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    R   ç ¥{xz_p^d¹ihP`wL \ \ X \ \ X \ \ X \ \ \ X \ \ X \ \ \ X \ \ \ X \ \ X  ²4°Ê¬R   ü ù~^}wxzfrh¤be_'xzs{od\¸Ëosrl)nod>P`|gxwt �`wpo^d  \ \ X \ \ \ X \ \ \ X \ \ X  ²w² ü

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  • ä ¶¢¶§�ªÅæåXRJTl¶¦ ²�¬ü   -   ç ]�sipP`w|ghxzs�_nodgsbefr`w^d>s�¢odZbed>frxz}z>tod>xzs  \ X \ \ X \ \ \ X \ \  Rw°Ê-ü   -   ü fr`kbv`w_yhd>t)brx©txod�^j`{htxwfr_`w|>hzt�"hIÌ`kfrh`w¸o^d>s+ù~^dg`c

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    ® Ƽc¾7pôÕ�Á 5^#H  ² fe`kxzs>ooh}zfe`cxzs{¨_no^brh}zfr`kxws  X \ \ X \ \ \ X \ \ X \ \ \ X \ \  RzR ü#H  R srxw_xzf à sr_yx'od}zfr`kxzs \ X \ \ \ X \ \ X \ \ \ X \ \ X \ \ \ X \ \  Rwçz°#H  ç ù~^}znotoxws�fe`cxzs� X \ \ \ X \ \ \ X \ \ X \ \ \ X \ \ X \ \ \ X \ \  Rwçzç#H  ü ¥{xztosbefino|g|>hzt»od\}wfe`kxws� X \ \ \ X \ \ X \ \ \ X \ \ X \ \ \ X \ \  Rwçʬ#H g# ¬�dgpofidgsrd>t)be`w|ghzt�od}zfr`kxzsA \ \ \ X \ \ X \ \ \ X \ \ X \ \ \ X \ \  R ü ç#H g#H  ² »dgoh`wt)brdnotP`'_`kbefih£~od\`w¨u`w|>dgto|>hj`ws  \ \ X \ \ \ X \ \  R ü ç#H g#H  R »dgoh`wt)brdnotP`'_`kbefih£~odhto|>hod>to|gh`ws1 X \ \ X \ \ \ X \ \  R ü -#H  - ¥©`w_yhtoxwsg|gh|>^xws©¨}zfr`kxzs|>xztodZ¦Hxzs' \ \ X \ \ \ X \ \ X \ \ \ X \ \  R ü¸L#H  -   ² ¥{xwtodZ¦Hhzt  \ \ \ X \ \ \ X \ \ X \ \ \ X \ \ X \ \ \ X \ \  R ü %#H  L fe`kxzs©dgno^dgfrh`wtoxws©¨¢P`w_yh^æbexwtoh`ktoxzsg   X \ \ \ X \ \ X \ \ \ X \ \  R # ü#H Ý% fe`kxzs©d>behl)nod>be`woxzs¨`k^}zxzfih¤be_'xod\~h ¹8È)sibrfe`� X \ \ X \ \ \ X \ \  R�-zç#H  ¬ É~fi¸�xz^d>s  \ X \ \ X \ \ \ X \ \ \ X \ \ X \ \ \ X \ \ X \ \ \ X \ \  R�- %#H  ¬   ² É�fr¸�xz^dgsod¸oËosrl)nod>P`¸ohtP`wfihxzs  \ \ \ X \ \ X \ \ \ X \ \  R L R#H  ¬   R É�fr¸�xz^dgsododg|>hsrhzt  \ \ X \ \ X \ \ \ X \ \ X \ \ \ X \ \  R L ç#H  ¬   ç É�fr¸�xz^dgs}zdgtdgfe`koxzfrd>s  \ X \ \ X \ \ \ X \ \ X \ \ \ X \ \  R LÊL#H  ²?° ¿~befixzs`wsip�dg|Zbexzsod^j`bed>xzfr`3d\}wfe`kxzs  \ \ \ X \ \ X \ \ \ X \ \  R % ²#H  ²z² ]K¹idgfi|gh|>hxzs  X \ \ X \ \ \ X \ \ \ X \ \ X \ \ \ X \ \ X \ \ \ X \ \  R % ç#H  ²ºR ]K¹idgfi|gh|>hxzsfidgsrndg^brxzs  \ \ X \ \ \ X \ \ X \ \ \ X \ \ X \ \ \ X \ \  R % ü² ˽tJ \ \ X \ \ \ X \ \ X \ \ \ X \ \ X \ \ \ X \ \  çz°Ê--   ç ¬�dg^j`k|ghxwtodgsd\d>l)noh«c`w^d>to|gh`� \ \ X \ \ X \ \ \ X \ \ X \ \ \ X \ \  çz°Ê--   ü ¬�dgpofidgsrd>t)be`w|ghzt�odfidg^j`k|ghxwtodgsN \ X \ \ X \ \ \ X \ \ X \ \ \ X \ \  çz°Ê¬-   ü   ² »dgoh`wt)brdbv`w¸^j`ws X \ \ \ X \ \ X \ \ \ X \ \ X \ \ \ X \ \  çz°Ê¬-   ü   R »dgoh`wt)brd}zfe`cxzsohfih}zh¤oxzs \ \ X \ \ \ X \ \ X \ \ \ X \ \  ç²?°-   ü   ç »dgoh`wt)brd_a`cbefrh|gd>s  \ \ X \ \ X \ \ \ X \ \ X \ \ \ X \ \  ç²z²-  g# ¥{^j`knosrnofr`ws�odnotP`'fidg^`w|ghzt  \ \ X \ \ X \ \ \ X \ \ X \ \ \ X \ \  ç²?ç-   - ¥{xztc¹int)bexwspP`kfr|gh`w^_'dgt)brdqxzfrod>tP`wxzs \ X \ \ \ X \ \ X \ \ \ X \ \  ç²�¬

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    I¡dg`w_xwsxwbefix»d¹idg_ypo^xpP`wfe``w|g^`wfe`wfq^xlt)brdgtood>_xwsXp�xwfxzfr_`od'notP`pofrxzp�xwsrh|>hwt�"^j`kspfrxzp�xzsih|>hxztod>s��+�P*9k�*8CE�O�01n�0�todgt3^j`~_yhsi_a`xwfr_`p∨¬p. á `~bv`k¸o^j`~od{«zdgfro`wyod©dgsibe`qxzfr_`~pofixzp�xzsih|ghxztP`k^

    p ∨ ¬p dgsK"

    p ¬p p ∨ ¬pI ú Iú I I

    ]�s�od>|ghfgo|>nP`w^l)nohdgf©pofixzp�xzsrh|ghztl)nodbrdgto}u`3^`xzfi_a`p ∨ ¬p srdgfr3«zd>frP`wdgfe`htood>p�dgtohd>t)bed>_d>t)brd\od>^«k`w^xzfod«zd>frP`w»lto}u`

    p.á `µxzfi_a`d^`wsypofixzp�xzsrh|ghxztodgs'«k`ä`µdgsibe`wfod>brdgfi_htP`wP`µp�xwf|>z_xNd>sibewtohsiponodgsbexzs»^xzs|>xztod>|>brh«zxzs {¬,∧,∨,⇒,⇔} , p�xzf^x´l

  • çw° ª/£ ä ¡¶~¦?Õ�̦R«¼å]§�ª/-:öÔ5� A ÷ B ���21sWE�2�DN=*2�¶(^� ��()�����A���A�21^*�,���� Q¶��1)���21n�����e�A*�N=k'�A×�16,��O���21 (¬A) ,

    (A ∧ B) , (A ∨ B) , (A ⇒ B) ÷ (A ⇔ B)

