignes de Jordan, Fund. Math. 1 (1920), 166–209.

[86] R.C. McCann, Planar dynamical systems without critical points, Funkcial.Ekvac. 13 (1970), 67–95.

[87] J. Milnor, Dynamics in one complex variable, Annals of Mathematics Studies160, Princeton University Press, Princeton 2006.

[88] J. Mioduszewski, Wykłady z topologii. Zbiory spójne i kontinua, WydawnictwoUŚ, Katowice 2003.

[89] R.L. Moore, Foundations of point set theory, Colloquium Publications 13, Ame-rican Mathematical Society, Providence 1962.

[90] H. Nakayama, A non flowable plane homeomorphism whose non Hausdorff setconsists of two disjoint lines, Houston J. Math. 21 (1995), No. 3, 569–572.

[91] H. Nakayama, Limit sets and square roots of homeomorphisms, Hiroshima Math.J. 26 (1996), 405–413.

78

Page 79: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki

[92] H. Nakayama, On dimensions of non-Hausdorff sets for plane homeomorphisms,J. Math. Soc. Japan 47 (1995), No. 4, 789–793.

[93] M.H.A. Newman, Elements of the topology of plane sets of points, CambridgeUniversity Press, London 1951.

[94] V.V. Nemytskii, V.V. Stepanov, Qualitative theory of differential equations,Princeton Mathematical Series 22, Princeton University Press, Princeton 1960.

[95] A. O’Farrell, F. Le Roux, M. Roginskaya, I. Short, Flowability of plane home-omorphisms, Ann. Inst. Fourier, Grenoble 62 (2012), No. 2, 619–639.

[96] A. Pelczar, Wstęp do teorii równań różniczkowych, cz. II: Elementy jakościowejteorii równań różniczkowych, PWN, Warszawa 1989.

[97] L. S. Pontryagin, Foundations of combinatorial topology, Graylock Press, Ro-chester 1952.

[98] C. Pommerenke, Boundary behaviour of conformal maps, Grundlehren der Ma-thematischen Wissenschaften 299, Springer-Verlag, Berlin 1992.

[99] W. Scherrer, Translationen über einfach zusammenhängende Gebiete, Viertelk-schr. Naturf. Ges. Zurich 70 (1925), 77–84.

[100] G. Scorza Dragoni, Über die fixpunktfreien Abbildungen der Ebene, Abh. Math.Sem. Hamburg 14 (1941), 1–21.

[101] K. Sieklucki, On a class of plane acyclic continua with the fixed point property,Fund. Math. 63 (1968), 257–278.

[102] Yong-Guo Shi, Li Chen, Meromorphic iterative roots of linear fractional func-tions, Sci. China Ser. A 52 (2009), No. 5, 941–948.

[103] E.E. Slaminka, A Brouwer translation theorem for free homeomorphisms,Trans. Amer. Math. Soc. 306 (1988), No. 1, 277–291.

[104] P. Solarz, Iterative roots of homeomorphisms possessing periodic points, Ann.Acad. Pedagog. Crac. Stud. Math. 6 (2007), 77–93.

[105] E. Sperner, Über die fixpunktfreien Abbildungen der Ebene, Abh. Math. Sem.Hamburg 10 (1934), 1–47.

[106] G. Targoński, Progres of iteration theory since 1981, Aequationes Math. 50(1995), No. 1-2, 50–72.

[107] G. Targoński, Topics in iteration theory, Vandenhoeck und Ruprecht, Göttin-gen 1981.

79

Page 80: Autoreferat - Uniwersytet Śląskizałączniknr2adownioskuhabilitacyjnego Autoreferat ZbigniewLeśniak Podstawowedaneosobowe: Imięinazwisko: ZbigniewLeśniak Adres: InstytutMatematyki