3

Қазақстан Республикасының Білім және Ғылым Министрлігі

«Алматы энергетика және байланыс университеті»

Коммерциялық емес акционерлік қоғамы

Мұхтар Өмірзақұлы Зияханов

САНДЫҚ ӘДІСТЕР

Оқу құралы

Алматы 2014

4

УДК 512 (075.8)

ББК 22. 144Я73

3-57 Сандық әдістер:

Оқу құралы / М.Ө. Зияханов;

АЭжБУ. Алматы, 2014.-87бет.

ISBN 978-601-7436-47-6

Оқу құралында сандық әдістердің негізгі сұрақтары – алгебралық және

трансцендентті теңдеулерді шешу, функциялар жанасуы, сандық интегралдау,

сандық алгебраның сандық әдістері, дифференциалдық теңдеулерді шешудің

сандық әдістері қарастырылған. Әр бөлімде негізгі түсініктер, заңдар мен

формулалар, типтік есептерді шығару мысалдары, Таңдалған шығару әдісінің

негіздемесі мен іздеу мәселесіне назар аударылған.

Оқу құралы «Информатика» бағыты бойынша білім алатын жоғары оқу

орындарының студенттеріне арналған. Техникалық мамандық алатын

студенттер көмекші құрал ретінде қолдануына болады.

Сур. 9, кестелер 12, сызбалар 2, мысалдар 31, әдебиеттер көрсеткіші -9

атау.

УДК 512 (075.8)

ББК 22. 144Я73

Пікір берушілер: Аль-Фараби атындағы ҚазҰУ, физ.-мат. ғыл. канд., доц.

У.К. Қойлышов,

Т. Рыскулов атындағы ҚазЭУ, физ.-мат. ғыл. канд., доц.,

Б.А. Абдиев,

АЭжБУ, ф-м.ғ.к., профессор М.Ш.Карсыбаев.

Алматы энергетика және байланыс университетінің Ғылыми кеңесі

басуға ұсынады (20.05.14 ж. №8 хаттама).

ISBN 978-601-7436-47-6

© «Алматы энергетика және байланыс университеті» КЕАҚ, 2014 ж.

5

Мазмұны

Кіріспе 5

1 Есеп шығару қателіктері 6

1.1 Қателіктер ұғымы 6

1.2 Жуық сандарға амалдар 7

1.3 Түзету 10

2 Алгебралық және трансцендентті теңдеулерді шешу 10

2.1 Жартыға бөлу әдісі 12

2.2 Хордалар әдісі 13

2.3 Қию әдісі 15

2.4 Жанамалар әдісі (Ньютон) 16

2.5 Жәй итерациялар әдісі 18

3 Сызықты емес алгебралық және трансценденттік

теңдеулер жүйесін шешу (СЕАТТ)

19

3.1 Ньютон әдісі 20

3.2 Жәй итерация әдісі 23

3.3 Зейдел әдісі 23

4 Сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін шешу 24

4.1 Гаусс әдісінің алгоритмі 25

4.2 Квадрат түбірлер әдісі 30

4.3 Халецкий сызбасы 34

4.4 Якоби мен Зейделдің итерациялық әдістері 37

5 Интерполяция және функцияларды жуықтау 41

5.1 Лангранж интерполяциялық көпмүшесі 42

5.2 Ньютонның интерполяциялық көпмүшесі 44

5.2.1 Ньютонның бірінші интерполяциялық көпмүшесі 44

5.2.2 Ньютонның екінші интерполяциялық көпмүшесі 46

5.3 Гаусстың интерполяциялық формулалары 47

5.3.1 Гаусстың бірінші интерполяциялық формуласы 47

5.3.2 Гаусстың екінші интерполяциялық формуласы 48

5.4 Стирлингтің интерполяциялық формуласы 49

5.5 Бесселдің интерполяциялық формуласы 49

5.6 Аз өлшеулер әдісі 52

6 Сандық интегралдау әдісі 55

6.1 Тікбұрыш әдісі 57

6.2 Трапециялар әдісі 58

6.3 Симпсон формуласы 59

7 Қарапайым дифференциал теңдеулер үшін Коши есептерін

шығару

61

7.1 Эйлер әдісі 62

7.2 Рунге-Кутт әдісі 63

7.3 Адамс әдісі 64

6

7.4 Дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін Коши есептерін

Рунге-Кутт әдісімен жуықтап шешу

67

8 Қарапайым дифференциалдық теңдеулер үшін шекті

есептерді шығару

68

8.1 Тор әдістері 68

8.1.1 Соңғы айырма әдісі 69

8.1.2 Қуалау әдісі 71

8.2 Аналитикалы-жуықтау әдісі 74

8.2.1 Коллокация әдісі 77

8.2.2 Аз өлшеулер әдісі 80

8.2.3 Галеркин әдісі 81

Әдебиеттер тізімі 87

7

Кіріспе

«Сандық әдістер» пәні 5В060200 - «Информатика» мамандығы

бойынша бакалаврлар дайындау жоспарына енгізілген.

Ғылым мен техниканың түрлі салаларында құбылыстар мен үдерістерді

процестерді математикалық модельдеулер - жаңа білім мен технологиялық

шешімдерді алудың негізгі тәсілдерінің бірі болып табылады. Оқу құралында

физикалық және техникалық мәселелерді зерттеу кезінде туындайтын кең

ауқымды математикалық есептерді шығарудың сандық әдістері баяндалады.

Негізгі әдістер толығымен түсінікті болу мақсатында сандық

қосымшалармен келтірілген – есептеу сызбалары мен тақырыпты толығымен

қамтитын сандық мысалдар келтірілген. Баяндалған әдістер ЭЕМ-да, сондай-

ақ қарапайым жолмен есептеулер жүргізуге пайдаланылады.

Өзіндік жұмыстарды орындауға арналған тапсырмалар нұсқалары мен

бақылау сұрақтарын «Сандық әдістер» (авторы Зияханов М.У.) пәні бойынша

зертханалық жұмыстарды орындауға арналған әдістемелік нұсқаулардан алуға

болады. Материал мазмұнын толығымен түсіну үшін студенттің жоғары оқу

орындарының бірінші курс деңгейінде алгебра бойынша, қарапайым

дифференциалдық теңдеулер мен анализді білуі керек.

8

1 Есеп шығару қателіктері

1.1 Қателік ұғымы

Сандық әдістердің негізгі міндеті – есептің шығарылуын шарт бойынша

дәл немесе айтарлықтай дәлдікпен табу.

Есептің дәл шешімін жуықтап шығару қателік деп аталады. Есептеудің

толық қателігі мынадай екі құраушылардан тұрады:

1) Түзетілмейтін қателік.

2) Түзетілетін қателік.

Түзетілмейтін қателік есептің берілгенінің дәлсіздігінен болады және

есептеу барысында ешқандай жолмен азайтылмайды.

Түзетілетін қателік екі құраушыларға бөлінеді:

а) аппроксимация қателігі (әдістің);

б) есептеу қателігі.

Бұл құраушылар неғұрлым дәлірек әдістерді таңдау және есептеу

реттерін көбейту арқылы азайтылуы мүмкін.

Есепті сандық шешу нәтижесінде орын алатын қателік көздерінің төрт

түрі бар:

1) Математикалық модель. Математикалық модельдің қателігі шынайы

нысанды жуықтап сипаттаумен байланысты. Математикалық модельдің

қателігі түзетілмейтін болып табылады және математикалық модель тіркелді

деп есептеліп, оның қателігі ескерілмейді.

2) Есептің берілгені. Бастапқы деректерде көбінесе олар дәл

өлшенбегендіктен немесе олардың кейбір қосалқы есептердің нәтижесі

болғандықтарынан қателіктер орын алып жатады. Көптеген физикалық және

техникалық есептерде өлшеу қателіктері 1 – 10% - ды құрайды. Есептің

берілгенінің қателігі түзетілмейді және ескерілмейді.

3) Есептеу әдісі. Есепті шығаруға қолданылатын әдіс жуықтау болып

табылады. Әдістің қателігін нақты әдіс үшін анықтау керек. Жалпы қателікті

бағалап, бақылау ғана болады. Әдіс қателігін түзетілмейтін қателіктен кем

дегенде бір саты аз болатындай етіп таңдаған дұрыс.

4) Есептеулерді жуықтап алу. Жуықтап алу қателігі есептеулердің сан

мәндерінің соңғы санымен жүргізілуіне байланысты болады. Жуықтап мына

ереже бойынша жүргізіледі: егер жуықталынатын саннан кейін бестен аз сан

тұрса, сақталған рет құрамы өзгермейді; керісінше, егер жуықталынатын

саннан кейін бестен үлкен сан тұрса, сол бестен үлкен сан алынып тасталып,

оның алдындағы санға бір қосылады. Ұзақ есептерді шешу кезінде

миллиардтаған есептеулер жүргізіледі де, қателіктердің таңбаларының да

әртүрлі болуы себепті, олар бір-бірін жойып жатады.

Қателіктердің екі түрі болады: - абссолют және салыстырмалы.

Санның абсолют қателігі деп мына шартты қанағаттандыратын

шама аталады: | | (1.1)

9

мұндағы – шаманың дәл мәні, ал – оның жақын мәні. бұл

жағдайда -ге дейінгі дәлдікпен анықталған, яғни ( ). Шаманың абсолют мәнінің абсолют қателікке қатынасы

| | ( )

салыстырмалы қателік деп аталады. Бұдан шығатыны:

( ) ( )

Салыстырмалы қателік көбінесе пайызбен көрсетіледі. Нәтиженің

дәлдігін қателік санның өзінің қанша бөлігін құрайтынын көрсететін

салыстырмалы қателік сипаттайды. Санды жуықтап алғанда оның

анықталмағандық шегі өсетіндіктен, абсолют және салыстырмалы

қателіктерді тек үлкен жағына қарай жуықтайды (дөңгелектейді). Осы себепті

есептеулерді бір-екі таңбаға артық жүргізеді.

Санның шын мәнді цифрлары қалай анықталатынын қарастырайық.

Санның шын мәнді цифрлары деп сол жақтан бірінші нөлдік емес саннан

бастап жазбадағы барлық цифрлар аталады. Мысалы, 25,047 мен -0,00250

сандарының сәйкесінше 5 және 3 мәнді цифрлары бар.

Егер санның абсолют қателігі осы цифрға сай келетін бірлік реттің

жартысынан аспаса, онда шын мәнді цифр сенімді болып табылады.

Керісінше болған жағдайда мұндай цифр күмәнді деп аталады.

Мысал 1.1. жуықталған сан үшін абсолют қателік белгілі,

. Оның сенімді мәнді цифрларын табу керек.

Шешуі. 7 цифрын тексереміз. Оның бірлік ретінің жартысы:

Яғни, бұл сенімді. Цифр 2:

– бұл да сенімді. 3 цифры да

сенімді 3:

, ал 5 пен 6 — күмәнді.

Шынымен де, 5:

, яғни қойылған шарт

орындалмайды.

Егер сан тек сенімді цифрлардан тұрса, оның жуықталған мәні де тек

сенімді цифрлардан тұрады. Сенімді цифрлардан тұратын санның жуық мәні

оның дәл мәнімен сәйкес келмеуі де мүмкін. Есептеулер жүргізгенде олардың

саны сенімді цифрлардан екі бірлікке аспайтындай мәнді цифрлардың санын

сақтаған жөн.

1.2 Жуық сандарға амалдар

Жуықталған сандарға амалдар орындауда шекті қателіктерді бағалау

ережесін тұжырымдаймыз. Сандарды қосу немесе азайту кезінде олардың

10

абсолют қателіктері қосылады. Соманың салыстырмалы қателігі

қосындылардың салыстырмалы қателіктерінің ең үлкен және ең кіші

мәндерінің арасында жатады; практикада ең үлкен мәні қабылданады.

Сандарды бір-біріне көбейту немесе бөлу кезінде олардың қателіктері

қосылады. Жуықталған сандарды дәрежелегенде салыстырмалы қателік

дәреже көрсеткішке көбейтіледі.

Арифметикалық амалдардың қателіктерін анықтайтын формулаларды

келтіреміз.

1) Қосу амалын орындағанда:

2) Азайту амалын орындағанда:

3) Көбейту амалын орындағанда:

4) Бөлу амалын орындағанда:

Мысал 1.2. Қай теңдіктің дәлірек екенін анықтау керек:

√ Шешуі.

1) Он таңбалы үлкен санмен берілген теңдеулердің мәнін табамыз:

√

2) Шекті абсолют қателіктерді есептейміз:

3) Шекті салыстырмалы қателіктерді есептейміз:

) болғандықтан, √ теңдік дәлірек болып табылады.

Мысал 1.3. Нәтиженің қателіктерін анықтап, оны есептеу.

( ) ( )

( ) ( ) ( )

11

Шешуі.

1) Абсолют қателіктерімен бірге әр амалдың мәнін табамыз:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2) Функцияның мәнін есептеп, оның салыстырмалы қателігін табамыз:

( ) ( )

( )

3) Функцияның салыстырмалы қателігін біле отырып, оның абсолют

қателігін анықтаймыз:

Жауабы: ( )

( ) функциясын қарастырайық. z – тен толық дифференциал алу

үшін теңдеуді пайдаланып, қателікті табамыз Өзгеріс енгіземіз : , , ал үшін:

( )

( )

( )

Сонда z есептеудің абсолют қателігін былай табуға болады:

| ( )

| |

( )

| ( )

Жәй түрлендірулерден кейін үшін теңдеу аламыз:

| ( )

( )| |

( )

( )| ( )

| ( )

| |

( )

| ( )

Мысал 1.4. Z=X+Y болсын.

Шешуі. (1.4) пен (1.6) формулаларын пайдаланып, аламыз:

12

1.3 Түзету

Есепті санды шешу үшін оның шешімінің бар екендігіне сенімді болу

керек сол себепті де түзету ұғымы кәдімгідей шынайы шарттарды ескереді.

Сондай-ақ есептің шешу жолының жалғыздығына және тұрақтылығына да

шарттар орынды.

x* берілгені бойынша y*есебін шығару тұрақты, егер ол бастапқы

деректерге үздіксіз тәуелді болса. Бұл бастапқы деректердің аз өзгерісіне

шешуінің аз өзгерісі сай келеді деген сөз. Дәлірек айтқанда,

|x – x*| <

шартын қанағаттандыратын x* берілгендерінің барлығына y* жуықталған

шешім сәйкес келеді, ол үшін |y – y*| < ε, кез-келген ε > 0 үшін = (ε) > 0

болады.

Мына үш шарт орындалса, есеп дұрыс деп табылады:

1) Кез-келген жіберілетін бастапқы деректер үшін шешуі бар.

2) Шешуі бірден-бір.

3) Бастапқы деректер өзгерісіне қатысты бұл шешу тұрақты.

Осы шарттардың ең болмаса біреуі орындалмаса, есеп дұрыс емес дер

танылады.

2 Алгебралық және трансценденттік теңдеулерді шешу

Көптеген ғылыми және инженерлік есептерде, мысалы,

электродинамикада берілу сызықтары мен резонаторлардағы электромагнитті

толқындық тербеліс үдерістерін математикалық модельдеуде дисперсиялық

деп аталатын теңдеу алады, мына түрдегі теңдеуді шешу керек болады:

( ) (2.1)

мұндағы ( ) функциясы ( ) интервалында анықталған және үздіксіз.

( ) функциясын нөлге айналдыратын барлық мәні, яғни ( ) ,

теңдеудің түбірі, ал табу үдерісі – теңдеуді шешу деп аталады (2.1).

Егер ( ) функциясы – ке қатысты көпмүше болса, онда (2.1) теңдеуі

алгебралық сызықты емес деп аталады (мысалы, ), егер ( ) функциясы элементар (тригонометриялық, логарифмдік, көрсеткіштік және

т.б.) функцияларынан тұрса трансцендентті деп аталады (мысалы, ). Есептеу математикасы тұрғысынан алғанда бұл функциялар

эквивалентті.

(2.1) теңдеуін геометриялық шешу ( ) функциясы графигінің ОХ

осімен қиылысу нүктелерін табу болып табылады.

