Коммерциялық ЭНЕРГЕТИКА ЖӘНЕ БАЙЛАНЫС...

1

Коммерциялық

емес акционерлік

қоғам

Компьютерлік және

инфокоммуникациялық

қауіпсіздігі кафедрасы

ЭЛЕКТРОМАГНИТТІ ТОЛҚЫНДАРДЫ ТАРАТУ ТЕОРИЯСЫ

5В071900 – Радиотехника, электроника және телекоммуникациялар

мамандығының студенттеріне арналған есептер жинағы

Алматы 2015

АЛМАТЫ

ЭНЕРГЕТИКА ЖӘНЕ

БАЙЛАНЫС

УНИВЕРСИТЕТІ

2

Құрастырушы: Суйеубаев О.Б. Электромагнитті толқындарды тарату

теориясы. 5В071900 – Радиотехника, электроника және

телекоммуникациялар мамандығының студенттеріне арналған есептер

жинағы.- Алматы: АЭжБУ, 2015. – 33 б.

Әдістемелік нұсқауда қысқаша теориялық мәліметтерді және

«Электромагнитті толқындардың таралу теориясы» пәні бойынша 3 курс

студенттері үшін барлық жұмыстарды орындауға арналған мысалдар

кӛрсетілген.

Сурет-6, әдеб. кӛрсеткіштері - 5 атау.

Пікір беруші: техника ғылымдарының кандидаты Курпенов Б.К.

«Алматы энергетика және байланыс университеті» коммерциялық емес

акционерлік қоғамының 2015 жылғы жоспары бойынша басылады.

© «Алматы энергетика және байланыс университеті» КЕАҚ, 2015ж.

3

Кіріспе

«Электромагнитті толқындардың таралу теориясы» курсы бойынша

есептер жинағында классикалық релятивистік емес электродинамика

қарастырылады. Сондай-ақ электромагнетизмнің жеке теориясы, негізгі

түсінік – ӛріс кернеулігі, зарядтар мен тоқтар әр нарседен шығарылмайды,

демек бұл есептер жинағы жоғарыда аталғандарға сәйкес шешімін табады.

Сонымен қатар, біз үлкен жылдамдықта жылжып келе жатқан дененің жарық

жылдамдығының аз жылдамдықта ӛтуі сияқты тәсілдерді де қолданамыз.

Макроскопиялық электродинамиканың негізгі жағдайымен келісе

отырып, электромагниттік ӛріс (ЭМӚ) әрбір нүктеде, әрбір уақыт

жағдайында тӛрт аймақпен анықталады: E -электр ӛрісінің кернеулік векторы,

В/м; D -электрлік сығылудың векторы, Кл/м2; H - магниттік ӛрістің кернеулік

векторы, А/м; B -магнит индукциясының векторы, Тл. Бұл тӛрт вектордан

басқа электромагниттік ӛрістің орындалуының тағы да екі кӛлемі бар: бос

электрлік зарядтың тығыздығы (А/м2) және электрлік тоқтың тығыздығы

ПРj (Кл/м3), олар ӛрістегі заряд және тоқ кӛздерімен сипатталады.

4

1 Векторлық талдаудың элементтері

Мақсаты: скалярлық және векторлық ӛріс – физикалық ӛрісті

математикалық модель үлгісімен пайдалануды оқып үйрену.

1.1 Негізгі теориялық мәліметтер

Скалярлық және векторлық ӛрісі- физикалық ӛрісін сипаттау үшін

олардың математикалық моделін қолданамыз. (х1, х2, х3) координаты негізсіз

жүйені θ скалярлық ӛрісі θ(х1, х2, х3) түріне әкеледі, қабылданған сандық мән

– комплекстік немесе анық болып табылады. А векторлық ӛрісі таңдалған

координаттар жүйесінің бірлік векторына үш проекцияда беріледі:

А = Ах1(х1, х2, х3)1х1 + Ах2(х1, х2, х3)1х2 + Ах3(х1, х2, х3)1х3.

Биіктік пен жылдамдықтың бағытталу сипаттамасы үшін кеңістіктегі

скалярлық ӛрістің ӛзгеруіне мына ӛрісградиенті берілді:

gradθ =1

𝑕1

𝜕φ

𝜕х11𝑥1

+1

𝑕2

𝜕φ

𝜕х21𝑥2

+1

𝑕3

𝜕φ

𝜕х31𝑥3

, (1.1)

мұндағы, h1, h2, h3 – Лямэ коэффициенті, х1, х2 және х3 коэффициенті

бойынша, пропорционалдық коэффициент пен дифференциалды координат

жиынтықтарының арасындағы және берілген нүктеде параллелепипедтің

элементарлық бүйір шексіздігі.

Лямэ коэффициентінің мағынасына жиі қолданылатын координаталық

жүйелерден мысал келтірейік:

- декарттық координат жүйесі (х, у, z)

𝑕х = 𝑕у = 𝑕𝑧 = 1;

- цилиндрлік координат жүйесі (r, θ, z)

𝑕𝑟 = 1, 𝑕φ = 𝑟, 𝑕z = 1;

- сфералық координат жүйесі (r, υ, θ)

𝑕𝑟 = 1, 𝑕υ = 𝑟, 𝑕φ = 𝑟𝑠𝑖𝑛υ.

Нақты градиентті келесі ӛрнекпен есептейді:

- декарттық координат жүйесі

grad = 𝜕

𝜕𝑥1𝑥 +

𝜕

𝜕𝑦1𝑦 +

𝜕

𝜕𝑧1𝑧 ;

- цилиндрлік координат жүйесі

grad = 𝜕

𝜕𝑟1𝑟 +

1

𝑟

𝜕

𝜕φ1φ +

𝜕

𝜕𝑧1𝑧 ;

5

- сфералық координат жүйесі

grad = 𝜕

𝜕𝑟1𝑟 +

1

𝑟

𝜕

𝜕υ1υ +

1

𝑟𝑠𝑖𝑛𝜐

𝜕

𝜕𝜑1𝜑 .

А векторлық ӛріс дивергенциясын белгілі бір дифференциялдық

жүйемен анықтаймыз:


5iva = 𝜕𝐴𝑥

𝜕𝑥+

𝜕𝐴𝑦

𝜕𝑦+

𝜕𝐴𝑧

𝜕𝑧; (1.2)


divA = 1

𝑟

𝜕

𝜕𝑟 𝑟𝐴𝑟 +

1

𝑟

𝜕𝐴𝜑

𝜕𝜑+

𝜕𝐴𝑧

𝜕𝑧; (1.3)


divA = 1

𝑟2

𝜕

𝜕𝑟 𝑟2𝐴𝑟 +

1

𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑

𝜕

𝜕𝑣 𝑠𝑖𝑛𝑣𝐴𝑣 +

1

𝑟𝑠𝑖𝑛𝑣

𝜕𝐴𝜑

𝜕𝜑. (1.4)

Еркін ортогоналдық қисық сызықты координаттық жүйесі

divA = 1

𝑕1𝑕2𝑕3 𝜕

𝜕𝑥1 𝑕2𝑕3𝐴𝑥1

+𝜕

𝜕𝑥2 𝑕1𝑕3𝐴𝑥2

+𝜕

𝜕𝑥3 𝑕1𝑕2𝐴𝑥3

. (1.5)

Проекциялық роторда векторлық ӛрісі мынадай түрде болады:

(rotA)x = 𝜕𝐴𝑧

𝜕𝑦−

𝜕𝐴𝑦

𝜕𝑧;

(rot A)y = 𝜕𝐴𝑥

𝜕𝑧−

𝜕𝐴𝑧

𝜕𝑥; (1.6)

(rot A)z = 𝜕𝐴𝑦

𝜕𝑥−

𝜕𝐴𝑥

𝜕𝑦;


(rotA)r = 1

𝑟

𝜕𝐴𝑧

𝜕𝜑−

𝜕𝐴𝜑

𝜕𝑧;

(rot A)θ = 𝜕𝐴𝑟

𝜕𝑧−

𝜕𝐴𝑧

𝜕𝑟; (1.7)

(rotA)z= 1

𝑟 𝜕(𝑟𝐴𝜑 )

𝜕𝑟−

𝜕𝐴𝑟

𝜕𝜑 ;.


(rotA)r = 1

𝑟𝑠𝑖𝑛𝑣 𝜕

𝜕𝑣(𝑠𝑖𝑛𝑣𝐴𝜑) −

𝜕𝐴𝑣

𝜕𝜑 ,

(rot A)v = 1

𝑟

1

sin 𝑣

𝜕𝐴𝑟

𝜕𝜑−

𝜕(𝑟𝐴𝜑 )

𝜕𝑟 , (1.8)

6

(rot A)θ = 1

𝑟 𝜕

𝜕𝑟(𝑟𝐴𝑣) −

𝜕𝐴𝑟

𝜕𝑣 .

А векторлық ӛрістегі ротор Лямэ коэффициенті мен шығу ӛрісі

проекциясы арқылы еркін координат жүйесін тудырады:

rot A=[ A]. (1.9)

Дифференциалдық операцияны скалярмен және векторлық ӛріспен,

Гамильтон операторымен жазу ыңғайлы болып есептеледі . Анықталуы

бойынша

grad U= U, div A= A, rot A=[ A]. (1.10)

Декарттық координат жүйесі Гамильтон операторында мынадай

символдық вектор бар

=𝜕

𝜕𝑥1𝑥 +

𝜕

𝜕𝑦1𝑦 +

𝜕

𝜕𝑧1𝑧 . (1.11)

Екінші қатарлы дифференциалды векторлы операциясынан кең

электродинамикалық операторды қолданады 2, А векторлы ӛрісі

заңдылығымен байланысу арқылы былай жазылады:

2А=grad div A – rot rot A. (1.12)

Екінші қатарлы дифференциалдық операция скалярлық ӛріспен

қозғалады, Лаплас операторымен беріледі

2 = ∆ = div grad.

