Algorytmy syntezy uk ladow sterowania

Literatura: T. Kaczorek, Teoria sterowania, t.1 i 2, PWN, W-wa 1980; T.

Kaczorek, Teoria sterowania i systemow, PWN, W-wa, 1996.

u(t) y(t)-

Obiekt sterowania Obserwator stanuv(t)

--

-

?

x(t) z(t)

Niech bedzie dany uk lad sterowania taki, ze nie wszystkie jego zmienne

stanu sa bezposrednio dostepne (mierzalne). Uk lad pozwalajacy odtworzyc na

podstawie znajomosci sterowania i wyjscia niedostepne zmienne stanu nazywa

sie obserwatorem stanu.

Stabilizowalnosc uk ladow sterowania. Dobor sprzezenia zwrot-

nego

Niestabilny otwarty uk lad sterowania opisywany rownaniami stanu

x(t) =

(0 1

−1 2

)x(t) +

(1 0

0 −1

)u(t), y(t) =

(−1 0

0 1

)x(t).

sterowanie-

Urzadzenie sterujace Obiekt sterowania

US OSwyjscie

-

Rownanie wartosci w lasnych macierzy stanu uk ladu otwartego: det(sI −A) = 0 ⇒ (s − 1)2 = 0 ⇒ s1,2 = 1. Dwukrotna wartosc w lasna w prawej

po lp laszczyznie zmiennej zespolonej s implikuje niestabilnosc uk ladu otwar-

tego.

1

Dwukrotna dodatnia wartosc w lasna uk ladu sterowania

-

6

us1,2 = +1

s

Stosujemy sprzezenie zwrotne

u(t) =

(k1 0

0 k2

)y(t)

sterowanie-

Urzadzenie sterujace Obiekt sterowania

US OSwyjscie

--

i wyznaczamy macierz stanu uk ladu zamknietego ze sprzezeniem zwrotnym

x(t) = Ax(t)+Bu(t), y(t) = Cx(t), u(t) = Ky(t) ⇒ x(t) = Ax(t), A = A+BKC,

tj

A+BKC =

(0 1

−1 2

)+

(1 0

0 −1

)(k1 0

0 k2

)(−1 0

0 1

)=

(−k1 1

−1 2− k2

).

2

Rownanie wartosci w lasnych uk ladu zamknietego przybiera postac

det(sI − A) = s2 + (k1 + k2 − 2)s+ k1(k2 − 2) + 1 = 0,

a warunki jego stabilnosci sa nastepujace

k1 + k2 − 2 > 0, k1(k2 − 2) + 1 > 0.

Dla k1 = 0 i k2 = 4 wartosci w lasne uk ladu zamknietego sa postaci s1,2 =

−1. Uk lad zamkniety jest stabilny ze stopniem stabilnosci η = 1. Procesy

przejsciowe zanikaja w uk ladzie nie wolniej niz Cte−t.

Dwukrotna ujemna wartosc w lasna uk ladu sterowania

-

6

u

s

s1,2 = −1

Dla k1 = 2 i k2 = 4 wartosci w lasne uk ladu zamknietego sa postacis1,2 =

−2± . Uk lad zamkniety jest stabilny ze stopniem stabilnosci η = 2. Procesy

przejsciowe zanikaja w uk ladzie nie wolniej niz Ce−2t. Pojawiaja sie jednak

przebiegi oscylacyjne z oscylacyjnoscia

µ.= max

1≤i≤n|Im(si)|/|Re(si)| = 0.5.

3

Chcac zapewnic duzy stopien stabilnosci i ma la oscylacyjnosc uk ladu stero-

wania analizujemy zagadnienie przesuwania wartosci w lasnych macierzy stanu

uk ladu.

Przesuwanie wartosci w lasnych macierzy stanu uk ladu

Wektor stanu i wektor sterowania maja taki sam wymiar

Pierwotny uk lad sterowania zaprojektowany na podstawie fizyko-chemicznego

modelu obiektu sterowania i informacji o zadaniu sterowania, jakie stawiane

jest w odniesieniu do danego obiektu, moze nie wykazywac dobrych w lasnosci

dynamicznych. Ma la zmiana parametrow uk ladu powoduje utrate jego sta-

bilnosci (uk lad ma ma ly stopien stabilnosci), w uk ladzie obserwowane sa szko-

dliwe dla uk ladu przebiegi oscylacyjne o duzej amplitudzie i czestotliwosci, a

wielkosc zadajaca (jesli uk lad ma cechy uk ladu sledzacego) jest odtwarzana na

wyjsciu uk ladu z ma la dok ladnoscia.

