Post on 07-Jan-2017
MATEMATYKA
Odkryj, zrozum, zastosuj...klasa 2, szkoła ponadgimnazjalna
Odkryj, zrozum, zastosuj...Podtytuł:Matematyka
Przedmiot:matematyka
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej:Jacek Stańdo, Paweł Kwiatkowski, Henryk Dąbrowski , Hanna Drabik-Zalewska, Gertruda Gwóźdź-Łukawska, Agnieszka Zajączkowska , Krzysztof Kisiel, Grzegorz Kusztelak, Dorota Krawczyk - Stań-do, Magdalena Furmaniak, Kinga Pietrasik-Kulińska, Aneta Stasiak, Witold Walas, Wanda Człapińska,Mariusz Doliński, Maciej Furmaniak, Elżbieta Galewska , Kinga Gałązka, Magdalena Górajska, AnnaJeżewska, Dominik Kłys, Agata Krawczyk, Iwona Krawczyk-Kłys, Janusz Kuliński, Paweł Kuliński,Renata Kusztelak, Alicja Laskowska , Piotr Mazur , Bronisław Pabich, Dorota Palka-Rutkowska, JerzyPełczewski, Jolanta Piekarska, Marek Pisarski, Monika Potyrała , Dorota Rogowska , Alina Saganiak,Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, To-masz Stasiak, Katarzyna Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Anna Warężak, Beata Wojciechowska iIzabella Żółtaszek
Format treści:E-podręcznik dla ucznia
Data wydania:10 kwietnia 2016
Typ szkoły:szkoła ponadgimnazjalna
Oznaczenia zadań:A - zadanie z minimalnego poziomu osiągnięcia efektu kształceniaB - zadanie z ogólnego poziomu osiągnięcia efektu kształceniaC - zadania z kreatywnego osiągnięcia efektu kształceniaK - zadanie do osiągnięcia kompetencji
- zadanie do wykonania w zeszycie
Oznaczenia treści:treści rozszerzające
oprawa metodyczna
ISBN 978-83-65450-39-5E-podręcznik, po uzyskaniu akceptacji ministra właściwego do spraw oświaty i wychowania, zostałdopuszczony do użytku szkolnego na podstawie art. 22 c ust. 2 i 5 Ustawy z dnia 7 września 1991roku o systemie oświaty (Dz. U. Nr 95, poz. 425 z późn. zm.).
Rzeczoznawcy Ministerstwa Edukacji Narodowej:merytoryczno-dydaktyczni – dr hab. Maria Korcz, mgr Agnieszka Pfeiffer, dr hab. WacławZawadowskijęzykowy – dr Iwona Wanda Grygields. podręczników do kształcenia specjalnego – dr Jan Piotr Omieciński
Spis treściRozdział 1. Geometria analityczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1. Wprowadzenie do geometrii w prostokątnym układzie współrzędnych . . . . . . . . . . . 51.2. Równanie prostej w postaci ogólnej oraz w postaci kierunkowej . . . . . . . . . . . . . 111.3. Proste równoległe, proste prostopadłe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.4. Długość odcinka. Środek odcinka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.5. Zastosowania równania prostej: wysokości, środkowe, symetralne boków trójkąta . . . . 55
Rozdział 2. Funkcja kwadratowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.1. Jednomian kwadratowy i jego własności. Przesunięcie wykresu jednomianu kwadratowegowzdłuż osi układu współrzędnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.2. Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w postaci kanonicznej. Wykres funkcjikwadratowej zapisanej wzorem w postaci ogólnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 912.3. Współrzędne wierzchołka paraboli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.3.1. Zależności między wartościami współczynników występujących we wzorach funkcjikwadratowej zapisanej w postaci ogólnej i w postaci kanonicznej . . . . . . . . . . . . . . 1072.3.2. Współrzędne wierzchołka paraboli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
2.4. Miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Postać iloczynowa funkcji kwadratowej . . . . . . 1262.5. Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji lubo jej wykresie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1482.6. Równanie kwadratowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1652.7. Nierówność kwadratowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1802.8. Wartość najmniejsza oraz wartość największa funkcji kwadratowej w przedzialedomkniętym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2042.9. Zastosowania funkcji kwadratowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
2.9.1. Zadania wstępne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2202.9.2. Zadania tekstowe prowadzące do równań kwadratowych – prędkość, droga, czas . . 224
Rozdział 3. Wielomiany. Funkcje wymierne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
3.1. Pierwiastki równań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2293.2. Równania stopnia trzeciego w postaci iloczynu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2393.3. Wyrażenia wymierne. Równania wymierne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2483.4. Zastosowanie równań wymiernych do interpretacji zagadnień praktycznych . . . . . . . 2613.5. Proporcjonalność odwrotna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
3.5.1. Proporcjonalność odwrotna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2713.5.2. Wykres funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2743.5.3. Przesunięcia wykresu wzdłuż osi układu współrzędnych . . . . . . . . . . . . . . . 280
3.6. Zastosowania funkcji wymiernych do interpretacji zagadnień praktycznych . . . . . . . 285
Rozdział 4. Ciągi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
4.1. Pojęcie ciągu. Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2914.2. Ciąg arytmetyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3114.3. Ciągi – własności ciągów arytmetycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3264.4. Ciągi – suma wyrazów ciągu arytmetycznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3334.5. Ciąg geometryczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3404.6. Suma wyrazów ciągu geometrycznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3544.7. Procent składany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3614.8. Ciąg arytmetyczny i geometryczny zastosowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
Odkryj, zrozum, zastosuj...
3
Rozdział 5. Funkcja wykładnicza. Logarytmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
5.1. Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej . . . 3785.2. Definicja logarytmu. Własności logarytmu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4125.3. Działania na logarytmach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
5.3.1. Działania na logarytmach. Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4265.3.2. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
5.4. Zastosowanie funkcji wykładniczej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
Rozdział 6. Wykresy funkcji specjalnych i ich własności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449Słowniczek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455Rozdział 7. Odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
Rozdział 8. O e-podręczniku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 620
Odkryj, zrozum, zastosuj...
4
Rozdział 1. Geometria analityczna
1.1. Wprowadzenie do geometrii w prostokątnymukładzie współrzędnychW klasie pierwszej omówiliśmy podstawowe własności figur płaskich. Teraz pokażemy, że umiesz-
czenie takich figur w układzie współrzędnych stwarza możliwość opisania ich za pomocą równań.
Przykład 1.Oblicz pole prostokąta ABCD.
Film na epodreczniki.pl
Geometria analityczna
5
Przykład 2.Zaznacz w układzie współrzędnych punkt o podanych współrzędnych.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Przykład 3.Podaj współrzędne punktu P.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Wprowadzenie do geometrii w prostokątnym układzie współrzędnych
6
Przykład 4.Punkty A, B i C są trzema wierzchołkami równoległoboku. Umieść punkt D tak, aby zbudo-
wać równoległobok ABCD.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Przykład 5.Dany jest trójkąt ABC. Umieść odcinek h tak, aby był wysokością tego trójkąta poprowadzoną
z wierzchołka A.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Wprowadzenie do geometrii w prostokątnym układzie współrzędnych
7
Przykład 6.Dany jest trójkąt ABC. Umieść dane odcinki tak, aby były środkowymi tego trójkąta.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Przykład 7.Umieść punkty A, B i C tak, aby punkty S1, S2, i S3 były środkami boków utworzonego trój-
kąta ABC.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Wprowadzenie do geometrii w prostokątnym układzie współrzędnych
8
Przykład 8.Umieść punkt C tak, aby pole trójkąta ABC było równe 12.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Wprowadzenie do geometrii w prostokątnym układzie współrzędnych
9
Przykład 9.Odcinek AB jest bokiem, a S jest punktem przecięcia wysokości (ortocentrum) trójkąta ABC.
Wyznacz wierzchołek C trójkąta ABC.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Wprowadzenie do geometrii w prostokątnym układzie współrzędnych
10
1.2. Równanie prostej w postaci ogólnej oraz wpostaci kierunkowej
Poziom trudności: AZadanie 1.2.1Czy dana prosta jest wykresem funkcji?
Aplikacja na epodreczniki.pl
Już wiesz:
W klasie pierwszej, w rozdziale poświęconym funkcji liniowej dowiedzieliśmy się,
że:
• prosta prostopadła do osi Ox nie jest wykresem funkcji f(x) = ax + b
• jeżeli na wykresie funkcji liniowej leżą dwa różne punkty A = (xA, yA) i
B = (xB, yB), (gdzie xA ≠ xB), to współczynnik kierunkowy prostej, będącej wy-
kresem funkcji jest równy
a =yA − yBxA − xB
natomiast wyraz wolny jest równy
b = yA − axA
Równanie prostej w postaci ogólnej oraz w postaci kierunkowej
11
• każda prosta, będąca wykresem funkcji liniowej, która przechodzi przez
punkt A = (xA, yA) ma równanie y = ax + (yA − axA), co zapisujemy w postaci
y = a(x − xA) + yA
• każda prosta, będąca wykresem funkcji liniowej, która przechodzi przez dwa
różne punkty A = (xA, yA) i B = (xB, yB) ma równanie
y =yA − yBxA − xB
(x − xA) + yA.
Poziom trudności: AZadanie 1.2.2Zaznacz poprawne stwierdzenie.
a) Punkty A = (3, 6) i B = ( − 3, 6) leżą na prostej o równaniu y = 6.
b) Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty K = (3, − 2) i L = ( − 2, 1)jest równy − 2
5 .
c) Prosta przechodząca przez punkty A = ( − 4, − 2) i B = ( − 3, − 1) ma równanie y = x + 2.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.2.3Dopasuj równanie prostej do odpowiedniego rysunku.
y = 3a)
y =12xb)
y = − 1c)
y = − 13x +
103
d)
y = 3x + 2e)
y = − 15xf)
Równanie prostej w postaci ogólnej oraz w postaci kierunkowej
12
A.
B.
C.
Równanie prostej w postaci ogólnej oraz w postaci kierunkowej
13
D.
E.
F.
Równanie prostej w postaci ogólnej oraz w postaci kierunkowej
14
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.2.4
Aplikacja na epodreczniki.pl
Poziom trudności: AZadanie 1.2.5Punkt M = (1, − 4) leży na prostej o równaniu
a) y = 3x + 1
b) y = − 3x − 1
c) y = 3x − 1
d) y = − 3x + 1
(Pokaż odpowiedź)
Przykład 1.Zapisujemy równanie prostej przechodzącej przez punkty A = (4, 2) i B = ( − 3, 1).Współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy
a =yA − yBxA − xB
=2 − 14 + 3 =
17
Równanie prostej możemy zapisać w postaci
y =17x + b
Współczynnik b obliczymy, wstawiając do równania współrzędne dowolnego punktu nale-
żącego do tej prostej, np. A = (4, 2)
2 =17 ∙ 4 + b,
więc b =107 . Wynika z tego, że równanie prostej przechodzącej przez punkty A i B ma postać
y =17x +
107 .
Równanie prostej w postaci ogólnej oraz w postaci kierunkowej
15
Zauważmy, że mnożąc obie strony równania prostej przez 7, otrzymamy inną postać tego
równania:
7y = x + 10.
Po uporządkowaniu możemy zapisać
x − 7y + 10 = 0.
Jest to równanie tej samej prostej przechodzącej przez punkty A i B zapisane w postaci ogól-
nej.
Równanie prostej w postaci ogólnej oraz w postaci kierunkowej
16
Definicja: Równanie ogólne prostej
Równanie Ax + By + C = 0, gdzie A, B i C są liczbami rzeczywistymi oraz A i B nie są
jednocześnie równe zero, nazywamy równaniem ogólnym prostej.
Film na epodreczniki.pl
Równanie prostej w postaci ogólnej oraz w postaci kierunkowej
17
Film na epodreczniki.pl
Przykład 2.
Wyznacz równanie ogólne prostej przechodzącej przez punkty A = ( xA, yA) i B = ( xB, yB),gdzie xA ≠ xB. Zauważmy, że korzystając ze wzoru
y =yA − yBxA − xB
(x − xA) + yA
otrzymamy postać kierunkową prostej.
Możemy jednak przekształcić wzór tak, aby można było otrzymać również postać ogólną pro-
stej.
Od obu stron równania odejmiemy wyrażenie
yA − yBxA − xB
(x − xA) + yA
y − yA −yA − yBxA − xB
(x − xA) = 0
Mnożymy obie strony przez
xA − xB (xA − xB ≠ 0)
(y − yA)(xA − xB) − (yA − yB)(x − xA) = 0
Równanie prostej w postaci ogólnej oraz w postaci kierunkowej
18
Zauważmy, że jeżeli xA = xB, to otrzymany wzór opisuje prostą równoległą do osi Oy, prze-
chodzącą przez punkty A i B. Ponieważ ( xA, yA) ≠ ( xB, yB) i xA = xB, to yA ≠ yB. Wówczas ma-
my
(y − yA) ∙ 0 − (yA − yB)(x − xA) = 0 / : (yA − yB)
x − xA = 0
x = xA
Zapamiętaj
Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty A = ( xA, yA) i B = ( xB, yB) ma postać
(y − yA)(xA − xB) − (yA − yB)(x − xA) = 0
Przykład 3.• Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty A = ( − 3, 4) i B = ( 2, − 1).
Po podstawieniu współrzędnych punktów A i B do wzoru
(y − yA)(xA − xB) − (yA − yB)(x − xA) = 0
otrzymamy x − ( − 3)
(y − 4)( − 3 − 2) − ?4 − ( − 1)?[x − ( − 3)] = 0
−5(y − 4) − 5(x + 3) = 0
−5y + 20 − 5x − 15 = 0
Po uporządkowaniu
−5x − 5y + 5 = 0 / : ( − 5)
x + y − 1 = 0
Równanie prostej w postaci ogólnej oraz w postaci kierunkowej
19
• Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty A = ( 5, 2) i B = ( 5, − 3).
Po podstawieniu współrzędnych punktów A i B do wzoru
(y − yA)(xA − xB) − (yA − yB)(x − xA) = 0
otrzymamy
(y − 2)(5 − 5) − (2 + 3)(x − 5) = 0
0 ∙ (y − 2) − 5(x − 5) = 0
Po uporządkowaniu otrzymaliśmy równanie prostej w postaci ogólnej
x − 5 = 0.
Równanie prostej w postaci ogólnej oraz w postaci kierunkowej
20
Jest to prosta prostopadła do osi Ox. Tej prostej nie można opisać równaniem w postaci kie-
runkowej, ponieważ nie jest ona wykresem funkcji liniowej.
Uwaga.
Równanie tej prostej wyznaczymy szybciej, jeśli zauważymy, że pierwsze współrzędne obu
punktów są jednakowe i równe 5, a drugie są różne. Oznacza to, że równanie prostej prze-
chodzącej przez te punkty ma postać x = 5, czyli x − 5 = 0.
Poziom trudności: AZadanie 1.2.6
Aplikacja na epodreczniki.pl
Równanie prostej w postaci ogólnej oraz w postaci kierunkowej
21
Przykład 4.Narysuj prostą o równaniu ogólnym 3x − y + 2 = 0.
Narysowanie tej prostej będzie łatwiejsze, jeśli zapiszemy ją w postaci kierunkowej: y = 3x + 2
.
Z własności funkcji liniowej pamiętamy, że wykres funkcji y = 3x + 2 przecina oś Oy w punkcie
o współrzędnych (0, 2), a współczynnik kierunkowy jest równy 3.
Poziom trudności: AZadanie 1.2.7Prosta o równaniu −2x + 5y − 10 = 0
a) przecina oś Oy w punkcie (0, 2)
b) przechodzi przez punkt A = (2, 3)
c) przecina oś Ox w punkcie ( − 5, 0)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.2.8
Aplikacja na epodreczniki.pl
Równanie prostej w postaci ogólnej oraz w postaci kierunkowej
22
Poziom trudności: AZadanie 1.2.9Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A = (30, 20) i B = (40, 80) jest
równy
a) − 16
b) 6
c) −6
d)16
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.2.10Punkty M = (√3, √2) i N = ( − √3, √2) leżą na prostej o równaniu
a) x = √3
b) y = − √2
c) x = − √3
d) y = √2
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.2.11Równanie prostej −2x + 4y − 6 = 0 można zapisać w postaci
a) y = − 12x − 3
2
b) y =12x +
32
c) y = − 12x +
32
d) y =12x − 3
2
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.2.12Punkt M = ( − 2, 2) leży na prostej o równaniu 3x + By + 10 = 0. Wynika z tego, że
Równanie prostej w postaci ogólnej oraz w postaci kierunkowej
23
a) B = − 2
b) B = 2
c) B = 4
d) B = − 4
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.2.13Punkt K = (m + 1,1) leży na prostej o równaniu −20x + 33y + 127 = 0. Wynika z tego, że
a) m = − 7
b) m = 3
c) m = 7
d) m = − 3
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.2.14
Prosta m ma równanie y = − 23x + 2. Wskaż równanie, które nie jest równaniem prostej m.
a) −8x + 12y + 24 = 0
b) 2x + 3y − 6 = 0
c) 16x + 24y − 48 = 0
d) −2x − 3y + 6 = 0
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.2.15Punkty A = ( − 1, 2) , B = (3, 4), C = ( − 1, 7) i D = ( − 5, 4) są wierzchołkami czworokąta ABCD
. Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie o współrzędnych
a) S = ( − 3,7)
b) S = ( − 5,7)
c) S = (3,2)
Równanie prostej w postaci ogólnej oraz w postaci kierunkowej
24
d) S = ( − 1,4)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.2.16Dany jest punkt A = (2, − 1) oraz prosta k o równaniu y = 3x − 4. Na prostej k leży taki punkt B,
że prosta AB jest prostopadła do osi Ox układu współrzędnych. Współrzędne punktu B są rów-
ne
a) B = (2, − 2)
b) B = (2,2)
c) B = (3, − 1)
d) B = ( − 4, − 1)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.2.17Punkty A = (0, 0), B = (0, 150), C = (50, 50) są wierzchołkami trójkąta ABC. Boki AC i BC są za-
warte w prostych o równaniach
a) AC : y = x, BC : y = 2x + 150
b) AC : y = − x, BC : y = 2x + 150
c) AC : y = x, BC : y = − 2x + 150
d) AC : y = − x, BC : y = − 2x + 150
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.2.18Punkty A = ( − 1, 2), B = (3, 4), C = ( − 1, 7) i D = ( − 5, 4) są wierzchołkami czworokąta ABCD
. Przekątne AC i BD zawierają się w prostych o równaniach
a) AC : x − 1 = 0, BD : y − 4 = 0
b) AC : x + 1 = 0, BD : y + 4 = 0
c) AC : x − 1 = 0, BD : y + 4 = 0
d) AC : x + 1 = 0, BD : y − 4 = 0
(Pokaż odpowiedź)
Równanie prostej w postaci ogólnej oraz w postaci kierunkowej
25
Poziom trudności: AZadanie 1.2.19Wyznacz równanie prostej w postaci ogólnej, która przechodzi przez punkty
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.2.20Wyznacz współrzędne punktu M, w którym przecinają się proste o równaniach
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.2.21Boki trójkąta ABC zawierają się w prostych AC, AB i BC. Wyznacz współrzędne wierzchołków te-
go trójkąta, jeśli
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.2.22
Wyznacz równania przekątnych czworokąta o wierzchołkach w punktach: A = ( − 4, − 2),B = (5, − 5), C = (4,2) i D = ( − 2,4). Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych czworo-
kąta ABCD.
(Pokaż odpowiedź)
A = (0,0) i B = ( − 4,1)a)
A = (2,4) i B = ( − 2, − 3)b)
A = ( − 5,2) i B = ( − 5, − 6)c)
A = (124,48) i B = ( − 124, − 48)d)
A = (√3, 3√3) i B = (5√3, 4√3)e)
m : − 2x + 5y − 12 = 0 i k : x + 3y − 5 = 0a)
m : − 2x + 3y + 1 = 0 i k : x − 5 = 0b)
m : − x + 3y − 6 = 0 i k : 2x + y − 2 = 0c)
m : x + 4y + 23 = 0 i k : 3x − 2y − 1 = 0d)
AB : y + 4 = 0, AC : 5x + 3y − 8 = 0 oraz BC : x − y = 0a)
AB : x + y + 2 = 0, AC : − 3x + 2y + 9 = 0 oraz BC : − x + 9y − 22 = 0b)
AB : − x + 2y − 10 = 0, AC : x − 4 = 0 oraz BC : y − 3 = 0c)
Równanie prostej w postaci ogólnej oraz w postaci kierunkowej
26
Poziom trudności: AZadanie 1.2.23Wyznacz wszystkie wartości m, tak aby prosta
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.2.24
Uzasadnij, że nie istnieje wartość m, dla której prosta (m2 − 9)x + (m − 3)y + m + 3 = 0 jest pro-
stopadła do osi Ox.
(Pokaż odpowiedź)
3x − (m − 1)y + 3 = 0 przechodziła przez punkt K = ( − 5,4)a)
3(m + 3)x + (m + 4)y + 5 = 0 była prostopadła do osi Oxb)
(m2 − 25)x − 2(m − 2)y − 1 = 0 była prostopadła do osi Oyc)
Równanie prostej w postaci ogólnej oraz w postaci kierunkowej
27
1.3. Proste równoległe, proste prostopadłeW klasie pierwszej, w rozdziale o własnościach funkcji liniowej ustaliliśmy, że jeżeli wykresy funkcji
liniowych są do siebie równoległe, to ich współczynniki kierunkowe są równe.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Aplikacja na epodreczniki.pl
Proste równoległe, proste prostopadłe
28
Twierdzenie: Proste równoległe
Proste o równaniach
• m : y = a1x + b1
• k : y = a2x + b2
są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe.
a1 = a2
Proste równoległe, proste prostopadłe
29
Przykład 1.Wyznacz równanie prostej k, która jest równoległa do prostej o równaniu y = − 3x + 4 i prze-
chodzi przez punkt
P = (−2, 3).
Ponieważ proste są równoległe, to ich współczynniki są równe. Zatem równanie prostej k mo-
żemy zapisać
y = − 3x + b.
Współrzędne punktu P = ( − 2, 3) spełniają równanie prostej y = − 3x + b. Po ich podstawie-
niu do równania otrzymujemy
3 = − 3 ∙ (−2) + b,
więc
b = − 3.
Wynika z tego, że prosta k ma równanie y = − 3x − 3.
Proste równoległe, proste prostopadłe
30
Film na epodreczniki.pl
Przykład 2.Dana jest prosta m o równaniu y = ax (a ≠ 0). Ta prosta jest przekątną prostokąta ABCD, w
którym B = (1, a) i D = (0, 0). Zbudujmy prostokąt A1B1C1D, w którym B1 = ( − a, 1).Oba prostokąty są przystające, a zatem odpowiednie kąty między bokami i przekątnymi są
równe.
Wynika z tego, że kąt między prostymi zawierającymi przekątne prostokątów jest sumą
dwóch kątów
β = α + (90 ° − α),
Proste równoległe, proste prostopadłe
31
czyli
β = 90 ° .
Zatem proste k i m są prostopadłe.
Prosta k ma równanie y = a1x, a punkt B1 ma współrzędne ( − a, 1). Po podstawieniu współ-
rzędnych punktu B1 do równania prostej otrzymamy
1 = a1 ∙ (−a)
−1 = a1 ∙ a.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Twierdzenie: Proste prostopadłe
Proste o równaniach m : y = a1x + b1 oraz k : y = a2x + b2 są prostopadłe wtedy i tylko wtedy,
gdy ich współczynniki kierunkowe spełniają warunek
a1 ∙ a2 = − 1
Proste równoległe, proste prostopadłe
32
Ważne
Jeśli współczynnik kierunkowy jednej z prostych jest równy 0, a więc prosta jest równoległa
do osi Ox, to prosta do niej prostopadła jest równoległa do osi Oy i opisana jest równaniem
x = x0.
Przykład 3.Napisz równanie prostej k, która jest prostopadła do prostej o równaniu y = 2x − 1 i przecho-
dzi przez punkt P = ( − 2, 3).
Współczynnik kierunkowy a prostej y = 2x − 1 jest równy 2. Równanie prostej k ma postać
y = a1x + b.
Ponieważ proste są prostopadłe, to ich współczynniki kierunkowe spełniają warunek
−1 = a ∙ a1. Po podstawieniu a = 2 otrzymamy
−1 = 2 ∙ a1
a1 = − 12
Równanie prostej k możemy zapisać w postaci y = − 12x + b.
Współrzędne punktu P = ( − 2, 3) spełniają równanie prostej y = − 12x + b . Po ich podstawie-
niu do równania otrzymujemy
3 = − 12 ∙ (−2) + b,
więc
b = 2
Proste równoległe, proste prostopadłe
33
Wynika z tego, że prosta k ma równanie
y = − 12x + 2.
Przykład 4.Sprawdź, czy proste o równaniach 5x + 2y − 15 = 0 i −x + 3y − 10 = 0 są prostopadłe.
Oba równania zapiszemy w postaci kierunkowej.
y = − 52x +
152
y =13x +
103
Współczynniki kierunkowe tych prostych są równe a1 = − 52 i a2 =
13 .
Sprawdzimy, czy spełniony jest warunek a1 ∙ a2 = − 1.
Otrzymujemy − 52 ∙ 1
3 ≠ − 1. Wynika z tego, że proste o równaniach
y = − 52x +
152
y =13x +
103
nie są prostopadłe.
Przykład 5.Punkty A = (1, 5), B = (4, 0) i C = (5, 4) są wierzchołkami trójkąta. Wykaż, że trójkąt ABC
jest prostokątny.
Aby wykazać, że ten trójkąt jest prostokątny, wystarczy stwierdzić, że dwie proste zawierające
boki trójkąta są prostopadłe.
Współczynniki kierunkowe prostych zawierających boki trójkąta obliczymy ze wzoru
a =yA − yBxA − xB
.
bok AB bok AC bok BC
aAB =0 − 54 − 1 = − 5
3 aAC =4 − 55 − 1 = − 1
4 aBC =4 − 05 − 4 =
41 = 4
Dla prostych zawierających boki AC i BC zachodzi warunek
aAC ∙ aBC = − 14 ∙ 4 = − 1.
Wynika z tego, że te proste są prostopadłe. Zatem trójkąt ABC jest prostokątny.
Proste równoległe, proste prostopadłe
34
Przykład 6.Wierzchołek C trójkąta ABC ma współrzędne (1, 6), a bok AB leży na prostej opisanej równa-
niem x + 6y − 8 = 0. Wyznacz równanie prostej m zawierającej wysokość trójkąta, opuszczoną
na bok AB.
Równanie prostej, na której leży bok AB, można zapisać w postaci kierunkowej
y = − 16x + 1
13 .
Prosta, zawierająca wysokość opuszczoną na ten bok, jest do niej prostopadła, czyli jej współ-
czynnik kierunkowy musi spełniać warunek
− 16 ∙ a1 = − 1.
Zatem
a1 = 6.
Równanie prostej m możemy zapisać w postaci
y = 6x + b.
Wierzchołek C trójkąta leży na tej prostej, a jego współrzędne spełniają to równanie. Możemy
obliczyć wartość współczynnika b
6 = 6 ∙ 1 + b
b = 0
Równanie prostej zawierającej wysokość trójkąta, opuszczoną na bok AB, ma postać y = 6x.
Proste równoległe, proste prostopadłe
35
Przykład 7.
Dla jakiej wartości m prosta y =13x − 2 jest prostopadła do prostej y = (m2 − 12)x + m − 1 ?
Ponieważ proste są do siebie prostopadłe, to spełniony jest warunek
13 ∙ (m2 − 12) = − 1
m2 − 12 = − 3
m2 = 9
Wynika z tego, że proste y =13x − 2 i y = (m2 − 12)x + m − 1 są prostopadłe dla m = 3 lub
m = − 3.
Równania tych prostych to y = − 3x + 2 i y = − 3x − 4.
Poziom trudności: AZadanie 1.3.1
Aplikacja na epodreczniki.pl
Proste równoległe, proste prostopadłe
36
Poziom trudności: AZadanie 1.3.2
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.3.3Bok BC równoległoboku ABCD jest zawarty w prostej o równaniu y = − 2x − 1, a bok AB jest za-
warty w prostej o równaniu y = − 1. Wierzchołek D ma współrzędne D = (3,3). Wyznacz równa-
nia prostych zawierających boki AD i CD tego równoległoboku.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.3.4-6
Aplikacja na epodreczniki.pl
Poziom trudności: AZadanie 1.3.7
Aplikacja na epodreczniki.pl
Poziom trudności: AZadanie 1.3.8
(Pokaż odpowiedź)
Wyznacz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu y =23x − 4 i przechodzącej
przez punkt A = ( − 3, 5).
a)
Wyznacz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu 6x − 2y + 3 = 0 i przecho-
dzącej przez punkt B = (2, 1).b)
Uzasadnij, że czworokąt ABCD o wierzchołkach w punktach
A = (2, − 2), B = (6, 0), C = (5, 3) i D = (3, 2) jest trapezem.
c)
Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu y =35x − 2 i przechodzącej
przez punkt A = (3, 1).
a)
Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu −x + 2y + 6 = 0 i przecho-
dzącej przez punkt B = (1, − 1).b)
Uzasadnij, że trójkąt ABC o wierzchołkach A = (1, − 1), B = (−3, 1) i C = (4, 5) jest pro-
stokątny.
c)
Proste równoległe, proste prostopadłe
37
Poziom trudności: AZadanie 1.3.9-10
Aplikacja na epodreczniki.pl
Poziom trudności: AZadanie 1.3.11
Wierzchołki trójkąta ABC to punkty o współrzędnych: A = (4,1), B = (0,3), C = (2, − 5). Wyznacz
równanie prostej zawierającej wysokość trójkąta poprowadzoną z wierzchołka A.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.3.12Współczynnik kierunkowy prostej równoległej do prostej y = − 2x + 3 jest równy
a) 2
b)12
c) −2
d) − 12
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.3.13Wskaż równanie prostej równoległej do prostej y = 3x − 1 i przechodzącej przez punkt
P( − 2, − 3).
a) y = 3x − 3
b) y = 3x + 3
c) y = − 2x − 3
d) y = − 3x − 9
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.3.14Które z równań opisuje prostą prostopadłą do prostej y = 2x + 3?
Proste równoległe, proste prostopadłe
38
a) y = − 12x + 4
b) y = − 2x − 7
c) y =12x + 2
d) y = 2x − 3
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.3.15
Proste o równaniach y = 3x − 5 i y =15x + 3
a) pokrywają się
b) przecinają się pod kątem innym niż kąt prosty
c) są prostopadłe
d) są równoległe i różne
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.3.16Prosta −x + 4y − 6 = 0 jest prostopadła do prostej y = ax + 3. Wynika z tego, że
a) a = − 4
b) a =14
c) a = 4
d) a = − 14
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.3.17
Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej y = − √2 + 12 x + √2
2 jest równy
a) 2√2 + 2
b) 2√2 − 2
c)−√2 − 1
2
Proste równoległe, proste prostopadłe
39
d) √2 + 12
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.3.18
Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej y = − 15x + 2 i przechodzącej przez punkt
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.3.19
Wyznacz wzór funkcji liniowej, której wykres przecina oś Oy w punkcie (0, − 2) i jest prostopa-
dły do prostej y = − 2x + 3.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.3.20
Punkty A = (3, 5), B = ( − 2, − 4), C = (6, − 1) są wierzchołkami trójkąta. Wyznacz równanie
prostej, na której leży wysokość tego trójkąta poprowadzona z wierzchołka C.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.3.21
Punkty A = (2, 6), B = (2, 1), C = ( − 2, − 2) i D = ( − 2, 3) są wierzchołkami czworokąta ABCD.
Uzasadnij, że ten czworokąt jest równoległobokiem.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.3.22
Dla jakich wartości parametru m proste k : y = (m + 2)x − 1 i l : y = (3m − 2)x + m są równoległe?
(Pokaż odpowiedź)
M = ( − 1, 3)a)
M = (0, 0)b)
M = (4, 0)c)
M = (0, 5)d)
Proste równoległe, proste prostopadłe
40
Poziom trudności: AZadanie 1.3.23
Dla jakich wartości parametru m proste y = (m + 5)x − 2m i y =12x + 7 są prostopadłe?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.3.24
Wykaż, że trójkąt o wierzchołkach A = (0, 2), B = (3, 1), C = (2, 3) jest prostokątny.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.3.25Podstawa AB trapezu ABCD zawiera się w prostej y = − 3x + 5. Wyznacz równanie prostej, w
której zawiera się podstawa CD, jeżeli C = (− 12 , − 1
2 ).(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.3.26
Punkty A = (1, − 1), B = (3, 3), C = (0, 6) są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku ABCD
. Wyznacz równania prostych, w których zawierają się boki tego równoległoboku oraz współ-
rzędne wierzchołka D.
