생명과학을 위한 수학 1 중간고사(2019년 4월 20일 오후 1:00–3:00)

학번: 이름:

모든 문제의 답에 풀이과정을 명시하시오. (총점 200점)

문제 1 [20점] x > 0에서 정의된 함수 f(x) = x1/x에 대하여, 다음물음에 답하시오.

(a) (10점) 두 극한 limx→0+

f(x), limx→∞

f(x) 을 구하시오.

(b) (10점)이함수의증감을조사하고,극점을찾으시오.이극점이극대점인지 극소점인지 판별하시오.

문제 2 [20점] 다음 물음에 답하시오.

(a) (10점) 역함수 정리를 이용하여 y = arcsinx 에 대한 도함수를구하시오.

(b) (10점) 반지름이 1인 원 위의 두 점 A,B에 대하여, 선분 AB의

길이를 `, 호 AB 중 길이가 짧은 쪽의 길이를 a라 할 때,da

d`을

`의 함수로 구하시오.

문제 3 [15점] f(x) = x3 + x + 1의 근을 뉴턴의 방법으로 찾고자한다. 다음 물음에 답하시오.

(a) (5점)정수 n에대하여, f(x)의근이구간 [n, n+1)에포함되는n을 찾으시오.

(b) (10점)위에서언급한 n을초깃값 x0으로놓고뉴턴의방법으로

첫 번째 단계의 근사해 x1을 구하시오.

문제 4 [40점] 다음 적분을 구하시오.

(a) (10점)

∫ π2

0

sin 2x cos 4x dx

(b) (10점)

∫ 2

1

1

x√x2 − 1

dx

(c) (10점)

∫ ∞0

1

coshxdx

(d) (10점)

∫x2 + 3x+ 1

x2 + x+ 1dx

문제 5 [10점] 구간 [0, 10]에서 정의된 연속함수 f가 아래 표의 값들

을만족한다.구간 [0, 10]을 5등분하여

∫ 10

0

f(x) dx의근삿값을다음

주어진 방법으로 각각 구하시오.

(a) (5점) 중점 리만합

(b) (5점) 사다리꼴 근사

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

f(x) 0.2 0.4 0.5 0.9 1.4 1.5 1.2 0.6 0.8 0.4 0.1

〈 연습용 여백 〉

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생명과학을 위한 수학 1 중간고사

학번: 이름:

문제 6 [10점] 다음 매개변수 방정식으로 주어진 곡선에 대하여, t =1

2일 때 접선의 방정식을 구하시오.

X(t) =

(1− t2

1 + t2,

2t

1 + t2

), (−1 ≤ t ≤ 1)

문제 7 [10점]중심이 (0, 1)이고반지름이 1인원이시계방향으로회전하여 x축의양의방향으로미끄러짐없이움직인다고하자.원위의한 점 P가 원점이라고 할 때, 원이 한 바퀴 회전할 때까지 만들어진점 P의 자취 중, y좌표의 값이 1 이상인 부분의 길이를 구하시오.

문제 8 [10점] 이변수 함수에 대한 다음 물음에 답하시오.

(a) (5점) z = x + 2y − 1의 등위도면을 그리시오. (단, z의 값이−1, 1, 3인 경우의 등위선을 그리시오.)

(b) (5점) 평면 x = 2로 절단한 면의 그래프는 직선 z = 2y + 7이고 평면 y = 2로 절단한 면의 그래프는 직선 z = 3x + 5인선형함수를 구하시오.

문제 9 [15점] 평면 위의 위치 (x, y)에 대하여 높이 z가 z = 1000−0.02x2 − 0.03y2으로 주어진 산을 오르는데, 현재 위치가 (100, 50)이라고 한다. 다음 물음에 답하시오.

(a) (5점) 현재 위치에서 산을 오를 때, 경사가 가장 가파른 방향을구하시오.

(b) (5점) 현재 위치에서 (−2, 3) 방향으로 움직이면, 산을 올라가게 될지 내려가게 될지 판단하시오.

(c) (5점)현재위치를기준으로하는선형근사를통해,위치 (95, 45)에서의 높이의 근삿값을 계산하시오.

문제 10 [10점] f(x, y) =

∫ x2+y2

xy

e(t−1)2dt일 때∂f

∂x(1, 1)를 구하

시오.

문제 11 [20점] 다음 이변수 함수에 대하여 임계점을 모두 구하고,각 임계점이 극대점인지, 극소점인지, 안장점인지를 판별하시오.

f(x, y) = xe−x(y2 − 4y)

문제 12 [20점] 들이가 2000cm3인 직육면체형 상자를 만드는데, 윗면은 cm2당 3원이 들고, 옆면과 밑면은 cm2당 1원이 든다고 한다.최소의 비용을 들여서 상자를 만들려면 가로(x), 세로(y), 높이(z)를각각 몇 cm로 하면 되겠는지 라그랑주 승수법을 이용하여 구하시오.

〈 연습용 여백 〉

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