W zwiazku z tym nasuwa sie pytanie, jak zmodyfikowac uk lad sterowania

opisywany rownaniem stanu

x(t) = Ax(t) +Bu(t), x(t) ∈ Rn, u(t) ∈ Rn,

aby poprawic jego w lasnosci dynamiczne. Rozwazymy zadanie modyfikacji

uk ladu sterowania przy nastepujacych za lozeniach:

• macierz sterowania B jest nieosobliwa,

• wszystkie sk ladowe wektora stanu sa dostepne tj. C = I,

• wartosci w lasne s1, ..., sn macierzy stanu A sa jednokrotne.

Oczywiscie rozwazany uk lad jest sterowalny i obserwowalny. Nalezy tak

zmodyfikowac pierwotny uk lad sterowania, aby wartosci w lasne macierzy stanu

uk ladu zmodyfikowanego mia ly z gory zadane wartosci

sM1 , sM2 , ..., s

Mn .

4

-

6

u u

u

us

Wartosci w lasne macierzy stanupierwotnego uk ladu sterowania

-

6

u u

u

us

Wartosci w lasne macierzy stanuzmodyfikowanego uk ladu sterowania

Uk lad pierwotny ma ma ly zapas stabilnosci i duza oscylacyjnosc. Uk lad

zmodyfikowany ma zwiekszony zapas stabilnosci i zmniejszona oscylacyjnosc.

Modyfikacja uk ladu sterowania bedzie polegac na wprowadzeniu ujemnego

sprzezenia zwrotnego i nowego sterowania u0(t) ∈ Rn pozwalajacego zachowac

funkcje sterownicza uk ladu. Jesli wyeliminowac ca lkowicie sterowanie z uk ladu

5

determinujac jego przebieg za pomoca sprzezenia zwrotnego, to uk lad staje sie

uk ladem autonomicznym, ktory sam okresla ewolucje swojej dynamiki.

u(t)-

Obiekt sterowaniaPierwotny uk lad sterowania

OSx(t)

-

uM(t)x --

Sprzezenie zwrotne Obiekt sterowania

SP OSxM(t)

--

Zmodyfikowany uk lad sterowaniau0(t)

?+

−

Dla uk ladu zmodyfikowanego uzyskujemy rownania

xM(t) = AxM(t) +BuM(t), uM(t) = u0(t)−KspxM(t), (∗),

gdzieKsp ∈ Rn×n jest poszukiwana macierza sprzezenia zwrotnego od stanu

do sterowania.

Po oznaczeniu

uMB (t).= BuM(t)

rownanie (*) przyjmie postac

xM(t) = AxM(t) + uMB (t).

Stosujemy przekszta lcenie diagonalizujace

xM(t) = PxM(t),

gdzie macierz P jest utworzona z wektorow w lasnych macierzy A. Dla

xM(t) uzyskujemy rownanie

˙xM(t) = P−1APxM(t) + P−1uMB (t)

6

tj.

˙xM(t) = diag1≤i≤n(si)xM(t) + uMB (t), uMB (t)

.= P−1uMB (t), (∗∗).

Narzucamy na wielkosc uMB (t) warunek

uMB (t) = P−1Bu0(t)− diag1≤i≤n(sMi )xM(t), (∗ ∗ ∗).

Po podstawieniu do rownania (**) mamy

˙xM(t) = diag1≤i≤n(si − sMi )xM(t) + P−1Bu0(t).

Poniewaz chcemy, aby macierz stanu uk ladu zmodyfikowanego mia la wartosci

w lasne sMi , wiec musi byc si − sMi = sMi tj. sMi = si − sMi , i = 1, ..., n.

Tak wiec

˙xM(t) = diag1≤i≤n(sMi )xM(t) + P−1Bu0(t).