(Pokaż odpowiedź)
Proste równoległe, proste prostopadłe
41
1.4. Długość odcinka. Środek odcinka
Przykład 1.Oblicz długość odcinka AB o końcach w punktach A = ( − 5, 2) i B = (1, 6).Zbudujmy trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne są równoległe do osi układu współ-
rzędnych, a odcinek AB jest jego przeciwprostokątną.
Przykład 2.Odległość punktów na osi liczbowej jest równa wartości bezwzględnej różnicy liczb, odpowia-
dających tym punktom.
Zatem przyprostokątne tego trójkąta mają długości | AC | = 6 i | BC | = 4.
Na podstawie twierdzenia Pitagorasa obliczymy długość przeciwprostokątnej AB.
| AB |2
= | AC |2
+ | BC |2
| AB |2
= 62 + 42
| AB |2
= 52
| AB | = √52 = 2√13.
Długość odcinka. Środek odcinka
42
Przykład 3.
Punkty A = (xA, yA) i B = (xB, yB) są końcami odcinka AB. Oblicz długość odcinka AB.
Film na epodreczniki.pl
Zapamiętaj
Długość odcinka AB, którego końcami są punkty A = (xA, yA) i B = (xB, yB) obliczamy ze wzoru
| AB | = √(xA − xB)2
+ (yA − yB)2
Długość odcinka. Środek odcinka
43
Zauważmy, że wzór jest prawdziwy w szczególnych przypadkach:
• gdy odcinek AB jest równoległy do osi Ox, wtedy
yA = yB
| AB | = √(xA − xB)2
= | xA − xB |• gdy odcinek AB jest równoległy do osi Oy, wtedy
xA = xB
| AB | = √(yA − yB)2
= | yA − yB |
Środek odcinka
Przykład 4.Ola ma 160 cm wzrostu, a jej brat Marcin 190 cm. Oblicz średni wzrost rodzeństwa.
Średni wzrost brata i siostry odpowiada średniej arytmetycznej liczb 160 i 190, czyli
x =160 + 190
2 = 175 (cm).
Na osi liczbowej liczba 175 jest jednakowo oddalona od obu liczb 160 i 190.
Z własności średniej arytmetycznej dwóch liczb wynika, że liczba odpowiadająca średniej
dwóch liczb leży na osi liczbowej dokładnie pośrodku między tymi dwoma liczbami.
Długość odcinka. Środek odcinka
44
Przykład 5.
Punkty A = (xA, yA) i B = (xB, yB) są końcami odcinka AB. Wyznacz współrzędne środka odcin-
ka AB.
Film na epodreczniki.pl
Zapamiętaj
Współrzędne punktu S, który jest środkiem odcinka o końcach w punktach A = (xA, yA) i
B = (xB, yB), są średnimi arytmetycznymi współrzędnych końców odcinka AB.
Długość odcinka. Środek odcinka
45
S = (xA + xB
2 ,yA + yB
2 )
Aplikacja na epodreczniki.pl
Przykład 6.Sprawdź, czy trójkąt o wierzchołkach w punktach A = (2, 2), B = ( − 3, 6) i C = (5, 6) jest
równoramienny. Oblicz obwód tego trójkąta.
Korzystając ze wzoru na długość odcinka, obliczymy długości boków trójkąta.
| AB | = √(2 + 3)2
+ (2 − 6)2
= √25 + 16 = √41
Długość odcinka. Środek odcinka
46
| AC | = √(2 − 5)2
+ (2 − 6)2
= √9 + 16 = √25 = 5
Zauważ, że drugie współrzędne punktów B i C są równe 6, co oznacza, że odcinek BC jest
równoległy do osi Ox. Jego długość jest równa
| BC | = | 5 + 3 | = 8.
Długość tego odcinka możemy również obliczyć, wykorzystując odpowiedni wzór. Wtedy
| BC | = √(−3 − 5)2
+ (6 − 6)2
= √64 = 8
Każdy bok tego trójkąta ma inną długość, zatem nie jest on równoramienny.
Obwód trójkąta jest równy
Ob = 5 + 8 + √41 = 13 + √41
Przykład 7.Oblicz długość przekątnej prostokąta ABCD o wierzchołkach w punktach: A = ( − 5, − 1),B = (5, − 5) i C = (7,0). Wyznacz współrzędne wierzchołka D.
Przekątna prostokąta ABCD jest równa długości odcinka
| AC | = √(−5 − 7)2
+ (−1 − 0)2
= √144 + 1 = √145
Przekątne w prostokącie przecinają się w punkcie S, który jest środkiem każdej z nich. Wynika
z tego, że środek przekątnej AC jest również środkiem przekątnej BD.
Środek S przekątnej AC ma współrzędne
S = (−5 + 72 ,
−1 + 02 ) = (1, − 1
2 )
Długość odcinka. Środek odcinka
47
Niech D = (xD, yD).
S = (1, − 12 ) jest środkiem odcinka BD, a zatem
(1, − 12 ) = (
5 + xD2 ,
−5 + yD2 )
1 =5 + xD
2 , − 12 =
−5 + yD2
xD = − 3 i yD = 4
Wynika z tego, że D = ( − 3, 4).
Długość odcinka. Środek odcinka
48
Przykład 8.Napisz równanie prostej, na której leży środkowa poprowadzona z wierzchołka C w trójkącie
o wierzchołkach w punktach
A = (−2, − 5), B = (8, 1), C = (0, 4).
Środkowa trójkąta to odcinek łączący wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku.
Naprzeciw wierzchołka C leży bok AB, którego środek ma współrzędne
S = (−2 + 82 ,
−5 + 12 ) = (3, − 2)
Środkowa poprowadzona z wierzchołka C leży na prostej CS i ma równanie y = ax + b.
Współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy
a =4 + 20 − 3 = − 2,
a punkt C = (0, 4) jest jej punktem przecięcia z osią Oy. Wynika z tego, że b = 4.
Równanie prostej zawierającej środkową trójkąta poprowadzoną z wierzchołka C ma postać
y = − 2x + 4
Przykład 9.Punkty A = ( − 3, 7) i B = (4, 8) są wierzchołkami rombu ABCD, a punkt S = (3, 5) jest jego
środkiem symetrii. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków rombu.
Środek symetrii rombu jest jednocześnie środkiem każdej przekątnej tego rombu.
Punkt S = (3, 5) jest środkiem przekątnej AC, zatem
(3, 5) = (−3 + xC
2 ,7 + yC
2 ),
Długość odcinka. Środek odcinka
49
czyli
3 =−3 + xC
2 , 5 =7 + yC
2
xC = 9, yC = 3
C = (9,3)
Podobnie obliczymy współrzędne punktu D.
(3,5) = (4 + xD
2 ,8 + yD
2 )
3 =4 + xD
2 , 5 =8 + yD
2
xD = 2, yD = 2
D = (2,2)
Długość odcinka. Środek odcinka
50
Poziom trudności: AZadanie 1.4.1Punkt S jest środkiem odcinka AB. Znajdź brakujące współrzędne.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Poziom trudności: AZadanie 1.4.2Wyznacz współrzędne środka odcinka o końcach w punktach A i B.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.4.3-6
Aplikacja na epodreczniki.pl
A = (√2, 3√2), B = ( − 3√2, 5√2)a)
A = (1, 3√3), B = ( − 5,3√3)b)
A = ( − 4√2, − 3), B = ( − 4√2, 3)c)
A = (1 − √5, 3 + √3), B = (1 + √5, 3 − √3)d)
Długość odcinka. Środek odcinka
51
Poziom trudności: AZadanie 1.4.7-8
Aplikacja na epodreczniki.pl
Poziom trudności: AZadanie 1.4.9Oblicz obwód trójkąta, którego wierzchołkami są podane punkty.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.4.10Wyznacz równanie prostej zawierającej środkową trójkąta ABC poprowadzoną z wierzchołka A.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.4.11Punkty A, B, C są wierzchołkami prostokąta ABCD. Oblicz długość przekątnej prostokąta oraz
wyznacz współrzędne wierzchołka D.
(Pokaż odpowiedź)
A = (1,6), B = ( − 4,1), C = (1, − 4)a)
A = (2,8), B = ( − 2,5), C = (6, − 1)b)
A = (√2, − √2), B = (2√2, − 2√2), C = (3√2, √2)c)
A = (2,8), B = ( − 2,5), C = (6, − 1)a)
A = ( − 3,4), B = (5, − 1), C = (5,9)b)
A = (0,0), B = (4, − 1), C = (2,5)c)
A = ( − 2,1), B = (0,6), C = (6,2)d)
A = ( − 2,3), B = (1,6), C = (5,2)a)
A = (2,0), B = ( − 2,6), C = (1,8)b)
A = (0,3), B = ( − 6,0), C = (0, − 12)c)
Długość odcinka. Środek odcinka
52
Poziom trudności: AZadanie 1.4.12Sprawdź, czy trójkąt ABC jest równoramienny.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.4.13Przekątne równoległoboku ABCD przecinają się w punkcie S. Wyznacz współrzędne braku-
jących wierzchołków równoległoboku.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.4.14
Dane są punkty: A = (4,1), B = (2, − 4), C = ( − 2,2). Wyznacz równania prostych zawierających
środkowe trójkąta ABC.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.4.15Sprawdź, czy trójkąt ABC jest podobny do trójkąta A1B1C1, jeśli wierzchołki trójkątów mają
współrzędne: A = ( − 2,1), B = ( − 1, − 2), C = (1,2) oraz A1 = (3,0) , B1 = ( − 3, − 2), C1 = (5, − 6).(Pokaż odpowiedź)
A = (2, − 7), B = ( − 5, − 3), C = (6,0)a)
A = (1, − 6), B = ( − 5,1), C = (7,1)b)
A = (1, − 5), B = (8, − 6), C = (6,4)c)
A = (0, − 4), B = (7, − 5), S = (3,0)a)
A = (9,1), B = (1, − 7), S = (2, − 2)b)
A = (7,0), B = (0, − 4), S = (0, − 1)c)
A = (10, − 4), B = (5, − 7), S = (7, − 72 )d)
Długość odcinka. Środek odcinka
53
Poziom trudności: AZadanie 1.4.16
Dane są punkty S = (412 , − 1
2 ) , A = (m + 3, m) oraz B = (2m, m − 5). Wyznacz wartość m tak, aby
| AS | = | BS | .
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.4.17
Punkty A = (m − 2, − 2m + 8), B = (5,0). Wyznacz takie wartości m, dla których długość odcinka
AB jest równa 2√2.
(Pokaż odpowiedź)
Długość odcinka. Środek odcinka
54
1.5. Zastosowania równania prostej: wysokości,środkowe, symetralne boków trójkąta
Przykład 1.Dane są punkty A = ( − 1,1) i B = (5, − 1). Wyznacz równanie symetralnej odcinka AB.
Pokażemy dwa sposoby rozwiązania tego zadania.
• sposób I
Symetralna odcinka jest prostą prostopadłą do tego odcinka i przechodzącą przez jego śro-
dek
Współrzędne S środka odcinka o końcach w punktach A = ( − 1,1) i B = (5, − 1) są równe
xS =−1 + 5
2 = 2 i yS =1 − 1
2 = 0, czyli S = (2,0).Współczynnik kierunkowy prostej AB jest równy
a =−1 − 15 + 1 = − 1
3 .
Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej jest więc równy a1 = 3. Zatem symetralną
można opisać równaniem
y = 3x + b.
Punkt S = (2,0) leży na symetralnej. Po podstawieniu współrzędnych punktu S do równania
otrzymujemy 0 = 3 ∙ 2 + b, czyli b = − 6.
Równanie symetralnej ma postać y = 3x − 6.
• sposób II
Z własności symetralnej odcinka wynika, że każdy punkt P leżący na symetralnej jest równo
oddalony od końców odcinka.
Wynika z tego, że | AP | = | BP | .
Wykorzystując wzór na długość odcinka, otrzymujemy
√(x + 1)2
+ (y − 1)2
= √(x − 5)2
+ (y + 1)2
Zastosowania równania prostej: wysokości, środkowe, symetralne boków trójkąta
55
(x + 1)2
+ (y − 1)2
= (x − 5)2
+ (y + 1)2
Po zastosowaniu wzorów skróconego mnożenia
x2 + 2x + 1 + y2 − 2y + 1 = x2 − 10x + 25 + y2 + 2y + 1
Stąd otrzymujemy równanie ogólne
12x − 4y − 24 = 0.
Zapisując to równanie w postaci kierunkowej, mamy
y = 3x − 6.
Przykład 2.
Sprawdź, czy trójkąt o wierzchołkach w punktach: A = (−3,6), B = (0,2), C = (4,4) jest pro-
stokątny.
• sposób I
Trójkąt jest prostokątny, jeśli dwa jego boki są prostopadłe. Sprawdzimy, czy wśród trzech
prostych zawierających boki trójkąta jest para prostych prostopadłych.
Obliczymy współczynniki kierunkowe każdej z trzech prostych.
Jeśli proste są prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy −1.
Sprawdźmy:
aAB ∙ aBC = − 43 ∙ 1
2 ≠ − 1, zatem boki AB i BC nie leżą na prostych prostopadłych. Podobnie
aBC ∙ aAC = − 27 ∙ 1
2 ≠ − 1, zatem boki BC i AC nie leżą na prostych prostopadłych.
Zauważmy, że boki AB i AC również nie są prostopadłe (ich współczynniki kierunkowe są
ujemne, więc ich iloczyn nie może być równy −1).
Wynika z tego, że żadne dwa boki trójkąta nie są prostopadłe, więc ten trójkąt nie jest pro-
stokątny.
Uwaga.
Jeśli wcześniej zaznaczymy punkty w układzie współrzędnych, to zauważymy, że tylko boki
AB i AC mogą być prostopadłe. Wystarczy w tym przypadku pokazać, że aAB ∙ aAC ≠ − 1.
Współczynnik kierunkowy prostej AB: aAB =6 − 2−3 = − 4
3 .a)
Współczynnik kierunkowy prostej BC: aBC =4 − 2
4 =12 .b)
Współczynnik kierunkowy prostej AC: aAC =6 − 4
−3 − 4 = − 27 .c)
Zastosowania równania prostej: wysokości, środkowe, symetralne boków trójkąta
56
• sposób II
Krok 1
Obliczamy długości boków trójkąta.
| AB | = √(−3)2
+ (2 − 6)2
= √25 = 5
| AC | = √(−3 − 4)2
+ (6 − 4)2
= √53
| BC | = √(−4)2
+ (2 − 4)2
= √20
Krok 2
Sprawdzamy, czy suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi
długości trzeciego boku. Sprawdzamy, czy jest spełniony warunek wynikający z twierdzenia
odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa.
| AB |2
+ | BC |2
= 25 + 20
| AC |2
= 53
53 ≠ 25 + 20
Wynika z tego, że trójkąt nie jest prostokątny.
Przykład 3.
Punkty: A = (−3,7), B = (0, − 2), C = (6,0), D = (3,9) są wierzchołkami czworokąta. Uzasad-
nij, że czworokąt ABCD jest prostokątem.
Zastosowania równania prostej: wysokości, środkowe, symetralne boków trójkąta
57
• sposób I
Krok 1
Sprawdzimy, czy czworokąt ABCD jest równoległobokiem (ma dwie pary boków równole-
głych).
Obliczymy współczynniki kierunkowe prostych zawierających boki czworokąta.
aAB =7 + 2−3 = − 3
aBC =−2−6 =
13
aCD =9
3 − 6 = − 3
aDA =9 − 73 + 3 =
13
Ponieważ aAB = aCD = − 3 i aBC = aDA =13 , więc czworokąt ABCD ma dwie pary boków równo-
ległych.
Krok 2
Sprawdzamy, czy kąty wewnętrzne równoległoboku są proste.
Ponieważ aAB ∙ aBC = − 3 ∙ 13 = − 1, to proste zawierające boki AB i BC są prostopadłe. Wynika
z tego , że jeden z kątów wewnętrznych równoległoboku jest prosty. Z własności kątów w
równoległoboku (suma kątów, których wspólnym ramieniem jest bok równoległoboku jest
równa 180 ° ) wynika, że pozostałe kąty są również proste.
Uzasadniliśmy, że czworokąt ABCD jest równoległobokiem, którego kąty wewnętrzne są pro-
ste, a więc ten czworokąt jest prostokątem.
• sposób II
Zastosowania równania prostej: wysokości, środkowe, symetralne boków trójkąta
58
• Krok 1
Sprawdzamy, czy przekątne czworokąta są równe.
Długość przekątnej AC: | AC | = √(−3 − 6)2
+ (7)2
= √130.
Długość przekątnej BD: | BD | = √(3)2
+ (9 + 2)2
= √130.
Wynika z tego, że przekątne czworokąta ABCD są równe.
• Krok 2
Sprawdzamy, czy środek przekątnej AC jest jednocześnie środkiem przekątnej BD.
Środek przekątnej AC: S1 = (−3 + 62 ,
72 ) = (3
2 ,72 ).
Środek przekątnej BD: S2 = (32 ,
−2 + 92 ) = (3
2 ,72 ).
Wynika z tego, że S1 = S2. Jest to zatem punkt wspólny obu przekątnych i jednocześnie jest
środkiem każdej z nich.
Zatem czworokąt ABCD ma równe przekątne, które przecinają się w punkcie dzielącym każdą
z nich na połowę. Z tego wynika, że czworokąt ABCD jest prostokątem.
Zastosowania równania prostej: wysokości, środkowe, symetralne boków trójkąta
59
Przykład 4.Oblicz pole trapezu prostokątnego, którego wierzchołkami są punkty:
A = ( − 2, − 1), B = (6,3), C = ( − 1,7) , D = ( − 5,5).Aby obliczyć pole trapezu, potrzebne są długości obu podstaw trapezu i jego wysokość.
Długości podstaw trapezu:
a = | DC | = √(−1 + 5)2
+ (7 − 5)2
= √20 = 2√5
b = | BA | = √(−2 − 6)2
+ (−1 − 3)2
= √80 = 4√5
Wysokość trapezu:
h = | DA | = √(−2 + 5)2
+ (−1 − 5)2
= √45 = 3√5
Pole trapezu:
P =a + b
2 ∙ h =6√5
2 ∙ 3√5 = 9 ∙ 5 = 45
Przykład 5.
Punkty: S1 = (4,5), S2 = (132 , 1), S3 = (3
2 , 0) są środkami boków trójkąta ABC. Wyznacz
współrzędne wierzchołków tego trójkąta.
Współrzędne wierzchołków oznaczamy odpowiednio: A = (xA, yA), B = (xB, yB), C = (xC, yC).Korzystając ze wzoru na współrzędne środka odcinka, możemy zapisać
S1 = (4,5) = (xA + xB
2 ,yA + yB
2 )
Zastosowania równania prostej: wysokości, środkowe, symetralne boków trójkąta
60
S2 = (132 , 1) = (
xB + xC2 ,
yB + yC2 )
S3 = (32 , 0) = (
xA + xC2 ,
yA + yC2 )
Stąd otrzymujemy następujące układy równań:
{4 =
xA + xB2
132 =
xB + xC2
32 =
xA + xC2
{5 =
yA + yB2
1 =yB + yC
2
0 =yA + yC
2
czyli
{8 = xA + xB
13 = xB + xC
3 = xA + xC {10 = yA + yB
2 = yB + yC
0 = yA + yC
{xA = − 1
xB = 9
xC = 4 {yA = 4
yB = 6
yC = − 4
Wierzchołki trójkąta mają współrzędne: A = ( − 1, 4), B = (9, 6), C = (4, − 4).
Zastosowania równania prostej: wysokości, środkowe, symetralne boków trójkąta
61
Przykład 6.Oblicz pole trójkąta, którego wierzchołkami są punkty: A = ( − 2,6), B = (6, − 2) , C = (9,5).
• sposób I
Obliczymy pole tego trójkąta, wykorzystując wzór PABC =12 | AB | ∙ h. Potrzebna więc bę-
dzie długość jednego z boków i długość wysokości opuszczonej na ten bok.
• Krok 1
Obliczamy długość boku AB.
| AB | = √(−2 − 6)2
+ (6 + 2)2
= 8√2
• Krok 2
Obliczamy wysokość trójkąta poprowadzoną z wierzchołka C do boku AB.
Zastosowania równania prostej: wysokości, środkowe, symetralne boków trójkąta
62
Wysokość jest równa długości odcinka CD, gdzie D jest spodkiem tej wysokości na bok AB.
Punkt D jest punktem wspólnym prostej zawierającej bok AB i prostej do niej prostopadłej,
przechodzącej przez wierzchołek C.
Krok 2.1
Wyznaczymy równanie prostej zawierającej bok AB.
Współczynnik kierunkowy a =6 + 2
−2 − 6 = − 1. Do tej prostej należy punkt A = ( − 2,6), zatem jej
równanie można zapisać
y = − 1(x − ( − 2)) + 6
y = − x + 4.
Krok 2
Wyznaczymy równanie prostej zawierającej wysokość CD.
Prosta CD jest prostopadła do AB, więc jej współczynnik kierunkowy jest równy 1.
Jej równanie możemy zapisać w postaci y = x + b.
Podstawiamy współrzędne punktu C = (9,5) leżącego na tej prostej i obliczamy współczynnik
b.
5 = 9 + b
czyli b = − 4. Równanie prostej AB ma postać
y = x − 4
Krok 3
Obliczamy współrzędne punktu wspólnego obu wyznaczonych prostych.
Współrzędne punktu D są rozwiązaniem układu równań złożonych z równań obu prostych:
{ y = − x + 4
y = x − 4
Zastosowania równania prostej: wysokości, środkowe, symetralne boków trójkąta
63
Rozwiązaniem jest { x = 4
y = 0. Stąd D = (4,0).
Krok 4
Obliczamy wysokość h.
h = | CD | = √(9 − 4)2
+ (5)2
= 5√2
Krok 5
Obliczymy pole trójkąta ABC.
P =12 | AB | h =
12 ∙ 8√2 ∙ 5√2 = 40
Uwaga.
Potrzebna do obliczenia pola wysokość trójkąta h jest równa odległości punktu C od prostej
zawierającej bok AB.
Odległość punktu P = (x0, y0) od prostej o równaniu
Ax + By + C = 0 jest równa
d =| Ax0 + By0 + C |
√A2 + B2
Równanie prostej AB ma postać kierunkową y = − x + 4 i ogólną x + y − 4 = 0.
Wysokość h jest odległością punktu C = (9,5) od prostej o równaniu x + y − 4 = 0.
Zatem, wstawiając do wzoru odpowiednie liczby, otrzymujemy
h =| x0 + y0 − 4 |
√12 + 12 =| 9 + 5 − 4 |
√2 =| 10 |
√2 =10
√2 = 5√2
• sposób II
Zastosowania równania prostej: wysokości, środkowe, symetralne boków trójkąta
64
Trójkąt ABC możemy wpisać w taki prostokąt, którego boki są równoległe do osi układu
współrzędnych. Wtedy pole trójkąta można obliczyć jako różnicę pól prostokąta i trzech trój-
kątów prostokątnych.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Przykład 7.Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach w punktach: A = ( − 2,6), B = (6, − 3) , C = (5,3).Pole trójkąta rozwartokątnego ABC można obliczyć jako sumę pól dwóch trójkątów ACF i CFB
.
PACF = 7 ∙ 7 − (12 ∙ 7 ∙ 7 +
12 ∙ 7 ∙ 3) = 14
Zastosowania równania prostej: wysokości, środkowe, symetralne boków trójkąta
65
PCFB = 6 ∙ 2 − (12 ∙ 2 ∙ 2 +
12 ∙ 2 ∙ 6) = 4
Pole trójkąta ABC:
PABC = PACF + PCFB = 14 + 4 = 18
Przykład 8.Punkt A leży na prostej k o równaniu y = 2x − 1, a punkt B na prostej m o równaniu y = − x + 3
. Wyznacz współrzędne punktów A i B tak, aby punkt P = (0,0) był środkiem odcinka AB.
Współrzędne punktu A możemy zapisać, wykorzystując fakt, że A leży na prostej y = 2x − 1:
A = (xA, 2xA − 1). Podobnie zapisujemy współrzędne punktu B leżącego na prostej y = − x + 3
:
B = (xB, − xB + 3).Punkt P = (0,0) jest środkiem odcinka AB, zatem wykorzystując wzory na współrzędne środka
odcinka, otrzymujemy:
xA + xB2 = 0 i
(2xA − 1) + ( − xB + 3)2 = 0.
Po uporządkowaniu otrzymujemy układ równań
{ xA + xB = 0
2xA − xB = − 2
Rozwiązaniem układu jest xA = − 23 i xB =
23 .
Z tego wynika, że
A = (− 23 , 2 ∙ (− 2
3 ) − 1) = (− 23 , − 7
3 )
Zastosowania równania prostej: wysokości, środkowe, symetralne boków trójkąta
66
B = (23 , − 2
3 + 3) = (23 ,
73 )
Poziom trudności: AZadanie 1.5.1Wyznacz równanie symetralnej odcinka AB.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.5.2Wyznacz równanie prostej zawierającej środkową AD trójkąta ABC, którego wierzchołkami są
podane punkty.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.5.3
Wykaż, że trójkąt o wierzchołkach w punktach: A = (0,4), B = (5,3), C = ( − 1, − 1) jest prosto-
kątny. Czy ten trójkąt jest równoramienny?
(Pokaż odpowiedź)
A = ( − 2,4), B = (3,2)a)
A = ( − 3, − 1), B = (1,1)b)
A = (1,2), B = ( − 2, − 1)c)
A = (6,3), B = ( − 2,5)d)
A = (0, − 2), B = (5,3)e)
A = (2√2, − 8√2), B = ( − 2√2, 8√2)f)
A = (−2,3), B = (1, − 2), C = (4,2)a)
A = (−3,3), B = (4, − 1), C = ( − 2,3)b)
A = (6,1), B = (7,0), C = (1,0)c)
A = (−3,2), B = (3,5), C = ( − 2, − 1)d)
Zastosowania równania prostej: wysokości, środkowe, symetralne boków trójkąta
67
Poziom trudności: AZadanie 1.5.4Wykaż, że czworokąt ABCD, którego wierzchołkami są punkty:
A = (4, − 1), B = (8,6), C = (0,5), D = ( − 4, − 2), jest rombem.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.5.5
Punkty A = (0,1), B = (6, − 1), C = (7,2) są wierzchołkami równoległoboku ADBC. Punkt E jest
punktem przecięcia się przekątnych równoległoboku. Wyznacz równanie prostej przecho-
dzącej przez punkt E i równoległej do boku AB
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.5.6
Punkty B = (5, − 2) i D = (3,6) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD. Wyznacz rów-
nanie prostej AC.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.5.7Oblicz pole trójkąta prostokątnego ABC, którego wierzchołkami są podane punkty
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.5.8
W trójkącie ABC bok AB leży na prostej y = − x − 2, wierzchołek C = (3,5). Wyznacz równanie wy-
sokości opuszczonej na bok AB oraz oblicz długość tej wysokości.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.5.9Oblicz pole równoległoboku ABCD o wierzchołkach w punktach:
A = (11,4), B = (5, − 3), C = (1, − 2).(Pokaż odpowiedź)
A = (5,4), B = ( − 3,0), C = (3,6)a)
A = (5,2), B = (−3,8), C = (6,5)b)
Zastosowania równania prostej: wysokości, środkowe, symetralne boków trójkąta
68
Poziom trudności: BZadanie 1.5.10
Punkty: K = ( − 3,2), L = (1,4), M = (3,0) są środkami kolejnych boków kwadratu ABCD. Wy-
znacz współrzędne wierzchołków kwadratu.
(Pokaż odpowiedź)
Zastosowania równania prostej: wysokości, środkowe, symetralne boków trójkąta
69
Rozdział 2. Funkcja kwadratowa
2.1. Jednomian kwadratowy i jego własności.Przesunięcie wykresu jednomianu kwadratowegowzdłuż osi układu współrzędnych
Jednomian kwadratowy i jego własności
Omówimy własności funkcji f określonej wzorem f(x) = x2.
Przykład 1.W poniższej tabeli zapisane są wartości funkcji f(x) = x2 dla kilku przykładowych argumentów.
x – 3 – 2 – 1 0 1 2 3
f(x) 9 4 1 0 1 4 9
Odczytujemy stąd, że f(2) = f(−2) = 4. Uzasadnimy, że tylko dla tych dwóch argumentów funk-
cja f przyjmuje wartość 4.
Argument x, dla którego funkcja f przyjmuje wartość 4, spełnia równanie x2 = 4, które jest
równoważne równaniu
x2 − 4 = 0,
czyli
(x − 2)(x + 2) = 0.
Otrzymany iloczyn (x − 2)(x + 2) jest równy 0 wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z jego czynników
jest równy zero.
Wobec tego x − 2 = 0 lub x + 2 = 0.
Stąd f(x) = 4 wtedy i tylko wtedy, gdy x = 2 lub x = − 2.
Funkcja kwadratowa
70
Przykład 2.Zauważamy też, że f(−1) = f(1) = 1 i f(−3) = f(3) = 9.
Wykażemy, że dla każdej pary argumentów, które są liczbami przeciwnymi, funkcja f przyj-
muje tę samą wartość.
Rozpatrzmy pewną liczbę x, która jest różna od zera. Wtedy f(x) = x2 oraz f(−x) = (−x)2
= x2, co
oznacza, że f(−x) = f(x), czyli funkcja f przyjmuje tę samą wartość dla takich dwóch argumen-
tów, które są liczbami przeciwnymi.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Przykład 3.Z tabeli z przykładu 1 odczytujemy, że f(0) = 0, f(1) = 1, f(2) = 4, f(3) = 9, więc
f(0) < f(1) < f(2) < f(3). Zauważmy też, że f(1) − f(0) = 1, f(2) − f(1) = 3, f(3) − f(2) = 5.
Uzasadnimy, że:
• Weźmy pewną liczbę całkowitą nieujemną n. Wówczas f(n) = n2 i
f(n + 1) = (n + 1)2
= n2 + 2n + 1, więc f(n + 1) − f(n) = n2 + 2n + 1 − n2 = 2n + 1 > 0, bo liczba
n jest nieujemna.
• Ponieważ f(n + 1) − f(n) = 2n + 1, więc wraz ze wzrostem n rośnie wartość 2n + 1.
dla dowolnej nieujemnej liczby całkowitej n prawdziwa jest nierówność f(n + 1) > f(n),a)
wraz ze wzrostem n różnica f(n + 1) − f(n) rośnie.b)
Jednomian kwadratowy i jego własności. Przesunięcie wykresu jednomianu kwadratowego wzdłuż osi układu współrzędnych
71
Przykład 4.Pokażemy, że jedynym punktem wspólnym wykresu funkcji f(x) = x2 z osią Ox jest punkt
(0, 0), a pozostałe punkty wykresu tej funkcji leżą powyżej osi Ox.
Funkcja f przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne, ponieważ dla dowolnej liczby rzeczywistej
x jest x2 ≥ 0. Ponadto x2 = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = 0.
Zatem
• punkt (0, 0) jest jedynym punktem wspólnym wykresu funkcji f z osią Ox,
• pozostałe punkty wykresu tej funkcji leżą powyżej osi Ox.
Przykład 5.Uzasadnimy, że prosta określona równaniem x = 0 jest osią symetrii wykresu funkcji f.
Na wykresie funkcji f możemy wskazać pary punktów symetrycznych względem osi Oy. Np.
(1, 1) oraz ( – 1, 1), a także ( – 2, 4) i (2, 4). Jak wcześniej wykazaliśmy, funkcja f przyjmuje tę
samą wartość dla takich dwóch argumentów, które są liczbami przeciwnymi. Zatem dla do-
wolnej liczby rzeczywistej x zachodzi równość f(−x) = f(x), a to oznacza, że oś Oy (czyli prosta
o równaniu x = 0) jest osią symetrii wykresu funkcji f.
Przykład 6.Uzasadniliśmy wcześniej, że dla dowolnej nieujemnej liczby całkowitej n prawdziwa jest
nierówność f(n + 1) > f(n). Wykażemy, że dla dowolnych liczb nieujemnych x1, x2, takich że
x1 < x2, prawdziwa jest nierówność f(x2) > f(x1).Weźmy takie dwie liczby nieujemne x1, x2, że x1 < x2. Wtedy
f(x2) − f(x1) = x22 − x1
2 = (x2 − x1)(x2 + x1)
W otrzymanym iloczynie oba czynniki są dodatnie: x2 − x1 > 0, bo x1 < x2, natomiast
x2 + x1 > 0, gdyż x2 + x1 jest sumą liczby nieujemnej x1 i liczby dodatniej x2. Stąd
f(x2) − f(x1) > 0, czyli f(x2) > f(x1).Zatem (z uwagi na symetrię wykresu funkcji f względem osi Oy)
• maksymalny przedział, w którym funkcja f jest rosnąca to ? 0, + ∞),• maksymalny przedział, w którym funkcja f jest malejąca to ( – ∞, 0 ? .