Әртүрлі координаттық жүйедегі Лаплас операторы келесі түрде

жазылады:


2U =

𝜕2𝑈

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑈

𝜕𝑦2+

𝜕2𝑈

𝜕𝑧2;

(1.13)


2U =

1

𝑟

𝜕

𝜕𝑟 𝑟

𝜕𝑈

𝜕𝑟 +

1

𝑟2

𝜕2𝑈

𝜕𝜑2+

𝜕2𝑈

𝜕𝑧2; (1.14)


2U= 1

𝑟2

𝜕

𝜕𝑟 𝑟2 𝜕𝑈

𝜕𝑟 +

1

𝑟2 sin 𝑣

𝜕

𝜕𝑣(sin𝑣

𝜕𝑈

𝜕𝑣) +

1

𝑟2 sin 𝑣

𝜕

𝜕𝑣 𝑠𝑖𝑛𝑣

𝜕𝑈

𝜕𝑣 +

1

𝑟2𝑠𝑖𝑛 2𝑣

𝜕2𝑈

𝜕𝜑2 .

(1.15)

Графикалық суреттерде векторлық ӛріс күш сызығымен құрылуы тиіс.

Күш сызығының әрбір векторлық ӛрісі ӛзіне байланысты. Мұнда үдемелі

ӛрісі үлкен, күш сызығы кӛбірек кездеседі кейде керісінше болады.

7

1.2 Типтік есептерді шешу жолдары

Декарттық координаттық жүйеде векторлық ӛрістің А проекциясы

әрбір нүктеде тұрақты: Ах = А0, Ау = В0, Аz = 0.

Векторлық ӛрісте күш сызығының суретін құру.

Ш е ш і м і: бірден бір декарттықты құраушы векторлық ӛрісінде

болмауы, күш сызығы жазық қисықтықты болуы, жазықтықта жатуы,

параллельді жазықтық ху болып саналады. Векторлық ӛріс күш сызығының

әрбір нүктесіне қатысты болады, осыдан күш сызығының дифференциалды

теңестірілуі шығады.

dx/A0 = dy/B0, (1.16)

екі тікбұрышты үшбұрыштың катеттері dx, dy және А0, В0 сәйкес. Жалпы

интегралды теңестірілу (1,16) мынадай түрге ие:

y = (B0/A0)x + C.

мұндағы С – еркін тұрақты.

Күштік сызықтық ӛріс бір параметрлік тікбұрышты коэффициентік осі

х, В0/А0 тең.

1.3 Есептер

1.3.1 Декарттық координат жүйесі бір ғана А векторлық ӛрісімен

құрастырылады Аz = 3у2.

1.3.2 Сфералық координат жүйесі А = r1r. векторлық ӛріспен

белгіленеді. Скалярлық ӛрісті анықтау керек div A. Векторлық ӛрісінің

күштік сызығының суретін сапалы орындау.

Жауабы: div A = 3.

1.3.3 Сфералық координат жүйесі А векторлық ӛрісіне бір ғана r-мен

құралады және Ar = f(r). А ӛрісінің дивергенциясы нольге тең болғанда f(r)

функциясы қандай болуы керек? Күштік сызықты ӛрісінің суретін тұрғызу

керек.

Жауабы: f(r) = a/r2, мұндағы а –тұрақты.

1.3.4 Цилиндрлік координат жүйесі: Ar = 10/r2, Aφ = 0, Az = 0 болғанда,

А векторлық ӛрісіндегі дивергенция мен роторды анықтау керек.

Жауабы: div A = -10/r3, rot A = 0.

1.3.5 Сфералық координат жүйесі Аφ = 8rexp (10r) болғанда, А

векторлық ӛрісіндегі дивергенция мен роторды анықтау керек.

Жауабы: div A = 0, rot A = 16(1-5r) exp (-10r) 1φ.

1.3.6 Векторлық талдаудың келесі үйлесімін табыңыз (θ мен А – еркін

дифференциялдық скалярлы және векторлық ӛрісі):

div rot A = 0;

rot grad θ = 0;

rot (θA) = [grad θA] + θ rot A;

8

div (θA) = grad θA + θ div A;

grad (θ1 θ2) = θ1 grad θ2 + θ2 grad θ1.

1.3.7 А векторлық ӛрісі, барлық нүктеде қанағаттандырып

қарастырылатын аймақ div A = 0 соленоидальды деп аталады (ӛріс кӛзінсіз).

Шартты орнау кезінде rot A = 0, А ӛрісі потенциалды векторлық ӛріс деп

аталады. Егер мұндай ӛріс күшті сипаттаса, материалдық нүктеге сәйкес,

сыртқы күштің жұмысы тексеру кезінде жабық контурда нӛлге тең болады.

Декарттық координат жүйесі А векторлық ӛрісте Ау = 15х2.

Қандай ӛрісте екенін тексеру керек: а) соленоидты; б) потенциалды.

1.3.8 θ скалярлық ӛріс декарттық координат жүйесінде θ = 3х2у cos z

+2z2 ӛрнектелген.

grad θ векторлық ӛрісті есептеу керек.

Жауабы: grad θ = 6xy cos z1x + 3x2cos z 1y + (2z – 3x

2y sin z) 1z.

2 Статикалық және стационарлық электромагниттік өріс

Мақсаты: статикалық және стационарлық электромагниттік ӛрісті

оқып үйрену, Максвелл теңдеулері.

2.1 Теориядағы негізгі мәліметтер

Математикалық сипаттама үшін электромагниттік ӛрістің шығу

жүйелерінде уақыт бойынша Максвелл теңдеулерінің барлық мүшелері нӛлге

теңестірілу қажет. Нәтижесінде келесі түрде дифференциалдық

теңдеулерімен бейнеленеді:

rot E = 0;

div D = ρ; (2.1)

rot H = Jэ;

divB = 0. (2.2)

Вакуумдағы нүктелі заряд q сфералық симметриялықтың потенциалға

бӛлгенге тең:

θэ(r) = 𝑞

4𝜋휀0𝑟 . (2.3)

Егер шектелген V облысының ішіне электрлік зарядының ρ кӛлемінің

барлығы таралса, онда принциптің негізі суперпозицияны анықтаумен

Пуассон теңдеуі келесі түрде жазылады:

θэ = 1

4𝜋휀а

𝜌𝑑𝑉

𝑅𝑉 , (2.4)

9

мұндағы R – бақылау және интегралданған нүкетелері арасында

қиылатын ұзындығы. Нүктелік зарядқа q, Е электростатикалық ӛріске

араласқан күштің әсері:

F =qE. (2.5)

Күштің ӛзара екі зарядталған q1 мен q2 нүктелері бір-бірінен r12

арақашықтықта қалса, Кулон заңымен анықтауға болады:

F = 𝑞1𝑞2

4𝜋휀𝑎𝑟12 . (2.6)

Электростатикалық ӛрісте энергияның кӛлемдік тығыздығы

wэ= 𝐸𝐷

2 . (2.7)

V кӛлемде жазылған энергия,

Wэ= 1

2 𝐸𝐷𝑑𝑉𝑉

. (2.8)

2.2 Электрлі статикалық пен магнитті статикалық есептердің

шығару амалдары

Электр ӛрісінің кернеулігі немесе скалярлық потенциал кеңістікте

зарядтардың белгілі таралуы бойынша табылатын есептер қарапайым болып

келеді. Егер таралу жазық, цилиндрлі немесе сфералық симметриялы болса,

онда есептерді Гаусс заңы деп аталатын үшінші Маквелл теңдеуінің

интегральды түрленуі негізінде шешеді:

𝐷𝑑𝑆 = 𝑄𝑆

,

мұндағы Q –шектелген тұйық S беті кӛлемінде орналасқан толық заряд.

Зарядтың симметриялық таралуы кезінде Е (немесе D) векторы

жобаланған беттің барлық нүктесінде модуль бойынша ӛзгермейді, сонымен

қатар электростатикалық ӛрісте туатын зарядтар жүйесі де ӛзгермейді.

Сондықтан интеграл асты функциясы түріндегі интегралда интеграл белгісі

ретінде коэффициент енгізу керек.

Жалпы жағдайда әдіс скалярлы электростатикалық потенциалмен

салыстыра отырып Пуассон және Лаплас теңдеулерін шешуге негізделген.

Мұнда кеңістіктік симметрялы емес зарядтар жүйесіне негізделген ӛрістер

туралы есепті соңына дейін шешуге болады.

Электрлі статикалық пен магнитті статикалықтың арасында кӛптеген

ұқсастықтары бар, бірақ сипаттамалық айырмашылығы да бар. Егер

кеңістіктің кейбір аймақтарында электр тогы болмаса, магнитті ӛріс

10

құйынсыз (rot H = 0) болып табылады және аналог бойынша (2.3) скалярлы

магниттік потенциалды ӛрісімен белгіленеді θм:

H = - grad θм. (2.10)

біртекті ортада (μа = const) θм потенциалы Лаплас теңдеуін

қанағаттандырады.

Магнитті статика есептерінің спецификалық ерекшелігі

кӛпбайланысқан облыстар үшін ток контурымен топологиялық тізбектелген

скалярлы магнитті потенциал әдісі бойынша шешу болып табылады.