    ]�t^`�pofrw|>brh|g`�srdÌsrnod>^dgtXsrnopfrh_yhf^xzs¯pP`kfrgtubed>srhsdgt`wl)nod>^^xws¯|g`wsrxzsdgtX^xws¯lfr^xtox»sidypofixd`w_¸oh}%$odgo`w 'Hdg³o`w^j`wf~bv`w_¸ohgtÝlfrdg_yxzsd>t ^`ysrd>|g|>hzt ²  #frP`kJd^`xzfi_a` `w^©`wsih}ztP`kf«k`w^xzfidgsV¨F`Ý^`ws

    hsibrhtubv`ws«k`wfihj`w¸o^dgs\htu«zxz^n|gfe`kP`ws>  á `»bv`w¸^j`»od«zdgfiP`w´`ksrxhxztP`k^sidpnodgod�|gxztsibefinohf�sihsbedg_kbrh|4`k_ydgt)brd`pP`wfbehf�odg^opofrxdgoh_hdgtubexd>_p^d4`kox'pP`kfe`3|gxztsibefinohfoh|v¢P`xzfi_a`pofixzp�xzsih|ghxztP`w^

  • Ê��¸¦?«¼å]§�ª/T�]JX `§�ª/§�]l£¦ ç²(p∧¬q)⇒ r

    ↙ ↘(p∧¬q) r

    ↙ ↘p ¬q

    ↓q

    • ]�tµsidg}zntoox»^no}u`wf~sid'|>xztosibrfrn¨zd'^j`apofih_ydgfe` à ^j`aod3^j`bv`w¸^j`bed>tohd>tooxd>t|gndgtubv`yoh|·¢xzs�pP`ksrxzsK"

    p q ¬q (p∧¬q) r (p∧¬q)⇒ r

    • ]�tbedgfi|gd>f{^no}u`wf¡d>sibv`k¸o^d>|gd>_xzsÌbrxsÌsrhbrnP`w|>hxztdgsÌod«zd>frP`wax-`w^srdgo`w»d\^`wspofih_ydgfr`ws©«c`wfrh`w¸o^dgsdg^dgt)noto|>hj`woxyl)nodhtubedgf«Hhdgtdgt�"

    p q ¬q (p∧¬q) r (p∧¬q)⇒ rI II úú Iú ú

    • ú�htP`w^_yd>t)bedÌsid{«c`wtfrd>^^d>tP`wtox~d>^Hfrd>sibrxd{^j`ws|gxz^no_ytP`ws¯bedgthdgtoxqd>t3|>nodgt^?���S@�1)� Um�P*9�:�od^xwsq|>xztod>|>beh¤«zxzs^z}zh|gxzs ¬,∧,∨,⇒,⇔¨pKxwfxwbefr`ol)nod|4`wo`3«zdg£l)nodX`wpo`wfrd>|gdnotP`3txz_ypP`wfr`wf{^j`ks{srhbrnP`w|>hxztod>s©od~«zdgfiP`wx-`w^srd>P`wxw¸bed>tohP`ks©|gxzt^xwsoxzs�p�xzsih¸o^dgs©«k`w^xzfrd>s�d«zd>frP`k�od^j`t

  • çzR ª/£ ä ¡¶~¦?Õ�̦R«¼å]§�ª/Ã6õ�`ksrxyhtubedgfi_d>ohx)Æ

    p q ¬q (p∧¬q) r (p∧¬q)⇒ rI I ú ú II ú I I Iú I ú ú Iú ú I ú I

    úúúú

    Ã-/`w¸o^` à tP`k^ÜÆp q ¬q (p∧¬q) r (p∧¬q)⇒ rI I ú ú I II ú I I I Iú I ú ú I Iú ú I ú I II I ú ú ú II ú I I ú úú I ú ú ú Iú ú I ú ú I

    ê§ßg½)¼kÈuÀ-ÈuÀÕØÏ?�217���

  • Ê��¸¦?«¼å]§�ª/T�]JX `§�ª/§�]l£¦ çzçô2*����+*9k',����£(^����()�����A���A�21^*�,��� ø 4)����1��,3,S*f�31)�����Dô��A��1n��1^öq_�1^*\WE�2��N=*=(^� ��()�����A���A�21^*�,���&4:1^*srkfitua!vwb�xRycrzr%yc{it���¼���jN=* ��,Xô2*�,��2�|o���47*�, ø 4`�A���8* ø 45�����P*6,S*OWE�2�DN=* ��1ø 45�s*2���S@�1n��NO���\,����0ô2*�,��2� ���}mÙ_no*�,S*2�0ô2*��D�+*9k',����J(^����()�����A���A�21^*�,�� � ø 4)�M��1 ��,3,S*�31)�!���Dô��A��1n��1^öê�ßg½+*���A@�d:1M���]���S@�45�¶�:�X��4�i*9k',S*M�:�oô����8�9*9�5M

    p q p⇒ q ¬p (¬p) ∨ q (p⇒ q)⇔ ((¬p) ∨ q)I I I ú I II ú ú ú ú Iú I I I I Iú ú I I I I

    ê�ßg½)¼cÈuÀ6ÈuÀÕºÍ?� �Êk�*�� ø 45�&,S*2�;���S@�4`�A��1)�����¼WE�2��N=*2�e(^� ��()�����A���A�21^*�,�� �M���21�i*�4:�!�2,��cÓ@�>+*2�OMP ö

    (p ∧ (p⇒ q))⇒ q-:ö

    ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ r))⇒ (p⇒ r)T ö

    ((p⇒ q) ∧ (¬p⇒ q))⇒ q4^ö

    ((p ∨ q) ∧ ¬p)⇒ qU ö

    (p ∧ ¬p)⇒ qê�ßg½)¼cÈuÀ6ÈuÀÕºÍ?� �Êk�*�� ø 45�&,S*2�;���S@�4`�A��1)�����¼WE�2��N=*2�e(^� ��()�����A���A�21^*�,�� �M���21�i*�4:�!�2,��cÓ@�>+*2�OMP ö

    ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))⇔ (p⇔ q)-:ö

    (p⇒ q)⇔ ((¬q)⇒ (¬p))T ö

    (p⇒ q)⇔ ((p ∧ ¬q)⇒ (¬p))4^ö

    p⇔ (¬p⇒ p)U ö

    p⇔ ((¬p)⇒ (q ∧ ¬q))

  • ç ü ª/£ ä ¡¶~¦?Õ�̦R«¼å]§�ª/F½9ý§ÖÀ-ÈuÀ-å�ÖÙPóó�²�Ô5� A ÷ B ���21JWE�2�DN=*2�/(^� ��()�¯�D�A���A�j15*�,����R���J���A��� ø 4)� A À6ãNé�¿-À�ÿÈz¾N¿åmî�À6Èz¾PãN½HÖ�Â?½»¾ B ���Å,S*JWE�2�DN=*¼(^� ��()�����A���A�21^*�, (A ⇒ B) ���¼4:1^*O�i*�4:���j,� @�>+*9ö¿~brfe`ws©xzfr_`ws©¢P`w¸oh¤benP`w^dgs©ododg|>hf A �3N¶(^,Y�A�P*=,�_P@��A�P*�NO��1)���o* B srxztÂ"• B dgse���217������4)��1n���+*=,�_P@��A�P*od A• A d>se���21^���A���A_21���4DUm���A��1)�!�d B• B dgse���21^���A���A_21¥1n�������'*��D�+*od A  

    ù�tP`w^h|gd>_yxzs©dg^sih}ztoh à |g`wox'd\d>sibe`yod à toh|ghzt�"srh

    (A ⇒ B) dgsnotP`µbe`wnbexw^xz}w`Ýdgtubexzto|>dgsadgsh_yp�xzsrh¸o^d`wsrh}ztP`wf3«k`w^xzfrd>sd«zd>frP`k`3^`ws{«k`wfihj`w¸^dgs©pfrxzp�xzsih|>hxzto`w^d>s©d A ¨ B od_`wtod>fe`lsibe`yod à toh|ghzt�"srh

