2. Drgania swobodne belki zespolonej 2.1.Obliczeniowe modele cige Wpracach[6,15]przedstawionodwaobliczeniowemodelecige,zbudowane w oparciu o teori belki Eulera, przy wykorzystaniu zasady wariacyjnej Hamiltona [29]. Jakwczeniejwspomniano,wobydwupracachbdnieustalonoenergizuytna odksztacenieelementuzespalajcego,cospowodowao,euzyskanerwnaniaruchu byyniepoprawne.Zdecydowanosiwyprowadzipoprawnformobydwumodeli orazdodatkowostworzynowymodelopierajcysinateoriibelkiTimoshenki, spodziewajcsipoprawyuzyskiwanychwynikw.Odmiennieniwprzypadkuww. prac,wykorzystanowtymceluklasycznezasadymechanikitj.korzystanozrwna rwnowagi si dziaajcych na element belki o dugoci dx. 2.1.1. Modele wg teorii belki EuleraOpracowujc model drga swobodnych przyjto nastpujce zaoenia: (i) relacja pomidzynapreniamii odksztaceniamijestliniowazarwnowprzypadkustalowej belki,jakielbetowejpyty;(ii)elementyzespalajcetraktowanesjakoobustronnie utwierdzonebelkio dugocirwnejodlegocipomidzyrodkiemcikocipyty elbetoweja powierzchnipasagrnegobelkistalowej;(iii)dyskretnierozmieszczone elementyzespalajcezostanzastpionecigymzespoleniemorwnowanych parametrach;(iv) przekrjbelkijeststaynadugoci.Opracowywanemodelebd modelamipaskimi.Rozpatrywanewnichbddrganiawyczniewrodkowej paszczynie symetrii belek. Std te model ten umoliwia bdzie analizowanie jedynie postaci drga gitnych (pionowych) oraz drga osiowych belek. Drgania swobodne belki zespolonej 18 Przyjtyukadwsprzdnychorazoznaczeniaposzczeglnychprzemieszcze stalowejbelkiorazelbetowejpytypokazanonarys.2.1.Narysunkupokazano rwniepowikszeniefragmentupoczeniastalowejbelkiielbetowejpyty. Wymiary, ktre pokazano narys. 2.1b, ustalone zostay przy zaoeniu, e kty obrotu belki s mae. . 2usece1u12xya)

cex 1x 1sex 21 2u u x 2hb) Rys. 2.1. Model geometryczny belki zespolonej: a) szkic fragmentu belki zespolonej przed i po odksztaceniu oznaczenia przemieszcze, b) szczeg poczenia wymiary Jakpokazanonarys.2.1b,przyzaoeniurozdzielnociprzemieszcze pionowychstalowejbelki 2 ielbetowejpyty 1 ,rnicprzemieszczekocw elementuzespalajcegonakierunkurwnolegymdoosiodksztaconejbelkimona okrelizapomocwyraenia(2.1),natomiastnakierunkurwnolegymdoosixza pomoc wyraenia (2.2). |.|

\|++ =c sext x ext x t x u t x u t x) , ( ) , () , ( ) , ( ) , (1 21 2(2.1)|.|

\|+ =s hext x t x u t x u t x) , () , ( ) , ( ) , (21 2(2.2)Oglny model elementu zespalajcego zosta pokazany na rys. 2.2. Jak wida jest on poddawanyczteremprzemieszczeniom: poprzecznemu h, osiowemuv oraz ktom obrotunaobydwukocach1i 2. Siywzowe,jakiepowstajnakocachelementu od poszczeglnych przemieszcze zostay przedstawione na rys. 2.3.Zgodnie z zasad superpozycji,zsumowanoposzczeglnesiy,uzyskujcwtensposbzalenoci (2.3)(2.6)okrelajcecakowitesiypowstajcenakocachpojedynczegoelementu zespalajcego. Drgania swobodne belki zespolonej 19 212hv2 cT1 cT2 cN1 cN2 cM1 cMcL1 Rys. 2.2. Model odksztaconego elementu zespalajcego 211231c hL K121c hL K1cL121c hL K1261c hL K21 2261c hL K221c hL K2cL221c hL K2231c hL K21hcLh hK h hK h c hL K 21h c hL K 2121cLvv vK v vK Rys. 2.3. Siy wzowe wywoane poszczeglnymi przemieszczeniami Wceluuproszczeniazapisuniepokazano,efunkcjezaleodwsprzdnejxoraz czasut.Jeliniebdziepowiedzianeinaczej,uproszczonaformazapisubdzie stosowana w caej pracy. ( )hc h c hh c h c h c h cL K L KL K L K L K M 226 2161312 1222121+ + = + + = (2.3)( )hc h c hh c h c h c h cL K L KL K L K L K M 226 2131612 1222122+ + = + + = (2.4)( )h hc hh h c h c h c cKL KK L K L K T T + + = + + = =2 1 2 1 2 12 2121 (2.5)v v c cK N N = =2 1(2.6)Drgania swobodne belki zespolonej 20 W celu stworzenia obliczeniowego modelu cigego, konieczna jest zamiana dyskretnie rozmieszczonychelementwzespalajcychnazespoleniecige.Przyzaoeniu,e mamydoczynieniazrwnomiernieidostateczniegstorozmieszczonymielementami zespalajcymi,sztywnozespoleniacigegomonawyznaczydzielcsztywno elementu zespalajcego przez odlego pomidzy elementami. dKkhh=dKkvv= (2.7)Ostatecznie, wyraenia na siy powstajce w zespoleniu mona przedstawi w postaci: ( )hc h c hcL k L km 2262 121+ + = (2.8)( )hc h c hcL k L km 2262 122+ + = (2.9)( )h hc hc ckL kt t + + = =2 1 2 12 (2.10)v v c ck n n = =2 1(2.11)Narys.2.4pokazanyzostaodksztaconyelementbelkizespolonejodugocidxoraz dziaajcenaniegosiyustalonezgodniezteoribelkiEulera,ktrapomijawpyw naprepochodzcychodsitncychorazwpywsibezwadnociwruchu obrotowym.Jakwida,elementtenzostapodzielonynatrzyczci:a)reprezentujc elbetowpyt,b)zespoleniecigeoraz,c)belkstalow.Fragmentzespolenia cigegozostaumowniepokazanyjakopojedynczyelementzespalajcy.Siy dziaajcenaelementpytyelbetowejorazbelkistalowejmonapodzielinatrzy grupy:(i)siyprzekrojowewystpujcepoobydwustronachwycitegofragmentu belki, (ii) siy pochodzce od zespolenia, ktre rozoone s na caej dugoci elementu dx,jednakeumowniepokazanezostayjakosiyskupioneprzyoonenakocach elementuzespalajcegooraz(iii)siybezwadnociruchuposuwistego,rwnie umownie pokazane w postaci si przyoonych do rodkw cikoci pyty i belki. Siy bezwadnocizostayustalonezgodniezzasaddAlemberta[1]jakosiyzewntrzne o zwrocieprzeciwnymdozwrotuprzyspieszeniaelementu.Takwydzielonyelement musipozostawawrwnowadzepodwpywemww.si.Rwnaniarwnowagisi dziaajcychnafragmentreprezentujcypytelbetowibelkstalow,przy pominiciunieskoczeniemaychwyrazwwyszegorzdusnastpujce(jelinie bdziepowiedzianeinaczej,wyrazywyszychrzdwbdpomijanetakewdalszej czci pracy): Drgania swobodne belki zespolonej 21 a) pyta elbetowa b) zespolenie

