POLITECHNIKA OPOLSKA

WYDZIA ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI

MGR IN. TOMASZ GARBIEC

ANALIZA EFEKTW KRACOWYCH W WIRNIKU MASYWNYM SILNIKA

INDUKCYJNEGO WYSOKOOBROTOWEGO

AUTOREFERAT ROZPRAWY DOKTORSKIEJ

PROMOTOR:

DR HAB. IN. M. JAGIEA - PROF. PO

Autor jest stypendyst projektu Stypendia doktoranckie - inwestycja w kadr naukow wojewdztwa

opolskiego wspfinansowanego przez Uni Europejsk w ramach Europejskiego Funduszu

Spoecznego

Opole 2013

2

Spis treci

Waniejsze oznaczenia wykorzystane w pracy . . . . . . . . . . . . . . . 3

1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Stan wiedzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3. Cel i tezy pracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4. Rwnania modeli matematycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.1. Wyznaczenie wspczynnika efektu kracowego wirnika metod

numeryczn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

4.2. Wyznaczenie charakterystyk eksploatacyjnych . . . . . . . . . . . . . . 13

4.2.1. Rwnania polowo-obwodowego modelu maszyny . . . . . . . . 13

4.2.2. Uwzgldnienie strat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5. Model fizyczny maszyny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6. Wyniki oblicze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

7. Wpyw wybranych parametrw konstrukcyjnych wirnika na efekt kracowy oraz charakterystyki eksploatacyjne maszyny . . . . . . . . . .

29

8. Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

9. Publikacje wasne Autora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3

Waniejsze oznaczenia wykorzystane w pracy

zespolony magnetyczny potencja wektorowy,

skadowa zespolonego magnetycznego potencjau wektorowego w kierunku osi ,

zespolony wektor indukcji magnetycznej,

amplituda indukcji magnetycznej w szczelinie powietrznej maszyny, skadowa zespolonego wektora indukcji magnetycznej w kierunku normalnym do rozwaanej

powierzchni lub krawdzi,

zespolony wektor indukcji elektrycznej,

rednica zewntrzna wirnika, rednica wewntrzna wirnika, grubo blachy stojana, zespolony wektor natenia pola elektrycznego,

skadowa zespolonego wektora natenia pola elektrycznego w kierunku osi ,

zespolona amplituda napicia indukowanego w uzwojeniu pasma fazowego ),

czstotliwo, zespolony wektor natenia pola magnetycznego,

amplituda natenia pola magnetycznego, skadowa zespolonego wektora natenia pola magnetycznego w kierunku stycznym do

rozwaanej powierzchni lub krawdzi,

gboko naci w wirniku z osiowymi naciciami powierzchni, zespolona amplituda prdu fazy ),

warto skuteczna prdu fazy ),

warto chwilowa prdu w fazie ),

zespolony wektor gstoci prdu elektrycznego,

zespolony wektor gstoci prdu indukowanego,

skadowa zespolonego wektora gstoci prdu indukowanego w kierunku osi ,

zespolony wektor gstoci prdw wymuszonych,

skadowa zespolonego wektora gstoci prdw wymuszonych w kierunku osi ,

wspczynnik efektu kracowego, wspczynnik efektu kracowego zwizany z -t harmoniczn indukcji magnetycznej, sumaryczna indukcyjno pocze czoowych cewek tworzcych pasmo fazowe, dugo obszaru wirnika znajdujcego si poza obwodem magnetycznym stojana, dugo obszaru wirnika odpowiadajcego dugoci obwodu magnetycznego stojana, wektor funkcji ksztatu elementu skoczonego, jednostkowy wektor prostopady do rozwanej powierzchni, prdko obrotowa, liczba szeregowo poczonych zwojw w cewce, moc pobierana ze rda zasilania, moc wydzielana w wirniku bez uwzgldnienia wpywu efektu kracowego, moc wydzielana w pojedynczym elemencie bez uwzgldnienia wpywu efektu kracowego, moc wydzielana w wirniku przy uwzgldnieniu wpywu efektu kracowego, moc wydzielana w pojedynczym elemencie przy uwzgldnieniu wpywu efektu kracowego, moc mechaniczna, liczba par biegunw, gsto strat mocy w pakietowanych elementach obwodu magnetycznego stojana, liczba obkw stojana, liczba bokw cewek tworzcych pojedyncze pasmo fazowe uzwojenia, rezystancja pasma fazowego, wektor wodzcy, redni promie wirnika, promie okrgu, na ktrym zadano warunek brzegowy modelujcy rozkad podstawowej

harmonicznej indukcji magnetycznej w szczelinie powietrznej maszyny,

polizg zwizany z podstawow harmoniczn rozkadu pola , polizg zwizany z polem wirujcym pochodzcym od - tej harmonicznej, powierzchnia przekroju poprzecznego wirnika w poowie jego dugoci, powierzchnia przekroju poprzecznego cewki, moment elektromagnetyczny,

4

czas, napicie na stopniu poredniczcym przeksztatnika, zespolona amplituda napicia zasilajcego faz ),

warto skuteczna napicia zasilajcego faz ),

warto chwilowa napicia zasilajcego faz ),

zespolony elektryczny potencja skalarny,

objto obwodu magnetycznego blach stojana, rzd harmonicznej, wspczynnik rwny 1, w zalenoci od zwrotu wektora gstoci prdu w stosunku do osi

ukadu wsprzdnych,

konduktywno elektryczna, konduktywno elektryczna blachy stojana, efektywna konduktywno elektryczna, wspczynnik sprawnoci, przenikalno magnetyczna prni, efektywna przenikalno magnetyczna, przenikalno magnetyczna przy staym nateniu pola magnetycznego, kt przestrzenny (wsprzdna kierunkowa), wspczynnik mocy fazy ),

zespolona gsto adunku elektrycznego,

gsto masy blachy stojana, podziaka biegunowa, obszar wirnika masywnego,

jednostka urojona,

operator Hamiltona, operator rotacji, operator divergencji.

5

1. Wprowadzenie

W ostatnich latach obserwowane jest due zainteresowanie problematyk napdw wykorzystujcych

wysokoobrotowe maszyny elektryczne. Jest to rezultatem cigego denia do obnienia kosztw uytkowania

energii elektrycznej, co jest moliwe zwaszcza poprzez racjonalizacj jej zuycia przez napdy przemysowe

[87]*. Maszyny wysokoobrotowe s wykorzystywane do napdzania ukadw pracujcych ze znamionow

prdkoci od kilkunastu do 300 tysicy obrotw na minut. Przykadami takich ukadw s wentylatory,

yroskopy, pompy pynw, turbiny i kompresory gazu, pompy prniowe, wirwki do separacji zawiesin lub

obrabiarki mechaniczne [17, 32, 45, 87]. Potrzeba zastosowania wysokiej prdkoci obrotowej wynika zarwno

z zasady dziaania tych urzdze jak rwnie z chci poprawy ich warunkw pracy. Dla przykadu, sprawno

niektrych rodzajw pomp i kompresorw gazu ronie wraz ze wzrostem prdkoci obrotowej [56].

Wykorzystanie w tego typu napdach konwencjonalnego silnika elektrycznego wymaga zastosowania

przekadni, z uyciem ktrej zwizane s dodatkowe koszty, straty mocy oraz problemy eksploatacyjne.

Alternatyw dla przekadni jest uycie napdu bezporedniego z silnikiem wysokoobrotowym. Dziki

zastosowaniu tego typu maszyny, moliwym staje si uniknicie strat zwizanych z prac przekadni, a take

kosztw wynikajcych z koniecznoci przeprowadzania jej napraw i konserwacji [4, 46]. Kolejnym wanym

argumentem przemawiajcym za uyciem maszyny wysokoobrotowej jest moliwo znacznego zmniejszenia

rozmiarw caego zespou napdowego, ze wzgldu na mniejsze, w porwnaniu z silnikami wolnobienymi (za

ktre naley uzna maszyny pracujce z prdkoci obrotow do 3000 obr/min) o tej samej mocy, wymiary

geometryczne samej maszyny [8, 87, 112].

Dua liczba publikacji naukowych oraz stale poszerzana oferta producentw maszyn elektrycznych s

dowodem wzrostu zapotrzebowania na wysokoobrotowe napdy elektryczne. Mona zauway, e wrd

rnych rodzajw stosowanych maszyn, szczegln uyteczno wykazuje maszyna indukcyjna z wirnikiem

masywnym [33, 46, 54].

Maszyna indukcyjna z wirnikiem masywnym wykonanym ze stali magnetycznie mikkiej charakteryzuje si

najwiksz, spord wszystkich moliwych rodzajw maszyn elektrycznych, wytrzymaoci wirnika na

obcienia mechaniczne oraz prostot konstrukcji [54, 112]. Bya ona przedmiotem bardzo intensywnych bada

w drugiej poowie XX wieku. Ze wzgldu na duo gorsze wasnoci eksploatacyjne, w porwnaniu z maszyn

z wirnikiem klatkowym, (nisza sprawno zwizana z wysok rezystywnoci wirnika oraz niski wspczynnik

mocy zwizany z du indukcyjnoci uzwojenia) oraz problemy z odprowadzaniem ciepa z wirnika, jej rozwj

uleg w pniejszym okresie cakowitemu zahamowaniu. Przyczyn ponownego zainteresowania tym typem

przetwornika staa si moliwo wykorzystania go w wysokoobrotowych przeksztatnikowych napdach

elektrycznych bardzo duych mocy, pracujcych w trudnych warunkach eksploatacyjnych i agresywnych

chemicznie rodowiskach, np. w napdzie kompresorw gazu ziemnego [3, 8, 30, 85, 102]. Wykorzystanie

w tego typu napdach maszyny asynchronicznej klatkowej lub maszyny synchronicznej z magnesami trwaymi

jest w wikszoci przypadkw niemoliwe, ze wzgldu na niedostateczn wytrzymao mechaniczn wirnika,

jak rwnie brak wystarczajcej odpornoci na korozj, powodowan zanieczyszczeniami obecnymi w gazie

[112]. Pomimo mniejszej wartoci rozwijanego momentu, w przeliczeniu na jednostk objtoci, w porwnaniu

do innych maszyn, wykorzystanie takiego silnika pozostaje obecnie jedynym rozwizaniem w przypadkach, gdy

prdko liniowa powierzchni wirnika przekracza 250 m/s. Podan warto prdkoci liniowej, uznaje si za

maksymaln, z jak mog pracowa wirniki z magnesami trwaymi oraz wirniki o rdzeniu wykonanym

z pakietu blach [14]. Innymi zaletami wirnika masywnego z punktu widzenia wysokoobrotowego napdu

elektrycznego s niskie koszty produkcji oraz atwo uzyskania cichobienoci i niskiego poziomu drga [72].

Wirnik masywny nie wymaga stosowania skomplikowanych i kosztownych zabiegw produkcyjnych

niezbdnych, na przykad, w celu zapewnienia odpowiedniej wytrzymaoci mechanicznej wirnika z magnesami

trwaymi (wstpne napranie magnesu, magnesowanie na rdzeniu po napreniu i monta powierzchniowej

warstwy paramagnetycznej utrzymujcej magnes trway w spoczynkowym stanie napre mechanicznych).

Najczciej stosowane praktycznie struktury wirnikw masywnych przedstawiono na rys. 1. W projektowaniu maszyn elektrycznych powinno dy si do osigania wynikw poprzez modele

matematyczne o uzasadnionym stopniu zoonoci oraz racjonalnym koszcie obliczeniowym. Maszyna

indukcyjna z wirnikiem masywnym jest ukadem bardzo zoonym z punktu widzenia analizy zjawisk

powstajcych w czasie jej pracy. Bardzo dua nieliniowo obwodu magnetycznego oraz zoony rozkad

gstoci prdu indukowanego w masywnej stali mocno komplikuj obliczenia, nawet przy wykorzystaniu

nowoczesnych siatkowych metod analizy pola elektromagnetycznego. W ostatnich siedmiu dekadach bada

prowadzonych nad maszyn indukcyjn z wirnikiem masywnym opracowano rnorodne metody umoliwiajce

analiz jej wasnoci. Do najstarszych nale metody wykorzystujce analityczne rozwizanie zagadnienia

wnikania pola magnetycznego do masywnej stali [25, 26, 28, 33, 47, 48, 67, 105-107, 110]. Znaczna liczba

autorw, w obliczeniach przeprowadzanych z wykorzystaniem tych metod, zakadaa sta warto

przenikalnoci magnetycznej [28, 110].