Przykład 7.Uzasadniliśmy wcześniej, że dla każdej pary argumentów, które są liczbami przeciwnymi,
funkcja f przyjmuje tę samą wartość.
Wykażemy, że dla każdej dodatniej liczby k istnieją dokładnie dwa takie argumenty funkcji f,
że f(x) = k.
Przekształcamy równanie
x2 = k
Jednomian kwadratowy i jego własności. Przesunięcie wykresu jednomianu kwadratowego wzdłuż osi układu współrzędnych
72
x2 − k = 0
(x − √k)(x + √k) = 0.
Ta równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy x − √k = 0 lub x + √k = 0.
Zatem f(x) = k wtedy i tylko wtedy, gdy x = √k lub x = − √k. Liczby te są różne, gdyż
−√k < 0 < √k.
To oznacza, że dowolna dodatnia liczba k należy do zbioru wartości funkcji f.
Ponieważ f(0) = 0, to możemy stwierdzić, że zbiorem wartości funkcji f jest przedział
? 0, + ∞).
Ważne
• Wykresem funkcji f(x) = x2 jest krzywa o równaniu y = x2, którą nazywamy parabolą.
• Punkt O = (0, 0) nazywamy wierzchołkiem tej paraboli.
• Prosta x = 0 jest osią symetrii tej paraboli. Symetryczne względem tej prostej części pa-
raboli y = x2 nazywać będziemy jej ramionami.
• Ramiona paraboli y = x2 skierowane są zgodnie ze zwrotem osi Oy (mówimy też, że ra-
miona tej paraboli skierowane są w górę).
• Parabola ta ma dokładnie dwa punkty wspólne z każdą prostą o równaniu y = k, gdzie
k > 0.
Przykład 8.Narysujemy wykres funkcji g(x) = 2x2.
Ustalimy najpierw zależność między wykresem funkcji g a wykresem funkcji f(x) = x2.
Wartości tych funkcji dla kilku przykładowych argumentów prezentuje poniższa tabela.
Jednomian kwadratowy i jego własności. Przesunięcie wykresu jednomianu kwadratowego wzdłuż osi układu współrzędnych
73
x – 3 – 2 – 1 0 1 2 3
f(x) 9 4 1 0 1 4 9
g(x) 18 8 2 0 2 8 18
Zauważmy, że g(0) = f(0) = 0. Dla ustalonego argumentu x ≠ 0, f(x) > 0 oraz równość
g(x) = 2x2 = 2f(x),
co oznacza, że wartość funkcji g jest dwa razy większa od wartości funkcji f.
Wykres funkcji g (krzywa o równaniu y = 2x2) jest parabolą, której wierzchołkiem jest punkt
O = (0, 0), a ramiona skierowane są w górę.
Jednomian kwadratowy i jego własności. Przesunięcie wykresu jednomianu kwadratowego wzdłuż osi układu współrzędnych
74
Przykład 9.W odniesieniu do wykresu funkcji f(x) = x2 rozpatrzmy wykres funkcji h danej wzorem
h(x) = ax2, gdzie a jest ustaloną liczbą dodatnią. Niezależnie od wartości a jest h(0) = f(0) = 0.
Dla ustalonego niezerowego x ≠ 0 zachodzi równość h(x) = a ? f(x) > 0.
Wykresem każdej takiej funkcji h jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt O = (0, 0) i
ramiona skierowane są w górę.
Aplikacja na epodreczniki.pl
• Krzywą o równaniu y = x2 nazwaliśmy parabolą. Wykazaliśmy, że pewne jej własności ma
również każda krzywa o równaniu y = ax2, gdzie a > 0 i na tej podstawie uznaliśmy, że każdą
z tych krzywych można również nazwać parabolą.
• Wybierzmy na płaszczyźnie dowolną prostą k oraz punkt F, który nie należy do tej prostej.
Parabola to zbiór wszystkich punktów tej płaszczyzny, których odległość od prostej k, zwanej
kierownicą paraboli, jest równa odległości od punktu F, tzw. ogniska paraboli.
• Punkt paraboli, którego odległość od ogniska jest najmniejsza z możliwych, nazywamy
wierzchołkiem paraboli. Wierzchołek leży w połowie odległości ogniska F od kierownicy k.
• Prosta prostopadła do kierownicy k i przechodząca przez ognisko F jest osią symetrii para-
boli i przecina tę parabolę w jej wierzchołku.
Przykład 10.Wykażemy, że krzywa o równaniu y = x2 to parabola, której kierownicą jest prosta k o równa-
niu y = − 14 , a ogniskiem punkt F = (0,
14 ).
Spośród punktów danej krzywej, najbliżej prostej k leży punkt W = (0, 0), jedyny punkt tej
Jednomian kwadratowy i jego własności. Przesunięcie wykresu jednomianu kwadratowego wzdłuż osi układu współrzędnych
75
krzywej, który leży na osi Ox. Jego odległość zarówno od punktu F, jak i od prostej k jest rów-
na14 .
Na krzywej o równaniu y = x2 leżą też np. punkty A = (1, 1) i B = (−2, 4). Pokażemy, że każdy
z nich jest równo odległy od kierownicy k i ogniska F.
Dla punktu A odległość od kierownicy k jest równa 114 , a odległość od ogniska jest równa
| AF | = √(1 − 0)2
+ (1 − 14 )
2= √1 +
916 = √25
16 =54 ,
czyli również 114 .
Dla punktu B odległość od kierownicy k jest równa 414 , a odległość od ogniska jest równa
| BF | = √(−2 − 0)2
+ (4 − 14 )
2= √(−2)
2+ (15
4 )2
= √4 +22516 = √289
16 =174 = 4
14 ,
zatem i te dwie odległości są równe.
Pokażemy, że każdy punkt krzywej o równaniu y = x2 leży w tej samej odległości od prostej k
i punktu F.
Zauważmy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x punkt P = (x, x2) leży na tej krzywej. Odle-
głość punktu P od prostej k to x2 +14 , a odległość punktu P od ogniska F jest równa
| PF | = √(x − 0)2
+ (x2 − 14 )
2= √x2 + x4 − 1
2x2 +1
16 = √x4 +12x2 +
116 = √(x2 +
14 )
2= x2 +
14
Zatem dla każdego x odległości te są równe, więc krzywa o równaniu y = x2 to parabola, któ-
rej wierzchołkiem jest punkt W = (0, 0), a jej osią symetrii jest prosta o równaniu x = 0.
Każda krzywa o równaniu y = ax2, gdzie a ≠ 0 to parabola, której kierownicą jest prosta k o równa-
niu y = − 14a , a ogniskiem jest punkt F = (0,
14a ).
Dla dowolnej liczby rzeczywistej x punkt P = (x, ax2) leży na tej krzywej. Odległość punktu P od
prostej k to | ax2 +1
4a | , a odległość punktu P od ogniska F wyraża się wzorem
| PF | = √(x − 0)2
+ (ax2 − 14a )
2= √x2 + a2x4 − 1
2x2 +1
16a2 = √a2x4 +12x2 +
1
16a2 = √(ax2 +1
4a )2
=
= a | x2 +1
4a | .
Odległości te są równe, zatem krzywa o równaniu y = ax2 to parabola. Jej wierzchołkiem jest punkt
W = (0, 0), a osią symetrii – prosta o równaniu x = 0.
Jednomian kwadratowy i jego własności. Przesunięcie wykresu jednomianu kwadratowego wzdłuż osi układu współrzędnych
76
Przesunięcie wykresu jednomianu kwadratowego
wzdłuż osi układu współrzędnych
Przykład 11.
Narysujemy wykresy funkcji f1(x) = x2 − 3 oraz f2(x) = (x − 2)2.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Rozpatrzmy parabolę o równaniu y = x2.
Zauważmy, że:
Jednomian kwadratowy i jego własności. Przesunięcie wykresu jednomianu kwadratowego wzdłuż osi układu współrzędnych
77
• po jej przesunięciu o 3 jednostki w dół wzdłuż osi Oy otrzymamy parabolę o równaniu
y = x2 − 3. Wykresem funkcji f1 jest więc parabola, której wierzchołek to W1 = (0, – 3),a jej ramiona skierowane są w górę. Prosta x = 0 jest osią symetrii tej paraboli. Zatem
maksymalny przedział, w którym funkcja f1 jest rosnąca, to ? 0, + ∞), a maksymalny
przedział, w którym funkcja f1 jest malejąca, to ( – ∞, 0 ? . Zbiór wartości funkcji f1 to
? −3, + ∞).
• po jej przesunięciu o 2 jednostki w prawo wzdłuż osi Ox otrzymamy parabolę o równa-
niu y = (x − 2)2. Stąd wykresem funkcji f2 jest parabola o wierzchołku w punkcie
W2 = (2, 0), której ramiona skierowane są w górę. Prosta x = 2 jest osią symetrii tej pa-
raboli. Wobec tego przedział ? 2, + ∞) to maksymalny przedział, w którym funkcja f2
jest rosnąca, a przedział ( – ∞, 2 ? to maksymalny przedział, w którym funkcja f jest
malejąca. Zbiór wartości funkcji f1 to ? 0, + ∞).
Przykład 12.Narysujemy wykresy funkcji.
g1(x) =12 (x + 1)
2a)
g2(x) = − x2 − 1b)
Jednomian kwadratowy i jego własności. Przesunięcie wykresu jednomianu kwadratowego wzdłuż osi układu współrzędnych
78
Rozpatrzmy funkcję f daną wzorem f(x) = ax2, gdzie a jest ustaloną liczbą różną od zera.
Obrazem wykresu funkcji f w przesunięciu o q jednostek wzdłuż osi Oy jest wykres takiej
funkcji g, że g(x) = ax2 + q. Jest to więc parabola przystająca do paraboli o równaniu y = ax2,
której wierzchołkiem jest punkt (0, q). Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu x = 0
.
Obrazem wykresu funkcji f w przesunięciu o p jednostek wzdłuż osi Ox jest wykres takiej
funkcji h, że h(x) = a(x − p)2. Jest to więc parabola przystająca do paraboli o równaniu y = ax2,
której wierzchołkiem jest punkt (p, 0). Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu x = p
.
Wobec powyższego:
g3(x) = − 13x2 + 3c)
g4(x) = − 2(x + 1)2d)
Wykresem funkcji g1(x) =12 (x + 3)
2jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt
(−3, 0), a jej ramiona są skierowane w górę. Osią symetrii tej paraboli jest prosta o
równaniu x = − 3. Maksymalny przedział, w którym funkcja g1 jest rosnąca, to
? – 3, + ∞), a maksymalny przedział, w którym funkcja g1 jest malejąca, to
( – ∞, – 3 ? . Zbiór wartości funkcji g1 to ? 0, + ∞).
a)
Jednomian kwadratowy i jego własności. Przesunięcie wykresu jednomianu kwadratowego wzdłuż osi układu współrzędnych
79
Wykresem funkcji g2(x) = 2x2 + 1 jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt (0, 1),a jej ramiona skierowane są w górę. Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu
x = 0. Maksymalny przedział, w którym funkcja g2 jest rosnąca, to ? 0, + ∞), a maksy-
malny przedział, w którym jest ona malejąca, to ( – ∞, 0 ? . Zbiór wartości funkcji g2 to
? 1, + ∞).
b)
Wykresem funkcji g3(x) = − 13x2 + 3 jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt
(0, 3), a jej ramiona są skierowane w dół. Osią symetrii tej paraboli jest prosta o rów-
naniu x = 0. Maksymalny przedział, w którym funkcja g3 jest rosnąca, to ( – ∞, 0 ? , a
maksymalny przedział, w którym jest ona malejąca, to ? 0, + ∞). Zbiór wartości funk-
cji g2 to ( – ∞, 3 ? .
c)
Jednomian kwadratowy i jego własności. Przesunięcie wykresu jednomianu kwadratowego wzdłuż osi układu współrzędnych
80
Przykład 13.Znajdziemy równania parabol, które są zaprezentowane na poniższych rysunkach.
Wykresem funkcji g4(x) = − (x − 1)2
jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt
(1, 0), a jej ramiona są skierowane w dół. Osią symetrii tej paraboli jest prosta o rów-
naniu x = 1. Maksymalny przedział, w którym funkcja g4 jest rosnąca, to ( – ∞, 1 ? , a
maksymalny przedział, w którym jest ona malejąca, to ? 1, + ∞). Zbiór wartości funk-
cji g4 to ( – ∞, 0 ? .
d)
a)
Jednomian kwadratowy i jego własności. Przesunięcie wykresu jednomianu kwadratowego wzdłuż osi układu współrzędnych
81
b)
c)
d)
Wierzchołkiem paraboli jest punkt (0, 1), więc ma ona równanie postaci y = ax2 + 1. Na
tej paraboli leży też punkt (1, 2), zatem a ? 12 + 1 = 2, stąd a = 1. Wobec tego równanie
tej paraboli to y = x2 + 1.
a)
Jednomian kwadratowy i jego własności. Przesunięcie wykresu jednomianu kwadratowego wzdłuż osi układu współrzędnych
82
Poziom trudności: AZadanie 2.1.1
Aplikacja na epodreczniki.pl
Poziom trudności: AZadanie 2.1.2Funkcja g określona jest wzorem g(x) = − 2x2 − c2. Można tak dobrać c , aby największa wartość
tej funkcji była równa
a) 2
b) 1
c) 0
d) – 1
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.1.3Do zbioru wartości funkcji f(x) = x2 należy liczba
a) −√3 + √2
b) −3 + √2
c) −√3 + 2
d) −2 + √3
(Pokaż odpowiedź)
Wierzchołkiem paraboli jest punkt ( – 1, 0), zatem ma ona równanie postaci
y = a(x + 1)2. Na tej paraboli leży też punkt (0, – 1), więc a ? (0 + 1)
2= − 1, stąd a = − 1.
To znaczy, że ta parabola ma równanie y = − (x + 1)2.
b)
Wierzchołkiem paraboli jest punkt (1, 0), więc ma ona równanie postaci y = a(x − 1)2.
Na tej paraboli leży też punkt (0, 2), zatem a ? (0 − 1)2
= 2, stąd a = 2. To znaczy, że ta
parabola ma równanie y = 2(x − 1)2.
c)
Wierzchołkiem paraboli jest punkt (0, 3), zatem ma ona równanie postaci y = ax2 + 3.
Na tej paraboli leży też punkt (3, 0), więc a ? 32 + 3 = 0, stąd a = − 13 . Wobec tego rów-
nanie tej paraboli to y = − 13x2 + 3.
d)
Jednomian kwadratowy i jego własności. Przesunięcie wykresu jednomianu kwadratowego wzdłuż osi układu współrzędnych
83
Poziom trudności: AZadanie 2.1.4Wskaż prostą, która przecina parabolę y = − x2 w dokładnie dwóch punktach.
a) y = 2
b) y = 1
c) y = 0
d) y = − 1
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.1.5Aby otrzymać wykres funkcji f(x) = − 2x2, należy
a) odbić parabolę o równaniu y = 2x2 symetrycznie względem osi Oy
b) odbić parabolę o równaniu y = 2x2 symetrycznie względem osi Ox
c) przesunąć parabolę o równaniu y = x2 o 2 jednostki wzdłuż osi Oy
d) przesunąć parabolę o równaniu y = x2 o 2 jednostki wzdłuż osi Ox
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.1.6
Wskaż maksymalny przedział, w którym funkcja f(x) = − 3(x + 1)2
jest malejąca.
a) (−∞, 1 ?
b) (−∞, −1 ?
c) ? −1, + ∞)
d) ? 1, + ∞)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.1.7
Funkcja f określona jest wzorem f(x) = 17(x − 1)2. Wskaż prawdziwą równość.
a) f( – 50) = f(53)
Jednomian kwadratowy i jego własności. Przesunięcie wykresu jednomianu kwadratowego wzdłuż osi układu współrzędnych
84
b) f( – 50) = f(52)
c) f( – 50) = f(51)
d) f( – 50) = f(50)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.1.8Na rysunku przedstawiono parabolę, która jest wykresem funkcji f.
Funkcja f jest określona wzorem
a) f(x) = (x + 2)2
b) f(x) = (x − 2)2
c) f(x) = x2 − 2
d) f(x) = x2 + 2
(Pokaż odpowiedź)
Jednomian kwadratowy i jego własności. Przesunięcie wykresu jednomianu kwadratowego wzdłuż osi układu współrzędnych
85
Poziom trudności: AZadanie 2.1.9Na rysunku przedstawiono parabolę, która jest wykresem funkcji g.
Funkcja g jest określona wzorem
a) g(x) = − (x + 3)2
b) g(x) = − x2 − 3
c) g(x) = − (x − 3)2
d) g(x) = − x2 + 3
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.1.10
Funkcja g określona jest wzorem g(x) = (m2 + 2)x2 + m. Można dobrać taką wartość m, żeby osią
symetrii wykresu tej funkcji była prosta o równaniu
a) x = 2
b) x = 1
c) x = 0
d) x = − 1
(Pokaż odpowiedź)
Jednomian kwadratowy i jego własności. Przesunięcie wykresu jednomianu kwadratowego wzdłuż osi układu współrzędnych
86
Poziom trudności: AZadanie 2.1.11Narysuj wykres funkcji f. Zaznacz wierzchołek otrzymanej paraboli i narysuj jej oś symetrii.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.1.12Narysuj wykres funkcji g. Zaznacz wierzchołek otrzymanej paraboli i narysuj jej oś symetrii.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.1.13Podaj zbiór wartości funkcji f.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.1.14Podaj zbiór wartości funkcji h.
f(x) = x2 + 1a)
f(x) = 4x2 − 1b)
f(x) = 2x2 + 2c)
g(x) = − x2 + 4a)
f(x) = − 2x2 − 1b)
f(x) = − 3x2 + 3c)
f(x) = − 12x2 − 2d)
f(x) = 3x2 + 1a)
f(x) = (x + 5)2b)
f(x) = 2x2 − 3c)
f(x) = 4(x − 7)2d)
h(x) = − (x + 4)2a)
h(x) = − 9x2 − 4b)
Jednomian kwadratowy i jego własności. Przesunięcie wykresu jednomianu kwadratowego wzdłuż osi układu współrzędnych
87
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.1.15Podaj maksymalny przedział, w którym funkcja g maleje.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.1.16
Narysuj wykres funkcji f określonej wzorem f(x) = − (x + 3)2. Na jego podstawie ustal, ile rozwi-
ązań ma podane równanie.
(Pokaż odpowiedź)
h(x) = − x2 + 2c)
h(x) = − 3(x − 1)2d)
g(x) = 3x2 − 1a)
g(x) = − (x + 2)2
− 1b)
g(x) =34 (x − 1)
2+ 2c)
g(x) = − 5x2 + 5d)
f(x) = 3a)
f(x) = 0b)
f(x) = − 1c)
f(x) = − 3d)
Jednomian kwadratowy i jego własności. Przesunięcie wykresu jednomianu kwadratowego wzdłuż osi układu współrzędnych
88
Poziom trudności: AZadanie 2.1.17
Narysuj wykres funkcji g określonej wzorem g(x) = − 2x2 + 2. Na jego podstawie ustal, ile rozwi-
ązań ma podane równanie.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.1.18Na rysunkach przedstawiono trzy parabole będące wykresami funkcji kwadratowej. Odczytaj
współrzędne wierzchołka W każdej z tych parabol i znajdź wzór każdej z funkcji.
g(x) = 3a)
g(x) = 2b)
g(x) = 1c)
g(x) = 0d)
a)
Jednomian kwadratowy i jego własności. Przesunięcie wykresu jednomianu kwadratowego wzdłuż osi układu współrzędnych
89
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.1.19
Funkcja f jest określona wzorem f(x) = − 2(x − 3)2. Uszereguj od najmniejszej do największej
liczby: m = f(103), n = f(−96), k = f(−100), l = f(101).(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.1.20
Rozpatrzmy funkcję f(x) = 3x2. Wykaż, że dla dowolnej liczby całkowitej n różnica f(n) − f(n − 1)jest liczbą nieparzystą.
(Pokaż odpowiedź)
b)
c)
Jednomian kwadratowy i jego własności. Przesunięcie wykresu jednomianu kwadratowego wzdłuż osi układu współrzędnych
90
2.2. Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzoremw postaci kanonicznej. Wykres funkcji kwadratowejzapisanej wzorem w postaci ogólnejWykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w
postaci kanonicznej
Rozpatrzmy parabolę o równaniu y = ax2, gdzie a jest ustaloną liczbą różną od zera.
Po przesunięciu tej paraboli o | p | jednostek wzdłuż osi Ox (w prawo, gdy p > 0 lub w lewo,
gdy p < 0) oraz o q jednostek wzdłuż osi Oy (w górę, gdy q > 0 lub w dół, gdy q < 0), otrzymujemy
parabolę o równaniu
y = a(x − p)2
+ q.
Aby uprościć zapisy, będziemy mówić, że na przykład „przesuwamy wykres o 3 wzdłuż osi Oy”, za-
miast „przesuwamy wykres o 3 jednostki w dół wzdłuż osi Oy”.
Przykład 1.
Wykresem funkcji f(x) = (x + 1)2
− 4 jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt (−1, − 4), a
jej ramiona są skierowane w górę.
Wykres funkcji f otrzymujemy, przesuwając parabolę y = x2 o – 1 wzdłuż osi Ox oraz o – 4
wzdłuż osi Oy.
Osią symetrii wykresu funkcji f jest prosta o równaniu x = − 1.
Maksymalny przedział, w którym funkcja f rośnie, to ? – 1, + ∞), a maksymalny przedział, w
którym funkcja f maleje, to ( – ∞, – 1 ? .
Zbiorem wartości funkcji f jest przedział ? −4, + ∞).
Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w postaci kanonicznej. Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w
91
Przykład 2.
Wykresem funkcji g(x) = 2(x − 3)2
+ 2 jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt (3, 2), a
jej ramiona skierowane są w górę.
Wykres funkcji g otrzymujemy, przesuwając parabolę o równaniu y = 2x2 o 3 wzdłuż osi Ox
oraz o 2 wzdłuż osi Oy.
Osią symetrii wykresu funkcji g jest prosta o równaniu x = 3.
Maksymalny przedział, w którym funkcja g rośnie, to ? 3, + ∞), a maksymalny przedział, w
którym funkcja g maleje, to (−∞, 3 ? .
Zbiorem wartości funkcji g jest przedział ? −2, + ∞).
Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w postaci kanonicznej. Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w
92
Przykład 3.
Wykresem funkcji h(x) = − (x − 2)2
− 2 jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt (2, − 2), a jej ramiona są skierowane w dół.
Wykres funkcji h otrzymujemy, przesuwając parabolę o równaniu y = − x2 o 2 wzdłuż osi Ox
oraz o – 2 wzdłuż osi Oy.
Osią symetrii wykresu funkcji h jest prosta o równaniu x = 2.
Maksymalny przedział, w którym funkcja h rośnie, to (−∞, 2 ? , a maksymalny przedział, w
którym funkcja h maleje, to ? 2, + ∞).Zbiorem wartości funkcji h jest przedział (−∞, −2 ? .
Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w postaci kanonicznej. Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w
93
Przykład 4.
Wykresem funkcji k(x) = − 4(x + 3)2
+ 1 jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt (−3, 1), a jej ramiona są skierowane w dół.
Wykres funkcji k otrzymujemy, przesuwając parabolę o równaniu y = − 4x2 o – 3 wzdłuż osi
Ox oraz o 1 wzdłuż osi Oy.
Osią symetrii wykresu funkcji k jest prosta o równaniu x = − 3.
Maksymalny przedział, w którym funkcja k rośnie, to (−∞, −3 ? , a maksymalny przedział, w
którym funkcja k maleje, to ? −3, + ∞).Zbiorem wartości funkcji f jest przedział (−∞, 1 ? .
Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w postaci kanonicznej. Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w
94
Przykład 5.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Przykład 6.Wykres każdej z omawianych funkcji rysowaliśmy, korzystając z pomysłu przedstawionego
na początku tej lekcji. Przepis ten da się zastosować do wykresu każdej funkcji kwadratowej,
której wzór umiemy zapisać w postaci y = a(x − p)2
+ q, nazywanej postacią kanoniczną funk-
cji kwadratowej.
Zauważmy, że w przypadku funkcji f i k, po zastosowaniu wzoru skróconego mnożenia na
kwadrat sumy, otrzymujemy
f(x) = (x + 1)2
− 4 = (x2 + 2x + 1) − 4 = x2 + 2x − 3
oraz
k(x) = − 4(x + 3)2
+ 1 = − 4(x2 + 6x + 9)2
+ 1 = − 4x2 − 24x − 35,
natomiast w przypadku funkcji g i h, po zastosowaniu wzoru skróconego mnożenia na kwa-
drat różnicy, otrzymujemy
g(x) = 2(x − 3)2
+ 2 = 2(x2 − 6x + 9) + 2 = 2x2 − 12x + 20,
a także
Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w postaci kanonicznej. Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w
95
h(x) = − (x − 2)2
− 2 = − (x2 − 4x + 4) − 2 = − x2 + 4x − 6.
Zatem każdą z funkcji f, g, h i k można zapisać w postaci y = ax2 + bx + c.
Wzór y = ax2 + bx + c, gdzie a, b, c są ustalone, przy czym a jest różne od 0, nazywamy po-
stacią ogólną funkcji kwadratowej zmiennej x.
Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w
postaci ogólnej
Przykład 7.
Na jednym rysunku naszkicujemy wykresy funkcji f i g określonych wzorami f(x) = (x − 2)2
− 4
oraz g(x) = x2 − 4x.
Przekształcimy wzór funkcji f.
f(x) = (x − 2)2
− 4 = x2 − 4x + 4 − 4 = x2 − 4x
Wobec tego funkcje f i g są tożsamościowo równe, czyli ich wykresem jest ta sama parabola.
Wykresem obu tych funkcji jest parabola, która powstaje w wyniku przesunięcia paraboli o
równaniu y = x2 o 2 wzdłuż osi Ox oraz o – 4 wzdłuż osi Oy.
Przykład 8.Wykażemy, że przesuwając równolegle parabolę y = x2, otrzymamy wykres funkcji f określo-
nej wzorem
f(x) = x2 + 8x + 12.
Po przesunięciu paraboli y = x2 o p wzdłuż osi Ox oraz o q wzdłuż osi Oy otrzymujemy pa-
Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w postaci kanonicznej. Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w
96
rabolę o równaniu y = (x − p)2
+ q, które przekształcamy do postaci y = x2 − 2px + p2 + q. Za-
uważmy, że dla p = − 4 równanie tej paraboli to y = x2 + 8x + 16 + q. Przyjmując dodatkowo
q = − 4, dostajemy y = x2 + 8x + 12. Oznacza to, że przesuwając parabolę o równaniu y = x2 o
– 4 wzdłuż osi Ox i o – 4 wzdłuż osi Oy, otrzymujemy wykres podanej funkcji f. Wzór funkcji
f można też zapisać w postaci f(x) = (x + 4)2
− 4.
Przykład 9.Narysujemy wykres funkcji f(x) = − x2 + 4x + 5.
Wykorzystamy w tym celu pomysł z poprzedniego przykładu. Spodziewamy się, że wykres
funkcji f otrzymujemy, przesuwając parabolę o równaniu y = − x2 o p wzdłuż osi Ox oraz o
q wzdłuż osi Oy. W efekcie otrzymujemy parabolę o równaniu y = − (x − p)2
+ q, które prze-
kształcamy do postaci y = − x2 + 2px − p2 + q. Jeżeli przyjmiemy p = 2, to 2p = 4 i parabola
ma równanie y = − x2 + 4x − 4 + q. Wystarczy zatem przyjąć q = 9 i otrzymujemy równanie
y = − x2 + 4x + 5. Mamy więc
f(x) = − (x − 2)2
+ 9.
Wobec tego wykresem funkcji f określonej wzorem f(x) = − x2 + 4x + 5 jest parabola, którą
otrzymujemy w wyniku przesunięcia paraboli o równaniu y = − x2 o 2 wzdłuż osi Ox i o 9
wzdłuż osi Oy.
Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w postaci kanonicznej. Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w
97
Przykład 10.Narysujemy wykres funkcji f(x) = 3x2 − 6x.
Zauważmy, że wzór funkcji f można zapisać jako f(x) = 3(x2 − 2x). Ponadto dla każdej liczby x
prawdziwa jest równość x2 − 2x + 1 = (x − 1)2, a więc także równość x2 − 2x = (x − 1)
2− 1.
Wzór funkcji f można przekształcić do postaci
f(x) = 3(x2 − 2x) = 3((x − 1)2
− 1) = 3(x − 1)2
− 3.
Wynika z tego, że wykresem funkcji f opisanej wzorem f(x) = 3x2 − 6x jest parabola, którą
otrzymujemy w wyniku przesunięcia paraboli o równaniu y = 3x2 o 1 wzdłuż osi Ox i o – 3
wzdłuż osi Oy.
Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w postaci kanonicznej. Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w
98
Przykład 11.Narysujemy wykres funkcji f(x) = − 2x2 + 16x − 22.
Zauważmy, że wzór funkcji f można zapisać jako f(x) = − 2(x2 − 8x) − 22. Ponadto dla każdej
liczby x prawdziwa jest równość x2 − 8x + 16 = (x − 4)2, a więc także równość
x2 − 8x = (x − 4)2
− 16.
Wzór funkcji f można zatem zapisać w postaci
k(x) = − 2(x2 − 8x) − 22 = − 2((x − 4)2
− 16) − 22 = − 2(x − 4)2
+ 10.
Wynika z tego, że wykresem funkcji f określonej wzorem f(x) = − 2x2 + 16x − 22 jest parabola,
którą otrzymujemy w wyniku przesunięcia paraboli o równaniu y = − 2x2 o 4 wzdłuż osi Ox i
o 10 wzdłuż osi Oy.
Przykład 12.Na rysunkach przedstawiono
Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w postaci kanonicznej. Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w
99
wykres funkcji kwadratowej fa)
wykres funkcji kwadratowej gb)
wykres funkcji kwadratowej hc)
Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w postaci kanonicznej. Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w
100
wykres funkcji kwadratowej k
Zapiszemy wzór każdej z tych funkcji w postaci kanonicznej oraz w postaci ogólnej.
d)
Wierzchołkiem paraboli jest punkt (1, – 1), więc ma ona równanie postaci
y = a(x − 1)2
− 1. Na tej paraboli leży też punkt (0, 0), zatem a ? (0 − 1)2
− 1 = 0, stąd
a = 1. Wobec tego postać kanoniczna funkcji f to f(x) = (x − 1)2
− 1. Przekształcamy ten
wzór do postaci ogólnej: f(x) = x2 − 2x + 1 − 1, stąd f(x) = x2 − 2x.
a)
Wierzchołkiem paraboli jest punkt ( – 2, 2), więc ma ona równanie postaci
y = a(x + 2)2
+ 2. Na tej paraboli leży też punkt (0, 0), zatem a ? (0 + 2)2
+ 2 = 0, stąd
a = − 12 . Wobec tego postać kanoniczna funkcji g to g(x) = − 1
2 (x + 2)2
+ 2. Przekształca-
my ten wzór do postaci ogólnej: g(x) = − 12 (x2 + 4x + 4) + 2, stąd g(x) = − 1
2x2 − 2x.
b)
Wierzchołkiem paraboli jest punkt (3, 4), więc ma ona równanie postaci y = a(x − 3)2
+ 4
. Na tej paraboli leży też punkt (1, 0), zatem a ? (1 − 3)2
+ 4 = 0, stąd a = − 1. Wobec te-
go postać kanoniczna funkcji h to h(x) = − (x − 3)2
+ 4. Przekształcamy ten wzór do po-
staci ogólnej: h(x) = − (x2 − 6x + 9) + 4, stąd h(x) = − x2 + 6x − 5.
c)
Wierzchołkiem paraboli jest punkt (1, 1), więc ma ona równanie postaci
y = a(x − 1)2
+ 1. Na tej paraboli leży też punkt (0, 3), zatem a ? (0 − 1)2
+ 1 = 3, skąd
a = 2. Wobec tego postać kanoniczna funkcji k to k(x) = 2(x − 1)2
+ 1. Przekształcamy
ten wzór do postaci ogólnej: k(x) = 2(x2 − 2x + 1) + 1, stąd k(x) = 2x2 − 4x + 3.
d)
Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w postaci kanonicznej. Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w
101
Poziom trudności: AZadanie 2.2.1-2
Aplikacja na epodreczniki.pl
Poziom trudności: AZadanie 2.2.3
Funkcja f jest określona wzorem f(x) = (x – 1)2
+ 2. Wynika z tego, że wykres funkcji f
a) ma dwa punkty wspólne z prostą y = 5
b) ma dokładnie jeden punkt wspólny z prostą y = 1
c) przecina oś Oy
d) przecina oś Ox
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.2.4Wskaż zdania prawdziwe.
a) Największa wartość funkcji k(x) = – (x + 1)2
+ 2 to 1.
b) Największa wartość funkcji h(x) = – 2x2 + 3 to 3.
c) Najmniejsza wartość funkcji g(x) = (x – 2)2
– 3 to – 3.
d) Najmniejsza wartość funkcji f(x) = 3x2 + 1 to 3.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.2.5Znajdź zbiór wartości funkcji.
