Analiza matematyczna 1B, Lista 9 1. Oblicz granice: lim ex − 1 − x x2 ...

Analiza matematyczna 1B, Lista 9 1. Oblicz granice: lim x→0 e x - 1 - x x 2 , lim x→1 x α - 1 - α ln x (x - 1) 2 , α> 0. Wskazówka. e x = ∑ ∞ n=0 x n n! =1+ x + x 2 2 + r 3 (x). Co możesz powiedzieć o |r 3 (x)|? 2. Pokazać, że wielomian p(x)= x 3 - 3x +1 posiada trzy pierwiastki rzeczywiste. 3. Stosując wlasność Darboux wyznaczyć rozwiązanie równania x 3 =3 z dokladnością do 1/16. 4. Obliczyć √ 0, 7 z dokladnością do 1/16. 5. Na odcinku drogi dlugości 100 km, kontrolowanym na końcach przez policję, obowią- zuje ograniczenie prędkości 90 km/h. Samochód przejechal ten odcinek w czasie 54 minut, przy czym na początku i na końcu jechal z przepisową prędkością. Kierowca otrzymal mandat od policjanta, który stwierdzil, że w pewnym momencie nastąpilo przekroczenie prędkości o dokladnie 10km/h. Czy policjant mial rację ? Ile przynajmniej razy nastąpilo to przekroczenie ? 6. Pokazać, że dla wielomianu w(x) stopnia 3 istnieje liczba a taka, że wielomian w(x) - ax ma 3 miejsca zerowe. 7. Sprawdzić różniczkowalność funkcji w podanych punktach. f (x)= ( 3 √ x 4 dla x 6=0 0 dla x =0 ,x =0, g(x)= ( 2 x +3x 2 dla x< 2 log √ 2 x +7x dla x ≥ 2, x =2. h(x)= ( 3 √ x 2 cos 1 x dla x 6=0, 0 dla x =0, x =0, f (x)= ( |x| 2 ln x dla x 6=0 0 dla x =0 x =0. 8. Oblicz pochodne funkcji: 1 cos x , cos(ln sin x), 1 x √ 5 - 3x , e sin 4 x+cos 4 x , (12x 3 - 3x + 5) -67 , tan 5 (cot 2 x). 9. Obliczyć pochodne funkcji, korzystając ze wzoru na pochodną funkcji odwrotnej. arcsin x, arccos x, arctan x, ln x. 10. Obliczyć pochodne podanych funkcji tam, gdzie to jest możliwe. x p (1 - x) q 1+ x , x 1/x , e x (1 + cot x 2 ), 1 cot 2 x + ln sin x , arcsin(sin x), (cos x) sin x , 11. Oblicz pochodną logarytmiczną: f 0 (x) f (x) = d dx ln |f (x)| funkcji f (x)=(x + √ 1+ x 2 ) n , f (x)=(x - a 1 ) b 1 (x - a 2 ) b 2 ...(x - a n ) bn . Obliczyć f 0 (0) dla f (x)= x(x - 1)(x - 2)...(x - n). 12. Obliczyć pochodne funkcji i ich funkcji odwrotnych. sinh x = e x - e -x 2 ,x ∈ R; cosh x = e x + e -x 2 ,x> 0. 13. Znaleźć równanie stycznej do wykresu funkcji f (x)= x +ln x dla w punkcie (e, 1+e).

Upload
dinhphuc
Category

Documents
view
216
download
2

Embed Size (px):

Transcript of Analiza matematyczna 1B, Lista 9 1. Oblicz granice: lim ex − 1 − x x2 ...

Analiza matematyczna 1B, Lista 9

1. Oblicz granice:

limx→0

ex − 1− xx2

, limx→1

xα − 1− α lnx

(x− 1)2, α > 0.

Wskazówka. ex =∑∞

n=0xn

n!= 1 + x+ x2

2+ r3(x). Co możesz powiedzieć o |r3(x)|?

2. Pokazać, że wielomian p(x) = x3 − 3x+ 1 posiada trzy pierwiastki rzeczywiste.3. Stosując własność Darboux wyznaczyć rozwiązanie równania x3 = 3 z dokładnościądo 1/16.4. Obliczyć

√0, 7 z dokładnością do 1/16.

5. Na odcinku drogi długości 100 km, kontrolowanym na końcach przez policję, obowią-zuje ograniczenie prędkości 90 km/h. Samochód przejechał ten odcinek w czasie 54 minut,przy czym na początku i na końcu jechał z przepisową prędkością. Kierowca otrzymałmandat od policjanta, który stwierdził, że w pewnym momencie nastąpiło przekroczenieprędkości o dokładnie 10km/h. Czy policjant miał rację ? Ile przynajmniej razy nastąpiłoto przekroczenie ?6. Pokazać, że dla wielomianu w(x) stopnia 3 istnieje liczba a taka, że wielomianw(x)− ax ma 3 miejsca zerowe.7. Sprawdzić różniczkowalność funkcji w podanych punktach.

f(x) =

{3√x4 dla x 6= 0

0 dla x = 0, x = 0, g(x) =

{2x + 3x2 dla x < 2

log√2 x+ 7x dla x ≥ 2,x = 2.

h(x) =

{3√x2 cos 1

xdla x 6= 0,

0 dla x = 0,x = 0, f(x) =

{|x|2 lnx dla x 6= 0

0 dla x = 0x = 0.

8. Oblicz pochodne funkcji:1