Магнитті статикалық байланыс есептерін шешудің басқаша тәсілі

векторлы электрлік потенциалы Аэ түсінігімен байланысты болады, мұндағы

магнитті индукция векторы келесі түрде белгіленеді:

В = rot Aэ. (2.12)

Мұндай жағдайда Максвеллдің тӛртінші теңдеуі div B=0 автоматты

түрде қанағаттандырылады:

div Aэ= 0. (2.13)

Бұл кезде Аэ потенциалы Пуассон теңдеуінің векторлық шешімі

болуы керек:

∇2Аэ = −𝜇а𝐽э. (2.14)

Егер де токтар кейбір шектеулі кӛлем V ішінде болса, онда ол (2.10)

аналогымен жазылады:

Аэ =𝜇а

4𝜋

𝐽э𝑑𝑉

𝑅𝑉. (2.15)

Егер магнитті статиканың нақты есептері цилиндрлі симмерияға ие

болса, онда магнит ӛрісінің кернеуі айналма контурда тұрақты болады, оның

орталығы симметриялы осьте жатады. Мысал есептер ретінде шексіз түзу

сызықты ӛткізгіштің магнитті ӛрісі туралы есептер бола алады. Олардың

шешімі ретінде, егер L тұйық контурмен қамтылатын IΣ толық ток белгілі

болса, толық ток заңы негізіндегі элементарлы тәсілдер болады.

𝐻𝑑𝑙 = 𝐼 ,𝐿 (2.16)

Беттік қабатқа енген магнитті ағын Ф интеграл деп аталады:

Ф = 𝐵𝑑𝑆𝑆

. (2.17)

Егер кейбір ӛткізгіш контур (мысалы, сымды жіп) осы контур арқылы

ӛткен I тогы әсерінен магнитті ағынға Ф тізбектелген болса, онда жүйенің

ӛздігінен индукциялану (индуктивтілік) коэффициенті

11

L=Ф/І (2.18)

болады. N жіпті катушкасы бар кезде ағынды тізбек қарастырылады:

Ψ = NФ. (2.19)

Бұл жағдайда катушканың индуктивтілігі:

∆ = Ψ /I. (2.20)


Ұзындығы 21 болатын түзу сызықтың кесінідісінің сызықты

тығыздығы ηq Кл/м болатын заряд біркелкі таралған.

Барлық кеңістіктегі скалярлы электрлі потенциалдың ӛзгеру

заңдылыған анықтау керек.

Ш е ш у і : цилиндрлік жүйенің координатын зарядтар таралған G

кесіндінің z осіне сәйкес келетіндей енгізіміз, ал координат басы G

кесіндісінің ортасы болуы керек. Ұзындықтың (-l, +l) интервалындағы әрбір

элементі dq= ηq dz зарядына ие. Егер координат элементінің ұзындығы z=ζ

тең болса, онда қадағалау нүктесі (r,z) элементар заряды потенциал

ӛрісінен пайда болады.

Суперпозиция принципін пайдалана отырып, қадағалау нүктесіндегі

потенциалдық жиынтықты аламыз интегралдар кестесі бойынша соңғы

жауабын анықтаймыз:

θэ = 1

4𝜋휀а

𝜌𝑑𝑉

𝑅𝑉 ,

мұнда ӛлшемсіз парамерлар алынды А = г//, В — rll.

2.4 Есептер

2.4.1 Радиусы 5см болатын зарядталған металды шар ауада орналасқан.

Ауадағы электрлік ойық ӛріс кернеулігі 30 кВ/см болғанда пайда болады.

Ойықтың болмауын қамтамасыз ететін Заряд шарының рұқсат етілетін

мӛлшерін анықтаңыз.

Жауабы: 8,3·10-7

Кл.

2.4.2 Металдан жасалған радиусы а = 2 см және b = 5 см болатын екі

шексіз ұзын коаксиалды цилиндр бар. Цилиндрдің арасындағы кеңістік іші

ауамен толған. Ішкі цилиндрдің потенциалы 5 В, ал сыртқы цилиндрдің

потенциалды мәні нӛлге тең. Айналасы r=4 см болатын электр ӛрісінің

кернеуін анықтау керек.

Жауабы: 136 В/м.

2.4.3 Радиустары а мен b (a<b) екі цилиндрлерімен жасалған таралудың

коаксальды сызығындағы электрлік тесікке сынақ жүргізіледі. Жүйеде ойық

цилиндрлер арасындағы U0 тең потенциалдардың айырмашылығынан пайда

12

болатыны анықталды. Содан ішкі цилиндр потенциалы екі есеге

қысқартылды. Жаңа жүйеде потенциалдардың қандай айырмашылығында

ойық пайда болатынын анықтаңыз.

Жауабы: U = U0 𝑙𝑛2

ln (𝑏

𝑎)

+ 1 .

2.4.4 Шексіз металды жазықтық тығыздығы 4·10-12

Кл/м2

бетпен

зарядталған. Абсолюттік диэлектрлік ӛткізгіштігі εа=ε0 қабылдай отырып,

барлық кеңістіктегі D мен Е ӛрістерінің шамасын табу керек.

Жауабы: D = ±2 ∙ 10−12 Кл

м2, Е = ±0,226 В/м (белгі бақылаудың қай

жартылай кеңістігінде орналасқанына байланысты болады).

2.4.5 Радиус а болатын шексіз цилиндрлі ӛткізгіштікпен тығыздығы J

тұрақты тоқ ағады. Ӛткізгіштің ішкі және сыртқы магнит ӛрісінің кернеуін

анықтау қажет.

Жауабы:

𝐻𝜑 =

𝐽𝑟

2 𝑟 ≤ 𝑎 ,

𝐽𝑎2

2𝑟 𝑟 > 𝑎 .

2.4.6 Тоқ тығыздығы J =J0r/a заңдылығымен ӛзгереді деп болжам

жасау арқылы 2.4.5 есепті шешіңіз.

Жауабы:

𝐻𝜑 =

𝐽0𝑟2

(3𝑎) 𝑟 ≤ 𝑎 ,

𝐽0𝑎2

3𝑟 𝑟 > 𝑎 .

3 Жазық электромагниттік толқындар

Мақсаты: жазық электромагниттік толқынды зерттеу.


Жазық электромагниттік толқындар біртекті шексіз ортада болады.

Гармониялық заң бойынша уақыт бойынша ӛзгеретін ӛрістер жағдайында Ė

және Ḣ кешенді амплитудасы Гельмгольц теңдеуін қанағаттандырады.

𝛻2 Ė+γ2 Ė = 0,

(3.1)

𝛻2 Ḣ +γ2 Ḣ = 0,

мұндағы 𝛾 = 𝜔 휀 а𝜇 а = 𝛽 − 𝑗𝛼 − кешенді таралу коэффициенті;

β – фаза коэфициенті немесе толқындар саны;

α – әлсіреу коэффициенті.

Максвеллдің бастапқы теңдеулері Е және Н арасында бірмәнді

байланыс бергендіктен олардың біреуін ғана табу жеткілікті болады.

13

Егер εа және μа шамалары белгілі болса, онда β және квадраттық

кешенді саннан түбір үшін ӛрнек арқылы α табуға болады:

𝑎 ± 𝑗𝑏 = ±( 𝑟+𝑎

2± 𝑗

𝑟−𝑎

2 ),

мұндағы 𝑟 = 𝑎2 + 𝑏2 − кешендік сан модулі;

𝑟 + 𝑎 және 𝑟 − 𝑎 квадраттық түбірлерін оң мән деп қабылдауға

болады.

Жоғары жиіліктерде кӛптеген орталардың магнитті қасиеттері әлсіз

байқалады. Сондықтан практикалық мақсатта дәлдік дәрежені тӛмендегідей

есептеу жеткілікті болады:

μ а=μ0.

Егер

휀а = 휀а − 𝑗휀′′𝑎 = 휀휀0 1 − 𝑗𝑡𝑔𝛿э ,

болса, кешенді таралу коэффициенті

𝛾 = 𝛽 − 𝑗𝛼 = 𝜔 𝜇0휀′𝑎 1 − 𝑗𝑡𝑔𝛿э. (3.2)

β фаза коэффициенті гармониялық тербелістің толқындар таралған

кездегі ӛзгерісін сипаттайды. 2π рад-ға ӛзгерген фазалардың ара қашықтығын

толқын ұзындығы деп атайды:

λ=2π/β.

Тең фазалар жазықтығын толқындардың фазалық фронты дейді, ал

осы жазықтықтардың араласу жылдамдығын – фазалық жылдамдық деп

атайды:

υф=ω/β. (3.3)

Әлсіреу коэффициенті және фаза коэффициенті келесі формулалармен

бейнеленген:

𝛽 =2𝜋 휀

λ0

1+ 1+𝑡𝑔2𝛿э

2

1/2

, (3.4)

𝛼 =2𝜋 휀

λ0 1+𝑡𝑔2𝛿э−1

2

1/2

. (3.5)

Осыған байланысты мынадай теңдеу шығады:

α = β tg (δэ/2).

Жылдамдық фазасы

14

𝜗ф = 2с

휀 1+ 1+𝑡𝑔2𝛿э 1/2 , (3.6)

толқын ұзындығы

λ = 2λ0

휀 1+ 1+𝑡𝑔2𝛿э 1/2 . (3.7)

Жарық жылдамдығы мен фазалық жылдамдықтар қатынасын сыну

коэффициенті дейді :

𝑛 = 휀𝜇.