Biorac pod uwage zaleznosc xM(t) = P−1xM(t) mamy

P−1xM(t) = diag1≤i≤n(sMi )P−1xM(t) + P−1Bu0(t).

i

xM(t) = Pdiag1≤i≤n(sMi )P−1xM(t) +Bu0(t).

Natomiast dla wyrazenia uMB (t) mamy

uMB (t) = PuMB (t)

i z warunku (***) uzyskujemy

uMB (t) = Bu0(t)− Pdiag1≤i≤n(sMi )xM(t),

uMB (t) = Bu0(t)− Pdiag1≤i≤n(sMi )P−1xM(t),

BuM(t) = Bu0(t)− Pdiag1≤i≤n(sMi )P−1xM(t)

i ostatecznie

7

uM(t) = u0(t)−B−1Pdiag1≤i≤n(sMi )P−1xM(t).

Porownujac to wyrazenie z wyjsciowym rownaniem dla sterowania uM(t)

wnioskujemy, ze

Ksp = B−1Pdiag1≤i≤n(sMi )P−1, (∗ ∗ ∗∗).

Z powyzszego rozumowania wynika nastepujacy

Algorytm syntezy zmodyfikowanego uk ladu sterowania:

• okreslic macierz diagonalna z elementami sMi = si − sMi ,

• wyznaczyc przekszta lcenie diagonalizujace P dla macierzy stanu A i jego

odwrotnosc P−1,

• obliczyc macierz odwrotna B−1,

• wyznaczyc poszukiwana macierz sprzezenia zwrotnego ze wzoru (****).

Przyk lad: Pierwotny uk lad sterowania opisywany jest rownaniem stanu

x(t) =

(0 1

−12 −7

)x(t) +

(0 1

1 2

)u(t).

Wartosci w lasne macierzy stanu A uk ladu pierwotnego okreslone przez

rownanie

det(sI − A) = s2 + 7s+ 12 = 0

sa rowne s1 = −3, s2 = −4.

Stosujac sprzezenie zwrotne w funkcji wektora stanu nalezy uk lad zmody-

fikowac tak, aby uzyskac wartosci w lasne macierzy stanu uk ladu zmodyfiko-

wanego rowne s1 = −5, s2 = −7.

Obliczamy pomocnicza macierz diagonalna diag1≤i≤n(sMi ) = diag(2, 3).

Znajdujemy przekszta lcenie diagonalizujace macierzy A z rownan dla jej

wektorow w lasnych

(s1I − A)P1 =

(−3 −1

12 4

)(P 11

P 21

)= 0

oraz

(s2I − A)P2 =

(−4 −1

12 3

)(P 12

P 22

)= 0

8

Stad

P =

(1 1

−3 −4

), P−1 =

(4 1

−3 −1

).

Okreslamy macierz

B−1 =

(−2 1

1 0

)oraz macierz sprzezenia zwrotnego

Ksp = B−1Pdiag1≤i≤n(sMi )P−1 =

(−2 1

1 0

)(1 1

−3 −4

)(2 0

0 3

)(4 1

−3 −1

)

=

(14 8

−1 −1

)

Synteza jednowymiarowego wejsciowo-wyjsciowego

uk ladu sterowania o zadanych biegunach i zerach

Niech bedzie dany jednowymiarowy wejsciowo-wyjsciowy uk lad sterowania

opisywany transmitancja

G0(s) =L0(s)

M0(s),

gdzie

L0(s) = cn−1sn−1+cn−2s

n−2+...+c1s+c0, M0(s) = sn+an−1sn−1+...+a1s+a0.

Inaczej mowiac jednowymiarowy wejsciowo-wyjsciowy uk lad sterowania opi-

sywany jest rownaniem rozniczkowym n-tego rzedu

cn−1un−1(t)+cn−2u

n−2(t)+...+c1u(t)+c0 = anyn(t)+an−1y

n−1(t)+...+a1y(t)+a0.

Przechodzimy do opisu uk ladu w przestrzeni stanu zachowujac sterowanie pier-

wotne

u(t).= u(t)

i wybierajac w charakterze zmiennych stanu wielkosci

9

x1(t).= y(t), x2(t)

.= y(1)(t), ..., xn(t)

.= y(n−1)(t),

a w charakterze zmiennych wyjsciowych wielkosci

y1(t).= y(t), y2(t)

.= y(1)(t), ..., yn−1(t)

.= y(n−1).