Сызықты емес теңдеулерді шығару әдістері тура және итерациялы бөліп

бөлінеді. Тура әдіс сызықты емес теңдеулерді формула көмегімен және

13

әрдайым дәл шешім шығарады (мысалы, квадрат теңдеуді шешуге арналған

теңдеу). Бірақ олар кейбір теңдеулер үшін ғана, сондықтан практикада екінші

әдіс – итерациялық әдіс кеңінен қолданылады. Мұнда шығару жолы түрінде

кейбір алгоритмдерді бірнеше рет қолданады. Алынған нәтиже нақты мәніне

қаншалықты жақын болса да әрқашан жуықталған түрде болады. Сонымен

қатар, теңдеулер көбінесе жуықталып берілген коэффициенттерден тұрады,

осыдан есептің өзі түбірді нақты анықтау мағынасынан айырылады.

Итерациялық әдістерді екіге бөлуге болады:

1) Түбірі бар интервалды тарылту әдісі (мысалы, жартылай бөлу әдісі,

алтын қимасының әдісі). Мұнда ( ) функциясының мәні емес, таңбасы

ғана пайдаланылады. Мәндер салыстырмалы түрде қарапайым болғанымен

ұқсастық жылдамдығы төмен болады.

2) ( ) функциясы қандай да бір қарапайым ( ) функциясына

ауыстырылатын, сол үшін түбір ізделінетін аппроксимация әдістері (мысалы,

хордалар әдісі, Ньютон әдісі). ( ) функциясының мәндерін

пайдаланады. Бұларда ұқсастық жылдамдығы үлкенірек болады.

Жалпы жағдайда екі кезеңмен шығарылады:

1) түбірді бөлектеу, яғни (2.1) теңдеуінің оқшауланған түбірі бар аз ара

қашықтық орнату (a,b);

2) итерациялық әдістің көмегімен тапсырылған дәлдік дәрежеге дейін

түбірді анықтау.

Түбірді бөлектеу үшін мына теореманы қолдануға болады:

Егер ара қашықтықта ( ) функциясы үздіксіз болса және ( ) мен ( ) қарама-қарсы таңбалы болса, яғни ( ) ( ) , онда

( )( ) ара қашықтығында кем дегенде бір ақиқаттық түбірге ие

болады. Осылай бола тұра егер ( ) таңба өзгертпейтін бірінші туындысы

болса, онда түбір жалғыз болады.

Төмендегі теңдеуді шешу үшін мысалқарастырайық:

х аргументіне әртүрлі мән бере отырып, функция мәнін табамыз:

( ) Мысалы, болғанда ( ) , болғанда ( ) ,

болғанда ( ) . Осыдан [ ] аралығында берілген теңдеудің шешімі

бар екендігі көрінеді. Бұл шешудің жалғыздығын дәлелдеу үшін берілген

аралықта ( ) функциясының бірсарындылығын тексеру қажет, ол осы жерде

бірсарынды өсетін функция болуы керек, яғни функцияның бірінші туындысы

оң болуы қажет ( ) . Бұған көз жеткізу үшін оның бірінші туындысын

табамыз ( ) , мұнда да функцияның [ ] аралықта тек оң

мәндер қабылдайтынын оңай көрсетуге болады. Сонымен, берілген аралықта

(2.1) теңдеуінің түбірінің жалғыз болу шарттарының екеуі де орындалады

екен.

Екінші кезеңде түбірді анықтау итерациялық әдістердің бірінің

көмегімен іске асырылады, яғни { } шешуге жақындау тізбегі

14

құрылады және мұнда итерациялық үдерістің екі өлшемдерінің бірін

қолдануға болады:

1) | ( )| ,

2) | | .

Екеуін бірге қолдануға да болады.

Итерациялық әдістердің негізгі сипаттамасы болып, олардың ұқсастық

жылдамдығын сипаттайтын реті, яғни тапсырылған дәлдік болатын

итерациялар саны табылады. Келесі жуықтау мен дәл шешудің арасындағы

ара қашықтықты | | арқылы белгілейміз. Көріп отырғандай, әдіс

ұқсастығы үшін шамасы -дан кем болуы керек, яғни

⁄ қатынасы

бірден кем болуы керек. Бұл қатынас неғұрлым азырақ болса, ұқсастық

жылдамдығы соғұрлым көбірек болады.

2.1 Жартыға бөлу әдісі

Итерациялық үдерістің баяу ұқсастығынан орындалатын жұмыс көлемі

дәлдік өскен сайын артатындығынан жартыға бөлу әдісі сенімді және оны

теңдеудің түбірін табуға өте қолайлы. Егер ( ) мына [ ] ( ) ( )

аралықта үздіксіз болса, осы әдіс қолданылады.

Бұл әдістің мәні мынада (2.1-суретті қараңыз). Мысалы, (2.1) теңдеуінің

түбірі бөлінді делік, яғни жалғыз түбірден тұратын [ ] арасы табылды делік.

Енді тапсырылған дәлдікпен оның жуықталған мәнін табу керек. Түбірді

есептеу алгоритмі мынадай болады:

а) [a,b] арасының ортасы анықталады: c=(a+b)/2;

б) ( ) шартының орындалуы тексеріледі, егер бұл шарт орындалса,

онда ізделініп отырған шама табылып, с мәні шығарылады;

в) егер ( ) шарты орындалмаса, мына шарт тексеріледі

( ) ( ) ;

егер бұл шарт орындалса, онда b=c, керісінше болса a=c;

г) | | шарты тексеріледі, егер бұл шарт орындалса теңдеуді

шығару үдерісі аяқталып, ізделініп отырған шаманың мәні шығарылады егер

бұл шарт орындалмаса, яғни тапсырылған дәлдік шықпаса, онда а) бөліміне

оралып, есептеуді жалғастырамыз.

15

2.1 сурет – Жартыға бөлу әдісі

Мысал 2.1. Жартыға бөлу әдісімен 0,01 дәлдікке дейін теңдеуді шешу.

Шешуі. Қарастырылатын түбірдің оқшаулау интервалы жоғарыда

анықталған, бірақ оны функциясының графигін

тұрғызып табуға болады. ] [ ара қашықтығын жартысынан бөліп, ( ) ( )

аламыз және ( ) ( ) есептейміз. Демек, белгісіз түбір

] [ аралығында жатыр.

( ) ( ) деп аламыз. Нәтижесінде

белгісіз түбір ] [ аралығында жатады.

Осы үдерісті жалғастыра отырып, алатынымыз:

( ) ( ) ара қашықтық ] [; ( ) ( ) ара қашықтық ] [;

( ) ( ) ара қашықтық

] [; ( ) ( ) ара қашықтық

] [; ( ) ( ) ара қашықтық

] [; ( ) ( ) ара қашықтық

Осылайша, біз ] [ ара қашықтығын алдық. Осыдан көрініп

тұрғандай, 0, 01 дәлдікке дейінгі ізделініп отырған түбір .

2.2 Хордалар әдісі

Әдістің негізіне қарама-қарсы таңбалы екі мәннің сызықтық

интерполяция функциясы жатады. Хордалар әдісі жартыға бөлу әдісіне

16

қарағанда аз ε мәні үшін аздаған арифметикалық операциялармен есепті

шешуге жағдай жасайды.

[a,b] аралығында ( ) теңдеуінің түбірін табу керек болсын делік.

Мұнда ( ) [a,b] және ( ) ( ) үздіксіз болсын. Бұдан басқа, пусть

( ) пен ( ) [a,b] арасында өз таңбасын сақтайды дейік. ( ) функциясын

[a,b] арасында ( ( )) и ( ( )) нүктелері арқылы өтетін тура теңдеу құра

отырып, сызықты функциямен алмастырамыз ( 2.2-суретін қараңыз): ( )

( ) ( )

( )

[ ( ) ( )]

2.2 сурет – Хордалар әдісі

( ) екенін ескеріп, түбірдің бірінші жуықталған мәнін

формула арқылы:

( )

( ) ( )

Әрі қарай [ ] [ ] аралықтарын қарастырамыз және олардың

ішінен қайсысының соңында ( ) функциясы қарама-қарсы таңбалы мәндерге

ие болады, соны таңдап аламыз. Таңдап алынған аралықта тағы сондай

есептеулер жүргізіп, Тапсырылған дәлдікпен (2.1) теңдеуінен түбір алғанша

түбіріне екінші жуықтауды аламыз.

Егер - [a, b] арасындағы оқшауланған ( ) теңдеуінің нақты түбірі

болса, aл – түбірдің хордалар әдісімен табылған жуықталған мәні болса,

онда бұл жуықталған мәннің қателігі былай бағаланады:

| | ( ) ( )

[ ]

| ( )

[ ( )] |

17

Әдістің алгоритмі былай. Итерациялық үдеріс басталғанға дейін оның

көмегімен шешуге ε дәлдігін және түбірі бар [a,b] аралығын береміз Содан

кейін:

а) Түбірге жуықтауды есептейміз:

( )

( ) ( )

б) | ( )| теңсіздігінің орындалуын тексереміз, егер бұл теңсіздік

орындалатын болса, онда шешуі деп қарастырамыз, егер орындалмаса,

есептеуді жалғастырамыз.

с) ( ) ( ) шартын тексереміз, егер бұл шарт орындалса, деп

аламыз, керісінше болған жағдайда және есептеулерді а бөлімінен

бастап қайталаймыз.

Мысал 2.2. теңдеуін 0,01 дәлдікпен шығару

керек.

Шешуі. Алдыңғы мысалдан көрініп тұрғандай, оң түбір ] [ жатыр.

Түбірдің бірінші жуықталған мәнін формула бойынша табамыз:

( )

( ) ( )

( ) , болғандықтан ] [ аралық бойынша

хордалар әдісін қолданамыз:

( )

( ) ( ) ( )

Үшінші жуықталған мәнін табамыз:

( )

( ) ( ) ( )

Төртінші жуықталған мәнін табамыз:

( )

( ) ( ) ( )

Демек, 0,01-ге дейінгі дәлдікпен ізделініп отырған түбір 1,205.

2.3 Қию әдісі

Бұл әдіс хордалар әдісімен жүзеге асырылады, тек a мен b ғана түбірден

алынады және тіркелмейді. Әдісті геометриялық талдап былай түсіндіреді

(2.3 суретті қараңыз). Нүктелер арқылы түзу жүргіземіз (қиятындай) ОХ

осімен қиылысқанша. нүктесін аламыз және одан ( ) функциясының

графигімен қиылысқанша ОХ осіне перпендикуляр түсіреміз. нүктесін аламыз. мен нүктелері арқылы қима жүргіземіз - нүктесін

аламыз (қиманың ОХ осімен қиылысы) және т.б.

18

2.3 сурет - Қию әдісі

2.4 Жанамалар әдісі (Ньютон әдісі)

Әдіс ( ) ОХ осімен қиылысуы жуықтауды және т.б. беретін

қиманың бастапқы жуықтау нүктесіне алмасуына негізделген. Әдісті

геометриялық талдап түсіндіру 2.4-суретте келтірілген. түбіріне бастапқы

жуықтауды қандайда бір алып, нүктесінен ОХ осіне перпендикуляр

түсіреді. Оның ( ) функциясының графигімен нөл ізделінетін қиылысу

нүктесінде қисыққа жанама жүргізеді. ОХ осімен жанаманың қиылысу нүктесі

түбірге жаңа жуықтауды береді. Бұдан кейін үдеріс нүктесі және т.б.

үшін қайталанады.

2.4 сурет - Ньютон әдісі

нүктесіндегі жанама теңдеуі - бұл ( ) бұрыштық коэффициенті бар

( ( )) берілген нүкте арқылы өтетін түзу теңдеуі:

( ) ( )( ) Бұл жанаманың ОХ осімен қиылысу нүктесінде шамасы нөлге тең

болады:

( ) ( )( ) Осыдан мәнін аламыз:

19

( )

( )

Жалпы жағдайда кезекті жуықтау алдыңғы жуықтау арқылы

Ньютон формуласы арқылы жазылады:

( )

( ) (2.2)

Егер түбірдің бастапқы жуықталған мәні берілген болса, онда (2.2)

формуласы бойынша ізделініп отырған түбірдің кез-келген жуықтауы

табылады, демек, шексіз сандар қатарын алуға болады, i=1,2,3, . . . Егер бұл

қатар сай келсе, онда оның шегі ізделініп отырған түбірдің шын мәні болуы

керек. Бірақ түбірдің бұл мәніне жету үшін итерацияның шексіз санын

орындау керек. Сондықтан осындай есесптеу үдерісін аяқтау үшін теңдеудің

берілген дәлдігімен анықталатын шарт болуы керек. Ол мына түрде болады:

| | ε (2.3)

Түбірдің бастапқы жуықтауын таңдауда мына ережені ұстану керек:

функция таңбасы екінші туындының таңбасымен сәйкес келетін [a,b]

кесіндісінің ұшын бастапқы нүкте ретінде таңдау керек. Бірінші жағдайда

( ) ( ) және бастапқы нүкте , екінші жағдайда ( ) ( )

және бастапқы жуықтауды деп аламыз.

Ньютон әдісімен табылған түбірдің жуықтау мәнінің қателігін бағалау

үшін мына теңсіздікті пайдалануға болады

| | [ ( )]

[ ]

| ( )

[ ( )] |

Жанамалар әдісімен (2.1) теңдеуін шешу алгоритмі мына түрге ие

болады:

а) түбірдің алғашқы жуықтау мәні компьютер жадысына енгізіледі; б) мәндерін қабылдайды;

в) (2.2) формуласымен түбірдің жаңа жуықтауы анықталады;

г) (2.3) шарты тексеріледі; егер ол орындалса, онда есептеу үдерісі

аяқталады, ал егер (2.3) шарты орындалмаса, онда в бөлімі бойынша есептеу

үдерісі жалғасады.

Мысал 2.3. Жанамалар әдісін екі рет қолдана отырып, теңдеуінің ақиқат түбірінің [1; 1,5] аралығында оқшауланған жуықтау

мәнін табу керек. Приближенные значения мен жуықталған мәндерін

үтірден кейінгі екі таңбамен есептеу керек. жуықталған мәннің қателігін

бағалау керек.

Шешуі. Формула бойынша бірінші түбірдің жуықталған мәнін табамыз:

( )

( )

Екінші жуықталу мәнін анықтаймыз:

20

( )

( )

Түбірдің табылған жуықталған мәнінің қателігін бағалаймыз:

| | [ ( )]

[ ]

| ( )

[ ( )] |

] [ аралығында

| ( )

[ ( )] |

| |

|( ) |

аламыз.

тең болғанда ол ең үлкен мәніне жетеді:

| | [ ]

яғни | | ; демек, в приближенном значении корня

1,206 түбірдің жуықталған мәнінде барлық цифрлар дұрыс.

2.5 Жәй итерация әдісі

( ) теңдеуін шамасы жағынан тең

( ) (2.4)

теңдеуімен алмастырамыз.

Бастапқы жуықтауды [ ] деп алып және оны (2.4) теңдеуінің оң

жағына қойып ( ) аламыз. Содан кейін осы мәнді тағы да (2.4)

теңдеуінің оң жағына қойып, ( ) табамыз. Осы үдерісті қайталай

отырып, ( ) сандық тізбек аламыз. Бұл ретте екі жағдай болуы

мүмкін:

1) тізбектілік үйлеседі, яғни шегі болады және осы шек

( ) теңдеуінің түбірі болады;

2) тізбектілік үйлеспесе, яғни шегі болмайды немесе

шексіздікке ұмтылады.

Әдістің геометриялық талдап түсіндірілуі 2.5-суретте көрсетілген.

2.5 сурет - Жәй итерация әдісі

21

Егер | ( )| шарты орындалса, әдіс үйлеседі. Неғұрлым аз

болса, итерациялық үдерістің үйлесімділігі соғұрлым тезірек.

Түбірдің жуықталған мәнін қателіктен аспайтындай табу үшін

| |

теңсіздігі орындалатындай k анықтау жеткілікті.

Іс жүзінде жәй итерация әдісі былай іске асырылады:

a) ( ) теңдеуін (2.4) түрге | ( )| болатындай етіп түрлендіру

керек.

б) [a,b] кесіндісінен кез-келген санды бастапқы жуықтау ретінде алу.

в) Жуықтау тізбегін екі тізбектелген жуықтаулар үшін | |

теңсіздігі орындалғанша мына формуламен есептеу керек:

( )

Мысал 2.4. [1,2] кесіндісінде теңдеуінің түбірін жәй итерация әдісімен табу керек.

