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INTEGRAIS TRIPLAS

Seja B ⊂ R3; dizemos que B é limitado se existir um paralelepipedo

A = (x , y , z) | a ≤ x ≤ a1, b ≤ y ≤ b1, c ≤ z ≤ c1 = [a, a1]× [b, b1]× [c, c1]

contendo B.

Consideramos

P1 : a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = a1

P2 : b = y0 < y1 < y2 < . . . < ym = b1

P3 : c = z0 < z1 < z2 < . . . < zp = c1

partições de [a, a1] , [b, b1] e [c, c1] respectivamente. Chamamos P = P1 × P2 × P3

partição do paralelepípedo A, Ficam assim determinados mnp paralelepípedos

Aijk =

(x , y , z) | xi−1 ≤ x ≤ xi , yj−1 ≤ y ≤ yj , zk−1 ≤ z ≤ zk,

Por cada Aijk escolhemos um ponto Xijk ∈ Aijk .

INTEGRAIS TRIPLAS

contendo B. Consideramos

P1 : a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = a1

P2 : b = y0 < y1 < y2 < . . . < ym = b1

P3 : c = z0 < z1 < z2 < . . . < zp = c1

partição do paralelepípedo A,

Ficam assim determinados mnp paralelepípedos

Aijk =

INTEGRAIS TRIPLAS

contendo B. Consideramos

P1 : a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = a1

P2 : b = y0 < y1 < y2 < . . . < ym = b1

P3 : c = z0 < z1 < z2 < . . . < zp = c1

partição do paralelepípedo A, Ficam assim determinados mnp paralelepípedos

Aijk =

INTEGRAIS TRIPLAS

Seja f : B ⊂ R3 → R. Definimos soma de Riemann de f , relativa à partição P e aospontos Xijk o seguinte numero

n∑i=1

m∑j=1

p∑k=1

f(Xijk

)∆xi∆yj∆zk

onde f(Xijk

)deve ser substituído por zero se Xijk /∈ B.

A integral tripla de f sobre B è dado pelo seguinte limite (caso exista)∫∫∫Bf (x , y , z)dxdydz = lim

∆→0

n∑i=1

m∑j=1

p∑k=1

f(Xijk

)∆xi∆yj∆zk

onde ∆ = max

∆xi ,∆yj ,∆zk | i = 1 . . . n, j = 1 . . .m, k = 1 . . . p

INTEGRAIS TRIPLAS

Seja f : B ⊂ R3 → R. Definimos soma de Riemann de f , relativa à partição P e aospontos Xijk o seguinte numero

n∑i=1

m∑j=1

p∑k=1

f(Xijk

)∆xi∆yj∆zk

onde f(Xijk

)deve ser substituído por zero se Xijk /∈ B.

A integral tripla de f sobre B è dado pelo seguinte limite (caso exista)∫∫∫Bf (x , y , z)dxdydz = lim

∆→0

n∑i=1

m∑j=1

p∑k=1

f(Xijk

)∆xi∆yj∆zk

onde ∆ = max

∆xi ,∆yj ,∆zk | i = 1 . . . n, j = 1 . . .m, k = 1 . . . p

INTEGRAIS TRIPLAS

Seja B ⊂ R3. Dizemos que B tem conteúdo nulo |B| = 0 se, para todo ε > 0, existirum número finito de paralelepipedos A1,A2, . . . ,An tais que

D ⊂ A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An

m (Ai ) < ε

onde m (Ai ) é o volume de Ai .

EXEMPLOS

• A reunião de um número finito de conjuntos de conteúdo nulo tem conteúdo nulo

• Seja f : K ⊂ R2 continua e K compacto (fechado e limitado). O grafico de f

(x , y , f (x , y)) | (x , y) ∈ K

tem conteudo nulo.

• Seja ϕ : Ω ⊂ R2 → R3 de classe C1 e Ω aberto. Se

K ⊂ Ω compacto ⇒ |ϕ(K)| = 0

INTEGRAIS TRIPLAS

D ⊂ A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An

m (Ai ) < ε

EXEMPLOS

(x , y , f (x , y)) | (x , y) ∈ K

tem conteudo nulo.

INTEGRAIS TRIPLAS

D ⊂ A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An

m (Ai ) < ε

EXEMPLOS

(x , y , f (x , y)) | (x , y) ∈ K

tem conteudo nulo.

INTEGRAIS TRIPLAS

D ⊂ A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An

m (Ai ) < ε

EXEMPLOS

(x , y , f (x , y)) | (x , y) ∈ K

tem conteudo nulo.

SUFICIENTE PARA INTEGRABILIDADE

Teorema

Seja B ⊂ R3 um conjunto limitado e seja f : B → R uma função contínua elimitada. Se a fronteira de B tiver conteúdo nulo, então f será integrável em B.

Corolario

Seja B ⊂ R3 um conjunto compacto e seja f : B → R uma função contínua. Se afronteira de B tiver conteúdo nulo, então f será integrável em B.

SUFICIENTE PARA INTEGRABILIDADE

Teorema

Seja B ⊂ R3 um conjunto limitado e seja f : B → R uma função contínua elimitada. Se a fronteira de B tiver conteúdo nulo, então f será integrável em B.

Corolario

Seja B ⊂ R3 um conjunto compacto e seja f : B → R uma função contínua. Se afronteira de B tiver conteúdo nulo, então f será integrável em B.

PROPRIEDADES DA INTEGRAL

Sejam f e g integraveis em B e seja k uma constante. Tem-se

1. f + g e kf são integráveis e

a)∫∫

B [f (x , y , z) + g(x , y , z)]dxdydz =∫∫

B f (x , y , z)dxdydz +∫∫

B g(x , y)dxdydz

b)∫∫

B kf (x , y , z)dxdydz = k∫∫

B f (x , y , z)dxdydz

2. f (x , y , z) > 0 em B ⇒∫∫

B f (x , y , z)dxdydz > 0.