c) belka stalowa

1 ct2 ct1 cm2 cm1 cn2 cncecexd1 cm1 ct1 cn2 ct2 cm2 cnse2 2dN N+2 2dT T+2 2dM M+2M2T2N2222 2tA 2222 2tuAxd2121 1tA 2121 1tuA1 1dN N+1 1dT T +1 1dM M+1T1N1Mx 1x 2 Rys. 2.4. Element belki zespolonej teoria belki Eulera Drgania swobodne belki zespolonej 22 suma si na kierunku osi x 02121 1 11= +tuA txNc02222 2 22= tuA txNc (2.12)suma si na kierunku osi y 02121 1 11= tA nxTc 02222 2 22= +tA nxTc (2.13)suma momentw zginajcych 01 11= +T mxMc02 2 22= + +T m e txMc s c(2.14)Jakzaznaczononapocztkuniniejszegorozdziau,woparciuoteoribelki Eulera,wyprowadzonezostandwamodeleobliczeniowe.Pierwszy,wktrym zaoonazostanienieskoczenieduasztywnoosiowaelementwzespalajcychKv, nazywany bdzie w dalszej czci pracymodelem Eulera-1. Drugi, ktryuwzgldnia bdzie osiow sztywno zespolenia, nazywany bdzie modelem Eulera-2. Z zaoenia nieskoczenie duej sztywnoci osiowej zespolenia Kv, w przypadku modeluEulera-1,wynikatosamoprzemieszczepoprzecznychstalowejbelki i elbetowej pyty. 2 1(2.15)Z powyszego zaoenia wynika rwnie, e 02 1= = (2.16)Abyokrelisiypochodzceodzespoleniaprzyjto,e:(i)dugoelementu zespalajcegoLcrwnajestodlegociec,(ii)ktyobrotwnakocachelementw zespalajcych rwne s ktowi obrotu belki. x = = 2 1 (2.17)Podstawiajcrwnania(2.2),(2.16)i(2.17)dorwna(2.8)(2.11)uzyskamy wyraenia na siy powstajce w zespoleniu. |.|

\|+ =|.|

\|+ += = exu ue kexu ue kxe km mc hsc h c hc c 1 2 1 222 12 2 2 (2.18)|.|

\|+ =|.|

\|+ += = exu u k exu u kxe k t th s h c h c c 1 2 1 2 2 1 (2.19)02 1= =c cn n (2.20)Drgania swobodne belki zespolonej 23 RelacjepomidzysiamiprzekrojowymiMi,Niaprzemieszczeniamiui,vimona zapisa jako: 22xJ E Mii i i =2 , 1 = i (2.21) xuA E Nii i i= 2 , 1 = i (2.22)Ostatecznie, podstawiajc zalenoci (2.18)(2.22) do rwna rwnowagi (2.12)(2.14) orazdokonujcodpowiednichprzeksztaceotrzymamyukadtrzechrwna rniczkowychczstkowychstanowicychrwnaniaruchudrgaswobodnychbelki zespolonej. 02121 1 1 2 2121 1=|.|