Шешуі. ( ) теңдеуін бірнеше тәсілмен түрлендіруге болады,

мысалы:

1. , яғни ( )

2. √

, яғни ( ) √

[1,2] үшін үйлесім шартының орындалуын тексереміз:

1) | | | | - шарт орындалмайды.

2) | | |

√(

)

| – шарт орындалады, сондықтан

итерациялық үдерісті өткізу үшін тап осы нұсқаны пайдалану керек.

Бастапқы мәнді деп алып, бірінші жуықтау мәнін табамыз

( ) √

Екінші және келесі жуықтауларды табамыз:

( ) ( ) ( ) ( )

Сонымен, ізделініп отырған түбір

3 Сызықты емес алгебралық және трансценденттік теңдеулер

жүйесін (СЕАжТТ) шешу

Сызықты емес алгебралық және трансценденттік теңдеулер жүйесін

шеше отырып

22

{

( )

( )

( )

(3.1)

мұндағы – белгісіздер; – n айнымалылардың берілген функциялары,

белгісіздердің орындарына қойылып, әр теңдеуді барабарлыққа

айналдыратын

сандарының құрамы деп аталады.

Сызықты емес алгебралық және трансценденттік теңдеулер жүйесі үшін

түбірді қандайда бір жолмен бөліп алуға болмайды. Кейбір жағдайларда

берілген функциялардың кестелерін немесе сызбаларын құрастырып, қиылысу

нүктелері координаттарын анықтау нәтижесінде түбірдің жуықталған мәнін

алуға болады. Көбінесе іс жүзінде осы топтаманың алдыңғы жүйесін шешу

келесі жүйені шешуге жақсы бастапқы жуықтау болатындықтан жүйенің

топтамасын шешкенде түбірді бөлектеу қиындығы оңай шешіледі.

Сызықты емес алгебралық және трансценденттік теңдеулер жүйесінің

түбірлерін анықтау үшін тура әдістер емес, тек итерациялық әдістер ғана

қолданылады. Көбінесе сызықты емес алгебралық және трансценденттік

теңдеулер жүйесін шешу үшін Ньютон әдісі мен оның түрлендірулері

қолданылады.

3.1 Ньютон әдісі

(3.1) теңдеулер жүйесінің әрбір ( ) функциясын маңайына

Тейлор қатарына орналастырамыз, сонда

( ) (

) (

)

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

( )

(

)

Егер ға жақын болса, онда екінші және одан жоғары реттегі

мүшелерді ескермеуге болады, ал егер дәл шешім болса, онда былай

жазуға болады:

( )

( )

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

23

Немесе матрицалық түрде:

( )

( )

( )

мұндағы

( )

[

]

- Якоби (якобиан) матрицасы.

Сонда

( )( ) ( )

Осыдан

( ) ( ) ( )

Бұл теңдеу жанамалар әдісінің n-өлшемді аналогы болып табылады

және әдебиеттерде көбінесе Ньютон – Рафсонның әдісі деп аталады. n-

өлшемді Ньютон-Рафсон әдісі үшін де бірөлшемді жағдайдағыдай

үйлесімділік мәселесі болады. Бірақта, егер берілген (бастапқы) вектор -

ге жуық болса, онда Ньютон-Рафсонның n-өлшемді әдісі әрқашан үйлесетінін

дәлелдеуге болады және үйлесу жылдамдығы квадратты болады.

Мысал 3.1. Жүйені шешу керек:

{

Шешуі. Бастапқы жуықтауды суреттен таңдап аламыз:

24

Түбірді есептеуді ( ) нүктесінен бастаймыз, яғни Якоби матрицасын қалыптастыру үшін дербес туындыны есептейміз:

Сондықтан

(( ) |

|

Екінші ретті кері матрицаны есептеу үшін формуланы пайдаланамыз:

(

)

(

)

Біздің жағдайда:

(

)

(

)

(3.2) формуласына қойып, алатынымыз:

(

)

Мысалды шешудегі итерацияны аяқтау үшін соңғы формуланы жаза-

мыз:

(

) (

)

(

) (

)

Егер болса, онда

( ) (

)

(

) (

) (

)

есептеп, екінші итерацияны жазамыз:

( ) (

)

(

)(

)

(

)

25

(| | | |) . болғанда, үдерісті тоқтатамыз.

3.2 Жәй итерация әдісі

Бұл әдісті баламалы түрлендірулердің көмегімен сызықты емес

алгебралық және трансценденттік теңдеулер жүйесіне (СЕАжТТ) қолдану

үшін алдымен мына түрге келтіріп алу керек:

{ ( )

( )

Содан кейін ( )

( )

бастапқы жуықтауды беріп мына формулалар

бойынша итерациюны орындау керек:

{

( )

( ( )

( )

)

( )

( ( )

( )

)

Егер | ( )

( )

| , онда үдеріс аяқталады, өйтпесе алынған

вектор ( ) екінші итерацияға берілген болып пайдаланылады және т.б.

Жалпы жағдайда итерациялар мына формулалар бойынша орындалады:

( )

( ( )

( )

)

Ньютон әдісімен салыстырғанда бұл әдістің артықшылығы, мұнда

дербес туындыларды есептеу және САТЖ шешу талап етілмейді. Бірақ жәй

итерация әдісінің үйлесу (сызықты) жылдамдығының төмендігі оның бірден

бір кемшілігі болғандықтан, әдетте Ньютон әдісі таңдалынады.

Мысал 3.2. Дәл алдыңғы параграфтағы мысалды қарастырайық:

{

Шешуі. Жүйені мына түрге келтіреміз:

{ √

√ ( )

Бастапқы жуықтау деп тура сол нүктелерді алайық. Сонда (3.3)

жүйесінің оң жағына мен қойған соң бірінші итерацияның

нәтижесі болып , нүкте табылады. Енді оң жаққа мен –ді

қоямыз да мен –ні аламыз және т.б.

3.3 Зейдел әдісі

Зейдель әдісінің жәй итерация әдісінен айырмашылығы

( )

компонентінің есептелген жаңа мәні келесі ( )

компоненттің жаңа

26

мәнін есептеу үшін қолданылады. Бұл әдісте итерациялар мына

формулалармен орындалады:

( )

( ( )

( )

( )

)

( )

( ( )

( )

( )

)

( )

( ( )

( )

( )

( )

( )

)

( )

( ( )

( )

( )

)

Ньютон әдісіндегідей, мұнда да шешу сәттілігі белгісіздердің бастапқы

мәндерін таңдап алуға байланысты: олар нақты шешімге жақын болу керек.

Керісінше болғанда, итерациялық үдеріс үйлеспеуі мүмкін. n–өлшемді

кеңістіктің көп нүктелері үйлеседі, себебі оларды итерациялық үдеріс

бастапқы ретінде пайдаланады да, оны әдістің үйлесімдік аймағы деп атайды.

Жүйенің теңдеулер саны өскен сайын, әдетте, үйлесімдік аймағы кемиді,

сондықтан үлкен жүйені шешу кезінде инженердің бастапқы нүктені таңдау

тәжірибесі маңызды болып саналады.

Мұнда да (‖ ‖ ) үйлесу шарты мен итерацияны тоқтату шарты жәй

итерациялар әдісіндегідей болады.

Мысал 3.3. Алдыңғы параграфтағы мысалды қарастырайық.

Шешуі. Итерациялар мына формулалар бойынша орындалады:

{ √

√ ( )

Бұл есепте Зейдель әдісі жәй итерация әдісінен тезірек, Ньютон әдісінен

жайырақ үйлеседі.

4 Сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін шешу

Көбінесе механиканың, электротехниканың, автоматтандырылған

басқарудың және басқалардың көптеген практикалық есептері сызықты

алгебралық теңдеулер жүйесіне алып келеді және оның шешуін ғылым мен

техниканың түрлі мәселелерінің шешілуінде маңызды қолданылмалы мән

ретінде қарастырады. Мұндай жүйенің жалпы түрі мына түрде болуы мүмкін:

{

(4.1)

27

мұндағы берілген коэффициенттер және теңдеулер жүйесінің

бос мүшелері, мәндері анықталу керек белгісіз шамалар, Қазіргі кезде ЭЕМ-да сызықты алгебралық теңдеулер шешудің сандық

әдістерінің арсеналы жақсы дайындалған. Сызықты алгебралық жүйені

шешудің сандық әдістерінің алуантүрлігін тура (нақты) және итерациялық деп

бөлуге болады.

Тура (немесе нақты) х жүйесін шешу әдістерінде (4.1) арифметикалық

амалдардың соңғы санынан соң болады. Тура әдіс мысалына Гаусс әдісі,

квадрат түбір әдісі және т.б. жатады. Атап өту керек, ЭЕМ-да есеп шығару

кезінде қателіктерді дөңгелектеу салдарынан тура әдістер (4.1) жүйесін нақты

шеше алмайды, сондықтан да оларды дөңгелектеу қателігіне назар

аудармағанда ғана тура деп атауға болады.

Итерациялық әдістер (оларды тізбекті жуықтау әдісі деп те атауға

болады) тұрады: n болғанда х жүйесінің шешуі ( ) тізбекті жуықтаудың

шегі болады, мұндағы n — итерация номері. Ереже бойынша, итерацияның

ақырғы мәніне бұл шек жетпейді. Әдетте қандай да бір аз сан >0 (нақтылық)

беріледі және есептеулер мына төмендегі баға орындалғанша жүргізіле

береді:

|| ||< .

Итерациялық әдістерге мына әдістер жатады: жәй итерация әдісі,

Зейдель әдісі, релаксация әдісі, градиентті әдістер және олардың талдаулары.

4.1 Гаусс әдісінің алгоритмі

Жалғыз бөлік сызбасы деп аталатын (4.1) жүйені келесі өзгеріске

келтірейік.

Түзу жүріс n-1 ескермеу қадамынан тұрады.

1-қадам. Бұл қадамның мақсаты нөмірлі теңдеуден

белгісізді шығарып тастау болып табылады. Коэффициент деп

алайық. шартының орындалуына әрқашанда жүйе теңдеулерінің

орнын ауыстыру жолымен жетуге болады. Оны 1-қадамның бас элементі деп

атаймыз.

1-қадамның көбейткіші деп аталатын шамаларды табамыз:

Тізбектей сәйкесінше көбейтілген екіншіден, үшіншіден,…, n-

ді теңдеуден 1-теңдеуді шегереміз Бұл бірінші теңдеуден басқа барлық

теңдеулердегі болғанда коэффициенттерді нөлге айналдыруға көмектеседі.

Нәтижесінде парапар жүйе аламыз:

28

{

мұндағы және

мына формулалармен табылады:

2-қадам. . Бұл қадамның мақсаты нөмірлі теңдеуден

белгісізді шығарып тастау болып табылады. Коэффициент болсын,

мұндағы коэффициентін 2-қадамның бас (жетекші) элементі деп алайық.

2-қадамның көбейткіші деп аталатын шамаларды табамыз:

Тізбектей сәйкесінше көбейтілген үшіншіден, төртіншіден,…,

n-ді теңдеуден 2-теңдеуді шегереміз Нәтижесінде мынадай жүйе аламыз:

{

мұндағы және

коэффициенттері мына формулалармен табылады:

Басқа қадамдар да осылайша іске асырылады. Келесі k қадамын

сипаттайық.

k-қадамы. k-сыншы қадамның бас (жетекші) элементі нөлден үлкен

деп алып, k-сыншы қадамның көбейткішін есептейміз:

(4.2)

29

-ден,…, n-ші теңдеуден сәйкесінше -ға көбейтілген

алдыңғы қадамдағы k-сыншы теңдеу жүйесінен алынған теңдеулерді

шегереміз

(n - 1)-ші ескермеу қадамынан кейін теңдеулер жүйесін аламыз:

{

Жоғары үшбұрышты матрица A(n-1). Мұнда және

коэффициенттері

мына формулалар бойынша анықталады:

(4.3)

Тура жолмен есептеу осымен анықталады.

Кері жол. Жүйенің соңғы теңдеуінен -ді табамыз. Табылған -нің

мәнін соңғы теңдеудің алдындағы теңдеуге қоя отырып, -ді аламыз. Кері

орнына қоюларды жасай отырып, тізбектей -ді табамыз.

Мұнда белгісіздерді есептеу мына формулалармен жүргізіледі:

( )

(

)

( )

Байқаймыз, көбейткіштерді есептеу, сондай-ақ кері орнына қоюлар бас

элементтерге бөлуді талап етеді. Сол себепті, бас элементтердің бірі

нөлге тең болады да жалғыз бөлу сызбасы жүзеге аспайды.

Бас элементтердің барлығы нөлден үлкен болса және олардың ішінде

нөлге жуығы болған жағдайда қателіктің бақыланбай өсу мүмкіндігін көріп

отырамыз.

Гаустың шағын сызбасы. Гаустың шағын сызбасы жазбаның үнемді

тәсілін ұсынады. Рассмотрим порядок составления схемы для системы (4.1)

жүйесі үшін сызба құрудың тәртібін қарастырайық. Есептеулердің барлық

нәтижелерін бір кестеге жазамыз (4.1-кестесін қараңыз).

30

4.1 кесте

i

Бос

мүшелер Σ

I

1 ∑

2 ∑

3 ∑

1

II

2

3

1

I

III 4

I

IV

1

1

1

Кестені толтыру тәртібі.

Тура жүріс.

1) Берілген жүйенің коэффициенттерін үш жолға және I-бөлімнің төрт

бағандарына жазамыз (4.1-кестені қараңыз).

2) Жол бойымен барлық коэффициенттерді қосып, ∑ (бақылау бағаны)

бағанына қосындының мәнін жазамыз, мысалы, ∑ .

3) Бірінші жолда тұрған барлық сандарды -ге бөліп,

нәтижесін I-бөлімнің төртінші бағанына жазамыз.

4) ∑ есептейміз де тексереміз. Егер есептеулер үтірден кейінгі

таңбаның тұрақты санымен жүргізілсе, онда пен ∑ сандары соңғы

разрядтан біреуге ғана ерекшеленуі керек. Керісінше болған жағдайда 3-

бөлімнің амалдарын тексеру керек.

31

5) формулалар бойынша

(i=2,3; j=2,3,4)

коэффициенттерді есептейміз.

6) Тексереміз. Әр жолдың элементтер қосындыларының мәні ∑

-ден соңғы разрядтан біреуге ғана ерекшеленуі керек. II-бөлімнің алғашқы

үш жолына нәтижелерді жазамыз.

7) II-бөлімнің бірінші жолының барлық элементтерін -ге бөлеміз

және нәтижесін II-бөлімнің үшінші жолына жазамыз.

8) 5-7 бөлімдерді қайталаймыз.

Кері жүріс.

9)

есептейміз.

10) мәндерін есептеу үшін соңғысынан бастағанда бірліктерден

(белгіленген жолдар) тұратын I, II-бөлімдердің жолдары ғана пайдаланылады.

11) І-бөлімнің белгіленген жолдарының элементтерін пайдаланып -ді

есептейміз.

Мысал 4.1. Жүйені Гаусс әдісімен шешу.

{

Шешуі. Гаустың шағын сызбасын және кестені толтыру тәртібін (4.2-

кестені қараңыз) пайдаланып, берілген жүйені шешеміз.

4.2 кесте

I Бос

мүшелер Σ

I

1 2,34 -4,21 -11,61 14,41 0,93

2 8,04 5,22 0,27 -6,44 7,09

3 3,92 -7,99 8,37 55,56 59,86

1 -1,7991 -4,9615 6,1581 0,3974

II

1 19,6848 40,1605 -55,9511 3,8949

2 -0,9375 27,8191 31,4202 58,3022

1 2,0402 -2,8424 0,1979

32

III 1 29,7318 28,7555 58,4877

IV

1 0,9672 1,9672

1 -4,8157 -3,8256

1 2,2930 3,2931

III-бөліммен тура жүріс аяқталады. IV-бөлімнің бірінші жолындағы бос

мүшелер бағанында мәні алынды. мен мәндерін есептеу

үшін мына есептеулер жүргізіледі:

4.2 Квадрат түбірлер әдісі

Квадрат түбірлер әдісі эрмитова немесе симметриялы коэффициенттер

матрицасы бар сызықтық жүйелерді шешу үшін әзірленген:

мұндағы [ ]

Симметриялы матрицаны бір-бірімен транспонирленген екі үшбұрышты

матрицалардың көбейтінділері түрінде ұсынуға болады:

( )

[

]

[

]

T' және T матрицаларын көбейте отырып, мына теңдеулерді аламыз:

( )

.