(Pokaż odpowiedź)
f(x) = (x + 2)2
− 1a)
g(x) = − (x − 1)2
+ 3b)
h(x) = − 3x2 + 4c)
k(x) = 4(x − 1)2
+ 2d)
Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w postaci kanonicznej. Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w
102
Poziom trudności: AZadanie 2.2.6-7
Aplikacja na epodreczniki.pl
Poziom trudności: AZadanie 2.2.8Narysuj wykres funkcji kwadratowej f. Zaznacz wierzchołek otrzymanej paraboli i narysuj jej oś
symetrii.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.2.9Narysuj wykres funkcji kwadratowej f. Zaznacz wierzchołek otrzymanej paraboli i narysuj jej oś
symetrii.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.2.10Ustal maksymalny przedział, w którym funkcja f rośnie i maksymalny przedział, w którym ma-
leje.
f(x) = (x − 3)2
+ 1a)
f(x) = (x + 4)2
− 1b)
f(x) =12 (x + 2)
2+ 2c)
f(x) = 2(x − 2)2
− 5d)
f(x) = − (x + 1)2
+ 4a)
f(x) = − (x − 2)2
− 1b)
f(x) = − 2(x − 1)2
+ 3c)
f(x) = − 23 (x + 3)
2− 2d)
f(x) = 2(x + 1)2
− 7a)
f(x) = − (x − 4)2
+ 9b)
Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w postaci kanonicznej. Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w
103
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.2.11Podaną funkcję kwadratową zapisz w postaci kanonicznej i ustal jej zbiór wartości.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.2.12Podaną funkcję kwadratową zapisz w postaci kanonicznej i ustal jej zbiór wartości.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.2.13Podaną funkcję kwadratową zapisz w postaci kanonicznej i podaj równanie osi symetrii jej wy-
kresu.
(Pokaż odpowiedź)
f(x) =34 (x − 5)
2+
12
c)
f(x) = − 25 (x + 6)
2− 11d)
f(x) = x2 − 2x + 7a)
g(x) = x2 + 10xb)
h(x) = x2 − 12x + 20c)
t(x) = x2 + 4x + 9d)
f(x) = − x2 + 6x + 1a)
g(x) = − x2 + 2x − 4b)
h(x) = − x2 − 8x + 14c)
t(x) = − x2 − 5xd)
f(x) = 2x2 − 6x + 3a)
g(x) =12x2 − 5x + 12b)
h(x) = − 3x2 − 15xc)
t(x) = − 14x2 +
72xd)
Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w postaci kanonicznej. Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w
104
Poziom trudności: AZadanie 2.2.14Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji kwadratowej f. Zapisz wzór tej funkcji w postaci
kanonicznej oraz w postaci ogólnej.
a)
b)
c)
Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w postaci kanonicznej. Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w
105
(Pokaż odpowiedź)
d)
Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w postaci kanonicznej. Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w
106
2.3. Współrzędne wierzchołka paraboli
2.3.1. Zależności między wartościami współczynnikówwystępujących we wzorach funkcji kwadratowej zapisanej w postaciogólnej i w postaci kanonicznej
Przypomnijmy pojęcia, które wprowadziliśmy w poprzednim rozdziale.
Definicja: Funkcja kwadratowa zmiennej x
Funkcją kwadratową zmiennej x nazywamy funkcję określoną wzorem
f(x) = ax2 + bx + c,
gdzie a, b oraz c to liczby rzeczywiste, przy czym liczba a jest różna od zera.
Powyższy wzór funkcji kwadratowej nazywamy jej postacią ogólną.
• Wzór funkcji kwadratowej możemy też zapisać w postaci kanonicznej
f(x) = a(x − p)2
+ q,
gdzie a, p oraz q to liczby rzeczywiste i a ≠ 0.
Pokażemy, że istnieją ścisłe zależności między wartościami współczynników występujących we
wzorach funkcji kwadratowej zapisanych w postaci ogólnej i w postaci kanonicznej.
Twierdzenie: Funkcja kwadratowa w postacikanonicznej i ogólnej
Każdą funkcję kwadratową można zapisać w postaci ogólnej f(x) = ax2 + bx + c lub w równo-
ważnej postaci kanonicznej f(x) = a(x − p)2
+ q, gdzie p =−b2a i q = −Δ
4a .
Symbolem ∆ (delta) oznaczyliśmy liczbę Δ = b2 − 4ac, którą nazywamy wyróżnikiem funkcji
kwadratowej f.
Dowód
Zauważmy, że po rozwinięciu wyrażenia (x − p)2, postać kanoniczną funkcji f możemy zapisać
jako
Współrzędne wierzchołka paraboli
107
f(x) = a(x2 − 2px + p2) + q,
stąd
f(x) = ax2 − 2apx + ap2 + q.
Aby dla każdego x zachodziła równość
ax2 − 2apx + ap2 + q = ax2 + bx + c
potrzeba i wystarcza, żeby równe były współczynniki przy tych samych potęgach zmiennej x.
Zatem
−2ap = b oraz ap2 + q = c, stąd p =−b2a i q = c − a(−b
2a )2
= c − ab2
4a2 = c − b2
4a =4ac − b2
4a . Przyjmując
oznaczenie Δ = b2 − 4ac, otrzymujemy q = −Δ4a .
Należy zauważyć, że do przekształcenia wzoru funkcji kwadratowej z postaci ogólnej do ka-
nonicznej można też zastosować wzór skróconego mnożenia (tę metodę stosowaliśmy w kil-
ku poprzednich przykładach). Przekształcamy wtedy według poniższego schematu
f(x) = ax2 + bx + c = a(x2 +ba x) + c = a((x +
b2a )
2− b2
4a2 ) + c =
= a(x +b2a )
2− b2
4a + c = a(x +b2a )
2− b2 − 4a2
4a = a(x +b2a )
2− Δ
4a .
Przykład 1.Zapiszemy w postaci kanonicznej funkcję
f(x) = x2 − 14x + 25
Odczytujemy: a = 1, b = − 14, c = 25, stąd p =−(−14)2 ? 1 = 7. Obliczamy wyróżnik
Δ = (−14)2
− 4 ? 1 ? 25 = 96.A więc q =−964 ? 1 = − 24. Zatem postacią kanoniczną tej funk-
cji jest f(x) = (x − 7)2
− 24.
Zauważmy, że ten wynik można otrzymać, przekształcając wzór funkcji f jak poniżej
f(x) = x2 − 14x + 25 = (x2 − 14x + 49) − 49 + 25 = (x − 7)2
− 24.
a)
g(x) = 2x2 + 8x + 11
Odczytujemy: a = 2, b = 8, c = 11, stąd p =−8
2 ? 2 = − 2. Obliczamy wyróżnik
Δ = 82 − 4 ? 2 ? 11 = − 24.Zatem q =−(−24)4 ? 2 = 3. Postacią kanoniczną tej funkcji jest
b)
Zależności między wartościami współczynników występujących we wzorach funkcji kwadratowej zapisanej w postaci ogólnej i
108
Przykład 2.
Aplikacja na epodreczniki.pl
g(x) = 2(x + 2)2
+ 3.
Wynik ten można otrzymać, przekształcając wzór jak poniżej
g(x) = 2x2 + 8x + 11 = 2(x2 + 4x + 4) − 8 + 11 = 2(x + 2)2
+ 3.
h(x) = − x2 + 6x + 7
Odczytujemy: a = − 1, b = 6, c = 7, stąd p =−6
2 ? (−1)= 3. Obliczamy wyróżnik
Δ = 62 − 4 ? (−1) ? 7 = 64.Zatem q =−64
4 ? (−1)= 16. Postacią kanoniczną tej funkcji jest
więc h(x) = − (x − 3)2
+ 16.
Wzór ten można otrzymać w wyniku następujących przekształceń:
g(x) = − x2 + 6x + 7 = − (x2 − 6x + 9) + 9 + 7 = − (x − 3)2
+ 16.
c)
k(x) = − 3x2 + 5x − 4
Odczytujemy: a = − 3, b = 5, c = − 4, stąd p =−5
2 ? (−3)=
56 . Obliczamy wyróżnik
Δ = 52 − 4 ? (−3) ? (−4) = − 23.Zatem q =−(−23)4 ? (−3)
= − 2312 . Postacią kanoniczną tej funkcji
jest
k(x) = − 3(x − 56 )
2− 23
12 .
d)
Zależności między wartościami współczynników występujących we wzorach funkcji kwadratowej zapisanej w postaci ogólnej i
109
2.3.2. Współrzędne wierzchołka paraboli
Współrzędne wierzchołka paraboli
Ważne
Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f(x) = ax2 + bx + c ma współ-
rzędne (p, q), gdzie p = − b2a oraz q = − Δ
4a .
Zauważmy też, że współrzędne wierzchołka paraboli spełniają warunek q = f(p).
Przykład 1.Wyznaczymy współrzędne wierzchołka W paraboli o równaniu
Przykład 2.Wyznaczymy zbiór wartości funkcji
y = x2 − 2x + 10
Odczytujemy a = 1, b = − 2, c = 10, stąd p =−(−2)2 ? 1 = 1, a więc q = f(1) = 1 − 2 + 10 = 9. Za-
tem W = (1, 9).
a)
y = − x2 − 4x + 1
Odczytujemy a = − 1, b = − 4, c = 1, stąd p =−(−4)
2 ? (−1)= − 2. Wtedy
q = f(−2) = − 4 + 8 + 1 = 5, czyli W = (−2, 5).
b)
y = 2x2 + 12x + 17
Odczytujemy a = 2, b = 12, c = 17, stąd p =−122 ? 2 = − 3, więc
q = f(−3) = 18 − 36 + 17 = − 1, czyli W = (−3, − 1).
c)
f(x) = − 3x2 + 8x − 9
Odczytujemy a = − 3, b = 8, c = − 9, stąd p =−8
2 ? (−3)=
43 . Ponadto
Δ = 82 − 4 ? (−3) ? (−9) = − 44, stąd q =−(−44)4 ? (−3)
= − 4412 = − 11
3 , czyli W = (43 , − 11
3 ).
d)
f(x) = x2 − 4x − 7
Odczytujemy współczynnik a = 1. Ponieważ jest on dodatni, więc wykresem funkcji f
jest parabola skierowana ramionami do góry. Wobec tego zbiorem wartości tej funkcji
jest przedział ? q, +∞, gdzie q to druga współrzędna wierzchołka paraboli. W tym
przypadku q = −(−4)
2− 4 ? 1 ? (−7)4 ? 1 = − 44
4 = − 11, zatem zbiorem wartości funkcji f jest
przedział ? −11, +∞.
a)
Współrzędne wierzchołka paraboli
110
Przykład 3.Wyznaczymy maksymalny przedział, w którym funkcja f jest rosnąca oraz maksymalny prze-
dział, w którym ta funkcja jest malejąca.
f(x) = − x2 + 6x − 2
Odczytujemy, że współczynnik a jest ujemny (a = − 1), więc wykresem funkcji f jest pa-
rabola skierowana ramionami do dołu. Wobec tego zbiorem wartości tej funkcji jest
przedział (−∞, q ? , gdzie q to druga współrzędna wierzchołka paraboli. W tym przy-
padku q = −62 − 4 ? (−1) ? (−2)
4 ? (−1)= − 28
−4 = 7, zatem zbiorem wartości funkcji f jest przedział
(−∞, 7 ? .
b)
f(x) = 5x2 + 15x + 1
Ponieważ a = 5 > 0 oraz q = − 152 − 4 ? 5 ? 14 ? 5 = − 41
4 , to zbiorem wartości funkcji f jest
przedział ? − 414 , +∞).
c)
f(x) = − 3x2 + 21x − 16
Ponieważ a = − 3 < 0 oraz q = −212 − 4 ? (−3) ? (−16)
4 ? (−3)=
834 , to zbiorem wartości funkcji f jest
przedział (−∞,834 ? .
d)
f(x) = x2 − 4x − 7
Współczynnik a jest dodatni (a = 1), więc wykresem funkcji f jest parabola skierowana
ramionami do góry. Ponadto p =−(−4)2 ? 1 = 2. Zatem maksymalny przedział, w którym
funkcja f jest rosnąca, to ? 2, +∞), a maksymalny przedział, w którym ta funkcja jest
malejąca, to (−∞, 2 ? .
a)
f(x) = − x2 + 6x − 2
Współczynnik a jest ujemny (a = − 1), więc wykresem funkcji f jest parabola skierowa-
na ramionami do góry. Ponadto p =−6
2 ? (−1)= 3. Zatem maksymalny przedział, w któ-
rym funkcja f jest rosnąca, to (−∞, 3 ? , a maksymalny przedział, w którym ta funkcja
jest malejąca, to ? 3, +∞).
b)
f(x) = 3x2 + 5x − 8
Ponieważ a = 3 > 0 oraz p =−5
2 ? 3 = − 56 , więc maksymalnym przedziałem, w którym
funkcja f rośnie, jest ? − 56 , +∞), a maksymalnym przedziałem, w którym ta funkcja
maleje, jest (−∞, − 56 ? .
c)
f(x) = − 4x2 − 7x + 19
Ponieważ a = − 4 < 0 oraz p =−(−7)
2 ? (−4)= − 7
8 , więc maksymalnym przedziałem, w którym
d)
Współrzędne wierzchołka paraboli
111
Przykład 4.
Aplikacja na epodreczniki.pl
funkcja f rośnie, jest (−∞, − 78 ? , a maksymalnym przedziałem, w którym ta funkcja
maleje, jest ? − 78 , +∞).
Współrzędne wierzchołka paraboli
112
Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.1Na każdym z poniższych rysunków przedstawiony jest fragment wykresu funkcji kwadratowej.
Przy czym na jednym z nich jest wykres funkcji f, na innym – wykres funkcji g, a na jeszcze in-
nym jest wykres funkcji h. Wiadomo, że zbiorem wartości funkcji f jest ? −2, +∞), wierzchoł-
kiem wykresu funkcji g jest punkt (−1, 2), a osią symetrii wykresu funkcji h jest prosta o równa-
niu x = 1. Na którym rysunku jest wykres funkcji f, na którym - wykres g, a na którym – wykres
funkcji h?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.2Dana jest parabola o równaniu y = x2 + 8x − 10. Wówczas
a) osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu x = 8
b) ta parabola nie ma punktów wspólnych z prostą o równaniu y = − 25
c) wierzchołek tej paraboli leży na prostej o równaniu x = − 4
d) wierzchołek tej paraboli leży na prostej o równaniu y = − 10
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.3Prosta o równaniu y = − 3 ma dokładnie jeden punkt wspólny
a) z wykresem funkcji f4(x) = − x2 + 2x − 3
b) z wykresem funkcji f3(x) = − x2 − 2x − 4
c) z wykresem funkcji f2(x) = x2 − 2x − 2
d) z wykresem funkcji f1(x) = x2 + 2x − 2
(Pokaż odpowiedź)
Współrzędne wierzchołka paraboli
113
Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.4Osią symetrii paraboli y = − x2 + bx + 2 jest prosta o równaniu x = p.
a) Jeżeli b = p, to wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (0, 2).
b) Dla p = − 2 współczynnik b jest równy −1.
c) Dla p = 3 współczynnik b jest równy 6.
d) Jeżeli b = 2, to p = 4.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.5
Funkcja kwadratowa f określona jest wzorem f(x) = x2 + bx + c. Oblicz wartości współczynników
b i c, wiedząc, że wykresem funkcji f jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzęd-
nych
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.6-7
Aplikacja na epodreczniki.pl
Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.8Wykresem funkcji kwadratowej f określonej wzorem f(x) = ax2 + bx jest parabola o wierzchołku
W. Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
a) Jeżeli W = ( − 3, − 27), to a = 3 i b = 18.
b) Jeżeli W = (1, 1), to a = − 1 i b = 2.
c) Jeżeli a = − 1 i b = 6, to W = (3, 9).
(0, 2)a)
(2, 0)b)
(1, 1)c)
(−1, 2)d)
Współrzędne wierzchołka paraboli
114
d) Jeżeli a = 1 i b = 4, to W = (2, − 2).
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.9Do wykresu funkcji kwadratowej f należą punkty:
A = (−15, 35), B = (−5, − 20), C = (5, 35). Wynika z tego, że
a) f(−7) + f(−9) > f(−4) + f(−2)
b) f(−6) < − 30
c) f(−20) > 30
d) f(−10) = f(0)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.10Wierzchołek paraboli y = x2 − 2x + 2 leży na prostej o równaniu
a) x = 1
b) x = − 1
c) x = 2
d) x = − 2
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.11Wykres funkcji f określonej wzorem f(x) = − x2 + 6x ma dokładnie jeden punkt wspólny z prostą
o równaniu
a) y = 0
b) y = 3
c) y = 6
d) y = 9
(Pokaż odpowiedź)
Współrzędne wierzchołka paraboli
115
Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.12Wskaż równanie paraboli, której wierzchołkiem jest punkt W = (5, 5).
a) y = x2 + 10x + 55
b) y = x2 − 10x + 30
c) y = x2 − 10x + 15
d) y = x2 + 10x + 5
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.13Zbiorem wartości funkcji kwadratowej f(x) = x2 + 2x + 5 jest
a) ? 5, +∞)
b) ? 4, +∞)
c) ? 2, +∞)
d) ? −1, +∞)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.14Największa wartość funkcji kwadratowej f(x) = − x2 − 8x + 2
a) jest większa od 30
b) jest równa 18
c) jest równa 2
d) nie istnieje
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.15Funkcja kwadratowa, której zbiorem wartości jest przedział ? −2, +∞), może być określona
wzorem
a) y = (x − 2)2
+ 2
Współrzędne wierzchołka paraboli
116
b) y = − (x − 2)2
+ 2
c) y = (x + 2)2
− 2
d) y = − (x + 2)2
− 2
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.16Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony fragment wykresu funkcji kwadratowej określo-
nej wzorem f(x) =12x2 − 2x + 1.
a)
b)
Współrzędne wierzchołka paraboli
117
c)
d)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.17Prosta x = 3 jest osią symetrii wykresu funkcji f określonej wzorem f(x) = 2x2 + bx. Wtedy praw-
dziwa jest równość
Współrzędne wierzchołka paraboli
118
a) f(0) = f(6)
b) f(0) = f(4)
c) f(0) = f(1)
d) f(0) = f(−3)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.18Wierzchołkiem paraboli o równaniu y = x2 + bx + c jest punkt W = (−2, 3). Wtedy
a) b = 4, c = 7
b) b = 2, c = 7
c) b = − 4, c = 3
d) b = − 2, c = 3
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.19Funkcja kwadratowa jest określona wzorem f(x) = x2 − 2mx + 4. Można wskazać taką wartość m
, aby zbiorem wartości tej funkcji był przedział
a) ? 10, + ∞)
b) ? 6, + ∞)
c) ? 5, + ∞)
d) ? 3, + ∞)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.20Zapisz w postaci kanonicznej funkcję kwadratową f, określoną wzorem ogólnym
f(x) = 2x2 − 5a)
f(x) = − 3x2 + 4b)
f(x) = x2 + x +14
c)
Współrzędne wierzchołka paraboli
119
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.21Zapisz w postaci kanonicznej funkcję kwadratową f, określoną wzorem ogólnym
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.22Zapisz w postaci kanonicznej wzór funkcji kwadratowej f, której wykresem jest parabola o
wierzchołku W, przecinająca oś Oy w punkcie P.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.23W układzie współrzędnych narysowano część paraboli, która jest wykresem funkcji kwadrato-
wej. Zapisz wzór tej funkcji w postaci kanonicznej.
f(x) = − 2x2 + 5x − 318
d)
f(x) = 5x2 + 30x + 31a)
f(x) = 2x2 − 4x − 1b)
f(x) = − 3x2 − x + 6c)
f(x) = − 4x2 + 14x − 7d)
W = (2, 0), P = (0, 5)a)
W = ( – 1, 1), P = (0, – 2)b)
W = ( – 2, – 3), P = (0, 1)c)
W = (4, 6), P = (0, – 2)d)
Współrzędne wierzchołka paraboli
120
a)
b)
Współrzędne wierzchołka paraboli
121
c)
d)
Współrzędne wierzchołka paraboli
122
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.24Zapisz w postaci kanonicznej wzór funkcji kwadratowej f, wiedząc, że na jej wykresie leżą punk-
ty A, B, C.
e)
f)
A = ( – 1, 3), B = (0, 1) i C = (1, 3)a)
Współrzędne wierzchołka paraboli
123
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.25Podaj zbiór wartości funkcji określonej wzorem
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.26Wyznacz zbiór wartości funkcji kwadratowej f.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.27Podaj maksymalny przedział, w którym funkcja f rośnie.
(Pokaż odpowiedź)
A = (0, – 5), B = ( – 3, 4) i C = ( – 6, – 5)b)
f(x) = 2 + (1 − x)2a)
f(x) = 5 − (−3 + x)2b)
f(x) = (3x − 1)2
− 9c)
f(x) = − (2x + 5)2
+ 7d)
f(x) = x2 + 12xa)
f(x) = 3x2 − 6x + 5b)
f(x) = − x2 + 2x − 5c)
f(x) = − 12x2 + 2x + 3d)
f(x) = 3 − (x − 2)2a)
f(x) = 11 + (1 − x)2b)
f(x) = (2x − 6)2
− 7c)
f(x) = − (3x + 15)2
+ 8d)
Współrzędne wierzchołka paraboli
124
Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.28Wyznacz maksymalny przedział, w którym funkcja f maleje.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.29
Wykres y = x2 − 2x + 3 funkcji kwadratowej ma dokładnie jeden punkt wspólny z prostą o rów-
naniu y = m. Oblicz m.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.30
Funkcja kwadratowa określona jest wzorem f(x) = − x2 − 6x + c. Wyznacz wartość c, tak aby pa-
rabola będąca wykresem tej funkcji miała dokładnie jeden punkt wspólny z prostą o równaniu
y = – 5.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.31
Prosta x = − 3 jest osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji f(x) = x2 + 6kx + k − 4. Ustal
wartość k i wyznacz współrzędne wierzchołka W tej paraboli.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.32
Zbiorem wartości funkcji kwadratowej f określonej wzorem f(x) = − x2 + 4x + c jest przedział
(−∞, 5 ? . Wyznacz wartość c.
(Pokaż odpowiedź)
f(x) = x2 − 5xa)
f(x) = 2x2 + 3x + 5b)
f(x) = − x2 − 4x + 7c)
f(x) = − 3x2 + 8x − 1d)
Współrzędne wierzchołka paraboli
125
2.4. Miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Postaćiloczynowa funkcji kwadratowejMiejsca zerowe funkcji kwadratowej
Przypomnijmy, że miejsce zerowe funkcji to taki jej argument, dla którego funkcja przyjmuje war-
tość 0.
Przykład 1.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Przykład 2.Znajdziemy miejsca zerowe funkcji
Rozwiązanie
Iloczyn a i b jest równy 0 wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy 0
.
a ∙ b = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy a = 0 lub b = 0.
f(x) = (x − 3)(x + 2)a)
f(x) = (2x + 1)(3x − 12)b)
f(x) = − 11(x + 6)(8 − x)c)
f(x) = 2(5 − x)(4x + 7)d)
(x − 3)(x + 2) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x − 3 = 0 lub x + 2 = 0. Stąd x = 3 lub x = − 2.
Funkcja f(x) = (x − 3)(x + 2) ma 2 miejsca zerowe 3 i −2.
a)
Miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Postać iloczynowa funkcji kwadratowej
126
Przykład 3.Szkicując wykres funkcji f w układzie współrzędnych, znajdujemy takie punkty (x, y), w któ-
rych x jest argumentem i y = f(x). Wobec tego do opisu funkcji f stosujemy często zapis
y = f(x), gdzie f(x) jest wzorem określającym funkcję f. Na przykład możemy pisać f(x) = 2x2 + 1
, a także y = 2x2 + 1.
Przykład 4.Znajdziemy miejsca zerowe funkcji kwadratowej
Rozwiązanie
(2x + 1)(3x − 12) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy (2x + 1) = 0 lub (3x − 12) = 0. Stąd x = − 12
lub x = 4. Funkcja f(x) = (2x + 1)(3x − 12) ma 2miejsca zerowe − 12 i 4.
b)
−11(x + 6)(8 − x) wtedy i tylko wtedy, gdy x + 6 = 0 lub 8 − x = 0. Stąd x = − 6 lub x = 8.
Funkcja f(x) = − 11(x + 6)(8 − x) ma 2 miejsca zerowe −6 i 8.
c)
2(5 − x)(4x + 7) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy 5 − x = 0 lub 4x + 7 = 0. Stąd x = 5 lub
x = − 74 .
Funkcja f(x) = 2(5 − x)(4x + 7) ma 2miejsca zerowe 5 i − 74 .
d)
y = x2 − 7xa)
y = x2 − 25b)
y = x2 + 2x + 1c)
y = x2 + 2x + 4d)
Wzór funkcji y = x2 − 7x przekształcamy do postaci y = x(x − 7). Wynika z tego, że y = 0
wtedy i tylko wtedy, gdy x(x − 7) = 0. Zatem x = 0 lub x − 7 = 0, stąd x = 0 lub x = 7.
Funkcja y = x2 − 7x ma więc dwa miejsca zerowe 0 oraz 7.
a)
Wzór funkcji y = x2 − 25 przekształcamy do postaci y = (x + 5)(x − 5). Zatem y = 0 wtedy i
tylko wtedy, gdy (x − 5)(x + 5) = 0. Wobec tego x − 5 = 0 lub x + 5 = 0, stąd x = 5 lub
x = − 5.
Funkcja y = x2 − 25 ma więc dwa miejsca zerowe 5 oraz – 5.
b)
Wzór funkcji y = x2 + 2x + 1 przekształcamy do postaci y = (x + 1)2. Wobec tego y = 0
wtedy i tylko wtedy, gdy (x + 1)2
= 0. Zatem x + 1 = 0, stąd x = − 1.
Funkcja y = x2 + 2x + 1 ma więc jedno miejsce zerowe – 1.
c)
Wzór funkcji y = x2 + 2x + 4 przekształcamy do postaci y = (x + 1)2
+ 3. Zauważmy, że
zbiorem wartości funkcji y = (x + 1)2
+ 3 jest ? 3, +∞), więc nie ma takiej liczby rzeczy-
d)
Miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Postać iloczynowa funkcji kwadratowej
127
Zauważmy, że wzór każdej z funkcji
y = x2 − 7x, y = x2 − 25, y = x2 + 2x + 1
można było zapisać jako iloczyn dwóch czynników liniowych
y = x2 − 7x = x(x − 7), y = x2 − 25 = (x − 5)(x + 5), y = x2 + 2x + 1 = (x + 1)2,
co pozwoliło na wyznaczenie wszystkich miejsc zerowych każdej z nich.
Gdyby wzór funkcji y = x2 + 2x + 4 można było również zapisać w postaci iloczynu czynników
liniowych, to funkcja ta miałaby miejsca zerowe. Jednak ta funkcja nie ma miejsc zerowych,
co stwierdziliśmy, zapisując ją w postaci kanonicznej y = (x + 1)2
+ 3 i odczytując jej zbiór war-
tości. Zatem jej wzoru nie da się zapisać w postaci iloczynu czynników liniowych.
Przykład 5.Znajdziemy miejsca zerowe funkcji kwadratowej y = x2 + 8x − 9.
Rozwiązanie
• sposób I
Zauważmy, że dla x = 1 otrzymujemy y = 12 + 8 ? 1 − 9 = 0, więc liczba 1 jest miejscem zero-
wym danej funkcji.
Jeśli ta funkcja ma jeszcze inne miejsce zerowe, to jest ono również rozwiązaniem równania
x2 + 8x − 9 = 0.
Korzystając z tego, że 12 + 8 ? 1 − 9 = 0, zapiszemy to równanie w postaci
x2 + 8x − 9 = 12 + 8 ? 1 − 9
i przekształcimy równoważnie
x2 − 12 + 8x − 8 ? 1 − 9 + 9 = 0
(x − 1)(x + 1) + 8(x − 1) = 0
(x − 1)((x + 1) + 8) = 0
(x − 1)(x + 9) = 0.
Wobec tego x − 1 = 0 lub x + 9 = 0, stąd x = 1 lub x = − 9.
Zatem funkcja y = x2 + 8x − 9 ma dwa miejsca zerowe 1 oraz – 9.
• Sposób II
wistej x, dla której ta funkcja przyjmuje wartość 0. Oznacza to, że funkcja y = x2 + 2x + 4
nie ma miejsc zerowych.
Miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Postać iloczynowa funkcji kwadratowej
128
Wzór funkcji y = x2 + 8x − 9 zapisujemy w postaci kanonicznej
y = (x + 4)2
− 25
i przekształcamy równoważnie
y = (x + 4)2
− 52
y = ((x + 4) − 5)((x + 4) + 5)
y = (x − 1)(x + 9).
Funkcję y = x2 + 8x − 9 można zatem zapisać w postaci iloczynu dwóch czynników liniowych
y = (x − 1)(x + 9), więc ma ona dwa miejsca zerowe 1 oraz – 9.
Przykład 6.Pokażemy, że – 1 jest miejscem zerowym funkcji kwadratowej y = 3x2 + 14x + 11 i znajdziemy
drugie miejsce zerowe tej funkcji.
Sprawdzamy, że dla x = − 1 jest y = 3 ? (−1)2
+ 14 ? (−1) + 11 = 3 − 14 + 11 = 0, więc – 1 jest
miejscem zerowym funkcji y = 3x2 + 14x + 11.
Podamy teraz dwa sposoby poszukiwania drugiego miejsca zerowego.
• sposób I
Przekształcamy wzór funkcji
y = 3x2 + 14x + 11 = 3x2 + 3x + 11x + 11
skąd
y = 3x(x + 1) + 11(x + 1)
czyli
y = (x + 1)(3x + 11)
Zatem drugim miejscem zerowym jest − 113 .
• sposób II
Wykorzystamy spostrzeżenie, że gdyby wzór funkcji y = 3x2 + 14x + 11 można było zapisać w
postaci iloczynu dwóch czynników liniowych, to jednym z nich musiałby być czynnik liniowy,
którego miejscem zerowym jest – 1.
Załóżmy, że jest nim czynnik x + 1.
Powinniśmy więc znaleźć takie wartości współczynników a i b, aby dla każdej liczby rzeczywi-
stej x zachodziła ta równość
Miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Postać iloczynowa funkcji kwadratowej
129
y = 3x2 + 14x + 11 = (x + 1)(ax + b).
Ale
(x + 1)(ax + b) = ax2 + ax + bx + b = ax2 + (a + b)x + b
Równość
y = 3x2 + 14x + 11 = ax2 + (a + b)x + b
zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy a = 3 i b = 11.
Wobec tego wzór funkcji kwadratowej y = 3x2 + 14x + 11 można zapisać równoważnie w po-
staci iloczynu dwóch czynników liniowych y = (x + 1)(3x + 11). Stąd wynika, że dana funkcja
ma dwa miejsca zerowe −1 oraz − 113 .
Zauważmy jeszcze, że po wyłączeniu liczby 3 przed nawias można wzór danej funkcji zapisać
jako
y = 3(x + 1)(x +113 ).
Przykład 7.Wykażemy, że funkcja y = 5x2 − 10x + 11 nie ma miejsc zerowych.
Przekształcając wzór funkcji do postaci kanonicznej, otrzymujemy
y = 5x2 − 10x + 11 = 5(x − 1)2
+ 6.
Ponieważ dana funkcja nie przyjmuje wartości mniejszych od 6, więc nie ma miejsc zero-
wych.
Przykład 8.Znajdziemy, o ile istnieją, miejsca zerowe funkcji y = x2 − 8x + 5.
Wzór tej funkcji również zapiszemy w postaci kanonicznej.
Mamy wtedy
y = x2 − 8x + 5 = (x − 4)2
− 11.
Wobec tego funkcja y = x2 − 8x + 5 każdą z wartości większych od –11 przyjmuje dla dwóch
różnych argumentów, ma więc dwa różne miejsca zerowe.