\|+ +tuAxe u u kxuA Eh(2.23)02222 2 1 2 2222 2=|.|

\|+ tuAxe u u kxuA Eh(2.24)( ) ( ) 0222 2 1 1 221 2442 2 1 1=+ ||.|

\|+++ tA Axexuxue kxJ E J Eh (2.25)Rwnania(2.23)i(2.24)tobezporednieprzeksztacenierwna(2.12),natomiast rwnanie(2.25)tokompilacjarwna(2.13)i(2.14),dokonanazewzglduna tosamo przemieszcze poprzecznych pyty elbetowej i belki stalowej, opisywanych zapomocjednejzmiennej.Analizujcpowyszerwnaniamonazauway,e mamy tutaj do czynienia ze sprzeniem drga osiowych i poprzecznych. Sprzenie to zanikawtedyitylkowtedy,gdysztywnozespoleniakhjestzerowa,lubodlego e pomidzy rodkami cikoci pyty i belki wynosi zero. Przyjtypowyejsposbopisuzespoleniarnisiodpodejciazazwyczaj spotykanegowliteraturze.Wmodeluprzedstawionympowyej,zespoleniezastpione zostao rwnomiernie rozoonymi siami poziomymi tc, pionowymi nc oraz momentami zginajcymimcprzyoonymidogrnejpowierzchnibelkistalowej,orazdorodka cikocipytyelbetowej.Natomiastwwikszocipraczespoleniezastpowanejest w uproszczonysposb,jakorwnomiernierozoonesiypoziometcipionowenc, przyoonedogrnejpowierzchnibelkistalowejorazdodolnejpowierzchnipyty elbetowej.Jednake,monaatwodowie,eobydwasposobymodelowania,mimo iwinnysposbrozpatrujoddziaywaniezespolenianaczstalowielbetow belki,dajwprzypadkumodeluEulera-1tesamerwnaniaruchu.Zastosowanie Drgania swobodne belki zespolonej 24 bardziej zoonego modelu zespolenia, bdzie przydatne w dalszych rozwaaniach nad modelemEulera-2,orazmodelemtworzonymwoparciuoteoribelkiTimoshenki, w ktrychprzemieszczeniapoprzecznepytyelbetowejistalowejbelkitraktowane bd niezalenie. Abyrozwizaukadrwna(2.23)(2.25),koniecznejestnarzucenie odpowiednichwarunkwbrzegowych.Wpracyzdecydowano,ezarwnorozwaania teoretyczne, jak i pniejsze badania dowiadczalne zostan przeprowadzone dla belek o schemaciebelkiswobodnej.Moliwymprzeztostaniesipominieciewpywu podatnocipodprnauzyskiwanewynikibadaianalizteoretycznych.Warunkami brzegowymidlabelkiswobodnejjestzerowaniesisiwewntrznychnajejkocach, czyli dla x=0 oraz dla x=L. ( ) 0222 2 1 1=+ =xJ E J E M(2.26)0 ) (22 1 332 2 1 1=+ + + =xe k eu k eu kxJ E J E Th h h (2.27)0 ==xuA E Nii i i2 , 1 = i (2.28)Model Eulera-2 zosta opracowany w analogiczny sposb. Uwzgldniona w nim zostaaskoczonawartoosiowejsztywnocielementwzespalajcychKv. Przemieszczeniapoprzecznestalowejbelki 2 ielbetowejpyty 1 traktowanes zatemniezalenie.Rnicapomidzyosiowymiprzemieszczeniamikocwelementu zespalajcego , opisana za pomoc wyraenia (2.16), jest zatem wielkoci rn od zera.Ktyobrotunakocachelementusrwnektomobrotu,odpowiedniostalowej belki i elbetowej pyty. x =11x =22 (2.29)Ostatecznie,korzystajctakjakpoprzedniozrwna(2.2),(2.16),(2.29)oraz(2.8)(2.11), ustalone zostay, pokazane poniej, wyraenia na siy w zespoleniu. |.|

\|+ +|.|

\|+=sc h c hcexu ue kx xe km21 22 121226 (2.30)|.|

\|+ +|.|

\|+=sc h c hcexu ue kx xe km21 22 122226 (2.31)Drgania swobodne belki zespolonej 25 |.|

\|+ +|.|

\|+= =s hc hc cexu u kx xe kt t21 22 12 12 (2.32)( )2 1 2 1 = =v c ck n n (2.33)Uwzgldniajcpowyszerwnania,zalenociopisujcerelacjepomidzysiami przekrojowymiaprzemieszczeniami(2.21)(2.22)orazrwnaniarwnowagi (2.12)(2.14),uzyskujemyczteryrwnaniarniczkoweczstkowe,bdce rwnaniami ruchu drga swobodnych modelu Eulera-2. 022121 12 1 21 2 2121 1=((

|.|

\|+++ +tuAx xeexu u kxuA Ecs h (2.34)022222 22 1 21 2 2222 2=((

|.|

\|+++ tuAx xeexu u kxuA Ecs h (2.35)( ) 02262121 1 2 12221 2222212 24141 1= ((

||.|

\|++||.|

\|++tA kex xuxu ex xekxJ Evsc ch (2.36)( ) 022262121 1 2 1 2222122221 22221 2222212 24242 2= +((

||.|

\|++||.|

\|++((

||.|

\|++||.|

\|++tA kx xeex xuxue kex xuxu ex xekxJ Evcs s hsc ch (2.37)Czteryrwnaniasefektemoddzielnegotraktowaniaprzemieszczepoprzecznych stalowej belki i elbetowej pyty. Warunkami brzegowymi, podobnie jak wczeniej, jest zerowanie si si wewntrznych na kocach pyty elbetowej i belki stalowej, czyli dla x=0orazdlax=L.Momentyzginajceisiytncewbelceipycie,odmiennieni w przypadku modelu Eulera-1, traktowane s oddzielnie. 022= =xJ E Mii i i2 , 1 = i (2.38)022621 22 123131 1 1=|.|

\|+ +|.|

\|++ =sc h c hexu ue kx xe kxJ E T (2.39)0222621 22 121 22 123232 2 2=((

|.|

\|+ +|.|

\|++|.|

\|+ +|.|

\|++ =s hc hssc h c hexu u kx xe keexu ue kx xe kxJ E T (2.40)Drgania swobodne belki zespolonej 26 0 ==xuA E Nii i i2 , 1 = i (2.41)Sposb rozwizania obydwu przedstawionych powyej modeli obliczeniowych zostanie zaprezentowanywdalszejczcipracypodczasomawianiasposoburozwizywania modelu opracowanego wg teorii belki Timoshenki. 2.1.2. Model wg teorii belki Timoshenki WmodelachobliczeniowychopierajcychsinateoriibelkiEulera,pominity zostawpywnaprepochodzcychodsitncychorazwpywsibezwadnoci w ruchuobrotowym.Przywyszychpostaciachdrgawasnych,gdzieodlego midzywzamipostacidrgajestniewielkawstosunkudowymiarwpoprzecznych belki,pominicietychwpywwmoepowodowaznacznebdy[10].Analiza uwzgldniajca ww. wpywy nazywana jest analiz drga belki Timoshenki. Rys.2.5przedstawiaodksztaconyelementbelkizespolonejodugocidxoraz dziaajcenaniegowtymstaniesiy.Uwzgldnionenanimzostayodksztacenia postaciowe. S one mierzone urednion wartoci kta odksztacenia postaciowego i. Wefekcieuwzgldnieniatychodksztace,przekrojestalowejbelkiielbetowejpyty pozostaj paskie, jednake nie s one prostopade do osi odksztaconego elementu. Siy bezwadnociruchuobrotowegosfunkcjurednionegoktaobrotuprzekrojui. Rwnaniarwnowagisi,oddzielnedlaelementureprezentujcegostalowbelk i elbetow pyt, przedstawiaj si nastpujco: suma si na kierunku osi x 02121 1 11= +tuA txNc02222 2 22= tuA txNc (2.42)suma si na kierunku osi y 02121 1 11= tA nxTc 02222 2 22= +tA nxTc (2.43)suma momentw zginajcych 02121 1 1 11=+ +tJ T mxMc 02222 2 2 2 22=+ + +tJ e t T mxMs c c (2.44)Przemieszczenia, jakim poddawany jest element zespalajcy, potrzebne do wyznaczenia si powstajcych w zespoleniu, mona przedstawi jako: ( )2 1 =v,( )s he u u2 1 2 + = , x

