Post on 10-Mar-2018
Introdukcja i droga do FFT
Ewa Łukasik
Ewa.Lukasik@cs.put.poznan.pl
Systemy wbudowane
Sygnały
2015/16
Struktura wykładów
Systemy wbudowane -> prof. A. Urbaniak
Sygnały – dr inż. Ewa Łukasik
Zakres materiału części sygnałowej
Podstawowe wiadomości dotyczące sygnałów
Podstawy analizy czasowej i częstotliwościowej przebiegów
czasowych.
Twierdzenie o splocie
Modulacja amplitudowa i częstotliwościowa
Twierdzenie o próbkowaniu
Dyskretna Transformata Fouriera, Szybka Transformata Touriera,
Dyskretna Transformata Cosinusowa (DFT, FFT, DCT)
Filtry cyfrowe, o skończonej i nieskończonej odpowiedzi impulsowej
(SOI – FIR, NOI – IIR)
Materiały i kontakt
Ewa.Lukasik@cs.put.poznan.pl
pok. 125, tel 61 665 2922
Literatura
R. Lyons, Wprowadzenie do cyfrowego przetwarzania sygnałów,
WKŁ, 2010,
T. Zieliński, Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. Od teorii do
zastosowań, WKŁ, 2009,
A.V.Oppenheim, R.W.Schafer, Cyfrowe przetwarzanie sygnałów,
WKŁ, W-wa, 1979.
Węzły sensorowe - moty
sygnały
http://www.sengpielaudio.com/calculator-db.htm
Węzły sensorowe
sygnały
Próbkowanie i kwantowanie
Próbkowanie (jeszcze do niego wrócimy)
Modulacja impulsowo – kodowa
Pulse-code modulation - PCM
Reprezentacja sygnału analogowego za pomocą jego
skwantowanych próbek nosi nazwę modulacji impulsowo-kodowej,
w skrócie - PCM
Tor cyfrowego przetwarzania sygnałów
Filtr
urządzenie selektywne w dziedzinie częstotliwości, które jest używane do
ograniczenia widma sygnału do określonego pasma częstotliwości
charakteryzuje go tzw. odpowiedź częstotliwościowa, w której występuje pasmo
przepustowe i pasmo zaporowe;
w paśmie przepustowym składowe sygnału są przesyłane bez lub z niewielkimi
zniekształceniami;
w paśmie zaporowym składowe sygnału są silnie tłumione
filtry dolno-, górno- i pasmowo- przepustowe oraz pasmowo-zaporowe
analogowy filtr DP
(antyaliasingowy)
konwersja
A/C
przetwarzanie cyfrowe: DFT/FFT,
filtracja cyfrowa
konwersja
C/A
filtr wyjściowy
DP
Kwantowanie
błąd kwantowania (szum kwantowania)
kwantowanie - przybliżenie analogowego sygnału dyskretnego x(nTs) sygnałem cyfrowym xc(nTs), którego wartości są reprezentowane słowami o długości b bitów
xc(nTs)=Q[x(nTs)]
błąd kwantowania
e(nTs)= xc(nTs)-x(nTs)
błąd kwantowania zależy od:
sposobu reprezentacji cyfrowej liczb ujemnych ( znak-moduł ZM, uzupełnienie do jedności – U1, uzupełnienie do do dwóch – U2)
sposobu kwantowania
Kwantowanie
miara zniekształceń - stosunek mocy sygnału do mocy szumu SNR
12/X
ikwantyzacj szumumoc
usygnał mocSNR
22sk
10, bo obliczenia są dla mocy;
Gdyby decybele obliczać dla
stosunku amplitud, byłoby 20
Problem reprezentacji binarnej sygnałów
Reprezentacja liczb ujemnych w zapisie ZM i U2
np. .wav
Kolejność bajtów
Big endian, little endian
Zmiana liczby bitów przetwornika, np. 16-12 lub 16-32
Kompandowanie (compression+expanding)
Kompandowanie (2) (compression+expanding)
Law (amerykański PCM):A-Law (europejski PCM):
Podstawowe wielkości określające sygnał cyfrowy
Zapis
Wartość średnia
Średnia bieżąca
)()( nxnyN
nnynp
2sin21)( .
