Analiza transportu membranowego przy pomocy transformowanych równań Kedem-Katchalskyego

Jolanta Jasik-Ślęzak1, Kornelia Olszówka2, Andrzej Ślęzak1

1 Katedra Zdrowia Publicznego Politechnika Częstochowska, Częstochowa

2 Katedra Informatyki Ekonomicznej Akademia Ekonomiczna, Katowice

Streszczenie

Przy pomocy transformowanych rów-nań Kedem-Katchalsky’ego dokonano anali-zy transportu wodnych roztworów glukozy, przez horyzontalnie ustawioną membranę polimerową w dwóch konfiguracjach układu membranowego. Na podstawie wyznaczo-nych doświadczalnie parametrów transpor-towych membrany, obliczono współczynniki oporowe transportu. Ponadto, wykorzystując współczynniki oporowe i wyznaczone do-świadczalnie strumień objętościowy i stru-mień solutu, obliczono siły termodynamicz-ne dla przypadku roztworów jednorodnych i niejednorodnych.

Słowa kluczowe: transport membranowy, membrana polimerowa, równania Kedem-Katchalsky’ego

Polimery w Medycynie 2010, T. 40, Nr 3

Analysis of the membrane transport using a transformed Kedem-Katchalsky equations

Summary

On the basis of transformed Kedem-Katch-alsky equations the analysis of transport of aqueous glucose solutions through horizontally oriented polymeric membrane was occurred. Using experimentally determined membrane parameters, the resistance coefficients were calculated. Moreover, taking into account the resistance coefficients and experimentally de-termined volume and solute fluxes, the ther-modynamic forces for homogeneous and non-homogeneous solutions were calculated.

Key words: membrane transport, polymeric membrane, Kedem-Katchalsky equations

WSTĘP

Struktura mikroskopowa membran polimero-wych, determinująca ich właściwości transportowe, jest uzależniona od rodzaju materiałów błonotwór-czych i technologii ich wytwarzania [1]. Właściwo-ści te można określić w ramach przyjętego formali-zmu termodynamicznego, narzucającego geometrię struktury membrany, a także sposób wyznaczania jej parametrów transportowych [2]. W przypadku, gdy membrana jest traktowana jak skrzynka cyber-netyczna o odpowiedniej skali szarości, np. „czarna skrzynka”, do opisu właściwości transportowych ko-nieczne i niezbędne jest wyznaczenie zestawu współ-czynników fenomenologicznych, odnoszących się do zachodzących przez membranę przepływów i bodź-ców, które te przepływy generują [3].

Konsekwencją opracowanej w roku 1931 przez L. Onsager’a liniowej termodynamiki nierównowa-gowej (LNET), było zastosowanie otrzymanych rów-nań do opisu transportu membranowego. Jednym z najważniejszych sposobów opisu tego transportu

48 JOLANTA JASIK-ŚLĘZAK I INNI

jest formalizm opracowany przez A. Katchalsky’ego i O. Kedem w latach 50-tych ubiegłego wieku [2, 3].

Ten formalizm został opracowany przy założe-niu jednorodności roztworów rozdzielanych przez membranę traktowaną jak „czarną skrzynkę”, izo-termiczności procesów membranowych i przy braku reakcji chemicznych. W związku z tym ów forma-lizm, którego istotę stanowią dwa równania trans-portowe ma charakter ogólny, gdyż nie uwzględnia, poza wprowadzeniem współczynnika krętości [2], mikroskopowej struktury membran. Struktury te w pewnym sensie uwzględnia model Kargolów [4].

Można założyć (a także podjąć działania praktycz-ne, w celu spełnienia tego założenia), że rozdzielane przez membranę roztwory są tak dobrze wymieszane, że wszystkie substancje zawarte w nich są jednorodnie rozłożone w całej objętości. Jest to dość nierealistyczne założenie, słuszne jedynie dla chwili początkowej do-wolnego procesu membranowego. Aby utrzymać (w przybliżeniu) przez dłuższy okres czasu stan jednorod-ności roztworów, należy zastosować mieszanie mecha-nicznie roztworów z odpowiednio dobraną szybkością. Układy membranowe wyposażone w mieszalniki me-chaniczne, są stosowane w skali laboratoryjnej i prze-mysłowej np. w bioreaktorach membranowych [1].