=11 , x

=22 (2.45)Drgania swobodne belki zespolonej 27 a) pyta elbetowa b) zespolenie c) belka stalowa 2 ct2 cm2 cnse2 2dN N+2 2dT T+2 2dM M+2M2T2N2222 2tJ 2222 2tA 2222 2tuAxdx 2221 ct2 ct1 cm2 cm1 cn2 cncecexd1 cm1 ct1 cn2121 1tJ 2121 1tA 2121 1tuA1 1dN N+1 1dT T+1 1dM M+1T1N1Mx 111 Rys. 2.5. Element belki zespolonej teoria belki Timoshenki Drgania swobodne belki zespolonej 28 Siypowstajcewzespoleniu,wyliczonenapodstawieprzemieszcze(2.45), przedstawiaj si nastpujco: ( )sc h c hceu ue kx

x e km2 1 22 121226+ +|.|

\|+=(2.46)( )sc h c hceu ue kx

x e km2 1 22 122226+ +|.|

\|+= (2.47)||.|

\|+|.|

\|++ = =s c h c ceex

x

u u k t t22 11 2 2 121(2.48)( )2 1 2 1 = =v c ck n n (2.49)Relacjepomidzysiamiprzekrojowymi:Mi,Ti,Niaprzemieszczeniami:osiowymui, poprzecznym vi, oraz urednionym ktem obrotu przekroju i. mona zapisa jako: xJ E Mii i i =2 , 1 = i (2.50) |.|

\|=iiii iixA GT 2 , 1 = i(2.51) xuA E Nii i i=2 , 1 = i (2.52)Podstawiajcrwnania(2.46)(2.52)dorwnarwnowagi(2.42)(2.44),po dokonaniuodpowiednichprzeksztaceuzyskujemyukadszeciurwnaruchu, opisujcy drgania swobodne belki zespolonej. 0212121 1 22 11 2 2121 1=||.|

\|+|.|

\|++ +tuA eex

x

u u kxuA Es c h (2.53)0212222 2 22 11 2 2222 2=||.|

\|+|.|

\|++ tuA eex

x

u u kxuA Es c h (2.54)( ) 02 11 1121211 1 1212= A Gkt G x xv(2.55)( ) 02 12 2222222 2 2222= + A Gkt G x xv(2.56)( )02262121 1 1111 12 1 22 122121 1=+|.|

\|+ +|.|

\|++tJxA Geu ue kx

x e kxJ Esc h c h (2.57)Drgania swobodne belki zespolonej 29 ( ) 02 26 212222 2 2222 22 1 22 1222 11 2 2222 2=+|.|

\| + +|.|

\|++||.|

\|+|.|

\|++ +tJxA Geu ue kx

x e ke eex

x

u u kxJ Esc hc hs s c h (2.58)Powyszymodelmatematycznywdalszejczcipracynazywanybdziemodelem Timoshenki.Warunkibrzegowedlapowyszegomodelu,ustalonetakjakpoprzednio przy zaoeniu schematu belki swobodnej, przedstawiaj si nastpujco: 0 = =xJ E Mii i i 2 , 1 = i ;L x , 0 = (2.59)0 =|.|

\|=iiii iixA GT 2 , 1 = i ;L x , 0 =(2.60)0 ==xuA E Nii i i2 , 1 = i ;L x , 0 = (2.61)Rozwizanieanalityczneprzedstawionychpowyejtrzechmodeli matematycznych byoby bardzo skomplikowane. Zdecydowano si wic na rozwizanie numeryczne.Tokpostpowaniazostanieprzedstawionynaprzykadziemodelu Timoshenki. W przypadku obydwch modeli Eulera sposb rozwizania jest taki sam. Poniewaprzemieszczeniazalezarwnoodwsprzdnejxjakiodczasut, w celu rozwizania ukadu zaoono separacj zmiennych: t x u t x ui i sin ) ( ) , ( = 2 , 1 = i (2.62)t x t xi i sin ) ( ) , ( = 2 , 1 = i (2.63)t x t xi i sin ) ( ) , ( = 2 , 1 = i (2.64)Uwzgldniajc powysze rwnania, ukad rwna (2.53)(2.58) przyjmie posta: ( ) 021121 1 2'2'1 1 2' '1 1 1= +|.|

\|+ + + + u A ee u u k u A Es c h (2.65)( ) 021222 2 2'2'1 1 2' '2 2 2= +|.|

\|+ + + u A ee u u k u A Es c h (2.66)( ) 02 11 111211 1 '1' '1= + A GkGv (2.67)( ) 02 12 222222 2 '2' '2= + + A GkGv (2.68)( ) ( ) ( ) 0226121 1 1'111 12 1 2'2'12' '1 1 1= + + + + J A Geu ue k e kJ Esc h c h(2.69)Drgania swobodne belki zespolonej 30 ( ) ( ) ( )( ) 021 2262'2'1 1 2222 2 2'222 22 1 2'2'12' '2 2 2=|.|

\|+ + + + + + + s s c hsc h c he ee u u kJ A Geu ue k e kJ E (2.70)Otrzymalimywtenukadrwnarniczkowychzwyczajnychostaych wspczynnikach. Przyjmujc rozwizania szczeglne ukadu w postaci xe w x u1 1) ( =xe w x u2 2) ( = (2.71)xe w x3 1) ( =xe w x4 2) ( = (2.72)xe w x5 1) ( =xe w x6 2) ( = (2.73)rwnania (2.65)(2.70) przyjm posta ( ) ( ) ( ) 02 26 5 4 221 121 1 1=|.|