Wyznaczymy te miejsca zerowe, zapisując wzór funkcji w postaci iloczynu dwóch czynników
liniowych. Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.
y = (x − 4)2
− 11
y = (x − 4)2
− √112
Miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Postać iloczynowa funkcji kwadratowej
130
y = (x − 4 + √11)(x − 4 − √11)
Wynika z tego, że funkcja y = x2 − 8x + 5 ma dwa różne miejsca zerowe 4 − √11 oraz 4 + √11.
Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej.
Postać iloczynowa funkcji kwadratowej
Każdą funkcję kwadratową, daną w postaci ogólnej wzorem f(x) = ax2 + bx + c, można zapisać w
postaci kanonicznej f(x) = a(x +b2a )
2− Δ
4a . Stąd mamy f(x) = a((x +b2a )
2− Δ
4a2 ).Wynika z tego, że
• jeżeli wyróżnik jest ujemny, to wyrażenie (x +b2a )
2− Δ
4a2 jest dodatnie, więc w tym przypadku
funkcja f nie ma miejsc zerowych,
• jeżeli Δ = 0, to f(x) = a(x +b2a )
2. Jedynym miejscem zerowym funkcji f jest − b
2a ,
• jeżeli Δ > 0, to wzór funkcji f można przekształcić następująco
f(x) = a((x +b2a )
2− Δ
4a2 ) = a((x +b2a )
2− (√Δ
2a )2
) = a(x +b2a − √Δ
2a )(x +b2a + √Δ
2a )
w tym przypadku funkcja f ma więc dwa różne miejsca zerowe−b + √Δ
2a oraz−b − √Δ
2a .
Istnienie i liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej zależy zatem od znaku jej wyróżnika.
Miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Postać iloczynowa funkcji kwadratowej
131
Twierdzenie: Liczba miejsc zerowych funkcjikwadratowej
Funkcja kwadratowa f określona wzorem f(x) = ax2 + bx + c, (a ≠ 0)• ma dwa różne miejsca zerowe rzeczywiste x1 i x2 wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyróżnik
∆ jest dodatni.
Wówczas wzór funkcji f można zapisać w postaci iloczynowej f(x) = a(x − x1)(x − x2),gdzie x1 =
−b + √Δ2a oraz x2 =
−b − √Δ2a .
• ma dokładnie jedno miejsce zerowe x0 wtedy i tylko wtedy, gdy ∆ = 0. W tym przypad-
ku wzór funkcji f można zapisać w postaci iloczynowej f(x) = a(x − x0)2, gdzie x0 = − b
2a .
• nie ma pierwiastków rzeczywistych wtedy i tylko wtedy, gdy Δ < 0. Wtedy wzoru funkcji
f nie można zapisać w postaci iloczynowej.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Poziom trudności: AZadanie 2.4.1
Aplikacja na epodreczniki.pl
Miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Postać iloczynowa funkcji kwadratowej
132
Poziom trudności: AZadanie 2.4.2Funkcje f, g i h dane są wzorami f(x) = (x − 1)(2x + 2) g(x) = 3(x + 1)(x − 5) h(x) = − 2(x + 4)(x − 3)Wówczas
a) funkcje f i g mają wspólne miejsce zerowe
b) – 2 jest miejscem zerowym funkcji h
c) miejscami zerowymi funkcji f są 1 oraz – 2
d) miejscami zerowymi funkcji g są 1 oraz – 5
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.4.3Na każdym z poniższych rysunków przedstawiony jest fragment wykresu funkcji kwadratowej,
przy czym na jednym z nich jest wykres funkcji f, na innym – wykres funkcji g, a na jeszcze
innym – wykres funkcji h. Funkcje te określone są wzorami: f(x) = (x + 1)(x − 3),g(x) = 2(x + 1)(x + 3), h(x) = − 1
2 (x + 3)(x − 1). Na którym rysunku jest wykres funkcji f, na którym
wykres funkcji g, a na którym – wykres funkcji h?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.4.4Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
a) Funkcję kwadratową określoną wzorem y = − x2 + 3x + 10 można zapisać w postaci
iloczynowej wzorem y = − (x + 2)(x − 5).
b) Funkcji kwadratowej określonej wzorem y = − x2 − 2x nie da się zapisać w postaci
iloczynowej.
c) Funkcję kwadratową określoną wzorem y = 2x2 + 3x − 5 można zapisać w postaci
iloczynowej wzorem y = 2(x + 1)(x − 52 ).
Miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Postać iloczynowa funkcji kwadratowej
133
d) Funkcję kwadratową określoną wzorem y = x2 − 7x + 6 można zapisać w postaci
iloczynowej wzorem y = (x − 1)(x − 6).
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.4.5Na każdym z poniższych rysunków przedstawiony jest fragment wykresu funkcji kwadratowej
a)
b)
Miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Postać iloczynowa funkcji kwadratowej
134
a) na jednym z tych rysunków przedstawiony jest wykres funkcji k
b) żaden z tych rysunków nie przedstawia wykresu funkcji h
c) wykres funkcji g przedstawiony jest na rysunku c)
d) wykres funkcji f przedstawiony jest na rysunku d)
(Pokaż odpowiedź)
c)
Rozpatrzmy funkcje określone wzorami: f(x) = x2 − 1, g(x) = x2 + 3x, h(x) = x2 + 4x + 4,
k(x) = − x2 + 2x + 3. Wówczas
d)
Miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Postać iloczynowa funkcji kwadratowej
135
Poziom trudności: AZadanie 2.4.6Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
a) Funkcja kwadratowa y = − x2 + 3 nie ma miejsc zerowych.
b) Funkcja kwadratowa y = 2x2 + x ma dokładnie jedno miejsce zerowe.
c) Funkcja kwadratowa y = x2 − 6x + 9 ma dokładnie jedno miejsce zerowe.
d) Funkcja kwadratowa y = x2 − 10 ma dwa różne miejsca zerowe.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.4.7Funkcja kwadratowa f określona jest wzorem f(x) = x2 + 4x + c. Wówczas
a) jeśli jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest – 1, to c = 3
b) jeśli jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest 1, to c = 5
c) dla c = 5 funkcja f ma dokładnie jedno miejsce zerowe
d) dla c = 0 funkcja f ma dwa różne miejsca zerowe
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.4.8
Aplikacja na epodreczniki.pl
Poziom trudności: AZadanie 2.4.9Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
a) Iloczyn miejsc zerowych funkcji kwadratowej y = 3x2 − 11x + 3 jest równy 1.
b) Każde z miejsc zerowych funkcji kwadratowej y = x2 − 2x − 10 należy do przedziału
? −2, 4 ? .
c) Jedno z miejsc zerowych funkcji kwadratowej y = 2x2 + 9x + 7 jest liczbą dodatnią.
d) Funkcja kwadratowa y = x2 − 12x + 11 ma dwa różne miejsca zerowe, które są liczbami
całkowitymi.
(Pokaż odpowiedź)
Miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Postać iloczynowa funkcji kwadratowej
136
Poziom trudności: AZadanie 2.4.10Miejsca zerowe funkcji kwadratowej y = 2(x + 3)(x − 5) to
a) x1 = 3, x2 = − 5
b) x1 = 3, x2 = 5
c) x1 = − 3, x2 = 5
d) x1 = − 3, x2 = − 5
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.4.11Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f.
Funkcja f jest określona wzorem
a) f(x) = − (x − 2)(x + 1)
b) f(x) = − (x − 1)(x + 2)
c) f(x) = (x − 2)(x + 1)
d) f(x) = (x − 1)(x + 2)
(Pokaż odpowiedź)
Miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Postać iloczynowa funkcji kwadratowej
137
Poziom trudności: AZadanie 2.4.12Wskaż wzór funkcji kwadratowej, której miejsca zerowe są liczbami o przeciwnych znakach.
a) y = − 5(x + 2)(x + 4)
b) y = − 4(x + 1)(x − 1)
c) y = 3(x + 1)(x + 2)
d) y = 2(x − 3)(x − 4)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.4.13
Funkcje liniowe f i g są określone wzorami f(x) =12x − 1 oraz g(x) = x + 1. Wskaż rysunek, na któ-
rym przedstawiony jest wykres funkcji y = f(x) ? g(x).
a)
Miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Postać iloczynowa funkcji kwadratowej
138
b)
c)
Miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Postać iloczynowa funkcji kwadratowej
139
d)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.4.14Miejsca zerowe funkcji kwadratowej f określonej wzorem f(x) = − x2 − 6x − 5 to
a) x1 = 1, x2 = − 5
b) x1 = − 1, x2 = 5
c) x1 = − 1, x2 = − 5
d) x1 = 1, x2 = 5
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.4.15
Wskaż wzór funkcji kwadratowej, której miejscami zerowymi są liczby – 2 oraz12 .
a) y = 2x2 + 3x − 2
b) y = x2 +12x − 3
c) y =12x2 + x
d) y = x2 + 3x + 2
(Pokaż odpowiedź)
Miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Postać iloczynowa funkcji kwadratowej
140
Poziom trudności: AZadanie 2.4.16Do wykresu funkcji kwadratowej y = 3x2 − 28x − 31 należy punkt
a) (3, 0)
b) (−2, 0)
c) (−1, 0)
d) (0, 0)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.4.17Jednym z miejsc zerowych funkcji f określonej wzorem f(x) = − x2 + bx + 10 jest liczba −2. Wów-
czas liczba b jest równa
a) – 7
b) – 3
c) 7
d) 3
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.4.18Funkcja f określona wzorem f(x) = − x2 + 4x + c nie ma miejsc zerowych wtedy i tylko wtedy, gdy
a) c < − 4
b) c = − 4
c) c = 4
d) c > 4
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.4.19Wyznacz miejsca zerowe funkcji.
y = − 6x(x + 2)a)
Miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Postać iloczynowa funkcji kwadratowej
141
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.4.20Podana funkcja ma dwa miejsca zerowe x1, x2. Zapisz jej wzór w postaci iloczynowej
y = a(x − x1)(x − x2).
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.4.21Wykaż, że podana funkcja ma dokładnie jedno miejsce zerowe. Wyznacz to miejsce zerowe.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.4.22Na każdym z poniższych rysunków przedstawiony jest fragment wykresu funkcji kwadratowej
mającej dwa różne miejsca zerowe x1, x2. Zapisz wzór każdej z tych funkcji w postaci iloczyno-
wej y = a(x − x1)(x − x2).
y = (7 − x)(x + 11)b)
y = (3x + 8)(4x − 1)c)
y = (15 − 5x)(16x + 10)d)
y = 2x2 − 22xa)
y = − 3x2 + 48b)
y = 9x2 − 49c)
y = 25x2 + 15xd)
y = x2 + 4x + 4a)
y = − x2 + 2x − 1b)
y = 3x2 + 30x + 75c)
y = − 2x2 + 12x − 18d)
Miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Postać iloczynowa funkcji kwadratowej
142
a)
b)
Miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Postać iloczynowa funkcji kwadratowej
143
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.4.23Wykaż, że funkcja nie ma miejsc zerowych.
c)
d)
y = x2 + x + 2a)
Miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Postać iloczynowa funkcji kwadratowej
144
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.4.24Wyznacz miejsca zerowe funkcji.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.4.25
Funkcja f określona wzoremf(x) = 6x2 + x − 1 ma dwa różne miejsca zerowe. Wykaż, że żadne z
nich nie jest liczbą całkowitą.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.4.26
Liczby x1 oraz x2 są miejscami zerowymi funkcji y = 24x2 − 2x − 15, przy czym x1 < x2. Oblicz
4x1 + 6x2.
(Pokaż odpowiedź)
y = x2 − 3x + 3b)
y = 2x2 − x + 5c)
y = − x2 + 5x − 8d)
y = 2x2 + 3x − 5a)
y = 4x2 − 15x − 19b)
y = − 3x2 − 14x − 8c)
y = − 5x2 + 11x − 2d)
Miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Postać iloczynowa funkcji kwadratowej
145
Poziom trudności: AZadanie 2.4.27Wyznacz miejsca zerowe funkcji.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.4.28
Funkcja f określona wzorem f(x) = 2x2 + 4x − 7 ma dwa różne miejsca zerowe x1, x2. Oblicz su-
mę x1 + x2 oraz iloczyn x1x2.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.4.29
Funkcja kwadratowa f(x) = 3x2 − 6x − 1 ma dwa różne miejsca zerowe. Wykaż, że każde z nich
należy do przedziału (−1, 3).(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.4.30
Wykaż, że niezależnie od wartości współczynnika b funkcja kwadratowa f(x) = x2 + bx + b − 1 ma
miejsce zerowe równe – 1. Dla jakiej wartości b jest to jedyne miejsce zerowe tej funkcji?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.4.31
Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej f(x) = − 10x2 + bx + 1 jest liczba − 12 . Oblicz b oraz
drugie miejsce zerowe funkcji f.
(Pokaż odpowiedź)
y = x2 − 4x − 6a)
y = x2 + 2x − 5b)
y = − x2 + 6x + 11c)
y = − x2 − 8x + 7d)
Miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Postać iloczynowa funkcji kwadratowej
146
Poziom trudności: AZadanie 2.4.32
Funkcja g(x) = (x − 3)(x + 4) ma te same miejsca zerowe co funkcja f określona wzorem
f(x) = − 2x2 + bx + c. Wyznacz b i c.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.4.33
Funkcja f określona jest wzorem f(x) = x2 + 6x + c. Ustal liczbę miejsc zerowych funkcji f w zależ-
ności od wartości współczynnika c.
(Pokaż odpowiedź)
Miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Postać iloczynowa funkcji kwadratowej
147
2.5. Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej napodstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jejwykresiePrzypomnijmy, że każdą funkcję kwadratową f określoną wzorem
f(x) = ax2 + bx + c,
gdzie a, b oraz c to liczby rzeczywiste, przy czym liczba a jest różna od zera, możemy zapisać w
postaci kanonicznej
f(x) = a(x − p)2
+ q,
gdzie p =−b2a i q = −Δ
4a .
Ponadto każdą taką funkcję kwadratową, której wyróżnik jest nieujemny, możemy też zapisać w
postaci iloczynowej
f(x) = a(x − x1)(x − x2),
gdzie x1 =−b − √Δ
2a i x2 =−b + √Δ
2a to miejsca zerowe tej funkcji.
W poniższych przykładach pokażemy, w jaki sposób można wyznaczyć wzór funkcji kwadratowej
na podstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie.
Przykład 1.Funkcja kwadratowa f(x) = x2 + 4x + c osiąga wartość najmniejszą równą – 7. Wyznaczymy
wartość współczynnika c.
Rozwiązanie
Z treści zadania wynika, że współrzędna q wierzchołka wykresu funkcji f jest równa – 7. Mo-
żemy z tego skorzystać w jeden z następujących sposobów.
• sposób I
Obliczamy wyróżnik funkcji f
Δ = 42 − 4 ? 1 ? c = 16 − 4c
Podstawiamy do wzoru q = −Δ4a .
q = −Δ4a =
−(16 − 4c)4 ? 1 = − 7.
Stąd 4c − 16 = − 28, 4c = − 12, c = − 3.
• sposób II
Ze wzoru odczytujemy pierwszą współrzędną wierzchołka wykresu funkcji p =−4
2 ? 1 = − 2.
Wobec tego
Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie
148
f(−2) = (−2)2
+ 4 ? (−2) + c = − 7
stąd c = − 3.
• sposób III
Ze wzoru odczytujemy pierwszą współrzędną wierzchołka: p =−4
2 ? 1 = − 2 i f(−2) = − 7. Wobec
tego funkcję f można zapisać wzorem w postaci kanonicznej f(x) = (x + 2)2
− 7, stąd
f(x) = x2 + 4x + 4 − 7 = x2 + 4x − 3,
czyli c = − 3.
• sposób IV
Przekształcamy wzór funkcji f do postaci kanonicznej
f(x) = x2 + 4x + c = (x2 + 4x + 4) − 4 + c = (x + 2)2
+ c − 4.
Zatem funkcja f osiąga wartość najmniejszą c − 4 dla x = − 2. Ponieważ f(−2) = − 7, to
c − 4 = − 7, czyli c = − 3.
Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie
149
Film na epodreczniki.pl
Przykład 2.Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej f(x) = − 3x2 + bx − 14 jest 7. Wyznaczymy war-
tość współczynnika b.
Rozwiązanie
• sposób I
Z treści zadania wynika, że
f(7) = − 3 ? 72 + b ? 7 − 14 = 0.
Zatem −147 + 7b − 14 = 0, stąd 7b = 161, czyli b = 23.
• sposób II
Z treści zadania wynika, że funkcję f(x) = − 3x2 + bx − 14 można zapisać w postaci iloczynowej
f(x) = − 3(x − 7)(x − x2),
gdzie x2 to drugie miejsce zerowe funkcji f.
Postać iloczynową przekształcamy do postaci ogólnej, stąd
f(x) = − 3(x2 − 7x − x2x + 7x2) = − 3x2 + (21 + 3x2)x − 21x2.
Porównując współczynniki, stwierdzamy, że −21x2 = − 14 oraz b = 21 + 3x2. Zatem drugim
pierwiastkiem jest x2 =23 , więc b = 21 + 3 ?
23 = 23.
Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie
150
• sposób III
Z treści zadania wynika, że funkcję f(x) = − 3x2 + bx − 14 można zapisać w postaci iloczynowej
f(x) = − 3(x − 7)(x − x2),
gdzie x2 to drugie miejsce zerowe funkcji f.
Jedynym wyrazem niezależnym od x w tym wzorze jest −3 ? (−7) ? x2, zatem
−3 ? (−7) ? x2 = − 14, a stąd
x2 =23 . Liczba
23 jest więc miejscem zerowym funkcji f, zatem
f(23 ) = − 3 ? (2
3 )2
+ b ?23 − 14 = 0.
Wobec tego − 43 +
23b − 14 = 0,
23b = 14
23 ,
23b =
463 , czyli b = 23.
Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie
151
Przykład 3.Wyznaczymy współrzędne wierzchołka paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej
f(x) = − (x + 1)(x − 3).
Rozwiązanie
• sposób I
Przekształcamy wzór funkcji f do postaci ogólnej
f(x) = − (x + 1)(x − 3) = − (x2 + x − 3x − 3) = − x2 + 2x + 3.
Wobec tego współrzędne wierzchołka tej paraboli to: p =−2
2 ? (−1)= 1, q = f(1) = − 12 + 2 + 3 = 4
. Zatem wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (1, 4).
• sposób II
Ponieważ f(x) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = − 1 lub x = 3, to funkcja f ma dwa miejsca zero-
we – 1 oraz 3. Oś symetrii paraboli, która jest wykresem funkcji f to jednocześnie symetral-
na odcinka, którego końcami są punkty (−1, 0) i (3, 0). Korzystając ze wzoru na współrzęd-
ne środka odcinka, stwierdzamy, że ta symetralna przechodzi przez punkt o współrzędnych
(−1 + 32 , 0), więc jest to prosta o równaniu x = 1. Stąd p = 1oraz q = f(1) = − (1 + 1)(1 − 3) = 4.
Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (1, 4).
Aplikacja na epodreczniki.pl
Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie
152
Twierdzenie: Oś symetrii funkcji kwadratowej
Jeżeli funkcja kwadratowa
f(x) = ax2 + bx + c
ma dwa miejsca zerowe x1 i x2, to oś symetrii paraboli będącej wykresem funkcji f ma rów-
nanie
x =x1 + x2
2
Dowód
Jak zauważyliśmy, oś symetrii paraboli, która jest wykresem funkcji f, to jednocześnie syme-
tralna odcinka o końcach w punktach (x1, 0) i (x2, 0). Korzystając ze wzoru na współrzęd-
ne środka odcinka, stwierdzamy, że ta symetralna przechodzi przez punkt o współrzędnych
(x1 + x2
2 , 0). Dla dowodu wystarczy więc pokazać, że
x1 + x22 = p.
Ponieważ
x1 + x2 =−b − √Δ + (−b + √Δ)
2a =−ba ,
więc
x1 + x22 =
−b2a = p.
Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie
153
Przykład 4.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Przykład 5.Wykresem funkcji kwadratowej f określonej wzorem f(x) = − 3x2 + bx + c jest parabola o
wierzchołku W = (2, 7). Wyznaczymy wartość współczynnika b i współczynnika c.
Rozwiązanie
• sposób I
Z treści zadania wynika, że funkcję f można zapisać w postaci kanonicznej
f(x) = − 3(x − 2)2
+ 7. Zatem
f(x) = − 3(x2 − 4x + 4) + 7 = − 3x2 + 12x − 5,
czyli współczynniki mają wartości b = 12, c = − 5.
• sposób II
Korzystając ze wzorów na współrzędne wierzchołka, otrzymujemy układ równań
{−b2a = 2
−Δ4a = 7.
Uwzględniając w drugim równaniu Δ = b2 − 4acoraz wstawiając a = − 3, otrzymujemy
Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie
154
{−b
2 ? {−3= 2
−{b2 − 4 ? ( − 3c)4 ? {−3
= 7
stąd
{−b = − 12
−{b2 + 12c = − 84
{ b = 12
122 + 12c = 84
{ b = 12
12c = 84 − 144
Mamy zatem
{ b = 12
c = − 5
Przykład 6.Funkcja kwadratowa f(x) = 2x2 + bx + c ma dwa miejsca zerowe: x1 = − 5 i x2 = 4. Wyznaczymy
wartość współczynnika b i współczynnika c.
Rozwiązanie.
• sposób I
Z treści zadania wynika, że funkcję f można zapisać w postaci iloczynowej.
f(x) = 2(x + 5)(x − 4)
Zatem
f(x) = 2(x2 + 5x − 4x − 20) = 2x2 + 2x − 40.
Współczynniki mają wartości: b = 2, c = − 40.
Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie
155
• sposób II
Ponieważ miejscami zerowymi funkcji f są x1 = − 5 i x2 = 4, więc f(−5) = 0 oraz f(4) = 0. Aby
wyznaczyć wartości współczynników, rozwiązujemy układ równań.
{ 2 ? 42 + b ? 4 + c = 0
2 ? {−52
+ b ? {−5 + c = 0
{ 32 + 4b + c = 0
50 − 5b + c = 0
{ 4b + c = − 32
−5b + c = − 50
Otrzymany układ równań możemy rozwiązać dowolną metodą, np. podstawiania lub prze-
ciwnych współczynników.
Wybierzmy metodę podstawiania
{ c = − 4b − 32
−5b − 4b − 32 = − 50
{ c = − 4b − 32
−9b − 32 = − 50
{ c = − 4b − 32
−9b = − 18
{ c = − 4b − 32
b = 2
{ b = 2
c = − 4 ? 2 − 32
Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie
156
{ b = 2
c = − 40
Rozwiązanie układu
{ 4b + c = − 32
−5b + c = − 50
metodą przeciwnych współczynników (lub każdą inną, prowadzącą do wyznaczenia wartości
każdego ze współczynników) pozostawiamy jako osobne ćwiczenie.
• sposób III
Ponieważ miejscami zerowymi funkcji f są x = − 5 oraz x = 4, więc osią symetrii wykresu funk-
cji f jest prosta x =−5 + 4
2 , czyli x = − 12 . Możemy więc zapisać postać kanoniczną funkcji
f(x) = 2(x +12 )
2+ q.
Wykorzystując jeszcze raz informację o miejscach zerowych, otrzymamy, że np. f(4) = 0, stąd
2 ? (4 +12 )
2+ q = 0
q = − 2 ? (92 )
2,
czyli
q = − 812 .
Wobec tego
f(x) = 2(x +12 )
2− 81
2 = 2(x2 + x +14 ) − 81
2 = 2x2 + 2x +12 − 81
2 = 2x2 + 2x − 40.
Zatem współczynniki mają wartości b = 2, c = − 40.
Uwaga. Zapisując wzór funkcji f w postaci f(x) = 2(x +12 )
2+ q i wykorzystując informację o dru-
gim miejscu zerowym funkcji f : f(−5) = 0, doprowadzimy do tej samej zależności, co otrzyma-
na powyżej q = − 2 ? (− 92 )
2= − 2 ∙ (9
2 )2. Fakt ten wynika stąd, że prosta x = − 1
2 jest symetral-
ną odcinka o końcach w punktach (−5, 0) i (4, 0).
Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie
157
Przykład 7.Funkcja kwadratowa f(x) = ax2 + bx + c osiąga największą wartość równą 4 dla x = − 2, a na jej
wykresie leży punkt A = (0, 0). Obliczymy wartości współczynników a, b i c.
Rozwiązanie
• sposób I
Z treści zadania wynika, że punkt W = (−2, 4) jest wierzchołkiem paraboli będącej wykresem
funkcji f. Wobec tego wzór funkcji f możemy zapisać w postaci f(x) = a(x + 2)2
+ 4. Wiemy po-
nadto, że punkt A leży na wykresie funkcji f, zatem f(0) = 0. Łącząc oba uzyskane wnioski,
otrzymujemy
f(0) = a(0 + 2)2
+ 4 = 0,
stąd 4a = − 4, czyli a = − 1. Stąd wynika wzór funkcji f
f(x) = − 1(x + 2)2
+ 4 = − (x2 + 4x + 4) + 4 = − x2 − 4x.
Współczynniki mają zatem wartości: a = − 1, b = − 4, c = 0.
• sposób II
Z treści zadania wynika, że jednym z miejsc zerowych funkcji f jest 0, a osią symetrii paraboli
będącej wykresem funkcji f jest prosta o równaniu x = − 2. Wynika stąd, że −4 jest drugim
miejscem zerowym funkcji f. Zatem wzór funkcji f możemy zapisać w postaci f(x) = ax(x + 4). Wiemy ponadto, że punkt (−2, 4) leży na wykresie funkcji f, więc f(−2) = 4. Łącząc oba uzy-
skane wnioski, otrzymujemy
f(−2) = a(−2)(−2 + 4) = 4,
stąd −4a = 4, czyli a = − 1. Wobec tego wzór funkcji f to
f(x) = − 1x(x + 4) = − (x2 + 4x) = − x2 − 4x.
Współczynniki mają więc wartości: a = − 1, b = − 4, c = 0.
• sposób III
Z treści zadania odczytujemy, że punkt f(x) = 0 oraz punkt W = (−2, 4) jest wierzchołkiem pa-
raboli będącej wykresem funkcji f. Korzystając ze wzorów na współrzędne wierzchołka, otrzy-
mujemy układ równań
{a ? 02 + b ? 0 + c = 0
−b2a = − 2
−Δ4a = 4
Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie
158
Przekształcamy ten układ, uwzględniając w drugim równaniu Δ = b2 − 4ac
{c = 0
−b = − 4a
−{b2 − 4ac = 16a
{c = 0
b = 4a
b2 = − 16a
Stąd wniosek, że b2 = (4a)2
= − 16a, więc 16a2 = − 16a, czyli a2 + a = 0, stąd a(a + 1) = 0. Po-
nieważ funkcja f jest kwadratowa, więc a ≠ 0. Zatem a = − 1, stąd b = 4 ? (−1) = − 4. Oznacza
to, że a = − 1, b = − 4, c = 0.
Poziom trudności: AZadanie 2.5.1Ustal współrzędne wierzchołka W paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej
f(x) = − 14 (x − 5)(x + 7).
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.5.2Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie rzeczywistej x sumę tej liczby i kwadratu liczby o 2
od niej większej. Ustal zbiór wartości tej funkcji i znajdź jej miejsca zerowe.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.5.3
Do wykresu funkcji kwadratowej f(x) = x2 + 5x + c należy punkt A = (−3, 0). Wyznacz wartość
współczynnika c.
(Pokaż odpowiedź)
Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie
159
Poziom trudności: AZadanie 2.5.4
Prosta x = − 4 jest osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji f(x) = − x2 + bx. Wyznacz
wartość współczynnika b.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.5.5
Zbiorem wartości funkcji kwadratowej f(x) = 5x2 − 10x + c jest ? −9, + ∞). Ustal wartość współ-
czynnika c.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.5.6
Funkcja kwadratowa f określona jest wzorem f(x) = x2 + bx + c. Wyznacz wartości każdego ze
współczynników b oraz c, wiedząc, że wykres funkcji f ma z osią Ox tylko jeden punkt wspólny
A = ( – 3, 0).(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.5.7
Funkcja kwadratowa g określona jest wzorem g(x) = − x2 + bx + c. Funkcja ta osiąga wartość
największą równą 17 dla x = − 5. Wyznacz wartości współczynników b i c.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.5.8
Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej g(x) = − 15x2 + bx + c są − 23 i
45 . Wyznacz wartość każ-
dego ze współczynników b, c.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.5.9
Wykresem funkcji kwadratowej określonej wzorem f(x) = − 4x2 + bx + c jest parabola o wierz-
chołku W = (32 , 8). Wyznacz wartość każdego ze współczynników b, c.
(Pokaż odpowiedź)
Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie
160
Poziom trudności: AZadanie 2.5.10W układzie współrzędnych narysowano część paraboli, która jest wykresem funkcji kwadrato-
wej f(x) = ax2 + bx + c. Wyznacz wartość każdego ze współczynników a, b i c.
(Pokaż odpowiedź)
Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie
161
Poziom trudności: AZadanie 2.5.11W układzie współrzędnych narysowano część paraboli, która jest wykresem funkcji kwadrato-
wej g(x) = ax2 + bx + c. Ustal wartość każdego ze współczynników a, b i c.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.5.12
Funkcja kwadratowa g(x) = ax2 + bx + c ma dwa miejsca zerowe x1 = − 6 oraz x2 = 10. Najmniej-
szą wartością tej funkcji jest – 16. Ustal wartość każdego ze współczynników a, b i c.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.5.13
Wykresem funkcji kwadratowej f(x) = ax2 + bx + c jest parabola o wierzchołku w punkcie
A = (1, 9). Jednym z punktów przecięcia tej paraboli z osią Ox jest punkt B = (− 12 , 0). Wyznacz
wartość każdego ze współczynników a, b i c.
(Pokaż odpowiedź)
Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie
162
Poziom trudności: AZadanie 2.5.14
Funkcja kwadratowa g(x) = ax2 + bx + c osiąga najmniejszą wartość równą – 5 dla x = 3, a jej
wykres przecina oś Oy w punkcie A = (0, − 2). Oblicz wartość każdego ze współczynników a, b
i c.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.5.15
Funkcja kwadratowa f(x) = ax2 + bx + c ma dwa miejsca zerowe x1 = − 25 i x2 = 4, a jej wykres ma
dokładnie jeden punkt wspólny z prostą o równaniu y = − 121. Wyznacz wartość każdego ze
współczynników a, b i c.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.5.16
Wykresem funkcji kwadratowej g(x) = ax2 + bx + c jest parabola o wierzchołku w punkcie
A = (−3, 5), do której należy też punkt B = (1, − 27). Wyznacz wartość każdego ze współczyn-
ników a, b i c.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.5.17
Wykresem funkcji kwadratowej g(x) = ax2 + bx + c jest parabola, na której leżą punkty
A = (−1, 5) i B = (2, − 1). Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu x = 1. Wyznacz war-
tość każdego ze współczynników a, b i c.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.5.18
Funkcja kwadratowa f określona jest wzorem f(x) = ax2 + bx + c. Maksymalnym przedziałem, w
którym funkcja f maleje, jest ? −3, + ∞). Parabola będąca wykresem funkcji f ma dokładnie
jeden punkt wspólny z prostą o równaniu y = 1. Ponadto na wykresie tej funkcji leży punkt
P = (−1, − 1). Ustal wartość każdego ze współczynników a, b i c.
(Pokaż odpowiedź)
Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie
163
Poziom trudności: BZadanie 2.5.19
Punkty A = (−3, 5) i B = (−1, 1) leżą na paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej
f(x) = ax2 + bx + c. Wykaż, że punkt C = (1, − 3) nie leży na tej paraboli.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 2.5.20
Wykresem funkcji kwadratowej f(x) = ax2 + bx + c jest parabola , która ma dokładnie jeden
punkt wspólny z osią Ox. Na tej paraboli leżą punkty A = (1, – 9) oraz punkt B = ( – 3, – 1).Wyznacz wartość każdego ze współczynników a, b i c. Rozpatrz wszystkie przypadki.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.5.21Wyznacz wszystkie wartości b, dla których wierzchołek paraboli, będącej wykresem funkcji
f(x) = x2 − 2bx + b + 25 leży na prostej y = x.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.5.22Wyznacz wszystkie wartości c, dla których miejscem zerowym funkcji f określonej wzorem
f(x) = x2 − 2cx + c + 2 jest liczba x = c.
(Pokaż odpowiedź)
Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie
164
2.6. Równanie kwadratowe
Przykład 1.W prostokącie o polu równym 56 jeden z boków jest o 10 dłuższy od drugiego. Obliczymy
obwód tego prostokąta.