Opis uk ladu w przestrzeni stanu przybierze postac

x(t) = Ax(t) + bu(t), y(t) = cx(t),

gdzie

A =

0 1 0 ... 0 0

0 0 1 ... 0 0

... ... ... ... ... ...

0 0 0 ... 0 1

−a0 −a1 −a2 ... −an−2 −an−1

, b =

0

0

...

0

1

, c =(c0 c1 ... cn−1

).

Macierz A w powyzszym opisie jest tzw. macierza Frobeniusa, a macierz

stanu tej postaci nazywa si postacia kanoniczna sterowalna.

Opis uk ladu za pomoca transmitancji operatorowej G0(s) jest zwiazany z

opisem w przestrzeni stanu zaleznoscia

G0(s) = c(sI − A)−1b =c((sI − A)adb

det(sI − A).

Z porownania opisow wynika, ze

L0(s) = c(sI − A)adb, M0(s) = det(sI − A).

Zak ladamy dostepnosc wszystkich zmiennych stanu i poszukujemy sprzezenia

zwrotnego od stanu do sterowania okreslonego macierza wierszowa

ksp = (k1sp, k2sp, ..., knsp)

oraz po laczenia rownoleg lego na wyjsciu okreslonego macierza wierszowa

kr = (k1r, k2r, ..., knr).

Uk lad zmodyfikowany jest opisany w przestrzeni stanu rownaniami

xM(t) = AxM(t) + buM(t), uM(t) = u0(t)− kspxM(t), y(t) = (c+ kr)xM(t),

10

przy czym u0(t) jest nowym sterowaniem zewnetrznym. Oznaczmy transmi-

tancje operatorowa uk ladu zmodyfikowanego jako

G(s) =L(s)

M(s),

gdzie

L(s) = cn−1sn−1+ccn−2s

n−2+...+c1s+c0, M(s) = sn+an−1sn−1+...+a1s+a0.

Nalezy tak dobrac macierz sprzezenia zwrotnego i po laczenia rownoleg lego,

aby bieguny

sM1 , sM2 , ..., s

Mn

i zera

szM1 , szM2 , ..., szMn

transmitancji operatorowej uk ladu zmodyfikowanego mia ly z gory zadane wartosci.

11

-

6

u e u

u

us

Bieguny i zera pierwotnegouk ladu sterowania

-

6

u eu

u

us

Bieguny i zera zmodyfikowanegouk ladu sterowania

Twierdzenie: Wspo lczynniki wielomianow M(s) i M0(s) oraz L(s) i L0(s)

zwiazane sa zaleznosciami

ai = ai + k(i+1)sp, i = 0, 1, ..., n− 1; cj = cj + k(j+1)r, j = 0, 1, ..., n− 1.

Dowod: Transformujemy opis uk ladu zmodyfikowanego w przestrzeni stanu

do dziedziny operatorowej

12

(sI − A)XM(s) = bU(s), U(s) = U0(s)− kspXM(s), Y (s) = (c+ kr)XM(s).

Obliczamy G(s) = Y (s)/U(s) uzyskujac

G(s) =(c+ kr)(sI − A)−1b

1 + ksp(sI − A)−1b

=(c+ kr)(sI − A)adb

(1 + ksp(sI − A)−1b)det(sI − A).

Tak wiec

L(s) = (c+ kr)(sI − A)adb = c(sI − A)adb+ kr(sI − A)adb,

M(s) = (1 + ksp(sI − A)−1b)det(sI − A) = det(sI − A) + ksp(sI − A)adb.

Zaleznosci te, po porownaniu z wielomianami L0(s) iM0(s), przyjma postac

L(s) = L0(s) + kr(sI − A)adb, M(s) = M0(s) + ksp(sI − A)adb.

Z powyzszych zaleznosci wynika, ze bieguny transmitancji uk ladu zmodyfi-

kowanego zaleza tylko od elementow macierzy sprzezenia zwrotnego ksp, a zera

tej transmitancji zaleza tylko od elementow macierzy po laczenia rownoleg lego

kr.

Wprowadzajac oznaczenie

(sI − A)adb =

D1n

D2n

...