    (A ⇔ B) dgsnotP`µbe`wnbexw^xz}w`Ýdgtubexzto|>dgsadgsh_yp�xzsrh¸o^d`wsrh}ztP`wf3«k`w^xzfrd>sd«zd>frP`k9`»^j`ks«k`wfrh`w¸o^dgspfrxzp�xzsih|>hxzto`w^d>sod A ¨ B od_`wtod>fe`l)nodd>^�«k`w^xwfod«zd>frP`k�od A sid4`'ohd>frdgtubeddg^«k`w^xzf©od B  ]�t�xwbrfe`wspP`w^`w¸ofe`ks'"�sih(A ⇔ B) d>snotP`3be`wnbrxz^xz}w` A d>sXI�srh¨sixz^x3srh B dgsIo¨ A dgsú´sih¨srxz^x'sih B d>s�ú{ 

  • Ê��¸¦?«¼å]§�ª/T�]JX `§�ª/§�]l£¦ ç #ê�ßg½)¼cÈuÀ6ÈuÀÕÃÍ?� �Êk�*�� ø 4)�M,����=���S@�4:�A��1)�!���¼([*�� ���;�:�JWE�2�DN=*2�¼(^����()�����A���A�21^*�,�� �0�E�j1,�_P@��A�P*ÊNO��1)���\� ø 4:�3ô2*�,���1)�!���

    ¬¬p ÷ p(p ∧ q) ∧ r ÷ p ∧ (q ∧ r) I ∧ ���*2���¯���+*��+�3ô2*LK(p ∨ q) ∨ r ÷ p ∨ (q ∨ r) I ∨ ���*2���¯���+*��+�3ô2*LK(p ∧ q) ÷ (q ∧ p) I ∧ ���$���21)Ne4:�i*��+�3ô2*LK(p ∨ q) ÷ (q ∨ p) I ∨ ���$���21)Ne4:�i*��+�3ô2*LKp ∧ (q ∨ r) ÷ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) I ∧ ���\�������+�D�+k'4`�+�3ô2*O� ����()�������s�:� ∨ Kp ∨ (q ∧ r) ÷ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) I ∨ ���\�������+�D�+k'4`�+�3ô2*O� ����()�������s�:� ∧ K¬ (p ∨ q) ÷ (¬p) ∧ (¬q) ,���÷O�:� , �qк�2�h|>hx ç bed>todg_yxzs�l)nod�"(p⇒ q) ∧ (q ⇒ p) equivale lógicamente ` (p⇔ q)

    (p⇒ q) equivale lógicamente ` (¬q)⇒ (¬p)(p⇒ q) equivale lógicamente ` ((p ∧ ¬q)⇒ (¬p))

    p equivale lógicamente`

    (¬p⇒ p)p equivale lógicamente

    `((¬p)⇒ (q ∧ ¬q))õ/xzf�xwbrfrx~^j`wx~dg^Hdâ¹id>_p^x ²   ç  g#�htoh|g`�l)nod

    p⇒ q dgs§d>lt)brd` ¬p ∨ q  ]�sibe`bv`k¸o^j`odyd>lsd>l)noh«k`k^d>t)bed'`k^

    ¢od>|·¢x\odl)nodsrn'tod>}u`w|>hzt ¬p h_ypo^hl)nod{notP`q|gxwt)befr`woh|g|ghzt �]�sbed¢odg|v¢oxsrdsrnsibed>t)be`d>t�^`3sih}znohdgtubedd>lfrhxzfr_ydgtubedj"p equivale lógicamente

    `((¬p)⇒ (q ∧ ¬q))

  • ç�- ª/£ ä ¡¶~¦?Õ�̦R«¼å]§�ª/]�sibv`ksdgl)noh¤«k`w^dgto|>hj`ks~^z}zh|g`ws�toxzs~p�dgfr_yhbrhfrwt�pofidgsrd>t)be`wf`k^}znoto`ws�brg|>toh|g`wsqod

    dg_yxzsibrfe`w|>hzt Äù~t)brdgsht)brfrx|ghsihzt$dg^sidgt)brhox´l)nodbrhd>todd>^¢dg|v¢oxodl)nod\not»fe`k£gxzto`w_hdgtubex3srdg`y|>xzfrfidg|Zbexo F½9ý§ÖÀ-ÈuÀ-å�ÖÙPóó�³�Ô��P*�1 A1, ...,An ÷ B WE�2�DN=*2�¶(^� ��(5�����A���A�21^*j,����'öÔ��s���A��� ø 4)�4:1B�8*�Z2�21^*�Ne�A��1)�!�=�:��,��+�g()�

    de A1, ...,An se deduce B���/ÈzÕm¼c¼º½

  • Ê��¸¦?«¼å]§�ª/T�]JX `§�ª/§�]l£¦ ç LP ö ���$4`1Â��47k�@���4�()�O���X���e1n�Mô2*:��>A��Q¶���21)�fe`µpP`wfr`^x|gno`w^nbeh^h£g`w_yxws^j`Ýsih}wnohd>t)bedbv`knbexz^xz}z`fidg|>nofrsih«k`w_yd>t)bedj"((p⇒ r) ∧ (r ⇒ s))⇒ (p⇒ s).

    ~dyd>sibv`_a`ktodgfr`sih¡p�x_xws|gxztsibefinohfnotP`|4`wod>tP` à thbv`od'srd>t)bed>to|>hj`ws«zd>frP`wdgfe`ksqodX^j`3xzfr_`

    p ⇒ p1p1 ⇒ p2

      ¤ pn ⇒ q

    ¢P`w¸frdg_yxzsodg_yxzsbefr`wox'l)nod

    p⇒ q d>s�«zd>frP`wdgfe`H ê�ßg½

  • ç % ª/£ ä ¡¶~¦?Õ�̦R«¼å]§�ª/()�2��,S*¾�:�VUT1)�A���A_21�:�;�������3N¶(7*��'öqo��2��N=*�,YNO��1)���Où)��NO���&�:��NO�����g(^� ���P*O�:��,/�VCE��N¶(^,��=*�1)�������A�2�NM

    x2 impar implica x impar.

    , �'kK��NO�����:��NM�����+�8*����1)�!�21n����� ø 4)�$���¼ô����8�9*9�:���8*=,S*e����1)�!��1n���+*;���21)�+�8*���� ����>g(^� ���P*5Mx no impar implica x2 no impar.

    Î� ø 4`�3ô2*�,���1)����NO��1)���OMx par implica x2 par.

    G�� ø 4)�o���où7*:���NO�P���+*�1)���4:1^*��:��NO�����

  • Ê��¸¦?«¼å]§�ª/T�]JX `§�ª/§�]l£¦ çʬ

    • F½Â?¼º¾PÈuÀ-å�Ö�é�Õm¼ä¼º½xztosihsibrdd>t´nHbeh^h£4`kfX^`dgl)noh¤«k`w^dgto|>hj`3^z}zh|4`dgsi|gfrh¤bv`y`kt)brdgfrhxzfr_ydgtubedp⇔ (¬p⇒ (q ∧ ¬q)).

    ]�sibrxdgsgmsinop�xztod>f�l)nod\^j`¢ohp�wbrdgsihs�d>s�«zdgfro`wod>fe`m^j`3|>xzto|>^nosihztdgs�-`w^se`¨^^dg}z`wf`3notP`'|>xzt)brfe`wh|g|>hwt 

    ê�ßg½ 0

    ö_��'*�NO���,S*(^� ��(^�A�P�9*9�;�:�,��������S@�1n��� ø 45��31^���A�P* ø 45�0��,[(^� �'��45�����M�:�$�:���o1)dHÓNO�������s� �P*�,��������o()���������3�+�3ô������l÷¥���2,S*�NO��1)���0�����B*�N=k����0���21B()�����3� 0

    ÷ 1a≤ 0 öÒT�s��ô��+�:��1)��� ø 45� 1

    a6= 0 (^45��� a 1

    a= 1

    ö\ÍX�2�\�A*�1)����Q¶���2NO����,(^���'��4)���!�a 1

    a= 1

    Q]��1)���21n�����a < 0

    ��1º�D�21)�+�8*9���A�����A_21Â���21f,S*=ù:�g()_2���������a > 0.