Ары қарай табамыз:

√

( )

√ ∑ ( )

(4.6)

33

∑

( )

( )

Жүйеге қойғаннан кейін, соңғысы үшбұрышты матрицалы екі жүйеге

бөлінеді:

{

жүйесін ашып жазамыз:

{

Осыдан ары қарай табамыз:

{

∑

( )

( )

жүйесін ашып жазамыз да шешеміз:

}

Шешуі мына түрде болады:

{

∑

( )

( )

Тура жүріспен формулалардың көмегімен t[i,j] мен y[i]шешіледі, кері

жүріспен формуламен x[i] табылады.

Мысал 4.2. Квадрат түбірлер әдісімен теңдеулер жүйесін шешу.

Есептеулердің нәтижелерін бір кестеге жазамыз (4.3-кестені қараңыз).

34

{

4.3 кесте

i

I

293,831

-45,187

492,145

I

II

9,24573 0,086158 0,845124

I

III 0,96718

Шешуі. Тура жүріс.

1) Бірінші бөлімге (4.3-кестені қараңыз) жүйенің коэффициенттерін

жазамыз.

2) Әр жолдағы коэффициенттерді қосамыз және нәтижелерін

элементтері ретінде соңғы бағанға жазамыз.

3) -ді табамыз. Ол үшін жалпы (4.6) формуланың көмегімен n=3

болғанда –ді есептеуге арналған формуланы жазамыз:

√ √ ( )

( )( )

√

√ ( ) ( )

Нәтижелерді ІІ-бөлімге сол жақ бөлікте көрсетілген сызбаға сәйкес (4.3-

кестені қараңыз) жазамыз.

4) элементтерді (4.6) формулаларына ұқсайтын формулалармен

есептейміз:

35

( ) ( )

Кері жүріс.

5) ( ) табамыз. (4.7) формулалары бойынша тізбектеп

аламыз:

( )

( ) ( ) ( )

мәндерін ІІ-бөлімге жазамыз.

6) ( ) табамыз.

( ) ( )

( )

Нәтижесін ІІІ-бөлімге жазамыз.

36

4.3 Халецкий сызбасы

Пайымдау ыңғайлы болу үшін сызықты теңдеулер жүйесін матрица

түрінде жазамыз

мұндағы [ ] n ретті квадратты матрица және

[

] [

]

— векторлар-бағандар. А матрицасын төменгі үшбұрышты матрица

[ ] мен бірлік диагональді жоғарғы үшбұрышты матрицаның [ ]

көбейтіндісі ретінде қарастырамыз, яғни

(4.9)

мұндағы

[

]

[

]

Сонда элементтері мына формулалар бойынша анықталады:

{

∑ ( ) ( )

және

{

( ∑ ) ( ) ( )

Осыдан ізделініп отырған векторын теңдеулер тізбегінен есептеп

алуға болады:

( )

37

В мен С матрицалары үшбұрышты болғандықтан (4.12) жүйесі оңай

шешіледі, дәлірек айтқанда

{

( ∑ ) ( ) ( )

және

{

∑ ( ) ( )

(4.14) формулаларынан сандарын коэффициенттерімен бірге

есептеу тиімді екендігі көрінеді. Бұл әдіс Халецкий сызбасы деп аталады.

Сызбада қосындылардың мәнінің көмегімен қарапайым бақылау жүргізіледі.

Мысал 4.3. Халецкий әдісімен теңдеулер жүйесін шешу.

{

Есептеулер нәтижесін бір кестеге (4.4-кестені қараңыз) жазамыз.

Халецкий сызбасы, «жинақталу» операциясын (4.10) және (4.11) кезеңдік

нәтижені жазбай-ақ жүргізуге болатындықтан, батырмалы есептеуіш

машиналарда жұмыс істеуге ыңғайлы.

4.4 кесте

∑ ∑

i

I 293,81

-445,18

492,14

I

II

I

III

38

Шешуі. Кестені толтыру тәртібі.

1) 4.4-кестесінің бірінші бөліміне жүйенің коэффициенттер матрицасын,

оның бос мүшелерін, бақылау сомаларын жазамыз.

2) І-бөлімдегі бағанының элементтерін, ( ) болғандықтан, ІІ-бөлімнің бағанына ауыстырамыз.

3) элементіне І-бөлімнің бірінші жолының элементтерін

есептейміз, біздің жағдайда ол -ке тең.

Аламыз:

4) II-бөлімнің бағанын екінші жолдан бастап толтырамыз. (4.10)

формулаларын пайдалана отырып, -ні табамыз:

5) ІІ-бөлімнің екінші жолын толтырамыз, j=3,4,5 үшін (4.11)

формулалары арқылы –ні табамыз:

( ) (( ) )

( ) (( ) )

( ) (( ) )

6) бағанын толтырамыз және ІІ-бөлімнің үшінші жолын толтырамыз:

( )

( ) (

( ))

39

( ) (

( ))

7) мен (i=1,2,3) формула бойынша (4.13) пен (4.14) формулалары

арқылы анықтаймыз және ІІІ-бөлімге жазамыз:

( ) (( ) )

( ) (

( ))

( ) ( )

( )

4.4 Якоби мен Зейделдің итерациялық әдістері

Сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің итерациялық

әдістерін оқып үйренуге көшейік. Алдымен итерациялық әдістің екі мысалын

қарастырайық. Оларды құру үшін алдын-ала (4.1) жүйесін мына күйге

түрлендіреміз:

∑

∑

( )

(бұл ретте барлық нөлден үлкен деп саналады).

Егер жинақтаудың жоғарғы шегі төменгі шекке қарағанда аз болса,

әдеттегідей жинақтаудың мәнін нөлге тең деп аламыз. Сонымен, (4.15) теңдеуі

i = 1 болғанда мына түрде болады:

∑

Бұдан ары жоғарғы индекс итерация нөмірін көрсетеді, мысалы:

40

( ) ( ( )

( )

( )

)

мұндағы х векторының і-ші құраушыларының итерациясы.

Якоби әдісінде жүйе жазбасынан (4.15) түрінде шығады, бұл арада

итерациялар былай анықталады:

( )

∑

( )

∑

( )

( )

мұндағы бастапқы мәндері ойдан алынады. Итерациялардың

аяқталуы итерацияға ең үлкен сан берілуімен немесе мына шартпен

анықталады:

| ( )

( )

|

мұндағы — берілген сан.

Зейделдің итерациялық әдісінің түрі мынадай болады:

∑

∑

(4.17)

Осыдан , i=1,2…,n мәндері қалай табылатындықтарын түсіну үшін

(4.17) жүйесінің алғашқы екі теңдеулерін толығырақ жазамыз:

∑

( )

∑

( )

векторының бірінші құраушысы (4.17) теңдеуден табылады,

оны есептеу үшін векторы мен -дің мәнін білу керек. (4.19) теңдеуінен

–ді табу кезінде қазір ғана табылған

мән мен алдыңғы итерациядан

белгілі , j = 3, ..., m мәндер пайдаланылады. Осылайша, векторының

құраушылары (4.18) теңдеуінен i=1-ден бастап тізбектеліп табыла

береді.

Сызықты теңдеулер үшін итерациялық үдеріс үйлесімдік шартына мына

шарттардың бірінің орындалуы жатады:

41

а) метрикалы кеңістікте;

∑| |

( )

яғни (4.1) жүйесінің оң жағындағы белгісіздер болғанда жолдармен

алынған коэффициенттер модулінің жинақтауларының максимал мәні бірден

аз болуы керек;

б) метрикалы кеңістікте

∑| |

( )

яғни (4.1) жүйесінің оң жағындағы белгісіздер болғанда бағандармен

алынған коэффициенттер модулінің жинақтауларының максимал мәні бірден

аз болуы керек ;

в) метрикалы кеңістікте:

√∑∑

( )

яғни (4.1) жүйесінің оң жағындағы белгісіздер болғанда барлық

коэффициенттер жинақтауларының мәні бірден аз болуы керек.

Мысал 4.4. Жәй итерация әдісімен дәлдікпен жүйені шешу

керек:

Шешуі. Үйлесу шарты орындалу үшін (4.1) жүйесінен оның оң жағында

белгісіздер болғанда коэффициенттері бірден әлдеқайда аз болатындай (4.16)

жүйесін алу керек. (4.1) жүйесін парапар түрлендірулердің көмегімен бас

диагоналда тұрған коэффициенттерінің абсолют шамасы сәйкес теңдеулерде

белгісіздер болғанда басқа коэффициенттердің әрқайсысының абсолют

шамасынан үлкен болатын жүйеге келтіру керек. Бұл үшін бірінші теңдеу

ретінде - екінші, үшінші теңдеу ретінде – бірінші, ал екінші теңдеу ретінде –

бірінші мен үшіншінің қосындысын аламыз:

,

Енді әр теңдеуді оның диагоналды коэффициентіне бөлеміз және әр

теңдеуден диагоналды белгісізді жазамыз:

42

Енді (4.18)-(4.20) үйлесімдік шарттарының біреуін тексеру керек. Бұл

шарттардың бірде-біреуінің орындалмауы итерация әдісін қолдануға

болмайды дегенді білдірмейді. евклидті метрикалы кеңістікте үйлесімдік

шартын құрамыз: Аламыз:

1.

Евклидті кеңістікте итерациялық үдеріс үйлеседі, сығылу коэффициенті

Бастапқы жуықтау ретінде (0;0;0) нүктесін алуға

болады.

Мысал 4.5. Зейдел әдісімен дәлдікпен жүйені шешу керек:

Шешуі. Зейдел әдісі жәй итерация әдісінен тез үйлесімділігімен

ерекшеленеді. Берілген жүйені түрлендіру үдерісін жеңілдететін бір қалыпты

түрге келтіреміз. Жүйені матрица түрінде жазамыз:

(

) ( ) (

)

Жүйенің екі жағын транспонирленген матрицаға көбейтіп, аламыз:

Берілген бір қалыпты теңдеудің бірнеше жақсы қасиеттері бар:

- Белгісізді бір қалыпты жүйе коэффициенттері симметриялы болады

(яғни )

- Бір қалыпты жүйенің бас диагоналының барлық элементтері оң (яғни

) Бір қалыпты жүйеге парапар келтірілген жүйе мына түрде болады:

Зейделдің итерациялық үдерісінің есептеу формулалары мына түрде

болады:

43

Бастапқы жуықтаудың орнына бос мүшелер бағанын алуға болады

(2,7;2;4).

5 Интерполяциялау және функциларды жуықтау

Көптеген табиғи құбылыстардың заңдылықтарын орнату үшін

тәжірибелер жүргізеді немесе зерттеу нысаны туралы статистикалық

жинақтар жүргізілед. Егер тәжірибелер берілгендері аздаған қателікке ие

болса, онда нәтижелерді өңдеу үшін полиномды және сплайнды Лагранж

интерполяциясын пайдаланудың мағынасы жоқ. Мұндайда тәжірибелік

нүктелер арқылы өтпейтін және зерттелетін тәуелділікті көрсететін, тәжірибе

қателіктерінен болатын ауытқуларды реттейтін аппроксимация қисығын

жүргізу керек. Бұл операцияны аппроксимация деп атайды, осы кездегі

функцияны аппроксимациялайтын функция, ал оның сызбасын –

аппроксимациялау сызығы деп атайды. Функциялық тәуелділік 5.1-кестеде

берілсін:

5.1 кесте

(5.1) кестесінде берілген ( ) функциясы үшін, интерполяция шарттар

құрамы орындалатындай ( ) көпмүшесін табу керек:

( ) { } ( ) көпмүшесін табу — оның канондық пішінін ескеріп,

( )

оның n+1 коэффициенттерін табу .

Әдетте интерполяция есебі былай тұжырымдалады: n дәрежесінен

жоғары емес, мәні ( ) нүктесінде берілген функцияның

мәндерімен сәйкес келетін, яғни ( ) болатын ( ) ( ) көпмүшесін табу керек.

Геометриялық тұрғыдан бұл мына түрдегі

( ) берілген жүйенің нүктелері ( ) арқылы өтетін (5.1-суретті қараңыз)

алгебралық қисықты табу керек дегенді білдіреді. ( ) көпмүшесі интерполя-

циялық көпмүше деп аталады. ( ) нүктелері интерполяция түйіндері деп аталады.

44

5.1 сурет – Алгебралық көпмүшені интерполяциялау

Кез-келген үздіксіз f(x) функция үшін берілген есеп жалғыз шешімге ие

болады. Шынында да, коэффициенттерін іздеу үшін егер ( ) нүктелерінің арасында сәйкес келетіндер болмаса анықтауышы

нөлден үлкен (Вандермонд анықтауышы) болатын сызықты теңдеулер

жүйесін аламыз:

{

( )

( )

( )

( )

(5.2) жүйенің шешуін әртүрлі етіп жазуға болады.

5.1 Лангранж интерполяциялы көпмүшесі

( ) түйіндері әр түрде орналассын. Интерполяциялық

көпмүшені мына түрде іздейміз:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

көпмүшесінің коэффициенттерін ол үшін (5.1) шарты

орындалатындай етіп таңдап аламыз.

болғанда (5.1)-дегі екіншіден бастап барлық қосылғыштар нөлге

тең.

Демек, ( ) ( ) ( ) сондықтан

( ) ( )

болғанда да осылай жасап, қорытамыз:

x0 x1 xn X

Y

y

= f(x)

y

= P(x)

M

0

M

0

M

n

45

( )( ) ( )

( )( ) ( )

Табылған коэффициенттерді (5.3)-ке қойып, Лагранж интерполяциялы

көпмүшесі үшін жалпы теңдеу аламыз:

( ) ∑( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

n=1 болғанда біз екі нүкте аламыз және Лагранж формуласы бұл кезде

( ) берілген екі нүкте арқылы өтетін түзу теңдеуді береді:

( )

n=2 болғанда, үш нүкте арқылы өтетін парабола теңдеуін ( ) аламыз:

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

Лангранж коэффициенттерін есептеуге ыңғайлы болуы үшін төмендегі

5.2 кестесі пайдаланылады:

5.2 кесте

Бірінші жолдағы элементтер көбейтіндісін деп, екіншісін – деп,

және т.б. белгілейміз. Бас диагонал элементтерінің көбейтіндісі (сызбада асты

сызылған элементтер), көріп отырғанымыздай, ( ) болады.

Осыдан шығатыны

( )

( )

Демек,

( ) ( )∑

46

Мысал 5.1. Лагранж интерполяциялық формуласын пайдаланып,

( ) ( ) нүктелері арқылы өтетін түзу теңдеуін құру,

Шешуі. Бұл жағдайда Лагранж көпмүшесі мына түрге ие болады:

( )

– ізделініп отырған түзу теңдеуі.

5.2 Ньютонның интерполяциялық көпмүшесі

5.2.1 Ньютонның бірінші интерполяциялы көпмүшесі.

( ) функциясы бір-бірінен бірдей қалып отыратын түйіндер

торында берілсін: , мұндағы Мына түрде n-дәрежелі интерполяциялы көпмүшені іздейміз:

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

(5.5) шартынан шығатын коэффициенттерін табамыз,

болсын. Сонда ( ) .

болғанда

( ) ( )

болғанда

( ) ( ) ( )( )

Осындай жолмен

алуға болады.

Бірнеше бірінші реттер үшін айырымдарды тура қойылыммен алуға

болады:

( )

( )

және т.б.

47

Бір рекуретті k-бірінші ретті айырым арқылы k- ретті соңғы

айырманы көрсететін формуламен сипаттауға болады,:

, (5.6)

мұндағы Қарастырылған соңғы айырымдар коэффициенттеріндегі

заңдылықтарды аңғара отырып, жалпы формуланы жазамыз:

∑( )

(5.5)-ке табылған мәндерін қойып аламыз:

( )

( )

( )( )

( ) ( )

Немесе неғұрлым ыңғайлы түрде жазамыз:

( ) ( )

( ) ( )

( )

мұндағы

( )

(5.7) көпмүшесі Ньютонның бірінші интерполяциялық көпмүшесі деп

аталады.

n=1 және n=2 болғанда (5.7) формуласынан дербес жағдай аламыз:

- сызықты интерполяция

( ) - квадратты интерполяция

( ) ( )

Мысал 5.2. 5.3-кестеде берілген мәндер бойынша функцияны табу

керек.