Rozwiązanie
Oznaczmy długość krótszego boku tego prostokąta przez x, gdzie x > 0. Wtedy drugi bok te-
go prostokąta ma długość x + 10, a pole tego prostokąta jest równe x(x + 10). Wiadomo, że
pole tego prostokąta jest równe 56. Otrzymujemy więc równanie
x(x + 10) = 56.
Przekształcamy to równanie równoważnie
x2 + 10x = 56
x2 + 10x − 56 = 0.
Szukamy zatem miejsc zerowych funkcji kwadratowej f(x) = x2 + 10x − 56. Obliczamy wyróż-
nik tej funkcji Δ = 102 − 4 ? 1 ? (−56) = 324. Wyróżnik jest dodatni, więc funkcja ta ma dwa
miejsca zerowe
x1 =−10 − √324
2 ? 1 =−10 − 18
2 = − 14
oraz
x2 =−10 + √324
2 ? 1 =−10 + 18
2 = 4.
Warunki zadania spełnia jedynie x = 4. Długość drugiego boku tego prostokąta jest równa
x + 10 = 14, a obwód prostokąta jest równy 2 ? (4 + 14) = 36.
Uwaga. Można od razu zauważyć, że 4 ? (4 + 10) = 56, wobec tego liczba 4 jest rozwiązaniem
równania x(x + 10) = 56. Jest to więc miejsce zerowe funkcji kwadratowej f(x) = x2 + 10x − 56.
Wzór tej funkcji można zapisać w postaci iloczynowej, gdzie jednym z czynników jest x − 4
f(x) = x2 + 10x − 56 = x2 − 4x + 14x − 56 = x(x − 4) + 14(x − 4) = (x − 4)(x + 14).
Przykład 2.W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość 8, a jedna z przyprostokątnych
jest o 2 krótsza od drugiej. Wykażemy, że pole tego trójkąta jest równe 15.
Rozwiązanie
Oznaczmy długość krótszej przyprostokątnej tego trójkąta przez x, gdzie x > 0. Wtedy druga
przyprostokątna ma długość x + 2. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy rów-
nanie
x2 + (x + 2)2
= 82.
Równanie kwadratowe
165
Przekształcamy to równanie równoważnie
x2 + x2 + 4x + 4 = 64
2x2 + 4x − 60 = 0
x2 + 2x − 30 = 0.
Szukamy zatem dodatnich miejsc zerowych funkcji kwadratowej f(x) = x2 + 2x − 30. Oblicza-
my wyróżnik tej funkcji Δ = 22 − 4 ? 1 ? (−30) = 124. Ponieważ ∆ > 0, więc funkcja ta ma dwa
miejsca zerowe
x1 =−2 − √124
2 ? 1 =−2 − 2√31
2 = − 1 − √31
x2 =−2 + √124
2 ? 1 =−2 + 2√31
2 = − 1 + √31.
Warunki zadania spełnia jedynie x = √31 − 1. Wobec tego przyprostokątne tego trójkąta mają
długości √31 − 1 oraz √31 + 1, a jego pole jest równe12 ? (√31 − 1) ? (√31 + 1) =
12 ? (√312 − 12) =
12 ? 30 = 15, co należało wykazać.
Przykład 3.Wyznaczymy współrzędne punktów, w których prosta o równaniu y = 2x + 9 przecina para-
bolę o równaniu y = x2 + 1.
Rozwiązanie
Ponieważ współrzędne szukanych punktów przecięcia spełniają każde z równań y = 2x + 9
oraz y = x2 + 1, więc x2 + 1 = 2x + 9, stąd x2 − 2x − 8 = 0.
Szukamy zatem miejsc zerowych funkcji kwadratowej y = x2 − 2x − 8. Obliczamy wyróżnik tej
funkcji Δ = (−2)2
− 4 ? 1 ? (−8) = 36. Funkcja ta ma więc dwa miejsca zerowe
x1 =2 − √36
2 ? 1 =2 − 6
2 = − 2 oraz x2 =2 + √36
2 ? 1 =2 + 6
2 = 4.
Gdy x = − 2, to y = 2(−2) + 9 = 5, a gdy x = 4, to y = 2 ? 4 + 9 = 17. Wobec tego prosta o równa-
niu y = 2x + 9 przecina parabolę o równaniu y = x2 + 1 w dwóch punktach: jeden ma współ-
rzędne (−2, 5), a drugi ma współrzędne (4, 17).
Równanie kwadratowe. Liczba rozwiązań równania
kwadratowego
W przykładach rozwiązanie zadania sprowadzało się do znalezienia rozwiązań równania z niewia-
domą x, które przekształcaliśmy do postaci
Równanie kwadratowe
166
ax2 + bx + c = 0, gdzie a ≠ 0.
Każde równanie takiego typu nazywamy równaniem kwadratowym z niewiadomą x.
Ponieważ rozwiązania takiego równania to miejsca zerowe funkcji f(x) = ax2 + bx + c, więc korzy-
stając z omówionych wcześniej własności funkcji kwadratowej możemy podać algorytm, pozwala-
jący ustalić istnienie i liczbę rozwiązań równania kwadratowego w zależności od wartości wyróż-
nika Δ = b2 − 4ac.
Twierdzenie: Liczba rozwiązań równaniakwadratowego
Równanie kwadratowe
ax2 + bx + c = 0
• nie ma rozwiązań rzeczywistych wtedy i tylko wtedy, gdy ∆ < 0,
• ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste x0 = − b2a wtedy i tylko wtedy, gdy ∆ = 0,
• ma dwa (różne) rozwiązania rzeczywiste x1 =−b − √Δ
2a oraz x2 =−b + √Δ
2a wtedy i tylko wte-
dy, gdy ∆ > 0.
Warto pamiętać, że przy rozwiązywaniu równań kwadratowych nie zawsze wskazane jest auto-
matyczne stosowanie powyższych wzorów. Bardzo przydatne jest na przykład spostrzeżenie, że
iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników tego iloczynu jest
równy zero.
Pokażemy na kilku przykładach, jak można rozwiązać równanie kwadratowe.
Przykład 4.Rozwiążemy równanie.
(2x + 1)(5x − 3) = 0
Można przekształcić to równanie do postaci 10x2 − x − 3 = 0 i wyznaczyć jego rozwiąza-
nia za pomocą wzorów, ale jest to zupełnie niepotrzebne. Wystarczy przecież zauwa-
żyć, że (2x + 1)(5x − 3) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy 2x + 1 = 0 lub 5x − 3 = 0, stąd x = − 12
lub x =35 .
a)
x2 + 16 = 0
Zauważamy, że lewa strona równania jest sumą liczby nieujemnej x2 oraz liczby 16, a
więc jest dodatnia. Zatem równanie x2 + 16 = 0 nie ma rozwiązań rzeczywistych.
b)
Równanie kwadratowe
167
(4x + 7)2
= 112
(4x + 7)2
− 112 = 0
(4x + 7 − 11)(4x + 7 + 11) = 0 (4x − 4)(4x + 18) = 0stąd x = 1 lub x = − 92 .
Przykład 5.Rozwiążemy równanie x2 + 10x − 11 = 0
• sposób I
Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego zapisanego po lewej stronie równania:
Δ = 102 − 4 ? 1 ? (−11) = 144. Ponieważ Δ > 0, więc równanie ma dwa rozwiązania
x1 =−10 − √144
2 ? 1 = − 11 oraz x2 =−10 + √144
2 ? 1 = 1.
• sposób II
Można zauważyć, że 1 jest rozwiązaniem danego równania, gdyż 12 + 10 ? 1 − 11 = 0.
Zatem trójmian x2 + 10x − 11 możemy zapisać w postaci iloczynowej, gdzie jednym z czynni-
ków jest x − 1:
x2 + 10x − 11 = x2 − x + 11x − 11 = x(x − 1) + 11(x − 1) = (x − 1)(x + 11).Wobec tego równanie ma dwa rozwiązania x1 = 1 oraz x2 = − 11.
Przykład 6.Rozwiążemy równanie 2x2 + 9x + 7 = 0
• sposób I
Obliczamy wyróżnik trójmianu 2x2 + 9x + 7
Δ = 92 − 4 ? 2 ? 7 = 25.
Ponieważ Δ > 0, więc równanie ma dwa rozwiązania
x1 =−9 − √25
2 ? 2 = − 72 oraz x2 =
−9 + √252 ? 2 = − 1.
• sposób II
(4x + 7)2
= 112
Aby wyznaczyć wszystkie rozwiązania, przekształcimy równanie, korzystając ze wzoru
na różnicę kwadratów
c)
6x2 = 19x
x(6x − 19) = 0 Przekształcając to równanie do postaci x(6x + 19) = 0, stwierdzamy, że
ma ono dwa rozwiązania 0 i − 196 .
a)
Równanie kwadratowe
168
Zauważmy, że – 1 jest rozwiązaniem równania 2 ? (−1)2
+ 9 ? (−1) + 7 = 2 − 9 + 7 = 0. Wobec
tego trójmian 2x2 + 9x + 7 można zapisać w postaci iloczynowej, gdzie jednym z czynników
jest x + 1
2x2 + 9x + 7 = 2x2 + 2x + 7x + 7 = 2x(x + 1) + 7(x + 1) = (2x + 7)(x + 1).
Zatem równanie ma dwa rozwiązania x1 = − 1 oraz x2 = − 72 .
Przykład 7.Rozwiążemy równanie 3x2 + 4x + 5 = 345
• sposób I
Przekształcamy równanie do postaci 3x2 + 4x − 340 = 0. Następnie obliczamy wyróżnik trój-
mianu 3x2 + 4x − 340
Δ = 42 − 4 ? 3 ? (−340) = 4096.
Ponieważ Δ > 0, więc równanie ma dwa rozwiązania
x1 =−4 − √4096
2 ? 3 = − 343 oraz x2 =
−4 + √40962 ? 3 = 10.
• sposób II
Zauważamy, że 10 jest rozwiązaniem równania 3 ? 102 + 4 ? 10 + 5 = 345. Zatem trójmian
3x2 + 4x − 340 można zapisać w postaci iloczynowej, gdzie jednym z czynników jest x − 10
3x2 + 4x − 340 = 3x2 − 30x + 34x − 340 = 3x(x − 10) + 34(x − 10) = (3x + 34)(x − 10)
Oznacza to, że równanie ma dwa rozwiązania x1 = 10 oraz x2 = − 343 .
Przykład 8.Rozwiążemy równanie 25x2 − 90x + 81 = 0
• sposób I
Obliczamy wyróżnik trójmianu 25x2 − 90x + 81
Δ = (−90)2
− 4 ? 25 ? 81 = 0
Ponieważ Δ = 0, więc równanie ma jedno rozwiązanie
x0 =90
2 ? 25 =95
• sposób II
Zauważmy, że trójmian 25x2 − 90x + 81 można przekształcić do postaci
(5x)2
− 2 ? 5x ? 9 + 92 = (5x − 9)2. Zatem równanie ma jedno rozwiązanie x0 =
95 .
Równanie kwadratowe
169
Przykład 9.Wykażemy, że równanie 3x2 − 4x + 2 = 0 nie ma rozwiązań rzeczywistych.
Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego 3x2 − 4x + 2
Δ = (−4)2
− 4 ? 3 ? 2 = 16 − 24 = − 8 < 0.
Oznacza to, że równanie 3x2 − 4x + 2 = 0 nie ma rozwiązań rzeczywistych.
Przykład 10.Uzasadnimy, że żadna liczba całkowita nie jest rozwiązaniem równania 2x2 + 3x − 4 = 0.
Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego 2x2 + 3x − 4
Δ = 32 − 4 ? 2 ? (−4) = 41.
Rozwiązaniami danego równania są więc
x1 =−3 − √41
4 oraz x2 =−3 + √41
4 .
Ponieważ √41 nie jest liczbą wymierną, więc żadna z liczb x1, x2 nie jest liczbą wymierną.
Wobec tego żadna liczba całkowita nie jest rozwiązaniem równania 2x2 + 3x − 4 = 0.
Uwaga. Ponieważ liczba √41 jest niewymierna, więc każdy z pierwiastków danego równania
jest liczbą niewymierną.
Przykład 11.Ustalimy liczbę rozwiązań równania x2 − 2x + c = 0 w zależności od wartości współczynnika c.
Wyróżnik trójmianu x2 − 2x + c jest równy Δ = (−2)2
− 4 ? 1 ? c = 4 − 4c. Zatem dane równanie:
• ma dwa różne rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy 4 − 4c > 0, czyli dla c < 1,
• ma jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy 4 − 4c = 0, czyli dla c = 1,
• nie ma rozwiązań rzeczywistych wtedy i tylko wtedy, gdy 4 − 4c < 0, czyli dla c > 1.
Uwaga. Można też równanie przekształcić następująco
x2 − 2x = − c
x2 − 2x + 1 = − c + 1
(x − 1)2
= 1 − c.
Wystarczy teraz zauważyć, że lewa strona otrzymanego równania jest nieujemna, zatem rów-
nanie nie ma rozwiązań, gdy 1 − c < 0, czyli gdy c > 1.
Jeśli natomiast c = 1, to otrzymujemy równanie (x − 1)2
= 0, które ma jedno rozwiązanie, x = 1
.
Równanie kwadratowe
170
Pozostaje wyznaczyć rozwiązania równania, gdy c < 1. Wtedy jego lewa strona jest dodatnia,
więc równanie można zapisać w postaci
(x − 1)2
= (√1 − c)2
stąd
(x − 1)2
− (√1 − c)2
= 0
(x − 1 − √1 − c)(x − 1 + √1 − c) = 0.
Zatem, gdy c < 1, równanie ma dwa rozwiązania x1 = 1 + √1 − c oraz x2 = 1 − √1 − c.
Poziom trudności: AZadanie 2.6.1Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
a) Równanie x(x − 1) = 0 ma dwa rozwiązania rzeczywiste.
b) Żadna liczba całkowita nie jest rozwiązaniem równania (3x + 5)(4 − 2x) = 0.
c) Oba rozwiązania równania (2x + 1)(3x + 7) = 0 są liczbami dodatnimi.
d) Równanie (x − 2)(x + 3) = 0 ma dwa rozwiązania 2 oraz −3.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.6.2Liczby x1 i x2 są rozwiązaniami równania −3(x + 2)(x − 7) = 0. Wówczas
a)1
x1+
1x2
= − 514
b) x12 + x2
2 = 62
c) x1 + x2 = − 5
d) x1x2 = − 14
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.6.3Liczby x1 i x2 są rozwiązaniami równania (2x + 5)(x − 1) = (2x + 5)(3 − x) i x1 < x2. Wówczas
Równanie kwadratowe
171
a) x2 = 5
b) 2x1 + 3x2 = 1
c) x2 = 2
d) x1 = − 3
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.6.4Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
a) Równanie 2x2 = 16x − 32 nie ma rozwiązań rzeczywistych.
b) Równanie 4x2 = x ma dwa rozwiązania rzeczywiste.
c) Równanie (2x + 5)2
+ 3 = 0 nie ma rozwiązań rzeczywistych.
d) Równanie (3x − 1)2
= 1 ma tylko jedno rozwiązanie rzeczywiste.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.6.5Liczby x1 i x2 są rozwiązaniami równania x2 − 8x + 5 = 0 i x1 < x2. Wówczas
a) x2 > 7
b) x1 < 0
c) x1x2 = 5
d) x1 + x2 = 8
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.6.6Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
Równanie kwadratowe
172
a) Jednym z rozwiązań równania 2x2 − x − 10 = 0 jest liczba całkowita.
b) Jedno z rozwiązań równania x2 + 2x − 5 = 0 należy do przedziału (−4, − 3).
c) Żadna liczba ujemna nie jest rozwiązaniem równania x2 − 4x − 1 = 0.
d) Każde z rozwiązań równania 6x2 − 5x + 1 = 0 należy do przedziału (0, 1).
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.6.7Większą z dwóch liczb spełniających równanie −2(x + 1)(x + 4) = 0 jest
a) 4
b) 2
c) 1
d) – 1
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.6.8Liczby x1 oraz x2 są rozwiązaniami równania 4(x − 2)(x + 5) = 0. Suma x1 + x2 jest równa
a) – 12
b) – 3
c) 3
d) 7
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.6.9
Równanie −(x + 3)2
= (−2)2
Równanie kwadratowe
173
a) nie ma rozwiązań
b) ma jedno rozwiązanie
c) ma dwa rozwiązania
d) ma cztery rozwiązania
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.6.10Rozwiązaniami równania (x − 5)(2x + 9) = x(5 − x) są liczby
a) 5 oraz – 3
b) 0 oraz 5
c) 5 oraz − 92
d) 0 oraz − 92
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.6.11Liczby x1 oraz x2 są różnymi rozwiązaniami równania x2 + 10x − 24 = 0. Suma x1
2 + x22 jest rów-
na
a) 576
b) 196
c) 148
d) 100
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.6.12Wskaż równanie, które nie ma rozwiązań rzeczywistych.
Równanie kwadratowe
174
a) x2 − 2x + 5 = 0
b) x2 − 2x − 5 = 0
c) −5x2 − 2 = 0
d) x2 + 5x + 2 = 0
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.6.13Liczby x1 oraz x2 są rozwiązaniami równania 5x2 + 4x − 1 = 0 i x1 < x2. Oblicz 3x1 + 10x2.
a) 7
b) 4
c) – 1
d) – 5
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.6.14
Liczby x1 oraz x2 są różnymi rozwiązaniami równania 10x2 + 3x − 1 = 0. Suma1
x1+
1x2
jest równa
a) – 1
b) 3
c) − 103
d)1
10
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.6.15Rozwiąż równanie.
(x + 5)(x − 6) = 0a)
(2x − 3)(3x + 7) = 0b)
(4x − 1)(2 − x) = 0c)
Równanie kwadratowe
175
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.6.16Rozwiąż równanie.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.6.17Rozwiąż równanie.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.6.18Rozwiąż równanie.
(Pokaż odpowiedź)
(8 − 2x)(9x + 11) = 0d)
3x2 − 108 = 0a)
x2 + 2 = 0b)
−4x2 + 49 = 0c)
−2x2 − 50 = 0d)
x2 − 4x + 4 = 0a)
x2 − 4x = 0b)
9x2 + 12x + 4 = 0c)
12x − 9x2 = 0d)
x2 + 2x − 35 = 0a)
x2 + 6x + 11 = 0b)
4x2 − 11x − 15 = 0c)
3x2 + 5x − 28 = 0d)
Równanie kwadratowe
176
Poziom trudności: AZadanie 2.6.19Rozwiąż równanie.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.6.20Rozwiąż równanie.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.6.21Kwadrat liczby x jest 8 razy większy od liczby x − 2. Oblicz x.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.6.22Jeżeli dodatnią liczbę x pomnożymy przez liczbę o 5 większą od połowy liczby x, to w wyniku
otrzymamy 168. Jaka to liczba?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.6.23Dwie ujemne liczby całkowite różnią się o 5, a suma ich kwadratów jest równa 193. Znajdź te
liczby.
(Pokaż odpowiedź)
x2 + 4x + 7 = 0a)
x2 − 6x + 1 = 0b)
x2 − 8x + 9 = 0c)
x2 + 2√5x + 3 = 0d)
2x2 + 15x = 17a)
3x2 + 7x = 370b)
(x − 5)2
= 3x − 15c)
(2x − 7)2
= 28 − 8xd)
Równanie kwadratowe
177
Poziom trudności: AZadanie 2.6.24Suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych dodatnich jest równa 245. Znajdź te liczby.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.6.25Wyznacz współrzędne punktów wspólnych prostej o równaniu y = x + 2 oraz paraboli o równa-
niu y = 2x2 + x.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.6.26
Wyznacz wszystkie punkty wspólne wykresów funkcji f(x) = x2 − 3x oraz g(x) = 2x2 − 4.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.6.27W prostokącie A jeden z boków jest dwa razy dłuższy od drugiego. Gdyby skrócić krótszy bok
tego prostokąta o 1 i jednocześnie przedłużyć dłuższy bok o 2, to otrzymalibyśmy prostokąt B
o polu równym 16. Wyznacz wymiary prostokąta A.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.6.28W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość 17, a jedna z przyprostokątnych jest
o 7 dłuższa od drugiej. Oblicz długości przyprostokątnych tego trójkąta.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.6.29Każdy z dwóch prostokątów ma przekątną długości 25. Krótszy bok pierwszego prostokąta jest
o 8 dłuższy od krótszego boku drugiego prostokąta, a dłuższy bok pierwszego prostokąta jest o
4 krótszy od dłuższego boku drugiego prostokąta. Oblicz wymiary każdego z tych prostokątów.
(Pokaż odpowiedź)
Równanie kwadratowe
178
Poziom trudności: AZadanie 2.6.30Wyznacz wszystkie wartości b, dla których liczba b jest rozwiązaniem równania
x2 − (b + 2)x + 10 = 0. Dla otrzymanej wartości b wyznacz wszystkie rozwiązania tego równania.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.6.31
Wyznacz wszystkie wartości c, dla których liczba c jest rozwiązaniem równania x2 − 10x + 3c = 0
. Dla otrzymanej wartości c wyznacz wszystkie rozwiązania tego równania.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.6.32
Wyznacz wszystkie dodatnie wartości b, dla których równanie x2 + 2bx + b = 0 ma dokładnie
jedno rozwiązanie. Dla otrzymanej wartości b wyznacz to rozwiązanie.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.6.33
Wykaż, że dla każdej wartości m równanie x2 − (m + 3)x + 2(m + 1) = 0 ma co najmniej jedno roz-
wiązanie rzeczywiste.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.6.34
Wykaż, że dla każdej dodatniej wartości całkowitej k równanie x2 − 7kx + 10k2 = 0 ma dwa różne
rozwiązania całkowite.
(Pokaż odpowiedź)
Równanie kwadratowe
179
2.7. Nierówność kwadratowa
Przykład 1.Na podstawie wykresu funkcji kwadratowej f określonej wzorem f(x) = (x − 1)(x + 3) ustalimy
zbiór rozwiązań nierówności (x − 1)(x + 3) > 0 oraz nierówności (x − 1)(x + 3) < 0.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Z postaci iloczynowej wzoru funkcji f
f(x) = 1 ? (x − 1)(x + 3)
bezpośrednio odczytujemy:
• współczynnik a : a = 1. Jest on dodatni, więc parabola będąca wykresem funkcji f ma
ramiona skierowane do góry,
• miejsca zerowe funkcji f : 1 oraz – 3. Oznacza to, że wykres funkcji f przecina oś Ox w
dwóch punktach o współrzędnych (1, 0) oraz (−3, 0).
Korzystając z powyższych spostrzeżeń, szkicujemy wykres funkcji f.
Nierówność kwadratowa
180
Ustalimy zbiór rozwiązań nierówności (x − 1)(x + 3) > 0.
Z otrzymanego wykresu odczytujemy, dla jakich argumentów funkcja f przyjmuje wartości
dodatnie.
Zatem (x − 1)(x + 3) > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x ? (−∞, − 3) ? (1, + ∞).Ustalimy zbiór rozwiązań nierówności (x − 1)(x + 3) < 0.
Z wykresu funkcji f odczytujemy, dla jakich argumentów ta funkcja przyjmuje wartości ujem-
ne.
Nierówność kwadratowa
181
Wobec tego (x − 1)(x + 3) < 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x ? (−3, 1).
Nierówność kwadratowa
182
Przykład 2.Wypiszemy wszystkie liczby całkowite, które spełniają nierówność (2x + 5)(4 − x) > 0.
Rozpatrzmy w tym celu funkcję kwadratową określoną wzorem f(x) = (2x + 5)(4 − x).
Po zapisaniu wzoru tej funkcji w postaci iloczynowej f(x) = − 2(x +52 )(x − 4) stwierdzamy, że
funkcja ta ma dwa miejsca zerowe − 52 oraz 4,
a = − 2 < 0, zatem wykresem tej funkcji jest parabola skierowana ramionami do dołu.
Szkicujemy wykres funkcji f(x) = (2x + 5)(4 − x) i zaznaczamy na nim argumenty, dla których
(2x + 5)(4 − x) > 0.
Zbiorem rozwiązań nierówności (2x + 5)(4 − x) > 0 jest więc przedział (−212 , 4).
Zaznaczamy wszystkie liczby całkowite, które znajdują się w tym przedziale.
Ostatecznie stwierdzamy, że liczbami całkowitymi, które spełniają nierówność
(2x + 5)(4 − x) > 0, są: – 2, – 1, 0, 1, 2, 3.
Przykład 3.Rozwiążemy nierówność
Nierówność kwadratowa
183
x2 − 9 > 0
Wykresem funkcji kwadratowej określonej wzorem f(x) = x2 − 9 jest parabola skierowa-
na ramionami do góry, co stwierdzamy, odczytując ze wzoru tej funkcji wartość współ-
czynnika a (a = 1 > 0).Wzór tej funkcji przekształcamy do postaci f(x) = (x − 3)(x + 3). Funkcja ma zatem dwa
miejsca zerowe – 3 oraz 3.
Szkicujemy wykres tej funkcji i odczytujemy wszystkie argumenty, dla których przyjmu-
je ona wartości dodatnie.
Odpowiedź: x ? (−∞, − 3) ? (3, + ∞).
a)
−x2 + 4x < 0b)
Nierówność kwadratowa
184
• sposób I
Rozpatrzmy funkcję kwadratową określoną wzorem f(x) = − x2 + 4x. Odczytujemy war-
tość współczynnika a : a = − 1 < 0. Wykresem tej funkcji jest parabola, której ramiona
skierowane są w dół.
Wzór tej funkcji sprowadzamy do postaci iloczynowej f(x) = − x(x − 4) i stwierdzamy, że
funkcja ta ma dwa miejsca zerowe 0 oraz 4.
Sporządzamy szkic wykresu funkcji f(x) = − x2 + 4x i na jego podstawie wyznaczamy
zbiór rozwiązań nierówności −x2 + 4x < 0.
Odpowiedź: x ? (−∞, 0)(4, ∞).
Nierówność kwadratowa
185
• sposób II
Przekształcamy daną nierówność. Po pomnożeniu obustronnie przez – 1 otrzymujemy
równoważnie
x2 − 4x > 0 Rozpatrzmy funkcję kwadratową określoną wzorem f(x) = x2 − 4x. Odczytuje-
my: a = 1 > 0, zatem wykresem tej funkcji jest parabola, której ramiona skierowane są
do góry.
Po zapisaniu wzoru tej funkcji w postaci iloczynowej f(x) = x(x − 4) stwierdzamy, że funk-
cja ta ma dwa miejsca zerowe: 0 oraz 4.
Sporządzamy szkic wykresu funkcji f(x) = x2 − 4x i na jego podstawie wyznaczamy zbiór
tych liczb rzeczywistych x, dla których x2 − 4x > 0.
Odpowiedź: x ? (0, 4).
Nierówność kwadratowa
186
Przykład 4.Rozwiążemy nierówność x2 + 2x + 1 > 0 .
Rozpatrzmy funkcję kwadratową określoną wzorem f(x) = x2 + 2x + 1. Przekształcamy ten
wzór do postaci f(x) = (x + 1)2. Ponieważ: a = 1 > 0 oraz funkcja ma jedno miejsce zerowe: −1,
więc wykresem tej funkcji jest parabola skierowana ramionami do górę.
Szkicujemy wykres funkcji f(x) = x2 + 2x + 1 i zaznaczamy argumenty, dla których
x2 + 2x + 1 > 0.
Odpowiedź: x ? (−∞, − 1) ? (−1, + ∞).
Przykład 5.Rozwiążemy nierówność x2 − 12x + 11 ≤ 0 .
Rozpatrzmy funkcję kwadratową określoną wzorem f(x) = x2 − 12x + 11. Odczytujemy:
a = 1 > 0, zatem wykresem tej funkcji jest parabola, której ramiona skierowane są do góry.
x2 + 3 < 0
Ponieważ x2 ≥ 0 dla każdej liczby rzeczywistej x, więc x2 + 3 > 0 dla każdego rzeczywi-
stego x. Zatem żadna liczba rzeczywista nie spełnia nierówności x2 + 3 < 0.
Odpowiedź: Nierówność x2 + 3 < 0 jest sprzeczna.
a)
−x2 − 1 < 0
Przekształcamy daną nierówność. Po pomnożeniu obustronnie przez – 1 otrzymuje-
my równoważnie x2 + 1 > 0. Ponieważ suma liczby nieujemnej x2 oraz liczby dodatniej
1 jest liczbą dodatnią, więc każda liczba rzeczywista x spełnia nierówność x2 + 1 > 0.
Odpowiedź: Nierówność −x2 − 1 < 0 jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą.
b)
Nierówność kwadratowa
187
Obliczamy wyróżnik funkcji f(x) = x2 − 12x + 11:
Δ = (−12)2
− 4 ? 1 ? 11 = 100 > 0Wobec tego funkcja f(x) = x2 − 12x + 11 ma dwa miejsca zero-
we
x1 =12 − √100
2 = 1 oraz x2 =12 + √100
2 = 11.
Sporządzamy szkic wykresu tej funkcji i na jego podstawie ustalamy zbiór rozwiązań nierów-
ności x2 − 12x + 11 ≤ 0.
Odpowiedź: x ? ? 1, 11 ? .
Nierówność kwadratowa
188
Przykład 6.Rozwiążemy nierówność 2x2 + 7x − 4 > 0.
Ze wzoru funkcji f(x) = 2x2 + 7x − 4 odczytujemy wartość współczynnika a: a = 2 > 0. Wobec
tego wykresem tej funkcji jest parabola, której ramiona skierowane są do góry.
Obliczamy wyróżnik: Δ = 72 − 4 ? 2 ? (−4) = 81 > 0, zatem funkcja f(x) = 2x2 + 7x − 4 ma dwa
miejsca zerowe
x1 =−7 − √81
2 ? 2 = − 4 oraz x2 =−7 + √81
2 ? 2 =12 .
Sporządzamy szkic wykresu tej funkcji i na jego podstawie ustalamy zbiór rozwiązań nierów-
ności 2x2 + 7x − 4 > 0.
Odpowiedź: x ? (−∞, − 4) ? (12 , + ∞).
Przykład 7.Rozwiążemy nierówność −x2 + 3x + 10 ≥ 0.
Przekształcamy daną nierówność. Po pomnożeniu obustronnie przez – 1 otrzymujemy rów-
noważnie
x2 − 3x − 10 ≤ 0.
Rozpatrzmy funkcję kwadratową określoną wzorem f(x) = x2 − 3x − 10. Ponieważ a = 1 > 0,
więc wykresem tej funkcji jest parabola, której ramiona skierowane są do góry.
Obliczamy wyróżnik: Δ = (−3)2
− 4 ? 1 ? (−10) = 49 > 0. Zatem funkcja f(x) = x2 − 3x − 10 ma
dwa miejsca zerowe x1 =3 − √49
2 = − 2 oraz x2 =3 + √49
2 = 5.
Sporządzamy szkic wykresu tej funkcji i na jego podstawie wyznaczamy argumenty, dla któ-
rych x2 − 3x − 10 ≤ 0.
Nierówność kwadratowa
189
Odpowiedź: x ? ? −2, 5 ? .
Przykład 8.Rozwiążemy nierówność −3x2 + 2x + 21 ≤ 0.
Przekształcamy daną nierówność. Po pomnożeniu obustronnie przez – 1 otrzymujemy rów-
noważnie
3x2 − 2x − 21 ≥ 0.
Rozpatrzmy funkcję kwadratową określoną wzorem f(x) = 3x2 − 2x − 21. Ponieważ a = 3 > 0,
więc wykresem tej funkcji jest parabola, której ramiona skierowane są do góry.
Obliczamy wyróżnik: Δ = (−2)2
− 4 ? 3 ? (−21) = 256 > 0. Zatem funkcja f(x) = 3x2 − 2x − 21 ma
dwa miejsca zerowe:
x1 =2 − √256
2 ? 3 = − 73 oraz x2 =
2 + √2562 ? 3 = 3.
Sporządzamy szkic wykresu tej funkcji i na jego podstawie wyznaczamy argumenty, dla któ-
rych 3x2 − 2x − 21 ≥ 0.
Nierówność kwadratowa
190
Odpowiedź: x ? (−∞, −213 ? ? ? 3, + ∞).
Przykład 9.Uzasadnimy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest poniższa nierówność.
• sposób I
Przekształcamy nierówność w sposób równoważny do postaci x2 − 6x + 9 ≥ 0. Wystarczy za-
tem pokazać, że funkcja kwadratowa y = x2 − 6x + 9 przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne.
Obliczamy wyróżnik trójmianu y = x2 − 6x + 9:
Δ = (−6)2
− 4 ? 1 ? 9 = 0
Wynika stąd, że funkcja y = x2 − 6x + 9 ma dokładnie jedno miejsce zerowe. Ponieważ jej wy-
kresem jest parabola o ramionach skierowanych do góry (a = 1 > 0), więc dla każdej liczby
rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność x2 − 6x + 9 ≥ 0. To kończy dowód.