    • F½Â?¼º¾PÈuÀ-å�ÖCé�Õm¼Èz¾PÁgÕ�Áwñ\|>nP`wtoxsidbehdgtodnotP`h_p^h¤|4`k|ghzt�odg^/behp�xp⇒ a1 ∨ a2 ∨ ...∨ an

    pP`wfr`Xodg_yxzsibrfe`wfÊl)nodp⇒ q d>s©sin à |>hd>t)bed~odg_yxzsbefe`kfl)nod

    a1 ⇒ q¨l+* ø 4)�£CD49���+� Um� *6��,?NM×����'�:�B�:���:��NO�����

  • ü ° ª/£ ä ¡¶~¦?Õ�̦R«¼å]§�ª/÷�()�2�¼�A*�1)�!�

    x2 = 4p2 + 4p+ 1 = 4(p2 + p) + 1()�2��,�� ø 4)�e��,����������O�:����3ô��+���3�()�2��46��� P ö• F½Â4¼c¾oÈuÀ-å�Ö Ç¯½LÇÕmð/¿-½l)noh«k`k^d>to|gh`^z}wh|g`|gxzt(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) ¯dgtNoxws\od>_yxzsibefr`w|>hxztod>sg  á `od p ⇒ q ¨^`od

    q ⇒ p.ê§ßg½srhP`w�odxz¸brdgtod>fsin»be`w¸o^j`od«zd>frP`w�|>xz_ypo^dZbv` ]�sibedq_y>bexxztosihsibrdqdgtht)brdgtubv`wfÊpofixz¸P`wfÊlsnotP`»bv`knbexz^xz}z`¸onosi|4`wtox`wl)nod>^^xzs«k`w^xzfrd>sXoda^`ws«k`wfihj`w¸^dgs\pfrxzp�xzsih|>hxkto`w^d>salbrxsrp�dg|>hj`w^_d>t)brd\dg|>notooxod>¸ohox

    `lx'l)noddg_ypo^dg`|gxztsrhsbeddgtfrdgno|ghf^j`Xzfr_no^`XP`wP`'`ntP`'dZ¦Hpofidgsrhzt�|g`wP`3«zd>£\_awssih_ypo^dk Û»ÕPÂ?¾PÈuÀ-å�Ö¡ �Hh A d>s§notP`�xzfi_a`pofixzp�xzsrh|ghxztP`w^)d>t)bexwto|gd>s A : V Ãfrd>srp�dg|Zbeh¤«k`w_ydgtubedA : F Æ+sih}zth à |g`©l)nod¡|gxztsrhdgfe`k_xzs^j`{pofrxzp�xwsrh|>hzt A «zd>frP`wdgfe`XÃfrdgsip�dg|Zbeh«c`w_d>tHbrdX-`w^se`uÆ· ~¥{nP`wtox^`yxzfi_a`yd>sqntP`«k`wfihj`w¸^dk�oh}u`w_yxzs

    p`y«zd>|gdgsd>sr|>frh¸hfrd>_yxzs

    p := VÃ-frd>srp 

    p := FÆ· 

    ê§ßg½+*O4:�+�3,Y�SZ�*�1^�:�M��,cNO×����'�`�=�:�o� �VWD4:�i*:���A_21�M((p⇒ q) ∨ (r ⇒ q))⇔ ((p ∧ r)⇒ q)Ô54¯()�21:@9*�NO��� ø 4)�;��4 ô2*�,��2���`��ô����8�9*9����� F ÷ºô2*�NO����*6�3�&�:�P��4)���A��1^�:�Ã,�¯�ô2*�,��2� ���\�:�oô����8�9*9� ø 4)�$�:�'k���1B����1n���o,S*2�oô2*��D�+*¸k',���](^� ��()�����A���A�21^*�,���� p, q ÷ r (7*��P*

  • Ê��¸¦?«¼å]§�ª/T�]JX `§�ª/§�]l£¦ ü ²ø 45�e���E�;����4:�D�P*9öÔ5�

    ((p⇒ q) ∨ (r ⇒ q))⇔ ((p ∧ r)⇒ q) : F,�P*9kK��1B�:���m()�����+k'�3,Y�+�9*9�:����Q ø 45�o�3� ��NO����:���'*��D� �2,3,S*�1^�:�¶(7*2���s*¼(7*2���&M�Ok'�A��1 �Ok'�A��1

    (p⇒ q) ∨ (r ⇒ q) : m (p⇒ q) ∨ (r ⇒ q) : o÷((p ∧ r)⇒ q) M9o ÷ (p ∧ r)⇒ q MJm�:�\�:�21^�:� �:�\�:�21^�:�

    (p⇒ q) ∨ (r ⇒ q) : m (p⇒ q) : oÅQ (r ⇒ q) : o(p ∧ r) : m , q : o (p ∧ r)⇒ q MJm,Y4)�A@:� ,Y45�A@:�

    (p⇒ o ) ∨ (r ⇒ o ) : m p MJmnQ r : m�Q q : op :

    mnQr :

    m(p ∧ r)⇒ q M|m()�2�¼,�� ø 4)� ()�2�¼,�� ø 45�

    (m ⇒ o ) ∨ ( m ⇒ o ) : m ( m ∧ m )⇒ oqMm����:�����3� ���\�:�����3�o�Mm

    (contradicción)oqMm

    (contradicción)G45�A@:�

    falla��,��31)����1)�!�s�:�m(^����k�*�� ø 4)�t�fº���¼4:1^*O�A*�4`���2,��P@�>+*2Qm�=,�� ø 4)�e���¼,��Ne����NO��Q�1n�\���/()�����+k',��X*2���S@�1^*��mô2*�,��2� ���l�:�]ô����8�9*9�\*o,S*2�]ô2*��D�+*9k',����(^����()�����A���A�21^*�,���

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    ((p ⇒ q) ∧ q) : V ��1)�!�21n����� q : V ÷ (p ⇒ q) : V ö�Ï?�2NM� p : F ��1)�!�21n������VWE�����

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    sinosibrhbenhfxp�xzfnot»toh|4`woxwsqsrd3pondgod>tµfrd>pofrd>srd>t)bv`kfp�xwfqsr_¸�xz^xws�od>^�brhp�x P (x) Q(x) R(x)

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    P (3)d>s�«zd>frP`wdgfe`HP¨

    P (4)d>s�-`w^se` 

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    x+ y = zPbed>toofrd>_xwslt)brdgto|>hj`wsQ(1, 2, 3)

    ¨Q(2, 2, 4)

    sixzt«zdgfro`wodgfr`ws�¨l)nodQ(1, 2, 5)

    dgs�-`k^se`H 

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    ∀x ∈ U P (x).