Najczęściej jednak układy membranowe, a szcze-gólnie biologiczne, są pozbawione mieszania mecha-nicznego. W związku z tym założenie o jednorodno-ści roztworów rozdzielanych przez membranę, jest nadmiernym uproszczeniem w badaniu procesów transportu membranowego. Zatem ocena wpływu zmiany warunków prowadzenia eksperymentu na wartość przepływów membranowych, jest zadaniem ważnym i pożądanym.

W obecnej pracy przedstawiamy transpono-waną wersję równań Kedem-Katchalskyego zapro-ponowaną przez Peusnera [5], oraz transponowaną wersję równań Kargolów. Wynikające z tych równań tensory współczynników Rij oraz Zij (i, j = 1, 2; i ≠ j), będące kombinacjami parametrów transportowych membran (Lp, σ, ω) zostaną obliczone, a następnie zastosowane wraz z wyznaczonymi doświadczalnie strumieniami, objętościowym (Jv

k) i solutu (Jsk), do

oceny sił termodynamicznych ΔPk − Δπk oraz ΔπkC––1 (k = 0, A, B) w różnych warunkach eksperymentalnych.

WYPROWADZENIE TRANSFORMOWANYCH RÓWNAŃ KEDEM-KATCHALSKY’EGO

Podstawową funkcją termodynamiki nierówno-wagowej Onsagera jest szybkość „nieodwracalnej”

produkcji entropii, diS/dt lub funkcja dyssypacji Φ = T(diS/dt), która opisuje rozpraszanie energii swobod-nej w jednostce czasu [3]. Funkcja dyssypacji jest wy-godną wielkością wykorzystywaną do analizy proce-sów izotermicznych. Dla procesów nieodwracalnych produkcja entropii jest dodatnia, zatem dodatnia jest także funkcja dyssypacji. W zakresie słuszności równania Gibbsa (TdS = dU + pdV−Σμidni, gdzie: U – energia swobodna, p – ciśnienie, V – objętość, μi – potencjał chemiczny i-tego składnika roztworu, ni – ilość moli i-tego składnika roztworu), funkcję dyssypacji można wyrazić w postaci sumy iloczynów i-tych przepływów (Ji) i i-tych sił (Xi) termodyna-micznych

0Φ >= ∑

iii XJ

(1)

W stanie ustalonym z funkcji dyssypacji wyni-kają przepływy (Ji) i siły (Xi) termodynamiczne dla i-tych składników roztworu, które można wyrazić za pomocą odpowiednich różniczek cząstkowych funk-cji dyssypacji (Φ) po i-tych siłach, sprzężonych z ty-mi przepływami lub po i-tych przepływach, sprzężo-nych z tymi siłami [2]

∂∂

=i

i XJ Φ i

∂∂

=i

i JX Φ

(2)

Jednym z formalizmów opracowanych w ra-mach termodynamiki nierównowagowej Onsagera, jest termodynamika procesów membranowych Ke-dem-Katchalsky’ego [3]. Jednym z najważniejszych elementów tej termodynamiki są równania Kedem-Katchalsky’ego, opisujące interakcje między przepły-wami wody i roztworu w membranie. Zostały one wyprowadzone zgodnie z algorytmem wynikającym z termodynamiki Onsagera [5]. Ów algorytm zawie-ra trzy kroki, z których pierwszy polega na znalezie-niu odpowiedniej formuły dla funkcji dyssypacji. W drugim kroku należy dokonać przekształcenia funkcji dyssypacji w celu zawarcia w niej odpowied-nich praktycznych sił i przepływów. Trzeci krok sta-nowi zastosowanie odpowiednich sił i przepływów w celu otrzymania makroskopowych równań feno-menologicznych typu

∑=j

jiji XLJ

(3)

gdzie: Lij są współczynnikami fenomenologicznymi spełniającymi relację przemienności Lij = Lji.