5.3 кесте

y x Δy

0,3704 2,70 -0,0028

0,3676 2,72 -0,0026

0,365 2,74

Шешуі. (5.7) формуласын қолданып, n=1болғанда, аламыз:

48

( )

( )

5.2.2 Ньютонның екінші интерполяциялы көпмүшесі.

Бұл үшін, (5.5) ерекшелігі, ( ) интерполяциялы көпмүшенің

түйіндердің кері қарай кезектесіп қосылатын түрі алынады: басында соңғы,

одан кейін соңғының алдындағы және т.б.

Бұл көпмүшенің коэффициенттері (5.5) көпмүше үшін

табылғанға ұқсас табылады, тек мұнда орнына түйін нүктелерін қою мен

интерполяциялы теңдіктерді қарастыру кері қарай жүреді. деп, аламыз:

( )

( ) ( )

.

( )

( ) ( )( )

( )( )

( )

Және т.б. Жалпы түрде

( )

Соңында, Ньютонның екінші интерполяциялы көпмүшесін аламыз:

( )

( )

( )( )

( ) ( ) ( )

(5.8)-ге кері қоямыз, жаңа айнымалы енгіземіз (

) және (5.8)-ге кіретін айырмаларды түрлендіреміз:

( )

Нәтижесінде Ньютонның мына түрдегі екінші интерполяциялы

формуласын аламыз:

( ) ( ) ( )

49

( )

( ) ( )

( )

Формуланы тағы | | мәндерінде де, яғни түйінінің маңайында

кері интерполяция үшін (q (-1, 0) болғанда) және алға экстраполяция үшін

(q > 0 болғанда) пайдаланады.

5.3 Гаусстың интерполяциялы формулалары

5.3.1 Гаусстың бірінші интерполяциялы формуласы.

Функцияның біржақты мәндерін ғана пайдалану – Ньютонның

интерполяциялы формулаларының негізгі кемшіліктері болып саналады.

Тәжірибеде бастапқы мәнге қатысты алғанда функцияның алдыңғы және

келесі мәндері бар формулаларды қолдану жиі тиімді болып жатады.

Қандай да бір ( ) функцияның мәндері

берілген бір-бірінен бірдей қалып қоятын түйіндерді қарастырайық:

Басында i = 0 болғанда, одан кейін i = 1 болғанда, содан соң i = -1 және

т.б., яғни -дің екі жағынан болжаммен біртіндеп түйіндерін қосатын мына

түрдегі полиномды табамыз:

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )

( )( )( )( )

( ( )) ( )( )( ) ( )( )

(5.10)

Алдыңғы жағдайдағыдай, ( ) коэффициенттерді L(x)-ке

бірінен кейін бірін тізбектей және ( ) интерполяциялы теңдікке

мәндерін қоя отырып табамыз.

Ньютонның бірінші интерполяциялы формуласын қорытқан сияқты коэффициенттері үшін мына теңдеулерді аламыз:

( )

( )

( )

Жаңа айнымалы енгіземіз q=

және ол арқылы барлық

, ... үшін айырманы жазып, осы айырмалар мен коэффициенттер

50

теңдеулерін (5.10) формуласына қоюдың нәтижесінде Гаусстың бірінші

интерполяциялы формуласын аламыз

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

(5.11)

Егер бұл формулада барлық өсетін, яғни 5.4-кестеде тұтас сызықпен

сызылған реттердің төменгі орталық айырымдары пайдаланылатынын білсе,

жазылған қосындыларды келесілермен оңай толықтыруға болады.

5.4 кесте - Орталық айырымдар кестесі

5.3.2 Гаусстың екінші интерполяциялы формуласы.

Алдыңғыға тура ұқсас, басқа ретпен ( -ден кейін) түйіндерді қоса келе,

басында алдыңғысы, одан кейін келесісі және т.б., яғни

( ) мына түрдегі полиномды табамыз:

51

( ) ( ) ( )( ) ( )(

)( ) ( )( )( )( ) (

( )) ( )( )( ) ( )( )

Алдыңғы жасалғандарды ұқсатып жасай отырып, Гаусстың екінші

интерполяциялы формуласын (кері интерполяциялау үшін) аламыз:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

(5.12)

Гаусс формулалары кестенің ортасында -дің маңында интерполяция

үшін қолданылады. Бұл ретте Гаусстың бірінші формуласы (5.11)

болғанда, ал екіншісі (5.12) – болғанда қолданылады.

5.4 Стирлингтің интерполяциялық формуласы

Гаусстың бірінші (5.11) және екінші (5.12) формулаларының орта

арифметика мәні Стирлингтің интерполяциялық формуласын береді:

( ) ( )

( )

( )

( )

5.5 Бесселдің интерполяциялық формуласы

Егер Гаусстың екінші интерполяциялық көпмүшесі жинағының

жартысын және сондай көпмүше, бірақ біреуге жоғары төменгі индексті ( -

дің орнына базалық нүктемен) алсақ, Бесселдің интерполяциялық

формуласын аламыз:

( )

(

)

52

( )

(

)

( )

( )( )( )

(

) ( )( )( )

( )( )( )( ) ( )( )

( )

(

) ( )( )( )( ) ( )( )

( )

(5.14)

Соңғы формулада, егер оған

( ) аргументінің мәніне сәйкес

келетін

мәнін қойса, оның өте қарапайымданып кететінін байқауға

болады.

Бессел формуласының бұл дербес жағдайын ортаға интерполяциялау

формуласы деп атайды:

(

)

(5.15)

Сонымен, егер кестемен берілген ( ) функциясының жуық мәнін

табатын нүктесі кестенің басында немесе аяғында жатады, базалық нүктенің

осындай таңдауына Ньютонның сәйкесінше бірінші (5.7) немесе екінші (5.9)

формулалары | | мәні анағұрлым аз болатындай қолданылады. Егер нүктесі

кестенің ортасында болса, онда нүктесін әрдайым орталық айырмалар

кестесінде ( ) немесе модулі бойынша | | болатындай

етіп белгілеуге болады, сол кезде Стирлингтің (5.13) интерполяциялы

формуласын қолдануға болады, немесе (5.15) Бесселдің формуласын қолдану

үшін | | болуы керек.

Мысал 5.3. y = sinx функциясы мәндері кестесін пайдалана отырып,

алдын-ала әр жағдайға сәйкес интерполяциялық формулаларды жазып

жуықталған мәндерді табу керек: а) sin 31; б) sin 41; в) sin 48; г) sin 54.

Шешуі. Айырмалар кестесін құра отырып, айырманың үштен бірінің

тұрақты екенін көреміз.

5.5 кесте

x (градуспен) x(радианмен) y Δy Δy2 Δy3

30 0,5236 0,5000

0,0736

35 0,6109 0,5736 -0,0044

53

0,0692 -0,0005

40 0,6981 0,6428 -0,0049

0,0643 -0,0005

45 0,7854 0,7071 -0,0054

0,0589 -0,0003

50 0,8727 0,7660 -0,0057

0,0532

55 0,9599 0,8192

Сол себепті формулаларда төрт мүше алған жеткілікті:

а) есептеу үшін бар:

Бірінші интерполяциялық формула (5.7) бойынша және кестедегі

берілгендерді ескере отырып, аламыз:

( )

( )

( ) ( )

( )

б) есептеу үшін бар: нүктесі кестенің ортаңғы бөлігінде

жатыр. Сондықтанда мұнда Стирлингтің немесе Бесселдің формуласын

қолдану дұрыс. Мұнда деп алып және

тауып, осы жағдайда мына түрге келетін Стирлинг (5.13) формуласына

тоқталамыз:

( )

в) sin 48 есептеу үшін орталық интерполяциялық формулалардың

қолданылуы мүмкін. деп алып және есептеп

(5.15) негізінде Бесселдің интерполяциялы формуласын жазамыз:

( ) ( )

( )

г) есептеу үшін бар: нүкте түйіннің аяғында орналасқан,

сондықтанда функцияны экстраполяциялау үшін Ньютонның екінші интер-

поляциялық формуласын (5.9) қолдану керек. деп есептеп,

ескеріп, экстраполяция формуласын жазамыз:

54

( ) ( )

( )

( )

( )

5.6 Аз өлшеулер әдісі

Интерполяция әдісін қолдануға болады: мәндері

нүктелерінде ( )-тің 5.1-кестедегі сәйкесінше мәндерімен тура келетін

интерполяциялы көпмүше тұрғызуға (мысалы, Лагранждың немесе

Ньютонның) болады. Бірақта мәндердің түйіндердегі сәйкес келуі кейде

берілген және интерполяциялайтын функцияның тәртіптерімен сай деуге

келмеуі мүмкін.

Әрі қарай 5.1-кестесінің мәндері статистикалық (тәжірибелік) деп. ата-

лады және осы берілген мәндердің негізінде пен айнымалыларын байла-

ныстыратын функция алынуы керек:

( ). Мұндай функцияны анықтау үшін статистиканың негізгі есептері

аталатын екі есепті шығару керек:

- аппроксимациялайтын функцияның жалпы түрін анықтау, ( ) ол белгісіз параметрлерден тұруы мүмкін, мысалы:

) )

) )

) )

) ( ) )

- белгісіз параметрлерін анықтау.

Бірінші есеп феноменологиялық әдіспен, зерттеушінің ойымен және

аргументі мен и функциясының кестелік мәндерімен шығарылады. Екінші

есепті шығару үшін аз өлшеулер әдісі қолданылады.

Аз өлшеулер әдісінің мәні.

Жуықтаған функцияның параметрлерін табу әдісін жалпы түрде үш

параметрлі жуықтаған функцияны мысалға келтіре отырып қарастырамыз:

( ) ( 5.16)

( ) аламыз. немесе функцияларының

мәндеріне сәйкес келетін айырмалардың квадраттарының жинағы мына түрде

болады:

∑[ ( )] ( )

55

Есеп минимумды іздеуге алып келеді. Қажетті экстремум шарттарын

қолданамыз:

яғни

∑[ ( )]

( )

∑[ ( )]

( ) ( )

∑[ ( )]

( )

(5.17) сызықты теңдеулер жүйесінен a,b,c коэффициенттері анықталады

және ізделініп отырған функцияның ( ) нақты түрін аламыз.

Табылған ( ) функциясының мәні нүктелерінде

кестелік мәнінен айырмашылығы болады деп күту орынды.

Айырмалардың мәндері:

( ) ( ) ( ) -тің өлшенген мәндерінің (5.16) формуласы бойынша есептелген мәндерінен

ауытқуы деп аталады.

Мысалдан көрініп тұрғандай, параметр санының өзгерісі әдісті

бұрмалай алмайды, тек (5.17) жүйесінде теңдеулер санының өзгерісінде

көрсетіледі.

Аппроксимациялайтын функция ретінде сызықты функция

қаралатын аппроксимацияның ең қарапайым жағдайын қарастырамыз. Бұл

жағдай сызықты аппроксимация деп аталады. Сонда функция мына түрге

келеді:

∑( )

мұндағы мен – белгісіз параметрлер, ал минимум шарты:

⁄ ∑( )

⁄ ∑( )

Жәй түрлендірулерден кейін және екі белгісізі бар екі теңдеулер

жүйесін алуға болады:

∑ ∑ ∑

∑ ∑

мұндағы тәжірибе саны.

56

Осы жүйені шеше келе, мен белгісіз параметрлердің мәндерін алуға

болады

мұндағы

∑ ∑ ∑ ∑

Мысал 5.4. Электртұрмыстық тауарларға орта мерзімді болжамды

халық сұранысының экономика-математикалық моделінің бағасы мен

құрылуын бірнеше жыл ішіндегі тауар айналымының динамикасы негізінде

қарастырайық (5.5-кесте).

5.5 кесте

Тауарайналым

(млн. тен.) 1,8 4,3 4,3 6,4 5,7 7,5 7,8 9,2 ?

Уақыт жыл 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2030

Алдыңғы жылдардағы сұранымның өзгеру үрдісі келешекте де

сақталады деп болжап, 2030-жылға сұраным болжамын жүзеге асыру керек.

Шешуі. Корреляциялы аймақта шашырау диаграммасын тұрғызамыз

және математикалық байланыс формаларының біздегі бар сызбалы

модельдерімен салыстырамыз. Есептеу операцияларын жеңілдету үшін жаңа

координаттар жүйесіне көшеміз (5.2-суретті қараңыз).

5.2 сурет – Шашырау диаграммасы

Барлығына қарағанда парабола түріндегі тәуелділік неғұрлым сай

келетінін анықтаймыз:

Есеп оның минимумын табу керектігіне алып келеді, (5.17) формуланы

пайдаланамыз және бірнеше түрлендірулерден кейін аламыз:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 2 4 6 8 10

Ряд1

57

{

∑

∑ ∑

∑

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑ ∑

Есептеулер жүргізу ыңғайлырақ болу үшін аралық есептеулердің

нәтижелерін келесі талдауларды ескере отырып 5.6-кестеге енгіземіз.

5.6 кесте

N

1 1,8 2005 1 1 1 1 1,8 1,8

2 4,3 2006 2 4 8 16 17,2 8,6

3 4,3 2007 3 9 27 81 38,7 12,9

4 6,4 2008 4 16 64 256 102,4 25,6

5 5,7 2009 5 25 125 625 142,5 28,5

6 7,5 2010 6 36 216 1296 270 45

7 7,8 2011 7 49 343 2401 352,8 50,4

8 9,2 2012 8 64 512 4096 524,8 65,6

Σ 47 - 36 204 1296 8772 1543,6 250,6

Кестеде берілген мәндерді пайдалана отырып, бір қалыпты теңдеулер

жүйесін мына түрде көшіріп жазамыз:

{

Бұл жүйені алгебралық теңдеулер жүйесін шешу әдістерінің бірімен

шешеміз де коэффициенттердің мәнін табамыз:

Осы негізде электртұрмыстық тауарларға халық сұранымы болжамының

экономика – математикалық моделін жазамыз:

Алынған моделді пайдаланып, халық сұранымының мәнін анықтаймыз:

( ) ( )

6 Сандық интегралдау әдісі

[ ] бөлігінде ( ) функциясы берілсін делік. [ ] бөлігін

( ) нүктелерінің көмегімен қарапайым бөліктерге бөлеміз

[ ] Осы бөліктердің әрқайсысынан кез-келген нүктені

аламыз ( ). Бөліктелген нүктелердің саны өскендегі

58

интегралды жинақтың шегі [ ] бөлігіндегі ( ) функциясынан анықталған

интеграл деп аталады:

∫ ( )

∑ (

)

Анықталған интегралдың геометриялық мәні – ол сан жағынан ( ) қисығымен, OХ осімен және түзулерімен шектелген қисық

сызықты трапецияның ауданына тең болады. Интеграл астындағы ( ) функциясы мына келесі үш тәсілдің біреуімен берілуі мүмкін:

1) ( ) үшін формула беріледі;

2) қандайда бір нүктелерінің тіркелген терімі үшін [ ] бөлігінде ( ) мәндерінің кестесі беріледі.

Бірінші жағдайда интеграл Ньютон – Лейбниц формуласын пайдаланып

есептеледі ∫ ( ) ( ) ( )

, мұндағы F(x) - біркейіпті. Алайда көп

жағдайда F (х) біркейіпті функция қарапайым құрал көмегімен табыла

қоймайды немесе аса күрделі болады; сол себепті де анықталған интегралды

есептеу қиындап кетуі немесе есептелмеуі де мүмкін. Екінші жағдайда

интеграл астындағы ( ) функциясы кесте түрінде берілген, осы кезде

біркейіпті деген түсінік мағынасын жоғалтады. Сондықтанда жуықталған, бұл

жерде ең алдымен анықталған интегралдарды есептеудің сандық әдістері

маңызды мәнге ие болады. Олар интегралы салыстырмалы түрде қарапайым

есептелетін қандайда бір басқа функциямен ( ) (көбінесе полиноммен) f(x)

аппроксимацияларына негізделген:

∫ ( ) ∫ ( ) ∑ ( )

Бұл жуықталған теңдік квадратуралы формула деп аталады. Айырымы

|∫ ( ) ∑ ( )

|

квадратуралы формуланың қателігі деп аталады.