Przeomowym dla tego rodzaju sposobw analizy byo wprowadzenie przez Agarwala metody

umoliwiajcej obliczenie impedancji powierzchni wirnika przy zaoeniu wyidealizowanej - dwustanowej

*oznaczenia pozycji literaturowych s zgodne ze spisem umieszczonym w pracy

6

charakterystyki magnesowania [1, 11, 66, 107]. Obecnie najbardziej doskona w grupie metod analitycznych,

ktre bazuj na podejciu Agarwala, jest metoda MLTM (ang. Multi Layer Transfer Matrix). Polega ona na

podziale obszaru wirnika w kierunku promieniowym na jednorodne podobszary. W obrbie tych obszarw

przyjmuje si sta warto przenikalnoci magnetycznej oraz, wykorzystujc odpowiednie warunki brzegowe na

powierzchniach granicznych, analitycznie rozwizuj si rwnania pola elektromagnetycznego [54, 83].

Rozwizania tych rwna maj oglnie znan posta, a na ich podstawie wyznacza si parametry schematu

zastpczego silnika. Metoda ta ma ograniczone zastosowania do wirnikw elektrycznie niejednorodnych, np. do

wirnikw z naciciami osiowymi (rys. 1b, c, d). W literaturze mona take znale przykady prac opisujcych

hybrydowe modele matematyczne, gdzie stojan modelowany jest np. za pomoc sieci reluktancyjnej, natomiast

rozkad pola w wirniku wyznaczany jest analitycznie [71, 72]. Obydwa rozwizania s sprzone za pomoc

odpowiednich warunkw brzegowych zadanych w szczelinie powietrznej maszyny.

Rys. 1. Struktury wirnikw masywnych: a) wirnik jednorodny, b) wirnik z naciciami osiowymi przez ca dugo, c) wirnik

z naciciami osiowymi i stalowymi obszarami kracowymi, d) wirnik z naciciami osiowymi i miedzianymi piercieniami

zwierajcymi obszary kracowe, e) wirnik jednorodny pokryty warstw miedzi, f) wirnik masywny z uzwojeniem klatkowym

wykonanym z miedzi.

Wspczesne metody projektowania maszyn elektrycznych najczciej wykorzystuj nieliniowe siatkowe

modele polowo-obwodowe [13, 36, 95]. W przypadku maszyn indukcyjnych z wirnikiem masywnym, stosowane

s gwnie w tym celu modele dwuwymiarowe, bdce obok uj analitycznych, najczciej wykorzystywanymi

metodami analizy i projektowania tego typu przetwornikw [18, 27, 33, 45, 48, 54, 55]. Zarwno klasyczne

metody analityczne jak i dokadniejsze dwuwymiarowe modele siatkowe umoliwiaj modelowanie

kluczowego, z punktu widzenia dziaania maszyny, zjawiska wnikania pola do wntrza wirnika masywnego, ale

tylko w kierunku promieniowym, gdy operuj one jedn skadow wektora gstoci prdu, rwnoleg do wau.

adne z tych uj nie uwzgldnia efektw wywoanych powstawaniem skadowych stycznych wektora gstoci

prdu w kracowych obszarach masywnego wirnika. Wystpowanie tych skadowych wie si z powstawaniem

w nich pola przepywowego, ktre ogranicza amplitud skadowej wektora gstoci prdu, rwnolegej do wau.

Og zjawisk zwizanych z wpywem skadowych stycznych wektora gstoci prdu na wasnoci

eksploatacyjne maszyny w niniejszej pracy bdzie okrelany nazw: efekt kracowy w wirniku masywnym.

Efekt ten ma niebagatelny wpyw na wasnoci przetwornika i skutkiem jego nieuwzgldnienia w modelu

matematycznym lub zego oszacowania s bdy w obliczeniach konstrukcyjnych sigajce nawet

kilkudziesiciu procentw [42, 54, 84, 110].

Caociowe uwzgldnienie efektw kracowych w wirniku masywnym wymaga uycia penego

trjwymiarowego modelu maszyny. Wspczenie, pomimo szerokich moliwoci dotyczcych tworzenia tego

typu modeli i zaawansowania sprztu komputerowego nie maj one szerokiego zastosowania w projektowaniu

maszyn indukcyjnych z wirnikiem masywnym, gdy koszty obliczeniowe zwizane z ich uytkowaniem wci

s bardzo wysokie [4, 109]. Z tego powodu, do dnia dzisiejszego w analizie wasnoci omawianego

przetwornika wykorzystuje si gwnie modele dwuwymiarowe [109]. Jak powszechnie wiadomo, w takich

podejciach poprawnie uwzgldniana jest tylko skadowa wektora gstoci prdu rwnolega do wau. Jak dotd,

jedynym praktycznie stosowanym, aczkolwiek bardzo uproszczonym sposobem uwzgldniania wpywu

skadowych stycznych wektora gstoci prdu indukowanego w wirniku masywnym, jest metoda zastpczych

wspczynnikw korekcyjnych [4, 11, 42, 54]. Polega ona na wprowadzeniu tzw. efektywnej konduktywnoci,

a)

b)

c)

d)

e)

f)

7

ktr wyraa si poprzez iloczyn rzeczywistej konduktywnoci materiau wirnika oraz zastpczego

wspczynnika efektu kracowego [4, 11, 42]

(1)

Na przestrzeni kilkudziesiciu lat zaproponowano kilka rnych oszacowa tego wspczynnika.

W oglnoci, jest on opisany za pomoc wyrae analitycznych bdcych funkcjami wymiarw geometrycznych

wirnika oraz liczby biegunw maszyny. Dobr odpowiedniego wzoru na etapie projektowania jest przyczyn

dylematw konstruktorw maszyn indukcyjnych z wirnikiem masywnym [4, 56]. Pomimo tego, metoda

efektywnej konduktywnoci zyskaa powszechn akceptacj na przestrzeni wielu lat bada prowadzonych nad

tym rodzajem maszyny i jest obecnie stosowana zarwno w podejciach do projektowania wykorzystujcych

metody analityczne jak i numeryczne. Pomimo znacznego postpu w dziedzinie projektowania maszyn

indukcyjnych z wirnikiem masywnym do dnia dzisiejszego nie opracowano jej znaczcego ulepszenia.

2. Stan wiedzy Z dokonanego przegldu stanu wiedzy wynika, e w opublikowanych dotychczas pracach najczciej

wykorzystywanymi wyraeniami pozwalajcymi oszacowa wspczynnik efektu kracowego s formuy

podane przez Trickeya (1936), Russella (1958), Yee (1971), OKellyego (1972) i Woolleya (1973) [79, 89,

99, 108, 110]. W wymienionej wyej kolejnoci wyraenia te maj posta

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

gdzie

(7)

(8)

- konduktywnoci materiaw, z ktrych wykonano obszary kracowe i czynne wirnika. Oprcz wymienionych wyej pozycji, rezultaty bada nad wpywem efektu kracowego na wasnoci

eksploatacyjne maszyny indukcyjnej z wirnikiem masywnym z wykorzystaniem analitycznego rozwizania

zagadnienia dyfuzji pola przedstawiono take w pracach [11, 47, 58, 106]. Wyniki uzyskane przez autorw tych

prac nie znalazy jednak tak szerokiego praktycznego zastosowania jak te zaprezentowane w wymienionych

wczeniej piciu pozycjach.

8

Ocena wpywu wspczynnika efektu kracowego na dokadno oblicze charakterystyk eksploatacyjnych

maszyny indukcyjnej z wirnikiem masywnym bya jednym z celw bada prowadzonych nad tym typem

przetwornika w pracach [4, 42, 84]. Zgodnie z wynikami podawanymi w najnowszych pracach najdokadniejsze

rezultaty oblicze gwarantuje zastosowanie wyrae podanych przez Russella lub OKellygo [4, 21, 45, 46, 48,

56, 57, 85]. Jednoczenie, w niektrych pracach, jak np. w [42] podkrela si, e bardzo zoony charakter

zjawisk elektromagnetycznych w obszarach kracowych wirnika nie moe by w sposb wystarczajco

dokadny reprezentowany przez bardziej lub mniej zoone wyraenie analityczne. Naley rwnie podkreli,

e w przypadku wykorzystania omawianych wyrae istnieje dua niejednoznaczno zwizana z wpywem

dugoci wirnika oraz jego budowy na warto wspczynnika efektu kracowego [4]. Przykadowo, niektre

z oszacowa, jak np. wspczynniki podane przez Yee, Trickeya oraz OKellyego dotycz maszyny w ktrej

dugo wirnika jest taka sama jak dugo stojana, podczas gdy pozostae ujcia dugo wirnika traktuj

niejednoznacznie. Pomimo tego, e efekt wyduania wirnika wpywa negatywnie na charakterystyki maszyny

(w sensie parametrw schematu zastpczego maszyny mona to tumaczy dodaniem dodatkowej szeregowej

impedancji do impedancji gazi wirnika), w praktyce bardzo czsto zachodzi potrzeba zastosowania dugoci

wirnika wikszej od dugoci stojana np. w zwizku z koniecznoci usztywnienia wirnika z osiowymi

naciciami powierzchni [4].

Uycie w obliczeniach wspczynnika efektu kracowego wyznaczonego wedug omawianych wczeniej

wyrae zazwyczaj pozwala osign akceptowaln dokadno tylko w przypadku maszyny wyposaonej

w wirnik jednorodny. Gdy analizowana jest maszyna posiadajca wirnik z naciciami osiowymi, wybr

waciwej formuy do obliczenia wspczynnika efektw kracowych jest praktycznie niemoliwy bez

wykonywania pomiarw na modelu fizycznym. Stwierdzono to midzy innymi w pracy [4]. Autorzy tej pracy

wykorzystujc dwuwymiarowy model polowo-obwodowy dokonali oblicze charakterystyk momentu

elektromagnetycznego w funkcji prdkoci obrotowej dla wspczynnika efektu kracowego wyznaczonego

wedug piciu przedstawionych wczeniej wyrae. W rezultacie porwnania obliczonych charakterystyk

z pomiarami na modelu fizycznym stwierdzono znaczn rozbieno wynikw oblicze w stosunku do wartoci

zmierzonych, a take duy rozrzut wynikw oblicze dla rnych wspczynnikw efektu kracowego.

Wobec braku jednoznacznych wskaza co do sposobu obliczania wartoci wspczynnika efektu

kracowego, niepewno w projektowaniu maszyn indukcyjnych z wirnikiem masywnym jest bardzo wysoka

znacznie wysza od niepewnoci w projektowaniu maszyn innych rodzajw. W wikszoci przypadkw,

konstruowanie maszyny wymaga prowadzenia pomiarw na fizycznym modelu odniesienia, celem oszacowania

rzeczywistego wpywu efektw kracowych na charakterystyki maszyny. W pracach [4, 42, 109] stwierdzono,

e w celu dokadnego odwzorowania wpywu efektu kracowych na charakterystyki eksploatacyjne,

wspczynnik korekcyjny powinien by zaleny od czstotliwoci polizgowej. Cz z cytowanych wczeniej

autorw w obliczeniach wykorzystywao empiryczn metod korekty wspczynnika efektu kracowego na

podstawie pomiarw na maszynie odniesienia, celem uwzgldnienia wpywu czstotliwoci zmian pola

w wirniku masywnym [4, 84, 85]. Z przeprowadzonego przegldu literatury wynika, e dotychczas opublikowano tylko trzy prace, w ktrych

dokonano analizy efektw kracowych w wirniku masywnym za pomoc numerycznych metod analizy pola

elektromagnetycznego, przy czym jedna z prac jest wspautorskim artykuem Autora niniejszej pracy [42, 90,

A11].