W związku z powyższym, w ogólnych katego-riach wyprowadzenie równań Kedem-Katchalsky-

49TRANSPORT MEMBRANOWY

’ego jest następujące [2, 5]. Pierwszym krokiem jest zapisanie funkcji dyssypacji w postaci

wsww JJ µµ ΔΔΦ += (4)

gdzie: Δμw oznacza różnicę potencjałów chemicznych wody (w), a Δμs – różnicę potencjałów chemicznych substancji rozpuszczonej (s).

Występujące w równaniu (4) czynniki Δμw i a Δμs można zapisać w następującej postaci [2, 6]

)ΔΔ(Δ πµ −= PVww (5)

CPVws

πµ ΔΔΔ +=

(6)

gdzie: ΔP – różnica ciśnień hydrostatycznych w po-przek membrany, Δπ = RTΔC – różnica ciśnień osmo-tycznych, RT – iloczyn stałej gazowej i temperatury termodynamicznej, ΔC – różnica stężeń, V–w – par-cjalna objętość molowa wody, C– – średnie stężenie roztworu w membranie.

Uwzględniając równania (5) i (6) w równaniu (4) otrzymujemy

πΔΔ)(Φ

−++= ww

sssww VJ

CJ

PVJVJ

(7)

gdzie: V–s – parcjalna objętość molowa substancji roz-puszczonej. Wyrażenia w pierwszym i drugim na-wiasie oznaczają odpowiednio strumień objętościo-wy roztworu (Jv) i objętościowy strumień dyfuzyjny substancji rozpuszczonej (JD)

sswwv VJVJJ +≡ (8)

ww

sD VJ

CJ

J −≡ (9)

Uwzględniając oznaczenia wynikające z wyra-żeń (8) i (9), równanie (7) można przepisać w postaci

πΔΔΦ Dv JPJ += (10)

Z równań (10) i (3) dla omawianego przypadku wynikają równania fenomenologiczne dla strumieni Jv i JD

πΔΔ pDpv LPLJ += (11)

πΔΔ DDpD LPLJ += (12)

W powyższych równaniach Lp, LpD, LDp i LD oznaczają odpowiednio współczynniki: filtracji, osmozy, ultrafiltracji i dyfuzji. Należy zaznaczyć, że

współczynniki niediagonalne spełniają relację prze-mienności LpD = LDp.

Równania (11) i (12) można przekształcić, wyko-rzystując równanie (9), stosując proste operacje alge-braiczne, do postaci

)ΔΔ πσppv LPLJ −= (13)

CJJ vs )1(Δ σπω −+= (14)

gdzie: σ = –LpDLp–1 jest współczynnikiem odbicia

membrany oraz ω = C–(LpLD – LpD2)Lp

–1 jest współ-czynnikiem przepuszczalności solutu.

Równania (13) i (14) są klasycznymi równaniami Kedem-Katchalsky’ego. Pierwszy człon w równaniu (13) ujmuje filtrację, a drugi – osmozę. Z kolei pierw-szy człon równania (14) odnosi się do dyfuzji, a drugi – do adwekcji.

Przy pomocy prostych manipulacji algebraicz-nych, równania (13) i (14) można przekształcić do po-staci [5]

svp

p JJLLC

Pω

σω

ωσπ

−−

+−=−

1)1(ΔΔ

2

(15)

sv J

CJ

C ωωσπ 11Δ

+−

−= (16)

Równania (13)–(16) są wykorzystywane do ana-lizy transportu membranowego zarówno w układach biologicznych jak i fizykochemicznych [7], oraz do analizy układów membranowych przekształcających energię swobodną [8].

