Algorytmy szacowania wybranych parametrów modeli ... · 2. Wykorzystanie w symulatorach...

Politechnika Łódzka

Wydział Elektrotechniki, Elektroniki, Informatyki i Automatyki

Katedra Mikroelektroniki i Technik Informatycznych

ROZPRAWA DOKTORSKA

Algorytmy szacowania wybranych parametrów

modeli termicznych systemów elektronicznych

STRESZCZENIE

Agnieszka Samson

Promotor:

dr hab. inż. Marcin Janicki

Łódź, 2019

1

Spis treści

Wstęp ........................................................................................................................ 2

Modelowanie zjawisk cieplnych ............................................................................. 5

Zagadnienia odwrotne wymiany ciepła ................................................................. 9

Wyznaczanie wartości własnych modeli termicznych ........................................ 10

Szacowanie wartości współczynnika wymiany ciepła ........................................ 14

Parametryczny model kompaktowy diody LED ................................................ 21

Podsumowanie ....................................................................................................... 26

Bibliografia .................................................................................................................... 29

Publikacje z udziałem Autorki ................................................................................. 29

Pozostałe publikacje .................................................................................................. 30

Wstęp

2

Wstęp

Postęp technologiczny, który dokonał się w ostatnich dekadach doprowadził

do pojawiania się przed projektantami systemów elektronicznych coraz to nowych

wyzwań. Ciągła miniaturyzacja urządzeń elektronicznych spowodowała występowanie

nowych, nieobserwowanych wcześniej problemów cieplnych. Właściwe oszacowanie

temperatury projektowanego układu wpływa na poprawność jego działania i wydłużenie

czasu pracy. Problemy termiczne są aktualnie główną przyczyną awarii systemów

elektronicznych, zatem analiza zjawisk cieplnych stała się obecnie jednym z kluczowych

etapów procesu projektowania układów elektronicznych.

Procesy cieplne zachodzące w ciałach stałych modelowane są na ogół przy użyciu

cząstkowego równania różniczkowego przewodnictwa ciepła. Standardowe symulatory

wykorzystywane do analiz termicznych systemów elektronicznych przeważnie zakładają

niezależność parametrów modelu od temperatury. Jednakże, założenie to może być

błędne z uwagi na fakt, iż pewne wielkości fizyczne, np. współczynnik wymiany ciepła

czy przewodność cieplna zależą od temperatury. Pominięcie wspomnianych zależności

może spowodować, iż otrzymywane wyniki symulacji obarczone będą istotnymi błędami.

W związku z tym, jednym z głównych celów badań przedstawionych w niniejszej

rozprawie było przeprowadzenie analizy zależności parametrów modeli termicznych

od temperatury i zaproponowanie odpowiednich metod oraz algorytmów pozwalających

na uwzględnianie nieliniowości modelu. Badania opisane w Rozprawie przeprowadzone

zostały częściowo w ramach projektu finansowanego przez Narodowe Centrum Nauki

nr UMO-2013/11/B/ST7/01678 pt. „Modelowanie nieliniowych zjawisk cieplnych

w systemach elektronicznych”. Głównym celem projektu było zweryfikowanie hipotezy

o istotności występowania nieliniowości na wyniki symulacji termicznych i wyznaczenie

zależności temperaturowych parametrów modeli termicznych oraz opracowanie narzędzi

analizy cieplnej uwzględniających najistotniejsze nieliniowe zjawiska.

Rozprawa ta podzielona została na pięć głównych rozdziałów. Dwa pierwsze

rozdziały zawierają podstawowe informacje teoretyczne, zaś kolejne rozdziały prezentują

najważniejsze rezultaty przeprowadzonych prac badawczych.

Wstęp

3

W następnym rozdziale przedstawiony zostanie opis mechanizmów wymiany

ciepła wraz z ich modelami matematycznymi. Zaprezentowane zostanie także równanie

przewodnictwa cieplnego Fouriera-Kirchhoffa, które jest jednym z najważniejszych

równań wykorzystywanym w analizie problemów cieplnych. Opisane zostały też metody

rozwiązywania tego równania z uwzględnieniem metod analitycznych i numerycznych.

Rozdział ten zawiera także skróconą charakterystykę kompaktowych modeli termicznych

z uwzględnieniem ich podziału na modele standardowe oraz drabinkowe.

Kolejny rozdział teoretyczny prezentuje zagadnienia odwrotne wymiany ciepła.

W szczególności przedstawiona została ogólna charakterystyka zagadnień odwrotnych,

a także metody ich rozwiązywania. Poza klasycznymi technikami wykorzystywanymi

w analizie problemów odwrotnych zaprezentowane zostały metody, które wykorzystane

były podczas omawianych prac badawczych. Rozdział ten zawiera także krótki opis

dotyczący sposobów wyznaczania błędu obliczeniowego oraz kryteriów zakończenia

obliczeń.

Pierwszy z rozdziałów praktycznych dotyczy problemu wyznaczania wartości

własnych modeli termicznych. Problem ten przedstawiony zostanie na przykładzie

struktur jedno- i dwuwarstwowych. W rozdziale tym opisany został autorski algorytm

pozwalający na automatyczne określanie wartości własnych dla rzeczywistych struktur

dwuwarstwowych. Ponadto, przedstawiona została metoda generowania kompaktowych

modeli cieplnych na podstawie widma częstotliwościowego wartości własnych.

W kolejnym rozdziale zaprezentowane zostały wyniki badań dotyczące metod

szacowania lokalnych i średnich wartości współczynnika wymiany ciepła w różnych

warunkach chłodzenia, zarówno dla konwekcji naturalnej jak i wymuszonej. Badania

te przeprowadzono w oparciu o wyniki pomiarów rzeczywistego układu hybrydowego

oraz diody mocy. Analizy porównawcze działania różnego rodzaju algorytmów wykazały

bardzo wysoką skuteczność autorskiego algorytmu zaproponowanego w pracy.

Ponadto, przedstawiono także model parametryczny pozwalający na obliczanie

wartości współczynnika wymiany ciepła dla różnych temperatur otoczenia i prędkości

powietrza chłodzącego. Wartości parametrów tych modeli zostały wyznaczone dzięki

zastosowaniu zmodyfikowanego algorytmu stadnego roju pszczół.

Wstęp

4

Ostatni z rozdziałów praktycznych prezentuje proces generacji parametrycznych

termicznych modeli kompaktowych diody elektroluminescencyjnej, w których wartości

rezystancji i pojemności cieplnych zależne są od punktu pracy i warunków chłodzenia.

Podobnie jak w przypadku układu hybrydowego i diody mocy, wartości elementów oraz

parametrów tych modeli zostały oszacowane z wykorzystaniem autorskich algorytmów

opisanych w pracy.

Na podstawie wyników przeprowadzonych badań sformułowano następujące tezy

Rozprawy:

1. Możliwe jest opracowanie algorytmu pozwalającego na zautomatyzowanie procesu

wyznaczania wartości własnych niezbędnych do otrzymywania rozwiązań równania

przewodnictwa cieplnego dla struktur wielowarstwowych metodą analityczną funkcji

Greena,

2. Wykorzystanie w symulatorach termicznych algorytmów rozwiązywania zagadnień

odwrotnych oraz optymalizacji pozwala na szacowanie wartości parametrów modeli

termicznych oraz uzyskiwanie rozwiązań nieliniowego równania przewodnictwa

cieplnego,

3. Algorytmy rojowe można wykorzystać do celów identyfikacji parametrycznej funkcji

opisującej wartości elementów modeli termicznych.