Анықталған интеграл түсінігіне ең жан-жақты есептерді келтіреді:

фигураның ауданын анықтау, айналу денесінің көлемі, жазық қисық

доғасының ұзындығы, айнымалы жылдамдық жұмысын іздеу және көптеген

басқалар.

Сандық әдістердің негізгі кемшілігі болып нәтиженің жуықталған

сандық мәні табылады. Бұл әдістердің дәлдігі таңдап алынңан қадамға

байланысты, қадам аз болған сайын нәтиже дәлірек болады. Үлкен дәлдікке

жету үшін есептеу жұмыстарын кең көлемде жүргізу керектігі айқын.

59

6.1 Тікбұрыштар әдісі

[ ] бөлігін жарым-жарты бөліктерге ( ) нүктелерінің

көмегімен бөлеміз және интегралды осы бөліктер бойынша интегралдар

жинағы түрінде ұсынамыз:

∫ ( ) ∑ ∫ ( ) ∑

( ) функциясын әр жарым-жарты бөліктерде нөл дәрежелі

полиноммен (тұрақты) аппроксимациялаймыз. белгілейміз,

тікбұрыштар формуласы мына түрде болады: ( ) Жарым-жарты бөліктерде интегралдардың осы мәндерін жинақтай

отырып, сәйкесінше тікбұрыштардың құрама формулаларын аламыз:

∑ ( )

Анықталған интегралды есептеуге арналған тікбұрыштар формуласы

( ( ) ( ) ( ) ( )) (6.1)

Шекті абсолют қателік:

( )

[ ]| ( )|

Бұл әдістің алгоритмі өте қарапайым; жинықты есептеу үшін қарапайым

цикл (топтама) құру керек. Есептеу алгоритмі мынадай болады:

а) a,b шекаралық шарттарын, итерация n санын енгізу;

б) ( ) қадамын есептеу, аламыз ;

в) цикл басында ;

г) циклде ( ) ;

е) мәнін қорыту.

Мысал 6.1. Тікбұрыштар формуласы арқылы интервалды 10-ға бөліп,

∫

табу керек. Қателікті есептеу.

Шешуі. болғанда ( ) болады. Бөлу нүктелері

болып мына нүктелер алынады: Интеграл астындағы сәйкес мәндерді тауып, 6.1-кестеге жазамыз.

6.1 кесте

x 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9

y 1 1,049 1,095 1,140 1,183 1,225 1,265 1,304 1,342 1,378

60

Тікбұрыштар формуласын пайдаланып, аламыз:

I=0,1(1,000+1,049+1,095+1,140+1,183+1,225+1,265+1,304+1,342+1,378)≈1,20.

Қателікті табамыз. Бұл жағдайда ( ) ( ) - [a,b] бөлігінде болғанда 0,5 - ең жоғарғы мәніне ие болады.

Осылайша, | ( )| Осыдан формула бойынша табамыз:

Демек,

6.2 Трапециялар әдісі

Келесі қарапайым полином – сызықты функция. Егер оны [ ] жарым-жарты бөлігінің ұшында ( ) –пен сәйкес келуші деп таңдап алсақ,

онда трапеция аламыз. Оның ауданы анықталған интегралдың мәніне жуықтау

деп саналады және трапециялар формуласы арқылы есептеледі (6.1-суретті

қараңыз).

( ) ( )

6.1 сурет – Трапециялар әдісі

Трапецияның құрама формуласы мына түрде болады:

∑[ ( ) ( )]

Біркелкі қадам үшін, анықталған интегралды есептеу үшін

трапециялар формуласы

[ ( ) ( )

( ) ( ) ( )) ( )

Шекті абсолют қателік

61

( )

[ ]| ( )|

Есептеу алгоритмі келесідей болады:

а) a,b шекаралық шарттарын, итерация n санын енгізу;

б) ( ) қадамын есептеу, аламыз в) ( ( ) ( )) есептейміз;

г) цикл басында ;

д) циклде ( ) ;

е) мәнін қорыту.

Мысал 6.2. Интегралды 10 бөлікке бөліп, трапециялар формуласы

бойынша ∫

табу керек. Қателікті табу керек.

Шешуі. Жоғарыдағыдай белгілеулермен, трапециялар формуласын

қолданып, аламыз

I=0,1(

+1,049+1,095+1,140+1,183+1,225+1,265+1,304+1,342+1,378)

≈1,218.

Ары қарай [1,2] бөлігінде ( ) ( ) | ( )| .

Осылайша,

Демек,

6.3 Симпсон формуласы

Аппроксимациялайтын полином ретінде екінші дәрежелі полиномды

қолдануға болады. үш нүкте арқылы Лагранждың

интерполяциялы полиномын тұрғызамыз:

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

Ары қарай түрлендіру үшін теңдігінің көмегімен [ ] айнымалысын енгіземіз және -ны 0, 1, 2-ге тең деп алып өзгерте

отырып, мәндерін аламыз.

Жаңа айнымалы арқылы сплайн ( ) –ті жазамыз:

( ) ( )( )

( )

( )

62

( ) ( )

( )

екендігін ескеріп,

∫( )

∫( )

∫( )

Қисық сызықты трапецияның ауданын сызбада шектелген ( ) ауданымен алмастырамыз. Бұл жағдайда:

∫ ( )

∫ ( )

( )

Алынған формула Симпсон формуласы немесе параболалар формуласы

деп аталады. Симпсонның құрама формуласы:

∫ ( )

[ ( ) ( ) ]

(6.3)

Симпсон формуласы тікбұрыштар мен трапециялар формулаларына

қарағанда үлкен болып көрінгенімен оларға қарағанда анағұрлым дәлірек

және аз ішінде қажетті нәтижеге қол жеткізу мүмкін.

Шекті абсолют қателік:

( )

[ ]| ( )|

Есептеу алгоритмі келесідей болады:

а) a,b шекаралық шарттарын, итерация n санын енгізу;

б) ( ) қадамын есептеу, аламыз в) ( ( ) ( )) есептейміз; г) цикл басында ;

д) циклде: жұп болғанда есептеледі; тақ болғанда , есептеледі;

е) ( ) мәнін қорыту.

63

7 Қарапайым дифференциал теңдеулер үшін Коши есептерін

шығару

Есептеулер тәжірибесінде кездесетін есептердің басым бөлігін

қарапайым дифференциалдық теңдеулерді шешуге алып келетін есептер

құрайды. Қандайда бір шынайы құбылысты немесе үдерісті зерттеу

нәтижесінде алынған дифференциал теңдеу осы құбылыстың немесе үдерістің

дифференциал моделі деп аталады. Дифференциал модель тұрғызу үдерісінде

қарастырылатын есептің табиғатымен байланысты ғылым заңдарын білу,

кейде алғашқы мән де маңызды болады. Мысалы, механикада ол Ньютон

заңдары, электр тізбектері теориясында – Кирхгоф заңдары, химическиялық

реакциялар жылдамдығының теориясында – массалар әсері заңдары және т.б.

болуы мүмкін. Әдетте, ұқсас есептерді шығарудың жуықтау әдістерінің

көмегіне жүгінуге тура келеді. Қарапайым дифференциал теңдеулер

жағдайында, тәуелсіз айнымалы өзгеретін бөлігінің бір немесе бірнеше

нүктелерінде қосымша шарттар қойылатындығына байланысты есептер,

әдетте бірнүктелі (бастапқы шартты есептер немесе Коши есептері) және

көпнүктелі деп бөлінеді. Көпнүктелі есептердің ішінде қолданбалы

сұрақтарда қарастырылып отырған бөліктің ұшында қосымша шарттар

қойылғанда шекті есептер деп аталатын есептер неғұрлым жиі кездеседі.

Ары қарай Коши есептерін шешудің сандық әдісін қарастырумен

шектелеміз. Есеп шығарудың әдісін түсіну жеңіл болу үшін бірінші ретті

қарапайым дифференциал теңдеуді қарастырайық:

x0 x b бөлікте x = x0 болғанда

.)( 00 yxy (7.1)

шартын қанағаттандыратын

)( y,xf'y (7.2)

дифференциал теңдеуінің y(x) шешуін табу керек болсын делік.

Берілген Коши есебінің шешуінің жалғыздығы және бар екендігі туралы

шарты орындалды деп есептейміз.

Тәжірибеде Коши есебінің жарым-жарты немесе жалпы шешуінің болуы

өте сирек, сол себепті бұл есепті жуықтап шығаруға тура келеді. Көбіне һ,

( ) тұрақты қадаммен [ ] бөлігі тормен жабылады

(аралықтарға бөлінеді) және қандайда бір шешуші тәртіппен ( )

мәні табылады. Осылайша, сандық әдістермен Коши есебінің шешуі ретінде

екі вектордан тұратын кесте аламыз:

( )– аргументтер векторлары және оған сәйкес келетін

( ) функция векторлары.

64

Жаңа нүктеде функция мәнін табу үшін тек бір ғана алдыңғы нүктенің

ақпараты қолданылатын сандық әдістер (ережелер) бірқадамды деп аталады.

Жаңа нүктеде функция мәнін табу үшін бірнеше алдыңғы нүктенің ақпараты

қолданылатын сандық әдістер (ережелер) көпқадамды деп аталады.

Қазіргі кезде Коши есептерін шешуге арналған түрлі сандық әдістер бар

(6.1) – (6.2). Төменде қолдануға қарапайым әдістер - Эйлердің, Рунге-

Кутттың, Адамстың және Милннің әдістері қарастырылады.

7.1 Эйлер әдісі

Айырмалық тәсіл. (7.1)-ді ескере отырып, нүктесінде (7.2) теңдеуін

қарастырамыз да теңдік аламыз:

( ) ( ) Бірінші реттік дәлдікті оң жақтағы айырымдық қатынаспен туындыны

сол жаққа қарай жуықтатып

( ) ( ) ( )

аламыз

( ) ( ) ( )

Бастапқы (7.1) шартты ескергенде, Эйлер әдісінің жалпы есептеу

формуласы:

( ) ( ) ( ) ( ) мұндағы Бұл формулалардың алгоритмі өте қарапайым.

а)

(бастапқы шарттар).

б) есептелген мәндерін қорыту

в) ( ) ( ) ( ) (жаңа нүктеде белгісіз функцияның мәнін

есептеу)

г) (келесі нүктеге өту).

д) Егер б) бөліміне өтеді.

Эйлер әдісі аз дәлдікке ие және әрбір жаңа қадамның қателігі жүйелі

түрде өседі.

Мысал 7.1. Эйлер әдісін пайдаланып, бастапқы шарт ( ) қадам

h=0,1 болғанда

дифференциал теңдеуімен анықталатын

функциясының мәнін табу керек. –ң алғашқы төрт мәнін іздеумен шектелу

керек.

Шешуі. Аргументтің тізбекті мәндерін табамыз: Белгісіз функцияның сәйкес мәндерін есептейміз:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

65

( ) ( ) ( ) Кесте аламыз

x 0 0,1 0,2 0,3 0,4

y 1 1,1 1,18 1,25 1,31

7.2 Рунге-Кутт әдісі

Басқа шынайы (яғни мәні k алдыңғы мәндер бойынша

шынайы есептеледі) және бірқадамды (k=1) әдістер бар.

Олардың ішіндегі ең көп таралғаны Рунге-Кутт әдісі. Оның негізінде түрлі

дәлдік қатардың айырмалы сызбалары тұрғызылады (7.1-кестесін қараңыз).

Рунге-Кутт әдісінің неғұрлым көп қолданылатын сызбасы – 3-сызба.

7.1 кесте

№ Формула Қосымша айнымалылар Қате реті

1 )kk4k(

6

1yy 321i1i

)kk2y,hx(fhk

),2

ky,

2

hx(fhk

),y,x(fhk

12ii3

1ii2

ii1

)h(O 4

2 )k3k(

4

1yy 31i1i

)3

k2y,

3

h2x(fhk

),3

ky,

3

hx(fhk

),y,x(fhk

2ii3

1ii2

ii1

)h(O 4

3 )kk2k2k(

6

1yy 4321i1i

)ky,hx(fhk

),2

ky,

2

hx(fhk

),2

ky,

2

hx(fhk

),y,x(fhk

3ii4

2ii3

1ii2

ii1

)h(O 5

3-сызбадағы есептеу формуласына қарап отырып, Рунге – Кутт әдісінің

алгоритмін қарастырамыз (7.1-кестені қараңыз):

а) ( ) (бастапқы шарттар);

б) есептелген мәндерінің қорыту;

в) есептеу;

г) ( ) ( ) ⁄ ( ). (y-тің жаңа мәнін есептеу);

д) (келесі нүктеге өту);

66

е) Егер б) бөліміне өтеді. Рунге-Кутт әдісі көп есептеулер жүргізуді қажет етеді, алайда

айтарлықтай дәлдікке ие болғандықтан есептеуді үлкен қадаммен жүргізуге

мүмкіндік береді. Бұдан басқа, бұл әдістің маңызды артықшылығы (мысалы,

Адамс немесе Адамс типті әдістер алдындағы) - «айнымалы қадамды»

пайдалану мүмкіндігі, яғни біркелкі емес торларда есептер жүргізуге болады.

Мысал 7.2. Рунге – Кутт әдісін пайдаланып, y(0) = 1 бастапқы

шартымен [0, 1] бөлігінде

дифференциалдық теңдеуін шешу.

Қадамды h = 0.05 деп алып, алғашқы үш нүктені табу керек.

Шешуі. Сандарды табамыз

( ) ( ) ( ) 0,05;

(

) ( )

(

) ( )

( ) ( ) Осыдан

( )

Сонымен, болғанда Дәл осылай -ні және т.б. табамыз.

Көрініп тұру үшін барлық алынған нәтижелерді 7.2-кестеге енгіземіз.

7.2 кесте

xi

Рунге-Кутт әдісі

yi f(xi, yi) K1 K2 K3 K4

0 1 1 - - - -

0.05 1.0477 0.9089 0.05 0.0477 0.0476 0.0454

0.1 1.0912 0.8321 0.0454 0.0435 0.0434 0.0416

0.15 1.1311 0.7658 0.0416 0.0399 0.0399 0.0383

7.3 Адамс әдісі

Адамс сызбасында , келесі мәнін есептеу үшін -нің мәні ғана

емес, бірнеше алдыңғы мәндері де қолданылады.

бірқалыпты торда (7.1)-(7.2) есебінің шешуінің ( ) бірнеше жуықталған мәні ( ) ) табылды деп есептейік

және келесі ( ) мәнді есептеу үшін ереже керек. Мұндай

67

ережелерді қорыту үшін интегро- интерполяциялы әдіс қолданамыз: (7.2)

теңдеуінің оң және сол жақ бөліктерін

( ) ( ) ∫ ( ( )) ( )

теңдеуінен алынған [ ] аралық бойынша интегралдап, интеграл

астына ( ( )) функциясының орнына оны интерполяциялайтын ( )

көпмүшесін қоямыз. Әрі қарай, болғанда, ( ) ( ( )) дискретті жуықталған мәндерді қысқашалап деп белгілейміз.

Ньютонның екінші интерполяциялы (5.9) формуласы бойынша түйінінен кейін интерполяциялау кезінде аламыз:

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

(7.4) теңдеуіне ( ) көпмүшесін қою ( ) кезекті мәнін есептейтін мына түрдегі формулаға әкеледі:

( ) ( ) ∫ ( ) ( )

(7.6)-дағы интегралға Ньютон-Лейбниц формуласын қолдану

нәтижесінде Адамстың көпқадамды әдісін аламыз.

∫ ( )

интегралындағы айнымалыны ауыстырамыз

∫ ( ) ∫ ( )

Сонда (7.4) формуласын келесі түрде жазуға болады:

( ) мұндағы

∫ ( )

68

[

(

)

(

)

(

) ]

) ( ) Демек, (7.8) негізінде Адамс-Башфорт экстраполяциялы әдісін

анықтайтын келесі соңғы-айырмалы формула шығады:

(

) ( )

Адамс-Башфорт (7.3-кестесін қараңыз) әдісінің (7.7) формуласының

параметрінің бірнеше алғашқы мәндеріне сәйкес келетін қарапайым дербес

жағдайларын қарастырайық. (7.7) формуласына тіркелген кезде

интерполяциялы көпмүшенің дәрежесі (нөлдік, бірінші, екінші және т.б.)