1,2,...N )(1 1
0
nnxN
yN
n
1,...,1,0 m1,-0,2,...N )(1
)(1
0
MnnmxN
myN
n
?
n
n
N
N
Energia
Moc
Wartość skuteczna
1,2,...N )(1
0
2 nnxEN
n
1,2,...N )(1 1
0
2 nnxN
PN
n
1,2,...N )(1 1
0
2 nnxN
xN
n
sk
Podstawowe wielkości określające sygnał cyfrowy
n
n
n
N
N
N
Reprezentacja sygnałów w dziedzinie czasu
i częstotliwości
na przykładzie sygnału dźwiękowego
Sygnały proste proste
T=0,005
s
200 okresów / 1 sek = 200 Hz
2000 okresów / 1 sek = 2000 Hz
(2 kHz)
Zakres dźwięków słyszalnych (Hz –> Hertz)
20 Hz 20 kHz 200 Hz 2 kHz
niskie częstotliwości wysokie częstotliwości
Sygnały złożone – pojęcie widma
200 Hz + 400 Hz + 600 Hz + 800 Hz + 1 kHz
Czy istnieje sposób, aby można było
„zobaczyć skład częstotliwościowy” sygnału
widmo
200 Hz 400 Hz 600 Hz 800 Hz 1 kHz
Spektrogram
czas
często
tliw
ość
trygonometryczny
szereg Fouriera
cyfrowo
N
2n
Nb
2sin1
nN
a2
cos1
cyfrowo
trygonometryczny
szereg Fouriera
cyfrowo
N
2n
Nb
2sin1
nN
a2
cos1
cyfrowo składowa stała
Szereg Fouriera cyfrowego sygnału okresowego o okresie N
1
0
2sin
2cosa
k
kkN
nkb
N
nkaf(n)
1-1,2,...N,0 )(1 1
0
0 nnfN
aN
n
,2,...1 1,-1,2,...N,0 2
cos)(1 1
0
knN
nknf
Na
N
n
k
1,2,... k1,-1,2,...N,0 2
sin)(1 1
0
nN
nknf
Nb
N
n
k
Czyli, żeby obliczyć amplitudę składowej sin (cos) należy każdą próbkę sygnału
pomnożyć przez odpowiadającą jej próbkę sin (cos) i wynik uśrednić
(średnia ważona kolejnymi próbkami sin/cos )
sygnaływidma prąrążków kolejnych amplitudy - ,,0 kk baa
Amplitudy kolejnych sin
obliczone wg wzoru
z poprzedniego slajdu
(amplitudy cos()=0
Wynik
złożenia
kolejnych
sin() o
obliczonych
amplitudach
Co to jest widmo amplitudowe i fazowe?
1
0
2sin
2cosa
k
kkN
nkb
N
nkaf(n)
22
kkk bac
k
kk
a
barctg
Składowa zmienna k
widma amplitudowego
składowa zmienna k
widma fazowego
Jak będzie wyglądać widmo amplitudowe sinusa i cosinusa?
0askładowa stała
widma amplitudowego
Twierdzenie Parsevala
Energia sygnału równa się sumie energii
jego składowych ortogonalnych
Gdy szereg Fouriera zmienia się
w Transformatę Fouriera
Jeżeli sygnał jest nieokresowy, wówczas szereg Fouriera
przekształca się w Transformatę Fouriera (okres jest równy
nieskończoność)
Transformata Fouriera (z pewnymi wyjątkami), jest ciągła, a nie
prążkowa.
Dlaczego widmo sygnałów przedstawia się
ze składowymi ujemnymi częstotliwości?
0f 0f f
A
nX
0 0
02
jn t jn te e
cos( n t ) 0 02 f0 0
02
jn t jn te e
sin( n t )j
0jn t
n
n
x( t ) X e
Węzły sensorowe
jeszcze raz
sygnały
Próbkowanie i kwantowanie
Jak obliczyć widmo
iloczynu dwóch
sygnałów?
sygnały
Próbkowanie to mnożenie sygnału przez ciąg impulsów!!!
Jak będzie wyglądało widmo sygnału spróbkowanego?