Modelowanie zjawisk cieplnych

5


W niniejszym rozdziale zaprezentowane zostały modele matematyczne zjawisk

cieplnych zachodzących w strukturach elektronicznych, które należy uwzględniać

podczas modelowania termicznego w układach elektronicznych oraz odpowiadające

im wyrażenia matematyczne [9], [25], [31], [32], [35], [38], [48]. Opisany zostały także

mechanizmy wymiany ciepła na drodze przewodzenia, konwekcji i promieniowania.

Właściwe zrozumienie tych zjawisk jest kluczowe dla analizy problemów termicznych.

Przewodzenie ciepła to przekazywanie energii wewnętrznej z obszarów o wyższej

temperaturze do obszarów o temperaturze niższej. Przekazanie energii zachodzi bez

wymiany cząsteczek wewnątrz jednego ciała lub pomiędzy stykającymi się bezpośrednio

ciałami. Ciepło w ciałach stałych transportowane jest przez ruch swobodnych elektronów

lub drgania sieci krystalicznej. Proces przewodzenia ciepła w ciałach stałych można

opisać poprzez prawo Fouriera, które przedstawia poniższe równanie [18]:

),(),( tTtq xx (1)

Zgodnie z tym równaniem gęstość strumienia ciepła q jest wprost proporcjonalna

do gradientu temperatury ∇T. Współczynnik λ, określający tempo przepływu ciepła, jest

nazywany przewodnością cieplną. Ujemny znak po prawej stronie równania oznacza,

iż przepływ ciepła odbywa się w kierunku obszaru o niższej temperaturze.

Konwekcja to proces wymiany ciepła zachodzący przede wszystkim w płynach,

a w przypadku systemów elektronicznych na ich zewnętrznych powierzchniach. Poza

transportem energii spowodowanym przypadkowym ruchem cząsteczek, energia jest

przenoszona także poprzez makroskopowy ruch płynu. Rozważając powierzchnie ciał

stałych, wymiana ciepła z otaczającym płynem może być opisana przy wykorzystaniu

poniższego prawa Newtona:

TThq (2)

Gęstość strumienia ciepła q jest wprost proporcjonalna do różnicy temperatury

powierzchni ciała stałego T i temperatury otaczającego płynu T∞. Wartość współczynnika

wymiany ciepła h zależy m.in. od rodzaju powierzchni i intensywności chłodzenia.


6

Zatem rozważania dotyczące konwekcji w większości przypadków można

sprowadzić do problemu wyznaczenia wartości współczynnika wymiany ciepła, jednakże

rzeczywista wartość tego parametru jest dość trudna do określenia i często w modelach

termicznych używa się jego średniej wartości wyznaczonej na podstawie wykonanych

pomiarów [47].

Trzecim ważnym mechanizmem wymiany ciepła jest radiacja, która zachodzi

na drodze promieniowania elektromagnetycznego. Każde ciało o temperaturze wyższej

od zera bezwzględnego emituje promieniowanie elektromagnetyczne przemieniając

energię wewnętrzną w energię promieniowania. Transport energii poprzez przewodzenie

czy konwekcję wymaga pewnego ośrodka propagacji, zaś w przypadku promieniowania

istnienie jego nie jest wymagane. Zatem wymiana ciepła poprzez promieniowanie może

zachodzić także w próżni.

Ponadto w rozdziale tym przedstawione zostało jedno z najważniejszych równań

opisujących przepływ ciepła, zwane równaniem przewodnictwa cieplnego. Równanie

to można otrzymać sporządzając bilans energii dla elementarnej jednostki objętości [9],

[18], [38]. Wtedy, jeżeli gv jest gęstością objętościową ciepła generowanego wewnątrz

ciała, cp jest ciepłem właściwym materiału, ρ jest jego gęstością, a t oznacza czas, można

otrzymać następującą postać tego równania, zwaną też równaniem Fouriera-Kirchhoffa,

[15]:

vp gTt

Tc

Tλ 2 (3)

Znajomość samego równania opisującego pole temperatury nie jest wystarczająca

do obliczenia rozkładu temperatury w danej strukturze, gdyż istnieć może pewna klasa

rozwiązań spełniająca dane równanie. Zatem, aby otrzymać rozwiązanie szczególne

określić należy też dodatkowe warunki, zwane warunkami granicznymi, na które składają

się warunki brzegowe oraz, w przypadku analizy stanów nieustalonych, początkowe.

Zazwyczaj w literaturze przedmiotu wyróżnia się trzy główne typy warunków

brzegowych: warunek brzegowy pierwszego rodzaju określany zagadnieniem Dirichleta,

warunek brzegowy drugiego rodzaju określany zagadnieniem Neumanna, zagadnienie

brzegowe trzeciego rodzaju zwany zagadnieniem Robina [31].


7

Przy rozwiązywaniu problemów przepływu ciepła ważny jest dobór odpowiedniej

metody. W literaturze wyróżnić można dwa główne podejścia: analityczne i numeryczne

[38]. Metody analityczne umożliwiają otrzymywanie rozwiązań w postaci jawnych

wzorów matematycznych, dzięki którym możliwe jest obliczanie wartości temperatury

jedynie w konkretnym punkcie analizowanej struktury elektronicznej. Jest to szczególnie

korzystne gdy wartości temperatury mają być wyznaczone tylko w wybranych miejscach

struktury, a także przy przeprowadzaniu analiz parametrycznych, gdy wpływ badanego

parametru modelu można określić podając jedynie konkretne wartości współrzędnych,

bez konieczności obliczania całego pola temperatury.

Niestety w większości praktycznych przypadków trudno jest uzyskać dokładne

rozwiązania analityczne z uwagi na zbyt złożone kształty badanych struktur. Ponadto,

pełne modele matematyczne są bardzo często nieznane, a w konsekwencji znalezienie

dokładnego rozwiązania nie zawsze jest możliwe lub proces jego wyznaczania może być

niezwykle trudny i niejednokrotnie wymaga zastosowania specjalnych technik. Dlatego

też, na ogół konieczne jest uproszczenie modeli termicznych, nawet kosztem dokładności

rozwiązania. W rezultacie metody analityczne mogą być stosowane do rozwiązywania

modeli termicznych tylko w przypadku, gdy zarówno geometrie struktur, jak i zakładane

warunki brzegowe nie są zbytnio złożone.

Jedną z metod analitycznych najczęściej wykorzystywaną do obliczania rozkładu

ciepła w strukturach jest metoda funkcji Greena. Jedną z głównych zalet stosowania

funkcji Greena jest to, że zależą one wyłącznie od geometrii analizowanej struktury

oraz założonych warunków brzegowych. Dlatego też są one używane do konstruowania

złożonych rozwiązań wynikających z generacji ciepła w strukturze oraz niejednorodnych

warunków brzegowych i początkowych [12], [26] [28].

Natomiast metody numeryczne wykorzystują równania algebraiczne otrzymane

poprzez zastąpienie pochodnych operatorami różnicowymi lub przybliżenie rozwiązania

kombinacjami liniowymi funkcji bazowych. Otrzymane na skutek dyskretyzacji struktury

układy równań wiążą wartości poszukiwanej funkcji jedynie w wybranych punktach.

Zatem, uzyskane rozwiązania nie mogą być traktowane jako dokładne, ponieważ operują

one jedynie na dyskretnych wartościach współrzędnych czasu i przestrzeni [38].