және, сәйкесінше, (7.8) формуласының оң жағындағы немесе (7.9)

формуласындағы 1, 2, 3, ..., тең қосындылар саны беріледі.

Наиболее употребильной схемой метода Адамс әдісінің неғұрлым

көбірек пайдаланатын сызбасы 4-сызба.

7.3 кесте

№ n мәні Есептеу формуласы Дәлдік

қатесі

1 n=0 ( ) ( )

2 n=1

( )

[ ( ) ( )]

( )

3 n=2

[ ( ) ( )

( )]

( )

4 n=3

[ ( ) ( )

( ) ( )]

( )

69

Мысал 7.3. y(x=0) = 1 бастапқы шартпен [0, 1] бөлігінде xy

xyy

'

дифференциалдық теңдеуін шешу. x4 нүктесінде Адамс әдісімен

(коррекциямен) шешу, қадамды h = 0.05 деп алып, бастапқы үш нүктедегі

шешуді Рунге- Кутт әдісімен шешу.

Шешуі. Бастапқы төрт нүктедегі функцияның мәнін 7.2 кестесінен

аламыз (алдыңғы бөлімдегі 7.2-мысалды қараңыз).

( )

( )

7.4 Дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін Коши есептерін Рунге-

Кутт әдісімен жуықтап шешу.

Қарастырылған әдістер дифференциалдық теңдеулер жүйесін шешу

үшін де қолданылуы мүмкін. Мұны мына екі теңдеулер жүйесі жағдайында

көрсетейік:

{

( )

( )

( )

3-сызбаны, Рунге-Кутт формуласын қолданып, мына түрде жазамыз:

{

( )

( )

( )

( )

(

)

(

)

( )

( )

(

)

(

)

( )

70

Егер (7.1) - (7.2) жоғары ретті қарапайым дифференциалдық теңдеулер

үшін Коши есебі қарастырылса, онда ол дифференциал теңдеулер жүйесіне

теңдеу ретінің кемуімен, қарапайым жолмен келтіріледі.

2-ретті дифференциал теңдеу үшін Коши есебін шығару керек делік.

( )

( ) ( ) ( )

Екінші белгісіз ( ) ( )функциясын енгіземіз. Сонда

тұжырымдалған Коши есебі келесімен ауыстырылады:

{

( )

( )

( ) ( )

Сөз соңында бірқадамды әдістің артықшылығын белгілейміз: әрбір жаңа

есепті түйінде шешім алу үшін алдыңғы түйіндегі функция мәнін алу

жеткілікті. Бұл i=0-ден бастапқы белгілі мәнге дейін есептеулер жүргізуді іске

асырады. Сонымен қатар, бұл артықшылық есептеу үдерісінде кез-келген

нүктеде қадамды өзгертуге рұқсат етеді, ал бұл автоматты қадам таңдаумен

сандық алгоритмдер тұрғызуға көмектеседі.

8 Қарапайым дифференциал теңдеулер үшін шекті есептерді шешу

8.1 Тор әдістері

Инженерлік тәжірибеде механиканың, физиканың, тербелістер

теориясының есептерін және басқа көптеген есептерді шешу кезінде

қарапайым дифференциал теңдеулер үшін мына түрдегі шекті есептерді шешу

жиі қажет болып жатады:

( ) ( ) ( ) ( )

мұндағы ( ) ( ) ( ) –үзіліссіз және [ ] аралығында анықталған,

берілген функциялар, ал – тәуелсіз айнымалы, – белгісіз функция. [ ] аралығының шекарасында шекті шарттар берілген:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

мұндағы – белгілі тұрақты шамалар, j=0,1.

71

Егер (8.2) және (8.3) шекті шарттары берілсе:

1) – шарт бірінші текті шарт деп аталады;

2) – шарт екінші текті шарт деп аталады;

3) – шарт үшінші текті шарт деп аталады.

[ ] аралығында (8.1) дифференциал теңдеуін және (8.2) және (8.3)

шекті шарттарды қанағаттандыратын ( ) функциясын табу керек.

2-ретті дифференциал теңдеулер үшін екі нүктелі сызықты шекті

есептерді жуықтап шешудің бірнеше әдістері қарастырылады. Алдымен

бастапқы есептерді сандық шешу әдістерінің жинақталған арсеналын

қолдандыратын әдістер оқытылады. Ары қарай тор түйіндеріндегі

туындылардың қарапайым аппроксимациялары негізінде автоматты

есептеулер үшін ыңғайлы, шешудің негізін алатын соңғы айырма әдісі

құрылады және оның сандық тұрақтылығы оқытылады.

Шекті есептерді дәл (аналитикалық) шешу Коши есептерін шешуге

қарағанда көбірек қиындықтар туғызатыны белгілі. Осыдан қызығушылық

артады және мұндай есептерді шығарудың жуықталған әдістері сан түрлі.

Жуықтап шешу нәтижелерінің типтеріне қарап әдісті 2 топқа бөлуге болады: [ ] бөлігінде шекті есептің жуықталған шешуін қандай да бір нақты

функция түрінде беретін жуықталған аналитикалық және берілген [ ] торында жуықтап шешудің өздік сандық немесе тор әдісі. Жуықталған

әдістерді сараптау негізінде оларды келесі түрдегі класстарға бөлуге болады:

1) Коши есебіне мәліметтер әдісі (атқылау әдісі, дифференциалды

қуалау әдісі, редукция әдісі);

2) соңғы айырма әдісі;

3) баланстар немесе интегро-интерполяциялау әдісі;

4) коллокация әдісі;

5) проекциялау әдістері (моменттер, Галёркиннің);

6) вариациялау әдістері (аз өлшеулер, Ритцтің);

7) проекциялы-айырмалы әдістері (соңғы элементтер әдісі);

8) Фредгольмнің интегралды теңдеулеріне және басқаларына мәліметтер

әдісі.

Төменде осы келтірілген тізімдегі 1, 2, 4, 5, 6 әдістердің идеялары және

оларды кейбір жүзеге асырулар қарастырылады.

8.1.1 Соңғы айырма әдісі.

Шекті есептерді шешудің соңғы айырма әдісі (САӘ) идеясы

айтарлықтай қарапайым және өзінің аты айтып тұрғандай: дифференциалдық

теңдеулерге туындының орнына олардың соңғы айырма аппроксимациясы

қолданылады.

( ) қадаммен [ ] бөлігіне тор енгіземіз:

{ | }

72

Осы торда берілген (8.1) дифференциалдық теңдеудің функционалды

коэффициенті болатын тордық функциялар анықталады:

( ) ( ) ( ). у(х) –ті (8.1) - (8.3) берілген шексіз есептің нақты шешуі деп есептеп, ( ) ( ) ізделініп отырған жуықтап шешудің негізінің і-ші құраушысын

( ) арқылы белгілейміз. Туынды мәндерін соңғы айырма қатынасымен 2-ретті

дәлдіктің симметриялы формуласы бойынша аппроксимациялаймыз:

( )

Сонда бастапқы (8.1) дифференциалдық теңдеу ізделініп отырған функцияның дискретті мәніне қатысты дискретті формула түрінде жазылады:

( )

Ұқсас мүшелерді (8.5)-ке келтіріп алған соң, 2-ретті стандартты 3

нүктелі айырма теңдеуін аламыз:

( ) мұндағы ( ) ( ) ( )

болғанда.

(8.6) жүйесінің жетіспей тұрған екі теңдеуін шекаралық (8.2) және (8.3)

шарттарынан аламыз, мұндағы

( ) (8.6) формулалары ізделініп отырған функцияның бөліктеу

нүктелеріндегі белгісіз мәндеріне қатысты сызықты алгебралық теңдеулер

жүйесі болып табылады және бұл жүйе негізгі үш матрицасы үш диагоналды

болатын ерекшелікке ие. Сонымен, (8.1) дифференциал теңдеуінің орнына

(8.6) сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін шешу қажет.

Мысал 8.1. Шекті есепті соңғы айырма әдісімен шешу керек

,

( ) ( )

Шешуі. Теңдеуді соңғы айырма теңдеулер жүйесімен алмастырамыз:

( )

Ұқсас мүшелерді келтіріп, нәтижесінде алатынымыз:

( ) ( ) ( ) ( )

73

0,1-ге тең қадамды таңдаймыз. Сонда болғанда үш ішкі түйінді

аламыз Осы түйіндердің әрқайсысы үшін теңдеу жаза отырып,

жүйені аламыз:

{

Шекаралық түйіндерде аламыз:

Осы мәндерді пайдаланып, жүйені шешеміз және аламыз:

8.1.2 Қуалау әдісі.

Соңғы айырма әдісін 2-ретті дифференциалдық теңдеулер үшін шекті

есептерге қолдану кезінде сызықты алгебралық теңдеулердің «үш мүшелі

жүйесі» алынады, олардың әрқайсысының үш белгісіз көршілері болады.

Осындай жүйені шешу үшін қуалау әдісі деп аталатын арнайы әдіс

дайындалған.

Теңдеулер жүйесі матрицасының ерекшелігі қуалау әдісін пайдалануға

мүмкіндік береді, оның мағынасы мынада: (8.6) жүйесінің шешуін мына

реккурентті формула түрінде көрсетеді:

( ) мұндағы - қуалау коэффициенттері деп аталатын әзірге

белгісіз коэффициенттер; бұлар кейінірек анықталады. Бұл формуладан көріп

отырғандай, келесі формула шығады:

( )

(8.9) формуласын (8.6) теңдеулер жүйесіне қойып, аламыз:

( )

(8.10) мен (8.8) формулаларын салыстыру қуалау коэффициенттерін

есептеуге арналған формуланы алуға мүмкіндік береді:

( )

Бұл формулалар реккурентті болып табылады және белгісіз қуалау

коэффициенттерінің мәндерін есептеу үшін алдымен бастапқы

коэффициенттерді анықтау керек, ол үшін қарастырылып отырған [ ] аралықтың сол жақ шекарасындағы шекаралық шарт қолданылады:

74

, ( ) Қуалау коэффициенттерінің мәнін (8.12) және (8.11) формулаларымен

есептеу тура қуалау деп аталады. Қуалау коэффициенттерін есептеп

болғаннан кейін ізделініп отырған функцияның мәні есептеледі, ол үшін [ ] аралығының оң жақ шекарасындағы шекаралық шарт пен (8.9)

реккурентті формуласы пайдаланылады:

( ) (8.13) пен (8.9) формулаларымен ізделініп отырған функцияның мәнін есептеу

кері қуалау деп аталады.

(8.1)-(8.3) теңдеулерінің шекті есебін қуалау әдісімен шешудің

алгоритмі мынадай болады:

а) бастапқы берілгендерді енгізу.

б) Берілген ( ) ( ) ( ) функциялардың мәнін

үшін есептеу циклі.

в) (8.6) теңдеуі жүйесінің коэффициенттерін есептеу циклі.

г) Қуалаудың бастапқы коэффициенттерін (8.12) формулалары бойынша

есептеу.

д) Қуалаудың коэффициенттерін (8.11) формулалары бойынша есептеу

циклі.

е) (8.13) формуласы бойынша ізделініп отырған функцияның оң жақ

шекарадағы мәнін анықтау.

ж) (8.9) формуласы бойынша ізделініп отырған функцияның мәнін

есептеу циклі.

к) x аргументі мен y функциясының мәндерін қорыту.

Мысал 8.2. Қуалау әдісімен

теңдеуінің

( ) ( )

шекті шарттарды қанағаттандыратын жуықталған шешуін табу керек.

Шешуі. деп алып теңдеу мен шекті шарттарды соңғы айырма

теңдеулер жүйесіне алмастырамыз.

( )

Ұқсас мүшелерді келтірген соң аламыз:

Осылайша, екенін ескеріп, аламыз:

( )

(8.12) формуласын ескеріп,

75

8.1 кесте

i xi bi ci di i i yi

0 0 -1,98 1 0 0 1 1

1 0,1 -1,96 0,98 0,004 0,51 0,498 1,072

2 0,2 -1,941 0,961 0,008 0,689 0,324 1,126

3 0,3 -1,922 0,942 0,012 0,785 0,231 1,163

4 0,4 -1,904 0,923 0,015 0,848 0,168 1,187

5 0,5 -1,886 0,905 0,019 0,894 0,119 1,202

6 0,6 -1,868 0,887 0,023 0,93 0,077 1,212

7 0,7 -1,85 0,869 0,026 0,96 0,039 1,22

8 0,8 -1,833 0,852 0,03 0,985 0,003 1,231

9 0,9 -1,817 0,835 0,033 1,005 -0,03 1,247

10 1

1,27

Тура жол. 8.1-кестеге сандарды жазамыз және

мәндерін есептейміз. Содан кейін (8.11) формуласы бойынша табамыз:

Алынған сандарды кестеге жазамыз және әрі қарай есептеуге

кірісеміз.

Кері жол. екені белгілі, (8.9) формуласын қолданып басқа

( ) мәндерді әрі қарай:

және т.б.

мәндерінің сызбасын 8.1-суретінде көрсетеміз.

76

8.1 сурет - y мәндерінің x-ке тәуелділігі

8.2 Аналитикалы-жуықтау әдісі

Бұл параграфта біз қарапайым дифференциал теңдеулер үшін

аналитикалық түрде шекті есептің жуықталған шешуін алуға мүмкіндік

беретін шекті есептерді шешудің вариациялық әдісін қарастырамыз. Бұл

әдістің бұлай аталу себебі, оларды алғашқы қолдану қандайда бір

вариациялық есептің дифференциалдық теңдеулерге арналған шекті есепті

алмастыруымен байланысты.

(8.1)-(8.3) шекті есебін шешу үшін [ ] бөлігінде (8.2)-(8.3) шекті

шарттарды, яғни , 2 рет үздіксіз

дифференцияланатын функцияның . қандай да бір сызықты

тәуелсіз жүйесін береміз, ал қалған функциялар біртекті шекті шарттарды

қанағаттандырады, яғни

. функцияның берілген жүйесі базисті деп аталады.

әзірге белгісіз коэффициенттерімен базисті функцияның

сызықты комбинациясын құрамыз:

( ) ( ) ( ) оператордың сызықты күшіне ( ) функциясы кез-келген

(8.2)-(8.3) берілген шекті шарттарды қанағаттандырады.

Шыныменде,

( ∑ ) ∑

( )

Функция

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ( ) ( )

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

Ряд1

77

байланыссыздық деп аталады. Үйлесімі жоқ (8.16)-дағы байланыссыздық

параметрлеріне сызықты тәуелді болады және (8.1)-(8.3) шекті

есебінің u(x) белгісіз шешуінен (8.14) функциясының тайқуы болып

табылады. Байланыссыздық нөлге жақындаған сайын, функция шекті есептің

шешуімен сәйкес келеді, сондықтан да параметрлерін

байланыссыздық неғұрлым аз болатындай етіп сайлап алуға тырысады.

Таңдап алынған кезінде (8.14) функциясын (8.1)-(8.3) шекті

есебінің жуықталған шешуі ретінде қабылдайды.

(8.1)- (8.3) шекті есебінің жуықталған шешуін базистік функцияның

сызықты комбинациясы түрінде іздейміз:

∑ ( )

( )

мұндағы [ ] бөлікте анықталатын базистік функциялар ( ) (i

=1,2,..,n) мен қосымша функция 2 рет дифференцияланатын және

жұптасқан сызықты тәуелсіз болуы керек. Сондай-ақ, функция берілген

шекті (8.2), (8.3) шарттарды қанағаттандыруы керек, ал ( ) функциялар

=1,2,..,n болғанда — сәйкес келетін біртекті шекті шарттарды

қанағаттандыруы керек, яғни мына теңдіктер орындалуы керек:

{ ( )

( )

( ) ( ) { } ( )

Олай болса, (8.17) теңдеуімен анықталатын ( ) функция

коэффициенттерінің кез-келген мәндерінде (8.2), (8.3) шекті шарттарды

кепілді қанағаттандырады. Шыныменде, мысалы, x=a нүктесінде аламыз:

( ) ( )

( ) ( ) ∑ ( )

∑ ( )

∑ [ ( ) ( )]

Дәл осылай x=b болғанда (8.3), (8.17) және (8.18) көмегімен теңдіктің

дұрыстығы тексеріледі:

( ) ( )

(8.1) - (8.3) шекті есебін сәтті шешу базисті функцияны ( ) таңдауға,

(8.17) жуықталған шешуді ұсынуға өте байланысты. Нақты есептерде мұндай

функцияларды таңдау, мүмкіндігінше, шешім туралы априорлық немесе

эмпирикалық мәліметтеріне сүйенуі керек. Олай болмаған жағдайда, яғни

(8.1) - (8.3) шекті есептер үшін қарастырылып отырған абстракт жағдайда,

мысалы, келесі базисті функциялар жиынын ұсынуға болады:

ретінде сызықты функцияны аламыз:

78

( ) мұндағы коэффициенттерді функция (8.2),(8.3) біртекті шекті

шарттарды қанағаттандыратындай етіп сайлап аламыз, яғни сызықты

алгебралық жүйеден:

{ ( )

( ) ( )

( ) функциялары болғанда

( ) ( ) ( ) ( )

бірпараметрлік түрде алуға болады.