\|+|.|

\|+ + + + c h c hs h h he kwe kw e k w k w A k A E w(2.74)( ) ( ) ( ) 02 26 5 422 222 2 2 1=|.|

\| +|.|

\| + + + + c h c hs h h he kwe kw e k w A k A E w k w(2.75)( ) 01 1161 11 211 1 25 3=||.|

\|+||.|

\| + + A Gk KwA Gk KGKw wv v (2.76)( ) 02 22 222 2 262 225 4=||.|

\| + +||.|

\|+ A Gk KGKwA Gk Kw wv v (2.77)06 3 2 2 22611 125411 1 21 121 1 3 2 1=||.|

\| +||.|

\|+ +|.|

\| +||.|

\| + +|.|

\| +|.|

\| c h c hs c h c h c he kwKA G e kwe e kwKA GJ J E we kwe kw (2.78)02 3 6 2 2 222 22625222 2 22 222 2 4 2 1=||.|

\| + +||.|

\| +||.|

\| + +|.|

\| +|.|

\|+ s c h c h c h s c hs hc hs hc hs he e kKA G e kwe k e e kwe kKA GJ J E we ke k we ke k w (2.79)ktre mona przedstawi rwnie w zapisie macierzowym jako: 0 ) ( = w A (2.80)MacierzAjestmacierzcharakterystycznukadu(2.74)(2.79).Ukadtenposiada rozwizanieniezerowe,wtedyitylkowtedy,gdywyznacznikmacierzy charakterystycznej,nazywanyrwnierwnaniemcharakterystycznymukadu, przyjmuje warto zero. 0 det ) ( = = A p (2.81)Drgania swobodne belki zespolonej 31 RwnanietoposiadawprzypadkumodeluTimoshenkidwanaciepierwiastkw charakterystycznychi(wprzypadkumodeluEulera-1jesttoosiempierwiastkw a w przypadkumodeluEulera-2dwanacie).Przyjmujonewartocirzeczywistelub zespoloneizawszesparamisprzone.Jelipierwiastekjestrzeczywistytozarwno odpowiadajcymuwektorcharakterystyczny( )i i i i i i iw w w w w w, 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1, , , , = w ,acoza tym idzie rwnie rozwizania szczeglne (2.71)(2.73) s rzeczywiste. Jeli natomiast pierwiastekjestzespolony,takiesameswektorirozwizania.Sumarozwiza szczeglnychpomnoonychprzezstaeCijestrozwizaniemoglnympowyszego ukadu rwna.==121, 1 1) (ixi iie w C x u