Максвеллдің теңдеуін ескере отырып, жазық толқын кезінде Е және Н

векторларының кешенді амплитудасы ортаның сипаттамалы кедергісімен

байланысты болады:

𝑍𝑐 =𝜔𝜇𝑎

𝛾= 𝜇 𝑎/휀𝑎 , (3.8)

Осылай

𝐸 = 𝑍𝑐𝐻 .

Магнитсіз орталар үшін сипаттамалы кедергі (μ а=μ0)

𝑍𝑐 = 𝜇0

휀휀0 1 − 𝑗𝑡𝑔𝛿э

−1/2 =120𝜋

휀 1 + 𝑡𝑔2𝛿э

−1/4𝑒 𝑗𝛿э2 Ом.

Аргумент нӛлден (жоғалтуларсыз диэлектриктер) π/4 (идеалды металл)

дейін мәндер қабылдайды.

Вакуум үшін сипаттамалы кедергі

𝑍0 = 𝜇0/휀0 = 120𝜋 = 376,991 Ом.

Векторлық теңдеулер (5.1) координатаның декартты жүйесінде жеке

шешімі бар (3.9) әрбір ӛрістер векторының құраушыларының координатын

∇2𝑈 + 𝛾2𝑈 = 0,

теңдеуімен қанағаттандырады

𝑈 = 𝐶 𝑒𝑥𝑝 −𝑗𝛾 ℵ𝑥𝑥 + ℵ𝑦𝑦 + ℵ𝑧𝑧 , (3.9)

бұл жерде С – тұрақты;

ℵ𝑥 ,ℵу,ℵ𝑧 − тӛмендегі шартты қанағаттандыратын кешенді тұрақты

15

N2

x+N2

y+N2

z=1. (3.10)

Егер N2

x, N2

z N2

y, - нақты сандар болса, онда (3.9) ӛрнек

координаталардың бастапқы жүйесімен салыстырғанда кез келген бағытқа

таралған біркелкі жазық толқындарды сипаттайды. Бұл толқындарды келесі

формуламен кӛрсетуге ыңғайлы болады:

𝑈 = 𝐶 exp −𝑗𝛾 ℵ𝑟 . (3.11)

Жазық толқын таралуларға бағытталған энергияны кӛтереді. Бұл

процесс гармониялық ӛрістер үшін Пойнтинга вектордың орташа мәнмен

суреттеледі:

Пср =1

2𝑅𝑒 𝐸 𝐻 . (3.12)

Кернеулікті тек қана электр немесе магнитті ӛріс арқылы білдіруге

болады:

Пср = 𝐸 2

2𝑅𝑒

1

𝑍𝑐 𝐼𝑧 =

𝐻 2

2𝑅𝑒 𝑍𝑐 𝐼𝑧 . (3.13)

Жоғалтуларсыз орталарда z координатадан Пср тәуелді болмайды. Егер

орта жоғалтуларға ие болса, біресе жазық электромагнитті толқындар

қуаттар ағынның тығыздығы экспоненталық заң бойынша таралуда кемиді:

Пср = Пср 0 exp −2𝛼𝑧 . (3.14)

Ортада жоғалтулар шамасы дБ/м ∆ басылу бойымен сипатталады:

∆= 20 lg 𝐸(0)

𝐸(1) = 10 lg

П(0)

П(1) ,

α әлсіреу коэффициенті ∆ = 8, 69α қатынасымен байланысты.


109

Гц жиілікті жазық электромагнитті толқын ортада 휀 = 2,4, 𝑡𝑔 𝛿э =10−1, 𝜇 = 1. параметрлерімен таралады.

Фазалық жылдамдық, толқын ұзындығы және әлсіреу коэффициентін

анықтау керек.

Шешуі: 𝑡𝑔 𝛿э ≪ 1 ескере отырып, (3.3.) теңдеуді дәрежелі қатарға

орналастырамыз. Алғашқы үш мүшемен шектеле отырып дәрежелік қатар

аламыз

𝛾 = 𝜔 𝜇0휀′𝑎 1 − 𝑗𝑡𝑔𝛿э ≈ 𝜔 𝜇0휀′𝑎 1 − 𝑗𝑡𝑔𝛿э

2+𝑡𝑔2𝛿э

8 .

16

Осыған байланысты, диэлектириктер үшін жоғалтуы аз болған фазалар

коэффициенті мен әлсіреу коэффициенті жуықтап алғанда:

𝛽 = 𝜔 𝜇0휀′𝑎 1 + 0,125𝑡𝑔 2𝛿э ,

𝛼 = 0,5𝜔 𝜇0휀′𝑎 𝑡𝑔 𝛿э.

(3.4) қатынасын пайдалана отырып толқынның фазалық жылдамдығын

табамыз:

𝜗ф =𝜔

𝛽≈

с

휀 (1 + 0,125𝑡𝑔2𝛿э).

Алынған нәтижелерден кӛрініп тұрғандай ортадағы жоғалтудың болуы

фазалық жылдамдық шамасының ӛзгеретінін кӛрсетеді. 𝑡𝑔𝛿э = 10−1 үшін

түзету 0,125% құрайды, яғни практикалық жағдайда

𝜗ф ≈с

휀= 1,94 ∙ 108м/с.

болады.

Белгілі болған фазалық жылдамдық шамасымен толқын ұзындығын

табамыз:

𝜆 =𝜗ф

𝑓= 0.194 м.

Бастапқы мәндерді қойған кезде алынған формула тӛмендегі мәнге ие

болады:

𝛼 = 1,622 м−1.

3.3 Есептер

3.3.1 Ортаның сипаттамалы кедергісі 1508 Ом, салыстырмалы

диэлектрикті ӛткізгіштік 휀 = 1.

Ортаның салыстырмалы магнитті ӛткізгіштігін анықтау керек.

Жауабы: 16.

3.3.2 Ортада 휀 = 1, 𝜇 = 1, 𝜍 = 0 бірге жазық электромагнитті толқын

таралады, ол жазықта

𝐸 = 0.5 1𝑥 + 0.2 1𝑦 .

болатын электрлік ӛрістің кернеулік векторының кешенді амплитудасы.

Егер толқын z координатасының ӛсу бағытына қарай таралатын болса

магнитті ӛрістің кернеулік векторының кешенді амплитудасын табу керек.

Жауабы: 𝐻 = −1.061 1𝑥 + 2.65 1𝑦 10−3 А/м.

3.3.3 50 Гц және 5 МГц жиілікте электромагтитті ӛрістің әлсіреу

амплитудасын 104

есе қамтамасыз ететін мысты экранның қалыңдығын

анықтау керек.

Жауабы: 9,271 см, 29,374 мкм.

17

3.3.4 50 Гц жиілікте электромагнитті ӛрістің әлсіреу амплитудасы 104

есе қамтамасыз ететін экран қалыңдығын анықтау керек, мұндағы экран ζ =

5∙107 См/м және μ = 900 болатын материалдан дайындалған. Алынған

нәтижені алдыңғы есептің жауабымен салыстару керек.

Жауабы: 3,09 мм.

3.3.5 Параметрлері 휀 = 2,25,𝜇 = 1,𝜍 = 0 ортада электр ӛрісінің кернеу

амплитудасы 100 В/м болатын жазық электромагнитті толқын таралған.

Таралу бағытына қарай ауысқан толқынның ағын қуатының

тығыздығын анықтау керек.

Жауабы: 19,894 Вт/м2.

3.3.6 Ортада 휀 = 144, 𝜇 = 1, 𝑡𝑔𝛿э = 0.6 параметрлерімен таралған

жазық электромагнитті толқын үшін 10 ГГц жиіліктегі z = 0 жазықтықтағы

электр ӛрісінің кернеулік амплитудасы 100 В/м болғандағы ағын қуатының

тығыздығын анықтау керек.

Жауабы: 165 Вт/м2.

3.3.7 Параметрлері ζ=5·107 См/м, μ=1 металда таралған 10 МГц

жиіліктегі жазық электромагнитті толқындар үшін фазалар жылдамдығын,

әлсіреу коэффициентін және ену тереңдігін есептеу керек.

Жауабы: d=22,5 мкм.

3.3.8 Жиілігі 109 Гц жазық электромагнитті толқын ортада 휀 = 2,25,

𝑡𝑔𝛿э = 0,01, 𝜇 = 1 параметрмен таралады. 𝑧 = 0 жазығындағы электрлік

ӛріс амплитудасы 100 В/м тең.

𝑧 = 1м жазығындағы ағын қуатының орташа тығыздығын анықтау

керек.

Жауабы: Пср(z = 1) = 14,38 Вт/м2.

4 Жазық электромагниттік толқындардың шағылуы мен сынуы

Мақсаты: жазық электромагниттік толқындардың шағылуы мен

сынуын оқып үйрену.


Осы толқындардың кешендік амплитудасы шағылысу

коэффициентімен

𝑅 𝐸 = 𝐸 отр/Е пад, 𝑅 𝐻 = 𝐻 отр + 𝐻 пад

және сыну коэффициентімен

𝑇 𝐻 = 𝐻 пр/𝐻 пад

құлаған толқындардың кешенді амплитудасымен байланысты.

Мұнымен қатар қуат ағыны тығыздығының орташа мәні үшін

шағылысу және сыну коэффициенті енгізілуі мүмкін:

18

𝑅П =Потр

Ппад, Тп = Ппад.