3. f (x , y , z) 6 g(x , y , z) em B ⇒∫∫

B f (x , y , z)dxdydz 6∫∫

B g(x , y , z)dxdydz

4. Se B tiver conteúdo nulo (i.e. |B| =∫∫

B dxdydz = 0), então∫∫Bf (x , y , z)dxdydz = 0

5. se o conjunto E = (x , y , z) ∈ B|f (x , y , z) 6= g(x , y , z) tiver conteúdo nulo (i.e.|E | = 0), então ∫∫

Bf (x , y , z)dxdydz =

∫∫Bg(x , y , z)dxdydz

6. se f for integrável em B1 e B ∩ B1 tiver conteúdo nulo (i.e. |B ∩ B1| = 0), então∫∫B∪B1

f (x , y , z)dxdydz =

∫∫Bf (x , y , z)dxdydz +

∫∫B1

f (x , y , z)dxdydz

REDUÇÃO DO CALCULO DE UMA INTEGRAL TRIPLA A UMA DUPLA

• Seja K ⊂ R2 com |∂K | = 0

g(x , y) ≤ h(x , y) ∀(x , y) ∈ K

• Seja B = (x , y , z) | g(x , y) ≤ z ≤ h(x , y), (x , y) ∈ K

Então |∂B| = 0 e∫∫∫Bf (x , y , z)dxdydz =

∫∫K

[∫ h(x,y)

g(x,y)f (x , y , z)dz

• Seja K ⊂ R2 com |∂K | = 0

g(x , y) ≤ h(x , y) ∀(x , y) ∈ K

• Seja B = (x , y , z) | g(x , y) ≤ z ≤ h(x , y), (x , y) ∈ K

Então |∂B| = 0 e∫∫∫Bf (x , y , z)dxdydz =

∫∫K

[∫ h(x,y)

g(x,y)f (x , y , z)dz

Sob analogas condições temos∫∫∫Bf (x , y , z)dxdydz =

∫∫K

[∫ h(x,z)

g(x,z)f (x , y , z)dy

onde B = (x , y , z)|g(x , z) 6 y 6 h(x , z), (x , z) ∈ K.

e tambem

∫∫∫Bf (x , y , z)dxdydz =

∫∫K

[∫ h(y,z)

g(y,z)f (x , y , z)dx

onde B = (x , y , z)|g(y , z) 6 x 6 h(y , z), (y , z) ∈ K.

Sob analogas condições temos∫∫∫Bf (x , y , z)dxdydz =

∫∫K

[∫ h(x,z)

g(x,z)f (x , y , z)dy

onde B = (x , y , z)|g(x , z) 6 y 6 h(x , z), (x , z) ∈ K.

e tambem

∫∫∫Bf (x , y , z)dxdydz =

∫∫K

[∫ h(y,z)

g(y,z)f (x , y , z)dx

onde B = (x , y , z)|g(y , z) 6 x 6 h(y , z), (y , z) ∈ K.

EXEMPLOS

EXEMPLO 1. Calcule∫∫∫

B xdxdydz, onde B é o conjunto de todos (x , y , z) tais que

(x , y , z) ∈ R3|0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x e 0 ≤ z ≤ x + y

SoluçãoPondo K =

(x , y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x

, temos

(x , y , z) ∈ R3|0 ≤ z ≤ x + y , (x , y) ∈ K.

Portanto ∫∫∫Bxdxdydz =

∫∫K

[∫ x+y

]dxdy =

∫∫K

[[xz]x+y

∫∫K

(x2 + xy

)dxdy =

[[x2y +

32x3dx =

EXEMPLOS

(x , y , z) ∈ R3|0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x e 0 ≤ z ≤ x + y

SoluçãoPondo K =

(x , y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x

, temos

(x , y , z) ∈ R3|0 ≤ z ≤ x + y , (x , y) ∈ K.

∫∫K

[∫ x+y

]dxdy =

∫∫K

[[xz]x+y

∫∫K

(x2 + xy

)dxdy =

[[x2y +

32x3dx =

EXEMPLOS

(x , y , z) ∈ R3|0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x e 0 ≤ z ≤ x + y

SoluçãoPondo K =

(x , y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x

, temos

(x , y , z) ∈ R3|0 ≤ z ≤ x + y , (x , y) ∈ K.

∫∫K

[∫ x+y

]dxdy =

∫∫K

[[xz]x+y

∫∫K

(x2 + xy

)dxdy =

[[x2y +

32x3dx =

Volume de um solido

Seja B ⊂ R3, limitado e com |∂B| = 0. Definimos

volume de B =

∫∫∫Bdxdydz

Volume de um solido

EXEMPLO 2. Calcule o volume do conjunto

(x , y , z) | x2 + y2 ≤ z ≤ 2− x2 − y2

Solução. Temosx2 + y2 = 2− x2 − y2 ⇔ x2 + y2 = 1

Portanto pondo K =

(x , y) | x2 + y2 ≤ 1, temos

(x , y , z) ∈ R3 | x2 + y2 ≤ z ≤ 2− x2 − y2, (x , y) ∈ K.

volume de B =

∫∫∫Bdxdydz =

∫∫K

[∫ 2−x2−y2

x2+y2dz

]dxdy = 2

∫∫K

(1− x2 − y2) dxdy

∫ 2π

[∫ 1

(1− ρ2) ρdρ] dθ =

Volume de um solido

EXEMPLO 2. Calcule o volume do conjunto

(x , y , z) | x2 + y2 ≤ z ≤ 2− x2 − y2Solução. Temos

x2 + y2 = 2− x2 − y2 ⇔ x2 + y2 = 1

Portanto pondo K =

(x , y) | x2 + y2 ≤ 1, temos

(x , y , z) ∈ R3 | x2 + y2 ≤ z ≤ 2− x2 − y2, (x , y) ∈ K.

volume de B =

∫∫∫Bdxdydz =

∫∫K

[∫ 2−x2−y2

x2+y2dz

]dxdy = 2

∫∫K

(1− x2 − y2) dxdy

∫ 2π

[∫ 1

(1− ρ2) ρdρ] dθ =

Massa de um solido

Seja B ⊂ R3, compacto e com fronteira de conteúdo nulo. Imaginemos B como umsólido. Por uma função densidade volumétrica de massa associada a B entendemosuma função δ : B → R tal que para todo B1 ⊂ B.

massa de B1 =

∫∫∫B1δ(x , y , z)dV

desde que a integral exista.

Massa de um solido

EXEMPLO 3. Calcule a massa do cilindro x2 + y2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1, admitindo que adensidade seja δ(x , y , z) = x2.

Solução. Temos

massa de B =

∫∫∫Bδ(x , y , z)dxdydz =

∫∫∫Bx2dxdydz =

∫∫K

[∫ 1

onde K é o círculo x2 + y2 ≤ 1. Como∫ 10 x2dz =

[x2z]10 = x2, temos

massa de B =

∫∫Kx2dxdy =

∫ 2π

[∫ 1

0ρ3 cos2 θdρ

]dθ =

∫ 2π

0[1+ cos 2θ]dθ =

Massa de um solido

EXEMPLO 3. Calcule a massa do cilindro x2 + y2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1, admitindo que adensidade seja δ(x , y , z) = x2.