W mechanistycznym formalizmie transportu membranowego substancji opracowanym przez M. Kargola i A. Kargola [4], uwzględniono mikroskopo-wą strukturę membrany. W związku z tym każde-mu porowi przypisano współczynniki Lp, σp i ωp. Por może być całkowicie przepuszczalny, gdy σp = 0 oraz ωp = (ωp)max lub nieprzepuszczalny, gdy σp = 1 oraz ωp = 0 dla substancji rozpuszczonej w rozpuszczalniku. Oznacza to, że parametry te nie mogą przyjmować wartości ułamkowych. Z kolei współczynnik prze-puszczalności hydraulicznej (Lp) spełnia warunek: Lp = Lpp + Lpn, gdzie Lpp i Lpn odnoszą się odpowiednio do porów przepuszczalnych i nieprzepuszczalnych dla substancji rozpuszczonej. Należy jednak zauważyć, że w formalizmie Kargolów parametry transportowe membrany jako całości spełniają kryteria wynikają-ce z formalizmu Kedem-Katchalsky’ego.

Ponadto w pracach Kargolów [4, 9] wysunięto kil-ka innych ciekawych postulatów odnoszących się do

50 JOLANTA JASIK-ŚLĘZAK I INNI

formalizmu Kedem-Katchalsky’ego, a mających na celu skorygowanie znaku definicji współczynnika odbicia [9] oraz skorygowanie znaków (±) w równaniu fenomeno-logicznym [10]. Znaki te wprowadzono poprzez przypi-sanie ich bodźcom termodynamicznym występującym w układzie membranowym. Szczegółowe rozważania na ten temat można znaleźć także w pracy [11]. Wymie-nieni autorzy wykazali także, że z uwagi na to, że przez pory półprzepuszczalne (σp = 1) nie zachodzi zarówno dyfuzyjny jak i konwekcyjny (adwekcyjny) transport substancji rozpuszczonej, drugi człon w równaniu (14) redukuje się do postaci LP(1–σ)C–ΔP. W związku z tym równanie (14) należy zapisać w postaci

PCLJ ps Δ)1(Δ σπω −+= (17)

Podobnie jak równania (13) prostych (14), rów-nania (13) i (17), przy pomocy prostych manipulacji algebraicznych można przekształcić do postaci

sp

vp

JCL

JL

P)1(

11ΔΔσσω

σπ

−+−

−=−

(18)

s

pv

pJ

LCJ

LC )]1([1

)1(1Δ

σσωσσωσπ

−++

−+−

−= (19)

sp

vp

JLC

JLC )]1([

1)1(

1Δσσωσσω

σπ−+

+−+

−−=

Równania (15) i (16) oraz (18) i (19) stanowią trans-formowane równania transportu membranowego.

WYPROWADZENIE MACIERZY WSPÓŁCZYNNIKÓW OPOROWYCH Z TRANSFORMOWANYCH RÓWNAŃ TRANSPORTU MEMBRANOWEGO

Układ równań (15) i (16) stanowiący transfor-mowane równania Kedem-Katchalsky’ego, można zapisać w postaci równania macierzowego [5]

[ ]

=

−ks

kvk

kk

JJR

C

Pπ

πΔ

ΔΔ

(20)

gdzie: [R] jest macierzą współczynników oporowych daną wyrażeniem

(21)[ ]

−

−+−

=

=

C

LLC

RRRR

R p

p

ωωσ

ωσ

ω

ωσ

11

1)1( 2

2221

1211

W równaniu (20) indeks górny „k” odnosi się do konfiguracji układu membranowego, w którym membrana jest usytuowana w płaszczyźnie hory-zontalnej. W konfiguracji A (k = A) w przedziale nad membraną znajduje się roztwór o stężeniu Cl, a w przedziale pod membraną – roztwór o stężeniu Ch (Cl < Ch). W konfiguracji B (k = B), jest odwrotna ko-lejność ustawienia roztworów względem membrany. W przypadku roztworów niejednorodnych (nie mie-szanych mechanicznie), kinetyka transportu mem-branowego jest silnie zależna od konfiguracji układu membranowego. Z kolei w przypadku roztworów jednorodnych (jednorodność roztworów jest zapew-niana przez ich intensywne mieszanie mechaniczne), kinetyka transportu membranowego nie zależy od konfiguracji układu membranowego. Ten przypadek oznaczamy przez k = 0.