Dnn

mozna zapisac wyrazenia

ksp(sI − A)adb =∑

1≤i≤n

kispDin, kr(sI − A)adb =∑

1≤i≤n

kirDin.

Ze specjalnej struktury macierzy (sI − A)ad wynika, ze Din = si−1, i =

1, ..., n (obliczanie Din sprowadza sie do obliczania wyznacznikow macierzy

o strukturze trojkatnej z uwzglednieniem znaku dope lnienia algebraicznego).

Ostatecznie zaleznosci miedzy wielomianami M0(s) i M(s) oraz L0(s) i L(s)

przybieraja postac

13

M(s) = M0(s) +∑

1≤i≤n

kispsi−1, L(s) = L0(s) +

∑1≤i≤n

kirsi−1,

co oznacza, ze

ai = ai + k(i+1)sp (i = 1, ..., n− 1), cj = cj + k(j+1)r.

Na tej podstawie okreslamy

Algorytm syntezy zmodyfikowanego wejsciowo-wyjsciowego uk ladu

sterowania:

• majac dane bieguny sM1 , ..., sMn i zera szM1 , ...szMn transmitancji uk ladu

zmodyfikowanego wyznaczyc wspo lczynniki aj, ci wielomianow M(s) i L(s) ze

wzoru

G(s) =(s− szM1 ) · ... · (s− szMn )

(s− sM1 ) · ... · (s− sMn ).

• wyznaczyc poszukiwane wspo lczynniki macierzy sprzezenia zwrotnego i

po laczenia rownoleg lego z zaleznosci

kisp = ai−1 − ai−1 (i = 1, ..., n), kjr = cj−1 − cj−1 (j = 1, ..., n).

Przyk lad: Jest dany wejsciowo-wyjsciowy uk lad sterowania o transmitancji

operatorowej

G0(s) =2s+ 3

(s+ 1)(s+ 6)=

2s+ 3

s2 + 7s+ 6,

a wiec s1 = −1, s2 = −6, sz1 = −3/2 i

a1 = 7, a0 = 6, c1 = 2, c0 = 3.

Nalezy okreslic elementy macierzy sprzezenia zwrotnego ksp = (k1sp, k2sp) i

macierzy po laczenia rownoleg lego kr = (k1r, k2r) tak, aby transmitancja uk ladu

zmodyfikowanego mia la bieguny s1 = −8, s2 = −10 i zero sz1 = 0.

Wyznaczamy wspo lczynniki ai, cj:

G(s) =s

(s+ 8)(s+ 10)=

s

s2 + 18s+ 80,

14

a wiec

a1 = 18, a0 = 80, c1 = 1, c0 = 0.

Nastepnie wyznaczamy poszukiwane elementy macierzy ksp i kr z zaleznosci

k1sp = a0 − a0 = 80− 6 = 74, k2sp = a1 − a1 = 18− 7 = 11,

k1r = c0 − c0 = 0− 3 = −3, k2r = c1 − c1 = 1− 2 = −1.

Dostepnosc tylko czesci zmiennych stanu

Za lozmy, ze tylko czesc zmiennych stanu jest dostepnych bezposrednio,

przy czym dana jest zaleznosc wiazaca wektor dostepnych zmiennych stanu z

wektorem stanu postaci

zM(t) = C1xM(t), C1 ∈ Rm×n,

gdzie

C1 =

1 0 ... 0 0 ... 0

0 1 ... 0 0 ... 0

... ... ... ... ...

0 0 ... 1 0 ... 0

Nalezy okreslic macierz wierszowa sprzezenia zwrotnego ksp = (k1sp k2sp ... kmsp)

i macierz po laczenia rownoleg lego kr = (k1r k2r ... kmr) uk ladu tak, aby bie-

guny

sM1 , sM2 , ..., s

Mn

i zera

szM1 , szM2 , ..., szMn

transmitancji operatorowej uk ladu zmodyfikowanego mia ly z gory zadane wartosci.

Uk lad zmodyfikowany opisywany jest w przestrzeni stanu rownaniami

xM(t) = AxM(t) + buM(t), uM(t) = u0(t)− kspzM(t), y(t) = (c+ kr)zM(t),

przy czym u0(t) jest nowym sterowaniem zewnetrznym.