==121, 2 2) (ixi iie w C x u (2.82)==121, 3 1) (ixi iie w C x==121, 4 2) (ixi iie w C x(2.83)==121, 5 1) (ixi iie w C x ==121, 6 2) (ixi iie w C x (2.84)Zespoloneczonypowyszegorozwizaniaoglnego,bdcerozwizaniami szczeglnymiodpowiadajcyminierzeczywistympierwiastkomcharakterystycznym, naley przeksztaci do postaci rzeczywistej. Zamy, e mamy do czynienia z dwoma sprzonymi pierwiastkami zespolonymi: jq p + =1 jq p =2 q p, ;1 = j (2.85)oraz odpowiadajcymi im zespolonymi wektorami: h g w j + =1h g w j =2 h g, (2.86)Sumaodpowiadajcychimrozwizaszczeglnychpodzielonaprzez2,orazich rnica podzielona przez 2i daj dwa rzeczywiste rozwizania szczeglne [44]. ) sin cos ( ) (1qx qx e xpxh g f = ) cos sin ( ) (2qx qx e xpxh g f + = (2.87)Dokonujcpowyszegoprzeksztaceniasprowadzamyrozwizania(2.82)(2.84)do postaci rzeczywistej. Dwanacie staych Ci okrela si poprzez uwzgldnienie dwunastu warunkwbrzegowych(2.59)(2.61),ktrepozastosowaniumetodyseparacji zmiennych oraz usuniciu staych, mona zapisa jako: 0 ) ( = xi 2 , 1 = i ;L x , 0 = (2.88)0 ) ( ) ( = x xi i 2 , 1 = i ;L x , 0 = (2.89)0 ) ( = x ui 2 , 1 = i ;L x , 0 = (2.90)Drgania swobodne belki zespolonej 32 Podstawiajcrzeczywisterozwizaniaoglneukadudopowyszychwarunkw brzegowychuzyskamyukaddwunasturwna,ktrymonaprzedstawiwzapisie macierzowym jako: 0 ) ( = C M (2.91)Czstotliwocidrga,ktrezerujwyznacznikmacierzyM,s czstotliwociami drga wasnych nietumionych analizowanej belki zespolonej. Kadej takiej czstotliwoci odpowiada wektor staych C, ktrego podstawienie do rozwizania oglnegodajewefekciepostadrgawasnychoczstotliwoci.Okrelanie czstotliwocizerujcychwyznacznikdetMzacznaleyodprzyjciaczstotliwoci pocztkowejs,kocowejk,orazprzyrostu.Zaczynajcodczstotliwocis, z krokiem,koczcnak,obliczasiwartociwyznacznikadetM.Nastpnie analizuje si zbir uzyskanych wynikw poszukujc dwch kolejnych czstotliwoci i orazi+,dlaktrychwartowyznacznikazmieniaznak.Wartoczstotliwoci zerujcejwyznacznikokrelanostosujcinterpolacjliniow.Poutworzeniuzbioru czstotliwociwasnychznajdujcychsiwanalizowanymzakresieczstotliwoci, rozwizujesirwnanie(2.91),auzyskanywektorstaychCumoliwiaokrelenie postaci drga wasnych odpowiadajcych kolejnym czstotliwociom. 2.2.Obliczeniowe modele dyskretne Wpodrozdziale2.1przedstawionorozwizaniezagadnieniadrgaswobodnych belekzespolonychprzywykorzystaniuobliczeniowychmodeliocigymrozkadzie masyoraznieskoczeniewielkiejliczbiestopniswobody.Rozwizaniepowyszego zagadnieniajestjednak,zewzgldunajegozoono,dosypracochonne,przezco nie nadaje si do rozwizywania bardziej zoonych konstrukcji inynierskich. Pozwala onojedynieuzyskawynikidlaprostychmodeli,ktremogbynastpnie wykorzystanedosprawdzeniapoprawnocirozwizamodelioskoczonejliczbie stopniswobodyuzyskanychwwynikudyskretyzacji.Procesdyskretyzacjijestistot metodyelementwskoczonych.Wniniejszympodrozdzialeprzedstawionezostan podstawowezaoeniametodysztywnychelementwskoczonychSESoraz odksztacalnychelementwskoczonychOES.Opisanyzostanierwnie zastosowanywobydwumetodachsposbmodelowaniabelekzespolonych z odksztacalnym zespoleniem. Drgania swobodne belki zespolonej 33 2.2.1. Paski model metody SES Metodasztywnychelementwskoczonychpoleganapodzialerzeczywistych ukadwkonstrukcyjnychnanieodksztacalnebryysztywneelementyskoczone (SES),ktrepoczonesmidzysobelementamisprysto-tumicymi(EST). SposbczeniaSESza pomocESTjestdowolny.Podstawyteoriiorazszczegowy opis tworzenia modeli obliczeniowych opisane zostay midzy innymi w [37]. BudowmodelumetodySESwprzypadkucigychfragmentwkonstrukcji, jakimi s analizowane belki zespolone, naleyrozpocz od podziau belki na odcinki. Wmiarmoliwocidobrzejest,jelidokonanyzostaniepodzianaodcinki o jednakowychdugociach.Przykadowysposbpodziaubelkizespolonejodugoci Lnanodcinkwodugocin L L / = orazprzyjtydlatakiegopodziaumodelSES, pokazany zosta na rys. 2.6. ecs eesecL LLL/2 L/2L/2L/4 L/4 L/2LL/4L/2L/4 L/2yza)x3n+1543768653n-23n-3 3n3n-1 3n+23n+3 LLLb)142213 Rys. 2.6. Belka zespolona: a) podzia belki na n odcinkw (w zaznaczonych punktach skupiane s wasnoci spryste odcinkw belki); b) podzia belki na sztywne elementy skoczone. Zaprezentowanysposbpodziaubelkinadowolnliczbodcinkworwnych dugociach moliwy jest tylko w przypadku belek o cigym zespoleniu, np. w postaci perforowanych listew stalowych rozmieszczonych na caej dugoci pasa grnego belki stalowej. W przypadku belek z dyskretnie rozmieszczonymi elementami zespalajcymi, np.wpostacistalowychkokw,podziabelkibdzieuwarunkowanygstociich rozmieszczenia.Drgania swobodne belki zespolonej 34 KadySEScharakteryzowanyjestpoprzezmasyimasowemomenty bezwadnoci,natomiastESTprzezwspczynnikisztywnociitumienia. CharakterystykiESTprzyjmujesijakoliniowe.Blokwspczynnikwbezwadnoci opisujcy SES o numerze r jest macierz diagonaln o postaci [ ] r rm diag = M 6 ,..., 2 , 1 = (2.92)PierwszetrzywyrazypowyszejmacierzyrwnesmasieSES,pozostaetrzys masowymimomentamibezwadnociSESwzgldemosix,y,z.Powyszyblokmoe zostauproszczonywprzypadkurozpatrywaniaukadwpaskich.Jeliruchodbywa si na paszczynie x-y, to przyjmuje on posta [ ]6 2 1, , diagr r r rm m m = M (2.93)natomiast poszczeglne czony powyszego bloku wyrazi mona w postaci ((

||.|

\|+ =AJ LL A L A L Azr12, , diag2 M(2.94)gdzie: gsto masy materiau SES, A pole przekroju poprzecznego, Jz moment bezwadnoci wzgldem osi z. KadyESTopisywanyjestwoglnymprzypadkuzapomocbloku wspczynnikwsztywnociorazblokuwspczynnikwtumienia.Definiowanie blokuwspczynnikwtumienianiejestkoniecznewprzypadkurozwizywania zagadnieniadrgaswobodnych.BlokwspczynnikwsztywnociESTonumerze k przyjmuje posta macierzy diagonalnej [ ] k kc diag = C 6 ,..., 2 , 1 = (2.95)Pierwszetrzywyrazypowyszejmacierzyswspczynnikamisztywnoci translacyjnejnakierunkachosix,y,z,pozostaetrzynatomiastwspczynnikami sztywnocirotacyjnejnakierunkachosix,y,z.Rwnietenblokupraszczasiw przypadku rozwaania ukadu paskiego, w ktrym ruch odbywa si na paszczynie x-y [ ]6 2 1, , diagk k k kc c c = C (2.96)W proponowanym modelu bdziemy mieli do czynienia z trzema rodzajami EST: (i) EST skupiajce wasnoci spryste poszczeglnych odcinkw pyty elbetowej oraz belki stalowej, (ii) EST reprezentujce elementy zespalajce, (iii) EST czce kocowe Drgania swobodne belki zespolonej 35 SESbelkistalowejzostojamiznajdujcymisinakocachbelek.WprzypadkuEST pierwszegorodzajuwartociwspczynnikwblokusztywnociokrelasi w nastpujcy sposb: ((

