Analiza matematyczna dla informatykow 1 - ANI 111

Cwiczenia zestaw nr 1

1. Zbadac ograniczonosc oraz wyznaczyc, jesli istnieja, kresy zbioru

E ={

1 +1

n2: n ∈ N\{0}

}.

2. Znalezc kres gorny i dolny zbioru

C = {0, 1; 0, 11; 0, 111; ...}.

3. Udowodnic, ze jesli A jest zbiorem ograniczonym z gory, to zbior

−A = {x : −x ∈ A}

jest ograniczony z do lu oraz

inf(−A) = − supA.

Uzasadnij, ze zbior ograniczony z do lu ma kres dolny.

4. Pokaz, ze jesli zbiory A i B sa ograniczone z do lu, A ⊆ B, to inf B ≤ inf A.

5. Udowodnij, ze 13n − 7 jest podzielne przez 6 (metoda indukcji).

6. Zgadnij i udowodnij metoda indukcji wzor na

1

1 · 3+

1

3 · 5+ ...+

1

(2n− 1)(2n+ 1).

7. Funkcja g : R→ R dana jest wzorem

g(x) =

x+ 32

dla x ≤ 12,

−2x+ 2 dla x > 12.

Wyznaczyc g((0, 12]) oraz g−1((0, 1) ∪ {2}).

8. Funkcje f i g dane sa wzorami

f(x) =

2x+ 1 dla x ∈ [0, 1],12x− 1

2dla x ∈ (1, 3]

oraz

g(x) =

x2 dla x ∈ [0, 2],

−x+ 2 dla x ∈ (2, 3].

Znajdz g ◦ f .

1