Егер құлаған толқынның Пойнтинг векторы бӛліну шекарасына

перпендикуляр болса:

𝑅 𝐸 =𝑍𝑐2−𝑍𝑐1

𝑍𝑐2+𝑍𝑐1; (4.1)

𝑇 𝐸 =2𝑍𝑐2

𝑍𝑐2+𝑍𝑐1 (4.2)

болады. Шекаралық шартқа байланысты құлау θ, шағылу θ0 және сыну θп

бұрыштары айналық шағылу бұрыштарына

θ = θ0

және Снелл заңына

sin θ/sin θп = β2/ β1, (4.3)

байланысты, мұндағы индекс 1 толқынның құлауы болатын ортаға жатады.

Фаза коэффициенті β (4.3) теңдеуі үшін келесі теңдеу орындалады:

sinφ

sin 𝜑п=

휀2𝜇2

휀1𝜇1.

Құлау бұрышының берілген мәні үшін шағылу коэффициенті R мен

сыну Т құлау жазықтығымен салыстырғанда электромагнитті ӛріс бағытына

тәуелді болады. Егер Е векторы осы жазықтықта жататын болса, онда

𝑅′′𝐸 =𝑍𝑐2 cos 𝜑п−𝑍𝑐1 cos 𝜑

𝑍𝑐2 cos 𝜑п−𝑍𝑐1 cos 𝜑, (4.4)

𝑇′′𝐸 =2𝑍𝑐2 cos 𝜑

𝑍𝑐2 cos 𝜑п+𝑍𝑐1 cos 𝜑. (4.5)

Егер Е вектор құлау жазықтығына перпендикуляр болса, шағылу және

сыну коэффициенттері келесі теңдеумен орындалады:

𝑅Е

=𝑍𝑐2 cos 𝜑−𝑍𝑐1 cos 𝜑п

𝑍𝑐2 cos 𝜑−𝑍𝑐1 co s 𝜑п ; (4.6)

𝑇Е

=2𝑍𝑐2 cos 𝜑

𝑍𝑐2 cos 𝜑+𝑍𝑐1 cos 𝜑п. (4.7)

(4.4) – (4.7) теңдеулері 𝜑 нӛлге ұмтылғанда (4.1) және (4.2) теңдеуге

ауысады, бұл ауысу құлау жазықтығымен салыстырғандағы Е вектор

бағытына тәуелсіз болады. Бұл 𝜑 = 0 кезінде құлау жазықтығы түсінігінің

мағынасын жоғалтуымен байланысты. μ = 1 болатын диэлектрлік орталар

үшін R мен T коэффициенттерін ықшам түрде кӛруге болады:

19

𝑅𝐸 = −sin(𝜑−𝜑п)

sin(𝜑+𝜑п) ; (4.8)

𝑅′′Е = −tg(𝜑−𝜑п)

tg(𝜑+𝜑п) ; (4.9)

𝑇𝐸 =2 sin 𝜑п cos 𝜑

sin(𝜑+𝜑п) ; (4.10)

𝑇′′𝐸 =2 sin 𝜑п cos 𝜑

sin 𝜑+𝜑п cos (𝜑−𝜑п) . (4.11)

Мұндай құбылыстар байқалатын құлау бұрышы Брюстер бұрышы деп

аталады. Магниттік емес ортадағы Брюстер бұрышының мағынасы

𝑡𝑔𝛿э = 휀2/휀1 (4.12)

теңдеумен ӛрнектеледі.

휀2𝜇2 < 휀1𝜇1кезіндегі (6.3) тепе-теңдігіне сәйкес сыну бұрышы құлау

бұрышына қарағанда үлкен болады, сондықтан

𝜑 = arcsin 휀2𝜇2

휀1𝜇1.


1 ГГЦ жиілікте 휀 және 𝜇 параметрлері белгілі диэлектриктен 𝑅𝐸

кешенді шағылу коэффициентін ӛлшеген кезде 𝑅𝐸 = −0,5𝑒−𝑗0.09 шамасы

алынды.

𝜇 = 1 белгілі болғанда диэлектриктердің параметрлерін 휀,𝑡𝑔𝛿э,𝜍 анықта. Құлау толқыны қалыпты болды деп есептеңіз.

Ш е ш і л у і. Вакуум мен диэлектрик параметрлері арасындағы

шекарадан кешенді шағылу коэффициенті

𝜇 = 1, 휀а = 휀휀0 1 − 𝑗𝑡𝑔𝛿э ,

𝑅𝐸 =1− 휀(1−𝑗𝑡𝑔 𝛿э)1/2

1+ 휀(1−𝑗𝑡𝑔 𝛿э)1/2 ,

1−𝑅𝐸

1+𝑅𝐸 = 휀 1 + 𝑡𝑔2𝛿э𝑒

−𝑗𝜋 /2 .

Осы теңдеуді 𝑅𝐸 = − 𝑅 𝑒−𝑗𝜓 орнына қоя отырып екі бӛліктің фазалары

мен модульдерін теңестіріп, келесі теңдеуді аламыз:

𝛿э

2= −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔

𝑅 sin 𝜓

1+ 𝑅 cos 𝜓 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔

𝑅 sin 𝜓

1− 𝑅 cos 𝜓 ;

20

휀 1 + 𝑡𝑔2𝛿э =1+ 𝑅 2+2 𝑅 cos 𝜓

1+ 𝑅 2−2 𝑅 cos 𝜓.

Есептелген кезде мыналарды анықтаймыз

𝑡𝑔𝛿э = 0,12, 휀 = 9,0, 𝜍 = 0,06 См/м.

4.3 Есептер

4.3.1 Жазық электромагниттік толқын вакуум мен идеалды металл

арасындағы шекараға қалыпты құлайды. Құлау толқынының электр

ӛрісіндегі кернеулік амплитудасы 0,1 В/м.

Егер құлау толқынының электрлік ӛрісінің кернеулік векторы

декарттық жүйе координатасының z осі арқылы х осіне бағытталған болса,

яғни бӛлу шекарасына перпендикуляр металл тереңдігіне бағытталған

болсабӛліну шекарасындағы электрлік және магниттік ӛрістердің

кернеулігінің кешенді амплитудасын анықтау керек. Вакуумдегі электрлік

және магниттік ӛрістердің кернеулерінің бір сәттік мәндері теңдеулерін жазу

керек.

Жауабы:

𝐸 отр = −0,1 1𝑥 В/м;

Н отр = 0,2651у мА/м ;

𝐸 𝑡, 𝑧 = 0.2 sin 2𝜋

𝜆0𝑧 sin𝜔𝑡 1𝑥В/м;

Н 𝑡, 𝑧 = 0.53 cos 2𝜋

𝜆0𝑧 cos𝜔𝑡 1𝑦 мА/м.

4.3.2 Жазық электромагниттік толқын қалыпты ваккум мен металл

арасындағы шекаралық бӛлікте ζ = 6·107

См/м меншікті электрлік

ӛткізгішпен құлайды.

Егер 𝜇а = 𝜇0 болса, 10 ГГц жиіліктегі электрлік ӛріс бойынша шағылу

коэффициентін анықтау керек.

Жауабы: RE= -1+1.36·10-4

(1+j).

4.3.3 Жиілігі 10 МГц және қуат ағыны тығыздығының орташа мәні 1

Вт/м болатын жазық электромагниттік толқын вакуумнен меншікті электр

ӛткізгіштігі ζ = 6·107 См/м металл бетіне қалыпты құлайды.

Бӛліну шекарасына тәуелсіз электр ӛрісі кернеуі мен қуат ағыны

тығыздығының орташа мәнін анықтау керек.

Жауабы: 1,185·10-4

(1+j) В/м, 8,6·10-6

Вт/м2.

4.3.4 Жазық электромагниттік толқын вакуум мен параметрлері

휀 = 4, 𝜇 = 1, 𝜍 = 0 болатын диэлектриктер арасындағы шекараға қалыпты

құлайды.

Егер құлау толқынының қуат ағынының орташа мәні 1 Вт/м болса,

диэлектриктегі қуат ағыны тығыздығының орташа мәнін анықтау керек.

21

Жауабы: 8/9 Вт/м2.

4.3.5 Тасымалдау сызығының қиығы ретінде эквиваленттік сызбаны

қолдана отырып берілген жиіліктегі жазық электромагнитті толқынның

қалыпты құлауында диэлектрлік пластина қалыңдығы d және диэлектрлік

ӛтімділігі 휀пл арқылы электрлік ӛріс бойынша шағылу коэффициенті үшін

формула қорытып шығару керек. Пластинадағы жоғалтуларды ескермеуге

болады. Толқын ұзындығы λ01=3,1 см мен λ02=6,2 см, d= 0,5 см кезіндегі

휀пл = 2,4 үшін шағылу коэффициентін есептеу керек.

Нұсқау: Z0 кедергісіне жүктелген d ұзындығы қиығының кіру

кедергісіне арналған формуланы пайдаланған дұрыс.

Жауабы: 𝑅 𝐸 = 𝑗 1−휀пл 𝑡𝑔(

2𝜋

𝜆0 휀пл𝑑)

2 휀пл+𝑗 1+휀пл 𝑡𝑔(2𝜋

𝜆0 휀пл𝑑)

,

𝑅 𝐸1 = −0.412, 𝑅 𝐸2 = −𝑗0.412/(0.9118 + 𝑗). 4.3.6 4.3.5 тапсырмасының нәтижесін қолдана отырып 휀 = 144, 𝜇 = 1,𝑡𝑔𝛿э = 0.6, 𝑑 = 0,1 мм кездегі 10 ГГц жиіліктегі барий титанаты (BaTiO3)

керамика пластинасының сыну ӛрісінің коэффициентін есептеп шығару

керек.