Z rownan tych wyznaczamy analogicznie do poprzedniego przypadku zaleznosci

miedzy wielomianami M(s) i M0(s) oraz L(s) i L0(s) o postaci

M(s) = M0(s) + kspC1(sI − A)adb,

15

L(s) = L0(s) + krC1(sI − A)adb.

Elementy macierzy wierszowych ksp i kr dobieramy tak, aby spe lnione by ly

zaleznosci

M(sMi ) = 0, i = 1, ..., n; L(szMi ) = 0, i = 1, ...,m.

Z ostatnich zaleznosci uzyskujemy uk lady rownan:

GspkTsp = Msp, Grk

Tr = Lr,

gdzie

Gsp =

(C1(sM1 I − A)b)T

...

(C1(sMm I − A)b)T

, Gr =

(C1(szM1 I − A)b)T

...

(C1(szMm I − A)b)T

,

oraz

Msp = −

M0(sM1 )

...

M0(sMm )

, Lr = −

L0(szM1 )

...

L0(szMm

.

Poniewaz macierze Gsp i Gr sa nieosobliwe jako macierze Vandermonde’a,

wiec poszukiwane macierze wierszowe mozna jednoznacznie wyjasnic.

Przyk lad: Niech transmitancja uk ladu pierwotnego ma postac

G0(s) =c1s+ c0

s2 + a1s+ a0.

Uk lad ten w przestrzeni stanow opisuja rownania

x(t) =

(0 1

−a0 −a1

)x(t) +

(0

1

)u(t), y(t) =

(c0 c1

)x(t).

Za lozmy, ze dostepna jest tylko zmienna stanu x1. Dla wielomianow L(s)

i M(s) uszyskujemy wyrazenia

L(s) = c1s+ c0 + kr, M(s) = s2 + a1s+ a0 + ksp.

Transmitancja uk ladu zmodyfikowanego ma jedno zero

szM1 = −c0 + krc1

16

i dwa bieguny

sM1,2 = −0.5a1 ± 0.5(a21 − 4(a0 + ksp))1/2.

Wzory te pozwalaja okreslic wspo lczynniki ksp i kr przesuwajace zero i

bieguny uk ladu w zadane po lozenia.

17

Zastosowanie obserwatorow stanu do syntezy

liniowych uk ladow sterowania

Do projektowania uk ladow sterowania zastosowanie znajduja dwie charak-

terystyczne postaci rownan stanu: postac kanoniczna sterowalna i postac ka-

noniczna obserwowalna.

Niech uk lad sterowania bedzie opisywany nastepujacymi liniowymi stacjo-

narnymi rownaniami stanu i wyjscia

x(t) = Ax(t) + bu(t), y(t) = cx(t),

gdzie A jest n-wymiarowa macierza kwadratowa, b jest n-wymiarowym wek-

torem kolumnowym, a c jest n-wymiarowym wektorem wierszowym.

Uk lad ma postac kanoniczna sterowalna

u(t) y(t)-

Obiekt sterowania Obserwator stanuv(t)

--

-

?

x(t) z(t)

Niech bedzie dany uk lad sterowania, ktorego nie wszystkie zmienne stanu

sa bezposrednio dostepne. Uk lad pozwalajacy odtworzyc na podstawie zna-

jomosci sterowania i wyjscia niedostepne zmienne stanu nazywa sie obserwa-

torem stanu. Niech pierwotny uk lad sterowania bedzie opisywany rownaniami

x(t) = Ax(t) +Bu(t), y(t) = Cx(t).

Za lozymy, ze

• uk lad pierwotny jest sterowalny i obserwowalny tj.

rank[B AB A2B ... An−1B] = n,

rank

C

CA

...

CAn−1

= n,

18

• rzad macierzy C jest rowny q, q < n.

Do uk ladu do laczamy obserwator stanu opisany rownaniami

z(t) = A0z(t) +B0u(t) +B1y(t), v(t) = C0z(t) + C1y(t),

przy czym

z(t), v(t) sa odpowiednio n−q-wymiarowym wektorem stanu i n-wymiarowym

wektorem wyjsc obserwatora, a A0, B0, B1, C0, C1 sa macierzami sta lymi.