Solução. Temos

massa de B =

∫∫∫Bx2dxdydz =

∫∫K

[∫ 1

onde K é o círculo x2 + y2 ≤ 1. Como∫ 10 x2dz =

[x2z]10 = x2, temos

massa de B =

∫∫Kx2dxdy =

∫ 2π

[∫ 1

0ρ3 cos2 θdρ

]dθ =

∫ 2π

0[1+ cos 2θ]dθ =

Volume e Massa de um solido

EXEMPLO 4. Calcule o volume do conjunto B de todos (x , y , z) tais quex ≤ z ≤ 1− y2, x ≥ 0 e y ≥ 0

Solução. Precisamos determinar K = projOxy(B). Claramente

(x , y) | x ≤ 1− y2

EXEMPLO 4. Calcule o volume do conjunto B de todos (x , y , z) tais quex ≤ z ≤ 1− y2, x ≥ 0 e y ≥ 0

Solução. Precisamos determinar K = projOxy(B). Claramente

(x , y) | x ≤ 1− y2

Como B =

(x , y , z) | x ≤ z ≤ 1− y2, x ≥ 0 e y ≥ 0e K =

(x , y) | x ≤ 1− y2

Volume (B) =

∫∫∫Bdxdydz =

∫∫K

[∫ 1−y2

∫∫K

(1− y2 − x

)dxdy =

[∫ 1−y2

(1− y2 − x

Como∫ 1−y2

0(1− y2 − x

[x − xy2 − x2

]1−y2

[1− 2y2 + y4], temos

Volume (B) =12

(1− 2y2 + y4) dy =

Como B =

(x , y , z) | x ≤ z ≤ 1− y2, x ≥ 0 e y ≥ 0e K =

(x , y) | x ≤ 1− y2

Volume (B) =

∫∫∫Bdxdydz =

∫∫K

[∫ 1−y2

∫∫K

(1− y2 − x

)dxdy =

[∫ 1−y2

(1− y2 − x

Como∫ 1−y2

0(1− y2 − x

[x − xy2 − x2

]1−y2

[1− 2y2 + y4], temos

Volume (B) =12

(1− 2y2 + y4) dy =

EXEMPLO 5. Calcule o volume do conjunto B de todos (x , y , z) tais que z ≥ x2 + y2

e x2 + y2 + z2 ≤ 2

Solução. Precisamos determinar K = projOx y(B). Primeiro calculamos a interseção

das superficies z = x2 + y2 e x2 + y2 + z2 = 2. Temos

x2 + y2 +(x2 + y2)2 = 2⇔ x2 + y2 =

−1±√1 + 8

Portanto K é o círculo x2 + y2 ≤ 1. Daí,

volume =

∫∫∫Bdxdydz =

∫∫K

[∫ √2−x2−y2

x2+y2dz

]dxdy =

∫∫K

[√2− x2 − y2 − x2 − y2

∫ 2π

[∫ 1

(ρ√

2− ρ2 − ρ3)dρ

]dθ = · · · =

8√2− 712

EXEMPLO 5. Calcule o volume do conjunto B de todos (x , y , z) tais que z ≥ x2 + y2

e x2 + y2 + z2 ≤ 2

Solução. Precisamos determinar K = projOx y(B). Primeiro calculamos a interseção

das superficies z = x2 + y2 e x2 + y2 + z2 = 2. Temos

x2 + y2 +(x2 + y2)2 = 2⇔ x2 + y2 =

−1±√1 + 8

Portanto K é o círculo x2 + y2 ≤ 1. Daí,

volume =

∫∫∫Bdxdydz =

∫∫K

[∫ √2−x2−y2

x2+y2dz

]dxdy =

∫∫K

[√2− x2 − y2 − x2 − y2

∫ 2π

[∫ 1

(ρ√

2− ρ2 − ρ3)dρ

]dθ = · · · =

8√2− 712

EXEMPLO 6. Calcule o volume do conjunto B de todos os pontos (x , y , z) tais quex2 + y2 ≤ z ≤ 2x + 2y − 1.

Solução. Precisamos determinar K = projOxy(B). Primeiro calculamos a interseção

das superficies x2 + y2 = z e z =≤ 2x + 2y − 1. Temos

x2 + y2 = 2x + 2y − 1⇔ (x − 1)2 + (y − 1)2 = 1,

portanto K é o círculo (x − 1)2 + (y − 1)2 ≤ 1.

EXEMPLO 6. Calcule o volume do conjunto B de todos os pontos (x , y , z) tais quex2 + y2 ≤ z ≤ 2x + 2y − 1.

Solução. Precisamos determinar K = projOxy(B). Primeiro calculamos a interseção

das superficies x2 + y2 = z e z =≤ 2x + 2y − 1. Temos

x2 + y2 = 2x + 2y − 1⇔ (x − 1)2 + (y − 1)2 = 1,

portanto K é o círculo (x − 1)2 + (y − 1)2 ≤ 1.

Então

volume de B =

∫∫K

[∫ 2x+2y−1

x2+y2dz

]dxdy =

∫∫K

[1− (x − 1)2 − (y − 1)2

Pondo x − 1 = ρ cos θ

y − 1 = ρ sen θ

Temos K = (ρ, θ) | 0 6 θ 6 2π e 0 6 ρ 6 1, portanto

volume de B =

∫ 2π

[∫ 1

(1− ρ2) ρdρ] dθ =

MUDANCA DE VARIÃVEIS NA INTEGRAL TRIPLA

O teorema de mudança de variáveis na integral dupla estende-se sem nenhumamodificação para integrais triplas.

Teorema (de mudança de variáveis na integral tripla).Suponhamos que:

• ϕ : Ω ⊂ R3 → R3, com Ω aberto, de classe C1, onde

ϕ(u, v ,w) = (x(u, v ,w), y(u, v ,w), z(u, v ,w))

• Buvw ⊂ Ω compacto, com |∂Buvw | = 0 e tal que

ϕ(Buvw ) = B

onde B = ϕ(Buvw ), B := interior de B e Buvw := interior de Buvw .

• ∂(x,y,z)∂(u,v,w)

6= 0 para todo (u, v ,w) ∈Buvw .