8

Kolejnym ważnym zagadnieniem omówionym w tym rozdziale są kompaktowe

modele termiczne, które pozwalają na określenie przybliżonej reprezentacji prawdziwego

systemu. W szczególności zaprezentowano standardowe modele DELPHI niezależne

od warunków brzegowych oraz modele drabinkowe w postaci drabinek Fostera i Cauera.

Ponadto, przedstawiono też algorytm pozwalający na zamianę modelu Fostera na postać

Cauera [8]. [19], [40], [41].

Zagadnienia odwrotne wymiany ciepła

9

Zagadnienia odwrotne wymiany ciepła

Rozdział ten podzielony jest na trzy odrębne części. Pierwsza część zawiera opis

dotyczący rozwiązywania problemów odwrotnych wymiany ciepła. Klasyczne określenie

pojęcia problemu odwrotnego wprowadzone zostało przez Tikhonova [44]. Zgodnie

z jego definicją problemy odwrotne wymiany ciepła występują gdy pełna informacja

o właściwościach fizycznych struktury jest niedostępna bądź nieznana i musi ona zostać

oszacowana na podstawie pomiarów. Przedstawiona została także krótka charakterystyka

tych zagadnień oraz ich klasyfikacja w zależności od rozważanego zagadnienia. Podano

zaprezentowany został także wzór klasycznego równania opisującego problem odwrotny.

Część druga rozdziału dotyczy metod i algorytmów rozwiązywania problemów

odwrotnych. Przede wszystkim zaprezentowano metody numeryczne wykorzystywane

w Rozprawie . Do klasycznych metod rozwiązywania problemów odwrotnych zaliczyć

można: regularyzację Tichonova [42], [43]-[46], iteracyjną regularyzację Alifanova

[3]-[6] oraz metodę współczynników wrażliwości Becka [10]-[11]. Dodatkowo

przedstawiono też inne algorytmy rozwiązywania problemów odwrotnych, min. metody

Newtona [7], metodę Levenberga-Marquardta [34], [36]-[37] oraz metodę gradientu

sprzężonego [1]-[2], [13], [37]. Zaprezentowano też wykorzystane w badaniach metody

poszukiwania pierwiastków takie jak: metoda bisekcji [14], [33], metoda siecznych [14],

[39], reguła falsi [39] oraz odwrotna interpolacja kwadratowa [17]. Na zakończenie,

wspomniano też o problemach z szacowaniem błędu, dokładnością i wyborem kryterium

zatrzymania obliczeń [14.

Wyznaczanie wartości własnych modeli termicznych

10


Rozdział ten prezentuje jeden z głównych problemów występujących podczas

rozwiązywania równania przewodnictwa cieplnego przy użyciu funkcji Greena. Dotyczy

on wyznaczania wartości własnych modeli termicznych struktur warstwowych. Wartości

te są niezbędne do obliczenia pola temperatury i zależą od parametrów materiałowych

oraz geometrii problemu. Uzyskuje się je przez rozwiązanie równania transcendentalnego

[16].[20], [21], [24], [26], [28].

Problem poszukiwania wartości własnych został zilustrowany na przykładach

struktur jednowarstwowych oraz dwuwarstwowych. Przeprowadzone badania wykazały,

że w przypadku struktury jednowarstwowej w każdym przedziale pomiędzy asymptotami

funkcji występuje tylko jedna wartość własna, zatem proces wyznaczania tych wartości

może zostać łatwo zautomatyzowany.

Zagadnienie wyznaczania wartości własnych dla struktur wielowarstwowych,

które zilustrowane zostało tutaj na przykładzie dwuwarstwowego modelu rzeczywistego

układu hybrydowego, jest znacznie bardziej złożone z uwagi to, że położenie asymptot

zależne jest od grubości poszczególnych warstw i ich wzajemnego stosunku. Na skutek

tego występują wzajemnie przeplatające się serie asymptot związane z grubością warstw

struktury. Z uwagi na to, że wartości własne położone są między asymptotami, na wstępie

należy określić położenie asymptot, aby wyznaczyć przedziały występowania wartości

własnych.

Analizując rozważany układ szczególną uwagę należało zwrócić na wartości

własne znajdujące się blisko asymptot położonych w pobliżu wielokrotności liczby π/2.

Problem ten zilustrowano dla wartości współczynnika wymiany ciepła h = 12 W/(m2K)

na Rys. 1. prezentującym położenie wartości własnych w pobliżu asymptot π oraz 3π/2.

Jak można zaobserwować wartości te są położone bardzo blisko asymptot. Dodatkowo,

sam charakter funkcji transcendentalnej jest także bardzo zmienny, co prezentuje Rys. 2.

Jak widać funkcja ta przemienia się z tangensoidy w kotangensoidę przy czym mogą

pojawiać się dwie wartości własne pomiędzy sąsiadującymi asymptotami. Ponadto może

też zaistnieć sytuacja, gdy nie ma żadnej wartości własnej pomiędzy asymptotami.


11

Rys. 1: Wartości własne położone w pobliżu asymptot π oraz 3π/2.

Rys. 2: Położenie wybranych wartości własnych dla struktury dwuwarstwowej.

3.1416 3.1416 3.1416 3.1416 3.1416 3.1416 3.1416 3.1416 3.1416 3.1416-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5x 10

8

4.71 4.715 4.72 4.725 4.73 4.735 4.74-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5x 10

12

0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2x 10

8

1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 1.45 1.5-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1x 10

10

3.4 3.45 3.5 3.55 3.6 3.65 3.7-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1x 10

8

15.708 15.708 15.708 15.708 15.708 15.708 15.708 15.708 15.708 15.708-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8x 10

8


12

Na podstawie wstępnych analiz dotyczących wzajemnego położenia asymptot

i wartości własnych opracowano algorytm pozwalający na automatyczne wyznaczanie

wartości własnych dla danych wartości współczynnika wymiany ciepła. Zaproponowany

algorytm na wstępie wyznacza położenie asymptot określając w ten sposób poszczególne

przedziały występowania wartości własnych, które zostają znalezione wykorzystując

zmodyfikowaną metodę bisekcji.

W rozdziale tym przedstawiono też metodę generowania kompaktowych modeli

termicznych na podstawie znajomości wartości własnych. Metoda ta, zaproponowana

w [30], została zaadaptowana i wykorzystana do generowania modeli kompaktowych

rzeczywistego układu hybrydowego, dla którego uprzednio wyznaczono wartości własne.

Zgodnie z tą metodą obliczone widma termicznych stałych czasowych, zaprezentowane

na Rys. 3 za pomocą różnego rodzaju znaczników, dzieli się w miejscach występowania

minimów uzyskując w ten sposób modele kompaktowe. Wartości rezystancji tych modeli

oraz odpowiadających im stałych czasowych również ukazano na rysunku przy użyciu

linii przerywanych.

Rys. 3: Porównanie widm stałych czasowych modeli.


13

Wyniki symulacji uzyskane przy użyciu modeli pełnych (linie przerywane) oraz

kompaktowych (linie ciągłe) porównano z wynikami pomiarów na Rys. 4. Jak widać,

wyniki uzyskane dla obu typów modeli są bardzo podobne, a błędy symulacji wynikają

głównie ze zbytniego uproszczenia pełnego modelu termicznego. Ponadto, w modelu nie

uwzględniono zmian wartość współczynnika wymiany ciepła wraz z temperaturą.