=LEJLGALEAzk, , diagC(2.97)gdzie: E modu Younga, G modu odksztacenia postaciowego, wspczynnik uwzgldniajcy nierwnomierny rozkad napre stycznych. WspczynnikisztywnocitranslacyjnejdlaESTopisujcychzespolenie odpowiadaybdsztywnocinacinanieKhorazsztywnociosiowejKvelementw zespalajcych.Wspczynnikisztywnocirotacyjnejwtymprzypadkumajwarto zerow. BlokwspczynnikwsztywnocidlaESTczcychbelkzostojamibdzie zerowywprzypadkuanalizowaniabelekoschemaciebelkiswobodnej.Wprzypadku analizowaniabelkioschemaciebelkiwolnopodpartejwspczynnikisztywnoci w owymblokuteoretycznieprzyjmowapowinnywartocinieskoczeniedue. Podawanie jednak takich wartoci nie jest korzystne ze wzgldu na dokadno oblicze numerycznych.Wpraktyce,przyjciedlatakiejpodporysztywnoci25razy wikszychnisztywnocitranslacyjneESTuzyskanychzpodziaubelkinaelementy dajewynikipraktyczniezgodnezwynikamiuzyskanymiprzyzaoeniu,epodpora jest nieodksztacalna [37]. PraktycznesposobytworzeniamacierzysztywnociKorazmacierzy bezwadnociMnapodstawieutworzonychwsposbprzedstawionypowyejblokw wspczynnikwbezwadnociorazblokwwspczynnikwsztywnocizostay szczegowo opisane w [37, 51]. Rwnanierniczkowedrgaswobodnych,uzyskanenapodstawieoglnego rwnaniarniczkowegoruchuprzypominiciuoddziaywazewntrznych dziaajcych na ukad, oraz przy pominiciu wpywu tumienia, mona zapisa jako: 0 Kq q M = +(2.98)gdzieqjestwektoremwsprzdnychuoglnionych.Rwnanietomonasprowadzi do formy wygodniejszej podczas oblicze numerycznych. Zakadajc, eDrgania swobodne belki zespolonej 36 q M 21=(2.99)2121 = KM M A(2.100)rwnanie (2.98) przyjmie posta 0 A= + (2.101)Jest to przeksztacone rwnanie rniczkowe drga swobodnych, w ktrym A jest przeksztaconmacierzsztywnoci.Powyszerwnaniejestukademrwna rniczkowych drugiego rzdu o staych wspczynnikach, ktrego rozwizanie mona przewidzie w postaci funkcji harmonicznych o czstoci i fazie pocztkowej ( ) + = t sin~(2.102)Podstawiajczaleno(2.102)dorwnania(2.101)uzyskujemyukadliniowych jednorodnych rwna algebraicznych wzgldem~ ( ) 0~2= I A (2.103)ktry posiada nietrywialne rozwizanie wtedy i tylko wtedy, gdy ( ) 0 det2= I A(2.104)Wartocii2,ktrezerujpowyszywyznacznik,skwadratamiczstoci koowychdrgawasnych.Liczbamoliwychdowyznaczeniaczstociiodpowiada liczbiestopniswobodyrozpatrywanegoukadu.Czstodrgawasnychstopnia i wyznacza si z zalenoci 2iif =[Hz] (2.105)KadejwartociwasnejmacierzyAodpowiadawektorwasny~,bdcy nietrywialnymrozwizaniemukadurwna(2.101).Wykorzystujczaleno(2.99) mona na podstawie wektorw wasnych macierzy A wyznaczy wektory postaci drga, odpowiadajcychkolejnymczstociomdrgawasnych.Wektorpostacidrga odpowiadajcy czstoci drga stopnia i wyznacza si wg wyraenia i i M q~~21=(2.106)Wcelurozwizaniapowyszegozagadnienianapisanyzostaprogram w rodowiskuprogramowaniaMATLAB[9,32,66].Programtenumoliwiakontrol Drgania swobodne belki zespolonej 37 wszystkich parametrw opisujcych belk, jak rwnie podzia belki na dowoln liczb odcinkw. DokadnorozwizauzyskiwanychmetodSESzaleyodgstoci zastosowanegopodziaunaSES.Wpracy[37]przedstawionoporwnanie czstotliwocidrgawasnychswobodnejbelkipryzmatycznejoprzekroju prostoktnym,obliczonychmetodSESinapodstawieanalitycznychzalenociwg teoriibelkiTimoshenki.Z porwnaniawynikao,ejuprzypodzialena10SESbd w wyznaczeniu pierwszych czterech czstotliwoci drga wasnych nie przekracza 1%, aprzypodzialena20SESbdtennieprzekracza1%dlapierwszychdziewiciu czstotliwocidrga.Pokazanezostaorwnie,euzyskiwanemetodSESwyniki asymptotyczniezbliajsidocisychrozwizaanalitycznych,wrazzewzrostem gstocipodziaubelki.Poniewadostpnaliteraturaniepodaje,jakiesszacunkowe bdyobliczanychmetodSESczstocidrgawprzypadkubelekzespolonych, zdecydowanosinaprzeprowadzenieanalizymajcejnaceluichokrelenie.Analiz przeprowadzono przy nastpujcych zaoeniach: (i) przyjto schemat belki swobodnej; (ii)przekrjbelkijeststaynadugoci;(iii)zespoleniecigeostaychwasnociach wzduosibelki;(iv)belkadzielonajestnanodcinkwostaejdugoci(patrzrys. 2.6).Zakadajc,epodobniejakwprzypadkubelekpryzmatycznychoprzekroju prostoktnymuzyskiwanewynikibdasymptotyczniezbliaysidorozwiza analitycznych, zdecydowano si wyniki analiz porwnywa z rezultatami otrzymanymi przy podziale belki na dostatecznie du liczb odcinkw.