Егер (8.2)-де , немесе

( ) ( ) ( ) ( )

негізгі жалпы жағдай түрінде жазуға болады. Көрініп тұрғандай, кез-келген

бұл функциялар (8.18) теңдеулерінің біреуін қанағаттандырады, егер (8.21)

теңдеуінде

( ) ( ) ( )

( ) ( )

деп белгілеп, және (8.22) теңдеуінде

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

деп алсақ, онда олар бұл теңдеулердегі екіншісіне де бағынатын болады.

Демек, коллокация әдісімен (немесе қандайда бір басқа әдіспен) табылған коэффициенттерде, (8.17) арқылы анықталған u функциясы, шекті шарттарды

қанағаттандырады және берілген (8.1)-(8.3) шекті есептің жуықталған шешуі

болады.

базисті функцияны жәй ғана таңдау мәселесі (8.1)-(8.3) есебінде

біртекті бірінші ретті шекті шарттар орын алғанда анағұрлым жеңілдейді,

яғни мынадай болғанда:

( ) ( ) ( ) Бұл жағдайда (8.17) теңдеуіне функциясы керек жоқ, ал (

) орнында, мысалы:

( ) ( ) ( ) немесе

( ) ( )

79

болады.

Осы жағдайға, яғни (8.25) шарттарына біртекті емес бірінші ретті шекті

шарттардың жалпылама жағдайын әкелуге болады:

( ) ( ) ( )

Осы мақсатта сызықты ауысу (сызықтық ығысу) жасалса жеткілікті.

( )

Бұл у функциясын 2 рет дифференциалдап және нәтижелерді (8.1)

теңдеуіне қойып, (8.1), (8.26) есебінен жаңа айнымалыға қатысты біртекті

шекті шарты бар шекті есепке келеміз:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) [ ]

( ) ( )

8.2.1 Коллокациялар әдісі.

(8.1) сызықты дифференциал теңдеулерді коллокация әдісімен шешуді

қарастырамыз. Қандай да бір сызықты тәуелсіз ( ) ( ) ( ) функциялардың базисті жүйесін таңдаймыз. Бұл орайда ( ) біртекті емес, ал қалған функциялар ( ) φi(x) (8.2)-(8.3) біртекті шекті

шарттарды қанағаттандырады. (8.1) - (8.3) шекті есебінің жуықталған шешуін

(8.17) базисті функциялардың сызықты комбинациясы түрінде іздейміз.

Мұндай u функция кез-келген кезінде шекті шарттарды

қанағаттандырады. (8.17) формуласын (8.1) теңдеуіне қойып, u функциясы

(8.1) теңдеуінің нақты шешуі болмағандықтан, қандай да бір нөлге тең емес

( ) қалдық мүшені аламыз. Егер коэффициенттерді таңдауда барлық [ ] ] үшін ( ) шарты орындалса, онда u(x)

функциясы (8.1) теңдеуінің нақты шешімі болады.

Алайда коэффициенттерді бұлай сайлап алу іс жүзінде мүмкін емес.

Сондықтан [a,b] бөлігінде – коллокациялар нүктесінде берілген

көпшілік нүктелерде байланыссыздықтың нөлге тең болу шартымен

шектеледі. Бұл нүктелерде (8.1) дифференциал теңдеуі қанағаттандырылады.

Солнымен, белгісіздеріне қатысты алгебралық теңдеулер

жүйесі алынады: ( )

( ) ( )

( )

Неғұрлым толығырақ мына түрде жазылады:

80

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Егер жүйе нақты шешілетін болса, одан табылған

коэффициенттер (8.17)-ге қойылады. Коллокациялардың нүктелер саны

базисті функциялар санымен келісілуі керек. Базисті функциялар көбірек

қолданылса, сәйкесінше, коллокациялар нүктелері, соғұрлым жуықталған

шешім дәлірек болады.

Әдіс алгоритмі келесідей:

1) ( ) базисті функцияларды жазу.

2) Базисті функциялардың нөлдік шекті шарттарының орындалуын

тексеру.

3) Шекті есептердің жуықталған-аналитикалық шешуін ( ) ∑ ( )

түрінде жазу.

4) Дифференциал теңдеулерге (ДТ) туындыларды ( ) шешуін

дифференциалдап жазу.

5) 3,4 бөлімдерінде алынған нәтижелерді ДТ-ге қою.

6) 5-бөлімдегі ДТ сол және оң бөліктерінің айырмасы ретінде

( ) байланыссыздық функциясын жазу.

7) Шекті нүктемен шектелген интервал ішінде n коллокациялар

нүктесін (базисті функциялар саны бойынша) таңдап алу.

8) Коллокация нүктелерінде байланыссыздық функцияның нөлге тең

шартын жазу – белгісіз тұрақтыларға қатысты алгебралық

теңдеулер жүйесінің нәтижесі.

9) тұрақтыларды есептеу.

10) Шекті есептің соңғы жуықталған-аналитикалық шешуін жазу.

11) Коллокация нүктелерінде ( ) функциясының мәнін есептеу.

Мысал 8.3. [ ] бөлігінде ( ) ( ) ( ) болғанда

шекті есебін коллокациялар әдісімен шешу.

Шешуі. (8.19) түрдегі функцияның коэффициенттеріне

қатысты (8.20) жүйесін құрып, берілген шекті шарттарды қанағаттандыратын

( )

сызықты функцияны табамыз:

{

(8.21) түрдегі бір базисті ( ) функциямен шектеліп, -ді (8.21)-ге

қойғанда базисті

( ) ( )

( )

функцияны беретін коэффициентті есептейміз:

81

( ) ( )

( )

Коллокация түйіні ретінде қарастырылып отырған аралықтың -

нүктенің ортасын аламыз және

( ) ( ) функциясы осы нүктеде белілген дифференциал теңдеуді қанағаттандыруын

шарт қыламыз.

Оған қойып,

(

)

аламыз:

.

Осылайша, бір түйінді ең қарапайым коллокация берілген квадратты

функциялы шекті есептің жуықталған шешуіне алып келеді:

( )

(( )

( ))

Мысал 8.4. [ ] бөлігінде ( ) ( ) болғанда шекті есепті коллокациялар әдісімен шешу керек.

Шешуі. Базисті функция ретінде ( ) ( ) . поли-

номдарын аламыз. ( ) функциясы біртекті емес ( ) шекті

шарттарды, ал ( ) функциялары - ( ) ( ) біртекті

шекті шарттарды қанағаттандырады. Коллокациялар нүктелерін ⁄

⁄ деп аламыз. 3 базисті функциялармен шектелеміз және

теңдеудің жуықталған шешуін мынаған тең деп аламыз:

( ) ( ) ( )

Нәтижесінде ( ) байланыссыздығы мынаған тең болады:

( ) ( ) ( )

⁄

⁄ коллокациялар нүктелерін байланыссыздық

теңдеуіне қойып, , коэффициенттерін анықтауға арналған теңдеулер

жүйесін аламыз:

{

Осыдан табамыз: және жуықталған шешуі мына

түрде болады:

82

8.2.2 Аз өлшеулер әдісі.

(8.1) сызықты дифференциал теңдеуінің шешуін аз өлшемдер әдісімен

қарастырайық. ( ) ( ) ( ) сызықты тәуелсіз функциялардың

қандай да бір базисті жүйені таңдаймыз. Бұл ретте ( ) біртекті емес, ал басқа ( ) φi(x) функциялар (8.2)-(8.3) біртекті шекті

шарттарды қанағаттандырады. Жуықталған шешімі мына түрде ізделінеді:

( ) ( )

u функциясын (8.1) дифференциал теңдеуіне қойып, [a,b] бөлігінде

абсолют мәні минимал болуы керек байланыссыздықты аламыз:

( ) ( ) ( ) ( ), Байланыссыздықтың квадратынан алынған интегралдың мәні минимал

болған кезде бұл шарт орындалады:

∫ ( )

.

S интеграл минимумын алу үшін S дербес туындыларды

коэффициенттері бойынша нөлге теңестіру керек, яғни

∫

∫

∫

( )

Нәтижесінде -ге қатысты сызықты алгебралық теңдеулер жүйесі

шығады және осы теңдеулермен олардың мәндері анықталады.

Мысал 8.5. [ ] бөлігінде ( ) ( ) болғанда коллокациялар

әдісімен шекті есебін шығару керек.

Шешуі. Базисті функцияларды ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) түрінде таңдап, есептің шешуін мына түрде іздейміз:

( ) ( ) ( )

Нәтижесінде ( ) байланыссыздығы мынаған тең болады:

( ) ( ) ( )

Бұл жағдайда байланыссыздық квадратынан интеграл төмендегідей

түрде болады:

∫

( )

83

∫[ ( ) ( )]

S интеграл минимумын алу үшін S дербес туындыларды ... коэффициенттері бойынша нөлге теңестіру керек, яғни

∫( )[ (

) ( )]

∫( )[ (

)

( )] Интегралдаған соң, мына теңдеуді аламыз:

{

Осыдан табамыз: және жуықталған шешімі

мына түрде болады:

8.2.3 Галеркин әдісі.

Галеркин әдісінің алгоритмі де ( ) ( ) ( ) сызықты тәуелсіз

функциялардың базисті жүйесін таңдауға негізделген. Бұл жердегі ( ) біртекті емес, ал басқа ( ) функциялар біртекті шекті шарттарды

қанағаттандырады.

Осы базисті жүйенің негізінде есептің жуықталған шешуі олардың

сызықты комбинациясы түрінде құрылады.

( ) ( )

Әдіс негізіне ( ) ( ) ( ) базистік функциялардың (8.16)

байланыссыздығына ортогонал болу шарты жатады, яғни

∫ ( ) ( )

∫ ( ) ( )

∫ ( ) ( )

( )

Нәтижесінде коэффициенттері үшін келесі сызықты

алгебралық жүйені аламыз. Бұл жүйені шеше отырып, коэффициенттері мен u есебінің жуықталған шешуін табамыз.

84

Мысал 8.6. [ ] бөлігінде ( ) ( ) болғанда шекті есебін Галеркин әдісімен шешу керек.

Шешуі. Базисті функциялар ретінде ( ) ( )

полиномдарын таңдаймыз. ( ) функциясы ( ) біртекті емес, ал

( ) ы – біртекті ( ) ( ) шекті

шарттарды қанағаттандырады. 3 базисті функциялармен шектелеміз және

теңдеудің жуықталған шешуін мынаған тең деп аламыз:

( ) ( ) ( )

Нәтижесінде ( ) байланыссыздығы мынаған тең болады:

( ) ( ) ( )

Базисті функцияларға байланыссыздықтың ортогонал болу шартынан

, i = 1, 2 коэффициенттері үшін сызықты екі теңдеулер жүйесін аламыз:

∫( )

( )

∫( )

( )

( ) мәндерін теңдеуге қоя отырып, интегралдаған соң сызықты

алгебралық теңдеулер жүйесін аламыз:

{

Осыдан табамыз: , және жуықталған шешуі

мына түрде болады:

Мысал 8.7. 2-ретті дифференциал теңдеу мен оның шекаралық

шарттары берілсін делік:

( ) ( ) (8.29)

Галеркин және коллокация әдісімен шешеміз.

Шешуі. Галеркин әдісі.

[a, b] бөлігінде базисті функциялар жүйесін таңдап аламыз:

( ) ( ) ( )

Жүйенің ортогоналдылығын тексереміз:

{

∫ |

∫ (

)|

85

{

∫

|

∫

(

)|

∫

|

Базисті функциялардың таңдап алынған жүйесі ортогоналды болып

табылады және [ ] шекарасында { ( )} базисті функциялардың соңғы

жүйесін таңдау шартын қанағаттандырады.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) (

) ( ) (

)

(8.29) шекті есебінің шешуі (8.17) түрінде ізделінеді.

1) Екі базисті функциялы есептің шешуін қарастырамыз:

( ) ( )

Сонда шешуі

( ) Екі базисті функциялы (8.29) есебі үшін (8.16) формуласы бойынша

байланыссыздықты табамыз:

( ) ( )

∫ (

)

болатындай таңдалады.

( ) барлық базисті функцияларға ортогоналды болғандықтан

∫ ( )

( )

∫ [ ( ) ]

Сонда (8.29) есебінің шешуі:

( ) 2) Үш базисті функциялы есептің шешуін қарастырамыз:

86

( ) ( ) ( )

.

Сонда шешуі:

( )

байланыссыздық мына түрде болады:

( ) ( )

(

)

Базисті функцияларға байланыссыздықтың ортогоналдық шарттарынан

, i = 1, 2 коэффициенттері үшін екі сызықтық теңдеулер жүйесін аламыз:

∫ ( )

( )

∫ ( )

( )

және коэффициенттерін жүйеден табамыз:

∫ ( )

∫ (

) ∫ [ ]

∫

( )

∫

(

) ∫

[ ]

Берілген жүйені шешіп, табамыз:

{

Сонда (8.29) есептің шешуі:

( )

87

Коллокация әдісі

1) Екі базисті функциялы (8.29) есептің шешуін қарастырамыз:

( ) ( )

Сонда шешуі:

( )

Байланыссыздықты құрамыз:

( ) ( )

[-π, π] бөлігінде коллокация нүктесі ретінде 0-ді таңдаймыз.

( ) ( )

Сонымен, (8.29) есептің шешуі:

( )

2) Үш базисті функциялы (8.29) есептің шешуін қарастырамыз:

( ) ( ) ( )

.

Сонда шешуі:

( )

Байланыссыздықты құрамыз:

( ) ( )

(

)

[– ] бөлігінде коллокацияның екі нүктесін таңдап аламыз: 0 және

.

Теңдеулер жүйесін құрамыз:

{

( ) ( ) (

)

(

) ( ) (

)

88

{

{

Сонымен, (8.29) есептің шешуі:

( )

89

Әдебиеттер тізімі

1. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов. – М.:

ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 304 с.

2. Плис А.И., Сливина Н.А. Mathcad 2000. Лабораторный практикум по

высшей математике. - М.: Высш. шк., 2000. - 716 с.

3. Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах

— М.: Высш. шк. , 2008. – 480 с.

4. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. -

СПб.: Издательство «Лань», 2011. - 672 с.

5. Самарский А. А. Введение в численные методы. Учебное пособие для

вузов. 3-е изд., стер. — СПб.: Издательство «Лань», 2005. — 288 с.

6. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – СПб.: Издатель-

ство «Лань», 2009. - 608 с.

7. Вержбицкий В.М. Основы численных методов: Учебник для вузов. –

М.: Высш. шк., 2002.- 840 с.

8. Вержбицкий В.М. Численные методы. Математический анализ и

обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Высшая школа, 2001.-

382 с.

9. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы.- М.:

Лаборатория базовых знаний, 2002. – 632 с.

90

Мұхтар Өмірзақұлы Зияханов

САНДЫҚ ӘДІСТЕР

Оқу құралы

Редактор Б.Қасымжанова

Қосымша жоспар 2014ж., реті 15

«Алматы энергетика және байланыс университеті»

Коммерциялық емес акционерлік қоғамның

Көшіріп-көбейткіш бюросы

050013, Алматы, Байтұрсынов көшесі,126

Теруге тапсырылды __.__.__.

Пішімі 60х84 1/16

Баспахана қағазы №1

Оқу - баспа бет 5,5 Таралым 50 дана. Тапсырыс

Теруге қол қойылды__.__.__.

Көлемі оқу-басп. б.

Бағасы 2750тенге