Nestas condiçães, se f : B → R for integrável em B, então∫∫∫Bf (x , y , z)dxdydz =

∫∫∫Buvw

f (ϕ(u, v ,w))

∣∣∣∣ ∂(x , y , z)

∂(u, v ,w)

∣∣∣∣ dudvdw

ϕ(Buvw ) = B

• ∂(x,y,z)∂(u,v,w)

∫∫∫Buvw

f (ϕ(u, v ,w))

∣∣∣∣ ∂(x , y , z)

∂(u, v ,w)

∣∣∣∣ dudvdw

ϕ(Buvw ) = B

• ∂(x,y,z)∂(u,v,w)

∫∫∫Buvw

f (ϕ(u, v ,w))

∣∣∣∣ ∂(x , y , z)

∂(u, v ,w)

∣∣∣∣ dudvdw

ϕ(Buvw ) = B

• ∂(x,y,z)∂(u,v,w)

∫∫∫Buvw

f (ϕ(u, v ,w))

∣∣∣∣ ∂(x , y , z)

∂(u, v ,w)

∣∣∣∣ dudvdw19

Bsen(x+y−z)x+2y+z

dxdydz onde

(x , y , z) | 1 6 x + 2y + z 6 2, 0 6 x + y − z 6π

4, 0 6 z 6 1

Solução. Pondo u = x + y − z, v = x + 2y + z e w = z, temos

Buvw =

(u, v ,w) | 0 6 u 6π

4, 1 6 v 6 2 e 0 6 w 6 1

u = x + y − z

v = x + 2y + z

x = 2u − v + 3wy = −u + v − 2wz = w

⇒∂(x , y , z)

∂(u, v ,w)=

∂x∂u

∂x∂v

∂x∂w

∂y∂u

∂y∂v

∂y∂w

∂z∂u

∂z∂v

∂z∂w

= 1 ⇒ dxdydz = dudvdw

∫∫∫B

sen(x + y − z)

x + 2y + zdxdydz =

∫∫∫Bmw

vdudvdw =

∫∫K

[∫ 1

∫∫K

vdudv =

∫ π4

0sen udu =

(1−√22

)ln 2.

Bsen(x+y−z)x+2y+z

dxdydz onde

(x , y , z) | 1 6 x + 2y + z 6 2, 0 6 x + y − z 6π

4, 0 6 z 6 1

Buvw =

(u, v ,w) | 0 6 u 6π

4, 1 6 v 6 2 e 0 6 w 6 1

u = x + y − z

v = x + 2y + z

x = 2u − v + 3wy = −u + v − 2wz = w

⇒∂(x , y , z)

∂(u, v ,w)=

∂x∂u

∂x∂v

∂x∂w

∂y∂u

∂y∂v

∂y∂w

∂z∂u

∂z∂v

∂z∂w

∫∫∫B

sen(x + y − z)

x + 2y + zdxdydz =

∫∫∫Bmw

vdudvdw =

∫∫K

[∫ 1

∫∫K

vdudv =

∫ π4

0sen udu =

(1−√22

)ln 2.

Bsen(x+y−z)x+2y+z

dxdydz onde

(x , y , z) | 1 6 x + 2y + z 6 2, 0 6 x + y − z 6π

4, 0 6 z 6 1

Buvw =

(u, v ,w) | 0 6 u 6π

4, 1 6 v 6 2 e 0 6 w 6 1

u = x + y − z

v = x + 2y + z

x = 2u − v + 3wy = −u + v − 2wz = w

⇒∂(x , y , z)

∂(u, v ,w)=

∂x∂u

∂x∂v

∂x∂w

∂y∂u

∂y∂v

∂y∂w

∂z∂u

∂z∂v

∂z∂w

∫∫∫B

sen(x + y − z)

x + 2y + zdxdydz =

∫∫∫Bmw

vdudvdw =

∫∫K

[∫ 1

∫∫K

vdudv =

∫ π4

0sen udu =

(1−√22

)ln 2.

Bsen(x+y−z)x+2y+z

dxdydz onde

(x , y , z) | 1 6 x + 2y + z 6 2, 0 6 x + y − z 6π

4, 0 6 z 6 1

Buvw =

(u, v ,w) | 0 6 u 6π

4, 1 6 v 6 2 e 0 6 w 6 1

u = x + y − z

v = x + 2y + z

x = 2u − v + 3wy = −u + v − 2wz = w

⇒∂(x , y , z)

∂(u, v ,w)=

∂x∂u

∂x∂v

∂x∂w

∂y∂u

∂y∂v

∂y∂w

∂z∂u

∂z∂v

∂z∂w

∫∫∫B

sen(x + y − z)

x + 2y + zdxdydz =

∫∫∫Bmw

vdudvdw =

∫∫K

[∫ 1

∫∫K

vdudv =

∫ π4

0sen udu =

(1−√22

)ln 2.

Bsen(x+y−z)x+2y+z

dxdydz onde

(x , y , z) | 1 6 x + 2y + z 6 2, 0 6 x + y − z 6π

4, 0 6 z 6 1

Buvw =

(u, v ,w) | 0 6 u 6π

4, 1 6 v 6 2 e 0 6 w 6 1

u = x + y − z

v = x + 2y + z

x = 2u − v + 3wy = −u + v − 2wz = w

⇒∂(x , y , z)

∂(u, v ,w)=

∂x∂u

∂x∂v

∂x∂w

∂y∂u

∂y∂v

∂y∂w

∂z∂u

∂z∂v

∂z∂w

∫∫∫B

sen(x + y − z)

x + 2y + zdxdydz =

∫∫∫Bmw

vdudvdw =

∫∫K

[∫ 1

∫∫K

vdudv =

∫ π4

0sen udu =

(1−√22

)ln 2.

EXEMPLO 2. Calcule o volume de

(x , y , z) | 1 6 x + 2y + z 6 2, 0 6 x + y − z 6π

4, 0 6 z 6 1

Solução.

volume de B =

∫∫∫Bdxdydz

Pondo u = x + y − z, v = x + 2y + z e w = z, temos

Buvw =

(u, v ,w)|0 6 u 6π

4, 1 6 v 6 2 e 0 6 w 6 1

volume de B =

∫∫∫Buvw

dudvdw =

∫ π4

EXEMPLO 2. Calcule o volume de

(x , y , z) | 1 6 x + 2y + z 6 2, 0 6 x + y − z 6π

4, 0 6 z 6 1

Solução.

volume de B =

∫∫∫Bdxdydz

Pondo u = x + y − z, v = x + 2y + z e w = z, temos

Buvw =

(u, v ,w)|0 6 u 6π

4, 1 6 v 6 2 e 0 6 w 6 1

volume de B =

∫∫∫Buvw

dudvdw =

∫ π4

COORDENADAS ESFÉRICAS

EXEMPLO 3. (Coordenadas esféricas.) Cada ponto P = (x , y , z) fica determinadopelas suas coordenadas esféricas (θ, ρ, ϕ), onde

• θ é o ângulo entre o vetor−−→OP1 = (x , y , 0) e o semieixo positivo Ox ;