Z macierzy (21) wynika, że współczynniki opo-rowe R11, R12, R21 i R22 można zapisać przy pomocy następujących wyrażeń

pp

p

LC

LLC

R 1)1()1( 22

11 +−

=+−

=ω

σω

ωσ

(22)

2112

1 RR =−

=ω

σ

(23)

CR

ω1

22 =

(24)

Układ równań (18) i (19) stanowiący transfor-mowane równania Kargolów, można zapisać w po-staci równania macierzowego

[ ]

=

−ks

kvk

kk

JJZ

C

Pπ

πΔ

ΔΔ

(25)

gdzie: [Z] jest macierzą współczynników oporowych daną wyrażeniem

[ ]

−+−+−

−+−

=

=

)]1([1

)1(1

)1(11

2221

1211

σσωσσωσ

σσωσ

pp

pp

LCL

CLLZZZZ

Z

(26)

[ ]

−+−+−

−+−

=

=

)]1([1

)1(1

)1(11

2221

1211

σσωσσωσ

σσωσ

pp

pp

LCL

CLLZZZZ

Z

Z macierzy (26) wynika, że współczynniki opo-rowe Z11, Z12, Z21 i Z22 można zapisać przy pomocy następujących wyrażeń

51TRANSPORT MEMBRANOWY

pLZ 1

11 =

(27)

2112 )1(

1 ZCL

Zp

=−+

−=

σσωσ

(28)

)]1([

122 σσω −+=

pLCZ

(29)

Porównując równania (22) i (27), (23) i (28) oraz (24) i (29) otrzymujemy

ω

σ 2

11

11 )1(1

−+= pLC

ZR

(30)

ω

σσ )1(1

22

22

21

21

12

12 −+=== pL

ZR

ZR

ZR

(31)

W celu weryfikacji otrzymanego modelu obli-czymy na podstawie wyrażeń (22)–(24) i (27)–(29) współczynniki R11, R12, R21, R22, Z11, Z12, Z21 i Z22. Po-nadto obliczymy ΔPk−Δπk na podstawie równań (15) i (18) oraz ΔπkC––1 − na podstawie równań (16) i (19). Do tego celu wykorzystamy współczynniki R11, R12, R21, R22, Z11, Z12, Z21 i Z22 oraz wyznaczone doświad-czalnie Jv

k i Jsk w warunkach intensywnego mieszania

roztworów rozdzielanych przez membranę (Jv0 i Js

0), oraz w warunkach braku tego mieszania (Jv

k i Jsk,

gdzie k = A, B odnosi się do konfiguracji A i B układu membranowego) dla membrany Nephrophan i wod-nych roztworów glukozy.

WYNIKI OBLICZEŃ I DYSKUSJA

W celu weryfikacji modeli matematycznych przedstawionych w poprzednich paragrafach, wy-konamy obliczenia współczynników oporowych R11, R12, R21 i R22 na podstawie równań (22)–(24) oraz współczynników oporowych Z11, Z12, Z21 i Z22 na pod-stawie równań (27)–(29). Do tego celu wykorzysta-my wyznaczone współczynniki transportowe: Lp, σ i ω dla membrany Nephrophan i wodnych roztworów glukozy. Wartości tych współczynników wynoszą: Lp = 5 × 10–12 m3N–1s–1, σ = 0,068 oraz ω = 8 × 10–10 mol N–1s–1 [12]. Obliczone na podstawie powyższej procedury współczynniki oporowe mają następujące wartości: R11 = 2,54 × 1011 N⋅s⋅m–3, R12 = R21 = −1,16 × 109 N⋅s⋅mol–1, R22 = 2,5 × 107 N⋅s⋅m3 mol–2, Z11 = 2,0 × 1011 N⋅s⋅m–3, Z12 = Z21 = −1,14 × 109 N⋅s⋅mol–1 i Z22 = 2,5 × 107 N⋅s⋅m3 mol–2. Z przeprowadzonych obli-czeń wynika na podstawie równań (30), że R11Z11