3. Cel i tezy pracy

Przegld stanu literatury wykazuje niewystarczajcy stan dotychczasowej wiedzy oraz potrzeb

przeprowadzenia dalszych bada majcych na celu udoskonalenie sposobu odwzorowania efektu kracowego

w dwuwymiarowych polowo-obwodowych modelach maszyn indukcyjnych z wirnikiem masywnym, a co z tym

zwizane - zwikszenie dokadnoci oblicze uzyskiwanej przy wykorzystaniu tego typu modeli.

W zwizku z powyszym, w niniejszej pracy proponowana jest nowa numeryczna metoda wyznaczania

wspczynnika efektu kracowego wykorzystujca trjwymiarowe obliczenia rozkadu gstoci prdw

wirowych w wirniku masywnym.

Idea proponowanej metody bdcej rozwiniciem metody konduktywnoci efektywnej zakada

uwzgldnienie w dwuwymiarowym polowo-obwodowym modelu maszyny efektu kracowego w wirniku

masywnym za pomoc obliczonego numerycznie wspczynnika efektu kracowego zalenego od

czstotliwoci. Stosuje si w tym celu odrbny trjwymiarowy model numeryczny ograniczony do samego

wirnika.

W celu zweryfikowania poprawnoci przyjtego sposobu uwzgldniania efektu kracowego, zostan

przeprowadzone obliczenia charakterystyk eksploatacyjnych wysokoobrotowej maszyny indukcyjnej

z wirnikiem masywnym za pomoc dwuwymiarowego modelu polowo-obwodowego. Otrzymane

charakterystyki zostan porwnane z wynikami analogicznych oblicze dokonanych z uyciem wspczynnika

efektu kracowego wyznaczonego na podstawie analitycznych wyrae dostpnych w literaturze oraz wynikami

pomiarw na modelu fizycznym.

9

Gwnym celem niniejszej pracy jest zatem pracowanie nowego sposobu wyznaczania wspczynnika efektu

kracowego, charakteryzujcego si wysz dokadnoci od metod stosowanych dotychczas oraz

przeprowadzenie bada majcych na celu jego weryfikacj.

W oparciu o dokonany przegld literatury oraz wyniki wstpnie przeprowadzonych bada, w niniejszej pracy

stawia si tezy, e:

Moliwym jest numeryczne wyznaczenie wspczynnika celem uwzgldnienia efektw kracowych w dwuwymiarowym polowo-obwodowym modelu silnika indukcyjnego z wirnikiem masywnym.

Wspczynnik ke obliczany metod numeryczn umoliwia uzyskanie dokadniejszych wynikw ni w przypadku stosowania wspczynnikw efektu kracowego podawanych w literaturze.

Ze sformuowanymi wyej tezami pracy wi si podstawowe cele bada, ktrymi s:

Opracowanie modeli matematycznych silnika indukcyjnego wysokoobrotowego o wirniku masywnym przydatnych w jego projektowaniu i optymalizacji.

Opracowanie metodyki uwzgldniania efektw kracowych w masywnym wirniku celem poprawy dokadnoci oraz redukcji niepewnoci podczas projektowania.

Budowa modeli fizycznych oraz weryfikacja dowiadczalna opracowanych metod i zaoe.

4. Rwnania modeli matematycznych

4.1. Wyznaczenie wspczynnika efektu kracowego wirnika metod numeryczn

W niniejszej pracy opracowano i wykorzystano trzy rnice si modele matematyczne. Pierwsze dwa s

modelami pomocniczymi, sucymi tylko do wyznaczenia wspczynnika efektu kracowego. S to

odpowiednio:

model trjwymiarowy, w ktrym obszar obliczeniowy jest ograniczony do wirnika, szczeliny powietrznej i warstwy powietrza otaczajcej obszary kracowe wirnika, natomiast wzbudzenie stanowi warunek

brzegowy zadany w rodku szczeliny powietrznej,

model dwuwymiarowy, w ktrym obszar obliczeniowy jest ograniczony do wirnika oraz szczeliny powietrznej a wzbudzenie zadawane jest w taki sam sposb jak w powyszym modelu trjwymiarowym.

Wspczynnik efektu kracowego, ktry jest wyznaczany za pomoc opisanych wyej modeli w sposb

przedstawiony w dalszej czci pracy, wprowadza si tylko dla podstawowej harmonicznej czasowej rozkadu

wektora gstoci prdu w wirniku. Zakada si, e harmoniczna ta jest wzbudzana tylko przez podstawow

harmoniczn czasow indukcji magnetycznej w szczelinie powietrznej. Na etapie wyznaczania wspczynnika

efektu kracowego, tj. w zastosowanych modelach pomocniczych, pomija si take tzw. permeancyjne

przestrzenne wysze harmoniczne indukcji magnetycznej w szczelinie powietrznej maszyny zwizane

z uobkowaniem. Przy podanych wyej zaoeniach, do wyznaczenia tego wspczynnika moliwym staje si

zastosowanie modeli okrelonych w dziedzinie czstotliwoci, sformuowanych przy wykorzystaniu wielkoci

zespolonych pola elektromagnetycznego.

Trzeci z zastosowanych w pracy modeli jest modelem dwuwymiarowym z pasko-rwnolegym rozkadem

pola magnetycznego i bazuje na wspczynniku efektu kracowego obliczanym za pomoc pierwszych dwch

modeli. Model ten zosta utworzony przy uwzgldnieniu caego obwodu magnetycznego maszyny (bez

ograniczania obszaru analizy do samego wirnika) i suy do wyznaczenia jej charakterystyk funkcjonalnych. Jest

on oparty na rwnaniach Maxwella okrelonych w dziedzinie czstotliwoci dla zespolonego magnetycznego

potencjau wektorowego oraz rwnaniach Kirchhoffa dla obwodw elektrycznych uzwojenia stojana.

W przetwornikach posiadajcych nieliniowy obwd magnetyczny przy sinusoidalnym wymuszeniu

napiciowym nastpuje odksztacenie przebiegw prdw. Uycie w takim przypadku metody symbolicznej

(potencja zespolony) moe wzbudza zastrzeenia. Metoda ta jest jednak czsto wykorzystywana praktycznie,

gwnie ze wzgldu na znacznie niszy koszt obliczeniowy w porwnaniu z metod wykorzystujc model

okrelony w dziedzinie czasu. Dopuszczalno jej uywania wynika z faktu, e w maszynach elektrycznych

najwaniejsze parametry eksploatacyjne, takie jak warto rozwijanego momentu elektromagnetycznego, zale

od iloczynu indukcji magnetycznej i gstoci prdu [13, 33]. W przypadku, gdy jedna z tych wielkoci zawiera

wysze harmoniczne, warto rednia ich iloczynu jest rwna wartoci redniej iloczynu podstawowych

harmonicznych. Gwnymi wadami metody symbolicznej s: ograniczona moliwo odwzorowania ruchu

obrotowego wirnika, oraz trudnoci w uwzgldnieniu nieliniowych charakterystyk magnesowania i strat

pochodzcych od wyszych harmonicznych pola magnetycznego. Z uwagi na to, e gwnym celem niniejszej

pracy jest ulepszenie sposobu uwzgldniania efektw kracowych w wirniku, dwuwymiarowy polowo-

10

obwodowy model maszyny zosta wykorzystywany gwnie do oceny poprawnoci tej metody. Z tego powodu

zdecydowano si na wykorzystanie modelu polowo-obwodowego okrelonego w dziedzinie czstotliwoci.

Umoliwia on w bardzo krtkim czasie (rzdu pojedynczych minut) wyznaczenie najwaniejszych parametrw

eksploatacyjnych maszyny w stanach quasi-ustalonych co ma due znaczenie w przypadku modelowania

przetwornikw charakteryzujcych si du elektromechaniczn sta czasow w porwnaniu do okresu zmian

podstawowej harmonicznej napicia (maszyny wysokoobrotowe).

Podstaw do utworzenia opisanych wyej modeli s zespolone rwnania Maxwella w postaci rniczkowej

oraz rwnania obwodw elektrycznych wynikajce z praw Kirchhoffa [100].

Wprowadzenie wspczynnika efektu kracowego umoliwia zastosowanie w obliczeniach charakterystyk

funkcjonalnych maszyny indukcyjnej z wirnikiem masywnym modelu z polem pasko-rwnolegym, zamiast

penego modelu trjwymiarowego. Moliwo zastosowania takiego modelu umoliwia znaczce pomniejszenie

kosztw obliczeniowych zwizanych z wyznaczeniem tych charakterystyk. Wymieniony wyej wspczynnik

jest wprowadzany w taki sposb, aby pomidzy wartociami mocy w wirniku - obliczanej w przestrzeni trjwymiarowej (z uwzgldnieniem wpywu efektw kracowych) oraz - obliczanej w przestrzeni dwuwymiarowej (bez uwzgldnienia wpywu efektw kracowych) w tych samych warunkach pracy

dotyczcych amplitudy, a take czstotliwoci rozkadu pola magnetycznego w szczelinie powietrznej oraz

wymiarw geometrycznych i liczby biegunw maszyny, zachodzia zaleno

(9)

Wspczynnik efektu kracowego wyraa si zatem wzorem

(10)

Powysze oznacza, e do wyznaczenia tych mocy naley zastosowa taki sam rozkad indukcji magnetycznej

w szczelinie powietrznej maszyny, a w zwizku z tym, podczas wyznaczania wspczynnika efektu kracowego

w zadanych warunkach pracy mona ograniczy obszar analizy do samego wirnika. Rysunek pogldowy 2

przedstawia obszar silnika poddany analizie (obszar zaznaczony kolorem szarym). Wykorzystujc zastosowane

oznaczenia, poszczeglne moce oblicza si ze wzorw

(11)

(12)

Warte zauwaenia jest, e takie podejcie zachowuje swoj poprawno rwnie w przypadku gdy , tj. wtedy gdy dugo wirnika jest taka sama jak dugo stojana. Podane wyej zalenoci definiujce

wspczynnik efektu kracowego wymagaj przeprowadzenia oblicze rozkadu wektora gstoci prdu

zarwno w przestrzeni trj- jak i dwuwymiarowej. Moc wydzielana w wirniku przy uwzgldnieniu wpywu

efektw kracowych obliczana jest za pomoc trjwymiarowego modelu matematycznego wirnika (rys. 2.a),

moc wyznaczana jest z kolei za pomoc modelu dwuwymiarowego (rys. 2.b), bdcego przekrojem poprzecznym modelu trjwymiarowego w poowie dugoci czynnej maszyny.

Podstawowym zaoeniem wykorzystywanym w niniejszej pracy jest to, e tego rodzaju obliczenia mona

przeprowadzi przy ograniczeniu rozwaa do samego wirnika, narzucajc rozkad wektora indukcji

magnetycznej w rodku szczeliny powietrznej maszyny (promie ) za pomoc warunku brzegowego pierwszego rodzaju. Przyjmuje si przy tym, e rozkad ten ograniczony jest tylko do pierwszej harmonicznej

czasowej i przestrzennej skadowej normalnej wektora indukcji magnetycznej

(13)

W obydwu modelach przyjmowane jest jednakowe wzbudzenie okrelone powysz zalenoci,

z zastrzeeniem, e w modelu trjwymiarowym wprowadzone jest ono tylko w obszarze odpowiadajcym

dugoci czynnej wirnika (dugoci stojana). Zakada si dodatkowo niezmienno wektora indukcji

magnetycznej w szczelinie powietrznej wzdu osi maszyny ( ). Przy zaoeniu, e przenikalno magnetyczna jest staa, warto wspczynnika efektu kracowego obliczona wedug wyraenia

(10) nie zaley od amplitudy indukcji magnetycznej.

11

Do oblicze mocy w obydwu ukadach stosuje si metod pary zespolonych potencjaw , tj. zespolonego magnetycznego potencjau wektorowego oraz zespolonego elektrycznego potencjau skalarnego.