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    ht)brdgfipofrdZbv`wfeÆ3`notP`µsidgt)brdgto|>hj`N`w¸ohdgfbv`Ìdgsytodg|>dgsr`wfrhxN|gd>frfe`kfr^j`ÝpofrdZ«dl)nodnotP`\srd>t)brdgto|>hj`\dgsÌ|gdgfife`wo`Xsihmtox\brhd>tod�«c`wfrh`w¸o^dgs�srhty|gno`wt)brh à |g`wfvÆ· ¡¥{xw_x¢odg_yxzs«t)brdgto|>hj`�sid¡ponodgdÌ|>dgfrfr`wf¯`wsrh}ztP`wtox�|>xztosbv`wtubedgs`^j`ws+«c`wfrh`w¸o^d>sl §Hho^`ws�«c`wfrh`w¸o^d>s§d>sibewt|gnP`wtubeh à |4`kP`wsgdg^«k`k^xzfyod�«zdgfro`w$od>pKd>toodÝdg^�notoh¤«zdgfrsixLd ohsr|>nofrsixLl)nod sid|gxztosihod>frdk Ìù�srp�xzfdâ¹idg_ypo^xo^j`srd>t)bed>to|gh`

    ∃x ∈ U (x2 = 2)

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    U = Rsihd>toox

    x =√2ÆZ{p�d>frxNdgsy-`w^se`d>tÅdg^�noth«zd>frsrxNod�hsr|>nofrsixäod»^xzs't)Ëo_ydgfrxwsd>t)brdgfixzs

    ÃU = Z

    ¨u`'l)nod √2 /∈ Z ÆZ Hh+d>^+notoh¤«zdgfisrx3odqohsr|>nofrsrx3d>s à thbexHdg^K|gnP`wtubeh à |4`koxzf{notoh¤«zdgfrsr`w^+pondgodsinosibrh¤

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    xsrxzt

    a, b, c,ÃU =

    {a, b, c} Æ©^`3sidgtubedgt|ghj`'|gd>frfe`kP`∀x ∈ U P (x)

    d>sgPp�xzf�od à toh|ghztP (a) ∧ P (b) ∧ P (c)¨^j`3sidgtubed>to|gh`∃x ∈ U P (x)d>sgPp�xzf�od à toh|ghzt

    P (a) ∨ P (b) ∨ P (c).]�sbv`wsaod à th|>hxztod>sa_nod>sibefr`wtAl)nod^xws|>nP`wt)brh à |g`woxwfrdgsad·¦Hhsibrdgto|>hj`w^�¨1notoh¤«zdgfrsr`w^sixzt»notP`3xzfi_a`3`w¸frd>«xztod>|>beh¤«zxzs ∨ ¨ ∧  ���9�V 89.:0;=��B�:3��>�����A��¥{xw_xd>t d>^|g`wsrxaodX^`y^z}zh|4`3pofrxwp�xzsrh|ghxwtP`w^d>t^j`'^z}wh|g`'odXpofidgoh|4`koxzs�xz¸srdgfâ«c`w_xws¡l)nod^`q«k`w^hod>£x\tox\d|>hdgfbexzs�fe`w£>xztP`w_yhd>t)brxzs�d>sibe\dgtysrnyxwfr_` §Hdg`\p�xzfd¹idg_ypo^x dg^©fe`k£gxzto`w_hdgtubexÝ`wtubedgs3|gxztsrhdgfe`koxoÌl)nodht)brnohbrh¤«k`w_yd>t)brdsid_nodgsbefr`|>xz_yx3«kw^hox["

    /xt)bex3d>sd>^_hsr_yxoHdgt»srnxzfr_`l)nodj"/xsrxz^no¸o^dgs]¡^|g`wsrxÞg|>xzfe`'dgs�not»|4`wsix]¡^|g`wsrxÞg|>xzfe`'dgs�frd>srxz^no¸o^d

    G�srdp�xt)be`wf|gxz_yx["

  • Ê�¦¸¦?«¼å]§�ª/¢£TJT¢¶§�ª/¶¢eX  ü¸L∀x ∈ U P (x)

    a ∈ UP (a)

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    (∀x P (x))⇒ P (a).¿¸srgf«zdgsidl)nod\txysrd¢P`'d>sr|gfihbrxydg^noth«zd>frsrxyodohsr|gnfrsrx ~dXd>sibedX_yxfrdgsr`wt)brdX|gxwtosibrfrnohfnotP`y^z}wh|g`3xwfr_`w^nose`wtoxapofrd>oh|g`c

    oxzsg \¥{xztÝdgsbed3xz¸brx«c`w_yxzs`aP`wf~notÝ|>xztc¹inotubexodfidg}z^`ws~pP`wfr`d à thfWE�2�DN=*�:�¶(^� �P���A�P*9�:���ZKl)nod3dgsqdg^�dgl)noh¤«k`w^dgt)brdwdgtÝ^j`a^z}zh|4`yod3pofidgoh|4`koxzsg`w^/|gxzt|gd>pbexod]WE�2��N=*¼(^� ��()�����A���A�21^*�,udgt»^j`^z}zh|g`pofrxwp�xzsrh|ghxztP`w^6 ½q¾PÁgÕaPó¥{xw_d>to£4`k_xzs¡pfrh_ydgfix|>xztosrhodgfr`wtooxnoto|ghxztod>sÌpofixzp�xzsrh|ghxztP`w^dgs>uod^`xzfr_`

    P (x), Q(x), ...Ã-oxwtoodbv`w_¸hgtsrd\ponod>odgt|gxztsrhdgfe`kf�«k`wfihj`ws«c`wfrh`w¸o^dgsvÆ· 

    á `ksnoto|>hxztdgs�pofrxwp�xzsrh|ghxwtP`w^dgs©srxwt=WE�2�DN=*2��:�m(^� �P���A� *9�:���Z ½q¾PÁgÕºóHdqpnodgdgt|>xztosibrfrnohf{t)nod>«c`ws©xwfr_`wsÊod~pofidgoh|4`woxws{nose`wtox3^xzsÊ|gxwtodg|·beh«zxws�^z}zh|gxwsg �úPxzfi_a`ksp�xzfdâ¹id>_p^xood>^behp�x7"

    P (x) ∧Q(x)P (x) ∧Q(y)¬P (x)

    P (x) ∨Q(x)P (x)⇒ Q(x)P (x)⇔ Q(x)

    ½q¾PÁgÕMóÊq`wP`�notP`�xzfi_a`odÌpfrdgh|4`koxzsodÌ^`ws¯|>xztosibrfrnohP`ws¢P`ksibv``w¢oxzfr`coxztod`wpP`wfidg|>d^`X«c`wfrh`w¸o^d

    xoh}u`w_yxzsÌp�xzf©sih_ypo^h¤|ghP`k

    P (x)Hsrdpnodgod>t»|>xztosbefrnhf{^j`ws

    dZ¦Hpofrd>srhxztod>s'"∀x P (x)∃x P (x).õ/xzf�d¹idg_ypo^x3srd|gxztsibefin¨zdgt^`ws©xzfi_a`ks'"

    ∀x (P (x) ∧Q(x))

    ∃x (P (x, y)⇔ Q(x)).

  • ü % ª/£ ä ¡¶~¦?Õ�̦R«¼å]§�ª/]�t^j`ks§xzfr_`ws�|>xztosbefrnhP`ws¡d>tdg^Ppo`wsrx ç u^j`q«c`wfrh`w¸o^d

    x`kdg|Zbv`wo`p�xzf¡d>^P|gnP`wtfrse`k^�xXd·¦Hhsbedgt|ghj`k^msrd�oh|gdl)nod�l)nod>P`s,Y�S@9*9�9*w §]�^�fidgsbexd�p�xzsih¸o^dgs«c`wfrh`w¸o^dgssid\oh|gd>tÂ,Y�+k'�����Z /I¡xz^«zd>frd>_xzs_ws�`wdg^j`kt)bedsixz¸ofrddgsbv`'od à toh|>hzt ½~¾PÁgÕóÅ~xzs3xwfr_`wsodpofrd>oh|g`woxsidponodgdgtJ|>xz_¸ohtP`kfnosr`wtoox|gxztdg|>brh«zxzs^z}zh|gxwsg  á xwspP`kfrgtubed>srhssixztLtod>|gd>se`wfihxzspP`kfe`d>« Ý]�sibv`k_xws|>xztosihod>fe`wtoxoPp�xzfdâ¹idg_ypo^xodZ¦Hpofidgsrhxztod>s�od>^behp�x7"