–1 =

Ryc. 1. Układ membranowy: M – membrana; Ph i Pl – ciśnienia mechaniczne; Cl i Ch – stężenia roztworów; Jv i Js – strumienie przez membranę M odpowiednio objętościowy i solutu

Fig. 1. The membrane system: M – membrane, Ph and Pl – mechanical pressures; Cl and Ch – concentrations of solutions, Jv and Js – the volume and solute fluxes through membrane, respectively

Js

JvCl

Ch

M

Pl

Ph

1,27. Oznacza to, że R11 > Z11. Z kolei z obliczeń prze-prowadzonych na podstawie równania (31) wynika, że R12 = R21 ≈ Z12 = Z21 oraz R22 = Z22. Wyznaczniki stopnia drugiego odpowiadające macierzy (21) i (26) są równe odpowiednio det [R] = 5,0 × 1018 oraz det [Z] = 3,7 × 1018.

Występujące w równaniach (15) i (18) oraz (16) i (19) strumienie Jv

k i Jsk można wyznaczyć doświad-

czalnie w serii niezależnych eksperymentów [12]. Za-czerpnięte z poprzednich prac [12–14] wyniki badań Jv

k i Jsk zestawiono w tabeli 1. Obliczone, na podstawie

równań (15) i (18), wartości ΔPk − Δπk oraz warto-ści ΔπkC––1 oraz obliczone na podstawie równań (16) i (19), przedstawiono na ryc. 2 i 3. Należy zaznaczyć, że obliczone na podstawie równań (15) i (18), warto-ści ΔPk − Δπk są równe z dokładnością do dwóch cyfr znaczących. Podobne wyniki uzyskano dla wartości ΔπC––1, obliczonych na podstawie równań (16) i (19).

Oznacza to, że opisy oparte o równania (15) i (16) oraz (18) i (19) dla badanej membrany i roztworów są identyczne. Aby te dwa modele matematyczne dawa-ły znamienne statystycznie różne wartości ΔPk − Δπk i ΔπC––1, dla tych samych wartości Jv

k i Jsk, współczyn-

niki Rij i Zij (i, j = 1, 2; i ≠ j) występujące w macierzach [R] i [Z] muszą mieć, zdecydowanie różne wartości. Dla badanej membrany i roztworów jedynie R11 > Z11 oraz det [R] > det [Z]. Oceńmy zatem, które z para-metrów transportowych membrany mają istotny wpływ na wartość współczynników Rij i Zij.

Weźmy pod uwagę dwa skrajne przypadki selek-tywności membrany. W pierwszym przypadku mem-brana spełnia kryterium: σ → 1 i ω → 0, a w drugim: σ → 0 i ω → ωmax. Z równań (22)–(24) i (27)–(29) wyni-

52 JOLANTA JASIK-ŚLĘZAK I INNI

Ryc. 2. Zależność osmotycznej siły termodynamicznej (ΔPk − Δπk) od stężenia glukozy (Ch) dla układu jedno-membranowego. Wykres 1 ilustruje tę zależność dla k = 0, wykres 1B – dla k = B oraz wykres 1A – dla k = A

Fig. 2. Glucose concentration (Ch) dependence of ther-modynamical force (ΔPk − Δπk) for the single-mem-brane system. Line 1 illustrated this dependence for k = 0, curve 1B – for k = B and curve 1A – for k = A

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08

–18

–15

–12

–9

–6

–3

0

(∆Pk –∆π

k ) 10–4

[N m

–2]

Ch [mol l–1]