Naley zaznaczy, e poszczeglne wektory w modelu trj- i dwuwymiarowym nie s tosame, jednak ze

wzgldu na czytelno opisu matematycznego zdecydowano si na uycie tych samych oznacze dla wielkoci

polowych w obydwu modelach. Wychodzc z drugiego rwnania Maxwella i stosujc podstawienie oraz uwzgldniajc bezwirowo pola elektrycznego, zespolony wektor natenia pola elektrycznego, wystpujcy we wzorze (11), mona opisa rwnaniem

(14)

natomiast zespolony wektor gstoci prdu przewodnictwa mona przedstawi w postaci

(15)

a)

b)

Rys. 2. Wybr obszaru obliczeniowego i oznaczenia dugoci czynnej wirnika, obszarw kracowych oraz miejsce

wprowadzania wzbudzenia w modelach wirnika masywnego wykorzystanych do oblicze wspczynnika efektu kracowego

(obszar ograniczony przerywan lini): a) model trjwymiarowy, b) model dwuwymiarowy.

W przypadku oblicze w przestrzeni trjwymiarowej, ze wzgldu na wykorzystanie pary potencjaw

zespolonych, korzystnym jest zastosowanie zmodyfikowanego zespolonego magnetycznego potencjau

wektorowego . Poniewa obydwa potencjay s okrelone w caym obszarze przewodzcym, to dziki zastosowaniu jednego globalnego potencjau znacznie redukuje si liczb niewiadomych. Wprowadzajc

podstawienie

(16)

Obszary kracowe

Obszar powietrza otaczajcego wirnik

12

zespolone wektory natenia pola elektrycznego, gstoci prdu indukowanego oraz indukcji magnetycznej

mona wyrazi w postaci

(17)

(18)

(19)

Cay obszar obliczeniowy obydwu rozwaanych modeli wirnika masywnego traktowany jest jako ukad bez

prdw rdowych. Uwzgldniajc powysze, po dokonaniu odpowiednich podstawie w rwnaniach

Maxwella, ukad rwna opisujcych rozkad pola elektromagnetycznego w modelu trjwymiarowym mona

ostatecznie wyrazi rwnaniem

(20)

Dla modelu dwuwymiarowego powysza zaleno sprowadza si do rwnania dla jednej skadowej

zmodyfikowanego magnetycznego potencjau wektorowego

(21)

Podstawowym czynnikiem decydujcym o moliwoci praktycznego wykorzystania przedstawionego wyej

modelu jest koszt obliczeniowy, ktry mona znacznie pomniejszy dokonujc dalszego ograniczenia obszaru

analizy. Jest to moliwe tylko w maszynie o symetrycznej budowie, w ktrej istnieje symetria obrotowa wirnika

i rozkadu pola magnetycznego. Przy ograniczeniu rozwaa do jednego bieguna, dodatkowe rwnania, ktre

musi spenia rozkad pola elektromagnetycznego na brzegach wyznaczajcych symetri modelu, dotycz

cigoci skadowej indukcji magnetycznej, normalnej do brzegu oraz skadowych stycznych natenia pola

magnetycznego.

W niniejszej pracy, w celu wyznaczenia rozkadu gstoci prdw wirowych indukowanych w wirniku

masywnym, wykorzystano metod komrki [97, 98]. Dyskretyzacji obszaru obliczeniowego dokonano

w cylindrycznym ukadzie wsprzdnych za pomoc szeciociennego elementu, natomiast w ukadzie

dwuwymiarowym za pomoc rwnolegobocznego elementu czworoktnego. Wybr metody obliczeniowej ma

zwizek z moliwoci uzyskania rozwizania w szerokim zakresie czstotliwoci zmian pola w wirniku. Dla

przykadu, w pracy [65] wykazano, e tylko przy uyciu elementw skoczonych, w ktrych odpowiednie

skadowe magnetycznego potencjau wektorowego s przyporzdkowane ich krawdziom, a nie wzom, mona

otrzyma poprawne rozwizanie w zakresie bardzo niskich i rednich czstotliwoci. Przyjta koncepcja modeli

umoliwia wyznaczenie charakterystyki zmiennoci wspczynnika efektu kracowego w funkcji czstotliwoci

polizgowej odpowiadajcej zmianom prdkoci obrotowej wirnika od stanu zwarcia maszyny do prdkoci

synchronicznej. Opracowane modele maj za zadanie umoliwi obliczenia dla wirnikw o rnej budowie,

poczwszy od wirnika jednorodnego, poprzez wirnik z osiowymi naciciami powierzchni a skoczywszy na

wirnikach z jednorodnymi i niejednorodnymi obszarami kracowymi. Parametryzacja modeli komputerowych

umoliwi zbadanie wpywu konduktywnoci poszczeglnych obszarw jak rwnie parametrw

geometrycznych wirnika na warto wspczynnika efektu kracowego i charakterystyki eksploatacyjne

maszyny.

W wyniku dyskretyzacji obszaru obliczeniowego modelu przy wykorzystaniu metody komrki otrzymuj si

ukad rwna opisujcy rozkad pola elektromagnetycznego:

, (22)

, (23)

gdzie: macierz cyrkulacji zapewniajca spenienia prawa Amprea oraz prawa Faradaya, tzw. konstytutywna macierz reluktywnoci, tzw. konstytutywna macierz konduktywnoci, - wektor zespolonych amplitud cyrkulacji zmodyfikowanego zespolonego potencjau wektorowego wzdu krawdzi

siatki dyskretyzacyjnej, - obszar powietrza, - obszar przewodzcy, oznaczenie krawdzi siatki.. Pierwsze z powyszych rwna macierzowych opisuje rozkad pola w obszarze powietrza, natomiast drugie,

13

w przewodzcym obszarze wirnika masywnego. Sposb formuowania rwna pola modelu oraz wprowadzania

warunkw brzegowych zosta w szczegowy sposb opisany w dysertacji doktorskiej.

4.2. Wyznaczenie charakterystyk eksploatacyjnych

4.2.1. Rwnania polowo-obwodowego modelu maszyny

Rwnania przedstawione w poprzednim podrozdziale dotycz opisu matematycznego modeli pomocniczych,

ograniczonych do obszaru samego wirnika. Z tego powodu nie mog one by zastosowane do wyznaczenia

charakterystyk eksploatacyjnych maszyny. Do ich obliczenia w niniejszej pracy stosuje si osobny

dwuwymiarowy model polowo-obwodowy. Przyjmuje si, e rozkad pola elektromagnetycznego w tym modelu

spenia rwnanie

(24)

Wielko w poszczeglnych obszarach modelu przyjmuje nastpujce wartoci

(25)

gdzie , s efektywnymi przenikalnociami magnetycznymi, odpowiednio stojana oraz wirnika, obliczonymi wedug wyraenia

(26)

Ze wzgldu na sposb opisu wektora gstoci prdu w maszynie, mona wyrni trzy rodzaje obszarw

obliczeniowych. Pierwszy z nich stanowi obszary nieprzewodzce bez rde prdu, za ktre uwaa si

pakietowany rdze stojana oraz powietrze. Drugi rodzaj obszaru stanowi uzwojenie stojana (cae powierzchnie

obkw lub ich czci zajmowane przez zezwoje), ktre jest traktowane jest jako uzwojenie wielozwojne, tj.

jako obszar o zerowej konduktywnoci, w ktrym niezerowa jest zespolona gsto prdu rdowego

zwizana z zespolonym prdem cewki nalecej do fazy o oznaczeniu , . Rozkad tej gstoci

w rozpatrywanym obszarze jest rwnomierny i moe by oglnie opisany zalenoci

(27)

Zaoenie dotyczce rwnomiernoci rozkadu gstoci prdu w przewodach tworzcych cewki uzwojenia

stojana jest w analizowanym przypadku dopuszczalne, gdy zastpcza gboko wnikania pola do wntrza

przewodu jest dua w stosunku do rednicy przewodu [13, 36, 95]. W maszynie, w ktrej uzwojenie stojana

utworzone jest z grup poczonych szeregowo oraz faz poczonych w gwiazd (w niniejszej pracy rozpatrywane

s uzwojenia tylko tego typu) prd pojedynczego przewodu jest rwny prdowi fazowemu. Uwzgldniajc, e

uzwojenie jest zasilane z symetrycznego trjfazowego rda napiciowego o amplitudzie rwnanie bilansu

napi dla jednej fazy uzwojenia, wynikajce z drugiego prawa Kirchhoffa przyjmuje posta

(28)

gdzie: sumaryczny kontur wiedziony wzdu wszystkich zwojw cewek fazy. Dla uzwojenia o szeregowo

poczonych cewkach, ktrych boki s rozoone w obszarach odpowiadajcych przekrojom obkw (uzwojenie jednowarstwowe) lub czciom tych przekrojw (uzwojenie wielowarstwowe), rwnie (28)

przyjmuje posta

(29)

gdzie

jest funkcj rozkadu uzwojenia.

14

Trzeci rodzaj obszarw stanowi masywne czci silnika o niezerowej konduktywnoci. W rozpatrywanej

maszynie s to: kadub, wirnik oraz wa. Gsto prdu rdowego jest w nich zerowa, niezerowa jest natomiast

gsto prdu indukowanego. Moe ona wywoywa znaczne straty mocy w tych czciach maszyny, dlatego

powinna by ona odwzorowana moliwie dokadnie. Naley jednak zwrci uwag, e w rozpatrywanym

modelu wystpuje tylko skadowa wektora gstoci prdu w kierunku rwnolegym do wau. Wwczas popenia

si bd zwizany z modelowaniem tej skadowej, gdy pominite s w nim skadowe wektora gstoci prdu

prostopade do wau. Szczegln uwag naley zwrci na przypadek, gdy rozpatrywanym obszarem jest wa

lub wirnik maszyny, gdzie naley uwzgldni zmian czstotliwoci indukowanego prdu wraz ze zmian

prdkoci obrotowej. W modelach matematycznych maszyn indukcyjnych okrelonych w dziedzinie

czstotliwoci, zmian pulsacji pola magnetycznego wnikajcego do wntrza wirnika, zwizan ze zmian jego

prdkoci wirowania, uwzgldnia si za pomoc metody transformacji polizgu [13, 18, 55]. Polega ona

wyraeniu amplitudy indukowanego prdu bezporednio poprzez polizg wirnika. Odpowiada to ograniczeniu

rozwaa do podstawowej harmonicznej czasowej rozkadu pola magnetycznego w wirniku. W takim przypadku

rozkad wektora gstoci prdu indukowanego w obszarach masywnych mona opisa funkcj

(30)

Konduktywno efektywna wystpujca we wzorze (30) jest rwna iloczynowi rzeczywistej konduktywnoci materiau oraz wspczynnika efektu kracowego . Zmianom czstotliwoci w wirniku towarzyszy zmiana gbokoci wnikania pola magnetycznego do jego wntrza. Zmianie ulega rwnie zastpcza impedancja

obszarw kracowych wirnika. Z tego powodu, wspczynnik efektu kracowego w wirniku (10) take musi

uwzgldnia t zmian. Inna sytuacja zachodzi w obszarach masywnych zlokalizowanych poza wirnikiem,

takich jak kadub maszyny, w ktrych czstotliwo podstawowej harmonicznej pola magnetycznego jest staa.

W zwizku z tym, w obszarze takim wspczynnik efektu kracowego mona uzna za niezaleny od

czstotliwoci. W maszynach elektrycznych czci te maj rnorodn budow oraz s wykonane

z rnorodnych materiaw (aluminium, stal, eliwo). Do wyznaczenia odpowiednich wspczynnikw efektu

kracowego w tych obszarach trudno jest zatem opracowa uniwersalny model numeryczny, jak to uczyniono

w niniejszej pracy w przypadku obszaru wirnika. W czciach tych mona jednak zawsze posugiwa si regu,

wedug ktrej wspczynnik efektu kracowego jest szacowany dzielc dugo w kierunku osiowym przez

sum dugoci w kierunku osiowym oraz w kierunku obrotw, przez liczb biegunw, tj. tak samo jak

w przypadku wspczynnika efektu kracowego wyznaczanego wedug wyraenia (5) podanego przez

OKelly'ego [79]. Uwzgldniajc powysze, efektywna konduktywno w poszczeglnych masywnych

obszarach obliczeniowych modelu przyjmuje warto

(31)

gdzie oznacza, e wspczynnik efektu kracowego jest funkcj polizgu (czstotliwoci).