    (∀x P (x))⇒ (∃x Q(x)).½~¾PÁgÕ®óNq`wo`notP`�xzfi_a`»odapofidgoh|4`wxzs P(x) oxztod`wpo`wfrd>|gdanotP`�«k`kfrhj`k¸o^d^h¸ofid

    xosrdponodgdgt|>xztosbefrnhfdZ¦Hpofrd>srhxztod>s�od>^brhp�x["

    ∀x P(x)

    ∃x P(x).õ/xwf�dâ¹id>_p^x3dZ¦Hpofrd>srhxztodgsodg^brhp�x["∀x(∀y Q(x, y))

    ∀x(P (x)⇒ (∀y Q(y)))½~¾PÁgÕÁ²ó1q`kP`ÝnotP`xzfi_a`dpofrd>oh|g`woxo�|gno`w^l)nohdgfe`odsinos3«c`wfrh`w¸o^d>s^h¸ofrd>spnodgodNsrnsibeh¤benohfrsidµp�xzf»ntP`1|gxztosbv`wtubedä`kfr¸oh¤befe`kfrh`H~o`wtooxJ^no}u`wf`1noto`Jt)nodZ«k`xwfr_`3d\pfrdgh|g`woxo ª�sr`wfrd>_xzs^xzs{brgfr_yhtxzs/WE�2�DN=*O�:�m(^� �P���A�P*9�:���Z5����1)����1n���+*O�:��,�_P@��A�P*O�:�m(^� �P���ÜÓ�P*9�:���{xf���K(^� �����A_21Ã�:�¼,�_P@��A�P*M�:�m(^� �P���A�P*9�`���Ìhtoohsibrht)be`w_'dgtubedw 

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    xÊsrd

    oh|>dl)nodÃ,S*¾���K(^� �����A_21 ∀x P (x) ���;ô����8�9*9�:���P*asrh`w^{srnsibeh¤benohf x p�xwf3notP`|gxztsibv`wtubeda|gnP`k^l)nohdgfe`ad>t|gno`w^l)nohdgf~notoh¤«zdgfrsixd3ohsr|gnfrsrxsidbehdgtodl)nod

    P (a)dgs«zdgfro`wod>frxo 

    ê§ßg½oh|g`wox\od>^Pbehp�x ∃x P (x) )oxztod P (x) d>sÌnotP`xzf_a`odpofrd>oh|g`woxsrht |gno`wt)brh à |g`woxzfidgs~¨|>xztÝnotP`sixz^j`y«k`wfrh`w¸o^d�z+srd3h|>dlxztosbv`wtubed

    adgt `w^}zËot»notoh¤«zdgfrsixaodXohsr|>nofrsixo�srd\behdgtod\l)nod

    P (a)d>s�«zd>frP`kodgfixo 

    ]¡s�odg|>hf>Pd>^«k`w^xzfd«zd>frP`k�od ∃x P (x) dgs�dg^_yhsr_yxod ¬(∀x ¬P (x))  ê§ßg½xztodg|Zbeh¤«zxzs�^z}zh|gxzs¯p�x_xws�`wsrh}ktP`wf©«c`w^xwfrdgs©od«wdgfro`w�`3t)nod>«k`ks�xzfi_a`ks©odpofrd>oh|g`woxo ÅI¡dg`w_yxzsnt»d¹idg_3po^x 

    ê§ßg½

  • Ê�¦¸¦?«¼å]§�ª/¢£TJT¢¶§�ª/¶¢eX  # ²õ�`wfr``wsrh}ztP`kf«k`w^xzfrd>s~odX«zdgfiP`w`a|gno`w^l)nohdgfxzfr_`yodpfrdgh|4`koxtod>|gdgsihbe`c

    _xzs§dg^o|gxwto|gd>pbex\od¼�A*�4:�!�2,��P@�>+*3dgty^z}zh|4`~odpofrd>oh|g`woxzs>)l)nod�toxdgs¡d·¦`w|>be`w_d>t)brdh}znP`k^/lt|4`ksrxy|gxztubefr`wfrhxo 

  • # R ª/£ ä ¡¶~¦?Õ�̦R«¼å]§�ª/ê§ßg½srhzt ∃x P (x) oxztod P (x)dgsanoto`Nxwfr_`µ|>nP`w^l)nohdgfr`µ¨xdgsanoto`N«k`kfrhj`k¸o^d^h¸ofrd©|gxztsrhdgfe`k_xws^x

    srh}wnohd>t)brd�"©^j`ysidgtubedgt|ghj` ∃x P (x) d>s V srh ¬P (x) toxadgs~noto`be`wnbexw^xz}z`o¨Fdgt»|4`wsix|>xztubefe`kfrhx 

    ]�s�dg|ghfg ∃x P (x) d>s V srh¢P`4¨anotnotoh¤«zdgfisrx'odohsr|>nofrsix U ¨anotP`|gxztosbv`wtubeda ∈ U bv`k^l)nod P (a) dgs V  Hddgsibe`w¸o^dg|>d\dgtubexzt|gdgs^j`dgl)noh¤«k`w^dgto|>hj`3^z}zh|4`srh}wnohd>t)bedj"

    ∃x P (x)d>sy^z}wh|g`w_yd>t)brddgl)noh¤«k`w^dgtubedNÃ-d>tJdg^srd>t)brhoxµodltodgt1d>^�_yhsi_x«k`w^xzf3od«zd>frP`kmÆ�`

    ¬(∀x ¬P (x)).`uÆHh ∃x P (x) dgs V ¬P (x) toxdgs©notP`Xbv`wnbrxz^xw}z`Hs F o|gxzt»^x3l)nod ¬(∀x ¬P (x)) d>s V  

    ¸mƬd>|gpofrxt)brdw+srh ¬(∀x ¬P (x)) d>s V +todg|>dgsr`wfrh`w_d>t)brd (∀x ¬P (x)) dgsF�xa^xl)nodXdgs�^xy_hsr_yxo ¬P (x) toxdgs~ntP`ybv`knbexz^xz}z` ©]�t)brxzto|gd>sqd·¦Hhsibrdnot»xw¸H¹idZbex

    aodnt»noth«zdgfisrx'odohsr|>nofrsix'be`w^l)nod ¬P (a) dgs F o|>xzt^x3l)nod

    P (a)dgs

    V ¡]�sibexyh_po^h¤|4`l)nod^j`srdgtubed>to|gh` ∃x P (x) d>s V  

  • Ê�¦¸¦?«¼å]§�ª/¢£TJT¢¶§�ª/¶¢eX  # çõ/xzfq|>xztosih}znhdgtubeddgt|>nP`w^l)nohd>fqntoh«zd>frsrxodohsi|gnofisrxopP`kfe`abrxhj`yd>s�«zd>frP`wdgfe``"∃x P (x)⇔ ¬(∀x¬P (x)).

    ê�ßg½)¼cÈuÀ6ÈuÀÕ :Í?����k�*�� ø 4)�M��1 ��47*�, ø 4`�A���$4:1)�3ô����������:�=��������4`� ����QÅ(7*��8*����'�9*oWD4:1PÓ���A_21P (x)

    QR,S*0���S@�4`�A��1)�����£����1)�!��1n���+*2�¶���21fô����8�9*9�:���P*2�OM¬(∀xP (x))⇔ (∃x¬P (x))

    ¬(∃xP (x))⇔ (∀x¬P (x))]�^fr|gh|ghxq`kt)brdgfrhxzfhtooh|4`|>z_yx�todg}u`kf�`wod>|gnP`wo`w_ydgt)brd{^j`ks/sidgtubed>to|gh`ws§`kdg|·

    bv`wP`ks�p�xzf�|>nP`wt)brh à |g`woxwfrdgs>  á `'tod>}u`w|>hztod\^`fr`wsrd0���E�:�$ù)�2N=k'���\���oNO�2�D�i*�,todl