• sposób II
Przekształcamy nierówność w sposób równoważny.
x2 + 9 ≥ 6x
x2 − 6x + 9 ≥ 0
(x − 3)2
≥ 0
x2 + 9 ≥ 6xa)
Nierówność kwadratowa
191
Dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność (x − 3)2
≥ 0. To spostrzeżenie koń-
czy dowód.
• sposób I
Przekształcamy nierówność w sposób równoważny do postacix2
7 − x +74 ≥ 0. Wystarczy poka-
zać, że funkcja kwadratowa y =x2
7 − x +74 przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne.
Obliczamy wyróżnik trójmianu y =x2
7 − x +74
Δ = (−1)2
− 4 ?17 ?
74 = 0.
Zatem funkcja ta ma dokładnie jedno miejsce zerowe, a ponieważ jej wykresem jest parabola
o ramionach skierowanych do góry (a =17 > 0), więc dla każdej liczby rzeczywistej x prawdzi-
wa jest nierównośćx2
7 − x +74 ≥ 0. To kończy dowód.
• sposób II
Przekształcamy nierówność w sposób równoważny.
x2
7 +74 ≥ x
4x2 + 49 ≥ 28x
4x2 − 28x + 49 ≥ 0
(2x − 7)2
≥ 0
Dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność (2x − 7)2
≥ 0. To spostrzeżenie
kończy dowód.
• sposób I
Przekształcamy nierówność w sposób równoważny do postaci 3x2 − 10x + 9 > 0. Wystarczy
pokazać, że funkcja kwadratowa y = 3x2 − 10x + 9 przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie.
Ponieważ współczynnik przy x2 trójmianu y = 3x2 − 10x + 9 jest dodatni, więc wykresem tej
x2
7 +74 ≥ x
a)
3(x2 + 3) > 10xa)
Nierówność kwadratowa
192
funkcji jest parabola o ramionach skierowanych do góry.
Obliczamy wyróżnik trójmianu y = 3x2 − 10x + 9
Δ = (−10)2
− 4 ? 3 ? 9 = − 8 < 0.
Zatem funkcja ta nie ma miejsc zerowych.
Wobec tego dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność 3x2 − 10x + 9 > 0. To
kończy dowód.
• sposób II
Przekształcamy nierówność w sposób równoważny.
3(x2 + 3) > 10x
3x2 + 9 > 10x
3x2 − 10x + 9 > 0
9x2 − 30x + 27 > 0
(3x − 5)2
+ 2 > 0
Dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność (3x − 5)2
≥ 0, więc suma
(3x − 5)2
+ 2 jest liczbą dodatnią. To spostrzeżenie kończy dowód.
Przykład 10.Uzasadnimy, że jeśli liczby x i y są rzeczywiste, to
• sposób I
Przekształcamy nierówność w sposób równoważny.
4x2 − 20xy + 25y2 ≥ 0
(2x − 5y)2
≥ 0
Jeżeli liczby x i y są rzeczywiste, to prawdziwa jest nierówność (2x − 5y)2
≥ 0. To spostrzeżenie
kończy dowód.
• sposób II
4x2 + 25y2 ≥ 20xya)
Nierówność kwadratowa
193
Przekształcamy nierówność w sposób równoważny do postaci 4x2 − 20xy + 25y2 ≥ 0.
Możemy tę nierówność potraktować jako nierówność kwadratową z niewiadomą x i dowolnie
ustaloną liczbę y.
Rozpatrzmy trójmian kwadratowy
f(x) = 4x2 − 20y ? x + 25y2.
Trójmian ten ma dodatni współczynnik przy x2 (a = 4).Obliczamy wyróżnik tego trójmianu
Δ = (−20y)2
− 4 ? 4 ? 25y2 = 0. Zatem trójmian f ma dokładnie jedno miejsce zerowe. Oznacza
to, że dla każdego x i dla każdego y wartość tego trójmianu jest nieujemna. To spostrzeżenie
kończy dowód.
• sposób I
Przekształcamy nierówność w sposób równoważny.
5x2 + y2 + 4xy ≥ 2x − 1
5x2 + y2 + 4xy − 2x + 1 ≥ 0
4x2 + 4xy + y2 + x2 − 2x + 1 ≥ 0
(2x + y)2
+ (x − 1)2
≥ 0
Dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y prawdziwa jest każda z nierówności (2x + y)2
≥ 0 oraz
(x − 1)2
≥ 0, a zatem również prawdziwa jest nierówność (2x + y)2
+ (x − 1)2
≥ 0. To spostrzeże-
nie kończy dowód.
• sposób II
Zapiszmy nierówność w postaci równoważnej.
5x2 + y2 + 4xy − 2x + 1 ≥ 0
Rozpatrzmy trójmian kwadratowy.
f(x) = 5x2 + (4y − 2)x + (y2 + 1)
Trójmian ten ma dodatni współczynnik przy x2 (a = 5).
Obliczamy wyróżnik tego trójmianu
Δ = (4y − 2)2
− 4 ? 5 ? (y2 + 1) = 16y2 − 16y + 4 − 20y2 − 20 = − 4(y2 + 4y + 4) = − 4(y + 2)2
5x2 + y2 + 4xy ≥ 2x − 1a)
Nierówność kwadratowa
194
Dla każdego y wyróżnik jest więc niedodatni, co oznacza, że funkcja może mieć co najwyżej
jedno miejsce zerowe.
Zatem dla każdego x i dla każdego y wartość tego trójmianu jest nieujemna. To spostrzeżenie
kończy dowód.
Przykład 11.
a + b2 ≥ √ab
a + b ≥ 2√ab
a − 2√ab + b ≥ 0
(√a)2
− 2 ? √a ? √b + (√b)2
≥ 0
(√a − √b)2
≥ 0
Dla każdych liczb nieujemnych a i b nierówność (√a − √b)2
≥ 0 jest prawdziwa. To spostrzeże-
nie kończy dowód.
√ab ≥ 2aba + b
a + b ≥ 2ab
√ab
a + b2 ≥
(√ab)2
√ab
a + b2 ≥ √ab
Nierównośća + b
2 ≥ √ab jest prawdziwa dla dowolnych liczb dodatnich a i b (co udowodniliśmy
w poprzednim podpunkcie), co kończy dowód.
Uwaga. Dla liczb nieujemnych a i b liczbęa + b
2 nazywamy ich średnią arytmetyczną.
Dla liczb nieujemnych a i b liczbę √ab nazywamy ich średnią geometryczną.
Wykażemy, że jeśli a ≥ 0 i b ≥ 0, toa + b
2 ≥ √ab.
Przekształcamy nierówność w sposób równoważny.
a)
Wykażemy, że jeśli a > 0 i b > 0, to √ab ≥ 2aba + b .
Przekształcamy nierówność w sposób równoważny.
a)
Nierówność kwadratowa
195
Dla liczb dodatnich a i b liczbę2aba + b (zapisywaną również w postaci
21a
+1b
) nazywamy ich śred-
nią harmoniczną.
Poziom trudności: AZadanie 2.7.1Spośród podanych niżej nierówności wybierz te, które są prawdziwe dla każdej liczby rzeczywi-
stej x.
a) −x2 < − 2
b) −2x2 < 1
c) x2 > − 2
d) 2x2 > x
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.7.2Do zbioru rozwiązań nierówności (1 − x)(2x + 5) > 0 należy liczba
a) −√2
b) (− 43 )
2
c) – 2
d) 1
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.7.3Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
a) Zbiorem rozwiązań nierówności x2 < x są liczby należące do przedziału (0, 1).
b) Zbiorem rozwiązań nierówności x2 < 7 są liczby należące do przedziału (−7, 7).
c) Zbiorem rozwiązań nierówności (x + 2)(4 − x) > 0 są liczby należące do przedziału (−2, 4).
d) Zbiorem rozwiązań nierówności (x + 3)(x + 5) < 0 są liczby należące do przedziału (3, 5).
(Pokaż odpowiedź)
Nierówność kwadratowa
196
Poziom trudności: AZadanie 2.7.4W zbiorze rozwiązań nierówności x2 + 8x + 7 > 0
a) jest dokładnie 7 liczb całkowitych
b) nie ma żadnej liczby dodatniej
c) nie ma żadnej liczby ujemnej
d) jest liczba 0
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.7.5Spośród podanych niżej nierówności wybierz te, w których zbiorze rozwiązań są dokładnie
dwie dodatnie liczby całkowite.
a) 6x2 − 13x − 8 ≤ 0
b) x2 − 9x + 20 ≤ 0
c) x2 + 4x − 21 < 0
d) x2 + 5x + 4 < 0
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.7.6Każda liczba rzeczywista, która spełnia nierówność x2 + 2x − 8 ≤ 0, spełnia też nierówność
a) x2 − 9 < 0
b) x2 − 16 < 0
c) x2 − 25 < 0
d) x2 − 36 < 0
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.7.7Do zbioru rozwiązań nierówności (x + 3)(x − 4) > 0 należy liczba
a) 3
Nierówność kwadratowa
197
b) 1
c) 5
d) −2
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.7.8Zbiór rozwiązań nierówności (x − 2)(x + 5) < 0 przedstawiony jest na rysunku
a)
b)
c)
d)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.7.9Zbiorem rozwiązań nierówności (2x + 4)(x − k) < 0 jest przedział (−4, − 2). Wynika z tego, że
a) k = 4
b) k = 2
c) k = − 2
d) k = − 4
(Pokaż odpowiedź)
Nierówność kwadratowa
198
Poziom trudności: AZadanie 2.7.10Zbiorem rozwiązań nierówności x2 < 9x jest
a) (−3, 3)
b) (−3, 0)
c) (−9, 0)
d) (0, 9)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.7.11Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność (3x + 5)(2x − 7) ≤ 2(3x + 5) jest
a) 1
b) 0
c) – 1
d) – 2
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.7.12Zbiorem rozwiązań nierówności x2 > 16 jest
a) (−∞, − 4) ? ( 4, + ∞)
b) (−∞, 8) ? ( 8, + ∞)
c) (4, + ∞)
d) (−16, + ∞)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.7.13Do zbioru rozwiązań nierówności 4x2 + 1 ≤ 4x należy liczba
a) 1
Nierówność kwadratowa
199
b)12
c) 0
d)14
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.7.14Funkcje f i g określone są wzorami f(x) = x2 + x oraz g(x) = x − 1. Wówczas dla każdej liczby rze-
czywistej x prawdziwa jest nierówność
a) f(x) < g(x)
b) f(x) > g(x)
c) g(x) < 0
d) f(x) > 0
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.7.15Rozwiąż nierówność.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.7.16Rozwiąż nierówność.
(x + 1)(x − 2) < 0a)
(x − 5)(4x + 11) ≥ 0b)
(x − 2)(6 − 3x) < 0c)
(3 − x)(2x + 1) ≥ 0d)
x2 ≤ 25a)
8x < x2b)
3x + 2x2 ≥ 0c)
Nierówność kwadratowa
200
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.7.17Rozwiąż nierówność.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.7.18Rozwiąż nierówność.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.7.19Rozwiąż nierówność.
(Pokaż odpowiedź)
9 − 3x2 > 0d)
x2 − 18x + 81 > 0a)
3x2 − 18x + 27 ≤ 0b)
x2 − 2x + 3 < 0c)
x2 − 6x + 10 > 0d)
x2 + 2x − 24 < 0a)
x2 − 5x − 24 > 0b)
−x2 + 4x + 32 ≥ 0c)
−x2 − 7x + 18 ≤ 0d)
2x2 + 7x − 4 ≤ 0a)
3x2 + 10x + 8 < 0b)
−2x2 − 15x − 27 < 0c)
−3x2 − 23x + 8 ≤ 0d)
Nierówność kwadratowa
201
Poziom trudności: AZadanie 2.7.20Rozwiąż nierówność.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.7.21
Rozwiąż nierówność −3x2 + 2x + 5 ≥ 0 i wypisz wszystkie liczby całkowite, które ją spełniają.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.7.22Wyznacz zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, które spełniają jednocześnie podane nierówno-
ści 5x2 + 7x − 24 ≥ 0 oraz x < 2.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.7.23Uzasadnij, że jeżeli x jest dowolną liczbą rzeczywistą, to prawdziwa jest nierówność
25x2 + 36 ≥ 60x.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.7.24
Uzasadnij, że jeżeli x jest dowolną liczbą rzeczywistą, to prawdziwa jest nierówność3x2
10 +56 ≥ x.
(Pokaż odpowiedź)
4x2 − 8x − 45 > 0a)
15x2 + 7x − 2 ≥ 0b)
−4x2 + 25x − 6 < 0c)
−6x2 + 7x + 10 ≥ 0d)
Nierówność kwadratowa
202
Poziom trudności: AZadanie 2.7.25Uzasadnij, że jeżeli x jest dowolną liczbą rzeczywistą, to prawdziwa jest nierówność
2x2 + 11 > 9x.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.7.26Uzasadnij, że jeżeli x jest dowolną liczbą rzeczywistą, to prawdziwa jest nierówność
5(x2 + 2) > 14x.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 2.7.27Uzasadnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y prawdziwa jest nierówność
49x2 + 9y2 ≥ 42xy.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 2.7.28Uzasadnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y prawdziwa jest nierówność
2x2 + y2 + 8x + 16 ≥ 2xy.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 2.7.29Uzasadnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y prawdziwa jest nierówność
x2 + 10y2 + 6xy ≥ 5(2y − 5).(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: CZadanie 2.7.30
Wykaż, że nierówność √a2 + b2
2 ≥ a + b2 jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste a i b.
(Pokaż odpowiedź)
Nierówność kwadratowa
203
2.8. Wartość najmniejsza oraz wartość największafunkcji kwadratowej w przedziale domkniętym
Przykład 1.Obliczymy wartość najmniejszą oraz wartość największą funkcji kwadratowej
f(x) = x2 − 4x + 1 w każdym z podanych przedziałów
Ustalmy własności funkcji f, gdy jest ona określona dla każdej liczby rzeczywistej.
Ponieważ współczynnik przy x2 we wzorze funkcji f jest dodatni, więc wykresem tej funkcji
jest parabola o ramionach skierowanych do góry. Wierzchołek W tej paraboli ma współrzęd-
ne
xW =−(−4)2 ? 1 = 2, yW = f(2) = 22 − 4 ? 2 + 1 = − 3.
Zatem najmniejszą wartością funkcji f jest
f(2) = − 3.
Najmniejszą wartość funkcji f można też obliczyć, korzystając ze wzoru na drugą współrzęd-
ną wierzchołka paraboli
q = − Δ4a .
Zauważmy, że
• maksymalnym przedziałem, w którym funkcja f jest malejąca, jest (−∞, 2 ? ,
? −4, 1 ?a)
? −1, 3 ?b)
? 4, 7 ?c)
Wartość najmniejsza oraz wartość największa funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym
204
• maksymalnym przedziałem, w którym funkcja f jest rosnąca, jest ? 2, +∞)
• największą wartością funkcji f w przedziale ? 4, 7 ? jest wartość w prawym krańcu te-
go przedziału, czyli f(7) = 22,
Przedział ? −4, 1 ? jest zawarty w przedziale (−∞, 2 ? , więc funkcja f jest w tym
przedziale malejąca.
Oznacza to, że
największą wartością funkcji f w przedziale ? −4, 1 ? jest wartość w lewym krańcu te-
go przedziału, czyli f(−4) = 33,
najmniejszą wartością funkcji f w przedziale ? −4, 1 ? jest wartość w prawym krańcu
tego przedziału, czyli f(1) = − 2.
a)
Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli należy do przedziału ? −1, 3 ? , więc naj-
mniejszą wartością funkcji f w przedziale ? −1, 3 ? jest f(2) = − 3.
W przedziale ? −1, 2 ? funkcja f jest malejąca, a w przedziale ? 2, 3 ? ta funkcja jest
rosnąca. Wobec tego do ustalenia wartości największej funkcji f w przedziale
? −1, 3 ? wystarczy porównać wartości f(−1) oraz f(3).Obliczamy:
f(−1) = 6 f(3) = − 2.Oznacza to, że największą wartością funkcji f w przedziale
? −1, 3 ? jest f(−1) = 6.
b)
Przedział ? 4, 7 ? jest zawarty w przedziale ? 2, +∞), więc funkcja f jest w tym prze-
dziale rosnąca.
Wobec tego
c)
Wartość najmniejsza oraz wartość największa funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym
205
• najmniejszą wartością funkcji f w przedziale ? 4, 7 ? jest wartość w lewym krańcu te-
go przedziału, czyli f(4) = 1.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Przykład 2.Obliczymy najmniejszą wartość funkcji kwadratowej f(x) = − x2 + 6x + 2 w przedziale
? −2, 5 ? .
Współczynnik przy x2 we wzorze funkcji f jest ujemny, zatem wykresem tej funkcji jest para-
bola o ramionach skierowanych w dół.
Wierzchołek W tej paraboli ma współrzędne
xW =−6
2 ? (−1)= 3, yW = f(3) = − 32 + 6 ? 3 + 2 = 11.
Zatem w przedziale ? −2, 3 ? funkcja f jest rosnąca, a w przedziale ? 3, 5 ? funkcja f jest
malejąca.
Oznacza to, że najmniejszą wartością funkcji f jest f(−2) lub f(5).Obliczamy:
f(−2) = − 14, f(5) = 7.
Najmniejszą wartością funkcji f w przedziale ? −2, 5 ? jest więc – 14.
Wartość najmniejsza oraz wartość największa funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym
206
Przykład 3.Obliczymy największą wartość funkcji kwadratowej f(x) = − x2 − 8x + 4 w przedziale
? −3, 2 ? .
Współczynnik przy x2 we wzorze funkcji f jest ujemny, zatem wykresem tej funkcji jest para-
bola o ramionach skierowanych w dół. Pierwsza współrzędna wierzchołka W tej paraboli jest
równa
xW =−(−8)
2 ? (−1)= − 4
Funkcja ta jest zatem rosnąca w przedziale ( − ∞, −4 ? i malejąca w przedziale ? −4, ∞). Po-
nieważ przedział ? −3, 2 ? jest zawarty w przedziale ? −4, ∞), więc funkcja f jest w tym prze-
dziale malejąca. Największą wartość funkcja f przyjmuje w lewym krańcu tego przedziału.
Największą wartością funkcji f w przedziale ? −3, 2 ? jest f(−3) = 19.
Wartość najmniejsza oraz wartość największa funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym
207
Przykład 4.Obliczymy wartość najmniejszą oraz wartość największą funkcji kwadratowej
f(x) = (3x − 4)(x + 5) w przedziale ? −2, 1 ? .
Przekształcamy wzór funkcji f do postaci iloczynowej.
f(x) = 3(x − 43 )(x + 5)
Współczynnik przy x2we wzorze funkcji f jest równy 3, zatem wykresem tej funkcji jest para-
bola o ramionach skierowanych w górę.
Miejscami zerowymi funkcji f są liczby −5 oraz43 . Pierwsza współrzędna wierzchołka W tej
paraboli jest równa
xW =−5 +
43
2 = − 116 = − 1
56 .
więc należy do przedziału ? −2, 1 ? . Oznacza to, że liczba
f(− 116 ) = 3(− 11
6 − 43 )(− 11
6 + 5) = − 36112 = − 30
112
jest najmniejszą wartością funkcji f w przedziale ? −2, 1 ? .
Aby ustalić wartość największą, obliczamy wartości funkcji w obu krańcach danego przedzia-
łu
f(−2) = − 30
oraz
f(1) = − 6.
Wobec tego – 6 jest największą wartością funkcji f w przedziale ? −2, 1 ? .
Przykład 5.Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie x z przedziału ? −4, 1 ? różnicę tej liczby i kwa-
dratu liczby o 2 mniejszej od niej. Wyznaczymy wzór funkcji f oraz obliczymy jej największą
wartość w przedziale ? −4, 1 ? .
Z treści zadania wynika, że funkcja f określona jest wzorem
f(x) = x − (x − 2)2.
Przekształcamy ten wzór
f(x) = x − (x2 − 4x + 4)
stąd
Wartość najmniejsza oraz wartość największa funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym
208
f(x) = − x2 + 5x − 4.
Jest to więc funkcja kwadratowa, a w jej wzorze współczynnik przy x2 jest ujemny. Wykresem
funkcji f jest więc parabola o ramionach skierowanych w dół.
Pierwsza współrzędna wierzchołka W tej paraboli jest równa
xW =−5
2 ? (−1)=
52 ,
więc liczba xW nie należy do przedziału ? −4, 1 ? .
W przedziale ? −4, 1 ? funkcja f jest rosnąca, co oznacza, że największą wartością funkcji f
jest wartość w prawym krańcu tego przedziału, czyli f(1) = 0.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Przykład 6.Ustalimy, jaki jest możliwie największy iloczyn dwóch liczb, o których wiadomo, że suma
pierwszej z nich i podwojonej drugiej jest równa 12.
Oznaczmy przez y pierwszą z tych dwóch liczb, a przez x – drugą z nich.
Wiadomo, że 2x + y = 12. Z tej zależności wyznaczamy y = 12 − 2x.
Iloczyn I tych dwóch liczb zapiszemy w zależności od zmiennej x
I(x) = (12 − 2x) ? x.
Otrzymaną funkcję kwadratową I zmiennej x zapisujemy wzorem w postaci ogólnej
I(x) = − 2x2 + 12x.
Ponieważ współczynnik przy x2 jest ujemny, więc wykresem funkcji I jest parabola skierowa-
Wartość najmniejsza oraz wartość największa funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym
209
na ramionami do dołu.
Pierwsza współrzędna wierzchołka W tej paraboli jest równa
xW =−12
2 ? (−2)= 3.
Oznacza to, że dla x = 3 iloczyn I jest największy. Jest on wtedy równy
I(3) = − 2 ? 32 + 12 ? 3 = 18.
Zauważmy, że gdy x = 3, to
y = 12 − 2 ? 3 = 6
Przykład 7.Z prostokątnego arkusza tektury o wymiarach 5 dm i 7 dm wycięto w rogach kwadraty, tak
aby po odpowiednim sklejeniu otrzymać otwarte pudełko. Jaka powinna być długość boku
wycinanego kwadratu, aby po sklejeniu pole powierzchni bocznej pudełka było największe?
Oblicz największe pole powierzchni bocznej sklejonego pudełka.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Przykład 8.Suma długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego jest równa 10. Obliczymy naj-
mniejszą wartość kwadratu długości przeciwprostokątnej tego trójkąta.
Oznaczmy przez x długość jednej z przyprostokątnych trójkąta, a przez y – długość drugiej z
nich.
Wiadomo, że x + y = 10. Z tej zależności wyznaczamy y = 10 − x.
Stosując twierdzenie Pitagorasa, zapisujemy kwadrat k długości przeciwprostokątnej tego
Wartość najmniejsza oraz wartość największa funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym
210
trójkąta
k(x) = x2 + (10 − x)2, gdzie x ? (0, 10).
Otrzymaną funkcję kwadratową k zmiennej x zapisujemy wzorem w postaci ogólnej
k(x) = 2x2 − 20x + 100.
Parabola o równaniu y = 2x2 − 20x + 100 ma ramiona skierowane do góry, a pierwsza współ-
rzędna jej wierzchołka jest równa
xW =−(−20)2 ? 2 = 5.
Ponieważ 5 ? (0, 10), więc najmniejszą wartością funkcji k jest
k(5) = 50.
Zauważmy, że wtedy ten trójkąt jest równoramienny, a każda z przyprostokątnych ma długo-
ść 5.
Przykład 9.Właściciel sklepu z odzieżą sprowadza z hurtowni koszulki, płacąc po 12 zł za sztukę i sprze-
daje średnio 200 sztuk miesięcznie po 20 zł. Zaobserwowano, że każda kolejna obniżka ceny
sprzedaży koszulki o 50 groszy zwiększa sprzedaż miesięczną o 20 sztuk. Jaką cenę sprzeda-
ży jednej koszulki powinien ustalić właściciel sklepu, aby jego miesięczny zysk był największy?
Przyjmijmy, że cenę koszulki obniżano x razy o 50 groszy. Wtedy cena sprzedaży jednej ko-
szulki to (20 − 0,5x) zł, co oznacza, że wówczas zysk właściciela sklepu to (8 − 0, 5x )zł. Z ob-
serwacji wynika, że przy tak ustalonej cenie w ciągu miesiąca zostanie sprzedanych (200 + 2x)koszulek. Zatem miesięczny zysk w złotych właściciela sklepu jest równy
(8 − 0,5x)(20x + 200),
gdzie x jest dodatnią liczbą całkowitą.
Rozpatrzmy funkcję f określoną wzorem
f(x) = (8 − 0,5x)(20x + 200).
Jest to funkcja kwadratowa, której wzór możemy zapisać w postaci iloczynowej
f(x) = − 10(x − 16)(x + 10).Parabola będąca wykresem funkcji f ma ramiona skierowane do dołu, a pierwsza współrzęd-
na jej wierzchołka jest równa
xW =−10 + 16
2 = 3.
Zatem dla x = 3 funkcja f osiąga wartość największą, równą f(3) = 1690.
Dla tej wartości x spełnione są warunki zadania. Wynika z tego, że sprzedawca osiągnie naj-
większy miesięczny zysk w kwocie 1690 zł, kiedy ustali, że cena sprzedaży jednej koszulki jest
równa 18 zł 50 groszy.
Wartość najmniejsza oraz wartość największa funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym
211
Uwaga. W powyższym przykładzie funkcja f nie jest modelem opisującym zysk ze sprzedaży
koszulek. Natomiast korzystając z jej własności, umiemy wskazać taką dodatnią liczbę całko-
witą x, dla której zysk, wyrażający się wzorem (8 − 0,5x)(20x + 200), jest największy.
Przykład 10.Wykażemy, że jeśli a > 0 i b > 0 oraz a + b = 2, to a2 + b2 ≥ 2.
Z zależności a + b = 2 wyznaczamy b = 2 − a.
Zapisujemy sumę S kwadratów liczb a i b jako funkcję zmiennej a.
S(a) = a2 + (2 − a)2, gdzie a ? (0, 2).
Otrzymaną funkcję kwadratową S zmiennej a zapisujemy wzorem w postaci ogólnej
S(a) = 2a2 − 4a + 4.
Parabola o równaniu y = 2x2 − 4x + 4 ma ramiona skierowane do góry, a pierwsza współrzęd-
na jej wierzchołka jest równa
xW =−(−4)2 ? 2 = 1.
Ponieważ 1 ? (0, 2), więc najmniejszą wartością funkcji S jest
S(1) = 2.
Oznacza to, że jeśli a > 0 i b > 0 oraz a + b = 2, to a2 + b2 ≥ 2.
Poziom trudności: AZadanie 2.8.1Jaka jest największa wartość funkcji kwadratowej f(x) = − x2 + 3 w przedziale ? −2, 1 ? ?
a) 7
b) 3
c) 2
d) 1
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.8.2Jaka jest najmniejsza wartość funkcji kwadratowej f(x) = (x − 3)(x + 5) w przedziale ? −3, 0 ? ?
a) – 12
b) – 15
Wartość najmniejsza oraz wartość największa funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym
212
c) −16
d) – 35
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.8.3Najmniejsza wartość funkcji kwadratowej f(x) = (2 − x)(x + 4) w przedziale ? −2, 1 ? jest równa
a) 9
b) 8
c) 7
d) 5
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.8.4Największa wartość funkcji kwadratowej f(x) = − x2 + 8x − 3 w przedziale ? −5, − 2 ? jest rów-
na
a) – 3
b) – 18
c) – 23
d) – 51
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.8.5Najmniejsza wartość funkcji kwadratowej f(x) = x2 − 4x + c w przedziale ? 0, 3 ? jest równa 1.
Wtedy
a) c = 5
b) c = 3
c) c = 1
d) c = − 12
(Pokaż odpowiedź)
Wartość najmniejsza oraz wartość największa funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym
213
Poziom trudności: AZadanie 2.8.6Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji kwadratowej f.
Na podstawie tego wykresu ustal i zapisz wartość największą oraz wartość najmniejszą funkcji
f w podanym przedziale.
(Pokaż odpowiedź)
? −1, 1 ?a)
? 0, 3 ?b)
? 4, 5 ?c)
Wartość najmniejsza oraz wartość największa funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym
214
Poziom trudności: AZadanie 2.8.7Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji kwadratowej f.
Na podstawie tego wykresu ustal i zapisz wartość największą oraz wartość najmniejszą funkcji
f w podanym przedziale.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.8.8
Oblicz wartość najmniejszą oraz wartość największą funkcji kwadratowej f(x) = (x + 1)2
− 5 w po-
danym przedziale.
(Pokaż odpowiedź)
? −6, − 4 ?a)
? −5, − 2 ?b)
? −1, 0 ?c)
? −4, − 2 ?a)
? −3, 0 ?b)
? 2, 5 ?c)
Wartość najmniejsza oraz wartość największa funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym
215
Poziom trudności: AZadanie 2.8.9
Oblicz wartość najmniejszą oraz wartość największą funkcji kwadratowej f(x) = − 2(x − 3)2
+ 1 w
podanym przedziale.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.8.10
Oblicz wartość najmniejszą oraz wartość największą funkcji kwadratowej f(x) = x2 − 10x + 7 w
podanym przedziale.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.8.11
Oblicz wartość najmniejszą oraz wartość największą funkcji kwadratowej f(x) = − x2 − 2x + 5 w
podanym przedziale.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.8.12
Oblicz najmniejszą wartość funkcji kwadratowej f(x) = (x + 2)(x − 5) w przedziale ? −1, 0 ? .
(Pokaż odpowiedź)
? −1, 0 ?a)
? 1, 4 ?b)
? 5, 6 ?c)
? −1, 3 ?a)
? 4, 6 ?b)
? 7, 10 ?c)
? −5, − 3 ?a)
? −2, 0 ?b)
? 1, 4 ?c)
Wartość najmniejsza oraz wartość największa funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym
216
Poziom trudności: AZadanie 2.8.13
Oblicz największą wartość funkcji kwadratowej f(x) = (x + 1)(3 − x) w przedziale ? 0, 4 ? .
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.8.14
Oblicz wartość najmniejszą oraz wartość największą funkcji kwadratowej f(x) = (2x − 1)(x + 3) w
przedziale ? −3, 1 ? .
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.8.15
Oblicz wartość najmniejszą oraz wartość największą funkcji kwadratowej f(x) = (x + 2)(5 − 2x) w
przedziale ? −1, 0 ? .
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.8.16Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie x z przedziału ? −2, 3 ? sumę tej liczby i jej kwadra-
tu. Wyznacz wzór funkcji f oraz oblicz:
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.8.17Ustal, jaka jest możliwie najmniejsza suma kwadratów dwóch liczb, o których wiadomo, że su-
ma pierwszej z nich i podwojonej drugiej jest równa 5.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.8.18Jaki jest największy iloczyn dwóch liczb, o których wiadomo, że suma podwojonej pierwszej
z nich i siedmiokrotności drugiej jest równa 56. Jakie to liczby?
(Pokaż odpowiedź)
jej wartość najmniejszą w przedziale ? −2, 3 ?a)
jej wartość największą w przedziale ? −2, 3 ?b)
Wartość najmniejsza oraz wartość największa funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym
217
Poziom trudności: AZadanie 2.8.19Wśród wszystkich prostopadłościanów o podstawie kwadratowej, w których suma długości
wszystkich krawędzi jest równa 12, jest taki, który ma największe pole powierzchni całkowitej.
Oblicz długość krawędzi podstawy tego prostopadłościanu.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.8.20Siatką o długości 98 m mamy ogrodzić działkę w kształcie prostokąta. Na ogrodzonym terenie
przy jednym boku od strony siatki przewidujemy ścieżkę o szerokości 1 m, pozostałą część
ma zajmować klomb kwiatowy. Jak dobrać wymiary działki, aby klomb kwiatowy zajmował po-
wierzchnię największą z możliwych? Oblicz tę największą powierzchnię.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.8.21Właściciel sklepu spożywczego zamawia chleb w piekarni, płacąc 1,30 zł za kilogramowy boche-
nek. Kiedy ustalił cenę sprzedaży chleba na 2 zł, sprzedawał dziennie 60 bochenków. Zauważył
jednak, że każda obniżka ceny o 5 gr zwiększa liczbę sprzedanych bochenków o 10. Jaką cenę
za jeden bochenek powinien ustalić właściciel sklepu, aby jego dzienny zysk ze sprzedaży chle-
ba był największy?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.8.22Wykaż, że jeśli a > 0 i b > 0 oraz a + b = 10, to ab ≤ 25.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.8.23
Wykaż, że jeśli a > 0 i b > 0 oraz 2a + b = 6, to ab ≤ 92 .