-5-4-3-2-105 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65n, %1 gitna2 gitna3 gitna4 gitna5 gitna1 osiowa Rys. 2.7. Odchyki oblicze czstoci drga wasnych belki zespolonej w zalenoci od gstoci podziau Drgania swobodne belki zespolonej 38 Poniewazmianyczstotliwocidrgaprzypodzialebelkinawikszni64 liczbodcinkwnieprzekraczaywartoci0,01%przyjtopodzianatakliczb odcinkw,jakopunktodniesieniadlapozostaychczstotliwoci.Rezultatyoblicze przedstawiono na rys. 2.7. Jak zostao pokazane na rysunku, ju przy podziale belki na okoo n=20 rwnych odcinkw,odchykaokreleniapierwszychpiciuczstocidrgawasnychgitnych nieprzekraczawartoci2%.Dlapodstawowejczstocidrgawasnychosiowych bardzo dobr zgodno uzyskuje si ju przy podziale belki na n=10 odcinkw. Biorc pod uwag otrzymane rezultaty przyjto, e w trakcie prowadzonychanaliz stosowany bdzie podzia belki na minimum 20 odcinkw.2.2.2. Przestrzenny model metody OES MetodaodksztacalnychelementwskoczonychOES,wskrcienazywana metodelementwskoczonych,jestmetodszerokostosowanwrnych zagadnieniachfizykiitechnikijuodkilkudziesicioleci.Zewzgldunajej powszechno,szerokiwybrsystemwobliczeniowychopierajcychsinaniejoraz cigydynamicznyrozwj,niesposbjejnieuwzgldniwtrakcieprowadzonych analiz.Niniejszyrozdziaopierasinazaoeniu,esemantykapojzwizanych z metodOES,takichjak:macierzesztywnoci,bezwadnoci,stopnieswobody, elementypowokowe,elementyobjtociowe,warunkibrzegoweiinnejest powszechnieznana.Z pozycjiliteraturowychzawierajcychpodstawowezaoenia, definicjeorazsposobyrozwizywaniazagadnieniawasnegowmetodzieOES,naley wymieni [5, 11, 35, 64, 74]. Niniejszy podrozdzia zawiera bdzie wycznie opis oraz podstawowezaoeniadokonywanepodczastworzeniaprzestrzennegomodelubelki zespolonej.Budow modelu oraz rozwizanie problemu wartoci wasnych zdecydowano si przeprowadziwprofesjonalnymsystemieobliczeniowymCOSMOS/Mfirmy StructuralResearchandAnalysisCorporation[12].Dyskretyzujcukadocigym rozkadziesztywnociicigymrozkadziemasynaleyzachowarwnowag pomidzyprostotmodelu,zapewniajcszybkooblicze,ajegozoonoci zapewniajc jak najlepsze odwzorowanie rzeczywistego obiektu. Bior powysze pod uwag zdecydowano si zastosowa omiowzowe elementy objtociowe (SOLID) do dyskretyzacjipytyelbetowejorazczterowzowegrubocienneelementypowokowe Drgania swobodne belki zespolonej 39 (SHELL4T)dodyskretyzacjidwuteownikastalowego.Wnawiasachpodanokodowe nazwystosowanewbiblioteceelementwsystemuCOSMOS/M[12].Elementytypu SOLIDposiadajpotrzytranslacyjnestopnieswobodynawze,natomiastelementy SHELL4Tpotrzytranslacyjneoraztrzyrotacyjnestopnieswobodywkadymwle. Na rys. 2.8a pokazano zdyskretyzowany przekrj belki zespolonej. Rys. 2.8. Przyjty sposb dyskretyzacji: a) belki zespolonej oraz szczegy dyskretyzacji zespolenia w postaci: b) stalowych kokw zespalajcych, c) stalowych listew perforowanych Jak wida, przy zastosowanym podziale, pomidzy wzami reprezentujcymi pas grnydwuteownikaadolnymiwzamipytyelbetowejwystpujedystans, wynikajcyzpoowygrubocipasagrnegoprofilustalowego.Sposbpoczenia wzw pasa grnego z elementami pyty elbetowej zaley od zastosowanego w belce rodzajuzespolenia.Naobecnymetapieprac,uwzgldniajcplanowanycyklbada, zdecydowanosizbudowadwaoddzielnemodelebelekzawierajce:(i)model zespoleniazapomocstalowychkokwzespalajcych,rozmieszczonychparami w rwnychodstpach;(ii) modelzespoleniazapomocperforowanychlistew stalowych.Sposbdyskretyzacjiwobydwuprzypadkachpokazanonarys.2.8b,c.Jak wida,wprzypadkuobydwutypwzespolenia,poczeniepomidzywzamipasa grnegoadolnymiwzamipytyelbetowejmodelowanozapomocelementw belkowych,ktrewbibliotecesystemuCOSMOS/MoznaczonesjakoBEAM3D. Elementyteposiadajposzestopniswobodynawze.Takichsamychelementw uyto podczas modelowania kokw zespalajcych w przypadku modelu z takim typem zespolenia.Perforowanlistwstalowzamodelowanozapomocelementw powokowych SHELL4T.Drgania swobodne belki zespolonej 40 Narys.2.9przedstawionowidokiaksonometryczneobydwumodeli.Wcelu pokazania sposobu modelowania zespolenia na rysunku nie pokazano czci elementw pyty elbetowej. a) b)Rys. 2.9. Aksonometryczny widok fragmentu modelu metody OES z zespoleniem w postaci: a) stalowych kokw zespalajcych, b) stalowych listew perforowanych Zarwnowprzypadkuczcistalowej,jakielbetowejorazzespolenia zastosowanoliniowo sprystymodelmateriauizotropowego.Wybrtakiego modelumateriauwprzypadkuelementwstalowychniewymagawyjanienia. Natomiastw przypadkupytyelbetowejwybrtenjestwpeniuzasadnionyze wzgldunaniskipoziomnapre,jakiwystpujepodczasbadamajcychnacelu ustaleniepodstawowychwaciwocidynamicznychkonstrukcji.Zastpczymodu sprystocipodunejpytyelbetowejbdzieuwzgldniawpywzastosowanego w niej zbrojenia podunego.Wielkociprzekrojowe(poleprzekrojuorazmomentybezwadnoci)elementw belkowychczcychpasgrnydwuteownikastalowegozdolnympoziomemwzw pyty elbetowej, ustalane bd na drodze identyfikacji. Jest to konieczne ze wzgldu na zastpczycharakterzaproponowanegomodeluzespolenia.Dlaelementwbelkowych, ktremodelujstalowekokizespalajceumieszczonewpycieelbetowej,wielkoci przekrojoweprzyjmowanebdzgodniezrzeczywistymiwymiaramigeometrycznymi kokw.Wprzypadkustalowychlistewperforowanychgrubostosowanych elementwpowokowychbdzieredukowanawstosunkudowymiarwrzeczywistych listwy.Redukcjataprzeprowadzonabdziezewzgldunaotworywystpujce w listwach, ktre nie s uwzgldniane w modelu.