APROKSYMACJA

Definicja aproksymacji

3

Definicja aproksymacji

4

Definicja aproksymacji

Dana jest funkcja jednej zmiennej:

y = f(x), x[a, b]

Należy dobrać taką funkcję

F(x,p1,...,pk), x[a, b],

aby w sensie przyjętego kryterium,

funkcja F(x,p1,...,pk)

możliwie dokładnie odtwarzała przebieg

funkcji f(x).

p1,...,pk – parametry

wzoru empirycznego

5

Definicja aproksymacji

Funkcja f(x) może być zadana w postaci:

- zbioru punktów (aproksymacja punktowa):

f(x1) = y1, f(x2) = y2, ..., f(xn) = yn

- wzoru analitycznego (aproksymacja integralna) – rzadziej spotykany przypadek

6

Definicja aproksymacji

Kryteria aproksymacji punktowej dla funkcji jednej zmiennej konstruuje się w taki sposób, aby zminimalizować różnice

między wartościami danej funkcji f(x) a wartościami funkcji

F(x, p1, ..., pk) w punktach (xi, yi), i = 1, 2, ..., n.

Odchyłka:

1( , ,..., )i i k iF x p p y

7

Definicja aproksymacji

Ogólna postać funkcji F(x,p1,...,pk) jest założona z góry,

natomiast optymalizacja dotyczy nieznanych parametrów

p1,...,pk

8

Definicja aproksymacji

Typowe metody aproksymacji funkcji jednej zmiennej

Dobór parametrów p1,...,pk wzoru empirycznego, w taki

sposób aby spełnione było założone kryterium dotyczące minimalizacji odchyłek

9

Definicja aproksymacji

Kryteria:

- metoda wybranych punktów

- metoda średnich

- metoda sumowania bezwzględnych wartości

- metoda najmniejszych kwadratów

Metoda najmniejszych kwadratów

11

Metoda najmniejszych kwadratów

Dobór współczynników funkcji F :

2

1

minn

i

i

Kryterium najmniejszych kwadratów:

2

1

1

( , ,..., ) minn

i k i

i

F x p p y

n – ilość punktów

12

Metoda najmniejszych kwadratów

Zalety:

- kryterium jest „mocne” – zawiera kwadraty odchyłek, czyli liczby nieujemne

- prostota obliczeń minimum funkcji, pod warunkiem że rozpatruje się aproksymację w klasie wielomianów uogólnionych, czyli:

1 1 1 2 2( , ,..., ) ( ) ( ) ... ( )k k kF x p p p x p x p x

Aproksymacja liniowa funkcji jednej zmiennej

14

Aproksymacja liniowa funkcji jednej zmiennej

Dany jest zbiór punktów:

1 1 2 2( , ) ( , ) ... ( , )n nx y x y x y

Funkcja aproksymująca:

1 2y p p x

Kryterium najmniejszych kwadratów:

2

1 2 1 2

1

( , ) minn

i i

i

S p p p p x y

15

Aproksymacja liniowa funkcji jednej zmiennej

Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji dwóch zmiennych:

1 2

1

( , )0

S p p

p

1 2

2

( , )0

S p p

p

16

Aproksymacja liniowa funkcji jednej zmiennej

czyli:

1 21 2

11

( , )2 1 0

n

i i

i

S p pp p x y

p

1 21 2

12

( , )2 0

n

i i i

i

S p pp p x y x

p

17

Aproksymacja liniowa funkcji jednej zmiennej

1 2

1

0n

i i

i

p p x y

2

1 2

1

0n

i i i i

i

p x p x y x

1 2

1 1

n n

i i

i i

p n p x y

2

1 2

1 1 1

n n n

i i i i

i i i

p x p x y x

Układ ten zapisujemy w formie:

18

Aproksymacja liniowa funkcji jednej zmiennej

lub:

1 11

22

1 1 1

n n

i i

i i

n n n

i i i i

i i i

n x yp

px x y x

X P Y

Liczymy:

1 P X Y

Aproksymacja funkcji jednej zmiennej – inna funkcja

aproksymująca

20

Aproksymacja funkcji jednej zmiennej – inna funkcja aproksymująca

Dany jest zbiór punktów:

1 1 2 2( , ) ( , ) ... ( , )n nx y x y x y

Funkcja aproksymująca:

1 2 3

1y p p x p

x

Kryterium najmniejszych kwadratów:

2

1 2 3 1 2 3

1

1( , , ) min

n

i i

i i

S p p p p p x p yx

21

Aproksymacja funkcji jednej zmiennej – inna funkcja aproksymująca

czyli:

1 2 31 2 3

11

( , , ) 12 1 0

n

i i

i i

S p p pp p x p y

p x

1 2 31 2 3

12

( , , ) 12 0

n

i i i

i i

S p p pp p x p y x

p x

1 2 31 2 3

13

( , , ) 1 12 0

n

i i

i i i

S p p pp p x p y

p x x

22

Aproksymacja funkcji jednej zmiennej – inna funkcja aproksymująca

1 1 1

1

2

2

1 1 1

3

21 1 1

1

1 1 1

n n n

i ii i i i

n n n

i i i i

i i i

n n n

i

i i ii i i

n x yx

p

x x n p x y

p

n yx x x

X P Y

1 P X Y