• ρ é o comprimento do vetor−→OP

• ϕ o ângulo entre o vetor−→OP e o semieixo positivo

x = ρ senϕ cos θ

y = ρ senϕ sen θ

z = ρ cosϕ

(θ, ρ, ϕ) ∈ R3|0 6 θ 6 π, ρ > 0 e 0 6 ϕ 6π

Ψ(θ, ρ, ϕ) =

x = ρ senϕ cos θ

y = ρ senϕ sen θ

z = ρ cosϕ

∂(x , y , z)

∂(θ, ρ, ϕ)=

∣∣∣∣∣∣∣−ρ senϕ sen θ sen ϕ cos θ ρ cosϕ cos θ

ρ senϕ cos θ senϕ sen θ ρ cosϕ sen θ

0 cosϕ −ρ senϕ

∣∣∣∣∣∣∣ = ρ2 senϕ

Seja Bθρϕ um subconjunto compacto de

(θ, ρ, ϕ) ∈ R3|0 6 θ 6 π, ρ > 0 e 0 6 ϕ 6π

com fronteira de conteúdo nulo |∂Bθρϕ| = 0 Pondo B = Ψ

(Bθρϕ

). Se f for è uma

função contínua em B, tem-se∫∫∫Bf (x , y , z)dxdydz =

∫∫∫Bθρϕ

f (ρ senϕ cos θ, ρ senϕ sen θ, ρ cosϕ)ρ2 sen ϕdθdρdϕ

Ψ(θ, ρ, ϕ) =

x = ρ senϕ cos θ

y = ρ senϕ sen θ

z = ρ cosϕ

∂(x , y , z)

∂(θ, ρ, ϕ)=

0 cosϕ −ρ senϕ

∣∣∣∣∣∣∣ = ρ2 senϕ

(θ, ρ, ϕ) ∈ R3|0 6 θ 6 π, ρ > 0 e 0 6 ϕ 6π

com fronteira de conteúdo nulo |∂Bθρϕ| = 0

Pondo B = Ψ(Bθρϕ

). Se f for è uma

∫∫∫Bθρϕ

Ψ(θ, ρ, ϕ) =

x = ρ senϕ cos θ

y = ρ senϕ sen θ

z = ρ cosϕ

∂(x , y , z)

∂(θ, ρ, ϕ)=

0 cosϕ −ρ senϕ

∣∣∣∣∣∣∣ = ρ2 senϕ

(θ, ρ, ϕ) ∈ R3|0 6 θ 6 π, ρ > 0 e 0 6 ϕ 6π

com fronteira de conteúdo nulo |∂Bθρϕ| = 0 Pondo B = Ψ

(Bθρϕ

). Se f for è uma

∫∫∫Bθρϕ

EXEMPLO 5. Calcule a massa M da esfera x2 + y2 + z2 ≤ 1, supondo que adensidade δ no ponto (x , y , z) é igual à distância deste ponto à origem.

Solução: densidade δ(x , y , z) =√

x2 + y2 + z2

∫∫∫B

√x2 + y2 + z2dxdydz

onde B é a esfera x2 + y2 + z2 ≤ 1. Passando para coordenadas esféricas, obtemos√x2 + y2 + z2 = ρ, dxdydz = ρ2 senϕdθdρdϕ

Portanto

∫∫∫Bθρϕ

√ρ2ρ2 senϕdθdρdϕ, Bθρϕ = (θ, ρ, ϕ) | 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ ϕ ≤ π

Segue que

∫ 2π

0ρ3dρ

∫ π

0senϕdϕ = π

x2 + y2 + z2

∫∫∫B

onde B é a esfera x2 + y2 + z2 ≤ 1.

Passando para coordenadas esféricas, obtemos√x2 + y2 + z2 = ρ, dxdydz = ρ2 senϕdθdρdϕ

Portanto

∫∫∫Bθρϕ

Segue que

∫ 2π

0ρ3dρ

∫ π

0senϕdϕ = π

x2 + y2 + z2

∫∫∫B

Portanto

∫∫∫Bθρϕ

Segue que

∫ 2π

0ρ3dρ

∫ π

0senϕdϕ = π

x2 + y2 + z2

∫∫∫B

Portanto

∫∫∫Bθρϕ

Segue que

∫ 2π

0ρ3dρ

∫ π

0senϕdϕ = π

x2 + y2 + z2

∫∫∫B

Portanto

∫∫∫Bθρϕ

Segue que

∫ 2π

0ρ3dρ

∫ π

0senϕdϕ = π

EXEMPLO 6. Calcule o volume do conjunto de todos (x , y , z) tais que

1 ≤ x + y + z ≤ 3, x + y ≤ z ≤ x + y + 2, x ≥ 0 e y ≥ 0

Solução: Façamos a mudança de variáveisu = z − x − y

v = x + y + z

equivalentemente

y = 12 (−u + v − 2w)

z = 12 (u + v)

Temos1 ≤ x + y + z ≤ 3 ⇔ 1 ≤ v ≤ 3

x + y ≤ z ≤ x + y + 2 ⇔ 0 ≤ u ≤ 2

x ≥ 0 ⇔ w ≥ 0

y ≥ 0 ⇔ −u + v ≥ 2w

Buvw =

(u, v ,w) | 1 ≤ v ≤ 3, 0 ≤ u ≤ 2,

−u + v

2≥ w ≥ 0

1 ≤ x + y + z ≤ 3, x + y ≤ z ≤ x + y + 2, x ≥ 0 e y ≥ 0

v = x + y + z

equivalentemente

y = 12 (−u + v − 2w)

z = 12 (u + v)

Temos1 ≤ x + y + z ≤ 3 ⇔ 1 ≤ v ≤ 3

x + y ≤ z ≤ x + y + 2 ⇔ 0 ≤ u ≤ 2

x ≥ 0 ⇔ w ≥ 0

y ≥ 0 ⇔ −u + v ≥ 2w

Buvw =

(u, v ,w) | 1 ≤ v ≤ 3, 0 ≤ u ≤ 2,

−u + v

2≥ w ≥ 0

1 ≤ x + y + z ≤ 3, x + y ≤ z ≤ x + y + 2, x ≥ 0 e y ≥ 0

v = x + y + z

equivalentemente

y = 12 (−u + v − 2w)

z = 12 (u + v)

Temos1 ≤ x + y + z ≤ 3 ⇔ 1 ≤ v ≤ 3

x + y ≤ z ≤ x + y + 2 ⇔ 0 ≤ u ≤ 2

x ≥ 0 ⇔ w ≥ 0

y ≥ 0 ⇔ −u + v ≥ 2w

Buvw =

(u, v ,w) | 1 ≤ v ≤ 3, 0 ≤ u ≤ 2,

−u + v

2≥ w ≥ 0

1 ≤ x + y + z ≤ 3, x + y ≤ z ≤ x + y + 2, x ≥ 0 e y ≥ 0

v = x + y + z

equivalentemente

y = 12 (−u + v − 2w)

z = 12 (u + v)

