1. Wartosc bezwzgl edna. Nierownosci. Indukcja matematyczna

1.1. Dla x, y R udowodnij nierownosci:|x + y| |x|+ |y|, ||x| |y|| |x y|.

1.2. Udowodnij, ze minimum z dwoch liczb rzeczywistych okreslone jest wzorem

min {x, y} = x + y |x y|2

.

Jak wygl ada analogiczny wzor na maksimum?

1.3. Stosuj ac zasad e indukcji matematycznej udowodnij wzory:

a)ni=1

(2i 1) = n2, b) 12 + 22 + .. + n2 = n(n + 1)(2n + 1)6

.

1.4. Udowodnij, ze dla a, b R, n N mamy:

(a + b)n =n

k=0

(n

k

)ankbk.

1.5. Udowodnij nierownosc Bernoulliego: dla dowolnego n N \ {1}, a > 1 i a 6= 0 mamy(1 + a)n > 1 + na.

Wywnioskuj st ad, ze dla dowolnego n N i a > 1 mamy(1 + a)n 1 + na.

1.6. Udowodnij nast epuj ace twierdzenie: Jesli a1, a2, . . . , an s a liczbami rzeczywistymi dodat-nimi takimi, ze a1 a2 . . . an = 1, to a1 + a2 + + an n.

1.7. Niech n N i niech An oznacza sredni a arytmetyczn a, Gn sredni a geometryczn a, zas Hnsredni a harmoniczn a liczb dodatnich a1, a2, . . . , an, tj.

An =a1 + a2 + + an

n, Gn = n

a1a2 . . . an,

n

Hn=

1a1

+1a2

+ + 1an.

Udowodnij, ze An Gn Hn.Wskazowka: skorzystaj z poprzedniego zadania.

1.8. Uzasadnij, zea) suma liczby wymiernej i niewymiernej jest liczb a niewymiern a;b) {ax : a Q \ {0}, x R \Q} R \Q;.c)

{(

2 + 1)n : n Z \ {0}} R \Q.