Przedstawione wyniki dowiodły, że znając wartości własne struktury możliwe jest

efektywne zredukowanie pełnych modeli do postaci kompaktowej zawierającej zaledwie

kilka elementów RC. Modele te zapewniają dużą dokładność symulacji, porównywalną

z pełnymi modelami trójwymiarowymi, a ponadto ich elementom można nadać fizyczną

interpretację. Inną ważną kwestią jest także dokładność pełnego modelu termicznego,

ponieważ, jak pokazano, mogą wystąpić istotne błędy symulacji, jeśli model ten jest zbyt

uproszczony i nie uwzględnia niektórych etapów na drodze przepływu ciepła od źródła

do otoczenia.

Rys. 4: Porównanie pomierzonych i symulowanych krzywych nagrzewania.

Szacowanie wartości współczynnika wymiany ciepła

14


Badania przeprowadzone na przestrzeni lat wskazują jednoznacznie, iż głównym

źródłem pojawiania się nieliniowości w modelach cieplnych systemów elektronicznych

jest zmienność przestrzenna i czasowa współczynnika wymiany ciepła, który modeluje

wymianę ciepła z otoczeniem na zewnętrznych powierzchniach systemu. Wartość tego

parametru silnie zależy od wykorzystywanego sposobu chłodzenia, od kształtu struktury

i temperatury jej powierzchni oraz otoczenia. Ponadto, biorąc pod uwagę, iż w niektórych

systemach elektronicznych mogą występować na ich powierzchniach znaczne gradienty

temperatury, lokalne wartości współczynnika wymiany ciepła mogą znacząco się różnić.

Nieuwzględnienie tych faktów może w konsekwencji prowadzić do znaczących błędów

symulacji [29].

W pierwszej części rozdziału przedstawiono na przykładzie diody mocy problem

szacowania wartości średniej współczynnika wymiany ciepła [A-3], [A-4], [A-6], [A-7].

Najpierw oszacowano wartości tego współczynnika, a następnie zaproponowano model

parametryczny uzależniający je od temperatury powierzchni, a w przypadku konwekcji

wymuszonej także i od prędkości chłodzącego powietrza. Następnie przeprowadzono

identyfikację parametrów modelu. Na zakończenie wyniki symulacji otrzymane przy

użyciu opracowanych modeli porównano z wynikami eksperymentalnymi.

Badana dioda wykonana z węglika krzemu została zamontowana do radiatora

wielożebrowego. Przyrząd chłodzony był powietrzem w warunkach konwekcji naturalnej

i wymuszonej. Pomiary temperatury złącza diody wykonano dla różnych wartości prądu

nagrzewania i prędkości powietrza.. Na podstawie wyników pomiarów zaproponowano

statyczny model termiczny opisujący analizowaną strukturę, w którym uwzględniono

dwie ścieżki wymiany ciepła.

Następnie, wykorzystując zależności występujące pomiędzy parametrami modelu

i dokonując podstawowych operacji oraz przekształceń algebraicznych wyznaczono wzór

zgodnie z którym średnia wartość współczynnika wymiany ciepła hav w modelu może

zostać wyznaczona jako odwrotność dodatniego pierwiastka następującego równania

kwadratowego [A-6]:


15

011

2

C

hB

hA

avav

(4)

Szacowanie wartości średnich współczynnika wymiany ciepła dla analizowanej

struktury przeprowadzano w oparciu o zmierzone wartości rozpraszanej mocy P oraz

przyrostów temperatury w złączu ΔTj. Poza powyższym wzorem, do szacowania średniej

wartości współczynnika wymiany ciepła użyto metody Newtona-Raphsona, Levenberga-

Marquardta i metodę gradientu sprzężonego opartą na formułe Polaka-Ribière’a [A-3].

Oszacowane średnie wartości współczynnika wymiany ciepła dla konwekcji

swobodnej ukazuje Rys. 5. Jak można zauważyć, rezultaty otrzymane przez wszystkie

zastosowane metody są niemalże identyczne, a co najważniejsze nie odbiegają one też

od wartości obliczonych na podstawie wzoru analitycznego. Analizując czas obliczeń

oraz moc obliczeniową potrzebną do wyznaczenia wartości współczynnika wymiany

ciepła stwierdzono, że dla rozważanego problemu algorytm Levenberga-Marquardta

okazał się być najodpowiedniejszy, chociaż nie należy tego stwierdzenia uogólniać.

Rys. 5: Oszacowane średnie wartości współczynnika wymiany ciepła.


16

Do obliczania średniej wartości współczynnika wymiany ciepła w warunkach

konwekcji naturalnej lub wymuszonej zaproponowano w pracy następującą zależność

parametryczną:

ec d ba vThav (5)

Zatem, kolejnym zadaniem było oszacowanie wartości parametrów tego modelu.

Dokonano tego na podstawie uprzednio określonych średnich wartościach współczynnika

wymiany ciepła. W tym celu wykorzystano odpowiednio zmodyfikowany algorytm roju

pszczół. Algorytm ten wykorzystuje wiedzę o inteligentnym zachowaniu pszczół podczas

poszukiwania żywności [A-4].

Identyfikację parametrów tego modelu przeprowadzano dwuetapowo. Najpierw

rozważono przypadek konwekcji naturalnej, gdy prędkość chłodzącego powietrza v jest

równa 0, określając wartości parametrów a, b, oraz c, a następnie oszacowano parametry

modelu d i e związane z występowaniem konwekcji wymuszonej. Dopasowanie modelu

do oszacowanych wartości współczynnika wymiany ciepła prezentują Rys. 6-7, a model

parametryczny określający średnią wartość współczynnika wymiany ciepła w warunkach

chłodzenia powietrznego wyrażony jest poniższym równaniem:

72,037,0 64,2194,155,4 vThav (6)

Rys. 6: Zależność średniej wartości współczynnika wymiany ciepła

od przyrostu temperatury powierzchni w warunkach konwekcji naturalnej [A-7].

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 558

9

10

11

12

13

14

Przyrost temperatury [K]

Wsp

ółc

zyn

nik

a w

ym

ian

y c

iep

ła [

W/(

m2K

)]

hnc

= 4.55 + 1.94 T0.37


17

Rys. 7: Zależność średniej wartości współczynnika wymiany ciepła

od prędkości powietrza w warunkach konwekcji wymuszonej [A-7].

Korzyści wynikające z uwzględnienia zależności współczynnika wymiany ciepła

od temperatury zilustrowano na Rys. 8, który przedstawia wyniki symulacji krzywych

nagrzewania rozpatrywanej diody dla prądu nagrzewania równego 2 A. Oprócz krzywej

zmierzonej doświadczalnie zamieszczono tutaj wyniki otrzymane przy użyciu modelu

kompaktowego, w którym wartość rezystora modelującego wymianę ciepła z otoczeniem

jest wyznaczana zgodnie z zaproponowanym modelem parametrycznym. Dodatkowo,

celem porównania przedstawiono krzywe uzyskane dla stałych wartości współczynnika

wymiany ciepła odpowiadających minimalnej oraz maksymalnej wartości współczynnika

użytych w modelu parametrycznym.

Jak można zauważyć, przyjęcie stałej wartości współczynnika wymiany ciepła

prowadzi do błędnych wyników symulacji. Przyjęcie minimalnej wartości skutkuje blisko

trzykrotnym przeszacowaniem przyrostu temperatury przyrządu w stanie ustalonym.

Natomiast dla wartości maksymalnej tego współczynnika uzyskuje się poprawne wyniki

w stanie ustalonym, lecz temperatura podczas nagrzewania jest niższa od zmierzonej.