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08

–18

–15

–12

–9

–6

–3

0

1A

1B

1

Ryc. 3. Zależność osmotycznej siły termodynamicznej (ΔπkC––1) od stężenia glukozy (Ch) dla układu jedno-membranowego. Wykres 1 ilustruje tę zależność dla k = 0, wykres 1B – dla k = B oraz wykres 1A – dla k = A

Fig. 3. Glucose concentration (Ch) dependence of thermodynamical force (ΔπkC––1) for the single-mem-brane system. Line 1 illustrated this dependence for k = 0, curve 1B – for k=B and curve 1A – for k = A

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08

0

1

2

3

4

Ch [mol l–1]

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08

0

1

2

3

4

1A

1B

1

∆πC–1 1

0–3 [N

m m

ol–1

]

Tabela 1. Wartości strumienia objętościowego (Jvk) i strumienia solutu (Js

k) dla wodnych roztworów glukozy (Ch). Indeks k = 0 odnosi się do roztworów jednorodnych (mieszanych mechanicznie). Indeks k = A odnosi się konfiguracji A, a in-deks k = B – do konfiguracji B układu membranowego i roztworów niejednorodnych (nie mieszanych mechanicznie)

Table 1. Values of the volume flux (Jvk) and solute flux (Js

k) of aqueous glucose solutions (Ch). Superscript k = 0 refers to homogeneous solutions (mechanically stirred). Superscripts k = A, and k = B refers to configurations A and B, respectively, and non-homogeneous solutions (mechanically non stirred)

Ch [mol l–1]Jv

k × 108 m s–1 Jsk × 105 [mol m–2s–1]

k = 0 k = A k = B k = 0 k = A k = B

00,0050,010,0150,020,0250,030,0350,040,0450,050,0550,060,0650,070,0750,08

00,410,801,981,612,022,412,793,213,624,034,394,815,215,596,016,41

00,090,170,260,320,380,440,490,520,540,560,580,600,620,640,660,68

00,090,170,260,340,430,550,700,951,201,451,701,952,202,452,702,95

0 1,01 1,99 3,01 4,05 4,99 6,02 7,04 7,98 9,0310,0111,0411,9913,0014,0214,9816,01

00,180,360,730,901,161,241,261,321,361,381,411,441,471,501,541,57

00,180,360,730,911,201,502,002,733,274,184,915,636,357,077,808,50

53TRANSPORT MEMBRANOWY

ka, że dla membrany spełniającej pierwsze kryterium R11 → ∞ (R11 > Z11), R12 = Z12 = R21 = Z21 → ∞ oraz R22 = Z22 →∞. Z kolei dla membrany spełniającej drugie kryterium R11 → Z11, R12 = Z12 = R21 = Z21 → 0 oraz R22 = Z22 → 0. Załóżmy, że istnieje membrana selektyw-na o następujących parametrach transportowych: Lp = 10–6 m3N–1s–1, ω = 10–9 mol⋅N–1s–1 oraz σ = 0,01. Przyjmijmy także, że C– = 102 mol⋅l–1. Uwzględniając te dane w równaniach (22)-(24) i (27)-(29) otrzymu-jemy: R11 = 1011 N⋅s⋅m–3, R12 = R21 = −109 N⋅s⋅mol–1, R22 = 107 N⋅s⋅m3 mol–2, Z11 = 106 N⋅s⋅m–3, Z12 = Z21 = −106 N⋅s⋅mol-1 i Z22 = 106 N⋅s⋅m3 mol–2. Otrzymane wyniki pokazują, że dla takiej membrany wartość współczynnika R11 jest pięć rzędów wielkości więk-sza od wartości współczynnika Z11, a wartość współ-czynnika R12 = R21 jest o trzy rzędy wielkości większa od wartości współczynnika Z12 = Z21. Z kolei wartość współczynnika R22 jest rząd wielkości większa od wartości współczynnika Z22. Można zatem wysunąć hipotezę, że dla tego typu membrany modele oparte o transponowane równania Kedem-Katchalsky’ego i Kargolów dadzą różne wartości ΔPk − Δπk i ΔπkC––1.