Mnożeniu sygnałów
w dziedzinie czasu
odpowiada SPLOT
w dziedzinie
częstotliwości
sygnały
Próbkowanie to mnożenie sygnału przez ciąg impulsów!!!
Mnożeniu sygnałów
w dziedzinie czasu
odpowiada SPLOT
w dziedzinie częstotliwości
Splot
Mnożeniu w dziedzinie czasu (modulacja) odpowiada
splot w dziedzinie częstotliwości
Splotowi w dziedzinie czasu (filtracja) odpowiada
mnożenie w dziedzinie częstotliwości
czas częstotliwość
Splot analogowy (istnieje też cyfrowy)
y(t)=
Modulacja i demodulacja amplitudy jako splot w dziedzinie częstotliwości
M
o
d
u
l
a
c
j
a
De
mo
du
la
cja koherentna
Jak to będzie dla sinusoidy?
Z modulacją częstotliwości (FM) jest inaczej… trudniej…
ale FM stosuje się częściej: syntezatory muzyczne, transmisja danych …
Przykład trzech rodzajów modulacji:
amplitudy (AM), fazy (PM) i częstotliwości (FM)
sinusoida moduluje sinusoidę o większej częstotliwości (nośną):
AM
FM
nośna
sygnał
modulujący
Jak wygląda widmo AM, już wiemy
Widmo FM
=>
f f
Transmisja danych z kluczowaniem częstotliwości (FSK) Frequency Shift Keying
FSK
FSK - widmo
PM - widmo m =1/Tb (1/2Tb)=F= m/2 fc=(f1+f2)/2
f=(f2-f1)/2 = f/F=2 f/ m
fc
f2 f1
F
Porównanie ASK i FSK
FSK
FSK - widmo
ASK - widmo
ASK
fc
fc fc fc+
Widmowa gęstość mocy dla różnych indeksów modulacji FSK
=2(f-fc)/ m
m - szybkość modulacji, fc - częstotliwość pozorna nośna
Wracamy do modulacji amplitudy i splotu…
Próbkowanie, to szczególny przypadek modulacji amplitudy
Sygnałem nośnym jest ciąg impulsów (próbkwanie idealne)
próbkowanie,
to mnożenie w dziedzinie czasu
próbkowanie,
to mnożenie w dziedzinie czasu
i splot w dziedzinie częstotliwości
Efekt aliazingu dla dźwięku
„odbite” składowe w wyższych częstotliwościach, dla
sygnałów dźwiękowych słyszalne jako nakładający się
dźwięk o niższych częstotliwościach
26
Twierdzenie o próbkowaniu
proces równomiernego próbkowania analogowego sygnału o skończonej energii
powoduje powstanie widma okresowego o okresie równym częstotliwości
próbkowania
twierdzenie o próbkowaniu
Sygnał o ograniczonym paśmie częstotliwości i skończonej energii, nie zawierający
składowych widma o częstotliwościach przekraczających W Hz, jest jednoznacznie
opisany za pomocą próbek w punktach odległych o jednakowy przedział czasu, równy
1/2W sekund (czyli pobranych z częstotliwością 2W Hz)
Sygnał o ograniczonym paśmie częstotliwości i skończonej energii, nie zawierający
składowych widma o częstotliwościach przekraczających W Hz, może zostać dokładnie
odtworzony na podstawie znajomości jego próbek w punktach odległych o jednakowy
przedział czasu, równy 1/2W sekund (czyli pobranych z częstotliwością 2W Hz)
Próbkowanie i rekonstrukcja- ilustracja
Tor cyfrowego przetwarzania sygnałów
analogowy filtr DP
(antyaliasingowy)
konwersja
A/C
przetwarzanie cyfrowe: DFT/FFT,
filtracja cyfrowa
konwersja
C/A
filtr wyjściowy
DP
DFT i IDFT
Przykład: N=4
jjjj
jj
jnkkn
nk
nk
nk
jjnkkn
jnkj
nk
nk
nkjnkeewnkj
nkj
nk
23
242
242
4
11 ,1
02
2sin ,12
2cos 2, 2, 1, np. ,
02
sin
,12
cos
parzystegdy
2sin ,0
2cos 1, 1, 1, np.
