Stabilne rozkłady Lévy'ego 

(Lévy Flights)

Marek W. GutowskiInstytut Fizyki PAN, Warszawa

Instytut Fizyki Politechniki Warszawskiej, 26 listopada 2007 r.

Będzie o matematyce, fizyce, biologii i kilku innych naukach, które starają się opisać otaczającą nas rzeczywistość.

Plan:

Będę mówił o materii ożywionej i nieożywionej, a także (niewiele) o rzeczywistości tworzonej przez człowieka.

Spoiwem będzie narzędzie matematyczne stworzone przez Paula Lévy'ego, wymienione w tytule.

Being a language, mathematics may be used not only to informbut also, among other things, to seduce.

Fractals : Form, chance and dimension (San Francisco, 1977)

Benoit Mandelbrot, ur. 1924

Paul Lévy, 1886 - 1971

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/PictDisplay/Levy_Paul.html

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Levy_Paul.html

Wykład: Notions of calculus of probabilities and the role of Gaussian law in the theory of errors (1919), Książki: Calcul des probabilités (1925), Processus stochastiques et mouvement brownien (1948)

J. B. Perrin, "Mouvement brownien et réalité moléculaire," Ann. de Chimie et de Physique (VIII) 18, 5-114 (1909)

Rejestracja położenia co 30s Rozmiar cząstek 0.53 mikrometra Oczko siatki 3.2 mikrometra

Botanik Robert Brown opisał w r. 1827 dziwne zachowanie pyłków roślinumieszczonych w wodzie, Phil. Mag. 4, 161-173, 1828Opis matematyczno-fizyczny zjawiska podał znacznie później Albert Einstein,Ann. Phys. 17, 549, 1905

Ważna dygresja

Rozkład sumy dwóch zmiennych losowych jest splotem ich rozkładów, nie ich sumą!

beta = 1.99

beta = 1.99

beta = 1.99

beta = 1.99

W praktyce próbujemy wyznaczać z danych eksperymentalnych właśnie indeks rozkładu, używając do tego celu danych z jego grubego albo ciężkiego ogona, przybliżając go asymptotycznym prawem potęgowym.

O ile trasy lotów albatrosów możemy nazywać przelotami Lévy'ego, (Lévy flights, beta < 1), to wędrówki małp są częściej spacerami (Lévy walks, beta > 1).

G. Ramos-Fernandez et all, Levy walk patterns in the foragingmovements of spider mokeys (Ateles geoffroyi), physics/0301019

rejestracja co 5 minut miejsce: Yukatan, Meksyk beta(grupa) = 1.12 beta(solo) = 0.50

Huragan Andrew, 1992

Komputerowe generatory rozkładów stabilnych

Imitacja !!

Komputerowe generatory rozkładów stabilnych

Dygresja:

funkcja Gamma !

liczba Gamma !

Anna PiekartObserwacja zachowania pewnego algorytmu ewolucyjnegoSzkoła Nauk Ścisłych, praca licencjacka, 2004

Komputerowe generatory rozkładów stabilnych

Komputerowe generatory rozkładów stabilnych

Komputerowe generatory rozkładów stabilnych

Chambers et al., 1976

Błądzenie przypadkowe, o długości kroku sterowanej przez omawiane stabilne rozkłady prawdopodobieństwa, nadaje się do natychmiastowego zastosowania do losowych metod optymalizacyjnych.

Jak pokazał Ilya Pavlyukevich (cond-mat/0701653 oraz cond-mat/0701651) możliwe jest znaczące przyspieszenie metody symulowanego wygrzewania. Gwarancję sukcesu mamy, gdy obniżanie „temperatury” odbywa się według zależności potęgowej od czasu, przy czym wykładnik potęgi powinien być równy odwrotności indeksu beta. W metodzie simulated annealing (SA) mamy: T ~ 1/ln t.

Z ostatniej chwili ...

Jeszcze większe możliwości – w postaci znajdowania nie tylko globalnego minimum, ale także wybranych minimów lokalnych - uzyskuje się poprzez manipulacje indeksem rozkładu w trakcie obliczeń.

Rozprawa doktorska: Ohio State University, 1951Uniform Random Number Generators, with M. Donald MacLaren, 1965 One-line random number generators and their use in combinations, with T. A. Bray, 1968Note on proposed test for random number generators, 1985 Normal (Gaussian) random variable for supercomputers, 1991 Some portable very-long-period random number generators, with Arif Zaman, 1994The Monty Python method for generating random variables, with Wai Wan Tsang, 1998 A simple method for generating gamma variables, with Wai Wan Tsang, 2000Technical opinion: Seeds for random number generators, 2003

George Marsaglia - Professor Emeritusof Pure and Applied Mathematics and Computer Scienceat Washington State Universityand Professor Emeritus of Statistics at Florida State University,Boeing Scientific Research Laboratories, Seattle, Washington

Diehard testsThe diehard tests are a battery of statistical testsfor measuring the quality of a set of random numbers.They were developed by George Marsaglia overseveral years and first published in 1995 on a CD-ROMof random numbers.

Dziękuję za uwagę

Physics is like sex: sure, it may give some practical results,but it's not why we do it.

- Richard Feynmann