4.2.2. Uwzgldnienie strat

Oprcz moliwoci wyznaczenia podstawowych charakterystyk eksploatacyjnych maszyny, opracowany

model powinien take umoliwia oszacowanie strat, gdy od ich wartoci uzaleniona jest sprawno maszyny,

a take moliwym jest zaprojektowanie odpowiednio wydajnego ukadu chodzenia. Ze wzgldu na przyczyny

powstawania, straty wystpujce w maszynach elektrycznych dziel si oglnie na elektromagnetyczne

i mechaniczne [54]. Do strat mechanicznych zalicza si straty wywoane tarciem podczas wirowania (straty

w oyskach i straty wywoane oporem aerodynamicznym) oraz bdce rezultatem wymuszenia obiegu czynnika

chodzcego (wentylator). Straty elektryczne s zwizane z wystpowaniem prdu w rodowiskach

przewodzcych (straty w uzwojeniu oraz zwizane z indukowaniem si prdw wirowych w elementach

masywnych i w mniejszym stopniu w elementach wykonanych w postaci pakietu blach) oraz z wystpowaniem

zjawiska histerezy ferromagnetyka (straty histerezowe). Straty wywoane wyszymi harmonicznymi indukcji

magnetycznej nazywane s elektromagnetycznymi stratami dodatkowymi. Wysze harmoniczne indukcji

magnetycznej s skutkiem zarwno odksztacenia przebiegw napi zasilajcych (harmoniczne czasowe), jak

rwnie niecigego charakteru funkcji rozkadu uzwojenia w obkach oraz niejednorodnego obwodu

magnetycznego maszyny w postaci uobkowania stojana i wirnika (tzw. permeancyjne przestrzenne

harmoniczne obkowe). W odrnieniu od maszyn konwencjonalnych, gdzie straty dodatkowe stanowi tylko 2

do 5% wszystkich strat, w maszynach wysokoobrotowych uwzgldnienie ich opisu staje si koniecznoci [54].

W tego typu przetwornikach mog one stanowi nawet poow wszystkich strat wpywajc w znaczcy sposb

nie tylko na sprawno ale rwnie na warto wspczynnika mocy [54]. Ze wzgldu na zwikszon

15

czstotliwo zmian pola, wysz wartoci, w porwnaniu do maszyn konwencjonalnych, charakteryzuj si

rwnie straty w pakietowanych elementach obwodu magnetycznego.

W niniejszej pracy przyjto model strat w pakietowanym rdzeniu stojana oparty na klasycznej metodzie

rozdziau strat w jednostce masy obwodu magnetycznego. W metodzie tej straty jednostkowe dzieli si na

klasyczne straty wiroprdowe, straty zwizane z histerez oraz straty nadmiarowe

(32)

Stae oraz dla materiau rdzenia stojana identyfikuje si metod regresji liniowej na podstawie krzywych strat jednostkowych materiau zmierzonych przy zadanej czstotliwoci. Poniewa straty te maj istotny wpyw

na warto wspczynnika mocy maszyny i warto skadowej czynnej prdu pobieranego ze rda zasilania,

koniecznym staje si wczenie modelu tych strat do opisu matematycznego maszyny. Dla modeli okrelonych

w dziedzinie czstotliwoci, spotyka si prace, w ktrych w tym celu stosuje si tzw. metod przenikalnoci

magnetycznej zespolonej [53, 64]. W metodzie tej modu przenikalnoci zespolonej jest rwny przenikalnoci

mierzonej przy prdzie staym, natomiast argument okrela si tak aby w jednostce masy rdzenia straty

wynikajce ze wzoru (32) byy rwne polu powierzchni zastpczej elipsy na paszczynie zespolonej W niniejszej pracy przyjto inne podejcie. Straty w elazie wczono do modelu silnika wprowadzajc

dodatkowy nieliniowy rezystor, poczony rwnolegle z kad z faz uzwojenia stojana (rys. 3). Warto

rezystancji tego elementu jest obliczana wedug wzoru

(33)

gdzie

(34)

(35)

Rys. 3. Schemat ilustrujcy sposb wprowadzenia do modelu polowo-obwodowego maszyny strat w elazie za pomoc gazi

rwnolegej zawierajcej nieliniow rezystancj.

Kolejny problem dotyczy uwzgldnienia strat w masywnym wirniku od wyszych harmonicznych indukcji

magnetycznej w szczelinie powietrznej. W modelu okrelonym w dziedzinie czstotliwoci tylko dla

podstawowej harmonicznej czasowej wymuszenia nie ma moliwoci uwzgldnienia wpywu wyszych

harmonicznych czasowych wywoanych odksztaceniem przebiegu napi zasilajcych (zasilanie za

porednictwem falownika napicia). Nie mona take w sposb dokadny odwzorowa wpywu harmonicznych

przestrzennych, gdy wymaga to odwzorowania rzeczywistego ruchu obrotowego wirnika a wic rozwizania

wszystkich rwna w dziedzinie czasu. Starty mocy wywoane przez harmoniczne obkowe, ktre

w trjfazowej maszynie indukcyjnej z wirnikiem masywnym stanowi przewaajc cz strat dodatkowych

w wirniku [4, 11], mona w zastosowanej metodzie obliczeniowej oszacowa dokonujc rozkadu indukcji

magnetycznej w szczelinie powietrznej, obliczonego dla podstawowej harmonicznej czasowej napicia

zasilajcego, na wysze harmoniczne. Przy takim podejciu przyjmuje si, e amplitudy odpowiednich

ga zwizana z wyznaczeniem napi w modelu polowym

16

harmonicznych czasowych s rwne amplitudom harmonicznych przestrzennych. Rzd tych harmonicznych

indukcji wynika z oddziaywania harmonicznych permeancji obkowej stojana o numerach

, = 1,2,3

z podstawow harmoniczn okadu prdowego uzwojenia stojana. Numery harmonicznych permeancyjnych

indukcji magnetycznej w szczelinie powietrznej s okrelone poprzez zaleno

(36)

Polizg wirnika zwizany z rwnowanym polem wirujcym pochodzcym od - tej harmonicznej indukcji magnetycznej okrela rwnanie

(37)

Przy takich zaoeniach dokonujc rozkadu indukcji magnetycznej w szczelinie powietrznej maszyny za

pomoc dyskretnej transformaty Fouriera, kad z amplitud mona potraktowa jako osobne wymuszenie

umoliwiajce wyznaczenie odpowiadajcego mu rozkadu gstoci prdu w wirniku. To z kolei, pozwala

oszacowa zwizane z tym rozkadem straty mocy. Na podstawie znajomoci wartoci poszczeglnych amplitud

harmonicznych obkowych, wprowadza si tyle modeli pomocniczych (ograniczonych do samego wirnika

maszyny) ile wynosi liczba znaczcych amplitud harmonicznych obkowych. W praktyce liczb t mona

ograniczy do 4, tj. dla , gdy amplitudy harmonicznych wyszych rzdw s niewielkie i wywouj one niskie straty mocy.

Kada z amplitud w modelu pomocniczym jest uwzgldniana za pomoc warunku brzegowego Dirichleta

wprowadzonego w rodku szczeliny powietrznej. Warunek ten jest zadawany dla magnetycznego potencjau

wektorowego i dotyczy on wymuszenia obwodowego rozkadu skadowej promieniowej indukcji magnetycznej

o amplitudzie rwnej amplitudzie odpowiedniej harmonicznej obkowej oraz liczbie par biegunw rwnej . Zakada si, e za nasycenie obwodu magnetycznego modeli pomocniczych odpowiada tylko harmoniczna

podstawowa rozkadu indukcji magnetycznej.

Uwzgldniajc, e z kadym z modeli pomocniczych (harmoniczn o liczbie par biegunw ) s zwizane straty w wirniku to straty dodatkowe cakowite w wirniku s obliczane wedug wzoru

(38)

Straty dodatkowe w wirniku s nastpnie wprowadzane do opisanego wyej modelu polowo-obwodowego

maszyny podobnie jak straty w elazie, tj. za pomoc dodatkowego rezystora poczonego rwnolegle z kad faz uzwojenia (rys. 4). Warto jego rezystancji obliczana jest z rwnania:

(39)

Postpowanie zgodne z przedstawionym wyej opisem jest zobrazowane rys. 5.

Z kad wysz harmoniczn indukcji magnetycznej zwizana jest odpowiadajca jej warto momentu

elektromagnetycznego:

(40)

Aby uwzgldni momenty dodatkowe w bilansie mocy rozpatrywanego modelu, do wartoci momentu

wynikajcego z oddziaywania podstawowej harmonicznej indukcji magnetycznej i rozkadu wektora gstoci

prdu w wirniku dodawane s skadniki pochodzce od wyszych harmonicznych

(41)

Skadnik momentu elektromagnetycznego jest obliczany przy wykorzystaniu skadowej osiowej tensora momentw napre magnetycznych w szczelinie powietrznej maszyny

(42)

17

gdzie oznacza krzyw cakowania w postaci okrgu o promieniu rwnemu redniej wartoci szczeliny

powietrznej. W celu poprawy dokadnoci oblicze momentu elektromagnetycznego metod tensora napre

Maxwella wykorzystano podejcie bazujce na lokalnym rozwizaniu rwnania Laplacea w obszarze szczeliny

powietrznej metod analityczn [76].

Rys. 4. Schemat ilustrujcy sposb wprowadzenia do modelu polowo-obwodowego maszyny cznie strat w elazie oraz strat

dodatkowych od wyszych harmonicznych w wirniku za pomoc gazi rwnolegych zawierajcych nieliniowe rezystancje.

Dodatkowych rozwaa wymaga sposb obliczenia rozkadu gstoci prdu w modelach pomocniczych dla

kadej z uwzgldnianych wyszych harmonicznych indukcji magnetycznej. Naley zauway, e efekt

kracowy w wirniku bdzie mia inny charakter dla kadej harmonicznej. Obliczenie osobnego wspczynnika

efektu kracowego dla kadej harmonicznej indukcji magnetycznej za pomoc modelu przedstawionego

w podrozdziale 4.1 jest moliwe, jednak takie podejcie wie si z bardzo wysokim kosztem obliczeniowym

(potrzeba wyznaczenie takiej liczby wspczynnikw efektu kracowego zalenych od czstotliwoci ile wynosi

liczba wyszych harmonicznych uwzgldnianych w modelu), dlatego naley uproci analiz. Ze wzgldu na to,

e dugo podziaki biegunowej wirnika dla wyszych harmonicznych jest duo mniejsza w porwnaniu do

aktywnej dugoci stojana, efekt kracowy z nimi zwizany ma duo mniejszy wpyw na straty mocy

w porwnaniu z wpywem efektu kracowego zwizanego z harmoniczn podstawow. Dodatkowo,

czstotliwo indukowanego prdu zwizana z wyszymi harmonicznymi obkowymi, jest znacznie wysza od

czstotliwoci podstawowej harmonicznej. Z tego powodu penetracja wirnika przez pole magnetyczne

pochodzce od tych harmonicznych jest ograniczona praktycznie do dugoci czynnej wirnika. Dlatego do

oszacowania wspczynnikw efektu kracowego dla tych harmonicznych dogodnie jest zastosowa

wspczynnik wyraony za pomoc formuy OKelly'ego, uwzgldniajc odpowiedni liczb par biegunw

zwizan z t harmoniczn

(43)

Opisana wyej metoda uwzgldniania wpywu wyszych harmonicznych obkowych na parametry

eksploatacyjne modelu jest jedynie metod szacunkow i ma istotne wady. Jedn z nich jest brak moliwoci

uwzgldnia zmian rozkadu indukcji magnetycznej wraz ze zmian pooenia wirnika w odniesieniu do stojana

wystpujc w przypadku modelowania maszyny z wirnikiem niejednorodnym (dwustronne uobkowanie

szczeliny powietrznej w przypadku wirnika niejednorodnego). Kolejnym przyjtym uproszczeniem jest

niezalene sumowanie wpywu poszczeglnych harmonicznych obliczanych przy zaoeniu, e nasycenie

obwodu magnetycznego wywouje tylko podstawowa harmoniczna indukcji magnetycznej. Jak powszechnie

wiadomo zasada superpozycji nie moe by stosowana w ukadach nieliniowych. W rzeczywistej maszynie

poszczeglne harmoniczne wpywaj na stan nasycenia poszczeglnych obszarw obwodu magnetycznego

(szczeglnie obszary obkw stojana i zbw wirnika) i aby w sposb dokadny odwzorowa ich wpyw naley

rwnania rozwizywa w dziedzinie czasu modelujc ruch obrotowy wirnika. Kolejny bd wprowadzany przez

t metod polega na pominiciu wpywu napi indukowanych w uzwojeniu silnika przez wysze harmoniczne

indukcji magnetycznej. Wpyw ten jest jednak niewielki ze wzgldu na niskie wartoci amplitud tych

harmonicznych i poczenie uzwojenia stojana w gwiazd.