Przykład ten wyraźnie ukazuje jak istotne jest poprawne modelowanie zmienności

wartości współczynnika wymiany ciepła.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

10

20

30

40

50

60

Prędkość powietrza [m/s]

Wsp

ółc

zyn

nik

a w

ym

ian

y c

iep

ła [

W/(

m2K

)]

hfc

= 21.64 v0.72


18

Rys. 8: Porównanie krzywych nagrzewania diody symulowanych

dla różnych wartości współczynnika wymiany ciepła z wynikami pomiarów.

Problem wyznaczania lokalnej wartości współczynnika wymiany ciepła zostanie

zilustrowany na przykładzie układu hybrydowego rozważanego w poprzednim rozdziale.

Podobnie jak w przypadku diody mocy, badania wykonano w tunelu aerodynamicznym

o laminarnym przepływie powietrza. Pomiary przeprowadzone zostały w warunkach

konwekcji naturalnej oraz wymuszonej dla różnych prędkości powietrza [A-1], [A-8].

Dla potrzeb symulacji termicznych układu wykorzystano pełny trójwymiarowy model

dwuwarstwowy. Wartości temperatury układu obliczane były dla aktualnych wartości

współczynnika wymiany ciepła przy użyciu metody funkcji Greena [27], przy czym

wartości własne struktury wyznaczano za pomocą autorskiego algorytmu omawianego

w Rozdziale 4.

Lokalne wartości współczynnika wymiany ciepła szacowane były minimalizując

błędy pomiędzy wynikami symulacji i pomiarami. Estymację przeprowadzana iteracyjnie

sprzęgając symulator termiczny z różnymi algorytmami przedstawionymi w Rozdziale 3,

takimi jak reguła falsi (FP), metoda Newtona-Raphsona (NR), metoda siecznych (SEC),

metoda bisekcji (BS) oraz odwrotna interpolacja kwadratowa (IQI).


19

Ponadto zaproponowano także własny algorytm, który w każdym kroku iteracji

zapisuje bieżącą wartość współczynnika wymiany ciepła oraz odpowiadające jej wartości

własne [A-8]. Wszystkie algorytmy zostały zaimplementowane w środowisku Matlab®.

Najpierw przeprowadzono szacowanie lokalnej wartości współczynnika wymiany ciepła

dla chłodzenia na drodze konwekcji swobodnej, a następnie dla wymuszonej. Wszystkie

testowane algorytmy, wyznaczyły zbliżone wartości lokalnych wartości współczynnika

wymiany ciepła.

Podobnie jak poprzednio zbadano też skuteczność testowanych algorytmów przez

porównanie całkowitego czasu obliczeń potrzebnego do oszacowania lokalnych wartości

współczynnika wymiany ciepła. Najkrótszym czasem obliczeń odznaczył się algorytm

autorski, co wynika z faktu, iż wymaga on najmniejszej liczby operacji algebraicznych.

Ponadto algorytm ten, jak już wspomniano, podczas obliczeń przechowuje w pamięci

wartości własne obliczone uprzednio dla bieżących wartości współczynnika wymiany

ciepła. Spośród pozostałych, standardowych algorytmów najlepsze wyniki uzyskano dla

metody siecznych i reguły falsi, ale nawet te algorytmy wymagały co najmniej trzykrotnie

więcej czasu. Oczywiście wyniki te nie mogą być bezpośrednio uogólniane, ponieważ

czas wykonania obliczeń zależy także od ustawień początkowych algorytmu.

Oszacowanie lokalnych wartości współczynnika wymiany ciepła umożliwiło też

identyfikację nieznanych wartości parametrów w modelu wyrażonym równaniem (5).

Identyfikację przeprowadzono, podobnie jak poprzednio, przy użyciu algorytmu roju

pszczół w dwóch etapach. Sumaryczny uśredniony model parametryczny dopasowany

do wszystkich dostępnych danych pomiarowych i pozwalający na obliczenie lokalnych

wartości współczynnika wymiany ciepła dla badanego układu hybrydowego wyrazić

można następującym wzorem:

78,039,0 67,885,183,4 vTh (7)

Krzywe wykreślone na podstawie tego wzoru oddzielnie dla różnych prędkości

powietrza zostały porównane z wartościami określonymi eksperymentalnie na Rys. 9. Jak

widać zaproponowany model parametryczny dość dobrze odzwierciedla dane pomiarowe

i z powodzeniem może on być wykorzystywany do obliczania wartości współczynnika

wymiany ciepła.


20

Rys. 9: Zależność całkowitej wartości współczynnika wymiany ciepła od przyrostu

temperatury powierzchni dla różnych prędkości strumienia powietrza.

Model ten wykorzystano także do obliczenia temperatury układu hybrydowego.

Symulowaną krzywą nagrzewania źródła ciepła przy chłodzeniu na drodze konwekcji

naturalnej porównano z wynikami pomiarów na Rys. 10. Dodatkowo zamieszczono także

wyniki symulacji uzyskane dla stałych wartości współczynnika wymiany ciepła równym

najniższej i najwyższej wartości z poprzedniej symulacji. Jak widać uwzględnienie zmian

wartości współczynnika wymiany ciepła wydatnie zwiększyło dokładność symulacji.

Rys. 10: Porównanie symulowanych krzywych

nagrzewania tranzystora z pomiarami [A-1].

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

1E-5 1E-4 1E-3 1E-2 1E-1 1E+0 1E+1 1E+2 1E+3

Prz

yro

st

tem

pera

tury

(K)

Czas (s)

BJT 1.0A 0m/s Pomiar BJT 1.0A 0m/s Max

BJT 1.0A 0m/s Model BJT 1.0A 0m/s Min

Parametryczny model kompaktowy diody LED

21


Rozdział ten prezentuje problem szacowania wartości elementów kompaktowego

modelu termicznego diody LED i jego parametryzacji. W odróżnieniu od systemów

analizowanych w poprzednim rozdziale zastosowano podczas pomiarów wymuszone

chłodzenie wodne. Jak się okazało, w tym przypadku wartości elementów kompaktowego

modelu termicznego odpowiadające za wymianę ciepła z otoczeniem można było uznać

za stałe i niezależne od temperatury cieczy chłodzącej. Natomiast parametryzacji poddane

zostały wartości wybranych rezystancji i pojemności cieplnych, które zależały od punktu

pracy diody oraz temperatury obudowy.

Do badań wykorzystano białe diody LED, które zostały przylutowane do płytek

podłożowych z metalowym rdzeniem. Odpowiedzi termiczne diody zarejestrowano dla

różnych wartości prądu nagrzewania i temperatury przepływającej wody. Umieszczenie

urządzenia w światłoszczelnej komorze umożliwiło też pomiar emitowanej przez diodę

mocy optycznej. Pomiary powtarzano gdy przyrząd był prawidłowo przylutowany oraz

gdy wyprowadzenie termiczne nie zostało podłączone do podłoża [A-2]

Rejestracja krzywych chłodzenia, i równoczesny pomiar mocy elektrycznej oraz

optycznej diody umożliwił obliczenie rzeczywistej mocy grzejącej, która jest równa ich

różnicy. Eksperymentalne wyznaczenie wartości rzeczywistej mocy grzejącej umożliwiło

użycie standardowej metody Network Identification by Deconvolution (ang. NID), dla

której moc ta jest wielkością wejściową niezbędną do przeprowadzenia analiz. Metoda

NID oferuje pełen zestaw użytecznych narzędzi umożliwiających analizy termiczne

systemów elektronicznych.