Жауабы: Т 𝐸 =2

2𝑐𝑕 2𝜋

𝜆0 휀пл𝑑 +𝑗

휀пл −1

휀пл 𝑠𝑕

2𝜋

𝜆0 휀пл𝑑

,

TE=0,244.

4.3.7. 6.16 тапсырманың берілгені бойынша энергияның бағытының

ӛзгеруін, бағытын және υф фазалық фронттың жылдамдығын тап. θ=45˚

кезінде υф анықтау керек.

Жауабы: энергия х осінің маңына ауысады

Пср = 2𝐸 падН пад sin𝜑𝑠𝑖𝑛2 𝛽𝑧𝑐𝑜𝑠𝜑 1𝑥Вт/м2.

Ӛйткені фазалық фронт бӛліну шекарасына перпендикулярлы және

υф=с/sinθ= 2c жылдамдықпен қозғалады.

4.3.8 Жазық электромагниттік толқын, яғни құлау жазықтығында

жатқан электр ӛрісі кернеуінің векторы бұрышы 𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 휀 диэлектрлік

ӛтімділігі 휀 𝑎 = 휀휀0(𝜇 = 1, 𝜍 = 0) диэлектрик бетіндегі вакуумге құлайды.

Пойнтинг векторы арасындағы құлау мен ӛтпелі толқынды табыңыз.

Алынған нәтижені энергияның сақтау заңдылығы бойынша талқылау керек.

Жауабы: Ппр = Ппад/ 휀.

4.3.9 Жазық электромагниттік толқын құлау жазықтығында жатқан

электр ӛрісінің кернеу векторы параметрлері 𝜇 = 1, 휀1 = 9, 𝜍1 = 0 болатын

диэлектриктен параметрлері 𝜇2 = 1, 휀2 = 1, 𝜍2 = 0 болатын диэлектрик

бетіне құлайды.

Құлаудың қай бұрышында: а) құлаған толқынның барлық энергиясы

екінші ортаға ӛтеді; б) құлаған толқынның барлық энергиясы бӛліну

шекарасынан шағылысады?

Жауабы: а) 18˚25’, б) >19˚30’.

4.3.10 Дӛңгелек поляризациялы жазық электромагнитті толқын

вакуумнен балқыған кварц бетіне құлайды.

22

Дӛңгелек пояризацияның жазыққа түрленуі орындалатын құлау

бұрышын анықтау керек.

Жауабы: 62˚50’.

4.3.11 Дӛңгелек поляризациялы жазық электромагнитті толқын

вакуумнен θ бұрышы арқылы ортамен бӛліну шекарасына құлайды. Сыну

кӛрсеткіші 1,531 тең.

0˚, 45˚, 56˚51’ құлау бұрыштары үшін толқынмен шағылысқан

поляризация түрін табу керек.

Жауабы: θ=0˚ - дӛңгелек поляризация, θ=45˚ - осьтердің қатынасы

3,177 болатын эллиптикалық поляризация, θ=56˚51’ – құлау жазықтығында

жататын Н векторы бар сызықты поляризация.

5 Толқын жолдар

Мақсаты: тік тӛртбұрышты және дӛңгелек толқын жолын зерттеу.


Толқын жолы ӛзі ішінде электромагнитті толқындар таралған кез

келген қималар қуысты металлдық тұрбаны ұсынады. Тік тӛртбұрышты және

дӛңгелек ағынды толқындар ӛте жиi қолданылады.

5.1 сурет - Тік тӛртбұрышты және дӛңгелек толқын жолы

сирек жағдайда –күрделі ағында толқындар, мысалы, П – бейнелі және Н-

бейнелі қолданылады.

Толқын жолы μ = 1 магнитті ӛтімділікті, ε салыстырмалы диэлектрикті

ӛтімділікті диэлектрикпен толтырылған делік. Толқын жолындағы әрбір

толқын типі мынадай болған жағдайда тарала алады:

λ0 / ɛ < λкр , (5.1)

мұндағы λ0 − генератордың толқын ұзындығы;

λкр – критикалық толқын ұзындығы, олар кӛлденең толқын жолының

мӛлшерлерімен және формаларымен анықталады.

Е𝑚𝑛 және 𝐻𝑚𝑛 типті толқын үшін тік тӛртбұрышты толқын жолында

23

λкр =2

(𝑚

𝑎)2+(

𝑛

𝑏)2

, (5.2)

мұндағы а – толқын жолының радиусы;

𝜐𝑚𝑛 – n –түбір теңдеуі 𝐽𝑚 𝑥 = 0;

𝐻𝑚𝑛 типті толқын үшін дӛңгелек толқын ағынында

λкр =2𝜋а

𝜇𝑚𝑛 , (5.3)

мұндағы μmn n – түбір теңдеуі 𝐽𝑚 𝑥 = 0;

𝜐𝑚𝑛 және μmn түбір мәні I қосымшада келтірілген.

Толқын ағынындағы толқынның фазалық жылдамдығы бойлық

толқындар саны шамасымен анықталады:

𝑕 = 𝛽2ɛ − 𝑔2, (5.4)

мұндағы β = 2𝜋/𝜆0; g=2𝜋/кр – кӛлденең толқындық сан.

Егер (5.1) шарты орындалса, 𝛽2ɛ˃𝑔2 h мәні нақты және толқынның осы

типі таралады. Егер (5.1) шарты орындалмаса, онда 𝛽2ɛ˂𝑔2 ,, h мәні алдамшы

және толқынның осы типі жойылады және таралмайды. Бұл жағдайда (5.4)

формула толқындар әлсіреулері коэффициентін анықтауға мүмкіндік береді.

Толқын жолындығы фазалық жылдамдық пен толқын ұзындығын табу

үшін келесі қатынасты қолдануға болады:

𝑕 =2𝜋

𝜆в= 𝜔/𝜐ф, (5.5)

мұндағы - 𝜆в толқын жолындағы толқын ұзындығы.

(5.5) теңдеуден фазалық жылдамдық, топтық жылдамдықтың толқын

ұзындығының есептеу формуласын алуға болады. Фазалық жылдамдық

𝜐ф =с 휀

1−1

휀 𝜆0𝜆кр

2 . (5.6)

Толқын жолындағы толқын ұзындығы

𝜆в =𝜆0 휀

1−1

휀 𝜆0𝜆кр

2 . (5.7)

Топтық жылдамдық

24

𝜐гр =с

휀 1 −

1

휀 𝜆0

𝜆кр

2

, (5.8)

мұндағы c-бос кеңістіктегі жарық жылдамдығы.

Гельмгольц теңдеулерін шеше отырып, тік тӛртбұрышты толқын

жолындағы Еmn типті толқындардың электрлік және магниттік ӛрістер

кернеулік векторлар құраушылары үшін келесі ӛрнектер алуға болады:

E 𝜒 = −𝑗𝑕𝜋𝑚

𝑔2𝑎Ε0 cos

𝜋𝑚𝑥

𝑎 sin

𝜋𝑛𝑦

𝑏 𝑒−𝑗𝑕𝑧 ;

𝐸 𝑦 = −𝑗𝑕𝜋𝑛

𝑔2𝑏𝐸0 sin

𝜋𝑚𝑥

𝑎 cos

𝜋𝑛𝑦


𝐸 𝑧 = 𝐸0 sin 𝜋𝑚𝑥

𝑎 sin

𝜋𝑛𝑦

𝑏 𝑒−𝑗𝑕𝑧 ; (5.9)

𝐻 𝑥 = 𝑗𝜔휀𝑎𝜋𝑛

𝑔2𝑏𝐸0 sin

𝜋𝑚𝑥

𝑎 cos

𝜋𝑛𝑦


𝐻 𝑦 = −𝑗𝜔휀𝑎𝜋𝑚

𝑔2𝑎𝐸0 cos

𝜋𝑚𝑥

𝑎 sin

𝜋𝑛𝑦


𝐻 𝑧 = 0.

Тӛменгі электрлік типтегі толқын Е11 толқын болып табылады. Е11

толқын ӛрісінің қүштік сызығы бейнесі 5.2. суретте келтірілген

5.2 сурет - Е11 толқындар ӛрістері күштік сызығы бейнесі

Тік тӛртбұрышты толқын жолындағы Нmn типті толқындар ӛрістерінің

кернеулік векторлар құраушылары үшін ӛрнектер келесі түрде жазылады:

𝐸 𝑥 = 𝑗𝜔𝜇𝑎𝜋𝑛

𝑔2𝑏𝐻0 cos

𝜋𝑚𝑥

𝑎 sin

𝜋𝑛𝑦


25

𝐸 𝑦 = −𝑗𝜔𝜇𝑎𝜋𝑚

𝑔2𝑎𝐻0 sin

𝜋𝑚𝑥

𝑎 cos

𝜋𝑛𝑦


𝐸 𝑧 = 0;

𝐻 𝑥 = 𝑗𝑕𝜋𝑚

𝑔2𝑎𝐻0 sin

𝜋𝑚𝑥

𝑎 cos

𝜋𝑛𝑦

𝑏 𝑒−𝑗𝑕𝑧 ; (5.10)

𝐻 𝑦 = 𝑗𝑕𝜋𝑛

𝑔2𝑏𝐻0 cos

𝜋𝑚𝑥

𝑎 sin

𝜋𝑛𝑦


𝐻 𝑧 = 𝐻0 cos 𝜋𝑚𝑥

𝑎 cos

𝜋𝑛𝑦

𝑏 𝑒−𝑗𝑕𝑧 .