Rwnanie (24) modelu polowo-obwodowego zdyskretyzowano za pomoc trjktnych elementw

skoczonych pierwszego rzdu. W obrbie pojedynczego elementu, rozkad zespolonego magnetycznego

potencjau wektorowego jest aproksymowany za pomoc kombinacji liniowej standardowych funkcji ksztatu

ga zwizana z wyznaczeniem napi w modelu polowym

18

oraz wartoci wzowych zespolonego

magnetycznego potencjau wektorowego [24, 36, 59, 77, 113]

(44)

Rys. 5. Ilustracja graficzna metody wyznaczania strat dodatkowych i uwzgldnienia ich w opisie

matematycznym maszyny indukcyjnej.

W wyniku zastosowania kryterium residuw waonych i standardowej procedury Galerkina [24, 36, 59, 77, 113]

do rwnania (24) oraz podstawienia (44), otrzymuje si ukad rwna

(45)

gdzie:

(46)

(47)

(48)

przy czym w powyszych zalenociach, indeks odnosi si do pojedynczego elementu siatki. Dokonujc kumulacji przyczynkw wedug globalnej numeracji wzw siatki, tworzy si globalny ukad rwna.

Do uformowania rwna dla obwodu elektrycznego utworzonego przez pasma fazowe uzwojenia poczone

w gwiazd zastosowano metod prdw oczkowych.

Otrzymany ostatecznie ukad rwna jest nieliniowy ze wzgldu na nieliniowe charakterystyki

magnesowania obwodu stojana i wirnika a take ze wzgldu na zaleno rezystancji obwodu elektrycznego od

napi w przyjtej metodzie odwzorowania strat w elazie i strat dodatkowych. Do jego rozwizania trudno jest

zastosowa metod Newtona-Raphsona ze wzgldu na to, e forma kwadratowa w tym ukadzie rwna jest

niesymetryczna i nieoznaczona, co narusza warunki konieczne dotyczce stabilnoci odpowiedniego rwnania

rekurencyjnego. W takim przypadku najdogodniej jest wykorzysta metod iteracji prostych Picarda, zgodnie

z ktr dokonuje si rozwizania rwnania rekurencyjnego

19

(49)

w ktrym jest rozwizaniem ukadu rwna, natomiast jest sta Lipschitza . Rwnanie to

jest stabilne jeli jest ono odwzorowaniem zwajcym, tzn. norma wektora rozwiza nie wzrasta dla rosncego

k. Zaley to gwnie od krzywej magnesowania oraz staej , ktr naley dobiera w kadej iteracji. Z dowiadcze Autora wynika, e rwnanie to jest stabilne jeli krzywa magnesowania jest funkcj cile monotoniczn.

Rwnanie (49) jest uznawane za rozwizane jeli bd wzgldny wyraony wzorem

(50)

jest mniejszy od zaoonej wartoci. W niniejszej pracy przyjto Wyznaczenie wielkoci strat dodatkowych w wirniku, metod przedstawion w podrozdziale 4.2.2, wymaga

przeprowadzenia niezalenych oblicze celem rezystancji wyznaczenia wykorzystujc osobne modele

wirnika, w ktrych rozkad gstoci prdu indukuj wymuszenia brzegowe w postaci obwodowych rozkadw

poszczeglnych harmonicznych indukcji magnetycznej. Dla kadej harmonicznej koniecznym jest modyfikacja

odnoszcych si do wirnika elementw macierzy (zmiana polizgu oraz wspczynnika efektu kracowego dla poszczeglnych harmonicznych). W modelach tych wykorzystuje si t natomiast sam macierz S zakadajc, e

nasycenie magnetyczne wirnika wywouje tylko harmoniczna podstawowa indukcji magnetycznej. Tak

opracowany model posiada istotne wady a wystpujce sprzenie ma charakter saby. Naley jednak zwrci

uwag na to, e cechuje si on znacznie niszym kosztem obliczeniowym w porwnaniu z modelem okrelonym

w dziedzinie czasu.

5. Model fizyczny maszyny

Weryfikacj pomiarow modeli matematycznych proponowanych w niniejszej pracy wykonano za pomoc

silnika maej mocy zasilanego za porednictwem przeksztatnika wytwarzajcego quasi-prostoktne przebiegi

napi (rys. 6). Podstawowe parametry eksploatacyjne maszyny zestawiono w tab. 1.

Chodzony ciecz stojan maszyny posiada uzwojenie rednicowe poczone w gwiazd bez wyprowadzonego

przewodu neutralnego. Uywajc tego samego stojana, w pracy dokonano pomiarw charakterystyk

eksploatacyjnych maszyny wyposaonej w trzy rne wirniki masywne wykonane ze stali konstrukcyjnej

o konduktywnoci elektrycznej rwnej 3.55106 S/m w temperaturze 20

o C. S to odpowiednio: wirnik

jednorodny (rys. 7), wirnik z osiowymi naciciami powierzchni przez ca dugo (rys. 8) oraz wirnik

z osiowymi naciciami powierzchni i jednorodnymi obszarami kracowymi tworzcymi ferromagnetyczne

piercienie zwierajce (rys. 9).

Rys. 6. Model fizyczny wysokoobrotowej maszyny indukcyjnej z wirnikiem masywnym.

Enkoder pooenia wirnika

Dodatkowe koa zamachowe

We z ciecz chodzc

20

Tab. 1. Parametry eksploatacyjne maszyny

PARAMETR WARTO JEDNOSTKA

Moc znamionowa 330 W

Znamionowe midzyfazowe

napicie uzwojenia stojana 150 V

Czstotliwo podstawowej

harmonicznej napicia zasilajcego 500 Hz

Liczba par biegunw 2 -

Liczba obkw stojana 24 -

Dugo stojana 32 Mm

rednica zewntrzna stojana 60.2 Mm

Rezystancja staoprdowa pasma

fazowego 0.6

Liczba zwojw na obek 18 -

Polizg znamionowy 0.2 -

Indukcyjno pocze czoowych

cewek tworzcych pasmo fazowe 0.1 mH

a)

b)

Rys. 7. Wirnik jednorodny: a) model fizyczny, b) wymiary.

W celu wyduenia czasu pomiaru na wale badanej maszyny zamontowano po dwa koa zamachowe. Masa

pojedynczego koa wynosi 0.2 kg natomiast jego moment bezwadnoci 7.8510-5

kgm2. Cakowity moment

bezwadnoci mas wirujcych wynosi =2.0910-4 kgm2 w przypadku maszyny z wirnikami jednorodnym

i z osiowymi naciciami powierzchni oraz jednorodnymi obszarami kracowymi oraz =1.9310-4 kgm2 dla

maszyny z wirnikiem z osiowymi naciciami powierzchni przez ca dugo.

Weryfikacj pomiarow obliczonych charakterystyk eksploatacyjnych maszyny dokonano przy uyciu

stanowiska laboratoryjnego, ktre pokazano na rys. 10. W jego skad wchodz, oprcz opisanej w poprzednim

podrozdziale maszyny, wytwarzajcy quasi-prostoktne przebiegi napicia przeksztatnik energoelektroniczny

pozwalajcy na niezalen regulacj amplitudy i czstotliwoci napicia zasilajcego, ukad chodzenia maszyny

oraz zestaw przetwornikw pomiarowych pozwalajcych na rejestracj przebiegw prdkoci obrotowej oraz

wartoci chwilowych i skutecznych poszczeglnych napi midzyfazowych oraz prdw fazowych stojana.

Pomiar prdkoci obrotowej zrealizowano przy uyciu 8-bitowego enkodera kta obrotu oraz ukadu

elektronicznego wykorzystujcego transoptor odbiciowy. Sygna o czstotliwoci proporcjonalnej do prdkoci

obrotowej wau jest nastpnie przeksztacany przez przetwornik na proporcjonalny do czstotliwoci sygna

napiciowy. Do pomiaru prdw i napi oraz sygnau z toru pomiarowego prdkoci obrotowej wykorzystano

21

analizator mocy LEM NORMA D6000. Do wyznaczenia momentu elektromagnetycznego wykorzystano metod

poredni opart na pomiarze przebiegw prdkoci ktowych wirnika podczas rozruchu i wybiegu maszyny

[A15]

Przy wykorzystaniu przedstawionego stanowiska laboratoryjnego zrealizowano pomiary charakterystyk

momentu elektromagnetycznego, wartoci skutecznej prdu fazowego stojana oraz wspczynnika mocy

w funkcji prdkoci obrotowej dla czstotliwoci podstawowej harmonicznej napicia zasilajcego =500 Hz oraz napiciach stopnia poredniczcego falownika rwnych odpowiednio 100 V, 150 V i 200 V.

a)

b)

Rys. 8. Wirnik z naciciami osiowymi powierzchni przez ca dugo: a) model fizyczny, b) wymiary.

a)

b)

Rys. 9. Wirnik z naciciami osiowymi powierzchni oraz jednorodnymi obszarami kracowymi tworzcymi piercienie

zwierajce: a) model fizyczny, b) wymiary.

22

Rys. 10. Widok stanowiska pomiarowego wraz z analizatorem mocy.

6. Wyniki oblicze

Poprawno i przydatno proponowanej w niniejszej pracy metody uwzgldniania wpywu efektu

kracowego zweryfikowano na przykadzie, opisanej w poprzednim rozdziale, wysokoobrotowej maszyny maej

mocy. W tym celu opracowano i zaimplementowano w jzyku skryptowym Matlab programy komputerowe

bazujce na zaprezentowanych algorytmach obliczeniowych.

W pierwszej kolejnoci przeprowadzono obliczenia wspczynnikw efektu kracowego w funkcji

czstotliwoci dla trzech rnych wirnikw, ktrych wymiary geometryczne oraz parametry fizyczne

przedstawiono w rozdziale pitym. Przed przystpieniem do wyznaczania charakterystyk funkcjonalnych

silnikw dokonano porwnania wartoci wspczynnikw efektu kracowego obliczonych numerycznie oraz na

podstawie wzorw.

W kolejnym etapie, wspczynniki efektu kracowego, obliczone analitycznie oraz wedug proponowanej

w pracy metody numerycznej, wykorzystano do wyznaczenia charakterystyk funkcjonalnych maszyny.

Otrzymane charakterystyki porwnano z wynikami pomiarw na modelu fizycznym.

Wartoci wspczynnika ke obliczone dla trzech rnych wirnikw za pomoc wyrae (2)-(8) przedstawiono

graficznie na rys. 11.

Rys. 11. Wartoci wspczynnika efektu kracowego dla trzech rnych wirnikw obliczone za pomoc wzorw (2)-(8).

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

keT

keR

keY

keO

keW

Komputer do akwizycji danych

Analizator mocy NORMA D 6000

Przeksztatnik zasilajcy

Przetworniki pomiarowe

wirnik jednorodny Wirnik z naciciami osiowymi oraz jednorodnymi

obszarami kracowymi przez ca dugo

wirnik z naciciami osiowymi

przez ca dugo

23

Porwnanie wskazuje na znaczn rozbieno uzyskanych wynikw w zalenoci od wykorzystanego do

oblicze wyraenia analitycznego. Bez znajomoci wynikw pomiarw na modelu fizycznym praktycznie

niemoliwym jest zatem dokonanie wyboru odpowiedniej formuy w zalenoci od konstrukcji analizowanego

wirnika.

