PaweÃl DomanskiPoznan, 28.09.2005

ANALIZA MATEMATYCZNA DLA INFORMATYKOWProgram wykÃladu ANI213

WykÃlad 1

1. Rozniczkowanie funkcji wielu zmiennych:

• dÃlugosc wektora, norma i ich rownowaznosc na Rn;

• rozne metody reprezentowania funkcji wielu zmiennych;

• ciagÃlosc odwzorowania wielu zmiennych;

• ciagÃlosc odwzorowania liniowego;

WykÃlad 2

• definicja pochodnej odwzorowania f : Rn → Rm;

• pochodne czastkowe i ich zwiazek z pochodna odwzorowania, macierz Jacobiego i jakobian;

WykÃlad 3

• twierdzenie o rozniczkowaniu funkcji zÃlozonej, twierdzenie o wartosci sredniej,

• reguÃla Ãlancucha, gradient i pochodna kierunkowa;

WykÃlad 4

• pochodne czastkowe wyzszych rzedow, twierdzenie Schwarza;

• wzor Taylora;

WykÃlad 5

• ekstrema funkcji wielu zmiennych;

WykÃlad 6

• twierdzenia o funkcji uwikÃlanej i funkcji odwrotnej oraz ich interpretacje geometryczne (bezdowodu);

WykÃlad 7

• wspoÃlrzedne krzywoliniowe;

• kinematyka - opis matematyczny (droga, predkosc, przyspieszenie w ruchu krzywoliniowym);

• gometria rozniczkowa krzywych pÃlaskich i przestrzennych (trojscian Freneta, krzywizna, skrecenie).

WykÃlad 8

2. Elementy teorii rownan rozniczkowych:

• definicja rownania, warunku poczatkowego i rozwiazania;

1

• podstawowe typy rownan pierwszego rzedu caÃlkowalnych przez kwadratury (o zmiennychrozdzielonych, jednorodne);

WykÃlad 9

• rownanie logistyczne;

• rownania liniowe rzedu pierwszego;

WykÃlad 10

• przestrzen fazowa, pole kierunkow, orbita, rownania autonomiczne;

• zagadnienie Cauchy’ego a rownania caÃlkowe;

• istnienie rozwiazan, tw. Peano;

• istnienie jedynego rozwiazania, tw. Picarda;

• zaleznosc rozwiazania od zaburzenia warunku poczatkowego i pola;

• przedÃluzanie rozwiazan;

WykÃlad 11

• ukÃlady rownan rozniczkowych liniowych, wronskian, fundamentalny ukÃlad rozwiazan ukÃladujednorodnego;

• ukÃlady niejednorodne, metoda uzmienniania staÃlych

WykÃlad 12

• ukÃlady rownan liniowych o staÃlych wspoÃlczynnikach

• metoda Szufli znajdywania ukÃladow fundamentalnych;

WykÃlad 13

• rownania liniowe wyzszych rzedow o staÃlych wspoÃlczynnikach;

• twierdzenie Banacha o kontrakcji;

• metoda kolejnych przyblizen dla zagadnienia Cauchy’ego dla rownania x′ = f(t, x).

WykÃlad 14

3. Elementy metod numerycznych rozwiazywania rownan rozniczkowych zwyczajnych:

• dyskretyzacja;

• metody jednokrokowe, bÃlad globalny i lokalny, rzad zbieznosci i rzad zgodnosci;

• prosta metoda Eulera;

• zmodyfikowana metoda Eulera;

• klasyczna metoda Rungego-Kutty i inne metody z tej rodziny;

WykÃlad 15

• analiza bÃledu lokalnego i globalnego;

• idea ekstrapolacji;

• analiza bÃledu zaokraglenia;

• metoda adaptacyjna wyboru kroku;

• metody wielokrokowe.

2

Literatura

Podreczniki

[1] G. M. Fichtenholz, Rachunek rozniczkowy i caÃlkowy , t.1, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa1994 (t.1) i 1995 (t.3).

[2] H. Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil II, B. G. Teubner, Stuttgart, 1981.

[3] H. Heuser, Gewohnliche Differentialgleichungen, B. G. Teubner, Stuttgart, 1995.

[4] J. H. Hubbard, B. H. West, Differential Equations: A Dynamical Systems Approach, OrdinaryDifferential Equations, Springer, New York, 1991

[5] R. Illner, C. S. Bohun, S. McCollum, T. van Roode, Mathematical Modelling, A Case StudiesApproach, AMS, Providence, 2005.

[6] R. Mattheij, J. Molenaar, Ordinary Differential Equations in Theory and Practice, SIAM, Philadelfia,2002.

[7] H. i J. Musielakowie, Analiza matematyczna, t. II, cz. 1, Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznan1993, 1999.

[8] J. Muszynski, A. D. Myszkis, Rownania rozniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa 1984.

[9] J. Ombach, WykÃlady z rownan rozniczkowych, Wydawnictwo Uniwersytetu Jagielonskiego, Krakow1996.

[10] R. Plato, Concise Numerical Mathematics, AMS, Providence, 2003.

[11] W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej , Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1998.

[12] A. SoÃltysiak, Analiza matematyczna, cz. 2, Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznan 1996.

[13] M. Spivak, Analiza na rozmaitosciach, PWN, Warszawa 1979.

[14] J. Stoer, R. Bulirsch, Wstep do metod numerycznych, tom 2, PWN, Warszawa 1980.

[15] E. W. Swokowski, Calculus with analytic geometry, Prindle, Weber and Schmidt, Boston 1979.

[16] D. V. Widder, Advanced calculus, Prentice Hall, Englewood Cliffs 1961.

[17] S. Willard, Calculus and its applications,Prindle, Weber and Schmidt, Boston 1981.

Zbiory zadan

[18] J. Banas, S. Wedrychowski, Zbior zadan z analizy matematycznej, WNT, Warszawa 1996.

[19] G. N. Berman, Zbior zadan z analizy matematycznej , PWN, Warszawa 1975.

[20] B. P. Demidowicz, Zbior zadan z analizy matematycznej , t. 2 i 3, Naukowa Ksiazka, Lublin 1993.

[21] M. Gewert, Z. Skoczylas, Rownania rozniczkowe zwyczajne, GiS, WrocÃlaw 2001.

[22] W. Krysicki, L. WÃlodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, t. 2, Wydawnictwo NaukowePWN, Warszawa 1975.

[23] N.M. Matwiejew, Zadania z rownan rozniczkowych zwyczajnych, PWN, Warszawa 1976.

[24] G. I. Zaporozec, Metody rozwiazywania zadan z analizy matematycznej, Wyd. Naukowo-Techniczne,Warszawa 1976.

3