Temos1 ≤ x + y + z ≤ 3 ⇔ 1 ≤ v ≤ 3

x + y ≤ z ≤ x + y + 2 ⇔ 0 ≤ u ≤ 2

x ≥ 0 ⇔ w ≥ 0

y ≥ 0 ⇔ −u + v ≥ 2w

Buvw =

(u, v ,w) | 1 ≤ v ≤ 3, 0 ≤ u ≤ 2,

−u + v

2≥ w ≥ 0

1 ≤ x + y + z ≤ 3, x + y ≤ z ≤ x + y + 2, x ≥ 0 e y ≥ 0

v = x + y + z

equivalentemente

y = 12 (−u + v − 2w)

z = 12 (u + v)

Temos1 ≤ x + y + z ≤ 3 ⇔ 1 ≤ v ≤ 3

x + y ≤ z ≤ x + y + 2 ⇔ 0 ≤ u ≤ 2

x ≥ 0 ⇔ w ≥ 0

y ≥ 0 ⇔ −u + v ≥ 2w

Buvw =

(u, v ,w) | 1 ≤ v ≤ 3, 0 ≤ u ≤ 2,

−u + v

2≥ w ≥ 0

1 ≤ x + y + z ≤ 3, x + y ≤ z ≤ x + y + 2, x ≥ 0 e y ≥ 0

v = x + y + z

equivalentemente

y = 12 (−u + v − 2w)

z = 12 (u + v)

Temos1 ≤ x + y + z ≤ 3 ⇔ 1 ≤ v ≤ 3

x + y ≤ z ≤ x + y + 2 ⇔ 0 ≤ u ≤ 2

x ≥ 0 ⇔ w ≥ 0

y ≥ 0 ⇔ −u + v ≥ 2w

Buvw =

(u, v ,w) | 1 ≤ v ≤ 3, 0 ≤ u ≤ 2,

−u + v

2≥ w ≥ 0

1 ≤ x + y + z ≤ 3, x + y ≤ z ≤ x + y + 2, x ≥ 0 e y ≥ 0

v = x + y + z

equivalentemente

y = 12 (−u + v − 2w)

z = 12 (u + v)

Temos1 ≤ x + y + z ≤ 3 ⇔ 1 ≤ v ≤ 3

x + y ≤ z ≤ x + y + 2 ⇔ 0 ≤ u ≤ 2

x ≥ 0 ⇔ w ≥ 0

y ≥ 0 ⇔ −u + v ≥ 2w

Buvw =

(u, v ,w) | 1 ≤ v ≤ 3, 0 ≤ u ≤ 2,

−u + v

2≥ w ≥ 0

Buvw =

(u, v ,w) | 1 ≤ v ≤ 3, 0 ≤ u ≤ 2,

−u + v

2≥ w ≥ 0

Observamos que

−u + v

2≥ w ≥ 0 ⇒

−u + v

2≥ 0 ⇒ v ≥ u

Portanto

volume B =12

∫∫K

[∫ 12 (v−u)

]dudv ,

ondeK = (u, v) | 1 ≤ v ≤ 3, 0 ≤ u ≤ 2, v ≥ u

= (u, v) | 1 ≤ v ≤ 2, 0 ≤ u ≤ v , v ≥ u ∪ (u, v) | 2 ≤ v ≤ 3, 0 ≤ u ≤ 2, v ≥ u

Buvw =

(u, v ,w) | 1 ≤ v ≤ 3, 0 ≤ u ≤ 2,

−u + v

2≥ w ≥ 0

Observamos que

−u + v

2≥ w ≥ 0 ⇒

−u + v

2≥ 0 ⇒ v ≥ u

Portanto

volume B =12

∫∫K

[∫ 12 (v−u)

]dudv ,

ondeK = (u, v) | 1 ≤ v ≤ 3, 0 ≤ u ≤ 2, v ≥ u

= (u, v) | 1 ≤ v ≤ 2, 0 ≤ u ≤ v , v ≥ u ∪ (u, v) | 2 ≤ v ≤ 3, 0 ≤ u ≤ 2, v ≥ u

Portanto

volume B =12

∫∫K

[∫ 12 (v−u)

]dudv ,

[∫ v

(v − u)du

[∫ 2

(v − u)du

EXEMPLO 7. Calcule∫∫∫B

√x2 + y2 + z2dxdydz B =

(x , y , z) | x2 + y2 6 z 6

√x2 + y2

Solução. Vamos passar para coordenadas esféricasx = ρ senϕ cos θ

y = ρ senϕ sen θ

z = ρ cosϕ

⇒ dxdydz = ρ2 senϕdϕdρdθ

x2 + y2 6 z 6√

x2 + y2 ⇔ ρ2 sin2 ϕ ≤ ρ cosϕ ≤ ρ sinϕ

⇔ ρ sinϕ ≤cosϕ

sinϕ≤ 1 ⇔ ρ ≤

sin2 ϕeπ

4≤ ϕ ≤

(x , y , z) | x2 + y2 6 z 6

√x2 + y2

Solução. Vamos passar para coordenadas esféricas

x = ρ senϕ cos θ

y = ρ senϕ sen θ

z = ρ cosϕ

x2 + y2 6 z 6√

sinϕ≤ 1 ⇔ ρ ≤

sin2 ϕeπ

4≤ ϕ ≤

(x , y , z) | x2 + y2 6 z 6

√x2 + y2

Solução. Vamos passar para coordenadas esféricas

x = ρ senϕ cos θ

y = ρ senϕ sen θ

z = ρ cosϕ

x2 + y2 6 z 6√

sinϕ≤ 1 ⇔ ρ ≤

sin2 ϕeπ

4≤ ϕ ≤

Portanto

x2 + y2 6 z 6√

x2 + y2 ⇔ ρ ≤cosϕ

sin2 ϕeπ

4≤ ϕ ≤

Bθϕρ =

(θ, ϕ, ρ) | 0 6 θ 6 2π,

46 ϕ 6

2, 0 6 ρ 6

sen2 ϕ

.∫∫∫

√x2 + y2 + z2dxdydz =

∫∫∫Bθϕρ

ρ3 senϕdϕdρdθ

∫∫K

[∫ cosϕ

sen2 ϕ

0ρ3 senϕdρ

]dθdϕ =

∫ π2

cos4 ϕ

sen7 ϕdϕ

pondo ϕ = π2 − u, obtemos

∫ π4

sen4 u

cos7 udu =

∫ π4

0sec3 u

(sec2 u − 1

Para calcular ∫ π4

0sec3 u

(sec2 u − 1

utilize a fórmula de recorrência∫secn xdx =

1n − 1

secn−2 x tg x +n − 2n − 1

∫secn−2 xdx

EXEMPLO 8. Calcule a massa do sólido

(x , y , z) | z > 1, x2 + y2 + z2 6 2z

sendo a densidade no ponto (x , y , z) igual à distância do ponto à origem.