Znając ilość mocy zamienianą na energię cieplną możliwe było obliczenie widm

częstotliwościowych stałych termicznych dla każdej z zarejestrowanych krzywych

nagrzewania. Przykładowe widma dla prądu diody 1,5 A przedstawiono na Rys. 11. Linie

czarne oznaczają widma obliczone gdy dioda była poprawnie przylutowana, a podwójne

gdy temperatura wody była niższa. Jak widać pozostawienie wyprowadzenia termicznego

nie przylutowanego znacznie zwiększa rezystancję kontaktu, praktycznie podwajając

odpowiadającą jej wartość stałej czasowej.


22

Rys. 11: Przykładowe widma obliczone dla prądu diody 1,5 A.

Kolejnym krokiem było wygenerowanie trójczłonowych modeli kompaktowych

w postaci drabinek RC Fostera poprzez dokonanie podziału widm w miejscach minimów

wskazanych na rysunku strzałkami. W ten sposób określone zostały wartości rezystorów

w modelu, oraz wyznaczono przedziały, w których znajdują się stałe czasowe. Następnie

ustalono wartości tych stałych ponownie wykorzystując zaimplementowaną w Matlabie

procedurę opartą na algorytmie Levenberga-Marquardta [36]. W każdym przedziale

optymalne wartości stałych czasowych obliczano minimalizując błędy pomiędzy

wynikami symulacjami i pomiarami. Na zakończenie wartości kondensatorów zostały

obliczone dzieląc odpowiednie wartości stałych czasowych i rezystorów.

Fizycznie poprawne kompaktowe modele termiczne otrzymano poprzez zamianę

drabinek Fostera na matematycznie równoważne modele drabinkowe Cauera. Następnie

otrzymane wartości elementów kompaktowych modeli termicznych drabinkowych sieci

Cauera zostały poddane analizie mającej na celu określenie wpływu wartości prądu diody

i temperatury cieczy chłodzącej. Analiza ta wykazała, że tylko wartości rezystancji R1

i R2 oraz pojemności C2 zmieniają się zauważalnie, a do modelowania ich wartości

zaproponowano użycie następującego wzoru [A-2]:

1E-2

1E-1

1E+0

1E-5 1E-4 1E-3 1E-2 1E-1 1E+0 1E+1

Re

zys

tan

cja

te

rmic

zn

a (

K/W

)

Stala czasowa (s)

10C 1.5A z wypr. term.

90C 1.5A z wypr. term.

10C 1.5A bez wypr. term.

90C 1.5A bez wypr. term.

kontakt

z MCPCB

kontakt

z płytkąchłodzącą


23

cXaXY b )( (8)

gdzie Y jest wartością rezystora lub kondensatora, a X wartością prądu nagrzewania lub

temperatury cieczy. Prąd powinien być wyrażony w amperach, a temperatura w stopniach

Celsjusza.

Wartości współczynników a, b, c zostały określone z wykorzystaniem narzędzia

optymalizacyjnego ‘Curve Fitting’ dostępnego w Matlabie. Zmieniające się w modelu

wartości rezystancji oraz pojemności ukazują Rys. 12-14. oddzielnie dla diody poprawnie

przylutowanej oraz diody z nieprzylutowanym wyprowadzeniem termicznym. Jak widać

wartość rezystora R1 zależy od temperatury wody, a wartości elementów w środkowym

stopniu drabinki RC zależą tylko od prądu diody.

Rys. 12: Wartości rezystancji R1 obliczone na podstawie modelu.

Rys. 13: Wartości rezystancji R2 obliczone na podstawie modelu.

3.0

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

10 20 30 40 50 60 70 80 90

Re

zy

sta

nc

ja te

rmic

zn

a (K

/W)

Temperatura ( C)

WPT NTP

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

Rezysta

ncja

term

iczn

a (K

/W)

Prąd (A)

WPT NTP


24

Rys. 14: Wartości pojemności C2 obliczone na podstawie modelu.

Zaproponowany model parametryczny zostały zweryfikowany poprzez symulacje

krzywych nagrzewania diody LED i porównanie ich z wynikami pomiarów. Otrzymane

krzywe dla dwóch skrajnych wartości temperatury cieczy chłodzącej i prądów 0,5 A oraz

2,0 A przedstawia Rys. 15. Jak można zauważyć, symulowane krzywe bardzo dokładnie

odpowiadają wynikom pomiarów dla czasów powyżej 1 ms. Zatem, zaproponowany

parametryczny kompaktowy model termiczny zapewnił we wszystkich rozważanych

przypadkach wysoką dokładność, a błędy symulacji nie przekraczały 3% wartości

przyrostu temperatury w stanie ustalonym.

Rys. 15: Porównanie wyników symulacji z pomiarami.

0.01

0.10

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

Poje

mność cie

pln

a (J/K

)

Prąd (A)

WPT NTP

1E-1

1E+0

1E+1

1E-6 1E-5 1E-4 1E-3 1E-2 1E-1 1E+0 1E+1

prz

yro

st te

mp

era

tury

(K)

czas (s)

10C 0.5A WTP POM 90C 2.0A WTP POM

10C 0.5A NTP POM 90C 2.0A NTP POM

10C 0.5A WTP SYM 90C 2.0A WTP SYM

10C 0.5A NTP SYM 90C 2.0A NTP SYM


25

Dzięki wykonanym pomiarom i dogłębnej analizie wpływu prądu przewodzenia

diody oraz temperatury cieczy chłodzącej na wartości elementów modelu kompaktowego

możliwa była parametryzacja wartości jego elementów. Otrzymany ostatecznie model

pozwala na obliczanie wartości temperatury złącza przyrządu we wszystkich praktycznie

spotykanych warunkach pracy przyrządu. Ponadto, model ten może być łatwo włączony

do wielodomenowych modeli diod LED.

Podsumowanie

26

Podsumowanie

Niniejsza rozprawa dotyczy problematyki modelowania termicznego systemów

elektronicznych. Tematyka ta jest niezwykle ważna i aktualna, gdyż jak to już wcześniej

wspomniano, większość awarii urządzeń elektronicznych jest następstwem problemów

termicznych, a zatem możliwość dokładnego obliczenia temperatury przyrządów jest

kluczowa dla poprawnego zaprojektowania i funkcjonowania całego systemu. Do tego

celu niezbędne są też odpowiednie modele termiczne systemów.

Rozważania przedstawione w rozprawie dotyczyły pełnych, trójwymiarowych

modeli o stałych rozłożonych oraz kompaktowych modeli termicznych o parametrach

skupionych. Modele pełne były przedmiotem rozważań w Rozdziałach 4-5, a modele

kompaktowe omawiano w Rozdziałach 5-6. W każdym z tych rozdziałów przedstawiono

wybrane problemy związane z szacowaniem parametrów modeli termicznych, w tym

wartości własnych modeli, współczynnika wymiany ciepła oraz rezystancji i pojemności

cieplnych.

Rozdział 4 zilustrował na przykładach struktur jedno- oraz wielowarstwowych

problem szacowania wartości własnych, które są niezbędne do obliczenia rozkładu pola

temperatury metodą funkcji Greena. Wartości te są kolejnymi pierwiastkami równania

transcendentalnego w którym występują nieciągłe funkcje tangensoidalne posiadające

asymptoty. Położenie tych asymptot zależne jest od grubości poszczególnych warstw

występujących w strukturze. Pomiędzy sąsiadującymi asymptotami może nie znajdować

się żaden pierwiastek, bądź też kilka, a ponadto ich wartości często tylko nieznacznie

różnią się pod względem numerycznym od asymptot. Zatem poprawne wyznaczenie

wszystkich wartości własnych nie jest w ogólnym przypadku zadaniem trywialnym.