W kolejnym etapie bada, dla rozwaanych wirnikw wyznaczono numerycznie charakterystyki

wspczynnika efektu kracowego w funkcji czstotliwoci zmian pola od 0.25 Hz do 500 Hz. Wykorzystano do

tego celu opracowane modele obliczeniowe wirnikw, ktrych budowa wraz ze sposobem wyznaczania

wspczynnika efektu kracowego opisane zostay szczegowo w rozdziaach czwartym i pitym.

Na rys. 12 przedstawiono siatki dyskretyzacyjne utworzone dla modeli badanych wirnikw (w celu poprawy

czytelnoci rysunkw pominito obszary powietrza). Siatka pomocniczego modelu dwuwymiarowego jest

zlokalizowana w paszczynie podstawowej ( ) ukadu wsprzdnych walcowych w modelu trjwymiarowym.

a) b) c)

Rys. 12. Siatki dyskretyzacyjne trjwymiarowych modeli wirnika sucych do numerycznego wyznaczania wspczynnika

efektu kracowego, siatka odpowiadajcego modelu dwuwymiarowego znajduje si w paszczynie podstawowej ( ): a) wirnik jednorodny, b) wirnik z naciciami osiowymi przez ca dugo, c) wirnik z naciciami osiowymi z jednorodnymi

obszarami kracowymi stanowicymi piercienie zwierajce.

Na rys.13 pokazano przykadowe rozkady wektora gstoci prdu oraz izopowierzchnie jego amplitudy

rwnej 7106 A/m

2, obliczone dla czstotliwoci zmian pola 100 Hz, co odpowiada znamionowemu polizgowi

maszyny, rwnemu 20 % dla wirnika z osiowymi naciciami osiowymi powierzchni przez ca dugo.

a) b)

Rys. 13. Obliczone dla znamionowego polizgu wirnika z naciciami osiowymi powierzchni przez ca dugo: a) rozkad

wektora gstoci prdu w A/m2, b) izopowierzchnia amplitudy wektora gstoci prdu rwnej 7106 A/m2.

W oparciu o wyznaczone rozkady wektora gstoci prdu, dla trzech badanych wirnikw wyznaczono

zalenoci wspczynnika efektu kracowego w funkcji czstotliwoci. Przykadow charakterystyk

wyznaczon dla wirnika z naciciami osiowymi przez ca dugo pokazano na rys. 14.

Z przeprowadzonych oblicze wynika, e wpyw efektw kracowych w badanych wirnikach jest wikszy

ni sugeruj to wartoci wspczynnika efektu kracowego obliczone wedug wzorw analitycznych.

Poprawnoci tego wyniku mona dowie tylko na podstawie porwnania wynikw oblicze z pomiarami

charakterystyk funkcjonalnych maszyny.

24

Rys. 14. Zaleno wspczynnika efektu kracowego w wirniku z naciciami osiowymi powierzchni przez ca dugo od

czstotliwoci.

Pewne zastrzeenia moe budzi poprawno uzyskanych wynikw, w zwizku z przyjciem w modelach

matematycznych staej wartoci przenikalnoci magnetycznej w caym analizowanym obszarze wirnika.

W proponowanej metodzie wyznaczania wspczynnika , jest on wyraany jako stosunek dwch wartoci mocy ( i wzr (10)), ktre s funkcjami przenikalnoci magnetycznej. W maszynie indukcyjnej z wirnikiem masywnym w znamionowych warunkach pracy, zewntrzne warstwy wirnika oraz obszarw

kracowych charakteryzuj si znacznym poziomem nasycenia [85]. W zalenoci od zastosowanego materiau

indukcja magnetyczna w tych warstwach osiga 1.5-2.0 T. W niniejszej pracy przyjmuje si zaoenie, e

rnice w poziomie nasycenia przypowierzchniowych obszarw wirnika (w obrbie ktrych zlokalizowana jest

gwna cz indukowanego rozkadu wektora gstoci prdu) spowodowane wpywem efektw kracowych

mog zosta pominite. Zdecydowanie, prawidowy wybr wartoci przenikalnoci wpywa na warto

wspczynnika efektu kracowego, jednake w praktyce musi to by warto staa, gdy tylko w taki sposb

mona jednoznacznie wyrazi wspczynnik efektu kracowego. W niniejszej pracy w obliczeniach

wspczynnika efektu kracowego, przyjto wzgldn przenikalno magnetyczn wirnika rwn 160. Warto

ta najbardziej odpowiada pracy maszynie z wirnikiem jednorodnym w znamionowych warunkach pracy.

Podobne wartoci osiga przenikalno wirnika w obszarze naci w wirnikach niejednorodnych.

Dowiadczenia numeryczne przeprowadzone wielokrotnie przez Autora pokazay, e taka warto

przenikalnoci gwarantuje najbardziej dokadne wyniki oblicze charakterystyk funkcjonalnych maszyny. Na

podstawie wynikw analizy wpywu przenikalnoci magnetycznej materiau wirnika dokonanej w pracy mona

stwierdzi, e precyzyjny wybr wartoci wzgldnej przenikalnoci magnetycznej nie jest krytyczny z punktu

widzenia wynikw oblicze. Mona zaobserwowa, e przy zmianie wartoci przenikalnoci o 20 %, warto

wspczynnika efektu kracowego przy czstotliwoci odpowiadajcej polizgowi znamionowemu zmienia si

tylko o kilka procentw. Najwiksze zmiany , bliskie procentowym zmianom przenikalnoci wystpuj przy czstotliwociach rzdu uamkw Herza, czyli w zakresie polizgw ktre nie s wykorzystywane w praktyce.

Celem okrelenia wpywu efektu kracowego na charakterystyki funkcjonalne maszyny przeprowadzono

obliczenia z wykorzystaniem polowo-obwodowego modelu maszyny utworzonego na podstawie rwna

przedstawionych w podrozdziale 4 oraz wymiarw geometrycznych stojana i trzech wirnikw masywnych

analizowanych w poprzednim fragmencie pracy.

Obliczenia charakterystyk eksploatacyjnych maszyny przeprowadzono dla wartoci napicia staego,

mierzonego na stopniu poredniczcym przeksztatnika, rwnym odpowiednio 100, 150 i 200 V. Ze wzgldu na

wystpujce spadki napicia w przeksztatniku (rozadowywanie kondensatora poredniczcego, proporcjonalne

do prdu obcienia spadki napicia na tranzystorach IGBT) dokonywano pomiarw przebiegw wartoci

chwilowych napi midzyfazowych falownika podczas rozruchu maszyny obcionej dodatkowymi koami

zamachowymi. Po zarejestrowaniu przebiegw tych napi, numerycznie dokonano wyznaczenia zalenoci

wartoci skutecznej napicia fazowego od prdkoci obrotowej. Nastpnie charakterystyki te poddawano

interpolacji oraz po przemnoeniu przez pierwiastek z dwch (amplituda sinusoidalnego napicia fazowego

o wartoci skutecznej rwnej wartoci skutecznej zmierzonego napicia fazowego), wprowadzono jako dane

wejciowe w programach do wyznaczenia charakterystyk funkcjonalnych maszyny.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

f [Hz]

ke [

-]

25

Przykadowy rozkad pola magnetycznego dla maszyny z wirnikiem z osiowymi naciciami powierzchni

przez ca dugo pokazano na rys. 15.

a) b)

Rys. 15. Rozkady linii strumienia magnetycznego w maszynie z wirnikiem z naciciami przez ca dugo, obliczone za

pomoc jej modelu polowo-obwodowego przy V: a) =0.7, b) =0.2.

Porwnanie charakterystyk eksploatacyjnych na przykadzie maszyny wyposaonej w wirnik z naciciami

osiowymi powierzchni przez ca dugo obliczonych dla napicia na stopniu poredniczcym przeksztatnika

rwnym 150 V i rnych metod wyznaczania wspczynnika efektu kracowego z wynikami pomiarw na

modelu fizycznym pokazano na rysunkach 16-18. Dla kadej z obliczonych charakterystyk wyznaczono

wspczynnik rozbienoci wynikw oblicze w stosunku do wynikw pomiaru zdefiniowany jako

(51)

gdzie: wskanik rozbienoci wynikw pomiarw i oblicze, liczba prbek wielkoci mierzonej, wielko mierzona, wielko obliczona. Wartoci tego wskanika dla poszczeglnych przypadkw zestawiono w tabeli 2.

Rys. 16. Charakterystyki momentu elektromagnetycznego w funkcji prdkoci obrotowej dla maszyny z wirnikiem

z naciciami przez ca dugo przy V.

4000 6000 8000 10000 12000 140000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

n [obr/min]

Te [

Nm

]

Pomiar

ke(f)

keT

keR

keY

keO

keW

26

Rys. 17. Charakterystyki wartoci skutecznej prdu fazowego w funkcji prdkoci obrotowej dla maszyny z wirnikiem

z naciciami osiowymi przez ca dugo przy V.

Rys. 18. Charakterystyki wspczynnika mocy w funkcji prdkoci obrotowej dla maszyny z wirnikiem z naciciami

osiowymi przez ca dugo przy V.

Tab. 2. Warto wskanika rozbienoci pomiarw i oblicze charakterystyk eksploatacyjnych dla rnych metod obliczania

wspczynnika efektu kracowego dla maszyny z wirnikiem z naciciami osiowymi przez ca dugo przy V.

25.27 4.66 14.37 9.57 7.56 9.15

37.37 18.43 28.79 24.08 1.34 3.04

84.97 32.11 58.67 46.00 8.02 11.56

rednia 49.20 18.40 33.94 26.55 5.64 7.92

W omawianym przykadzie wysok zgodno wynikw oblicze z wynikami pomiarw uzyskano rwnie

przy wykorzystaniu analitycznego wyraenia zaproponowanego przez Woolleya. Ze wzgldu jednak na brak

jednoznacznych wskaza w literaturze co do wyboru odpowiedniej formuy, nie byo moliwe dokonanie go

przed przeprowadzeniem pomiarw na modelu fizycznym maszyny.

4000 6000 8000 10000 12000 140000

5

10

15

20

25

n [obr/min]

I a [

A]

Pomiar

ke(f)

keT

keR

keY

keO

keW

4000 6000 8000 10000 12000 140000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

n [obr/min]

a [

-]

Pomiar

ke(f)

keT

keR

keY

keO

keW

27

W wielu z analizowanych w pracy przypadkw obliczenia z wykorzystaniem analitycznych metod

wyznaczania wspczynnika efektu kracowego charakteryzoway si bardzo duym bdem. Przykadowo na

rys. 19 pokazano porwnanie wynikw oblicze momentu z wynikiem pomiarw dla maszyny wyposaonej

w wirnik z naciciami i jednorodnymi obszarami kracowymi dla V.

Rys. 19. Charakterystyki momentu elektromagnetycznego w funkcji prdkoci obrotowej dla maszyny z wirnikiem

z naciciami osiowymi oraz jednorodnymi obszarami kracowymi stanowicymi piercienie zwierajce przy V.

Znacznie bardziej zoony ni w wirniku jednorodnym charakter rozkadu wektora gstoci prdu

obserwowany w wirnikach niejednorodnych, moe sugerowa, e przyjty dla nich sposb obliczania

wspczynnika efektu kracowego (taki sam jak dla wirnika jednorodnego) mgby nie by prawidowy.

Dokonujc szczegowej analizy tych rozkadw mona zauway znaczne rnice w ich charakterze

wystpujce w obszarze naci, w porwnaniu do jednorodnego obszaru centralnego. Ze wzgldu na te rnice,

zdecydowano si przeprowadzi dodatkowe obliczenia wspczynnika efektu kracowego w sposb niezaleny

dla obszarw naci i jednorodnego obszaru centralnego obydwu wirnikw niejednorodnych (przykad na

rys. 20). Na podstawie wyznaczonych charakterystyk mona zaobserwowa, e w przypadku wirnika

z naciciami przez ca dugo wraz ze wzrostem czstotliwoci nastpuje spadek wpywu efektw kracowych

w jednorodnym obszarze centralnym oraz jego wzrost w obszarze naci. Dla wirnika z jednorodnymi obszarami

kracowymi wzrost wpywu efektw kracowych wraz ze wzrostem czstotliwoci jest obserwowalny zarwno

w obszarze naci, jak rwnie w jednorodnym obszarze centralnym.