Solução.

massa(B) =

∫∫∫B

Passamos para coordenadas esféricasx = ρ senϕ cos θ

y = ρ senϕ sen θ

z = ρ cosϕ

Temosz > 1 ⇔ ρ cosϕ > 1 ⇔ ρ >

1cosϕ

ex2 + y2 + z2 6 2z ⇔ ρ2 6 2ρ cosϕ ⇔ ρ 6 2 cosϕ

portanto1

cosϕ6 ρ 6 2 cosϕ e

126 cos2 ϕ⇒ 0 6 ϕ 6

⇒ Bθϕρ =

(θ, ϕ, ρ) |

1cosϕ

6 ρ 6 2 cosϕ e 0 6 ϕ 6π

4e 0 6 θ 6 2π

(x , y , z) | z > 1, x2 + y2 + z2 6 2z

sendo a densidade no ponto (x , y , z) igual à distância do ponto à origem. Solução.

massa(B) =

∫∫∫B

y = ρ senϕ sen θ

z = ρ cosϕ

1cosϕ

portanto1

126 cos2 ϕ⇒ 0 6 ϕ 6

⇒ Bθϕρ =

(θ, ϕ, ρ) |

1cosϕ

6 ρ 6 2 cosϕ e 0 6 ϕ 6π

4e 0 6 θ 6 2π

(x , y , z) | z > 1, x2 + y2 + z2 6 2z

massa(B) =

∫∫∫B

y = ρ senϕ sen θ

z = ρ cosϕ

1cosϕ

portanto1

126 cos2 ϕ⇒ 0 6 ϕ 6

⇒ Bθϕρ =

(θ, ϕ, ρ) |

1cosϕ

6 ρ 6 2 cosϕ e 0 6 ϕ 6π

4e 0 6 θ 6 2π

(x , y , z) | z > 1, x2 + y2 + z2 6 2z

massa(B) =

∫∫∫B

y = ρ senϕ sen θ

z = ρ cosϕ

1cosϕ

portanto

1cosϕ

6 ρ 6 2 cosϕ e126 cos2 ϕ⇒ 0 6 ϕ 6

⇒ Bθϕρ =

(θ, ϕ, ρ) |

1cosϕ

6 ρ 6 2 cosϕ e 0 6 ϕ 6π

4e 0 6 θ 6 2π

(x , y , z) | z > 1, x2 + y2 + z2 6 2z

massa(B) =

∫∫∫B

y = ρ senϕ sen θ

z = ρ cosϕ

1cosϕ

portanto1

126 cos2 ϕ⇒ 0 6 ϕ 6

⇒ Bθϕρ =

(θ, ϕ, ρ) |

1cosϕ

6 ρ 6 2 cosϕ e 0 6 ϕ 6π

4e 0 6 θ 6 2π

(x , y , z) | z > 1, x2 + y2 + z2 6 2z

massa(B) =

∫∫∫B

y = ρ senϕ sen θ

z = ρ cosϕ

1cosϕ

portanto1

126 cos2 ϕ⇒ 0 6 ϕ 6

⇒ Bθϕρ =

(θ, ϕ, ρ) |

1cosϕ

6 ρ 6 2 cosϕ e 0 6 ϕ 6π

4e 0 6 θ 6 2π

Bθϕρ =

(θ, ϕ, ρ) |

1cosϕ

6 ρ 6 2 cosϕ e 0 6 ϕ 6π

4e 0 6 θ 6 2π

massa(B) =

∫∫∫B

∫∫K

[∫ 2 cosϕ

1cosϕ

ρ3 senϕdρ

]dθdϕ =

∫∫K

[16 cos4 ϕ−

1cos4 ϕ

]senϕdϕdθ

onde K é o retângulo 0 6 θ 6 2π, 0 6 ϕ 6 π4

massa(B) =π

∫ π4

[16 cos4 ϕ−

1cos4 ϕ

]senϕdϕ

Pondo u = cosϕ e, portanto, du = − senϕdϕ resulta

massa(B) ==π

∫ 1√

[16u4 −

]du = . . .

Bθϕρ =

(θ, ϕ, ρ) |

1cosϕ

6 ρ 6 2 cosϕ e 0 6 ϕ 6π

4e 0 6 θ 6 2π

massa(B) =

∫∫∫B

∫∫K

[∫ 2 cosϕ

1cosϕ

ρ3 senϕdρ

]dθdϕ =

∫∫K

[16 cos4 ϕ−

1cos4 ϕ

]senϕdϕdθ

massa(B) =π

∫ π4

[16 cos4 ϕ−

1cos4 ϕ

]senϕdϕ

massa(B) ==π

∫ 1√

[16u4 −

]du = . . .

Bθϕρ =

(θ, ϕ, ρ) |

1cosϕ

6 ρ 6 2 cosϕ e 0 6 ϕ 6π

4e 0 6 θ 6 2π

massa(B) =

∫∫∫B

∫∫K

[∫ 2 cosϕ

1cosϕ

ρ3 senϕdρ

]dθdϕ

∫∫K

[16 cos4 ϕ−

1cos4 ϕ

]senϕdϕdθ

massa(B) =π

∫ π4

[16 cos4 ϕ−

1cos4 ϕ

]senϕdϕ

massa(B) =π

∫ 1√

[16u4 −

]du = . . .

Bθϕρ =

(θ, ϕ, ρ) |

1cosϕ

6 ρ 6 2 cosϕ e 0 6 ϕ 6π

4e 0 6 θ 6 2π

massa(B) =

∫∫∫B

∫∫K

[∫ 2 cosϕ

1cosϕ

ρ3 senϕdρ

]dθdϕ

∫∫K

[16 cos4 ϕ−

1cos4 ϕ

]senϕdϕdθ

massa(B) =π

∫ π4

[16 cos4 ϕ−

1cos4 ϕ

]senϕdϕ

massa(B) =π

∫ 1√

[16u4 −

]du = . . .

EXEMPLO 9. Calcule∫∫∫Bzdxdydz B =

(x , y , z) |

(x − 1)2

(y − 1)2

9+ z2 6 2z

Solução 1.

