Dopasowanie modelu autoregresji i predykcja stanów wody w Odrze

(posterunek wodowskazowy Trestno)

Tomasz Niedzielski

Cel badań

Dopasowanie modelu ARMA do danych opisujących stany wody w Odrze na posterunku Trestno (SW Polska)

Długoterminowe prognozowanie stanów wody w Odrze na wodowskazie Trestno w oparciu o dopasowany model ARMA

Ocena trafności predykcji Zastosowanie metody bootstrap dla badanego szeregu

czasowego

Publikacje

Niedzielski T., 2004, Długoterminowe prognozowanie stanów wody w Odrze na wodowskazie Trestno w oparciu o analizę szeregów czasowych, [w:] Badania geograficzne w poznawaniu środowiska, Wydawnictwo UMCS, Lublin, 321-326.

Niedzielski T., Dopasowanie modelu ARMA i zastosowanie metody bootstrap do danych opisujących stany wody (aktualnie recenzowana).

Prezentacja

1. Wiadomości wstępne i przygotowanie danych

2. Wybór i dopasowanie modelu ARMA dla residuów

3. Prognozowanie

4. Ocena trafności predykcji

5. Zastosowanie metody bootstrap do szeregu czasowego residuów

6. Wnioski

1. Wiadomości wstępne i przygotowanie danych

lokalizacja wodowskazu Trestno 242.1 km biegu rzeki bliskość Wrocławia

Wejściowy szereg czasowy dzienne stany wody w Odrze na posterunku Trestno listopad 1979 – październik 1982 1096 danych

Przekształcony szereg czasowy szereg średnich dekadowych 108 danych od tego miejsca analizowany jest ten zbiór danych

1. Wiadomości wstępne i przygotowanie danych(ciąg dalszy)

Własności badanego szeregu czasowego brak trendu (ryc. 1) sezonowość – okres 36 (ryc. 1)

Przygotowanie szeregu residuów usunięcie składowej sezonowej odjęcie średniej procesu

Stacjonarność szeregu czasowego residuów (ryc. 2)

2. Wybór i dopasowanie modelu ARMA dla residuów

Wybór p i q dla procesu ARMA(p,q) analiza funkcji autokorelacji

próbkowej (ryc. 3) analiza funkcji autokorelacji

cząstkowej (ryc. 4) Wstępne założenie, że modelem dla

residuów jest AR(1)

2. Wybór i dopasowanie modelu ARMA dla residuów (ciąg dalszy)

Zastosowanie kryterium FPE i AICC FPE

AICCpn

pnFPEp

2̂

2

)1(2)/)(,(ln2)(

qpn

nqpnSLAICC XX

2. Wybór i dopasowanie modelu ARMA dla residuów (ciąg dalszy)

Wniosek: proces AR(1) opisuje residua

Definicja: Xt jest procesem AR(1) jeżeli Xt jest stacjonarny i dla

każdego t

gdzie Zt jest białym szumem o średniej 0 i wariancji 2, |φ| < 1,

Zt jest nieskorelowana z Xs dla wszystkich s < t, φ jest stałą.

,...,1,0,1 tZXX ttt

2. Wybór i dopasowanie modelu ARMA dla residuów (ciąg dalszy)

Estymacja współczynnika φ (estymator Yule - Walkera) prowadzi do otrzymania następującego modelu probabilistycznego dla residuów

Powyższy model jest podstawą do wygenerowania długoterminowej prognozy

,...,1,0,646.0 1 tZXX ttt

3. Prognozowanie

Długość prognozy długoterminowa 1 rok (1983), co równoważne jest 36 dekadom

Procedura prognoza szeregu residuów AR(1) dodanie składowej sezonowej dodanie średniej przekształconego szeregu czasowego

3. Prognozowanie (ciąg dalszy)

Długoterminowa prognoza na rok 1983 z odjętym/dodanym średniokwadratowym błędem prognozy (ryc. 5)

4. Ocena trafności predykcji

Porównanie wartości prognozowanych z obserwowanymi (ryc. 6)

Dla większości przypadków prognoza jest zbliżona do wartości obserwowanych

5. Zastosowanie metody bootstrap do szeregu czasowego residuów

Cel: znalezienie nowego modelu AR(1) dla residuów [inny współczynnik φ] i sprawdzenie czy zastosowanie nowego modelu poprawi trafność prognozy

Bootstrap – metoda statystyczna polegająca na repróbkowaniu (losowaniu ze zwracaniem z istniejącej próbki nowych B próbek)

Bootstrap dla danych niezależnych nie może być stosowany dla danych zależnych

Zastosowano klasyczny bootstrap dla szeregu „prawie niezależnego” szumu losowego

5. Zastosowanie metody bootstrap do szeregu czasowego residuów (ciąg dalszy)

Repróbkowano 2000 razy Obliczono nową wartość estymatora Yule – Walkera, która

wynosi 0.612 Nowy model probabilistyczny dla residuów był podstawą

skonstruowania prognozy Nie zaobserwowano poprawy trafności predykcji

6. Wnioski

Zaproponowany model jest podstawą dość trafnych prognoz Zastosowanie metody bootstrap nie poprawiło trafności prognozy Interesujące wydaje się być

znalezienie modelu ARMA dla dłuższych szeregów czasowych (czy też będą AR(1)?)

zbadanie wpływu wartości ekstremalnych (np. powódź z 1997 roku) na strukturę modelu

Dziękuję za uwagę