5.3 сурет-Қарапайым толқындар ӛрістерінің күштік сызықтар бейнесі

Дӛңгелек толқын жолындағы электрлік типті толқындар арасындағы

тӛменгісі Е01 толқын болып табылады, оның 𝜆кр = 2,613𝑎 болатын ең жақын

жоғарғы типті тоқыны Е11. Е01 және Е11 типті толқындар ӛрістері үшін күштік

сызық бейнесі 5.4 суретте келтірілген.

5.4 сурет - Күштік сызық күш беретін сызықтардың бейнесі

Толқын жолдың сипаттамалық кедергісі Zc деп Е және Н векторлары

құраушыларының кӛлденең қатынасын айтады. Электрлік типті толқындар

үшін

𝑍𝑐𝐸 = 𝑍0 1 − 𝜆

𝜆кр

2

. (5.11)

Магнитті типті толқындар үшін

26

𝑍𝑐𝐻 =𝑍0

1− 𝜆

𝜆кр

2, (5.12)

мұндағы, Z0 – бос кеңістіктегі жазық толқындардың сипаттамалық

кедергісі.


Салыстырмалы ӛтімділігі 휀 = 3,2 диэлектрикпен толтырылған диаметрі

3 см болатын дӛңгелек толқын жолда толқындардың қандай типтері

таралады; Тербеліс жиілігі 10 ГГц.

Шешімі: Осы толқын жолында тек қана 𝜆д < 𝜆кр, мұндағы 𝜆д =

𝜆0 휀 = с 𝑓 휀 шарттары орындалатын толқындардың типтері тарала алады.

Бұл біртекті шексіз диэлектриктегі толқын ұзындығы. Біздің жағдайда

𝜆д = 1,675 см. Дӛңгелек толқын жолында қритикалық толқын ұзындығы

2𝜋𝑎 𝜈𝑚𝑛 тең, толқын түрі үшін Emn және 2𝜋𝑎 𝜇𝑚𝑛 толқындар үшін Hmn.

Демек, таралып жатқан толқын типтері үшін 𝜈𝑚𝑛 < 2𝜋𝑎 𝜆д , 𝜇𝑚𝑛 < 2𝜋𝑎 𝜆д ,

2𝜋𝑎 𝜆д = 5,627 шарттар орындалуы керек, олар келесі толқын типтерін

қанағаттандырды: Е01, Е02, Е11, Е21, Н01, Н11, Н12, Н21, Н31, Н41.

5.3 Есептер

5.3.1 Толқындардың қандай типтері 10 ГГц жиілікте 1 см тараппен

квадрат толқын жолында тарала алады? Толқын жолы салыстырмалы

ӛтімділікпен 휀 = 2,6 диэлектрикпен толтырған. Жауабы: Н10, Н20, Н01, Н02, Н11, Е11.

5.3.2 Толқындардың қандай типтері 7,5 ГГц жиілікте диаметрі 3 см

квадрат толқын жолында тарала алады?

Жауабы: Е01, Е11, Н01, Н11, Н21, Н31.

5.3.3 23 х 10 мм ағында тік тӛртбұрышты толқын жолы салыстырмалы

ӛтімділігі 휀 = 2,25 диэлектрикпен толтырылған. Тербелістердің жиілігі 8,4

ГГц. 𝜐ф және 𝜆в шамаларын анықтаңыз.

Жауабы: 2,34·108м/с, 2,78 см.

5.3.4 Е11 типті толқын үшін тік бұрышты толқын жолда толқынның

критикалық ұзындығын, критикалық жиілігін және толқын ұзындығын табу

керек. Кӛлденең қиманың ӛлшемі 4x3 см. Тербеліс жиілігі 10 ГГц.

Жауабы: 4,8 см, 6,25 ГГц, 3,84 см.

5.3.5 Жиілігі 5 ГГц диаметрі 5 см болатын дӛңгелек толқын жолда

толқынның критикалық жиілігі мен фазалық жылдамдығын табу керек.

Жауабы: 3,516 ГГц, 4,219·108 м/с.

5.3.6 Толқынның тек қана негізгі типі тарала алатын диаметрі 4 см

дӛңгелек толқын жолда жиіліктің диапазонын анықтау керек.

Жауабы: 4,395-5,470 ГГц.

27

5.3.7 Е11 типті толқынынң фазалық жылдамдығы белгілі болса,

квадратты толқын жолдың кӛлденең қиманың ӛлшемін есептеу керек.

Берілетін тербеліс жиілігі 5 ГГц.

Жауабы: 4,9 х 4,9 см.

5.3.8 Салыстырмалы ӛтімділігі ε = 2.25 диэлектрикпен толтырылған

толқын жолда фазалық жылдамдығы 3 ∙ 108 м/с толқын таралады. Топтық

жылдамдықты анықтау керек.

Жауабы: 1,333·108м/с.

5.3.9 Диэлектрикпен толтырған диаметрі 5 см дӛңгелек толқын жолында

Н11 типті толқын таралады. Тербелістің жиілігі 3 ГГц. Егер бос кеңістікте

толқынның фазалық жылдамдығы жарық жылдамдығына тең болса толқын

жолын толтырып тұрған заттың диэлектриктік ӛтімділігін анықтау керек.

Жауабы: ε=2.37.

6 Көлемді резонатор

Мақсаты: кӛлемді резонаторларды зерттеу.


Кӛлемді резонатор ӛзі ішінде электромагнитті тербелістер болған

металлдық қабырғалармен шектелген тұйықталған қуыс болып табылады.

Тік тӛртбұрышты кӛлемді резонатор. Еmnp немесе Нnmp типті

резонансты тербелістердің жиілігі.

𝜔𝑝 =1

휀𝑎𝜇𝑎

𝑚𝜋

𝑎

2+

𝑛𝜋

𝑏

2+

𝑝𝜋

𝑙

2 , (6.1)

мұндағы a, b, l –Резонатордың геометриялық ӛлшемдері (6.1 сурет).

Нmnp типті тербелістер үшін вектордың құраушылары:

Е 𝑥 = 𝑗𝜔𝜇𝑎𝐶𝜋𝑛

𝑏cos(

𝜋𝑚𝑥

𝑎) sin

𝜋𝑛𝑦

𝑏 sin

𝜋𝑝𝑧

𝑙 ;

𝐸 𝑦 = −𝑗𝜔𝜇𝑎𝐶𝜋𝑚

𝑎sin

𝜋𝑚𝑥

𝑎 cos

𝜋𝑛𝑦

𝑏 sin

𝜋𝑝𝑧

𝑙 ; (6.2)

𝐸 𝑧 = 0;

𝐻 𝑥 = −𝐶𝜋𝑚

𝑎

𝜋𝑝

𝑙sin

𝜋𝑚𝑥

𝑎 cos

𝜋𝑛𝑦

𝑏 cos

𝜋𝑝𝑧

𝑙 ;

𝐻 𝑦 = 𝐶𝜋𝑛

𝑏

𝜋𝑝

𝑙cos

𝜋𝑚𝑥

𝑎 sin

𝜋𝑛𝑦

𝑏 cos

𝜋𝑝𝑧

𝑙 ;

𝐻 𝑧 = 𝑚𝑛

𝑎

2+

𝑛𝜋

𝑏

2

𝐶 cos 𝜋𝑚𝑥

𝑎 cos

𝜋𝑛𝑦

𝑏 sin

𝜋𝑝𝑧

𝑙 ;

28

мұндағы С – туынды амплитудалық кӛбейткіш.

Цилиндрлік кӛлемді резонатор.

Нmnp.типті тербелістердің резонанстық жиілігі

𝜔𝑝 =1

휀𝑎𝜇𝑎

𝜇𝑚𝑛

𝑎

2+

𝜋𝑝

𝑙

2 , (6.3)

мұндағы 휀𝑎 , 𝜇𝑎 – резанатор толтырылатын заттардың абсолютті

диэлектрлік ӛтімділікті μ𝑚𝑛 – n-ші теңдеулер түбірі 𝐽𝑚′ 𝑥 = 0.

6.1 сурет - Ӛрістің күштік сызықтары

Цилиндрлік резонаторда Н типті негізгі тербелістер ол Н111, 6.1 суретте

кӛрсетілген ӛрістердің күштік сызықтары.

Еmnp типті тербелістердің резонанстық жиілігі

𝜔𝑝 =1

휀𝑎𝜇𝑎

𝜈𝑚𝑛

𝑎

2+

𝑝𝜋

𝑙

2 , (6.4)

мұндағы 𝜈𝑚𝑛 – n-ші Бесселя функциялар түбірі 𝐽𝑚(𝑥).

6.2 сурет - Ӛрістің күштік сызықтары

Н типті индекстен р индексінің айырмашылығы нӛлдік мәнге ие болып

алады.

29

Цилиндрлік резанатордағы Е типті негізгі тербеліс Е010 болып

табылады. Оның күштік сызық бейнесі 6.2 суретте келтірілген.

Бұл тербелістің негізгі ерекшелігі резонансты жиілік резонатор

ұзындығына тәуелді емес.

𝜔𝑝 =1

휀𝑎𝜇𝑎

2,4048

𝑎 . (6.5)

Жалпы жағдайда резанатор ӛздік толқын жолдың екі жағынан да

қысқартылған бӛлігін береді, резанансты толқын жолын келесі шарпен

анықтауға болады.

𝑙 = 𝑝𝜆в

2 . (6.6)

мұндағы р – бүтін сан (бойлық индекс);

λв–толқындар ұзындығы (таралу сызықтары).