  • # ü ª/£ ä ¡¶~¦?Õ�̦R«¼å]§�ª/~dy^j`pofrh_d>fe`|gxztoh|>hztsidysrh}znod'l)nodyd·¦hsibrdynotµxz¸bex»|>xzto|>frdZbex

    aod'not

    ntoh«zd>frsrx3odohsr|>nofrsrxbv`w^Kl)nod ∀yP (a, y) dgs V  ¡õ/xzf{bv`kt)bex P (a, y) dgsnotP`bv`knbexk^xz}z` ~dÌ^`srd>}znotoP`|>xztooh|ghztsrdÌsih}znd¡l)nodÌdZ¦Hhsibed¡notXxw¸H¹idZbex|>xzto|>frdZbex$k¯od¡notXntoh¤

    «zd>frsixod�ohsi|gnofisrxbv`w^wl)nod ∃xP (x, b) d>s F ºx^x©lsF �]�t|>xztosrd>|gndgto|ghj`bed>toofidg_yxzsÌl)nod ∀x (¬P (x, b)) dgs V |gxzty^xl)nod ¬P (x, b)be`w_¸oh>td>s�ntP`�bv`wnbrxz^xw}z`H ù�¢oxzfe`�¸ohd>tzp�xwf�srd>f

    P (a, y)notP`�bv`wnHbexz^xz}z`

    P (a, b)d>sV+¨p�xzf~srdgf ¬P (x, b) notP`abe`wnbrxz^xz}w` ¬P (a, b) be`w_¸oh>t d>s V |gxwt^xl)nod¢dg_yxzs�xz¸brdgtohox'^j`|gxwt)befr`woh|g|>hzt¸nosr|g`wP` 

    ½\¼ºÕmé¡Õ�Á4À-ÈuÀå�ÖÙPó ¯ó+¸CÔ}f���&���A���D��� ø 4)�([*��8*6��47*�, ø 4`�A���o(^� �P���A�P*9�:� P (x, y) ,S*���S@�4:�A��1)��������1)����1n���+*����V

    �31^�:��()��1^���A��1)����NO��1)���o�:��,�4`1[�3ô��������s�:���������4`� ���&M(∀x∃yP (x, y))⇒ (∃y∀xP (x, y))

    , ��NM�����+�8*:���A_21^öTÀ{`wsibe`3d>to|gxztubefr`wfnotdâ¹id>_p^xdgtdg^l)nod^j`Xxzfr_`d>sr|gfihbv`tox3srd4`«zd>frP`kmd>sibexydgs>mntÈzÕ�ÖKÂ?¼º¾½>ß>½HãNé�¿ÕñHd4`yd>^¯pofidgoh|4`wox

    P (x, y)"ÖÕ�&���0�����+�D�A���i*�NO��1)���oNO��1n�2� ø 4)�÷dgt�dg^notoh«zd>frsixd\^xzstfrxzstP`kbenfe`w^dgsg ¡]�t»dgsibrd\notoh¤«zdgfisrxoP|>xzt»dgsibrd\pofrd>oh|g`wox'srdbehd>tod�"

    ∀x ∈ U ∃y ∈ U P (x, y) : V¨u`l)nodqpP`kfe`X|4`wP`t)Ëo_ydgfrxtP`kbrnofe`k^

    xsrhd>_pfrd�dZ¦Hhsbed~nott)Ëo_ydgfrxtP`kbrnofe`k^

    yÃ-p�xzf

    d¹idg_ypo^xy = x+ 1

    Æ{dgsbefrh|>bv`k_d>t)brd_`?¨zxzf> ¡õ/d>frx["∃y ∈ U ∀x ∈ U P (x, y) : F

    ¨u`lsg ¡õ/xzf©bv`wtubex["

    (∀x∃yP (x, y))⇒ (∃y∀xP (x, y))d>s�-`w^se`dgt»dgsibrd\dâ¹id>_p^xo ½\¼ºÕmé¡Õ�Á4À-ÈuÀå�ÖÙPó ¯ó+`®�Ò?16��47*�, ø 4:�A���¼4`1)�3ô���� ���s�:���������4`� ���0÷¼(7*��8*���47*Ê,��� ø 4`�A���8*ø 4)�����P*�1f,����m(^� �P���A� *9�:��� P ÷ Q ,S*0���S@�4`�A��1)���£����1)�!��1n���+*;���oô����8�9*9�:���8*5M

    ∃x (P (x) ∨Q(x))⇔ (∃xP (x)) ∨ (∃xQ(x)).

    , ��NM�����+�8*:���A_21^ö�¥{xz_yxXsidbefe`cbv`od�noto`Xxz¸ofrdh_ypo^h|g`w|>hwt3bed>todg_yxzsÌl

  • Ê�¦¸¦?«¼å]§�ª/¢£TJT¢¶§�ª/¶¢eX  #Ê#hÜÆ ∃x (P (x) ∨Q(x))⇒ (∃xP (x)) ∨ (∃xQ(x)) dgs V¨l)nodhhÜÆ

    (∃xP (x)) ∨ (∃xQ(x))⇒ ∃x (P (x) ∨Q(x)) dgs VhÜÆ©Hnop�xzto}z`w_yxzs«wdgfro`wodgfr`y^j`srd>t)bed>to|gh` ∃x (P (x) ∨Q(x)) . Hd4` a bv`w^l)nod

    (P (a) ∨Q(a))dgs�«wdgfro`wodgfr` Ê]�¦Hhsbedgt»oxzs�p�xzsrh¸oh^h¤P`wod>s'"• Hh P (a) dgs V d>t)brxzto|gd>s (∃xP (x)) dgs V ¨p�xzf¡bv`wtubex (∃xP (x))∨ (∃xQ(x))dgs

    • Hh Q(a) d>s V srdfe`k£gxztP`'`wtPw^xz}u`k_ydgtubedk hhÜÆ'Hnop�xwto}u`w_yxzsy«zdgfiP`wod>fe`9^j`µsrd>t)bed>to|>hj`

    (∃xP (x)) ∨ (∃xQ(x)). ]�t$d>srd |4`ksrxdZ¦Hhsbedgtbv`w_¸ohgtoxzs�p�xzsih¸oh^h¤P`wod>s'"• Hh (∃xP (x)) dgs V dgtubexzt|gdgs>zsrhdgtox a ntxz¸brxbv`w^ul)nod P (a) d>s V kfrdgsino^be`l)nod

    P (a) ∨Q(a) dgs V ¨p�xwfbe`wt)brx ∃x (P (x) ∨Q(x)) d>s V  • Hh (∃xQ(x)) dgs V sid\fr`w£gxzto`y`wtow^xz}z`w_yd>t)bedk 

    ½X¼ºÕmé�ÕKÁgÀ6ÈuÀå�Öµmó ¯ó+:²�Ò1&��4[*�, ø 4:�A���X4:1)�3ô���� ����:�J��������4`� ���¼÷](7*��P*0��47*�, ø 4:�A���Å(7*���:�](^� �P���A�P*9�:���P (x)

    ÷Q(x)

    ,S*=���S@�4:�A��1)��������1)����1n���+*����¼ô����8�9*9�:���P*((∀xP (x)) ∨ (∀xQ(x)))⇒ ∀x (P (x) ∨Q(x)) .