Zaproponowany w rozprawie algorytm z powodzeniem potrafił automatycznie określić

wszystkie wartości własne, co dowodzi postawionej tezy, iż: możliwe jest opracowanie

algorytmu pozwalającego na zautomatyzowanie procesu wyznaczania wartości

własnych niezbędnych do otrzymywania rozwiązań równania przewodnictwa

cieplnego dla struktur wielowarstwowych metodą analityczną funkcji Greena.

Podsumowanie

27

Badania dotyczące modeli trójwymiarowych były kontynuowane w Rozdziale 5

na przykładzie analizowanego uprzednio układu hybrydowego. Zaprezentowane w tym

rozdziale wyniki dowodzą, iż stosowanie stałych, uśrednionych wartości współczynnika

wymiany ciepła, niezależnych od temperatury, może prowadzić do znacznych błędów

symulacji. Zatem niezbędne jest szacowanie lokalnych wartości współczynnika wymiany

ciepła, co umożliwiają różnego rodzaju algorytmy numeryczne.

Przedstawione wyniki symulacji przeprowadzonych z wykorzystaniem różnego

rodzaju metod, w tym algorytmu autorskiego, charakteryzują się zadowalająco wysokim

poziomem dokładności. Podobne badania zostały zaprezentowane w Rozdziale 5 dla

kompaktowego modelu termicznego diody mocy, gdzie szacowane były wartości średnie

współczynnika wymiany ciepła. Wyniki badań wykazały, że zapewnienie odpowiedniej

dokładności symulacji także wymaga uwzględnienia zmian wartości tego współczynnika

w zależności od warunków chłodzenia. Natomiast wyniki badań dotyczące diody LED

przedstawione w Rozdziale 6, wykazały, iż w niektórych przypadkach konieczne może

być też uwzględnianie zmian innych parametrów modeli termicznych, w tym rezystancji

i pojemności cieplnych. Badania te udowodniły kolejnej tezy Rozprawy sformułowanej

w sposób następujący: wykorzystanie w symulatorach termicznych algorytmów

rozwiązywania zagadnień odwrotnych oraz optymalizacji pozwala na szacowanie

wartości parametrów modeli termicznych oraz uzyskiwanie rozwiązań nieliniowego

równania przewodnictwa cieplnego,

Ponadto wyniki badań przedstawionych w Rozdziałach 5-6 dotyczących modeli

parametrycznych diod mocy oraz diody LED pokazały, że parametry tych modeli mogą

być szacowane poprzez wykorzystanie odpowiednio zaadaptowanych algorytmów stada

dowodząc kolejnej tezy mówiącej, że algorytmy rojowe można wykorzystać do celów

identyfikacji parametrycznej funkcji opisującej wartości elementów modeli

termicznych.

Badania przedstawione w Rozprawie wykazały, iż w większości rzeczywistych

przypadków wartości elementów modeli termicznych systemów elektronicznych nie

mogą zostać uznane za stałe, ponieważ ich wartości zależą od punktu pracy urządzeń

elektronicznych oraz narzuconych warunków chłodzenia.

Podsumowanie

28

W szczególności pokazano, iż uwzględnianie w modelach termicznych zmian

wartości rezystancji i pojemności cieplnych, a także średnich oraz lokalnych wartości

współczynnika wymiany ciepła możliwe jest przy użyciu różnego rodzaju algorytmów

numerycznych, a uzyskane wyniki symulacji termicznych cechują się zadowalająco

wysokim poziomem dokładności. Zatem przedstawione w Rozprawie wyniki badań mogą

mieć istotne znaczenie dla projektowania nowoczesnych systemów elektronicznych,

a wykorzystanie otrzymanych rezultatów może pozwolić na dalszą optymalizację oraz

znaczącą poprawę niezawodności systemów elektronicznych.

Bibliografia

29

Bibliografia

Publikacje z udziałem Autorki

[A-1] Janicki M., Samson A., Raszkowski T., Torzewicz T., Napieralski, Consideration

on the importance of proper heat transfer coefficient modelling in air cooled

electronic systems, Facta Universitatis, vol. 31, 2018, pp. 519-528.

[A-2] Janicki M., Torzewicz T., Ptak P., Raszkowski T., Samson A., Górecki K.,

Parametric compact thermal models of power LEDs, Energies, 2019, vol. 12,

Paper 1724.

[A-3] Raszkowski T, Samson A., Janicki M., Numerical and analytical determination

of compact thermal model parameters, Bulletin de la Société des Sciences et des

Lettres de Łódź, Série: Recherches sur les Déformations, vol. LXVII, no. 2, 2017,

pp. 101-119.

[A-4] Raszkowski T., Samson A., Application of genetic algorithm and swarm

intelligence algorithms to heat transfer coefficient estimation, Bulletin

de la Société des Sciences et des Lettres de Łódź, Série: Recherches sur les

Déformations, vol. LXVII, no.3, 2017, pp. 103-125.

[A-5] Raszkowski T., Samson A., Zubert M., Janicki M., Napieralski A., Structure-

Aware Thermal Model Reduction, Proc. 33rd SEMI-THERM, San Jose, USA, 13-

17 March, 2017, pp. 48-51.

[A-6] Samson A, Janicki M., Raszkowski T., Zubert M., Determination of average heat

transfer coefficient value in compact thermal models, Proc. of 17th EuroSimE,

Montpellier, France, 18-20 April, 2016, pp.263-266.

[A-7] Samson A, Torzewicz T., Raszkowski T., Janicki M., Zubert M., Napieralski A.,

Modelling of average radiation and convection heat transfer coefficient value

in electronic systems, Proc. 23rd MIXDES, Lodz, Poland, 23-25 June, 2016, pp.

271-275.

[A-8] Samson A., Raszkowski T., Torzewicz T., Sobczak A., Janicki M, Zubert M.,

Napieralski A., Estimation of local heat transfer coefficient in hybrid electronic

circuits - method comparison, Pros. 9th ICIPE, Waterloo, Canada, 23-26 May,

2017, Paper 22T.

Bibliografia

30

[A-9] Torzewicz T., Baran K., Raszkowski T., Samson A., Wachta H., Napieralski A.,

Compact Thermal Modelling of Power LED Light Sources, Proc. 30th MIEL, Nis,

Serbia, 9-11 October 2017, pp. 157-160.

Pozostałe publikacje

[1] Alifanov O.M, Determination of heat loads from a solution of the nonlinear inverse

problem, High Temperature, vol. 15, 1977, pp. 498-504.

[2] Alifanov O.M., Artyukhin E.A., Regularized numerical solutions of nonlinear

inverse heat conduction problem, Journal of Engineering Physics, vol. 29, 1975, pp.

934-938.

[3] Alifanov O.M., Artyukhin E.A., Rumyantsev S.V., Extreme methods for solving

ill-posed problem with applications to inverse heat transfer problems, Begell

House, New York, 1995.

[4] Alifanov O.M., Inverse heat transfer problem, Springer, New York, 1994.

[5] Alifanov O.M., Mikhailov V.V., Solution of the overdetermined inverse problem

of thermal conductivity involving inaccurate data, High Temperature, vol. 23, nr 1,

1985, pp. 112-117.