Осы ӛрнектен (6.6) резонанстық жиілік үшін келесі формула шығады:

𝜔𝑝 =𝜋𝑝 𝜐ф

𝑙 , (6.7)

мұндағы 𝜐ф – таралу сызығындағы толқындар фазалық жылдамдығы,

оның негізінде резонатор орындалады.

Жекелей қарағанда, екі жағынан да қысқартылған қиманы білдіретін

таралудың коаксальды сызығы кӛлемді резанатордың Т1 типті негізгі

тербелісі үшін (6.1 сурет) келесі теңдеу орындалады:

𝜔𝑝 =𝜋

𝜇𝑎 휀𝑎 𝑙 . (6.8)

Егер тарату сызығын сақинаға айналдырса қума толқындар резонаторы

пайда болады. Резонанс резанатор ұзындығы l сызықтағы толқын

ұзындығының бүтін санына тең болған жағдайда байқалады. Бұдан,

𝜔𝑝 = 𝑛2𝜐ф

𝑙 (n = 1, 2, 3, …) (6.9)

теңдеуі шығады.

Екі параллель дискпен құрастырылған резонатордың орташа бӛлігін,

сыйымдылығы бар конденсатор деп қарастыруға болады.

𝐶 = 휀𝑎𝜋𝑎2

𝑑. (6.10)

Оған параллель резонатордың қабырғалармен құрастырылған

индуктивтілік L қосылған.

𝐿 =𝜇𝑎𝑕

2𝜋ln

𝑏

𝑎 , (6.11)

30

мұндағы h –саңылаудың биіктігі.

Сонымен квазистационарлы торовидті резонатор резонансты жиілікті

тербелмелі контурге эквивалентті деп есептеледі.

𝜔𝑝 =1

휀0𝜇 0

2

𝑕𝑎2

𝑑ln𝑏

𝑎

. (6.12)

Кез келген типтегі кӛлемді резонаторда жинап алған энергия:

𝑊 = 휀𝑎𝐸2

2𝑑𝑉 = 𝜇𝑎

𝐻2

2𝑑𝑉

𝑉𝑉, (6.13)

мұндағы Е және Н - электр және магнитті ӛрістердің кернеулік

амплитудалық мәндері; интегралдау резонатор кӛлем бойынша жүргізіледі.

Жекелей қарағанда Н101, Н011, Е110 тербеліс типтері үшін тік

тӛртбұрышты кӛлемді резонаторда

𝑊 =1

8휀𝑎𝐸𝑚𝑎𝑥

2 𝑎𝑏𝑙, (6.14)

мұндағы Emax - резонатордағы электр ӛрістері кернеуліктерінің

максимал амплитудасы.


Диаметрмен 6 см және ұзындығы 5 см цилиндрлік резонатор

параметрлері 휀 = 2,5, tg𝛿𝜕=2·10-4

диэлектрикпен толтырған. Қабырғалардың

материалы – мыс.

Резонатордығы тербелістердің қай типі негізгі болып табылады.

Тербелістердің бұл типіндегі резонанс жиілігін, тӛзімділігі мен резонатордың

ӛткізу жолағын табу керек.

Шешімі: цилиндрлік резонатордағы Е типтің негізгі тербелісі

резонансты жиілігі бар Е010 болып табылады.

𝜔𝑝 = 1

𝜇𝑎 휀𝑎 =

2,405

𝑎

2 .

Н типтің негізгі тербелісі – Н111 резонанстық жиілігі бар

𝜔𝑝 = 1

𝜇𝑎 휀𝑎

1,휀41

𝑎

2+

𝜋

𝑙

2 .

Сондықтан

2,405

а

2

< 1,841

а

2

+ 𝜋

𝑙

2

екеніне кӛз жеткізу қиын емес.

Сондықтан Е010 типтің тербелісі негізі болады, яғни

𝜔𝑝 = 1

𝜇𝑎 휀𝑎

2,405

а= 1,52·10

1 рад/с,

31

𝑓𝑝 = 𝜔𝑝

2𝜋 = 2,42 ГГц

Соңғы формулалары бойынша тӛзімділікті есептеп Q = 3680 аламыз.

Резонатордың ӛткізу жолағы

2 ∆𝜔 = 𝜔𝑝/𝑄= 4.13·106 рад/с

немесе

2 ∆𝑓 = 658 кГц.

6.3 Есептер

6.3.2 Тараптары 2 см болатын кубты резонаторда тербелістердің негізгі

типтерінің резонанстық толқын ұзындығын анықтау керек.

Жауабы: 1,414 см.

6.3.2 Цилиндрлік резанатордағы Е010 және Н111 типті тербелістің

резонанстық жиіліктерін анықтау керек. Олардың диаметрі мен ұзындығы

бірдей және 5 см тең.

Жауабы: 4, 593 және сәйкесінше 4, 622 ГГц.

6.3.3 Ӛлшемдері a = 2 см, l = 3 см b = 4 см тікбұрышты резанаторда

тербелістің қай типі негізгі болып табылады? Олардың резонансты жиілігін

анықтау керек. Тербелістің қай типі жоғарғы ең жақын болып табылады.

Оның резонансты жиілігін анықтау керек.

Жауабы: Н011, 6,25 ГГц; Е110, 8,38 ГГц.

6.3.4 Тӛменгі резонансты жиілігі 5 ГГц болатын кубты резонатордың

ӛлшемін анықтау керек.

Жауабы: 4,243 см.

6.3.5 Қайта құрылатын резонатор қимасы 23х10 мм болатын

тікбұрышты толқын жол қимасынан құрылған, оның ішінде поршень

араласып жүр. 8-12 ГГц аралығында қайта құрылатын резонатордың поршень

араласу аралығын анықтау керек. Тербеліс типі Н101.

Жауабы: 14, 89 мм ≤ l ≤32, 37 мм.

6.3.6 Цилиндрлік қӛлемді резонатордың ұзындығы мен оның Е010 және

Н111 типті тербелісінің резонансты жиілігі радиусының қандай қатынасында

бірдей болады?

Жауабы: l/a = 2,03.

6.3.7 Тік тӛртбұрышты кӛлемді резонатор келесі ӛлшемдерге ие: a=20

мм, b=25 мм, l=30 мм. Тербелістің екі тӛменгі типінің резонансты толқын

ұзындығын анықтау керек. Олар қалай белгіленеді?

Жауабы: H011, H101.

6.3.8 Ӛлшемдері d = 10 мм, D = 40 мм l = 80 мм болатын тербелістің

негізгі типіндегі коаксиальды резонаторда (6.1 сурет) жиналуы мүмкін

болатын шекті энергияны табыңыз. Электр ӛрісінің рұқсат етілген

максимальді кернеулігі 30 кВ/см.

Жауабы: W=0.3466∙10-3 Дж.

32

Әдебиеттер тізімі

1 Пименов Ю.В. и др. Техническая электродинамика. - М.: Связь, 2006.

2 Петров Б.М. и др. Электродинамика и распространение радиоволн:

Учебник для вузов - М.: Горячая линия - Телеком, 2003.

3 Баскаков С.И. Электродинамика и распространение радиоволн. – М.:

Высш.школа, 2004.

4 Куликов А.А. Хорош А.Х. Теория передачи электромагнитных волн.

Конспект лекций. АУЭС. – Алматы, 2009.

5 Баскаков С.И. Сборник задач по курсу «Электродинамика и

распространение радиоволн». – М.: Высш.школа, 2004.

33

Мазмұны

Кіріспе......................................................................................................................

1 Векторлық талдаудың элементтері...................................................................

1.1 Негізгі теориялық мәліметтер.........................................................................

1.2 Типтік есептерді шешу жолдары....................................................................

1.3 Есептер..............................................................................................................

3

4

4

7

7

2 Статикалық және стационарлық электромагниттік ӛріс................................. 8

2.1 Негізгі теориялық мәліметтер........................................................................

2.2 Электрлі статикалық пен магнитті статикалық есептердің шығару

амалдары.................................................................................................................


2.4 Есептер..............................................................................................................

3 Жазық электромагниттік толқындар.................................................................



3.3 Есептер..............................................................................................................

8

9

11

11

12

12

15

16

4 Жазық электромагниттік толқындардың шағылуы мен сынуы..................... 17



17

19

4.3 Есептер..............................................................................................................

5 Толқынжолдар.....................................................................................................



5.3 Есептер..............................................................................................................

6 Кӛлемді резонатор..............................................................................................



6.3 Есептер..............................................................................................................

19

22

22

26

26

27

27

30

31

Әдебиеттер тізімі................................................................................................... 32

34

2015 ж. жиынтық жоспары, реті 141

Сүйеубаев Олжас Біләлұлы

ЭЛЕКТРОМАГНИТТІ ТОЛҚЫНДАРДЫ ТАРАТУ ТЕОРИЯСЫ

5В071900 – Радиотехника, электроника және телекоммуникациялар

мамандығының студенттеріне арналған есептер жинағы

Редакторы: Ж.А. Байбураева

Стандарттау жӛніндегі маман: Н.Қ. Молдабекова.

______ басуға қол қойылды Пішімі 60х84 1/16

Таралымы_50_дана Баспаханалық қағаз №1

Кӛлемі 2,0 оқу.бас.әд. Тапсырыс_____Баға 1000 тг.

050013, Алматы, Байтұрсынұлы, 126

«Алматы энергетика және байланыс университеті»

коммерциялық емес акционерлік қоғамының

кӛшірмелі-кӛбейткіш бюросы

Коммерциялық ЭНЕРГЕТИКА ЖӘНЕ БАЙЛАНЫС...

Documents

Transcript of Коммерциялық ЭНЕРГЕТИКА ЖӘНЕ БАЙЛАНЫС...