(x − 1)2

(y − 1)2

9+ z2 6 2z ⇔

(x − 1)2

(y − 1)2

9+ (z − 1)2 6 1

Vamos, inicialmente, deslocar o centro do elipsoide para a origem.u = x − 1v = y − 1w = z − 1

x = u + 1y = v + 1z = w + 1

⇒∂(x , y , z)

∂(u, v ,w)= 1

Portanto∫∫∫Bzdxdydz =

∫∫∫Buvw

(w+1)dudvdw , Buvw =

(u, v ,w) |

9+ w2 6 1

Vamos, agora, transformar o conjunto em uma esfera.

(x , y , z) |

(x − 1)2

(y − 1)2

9+ z2 6 2z

Solução 1.

(x − 1)2

(y − 1)2

9+ z2 6 2z ⇔

(x − 1)2

(y − 1)2

9+ (z − 1)2 6 1

x = u + 1y = v + 1z = w + 1

⇒∂(x , y , z)

∂(u, v ,w)= 1

∫∫∫Buvw

(u, v ,w) |

9+ w2 6 1

(x , y , z) |

(x − 1)2

(y − 1)2

9+ z2 6 2z

Solução 1.

(x − 1)2

(y − 1)2

9+ z2 6 2z ⇔

(x − 1)2

(y − 1)2

9+ (z − 1)2 6 1

x = u + 1y = v + 1z = w + 1

⇒∂(x , y , z)

∂(u, v ,w)= 1

∫∫∫Buvw

(u, v ,w) |

9+ w2 6 1

(x , y , z) |

(x − 1)2

(y − 1)2

9+ z2 6 2z

Solução 1.

(x − 1)2

(y − 1)2

9+ z2 6 2z ⇔

(x − 1)2

(y − 1)2

9+ (z − 1)2 6 1

x = u + 1y = v + 1z = w + 1

⇒∂(x , y , z)

∂(u, v ,w)= 1

∫∫∫Buvw

(u, v ,w) |

9+ w2 6 1

Vamos, agora, transformar

Buvw =

(u, v ,w) |

9+ w2 6 1

em uma esfera.

X = u2

Y = v3

u = 2Xv = 3Yw = Z

⇒∂(u, v ,w)

∂(X ,Y ,Z)= 6

Portanto∫∫∫Buvw

(w+1)dudvdw = 6∫∫∫

B1(Z+1)dXdYdZ , BXYZ =

(u, v ,w) | X 2 + Y 2 + Z2 ≤ 1

coordenadas esféricas resulta Bθρϕ = (θ, ρ, ϕ) | 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ϕ ≤ π, 0 ≤ ρ ≤ 1∫∫∫

B1(Z + 1)dXdYdZ = 6

∫∫∫Bθϕρ

(ρ cosϕ+ 1)ρ2 senϕdρdϕdθ

= 12π∫ π

[∫ 1

(ρ3 cosϕ+ ρ2) senϕdρ

]dϕ = π

∫ π

0[3 cosϕ senϕ+ 4 senϕ]dϕ

sen2 ϕ− 4 cosϕ

Buvw =

(u, v ,w) |

9+ w2 6 1

em uma esfera.

X = u2

Y = v3

u = 2Xv = 3Yw = Z

⇒∂(u, v ,w)

∂(X ,Y ,Z)= 6

(w+1)dudvdw = 6∫∫∫

(u, v ,w) | X 2 + Y 2 + Z2 ≤ 1

B1(Z + 1)dXdYdZ = 6

∫∫∫Bθϕρ

= 12π∫ π

[∫ 1

]dϕ = π

∫ π

sen2 ϕ− 4 cosϕ

Buvw =

(u, v ,w) |

9+ w2 6 1

em uma esfera.

X = u2

Y = v3

u = 2Xv = 3Yw = Z

⇒∂(u, v ,w)

∂(X ,Y ,Z)= 6

(w+1)dudvdw = 6∫∫∫

(u, v ,w) | X 2 + Y 2 + Z2 ≤ 1

B1(Z + 1)dXdYdZ = 6

∫∫∫Bθϕρ

= 12π∫ π

[∫ 1

]dϕ = π

∫ π

sen2 ϕ− 4 cosϕ

(x , y , z) |

(x − 1)2

(y − 1)2

9+ z2 6 2z

Solução 2. Seja x−12 = ρ senϕ cos θ

y−13 = ρ senϕ sen θ

z − 1 = ρ cosϕ

⇒∂(x , y , z)

∂(θ, ρ, ϕ)= 6ρ2 senϕ

Bθρϕ = (θ, ρ, ϕ) | 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ϕ ≤ π, 0 ≤ ρ ≤ 1

Segue que ∫∫∫Bzdxdydz = 6

∫∫∫Bθϕρ

(1 + ρ cosϕ)ρ2 senϕdρdϕdθ

(x , y , z) |

(x − 1)2

(y − 1)2

9+ z2 6 2z

Solução 2. Seja

x−12 = ρ senϕ cos θ

z − 1 = ρ cosϕ

⇒∂(x , y , z)

Bθρϕ = (θ, ρ, ϕ) | 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ϕ ≤ π, 0 ≤ ρ ≤ 1

∫∫∫Bθϕρ

(x , y , z) |

(x − 1)2

(y − 1)2

9+ z2 6 2z

Solução 2. Seja

z − 1 = ρ cosϕ

⇒∂(x , y , z)

Bθρϕ = (θ, ρ, ϕ) | 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ϕ ≤ π, 0 ≤ ρ ≤ 1

∫∫∫Bθϕρ

(x , y , z) |

(x − 1)2

(y − 1)2

9+ z2 6 2z

Solução 2. Seja

z − 1 = ρ cosϕ

⇒∂(x , y , z)

Bθρϕ = (θ, ρ, ϕ) | 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ϕ ≤ π, 0 ≤ ρ ≤ 1

∫∫∫Bθϕρ

(x , y , z) |

(x − 1)2

(y − 1)2

9+ z2 6 2z

Solução 2. Seja

z − 1 = ρ cosϕ

⇒∂(x , y , z)

Bθρϕ = (θ, ρ, ϕ) | 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ϕ ≤ π, 0 ≤ ρ ≤ 1

∫∫∫Bθϕρ

EXERCICIO. Considere a integral∫∫∫Bf (x , y , z)dxdydz

(x , y , z) | r2 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ R2, a2z2 − x2 − y2 ≥ 0, z ≥ 0

onde 0 < r < R e a > 0 são reais dados e f : B → R é suppsta continua. Passe paracoordenadas esféricas.

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