[6] Alifanov O.M., Solution of an inverse problem of heat-conduction by iterative

methods, Journal of Engineering Physics, vol. 26, 1974, pp. 471-476.

[7] Aster R.C, Borchers B, Thurber C.H., Parameter estimation and inverse problems,

Elsevier, 2005.

[8] Batty W., Christoffersen C., Panks A.J., David S., Snowden C.M., Steer M.B.,

Electrothermal CAD of power devices and circuits with physical time-dependent

compact-thermal modeling of complex nonlinear 3-D systems, IEEE Transactions

on Components and Packaging Technologies, vol. 24, 2001, pp. 566-590.

[9] Bayazitoglu Y., Ozisik M.N., Elements of heat transfer, McGraw-Hill, 1988.

[10] Beck J.V., Blackwell B., ST. Clair C.R. Jr., Inverse heat conduction – Ill- posed

problems, John Wiley&Sons, 1985.

Bibliografia

31

[11] Beck J.V., Calculation of surface heat flux from an internal temperature history,

ASME Paper 62-HT-46, 1962.

[12] Beck J.V., Cole K.D., Haji-Sheikh A., Litkouhi B., Heat conduction using Green’s

Functions Second Edition, CRC Press Taylor & Francis Group, 2011.

[13] Beckman F.S., The solution of linear equation by conjugate gradient method,

Mathematical Methods for Digital Computer, A. Ralson and H. S. Wilf chapter 4,

Wiley, New York, 1960.

[14] Bjorck A., Dahlquist G., Metody numeryczne, PWN, Warszawa, 1983.

[15] Carslaw H.S., Jaeger J.S., Conduction of heat in solids, Clarendon Press, Oxford,

1947.

[16] De Monte F., Marcotullio , Computer-aided automatic computation of eigenvalues

for multi-layer transient heat conduction problems, LIX Congresso Nazionale della

Associazione Termotecnica Italiana, Genova, 14 - 17 September, 2004, pp. 2067-

2078.

[17] Epperson J.F., An introduction to numerical methods and analysis, Wiley-

Interscience, 2007.

[18] Fourier J.-B. J., Théorie analytique de la chaleur, Firmin Didot, Paris, 1822.

[19] Furmańczyk M., Napieralski A., Yu E., Przekwas A., Turowski M., Thermal model

reduction for integrated circuits, Proc. of 4th Workshop THERMINIC, September

27-29, 1998, Cannes, France, pp. 135-138.

[20] Haji-Sheikh A., Beck J. V., Agonafer D., Steady-state heat conduction in multi-

layer bodies, International Journal of Heat and Mass Transfer 46, 2003, pp. 2363-

2379.

[21] Haji-Sheikh A., Beck J. V., An efficient method of computing eigenvalues in heat

conduction, Numerical Heat Transfer, Part B, 2000, pp. 133-156.

[22] Haji-Sheikh A., Beck J. V., Agonafer D., Steady-state heat conduction in multi-

layer bodies, International Journal of Heat and Mass Transfer, vol. 46, 2003,

pp. 2363-2379.

Bibliografia

32

[23] Haji-Sheikh A., Beck J. V., Temperature solution in multi-dimensional multi-layer

bodies, International Journal of Heat and Mass Transfer, vol. 45, 2002, pp.1865-

1877.

[24] Haji-Sheikh A., De Monte F., Beck J. V., Temperature solutions in thin films using

thermal wave Green’s function solution equation, International Journal of Heat and

Mass Transfer, vol. 45, 2002, pp. 1865-1877.

[25] Hering M, Termokinetyka dla elektryków, WNT, Warszawa, 1980.

[26] Janicki M., De Mey G., and Napieralski A, Application of Green’s functions for

analysis of transient thermal states in electronic circuits, Microelectronics Journal,

vol. 33, 2002, pp. 733-738.

[27] Janicki M., De Mey G., Napieralski A., Thermal analysis of layered electronic

circuits with Green’s functions, Microelectronics Journal, vol. 38, 2007, pp. 177-

184.

[28] Janicki M., De Mey G., Napieralski, Transient thermal analysis of multilayered

structures using Green’s functions, Microelectronics Reliability, vol. 42, 2002,

pp. 1059-1064.

[29] Janicki M., Sarkany Z, Napieralski A., Impact of nonlinearities on electronic device

transient thermal responses, Microelectronic Journal, vol. 45, 2014, pp. 1721-5.

[30] Janicki, M., Kindermann S., and Napieralski, A., Investigation of circuit thermal

models based on transient thermal response spectra, Proc. 15th MIXDES, Poznan,

Poland, 19-21 June 2008,pp. 337-342.

[31] Kącki E., Termokinetyka, WN-T, warszawa, 1967.

[32] Kakac S., Yener Y., Heat conduction, Taylor and Francis, 1993.

[33] Kreyszig E., Advanced engineering mathematics, Hoboken: John Wiley & Sons,

2011.

[34] Levenberg K., A method for the solution of certain non-linear problems in least

squares, Quarterly of Applied Mathematics, vol. 2, 1944, pp. 164-168.

Bibliografia

33

[35] Lydersen A.L., Fluid flow and heat transfer, John Wiley & Sons Ltd., 1989.

[36] Marquard D.W., An algorithm for least squares estimation of nonlinear parameters,

Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, vol. 11, 1963, pp.

431-441.

[37] Ozisik M.N, Orlande H.R.B, Inverse heat transfer, Taylor & Francis, New York,

2000.

[38] Ozisik M.N.: Heat Conduction, John Wiley & Sons Inc., 1993.

[39] Pańczyk B., Łukasik E., Sikora J., Guziak T., Metody numeryczne w przykładach,

Politechnika Lubelska, Lublin, 2012.

[40] Rencz M., Szekely V.: Dynamic thermal multiport modeling of IC packages, IEEE

Transactions on Component & Packaging Technology, vol. 24, 2001, pp. 596-604.

[41] Sabry M.N, Compact thermal models for electronic systems, IEEE T. Components

and Packaging Technologies, vol. 26, 2003, pp.179-185.

[42] Tikhonov A.N., Arsenin V.Y., Solution of ill-posed problems, Winston & Sons,

Washington, DC, 1977.

[43] Tikhonov A.N., Inverse Problems in heat conduction, Journal of Engineering

Physics, vol. 29, 1975, pp.816-820.

[44] Tikhonov A.N., Obratnye zadatchy teplovodnosity, Inzhinero-Fiziczieski Zhurnal,

vol. 29, 1975, pp. 7-12.

[45] Tikhonov A.N., Regularization of incorrectly posted problems, Soviet Mathematics

Doklady, vol. 4, 1963, pp.1624-1627.

[46] Tikhonov A.N., Solution of incorrectly formulated problems and the regularization

method, Soviet Mathiematics Doklady, vol. 4, nr 4, 1963, pp.1035-1038.

[47] Więcek B, Odprowadzanie ciepła w układach elektronicznych ze szczególnym

uwzględnieniem konwekcji naturalnej i promieniowania. Zeszyty naukowe nr 820,

Politechnika Łódzka, 1999.

[48] Wiśniewski S., Wymiana ciepła, WN-T, Warszawa 2000.

Algorytmy szacowania wybranych parametrów modeli ... · 2. Wykorzystanie w symulatorach...

Documents

Transcript of Algorytmy szacowania wybranych parametrów modeli ... · 2. Wykorzystanie w symulatorach...