PODSUMOWANIE

W otaczającym nas świecie dostrzegalne, a nie-kiedy mierzalne, są skutki działania różnego rodza-ju bodźców, w tym sił termodynamicznych. Jednym z obserwowanych skutków jest pojawianie się prze-pływów termodynamicznych, których miarą są stru-mienie termodynamiczne. Transformowane rów-nania Kedem-Katchalsky’ego zaproponowane przez L. Peusnera, umożliwiają ocenę nieznanych sił ΔPk

− Δπk i ΔπkC––1 na podstawie pomiarów strumieni Jv

k i Jsk, przez membranę scharakteryzowaną przez

współczynniki oporowe Rij.

LITERATURA

[1] Baker R.: Membrane technology and applica-tion. Wiley, New York, 2004.

[2] Katchalsky A., Curran P. F.: Nonequilibrium thermodynamics in biophysics, Harvard Univ. Press, Cambridge, 1965.

[3] Katchalsky A.: Membrane thermodynam-ics. W: The Neurosciences: A study program, G. C Quarton, T. Melnechuk and F. O. Schmitt (eds.), Rockefeller Univ. Press, (1967), 326–343.

[4] Kargol M., Kargol A.: Mechanistic equations for membrane substance transport and their

identity with Kedem-Katchalsky equations. Bio-phys. Chem. (2001), 103, 117–127.

[5] Peusner L.: Hierarchies of irreversible energy conversion systems. II. Network derivation of linear equations. J. Theoret. Biol. (1985), 115, 319–335.

[6] Podolak M.: Termodynamiczny opis zjawisk transportu w przyrodzie. Wyd. Uniw. Opol-skiego, Opole 2004.

[7] Demirel Y.: Nonequilibrium thermodynam-ics. Transport and rate processes in physical and biological systems. Elsevier, Amsterdam 2002.

[8] Caplan S. R., Essig A.: Bioenergetics and lin-ear nonequilibrium thermodynamics. Harvard Univ. Press, Cambridge 1983.

[9] Kargol M., Kargol A.: Mechanistic formalism for membrane transport generated by osmotic and mechanical pressure. Gen. Physiol. Biophys. (2003), 22, 51–68.

[10] Suchanek G.: On the derivation of the Kargol’s mechanistic transport equations from the Ke-dem-Katchalsky phenomenological equations. Gen. Physiol. Biophys. (2005), 24, 347–258.

[11] Suchanek G.: Biofizyczne aspekty translokacji wody w roślinach na długich dystansach. Wyd. Akademii Świętokrzyskiej, Kielce 2007.

[12] Ślęzak A.: Irreversible thermodynamic model equations of the transport across a horizontally mounted membrane. Biophys. Chem. (1989), 34, 91–102.

[13] Ślęzak A., Grzegorczyn S., Jasik-Ślęzak J., Michalska-Małecka K.: Natural convec-tion as an asymmetrical factor of the transport through porous membrane. Transp. Porous Med. (2010) DOI 10.1007/s1 1242-010-9534-7.

[14] Ślęzak A., Wąsik J., Sieroń A.: Wyznaczanie stężeniowej liczby Rayleigha dla procesów izo-termicznego transportu przez membranę poli-merową metodą pomiaru strumienia dyfuzyj-nego w trójskładnikowych roztworach nieelek-trolitów. Polim. Med. (1998), 28, 11–22.

[15] Jasik-Ślęzak J., Ślęzak A.: Relacja między efektywnym i rzeczywistym współczynnikiem przepuszczalności solutu przez membranę poli-merową. Polim. Med. (2010), 40, 4.

Adres do korespondencjiKatedra Zdrowia Publicznego Wydział ZarządzaniaPolitechnika Częstochowska al. Armii Krajowej 36b, 42-200 Częstochowae-mail: ajslezak@zim.pcz.pl

· · · · · · · ·