Podamy warunki, przy spe lnieniu ktorych obserwator stanu bedzie odtwarza l

wektor stanu uk ladu pierwotnego.

Niech H bedzie sta la macierza o wymiarach (n− q)×n. Biorac pod uwage

rownania uk ladu pierwotnego rownania obserwatora mozna napisac rownanie

z(t)−Hx(t) = A0z(t)− (HA−B1C)x(t) + (B0 −HB)u(t). (∗)

Jezeli macierze H, A0, B0, B1 dobierzemy tak, aby zachodzi ly rownosci

A0H = HA−B1C, B0 = HB,

to rownanie (*) przyjmie postac

e(t) = A0e(t), e(t).= z(t)−Hx(t). (∗∗)

Rozwiazanie rownania (**) jest postaci

e(t) = exp(A0t)e(0).

Jezeli wartosci w lasne macierzy A0 leza w lewej po lp laszczyznie, to dla dowol-

nych warunkow poczatkowych

z(t)→ Hx(t), t→∞.

Narzucajac rownosc

(C0 C1

)(HC

)= In, (∗ ∗ ∗)

uzyskujemy warunek odtwarzania stanu

v(t)→ x(t), t→∞.

Rownosc (***) mozna przedstawic w postaci rownowaznej

(A0 B1) = HA(C0 C1). (∗ ∗ ∗∗)

19

Z powyzszych rozwazan wynika nastepujacy

Algorytm syntezy obserwatora stanu:

• wybrac elementy macierzy H tak, aby (a) macierz(H

C

)

by la macierza nieosobliwa, a macierz A0 mia la zadane wartosci w lasne

po lozone w lewej po lp laszczyznie zmiennej zespolonej,

• korzystajac z warunku

(C0 C1

)(HC

)= In,

obliczyc macierz (C0 C1):

(C0 C1) =

(H

C

)−1

,

• obliczyc macierze A0 i B1 z warunku

(A0 B1) = HA(C0 C1).

• wyznaczyc macierz B0 z rownania B0 = HB.

Przyk lad: wyznaczyc obserwator stanu dla uk ladu sterowania

x(t) =

(−2 1

0 −1

)x(t) +

(0

1

)u(t), y(t) =

(1 0

)x(t).

Przyjmujemy macierz H w postaci H = [h 1].Macierz(H

C

)=

(h 1

1 0

)

jest macierza nieosobliwa. Wobec tego obliczamy

(C0 C1) =

(H

C

)−1

=

(0 1

1 −h

)oraz

(A0 B1) = HA(C0 C1) = (h− 1,−h(h+ 1)), B0 = HB = (1).

20

Niech macierz A0 ma miec poszukiwana wartosc w lasna rowna -3. Uzysku-

jemy to dla h = −2. Macierze zwiazane z opisem obserwatora stanu przybiora

postac

H = (−2, 1), A0 = (−3), B0 = (1), B1 = (−2), CT0 = (0 1), CT

1 = (1 2),

a obserwator opisany jest rownaniami

z(t) = −3z(t) + u(t)− 2y(t), v(t) = (0 1)T z(t) + (1 2)Ty(t).

Obserwatory stanu dyskretnych uk ladow sterowania

Jesli w uk ladzie dyskretnym nie wszystkie zmienne stanu sa dostepne, to

mozna zaprojektowac obserwator stanu uk ladu dyskretnego.

u(k) y(k)-

Obiekt sterowania Obserwator stanuv(k)

--

-

?

x(k) z(k)

Dla uk ladow dyskretnych istnieje mozliwosc zaprojektowania obserwatora

stanu o skonczonym czasie trwania procesow przejsciowych (the deadbeat

observer). Z rownaniami dyskretnego uk ladu sterowania

x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k), y(k) = Cx(k)

wiazemy obserwator stanu uk ladu dyskretnego

z(k + 1) = A0z(k) +B0u(k) +B1y(k), v(k) = C0z(k) + C1y(k).

Jesli uda sie okreslic elementy macierzy rownan obserwatora tak, ze macierz

A0 bedzie l-nilpotentna tj. Al0 = 0, to b lad odtwarzania stanu bedzie zerowy

poczawszy od momentu l, gdyz

e(l) = Al0e(0) = 0.

21