    Ô5�31º��N=k�*��xztP`k_xzs{p�xwf©frd>ono|>|ghzt»`w^`w¸osrnfrox["srnop�xwto}u`w_yxzslxztooh|ghztJsrdod>ono|gd l)noddZ¦HhsbednotÅxz¸bex

    abe`w^l)nod

    (P (a) ∨Q(a)) dgs F ¡|gxzt´^xÝl)nod P (a) dgs F ¨ Q(a) d>s F  L]�t1|gxwtosrd>|gnodgt|4h`(∀xP (x)) dgs F ¨ (∀xQ(x)) dgs F odgs�odg|>hf> ((∀xP (x)) ∨ (∀xQ(x))) d>s F  

  • # - ª/£ ä ¡¶~¦?Õ�̦R«¼å]§�ª/õ�`wfe`Nod>_xzsbefe`kf^j`µsrd>}znotoP`äpP`wfibrdp�xztofrdg_yxzsnotA|gxztubefe`kdâ¹id>_po^x[" srdg`9d>^

    ntoh«zd>frsrxod^xzs§t)Ëo_ydgfrxws�tP`kbenfe`w^dgs�¨^xzs§pofidgoh|4`koxzsP (x)

    "ÆÕ�=���Å(7*��¨Q(x)

    "ÆÕ����X�3N¶([*��· §Hd4`^`sidgtubedgt|gh`=���'�:�o1)d`NO��� �¼1^*��hj`d>s V  Hhtdg_¸P`kfr}zxa^`srd>t)brdgto|>hj`f���'�:�1)d:NO��� �f1^*��+4:�P*�,X���o(7*����f���'�:�f1)d:NO�����¥1^*��+4`�8*�,X���O�3N¶(7*��Z§d>sibrxd>sg ∀xP (x) ∨∀xQ(x) d>s F  ½\¼ºÕmé¡Õ�Á4À-ÈuÀå�ÖÙPó ¯ó+[±#Ò?1M��47*�, ø 4`�A���R4:1)�3ô���� ���£�:�m��������4:� ���J÷R(7*��8*o��4[*�, ø 4:�A���c(^���ZÓ���A�P*9�:�

    P (x, y),S*0���S@�4`�A��1[�!�£����1)����1n���+*����oô����8�9*9�:���8*

    ∀x∀yP (x, y)⇔ ∀y∀x P (x, y)

    , ��NM�����+�8*:���A_21^ö¡~d>_xwsibefr`w_yxzspofrh_d>frx3^`3h_po^h¤|4`w|>hztod\h£gl)nohdgfiP`'`'od>frdg|v¢P`H ¬�`k£gxztP`k_xws¡pKxwfÌfrd>ono|g|>hwt`w^�`k¸osrnofiox["§sinop�xzto}z`w_yxzsÌl)nod ∀x∀yP (x, y) d>s V¨Ýl)nod ∀y∀xP (x, y) d>s F  ~dy^j`srd>}znotoo`�|gxwtooh|>hztsrdysrh}znod'l)nodd·¦Hhsbed b be`w^l)nod ∀xP (x, b) dgs F  õ/xzf�d>^^xyd·¦hsibrd a bv`k^l)nod P (a, b) dgs F   á ndg}zx ∀yP (a, y)d>sF¨d>t�|>xztosidg|gndgto|ghj` ∀x∀yP (x, y) d>s F  õ�`wfe`3^`xwbefr`3h_po^h¤|4`w|>hztHx'¸ohdgtsrdfr`w£gxwtP`'`wtPw^xz}u`k_ydgtubed`3^`h_ypo^h|g`w|ghwt

    l)nod`w|g`w¸P`w_yxzs{odqpofrxw¸P`wfgx¸ohd>tsrd`wp^h|g`Xdg^+frd>srno^¤bv`wx'`wtubedgfihxzf{`^j`sidgtubedgt|gh`∀y∀x P (x, y).ê§ßg½)¼kÈuÀ-ÈuÀÕ: , ��NO����� 0

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    x"

    ∀x ∃y (G(x, y) ∧ ∀z ((z 6= y)⇒ ¬G(x, z)))~ ð�Ág½)¼?Û¾PÈuÀ-å�Ömó ¯ó+:¹Ù�*�÷ ø 4)�l�!��1n���£��4:�+�9*9�:�$���21;,S*1n�A@9*:���A_21��:�X4`1^*o����1)����1PÓ���+*B��47*�1^�:��ô��A��1n�0*8WE�D���A*9�9*e()�2�$4`1��47*�1)�

  • Ê�¦¸¦?«¼å]§�ª/¢£TJT¢¶§�ª/¶¢eX  # Lì^�'�:���¼,����*�,Y4:N01h�¯�o�:�e�����A*���,S*2���£ù7*�1Ã*�(^� ��k�*9�:�=*�,b@�d:16���¸*�NO��1Â��1$WE�'k'� ��� ��ö

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    dg^pofidgoh|4`wx|�f���4:16*�,Y4`Ne1n�M�:�0�����A*¥��,S*2���Zp�xzf

    A(x, y)dg^�pofidgoh|4`wox�;ù7*¥*�(^� ��k�*9�:����,R���¸*�NO��1Â÷X¨p�xzf

    F (y)÷O���e� �P*�,Y�SZ2_��1$WE�'k'� ��� �c �ù�srÎo^`3sidgt)brdgto|>hj`'P`wP`3srd\pnodgod\d>sr|gfih¸ohf

    ∀x [C(x)⇒ (∃y (A(x, y) ∧ F (y)))] .Hn»todg}u`k|ghzt»sidgfij`

    ¬∀x [C(x)⇒ (∃y (A(x, y) ∧ F (y)))]l_xzs>Pdgs�^z}wh|g`w_yd>t)brdd>l£\dgs^z}zh|4`k_ydgtubedqdgl)noh¤«k`w^dgtubed\`

    ∃x [¬(¬C(x)) ∧ ¬(∃yA(x, y) ∧ F (y))]l£\dgs^z}zh|4`k_ydgtubedqdgl)noh¤«k`w^dgtubed\`

    ∃x [C(x) ∧ (∀y (¬A(x, y) ∨ ¬F (y))] .]¡s�odg|>hf>P^`3tod>}u`w|>hztod^`3srd>t)brdgto|>hj`yd>sÒ»�Ê�����!�e*�,b@�d`16*�,Y4:Ne1n���:�=�����A*f��,S*2��� ø 45�s�O1n�sù7*�*�(^����k�*9�:�s1)�31:@�d:1¾���¸*�NO��1I ∀y (¬A(x, y)) KM��QH���Å,��eù7*M*�(^����k�*9�:��QÅ1n�eù7*0���+�:�M��1$WE�'k'� ��� �c Hh¡pofid>d>frh_yxzslxztN^j`srdgtubed>to|gh`�^z}zh|4`w_'dgtubed3dgl)noh¤«k`w^dgt)brd`»>sibe`�od

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  • #j% ª/£ ä ¡¶~¦?Õ�̦R«¼å]§�ª/ê§ßg½)¼kÈuÀ-ÈuÀÕ9ÄÒT�����D�+k'�3�o�:�TWE�2�DN=*0���3N=k�_2,Y�A�P*=,S*2�£���S@�4`�A��1[�!���£����1)����1n���+*2�¼÷e��4&1n�ZÓ@9*:���A_217Q\�:�;N=*Ê1h���P* ø 45�f��1Ì,S*����K(^� �����A_21�UT1^*�,1n�fù7*�÷�*º1)�31:@�d:1 ��4[*�1)�+� Um�P*9�:�2�(^� �����P���+�:�=�:��,h��>3N=k��j,�01n�A@9*:���A_21�MP ö + �=���'�:���o,����$����(7*&Ún�2,����¶���21s()���D�A�'�������i*2�-:öÔ5�R*�,b@�d:16�P*�Ne�31^*�1)���ok������!�PZ�*2QT���'�:���¼,����e�P*�Ne�31^*�1)�����ok������!�PZ�*�1T öì^�'�:�M��,cNe4:1^�:�M���21n�����*M*�,b@�d`1fNO�'�������!�4^öÒ1)�+� �;�:�¯�s1)d:NO�������s1)d:NO�������s� �P*�,����M�Ê���D� n⇒ |xm − a| < ε))).ÒT�������+k'�3��4:1^*=����1)�!��1h���+* ø 4)�o�31^��� ø 45�HWE�2�DN=*�,YNO��1)��� ø 45� lim(xn) 6= a.torÜÛ Ò WäT x ©Y v�x {Xve} Y y Y\T� v��z�m ZV v]�td>sibv`srd>|g|ghztfrdZ«sÊl)nodd>_po^