12
sin
02
cos
te nieparzysgdy
2sin
2cos
Przykład 4-punktowej DFT
Próbki sygnału
Grupowanie próbek i FFT dla N=4 (1)
Próbki widma Próbki widma
współczynniki
Graf motylkowy Szybkiej Transformaty Fouriera FFT
Zmiana kolejności próbek
tylko jedno mnożenie
przez j
-> zamiana miejscami
części rzeczywistej
i urojonej
Kolejność próbek zmieniona na wejście
Inne grupowanie próbek i FFT dla N=4 (2)
współczynniki
Próbki sygnału
Próbki widma Próbki widma
Graf motylkowy Szybkiej Transformaty Fouriera FFT
Zmiana kolejności próbek
tylko jedno mnożenie
przez j
-> zamiana miejscami
części rzeczywistej
i urojonej
Kolejność próbek
zmieniona na wyjściu
FFT - przykład
Z materiałów
prof. Grocholewskiegoc
8x 8 mnożeń!
Wykładniki
współczynnika w
3x 8 mnożeń!
ale
nN
nN
jnN
jnN
N
Nj
nN
N
NnN
Nn
N
wwewew
ewwww
cos
2
12
2222
5=1+4
6=2+4
więc 3x 4 mnożenia!!!!
16pkt FFT
http://www.dsprelated.com/showcode/232.php
Kolejność próbek zmieniona
na wyjściu:
JAK?
- zapisać indeks binarnie
- odwrócić kolejność bitów
- zamienić na liczbę dziesiętną
Liczba mnożeń FFT vs. DFT
pNNN
2dla log2
:żeńliczba mno
:FFT
N :żeńliczba mno
:DFT
2
2
Rewolucyjny
zysk !!!!
prof. dr inż. Stefan Grocholewski
1950-2010
Wiceprzewodniczący Zarządu Polskiego Towarzystwa Fonetycznego
Ekspert European Network in Human Language Technologies
Członek International Society of Phonetic Sciences
Członek International Speech Communication Association
Członek ECESS European Centre of Excellence for Speech Synthesis
Członek władz Stowarzyszenia Polskiej Platformy Bezpieczeństwa Wewnętrznego
Biegły sądowy w dziedzinie fonoskopii
Przedstawiciel Rektora Politechniki Poznańskiej w Senacie Państwowej Wyższej Szkoły Zawodowej w
Gnieźnie
Prezes Oddziału Wielkopolskiego Polskiego Towarzystwa Informatycznego w latach 2001-2005
Z-ca Kierownika Laboratorium Technologii Mowy i Języka w Poznańskim Parku Naukowo-
Technologicznym
prof. dr inż. Stefan Grocholewski
1950-2010
Projekty 1992-1993: KBN 3 3513 92 03 3 3513 92 03 : Modele generowania słów w zastosowaniu do
automatycznego rozpoznawania mowy.
1995-1997 KBN 8 T11C 023 09: Komputerowa analiza i synteza struktur suprasegmentalnych w systemach
dialogowych.
1995- 1996 KBN 8T11D 014 08: Wykorzystanie nowych metod łącznej analizy czasowo-częstotliwościowej
(JTFA) do badania sygnałów.
1998-1999 KBN 8 T11D 014 13 - Zastosowanie nowych metod cyfrowego przetwarzania sygnałów do
analizy, klasyfikacji i kompresji sygnałów dźwiękowych.
1998-2000 KBN 8 T11E 042 15: System rozpoznawania mowy dla komunikacji głosowej osób niewidomych
z komputerem.
1999-2001 KBN 8T11D 029 16 Zmienność i inwariancja w sygnale mowy oraz jego segmentacja.
2001-2003 KBN 7 T11C 009 21 System syntezy mowy ciągłej oparty na konkatenacji segmentów
fonetyczno-akustycznych języka polskiego.
2004-2006 KBN 11 C 03827 Korpusowa metoda generowania mowy polskiej oparta na automatycznej
selekcji suprasegmentalnych struktur sygnału
2006-2009 Technologie przetwarzania oraz rozpoznawania informacji słownych w systemach
bezpieczeństwa wewnętrznego
http://www.cs.put.poznan.pl/sgrocholewski/