Rys. 20. Zaleno od czstotliwoci wspczynnika efektu kracowego obliczonego niezalenie dla obszaru naci

i jednorodnego obszaru centralnego dla wirnika z naciciami osiowymi przez ca dugo.

4000 6000 8000 10000 12000 140000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

n [obr/min]

Te [

Nm

]

Pomiar

ke(f)

keT

keR

keY

keO

keW

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

f [Hz]

ke [

-]

28

Wykorzystujc wyznaczone w opisany wyej sposb wspczynniki efektu kracowego powtrzono

obliczenia charakterystyk eksploatacyjnych dla wirnikw niejednorodnych. Porwnanie powtrnie obliczonych

charakterystyk eksploatacyjnych z charakterystykami obliczonymi uprzednio oraz wynikami pomiarw

pokazano dla rozwaanego powyej przypadku na rys. 21-23 oraz w tab. 3.

Rys. 21. Charakterystyki momentu elektromagnetycznego w funkcji prdkoci obrotowej dla maszyny z wirnikiem

z naciciami osiowymi przez ca dugo przy V (wspczynnik efektu kracowego obliczony numerycznie niezalenie dla obszarw centralnego i naci).

Rys. 22. Charakterystyki wartoci skutecznej prdu fazowego fazy w funkcji prdkoci obrotowej dla maszyny z wirnikiem z naciciami osiowymi przez ca dugo przy V (wspczynnik efektu kracowego obliczony numerycznie niezalenie dla obszarw centralnego i naci).

4000 6000 8000 10000 12000 140000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

n [obr/min]

Te [

Nm

]

Pomiar

ke(f)

keT

keR

keY

keO

keW

4000 6000 8000 10000 12000 140000

5

10

15

20

25

n [obr/min]

I a [

A]

Pomiar

ke(f)

keT

keR

keY

keO

keW

29

Rys. 23. Charakterystyka wspczynnika mocy fazy w funkcji prdkoci obrotowej dla maszyny z wirnikiem z naciciami osiowymi przez ca dugo przy V (wspczynnik efektu kracowego obliczony numerycznie niezalenie dla obszarw centralnego i naci).

Tab. 3. Warto wskanika rozbienoci pomiarw i oblicze charakterystyk eksploatacyjnych dla rnych metod obliczania

wspczynnika efektu kracowego dla maszyny z wirnikiem z naciciami osiowymi przez ca dugo przy V (wspczynnik efektu kracowego obliczony numerycznie niezalenie dla obszarw centralnego i naci).

25.27 4.66 14.37 9.57 7.56 2.63

37.37 18.43 28.79 24.08 1.34 3.43

84.97 32.11 58.67 46.00 8.02 6.84

rednia 49.20 18.40 33.94 26.55 5.64 4.30

7. Wpyw wybranych parametrw konstrukcyjnych wirnika na efekt kracowy oraz charakterystyki eksploatacyjne maszyny

Opracowan w niniejszej pracy metod obliczania wspczynnika efektu kracowego mona wykorzysta do

analizy wpywu wybranych parametrw konstrukcyjnych wirnika na charakterystyki eksploatacyjne maszyny.

W tym celu, obliczono odpowiednie funkcje opisujce wspczynniki efektu kracowego, a nastpnie przy ich

wykorzystaniu, wykonano obliczenia podstawowych charakterystyk eksploatacyjnych dla wybranych wartoci

rozwaanego parametru konstrukcyjnego. Zdecydowano, e najbardziej interesujce bd przypadki wirnikw

z osiowymi naciciami powierzchni, w ktrych badane bd wpywy:

gbokoci naci w wirniku z naciciami przez ca jego dugo, przy staej dugoci, rednicach zewntrznej i wewntrznej, liczbie par biegunw pola magnetycznego, dugoci obwodu magnetycznego stojana

oraz liczbie i szerokoci naci,

gbokoci naci w wirniku z naciciami osiowymi oraz z jednorodnymi obszarami kracowymi, przy staej jego dugoci, rednicach zewntrznej i wewntrznej, liczbie par biegunw pola magnetycznego, dugoci

obwodu magnetycznego stojana, liczbie i szerokoci naci oraz dugoci jednorodnych obszarw kracowych,

dugoci jednorodnych obszarw kracowych w wirniku z naciciami, przy staej dugoci obszaru nacinanego, rednicach zewntrznej i wewntrznej wirnika, liczbie par biegunw pola magnetycznego, dugoci

obwodu magnetycznego stojana, liczbie i wymiarach naci,

konduktywnoci materiau, z ktrego wykonano jednorodne obszary kracowe, przy staej dugoci wirnika, rednicach zewntrznej i wewntrznej, liczbie par biegunw pola magnetycznego, dugoci obwodu

4000 6000 8000 10000 12000 140000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

n [obr/min]

a [

-]

Pomiar

ke(f)

keT

keR

keY

keO

keW

30

magnetycznego stojana, liczbie i wymiarach naci oraz dugoci obszarw kracowych. W obliczeniach tych

przyjto, e obszary kracowe s wykonane z materiau paramagnetycznego.

a)

b)

Rys. 24. Zaleno wspczynnika efektu kracowego od czstotliwoci polizgowej dla rnych gbokoci naci

w wirniku z naciciami przez ca dugo, przy staej jego dugoci, rednicach zewntrznej i wewntrznej, liczbie par

biegunw pola magnetycznego, dugoci obwodu magnetycznego stojana oraz liczbie i szerokoci naci: a) wspczynnik

dla jednorodnego obszaru centralnego wirnika, b) wspczynnik dla obszaru naci osiowych.

W kadym z opisanych powyej czterech przypadkw wyznaczono zalenoci wspczynnika efektu

kracowego od czstotliwoci polizgowej dla siedmiu wybranych wartoci danego parametru konstrukcyjnego.

Obliczenia przeprowadzono przyjmujc tak sam dugo stojana jak w poprzednim rozdziale (rwn 32 mm),

liczb par biegunw pola magnetycznego ( =2) oraz przenikalno magnetyczn wzgldn (rwn 160). Ze wzgldu na to, e w kadym przypadku rozwaany by wirnik z osiowymi naciciami, zalenoci wspczynnika

efektu kracowego od czstotliwoci zostay wyznaczone niezalenie dla obszaru naci i jednorodnego obszaru

centralnego. Wyniki przykadowych oblicze dla pierwszego z rozwaanych przypadkw wraz z wartociami

pozostaych parametrw konstrukcyjnych wirnika przedstawiono na rys 24. Na podstawie analizy uzyskanych

wynikw mona wycign przedstawione niej wnioski.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

f [Hz]

ke [

-]

1.05 mm

1.35 mm

2.05 mm

3.05 mm

4.75 mm

5.94 mm

7.15 mm

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

f [Hz]

ke [

-]

1.05 mm

1.35 mm

2.05 mm

3.05 mm

4.75 mm

5.94 mm

7.15 mm

var

var

31

Wraz ze wzrostem gbokoci naci obserwowalny jest wzrost wartoci wspczynnika efektu kracowego

w jednorodnym obszarze centralnym oraz jej spadek w obszarze naci. Jest to spowodowane spadkiem wartoci

efektywnego czynnego przekroju poprzecznego wirnika, w efekcie ktrego wzrasta gsto mocy

w jednorodnym obszarze centralnym wirnika, gownie w jego czciach kracowych. Zjawisko to jest wyraniej

obserwowalne wraz ze wzrostem czstotliwoci polizgowej. Przyczyn tego jest szybszy wzrost zastpczej

impedancji w obszarach naci ni w jednorodnym obszarze centralnym.

W kolejnym etapie dysponujc zalenociami opisujcymi wspczynniki efektu kracowego dla rnych

wartoci analizowanego parametru konstrukcyjnego, dokonano analizy jego wpywu na charakterystyki

eksploatacyjne analizowanego silnika. Wykorzystujc opracowany model polowo-obwodowy wyznaczono

rodziny charakterystyk eksploatacyjnych maszyny (moment elektromagnetyczny, fazowy prd skuteczny,

wspczynnik mocy oraz sprawno) w funkcji prdkoci obrotowej. Obliczenia przeprowadzono dla napicia

= 150 V oraz czstotliwoci =500 Hz. W opracowanym w pracy modelu polowo-obwodowym maszyny wspczynnik sprawnoci okrelono

zgodnie ze wzorem:

(52)

Obliczone rodziny charakterystyk przedstawiono na rys. 25-28. Na podstawie ich analizy wycignito

przedstawione niej wnioski.

Dokonujc analizy uzyskanych wynikw oblicze mona zaobserwowa, e przy wzrocie gbokoci naci

do ok. 25 % dugoci promienia wirnika ronie warto rozwijanego momentu elektromagnetycznego w caym

zakresie prdkoci obrotowej. Powyej tej wartoci obserwowalne staje si spaszczanie charakterystyki

momentu (spadek jego wartoci dla niskiej prdkoci obrotowej, wzrost w zakresie prdkoci obrotowej bliskiej

synchronicznej). Najwiksz redni wartoci w caym zakresie prdkoci obrotowych charakteryzuje si

krzywa odpowiadajca gbokoci naci rwnej 19% dugoci promienia wirnika (3.05 mm). Przy wzrocie

gbokoci naci do ok. 40% dugoci promienia wirnika obserwowalny jest wzrost wartoci skutecznej prdu

fazowego stojana. Jednoczenie dla gbokich naci (ponad 45%) pojawia si jego znaczny spadek w caym

zakresie prdkoci obrotowych. Przy wzrocie gbokoci naci do ok. 20% dugoci promienia wirnika

warto wspczynnika mocy ronie w caym zakresie prdkoci obrotowej. Przy dalszym zwikszaniu

gbokoci (do okoo 40% dugoci promienia wirnika) nastpuje spadek jego wartoci. Dla gbokoci naci

wikszych od 45% dugoci promienia wirnika nastpuje ponowny wzrost wartoci wspczynnika mocy

w caym zakresie prdkoci obrotowych. Podobn tendencj zmian jak w przypadku wspczynnika mocy

mona zaobserwowa w przypadku charakterystyk sprawnoci. Ograniczajc rozwaania dla prdkoci bliskich

znamionowej, obserwowalny jest pocztkowy wzrost sprawnoci wraz ze wzrostem gbokoci naci. Dla

gbokoci wikszych od okoo 20% dugoci promienia wirnika nastpuje spadek sprawnoci, po czym przy

dalszym wzrocie gbokoci obserwowalny jest ponowny jej wzrost. W przypadku wirnika o takiej budowie

istnieje zatem optymalna, z punktu widzenia parametrw eksploatacyjnych maszyny, gboko naci

osiowych, ktra powinna by zastosowana w praktycznym projektowaniu.

Rys. 25. Charakterystyki momentu elektromagnetycznego w funkcji prdkoci obrotowej obliczone dla rnych gbokoci

naci w wirniku z naciciami osiowymi powierzchni przez ca dugo.

0 5000 10000 150000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

n [obr/min]

Te [

Nm

]

1.05 mm

1.35 mm

2.05 mm

3.05 mm

4.75 mm

5.94 mm

7.15 mm

var

32

Rys. 26. Charakterystyki wartoci skutecznej prdu fazowego w funkcji prdkoci obrotowej obliczone dla rnych

gbokoci naci w wirniku z naciciami powierzchni przez ca dugo.

Rys. 27. Charakterystyki wspczynnika mocy w funkcji prdkoci obrotowej obliczone dla rnych gbokoci naci

w wirniku z naciciami powierzchni przez ca dugo.

8. Podsumowanie

Zainteresowanie maszyn indukcyjn z wirnikiem masywnym, zwizane z moliwoci jej wykorzystania

w wysokoobrotowych napdach elektrycznych pracujcych w cikich warunkach eksploatacyjnych, wymusza

konieczno cigego udoskonalania metod jej projektowania. Pomimo kilku dekad prowadzonych bada brak

jest jednolitego podejcia pozwalajcego na przygotowanie projektu, przy zachowaniu zadawalajcej

dokadnoci i racjonalnego kosztu. Koszt obliczeniowy zwizany z