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.8.24Wykaż, że jeśli a > 0 i b > 0 oraz 3a + 5b = 30, to ab ≤ 15.
(Pokaż odpowiedź)
Wartość najmniejsza oraz wartość największa funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym
218
Poziom trudności: AZadanie 2.8.25
Wykaż, że jeśli a > 0 i b > 0 oraz a + b = 8, to a2 + b2 ≥ 32.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.8.26
Wykaż, że jeśli a > 0 i b > 0 oraz a + 3b = 20, to a2 + b2 ≥ 40.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.8.27
Wykaż, że jeśli a > 0 i b > 0 oraz 5a + 2b = 58, to a2 + b2 ≥ 116.
(Pokaż odpowiedź)
Wartość najmniejsza oraz wartość największa funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym
219
2.9. Zastosowania funkcji kwadratowej
2.9.1. Zadania wstępne
Pokażemy teraz kilka przykładowych zadań tekstowych, w których interpretacja danych zapisa-
nych w ich treści doprowadzi do równania kwadratowego.
Przykład 1.W roku 2015 na uroczystości urodzin zapytano jubilata, ile ma lat. Jubilat odpowiedział: „Jeśli
wiek, który osiągnę za 15 lat pomnożę przez wiek, który osiągnę za 55 lat, to otrzymam rok
mojego urodzenia”. W którym roku urodził się ten jubilat?
Film na epodreczniki.pl
Odpowiedź: Jubilat urodził się w 2001 roku.
Przykład 2.Liczba wszystkich przekątnych pewnego wielokąta foremnego jest równa 135. Ile boków ma
ten wielokąt?
Oznaczmy liczbę boków wielokąta przez n. Wówczas liczba jego przekątnych jest równan(n − 3)
2 .
Otrzymujemy równanie
n(n − 3)2 = 135.
Zastosowania funkcji kwadratowej
220
Stąd
n2 − 3n = 135 ? 2
n2 − 3n − 270 = 0.
Obliczamy wyróżnik
Δ = (−3)2
− 4 ? 1 ? (−270) = 1089 = 332
Wobec tego równanie ma dwa rozwiązania, którymi są n1 =3 + 33
2 = 18 oraz n2 =3 − 33
2 = − 15
.
Drugie z rozwiązań odrzucamy, gdyż liczba boków nie może być ujemna. Zatem ten wielokąt
jest osiemnastokątem.
Odpowiedź: Ten wielokąt ma osiemnaście boków.
Przykład 3.Pole powierzchni bocznej prostopadłościanu o podstawie kwadratowej jest równe 280. Kra-
wędź podstawy jest o 3 krótsza od krawędzi bocznej. Oblicz objętość V tego prostopadłościa-
nu.
Oznaczmy przez x długość krawędzi podstawy prostopadłościanu. Wtedy długość jego kra-
wędzi bocznej jest równa x + 3, a pole powierzchni bocznej jest równe 4 ? x ? (x + 3). Otrzy-
mujemy równanie
4x(x + 3) = 280.
Stąd
x(x + 3) = 70
x2 + 3x = 70
x2 + 3x − 70 = 0.
Obliczamy wyróżnik
Δ = 32 − 4 ? 1 ? (−70) = 289 = 172.
Wobec tego równanie ma dwa rozwiązania, którymi są
x1 =−3 + 17
2 = 7 oraz x2 =−3 − 17
2 = − 10.
Tylko pierwsze z nich spełnia warunki zadania, co oznacza, że jest to prostopadłościan o wy-
miarach 7, 7 i 10, a więc jego objętość V jest równa 490.
Odpowiedź: V = 490.
Zadania wstępne
221
Przykład 4.
Film na epodreczniki.pl
Przykład 5.Geodeta wytyczył teren pod dwie prostokątne działki. Pierwsza działka ma powierzchnię
5600 m2. Druga działka ma długość o 20 m większą i szerokość o 5 m większą niż pierwsza
oraz powierzchnię większą o 1900 m2. Obliczymy wymiary obu działek.
Wprowadzamy oznaczenia:
x – długość pierwszej działki (w metrach),
y – szerokość pierwszej działki (w metrach).
Ponieważ jej powierzchnia jest równa 5600 m2, więc xy = 5600.
Wtedy druga działka ma wymiary:
długość: (x + 20) m oraz szerokość: (y + 5) m,
a skoro jej pole jest równe (5600 + 1900) m2, więc
(x + 20)(y + 5) = 7500
Uwzględniamy w tym równaniu zależność xy = 5600 i przekształcamy je do postaci
x = 360 − 4y.
Stąd
(360 − 4y)y = 5600
Zadania wstępne
222
−4y2 + 360y = 5600
y2 − 90y + 1400 = 0.
Obliczamy wyróżnik:
Δ = (−90)2
− 4 ? 1 ? 1400 = 2500 = 502.
Równanie ma więc dwa rozwiązania, którymi są y1 =90 + 50
2 = 70 oraz y2 =90 − 50
2 = 20.
Zatem możliwe są dwa przypadki:
pierwsza działka ma wymiary 80 m i 70 m i wtedy druga ma wymiary 100 m i 75 m lub
pierwsza działka ma wymiary 280 m i 20 m i wtedy druga ma wymiary 300 m i 25 m.
Odpowiedź: Możliwe są dwa rozwiązania: pierwsza działka ma wymiary 80 m i 70 m, druga –
100 m i 75 m lub pierwsza działka ma wymiary 280 m i 20 m, druga – 300 m i 25 m.
Zadania wstępne
223
2.9.2. Zadania tekstowe prowadzące do równań kwadratowych –prędkość, droga, czas
W kolejnych przykładach zadań tekstowych interpretujemy średnią wartość prędkości jako długo-
ść drogi pokonanej w jednostce czasu.Przypomnijmy na wstępie, jak należy rozumieć tego typu
zależności.
Przykład 1.
Film na epodreczniki.pl
Rozwiążemy teraz trzy przykładowe zadania dotyczące zagadnień związanych z drogą oraz pręd-
kością i czasem.
Przykład 2.Pociąg towarowy miał przebyć pewną drogę w czasie 21 godzin. W połowie drogi pociąg nie-
spodziewanie zatrzymano na pół godziny. Aby uniknąć spóźnienia, pozostałą część trasy po-
ciąg przebył ze średnią prędkością o 2 km/h większą niż planowana. Jaka była długość tej
drogi i planowana prędkość pociągu?
Oznaczmy planowaną prędkość pociągu przez x (w km / h). Zatem przez pierwsze 10,5 godzi-
ny jazdy pociąg pokonał połowę drogi, czyli (10,5 ? x) km. Po nieplanowanym postoju jechał
jeszcze przez 10 godzin z prędkością (x + 2) km / h, pokonując wtedy drugą połowę drogi, czy-
li 10(x + 2) km.
Wówczas10,5 ? x = 10(x + 2), a stąd x = 40. Oznacza to, że pociąg przejechał 840 km, a plano-
wana średnia prędkość jazdy to 40 km / h.
Zadania tekstowe prowadzące do równań kwadratowych – prędkość, droga, czas
224
Przykład 3.Pewien rowerzysta przebył zaplanowaną trasę o długości 200 km, pokonując w ciągu każdej
godziny jazdy tę samą liczbę kilometrów. Gdyby rowerzysta mógł przeznaczyć na tę wyprawę
o 2 godziny więcej, to w ciągu każdej godziny mógłby przejeżdżać o 5 km mniej. Obliczymy, z
jaką średnią prędkością jechał ten rowerzysta.
Wprowadzamy oznaczenia:
x – czas (w godzinach) jazdy rowerzysty na trasie 200 km,
y – wartość średniej prędkości (w km / h), z jaką jechał.
Wtedy
xy = 200.
Gdyby rowerzysta jechał przez (x + 2) godziny, to jego średnia prędkość na trasie 200 km by-
łaby równa (y − 5 )km / h.
Zatem
(x + 2)(y − 5) = 200.
Uwzględniamy w tym równaniu zależność xy = 200 i przekształcamy je do postaci
y =5x + 10
2 .
Stąd
5x + 102 ? x = 200
5x2 + 10x = 400
x2 + 2x − 80 = 0.
Obliczamy wyróżnik Δ = 22 − 4 ? 1 ? (−80) = 324 = 182. Równanie ma więc dwa rozwiązania,
którymi są x1 =−2 + 18
2 = 8, x2 =−2 − 18
2 = − 10.
Drugie z rozwiązań odrzucamy, gdyż czas nie może być ujemny.
Zatem rowerzysta przejechał trasę 200 km w czasie 8 godzin, co oznacza, że jechał ze średnią
prędkością 25 km / h.
Odpowiedź: 25 km / h
Przykład 4.Miasta A i B są oddalone o 400 km. Pan Stanisław pokonał tę trasę samochodem w czasie o
75 minut krótszym niż pan Zenon. Wartość średniej prędkości, z jaką jechał pan Stanisław na
całej trasie była o 16 km / h większa od wartości średniej prędkości, z jaką jechał pan Zenon.
Oblicz średnie wartości:
Zadania tekstowe prowadzące do równań kwadratowych – prędkość, droga, czas
225
Wprowadzamy oznaczenia:
x – czas jazdy pana Zenona,
y – wartość średniej prędkości (w km / h), z jaką jechał pan Zenon.
Wtedy
xy = 400.
Pan Stanisław przebył drogę z A do B w czasie (x − 7560 ) godziny, a średnia wartość jego pręd-
kości była równa (y + 16) km / h.
Zatem
(x − 7560 )(y + 16) = 400.
Uwzględniamy w tym równaniu zależność xy = 400 i przekształcamy je do postaci
− 54y + 16x − 20 = 0.
Stąd
y =645 x − 16
co oznacza, że
(645 x − 16) ? x = 400
645 x2 − 16x − 400 = 0
4x2 − 5x − 125 = 0
Obliczamy wyróżnik Δ = (−5)2
− 4 ? 4 ? (−125) = 2025 = 452.
Równanie ma więc dwa rozwiązania x1 =5 + 45
8 =254 , x2 =
5 − 458 = − 5.
Drugie z rozwiązań odrzucamy, gdyż czas nie może być ujemny.
Zatem pan Zenon przejechał trasę 400 km w czasie 6 godzin 15 minut, co oznacza, że jechał
ze średnią prędkością 64 km / h. Wtedy średnia wartość prędkości, z jaką jechał pan Stani-
sław była równa 80 km / h.
Odpowiedź: Średnia wartość prędkości, z jaką pan Stanisław jechał z A do B: 80 km / h, śred-
nia wartość prędkości, z jaką pan Zenon jechał z A do B: 64 km / h.
prędkości, z jaką pan Stanisław jechał z A do B,a)
prędkości, z jaką pan Zenon jechał z A do B.b)
Zadania tekstowe prowadzące do równań kwadratowych – prędkość, droga, czas
226
Poziom trudności: AZadanie 2.9.2.1Suma kwadratów dwóch kolejnych liczb całkowitych jest równa 685. Co to za liczby?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.9.2.2Liczba wszystkich odcinków, łączących każde dwa wierzchołki pewnego wielokąta foremnego
jest równa 210. Ile boków ma ten wielokąt?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.9.2.3Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o podstawie kwadratowej jest równe 272. Kra-
wędź boczna jest o 1 krótsza od obwodu podstawy. Oblicz pole P powierzchni bocznej tego
prostopadłościanu.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.9.2.4Za pewną liczbę takich samych teczek na dokumenty sekretarka zapłaciła w hurtowni 435 zł.
Gdyby cena jednej teczki była o 5 groszy niższa, to za tę samą kwotę można byłoby kupić o 10
teczek więcej. Oblicz cenę jednej teczki.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.9.2.5Automat pracujący ze stałą wydajnością wyprodukował 7200 kopert. Gdyby ten automat pro-
dukował o 8 kopert na minutę więcej, to na wykonanie tej liczby kopert potrzebowałby o pół
godziny mniej. Oblicz, w ciągu jakiego czasu automat wyprodukował koperty.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.9.2.6Pan Jan przebył w pewnym czasie drogę długości 240 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością o
12 km / h większą, to czas przejazdu skróciłby się o 1 godzinę. Z jaką prędkością jechał pan Jan?
(Pokaż odpowiedź)
Zadania tekstowe prowadzące do równań kwadratowych – prędkość, droga, czas
227
Poziom trudności: AZadanie 2.9.2.7Pan Jan przebył w pewnym czasie drogę długości 210 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością o
10 km / h większą, to czas przejazdu skróciłby się o 42 minuty. Z jaką średnią prędkością jechał
pan Jan?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.9.2.8Rowerzysta przebył w pewnym czasie drogę długości 72 km. Gdyby jechał ze średnią prędko-
ścią o 6 km / h większą, to czas przejazdu skróciłby się o 36 minut. Jaka była średnia prędkość
rowerzysty?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.9.2.9Rowerzysta miał przebyć 120 km, jadąc z ustaloną średnią prędkością. W połowie drogi, którą
pokonał, jadąc zgodnie z planem, zatrzymał się, aby porozmawiać ze spotkanym znajomym. Po
tej przerwie kontynuował jazdę, ale żeby uniknąć spóźnienia, pozostałą część trasy przebył ze
średnią prędkością o 6 km / h większą niż zaplanowana. Okazało się, że łączny czas jazdy rowe-
rzysty (nie licząc postoju) to 4 godziny i 30 minut. Z jaką średnią prędkością rowerzysta plano-
wał przejechać 120 km?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.9.2.10W miasteczku są dwa place zabaw w kształcie prostokątów. Przekątna każdego z tych prosto-
kątów jest równa 85 m. Pierwszy plac ma długość o 7 m większą niż drugi, ale szerokość o 11 m
mniejszą. Oblicz długość i szerokość każdego z tych placów.
(Pokaż odpowiedź)
Zadania tekstowe prowadzące do równań kwadratowych – prędkość, droga, czas
228
Rozdział 3. Wielomiany. Funkcjewymierne
3.1. Pierwiastki równańW tym rozdziale zajmiemy się funkcjami, zwanymi wielomianami. Znasz już przykłady takich funk-
cji. Każda funkcja liniowa f(x) = ax + b i każda funkcja kwadratowa g(x) = ax2 + bx + c jest wielomia-
nem. Innymi przykładami wielomianów są funkcje
W(x) = x3 − 2x, V(x) = 2x7 − 3x2 + 3, R(x) = 10x5.
Definicja: Wielomian
Wielomianem zmiennej x stopnia n (n − liczba naturalna dodatnia) nazywamy funk-
cję określoną wzorem
W(x) = anxn + an − 1xn − 1 + … + a1x + a0
gdzie x ? R, an ≠ 0 oraz an − 1, an − 2, … , a1, a0 są liczbami rzeczywistymi. Liczby
an, an − 1, an − 2, … , a1, a0nazywamy współczynnikami wielomianu.
• Przyjmujemy ponadto, że funkcja liniowa stała W(x) = a0 , gdzie a0 ≠ 0, jest wie-
lomianem stopnia zerowego, natomiast funkcję liniową W(x) = 0 nazywamy
wielomianem zerowym i nie określamy stopnia tego wielomianu.
• Zgodnie z tą definicją funkcja liniowa f(x) = ax + b jest wielomianem stopnia
pierwszego, gdy a ≠ 0, a funkcja kwadratowa
g(x) = ax2 + bx + c
jest wielomianem stopnia drugiego. Oczywiście a ≠ 0, gdyż inaczej nie byłaby to
funkcja kwadratowa.
Przykład 1.• Funkcja określona wzorem W(x) = 2x7+x2 − 3x jest wielomianem stopnia 7. Współczyn-
niki tego wielomianu są równe odpowiednio a7 = 2, bo taka liczba stoi przy x7,
a6 = a5 = a4 = a3 = 0, bo te potęgi x nie występują we wzorze funkcji, a2 = 1, a1 = − 3
oraz a0 = 0, gdyż wyraz wolny nie występuje we wzorze funkcji. Wzór tej funkcji mogli-
byśmy zapisać w postaci
W(x) = 2x7+0 ∙ x6 + 0 ∙ x5 + 0 ∙ x4 + 0 ∙ x3 + x2
− 3x + 0.
Wielomiany. Funkcje wymierne
229
• Funkcja P(x) = √5x + 5x3 + 7x2 jest wielomianem stopnia 3, choć wielomian ten nie zo-
stał zapisany w postaci uporządkowanej, jaką byłaby postać
P(x) = 5x3 + 7x2 + √5x.
• Funkcja V(x) = 5x3 + 7x2 + √5x nie jest wielomianem, ponieważ we wzorze tej funkcji wy-
stępuje √5x, czyli √5 ? x12 , a więc zmienna x nie występuje tu w potędze o wykładniku
naturalnym.
• Funkcja Q(x) =2x + 3x2 nie jest wielomianem, gdyż
1x = x−1 nie jest naturalną potęgą
zmiennej x.
• Funkcja R(x) = 5 jest wielomianem stopnia zerowego.
Przykład 2.Przyjrzyj się wykresom niektórych funkcji wielomianowych.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Przykład 3.Wielomian jest funkcją zmiennej x. Możemy obliczyć jego wartość dla danego argumentu x.
Obliczmy na przykład wartość wielomianu W(x) = x3 − 2x dla x = − 2 oraz dla x = − √2.
• W miejsce x podstawiamy liczbę −2 i otrzymujemy
W(−2) = (−2)3
− 2 ∙ (−2) = − 8 + 4 = − 4
• W miejsce x podstawiamy liczbę −√2 i otrzymujemy
Pierwiastki równań
230
W(−√2) = (−√2)3
− 2 ∙ (−√2) = − 2√2 + 2√2 = 0
Zauważmy, że W(−√2) = 0, zatem liczba x = √2 jest miejscem zerowym wielomianu
W(x) = x3 − 2x. Miejsce zerowe wielomianu nazywamy często, podobnie jak miejsce zerowe
funkcji kwadratowej, pierwiastkiem tego wielomianu.
Na wielomianach możemy wykonywać różne działania, między innymi możemy je dodawać, odej-
mować i mnożyć. Działania na wielomianach wykonujemy podobnie jak działania na wyrażeniach
algebraicznych.
Przykład 4.Dodamy wielomiany V(x) = 2x3 − 3x2 + 3 oraz P(x) = − 2x2 + x − 7.
Suma tych wielomianów jest równa
V(x) + P(x) = (2x3 − 3x2 + 3) + (−2x2 + x − 7)
Wyrazy podobne to takie składniki sumy, w których x występuje w tej samej potędze. W roz-
ważanej sumie występują dwie pary wyrazów podobnych
V(x) + P(x) = 2x3 − 3x2 + 3 − 2x2 + x − 7
Wyrazy podobne redukujemy, a więc
−3x2 − 2x2 = − 5x2
oraz
+3 − 7 = − 4
Ostatecznie otrzymujemy
V(x) + P(x) = 2x3 − 5x2 + x − 4
Zatem sumą wielomianów V(x) i P(x) jest również wielomian.
Przykład 5.Odejmijmy wielomiany V(x) = 2x3 − 3x2 + 3 i P(x) = − 2x2 + x − 7.
Różnica wielomianów V(x) i P(x) jest równa
V(x) − P(x) = (2x3 − 3x2 + 3) − (−2x2 + x − 7)
Zapiszmy tę różnicę bez użycia nawiasów, pamiętając, że znak minus przed drugim nawia-
sem powoduje, że opuszczając go, zmieniamy znaki wszystkich składników sumy w tym na-
wiasie na przeciwne.
Pierwiastki równań
231
V(x) − P(x) = 2x3 − 3x2 + 3 + 2x2 − x + 7
Następnie, tak jak przy dodawaniu, wykonujemy redukcję wyrazów podobnych. Otrzymuje-
my
V(x) − P(x) = 2x3 − 3x2 + 3 + 2x2 − x + 7 = 2x3 − x2 − x + 10
Zatem różnica dwóch wielomianów też jest wielomianem.
Przykład 6.Pomnożymy wielomiany W(x) = x3 − 2x oraz Q(x) = 3x − 5.
Ich iloczyn jest równy
W(x) ∙ Q(x) = (x3 − 2x ) ? (3x − 5)
Mnożymy każdy wyraz sumy z pierwszego nawiasu przez każdy wyraz sumy z drugiego na-
wiasu
x3 ∙ 3x + x3 ∙ (−5) − 2x ∙ 3x − 2x ∙ (−5)
Po uporządkowaniu wyrażenia, otrzymujemy
W(x) ∙ Q(x) = 3x4 − 5x3 − 6x2 + 10x
Zatem iloczyn dwóch wielomianów też jest wielomianem.
Przykład 7.Wykonamy działania
(x2 − 3)2
− 2x(x3 − 2x + 4) = (x2)2
− 2 ? x2 ? 3 + 32 − 2x ? x3 − 2x ? (−2x) − 2x ? 4 =
x4 − 6x2 + 9 − 2x4 + 4x2 − 8x
Wykonamy redukcję wyrazów podobnych.
x4 − 6x2 + 9 − 2x4 + 4x2 − 8x = − x4 − 2x2 − 8x + 9
Pierwiastki równań
232
Przykład 8.Długości krawędzi prostopadłościanu są kolejnymi liczbami całkowitymi. Jakim wzorem wy-
razi się pole powierzchni i objętość tego prostopadłościanu w zależności od długości najkrót-
szej krawędzi prostopadłościanu?Oznaczmy przez x długość najkrótszej krawędzi prostopa-
dłościanu. Wtedy pozostałe dwie krawędzie są równe x + 1 oraz x + 2, gdzie x jest liczbą na-
turalną dodatnią.
Przeciwległe ściany prostopadłościanu są przystającymi prostokątami. Zatem pole Pc po-
wierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe
Pc = 2x(x + 1) + 2x(x + 2) + 2(x + 1)(x + 2) = 2x2 + 2x + 2x2 + 4x + 2(x2 + x + 2x + 2) = 4x2 + 6x + 2x2 + 2x + 4x + 4 = 6x2 + 12x + 4
Objętość v tego prostopadłościanu jest równa
v = x(x + 1)(x + 2) = (x2 + x)(x + 2) = x3 + x2 + 2x2 + 2x = x3 + 3x2 + 2x
Przykład 9.Wyznacz wszystkie wartości a, dla których wartość wielomianu
W(x) = ax3 + (1 − a2)x2 + 5ax + 3a + 3
dla argumentu 2 jest równa 3.
Chcemy wyznaczyć wszystkie te wartości parametru a, dla których W(2) = 3. Podstawiamy
więc 2 w miejsce x i otrzymujemy
a ? 23 + (1 − a2) ? 22 + 5a ? 2 − 3a + 3 = 3
Przekształcając to równanie do postaci
8a + 4 − 4a2 + 10a − 3a = 0
a następnie porządkując je, otrzymujemy równanie kwadratowe
−4a2 + 15a + 4 = 0
Pierwiastki równań
233
dla którego ∆ = 289. Równanie to ma więc dwa rozwiązania a1 =−15 − 17
−8 = 4 oraz
a2 =−15 + 17
−8 = − 14 .
Poziom trudności: AZadanie 3.1.1
W(x) = x3 + x2 + x + 1 oraz V(x) = − x2 + 3x − 1. Wtedy wielomian W(x) − V(x) jest równy
a) x3 − 2x2 − 2x − 2
b) x3 + 4x
c) x3 + 2x2 − 2x + 2
d) 3x3 − 2x + 2
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.1.2
Wartość wielomianu W(x) = (x4 − 9)(x + 3) dla argumentu √3 jest równa
a) −18√3
b) 6(√3 + 3)
c) −6(√3 + 3)
d) 0
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.1.3Który z podanych wielomianów dla argumentu x = − 2 przyjmuje wartość 0 ?
a) W(x) = − 2x3 + 4x2
b) W(x) = x4 + 2x3
c) W(x) = 2x4 + x3 − 2x
d) W(x) = x3 − 2x2
(Pokaż odpowiedź)
Pierwiastki równań
234
Poziom trudności: AZadanie 3.1.4Wielomian W(x) = 2x4 − ax3 + x2 − a dla argumentu −2 przyjmuje wartość −1. Wtedy
a) a = − 2
b) a = 2,5
c) a = 3
d) a = − 377
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.1.5Dla wielomianu W(x) = x4 − 2x2 + 7
a) W(100) = W( − 100)
b) W(1) > W( − 3)c) W(0) > 7
d) W(2) > W( − 2)(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.1.6Wybierz wielomian, który przyjmuje tylko wartości ujemne.
a) W(x) = − x5 + 1
b) W(x) = − x4
− x2 − 2
c) W(x) = − x5 − x3
d) W(x) = x2 − x4
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.1.7Wielomian W(x) = 2x3 − 4x2 + 5 jest sumą wielomianu P(x) = x4 + 4x2 + 5 oraz wielomianu Q(x).Wtedy
Pierwiastki równań
235
a) Q(x) = − x4 + 2x3
b) Q(x) = x4 + 2x3 + 10
c) Q(x) = − x4 + 2x3 − 8x2
d) Q(x) = x4 − 8x2
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.1.8
Wielomian W(x) = (2 − 3x)(2 + 3x)(4 + 9x2) jest równy
a) (4 − 9x2)2
b) (4 + 9x2)2
c) 16 + 81x4
d) 16 − 81x4
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.1.9Dane są wielomiany W(x) = 3x7 + 4x3 − 2x5 oraz V(x) = 2x7 − 2x5 − x3. Wtedy
a) W(x) − V(x) = x7 + 5x3
b) W(x) + V(x) = 5x7 + 2x3 − 3x5
c) W(x) + V(x) = 5x7 + 2x3 − 3x5
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.1.10Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
Pierwiastki równań
236
a) Funkcja V(x) = 2x + 7 jest wielomianem stopnia 2.
b) Funkcja P(x) = 7x jest wielomianem stopnia 1.
c) Funkcja W(x) = √7x3 + 2x − 9 jest wielomianem stopnia 9.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.1.11
Wykonaj działanie W(x) ? V(x), gdy W(x) = − 4x5 + 2x4 + x3 oraz V(x) = x2 − 2x.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.1.12
Dane są wielomiany P(x) = − 3x3 − 3x2 + 7 oraz Q(x) = 2x3 + 3x2. Oblicz.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.1.13
Oblicz wartość wielomianu W(x) − 3V(x) + 2P(x) dla x = − 1, gdy W(x) = 3x5 − x4 + 6x2
V(x) = x5 + x4 + 2x P(x) = 3x4 − 3x + 7
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.1.14
Znajdź wielomian W(x) = V(x) ? P(x) − 2Q(x) i określ jego stopień, jeżeli V(x) = 2x − 3, P(x) = x2 + 3
, Q(x) = x3 − 3x2 − 7.
(Pokaż odpowiedź)
P(x) + Q(x)a)
P(x) − Q(x)b)
2P(x) − 3Q(x)c)
P(x) ? Q(x)d)
Pierwiastki równań
237
Poziom trudności: AZadanie 3.1.15
Sprawdź, które z liczb a = 0, b = 7, c = 4 są pierwiastkami wielomianu W(x) = x3 − 7x2.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.1.16
Dla jakiej wartości a wartość wielomianu W(x) = x5 − 5x3 + (a2 − 1)x − 7 dla argumentu x = 2 jest
równa 1.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.1.17
Dla jakiej wartości a wielomian W(x) = ax3 − (5 − a)x2 − a2x przyjmuje dla argumentu −1 taką sa-
mą wartość jak wielomian P(x) = 5x4 + 7x?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.1.18
Udowodnij, że wielomiany P(x) = (x2 − 9)(x2 − 16) oraz Q(x) = (x2 − x − 12)(x2 + x − 12) przyjmują
taką samą wartość dla dowolnej liczby rzeczywistej x.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.1.19
Udowodnij, że dla dowolnego x wartość wielomianu W(x) = − x4 + 10x2 − 25 jest liczbą niedo-
datnią.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.1.20
Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x takiej, że | x | ≠ √3 wartość wielomianu
W(x) = − x4 + 6x2 − 9 jest liczbą ujemną.
(Pokaż odpowiedź)
Pierwiastki równań
238
3.2. Równania stopnia trzeciego w postaci iloczynuPoszukiwanie miejsc zerowych funkcji W sprowadza się najczęściej do rozwiązania równania
W(x) = 0. Do tej pory rozwiązywaliśmy takie równania, w których W(x) był wielomianem stopnia
pierwszego − wtedy otrzymywaliśmy równanie liniowe. Jeżeli W(x) był wielomianem stopnia dru-
giego, otrzymywaliśmy równanie kwadratowe. Teraz dowiesz się, jak rozwiązywać niektóre z rów-
nań, w których występuje wielomian stopnia wyższego niż dwa. Nie jest to zadanie łatwe. Dla do-
wolnych wielomianów stopnia piątego lub wyższego takie metody w ogóle nie istnieją. Pokażemy
więc, jak możesz sobie poradzić w pewnych szczególnych przypadkach.
Przykład 1.Rozwiążemy równania:
• x3 + 64 = 0
Odejmujemy od obu stron równania liczbę 64 i otrzymujemy równanie x3 = − 64. Jedyną licz-
bą spełniającą to równanie jest x =3√−64 = − 4.
• 2x4 − 162 = 0
2x4 = 162
x4 = 81
Jedyną dodatnią liczbą, która spełnia to równanie, jest x =4√81 = 3, co wynika z definicji pier-
wiastka. Zauważmy, że jeżeli wykładnik k potęgi xk jest parzysty, to xk = (−x)k, co oznacza, że
jeśli liczba 3 jest rozwiązaniem równania x4 = 81, to również liczba −3 jest rozwiązaniem tego
równania, bo (−3)4
= 34 = 81. Równanie ma zatem dwa rozwiązania x = 3 oraz x = − 3.
• x6 + 64 = 0.
Zauważmy, że to równanie jest sprzeczne, gdyż lewa strona tego równania jest sumą
nieujemnej liczby x6 oraz 64. Jest więc nie mniejsza niż 64 dla dowolnej liczby x. Nie mo-
że więc równać się 0.
Twierdzenie: Rozwiązanie równania xn = a
Dla liczby naturalnej dodatniej n, większej od 1, oraz liczby rzeczywistej a ≠ 0 równanie xn = a
ma
• jedno rozwiązanie równe x =n√a, gdy n jest liczbą nieparzystą,
• dwa rozwiązania równe x =n√a oraz x = − n√a, gdy n jest liczbą parzystą oraz a jest liczbą
dodatnią,
Równania stopnia trzeciego w postaci iloczynu
239
• zero rozwiązań, gdy n jest liczbą parzystą oraz a jest liczbą ujemną.
Przykład 2.Udowodnij, że równanie −x4 − x2 − 5 = 0 jest równaniem sprzecznym.
Zauważmy, że lewa strona równania jest sumą niedodatniej liczby −x4, niedodatniej liczby
−x2 oraz ujemnej liczby −5, więc jest liczbą ujemną. Nie może więc być równa 0.
Przejdziemy teraz do rozwiązywania równań, których jedna ze stron jest iloczynem wielomia-
nów, a druga strona jest równa 0. Będziemy tu korzystać z faktu, że iloczyn jest równy 0 wte-
dy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników tego iloczynu jest równy 0.
Przykład 3.Rozwiążemy równania
• x(x − 4)(x + 2) = 0
Lewa strona równania jest iloczynem trzech czynników. Jeśli iloczyn ten równa się zero, to co
najmniej jeden z czynników jest równy zero, czyli x = 0 lub x − 4 = 0 lub x + 2 = 0. Stąd wynika,
że równanie ma trzy rozwiązania x1 = 0, x2 = 4 oraz x3 = − 2.
• (x2 − 16)(2x2 + 9x − 5)(x4 + 4) = 0
W tym równaniu także lewa strona jest iloczynem trzech czynników, a prawa strona jest rów-
na zero. Tak jak poprzednio wnioskujemy, że co najmniej jeden z czynników musi być rów-
ny zero, czyli x2 − 16 = 0 lub 2x2 + 9x − 5 = 0 lub x4 + 4 = 0. Rozwiązujemy kolejno otrzymane
równania.
x2 − 16 = 0 przekształcamy równoważnie, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia, do
równania
(x − 4)(x + 4) = 0
Stąd x − 4 = 0 lub x + 4 = 0. Otrzymujemy więc dwa rozwiązania x1 = 4 oraz x2 = − 4.
2x2 + 9x − 5 = 0
jest równaniem kwadratowym, którego ∆ = 121. Równanie to ma więc dwa rozwiązania
x1 =−9 − 11
4 = − 5
oraz
x2 =−9 + 11
4 =12
x4 + 4 = 0
Równania stopnia trzeciego w postaci iloczynu
240
zgodnie z podanym wcześniej twierdzeniem, nie ma rozwiązań.
Zatem rozpatrywane równanie ma cztery rozwiązania x1 = 4 , x2 = − 4, x3 = − 5 oraz x4 =12 .
Teraz pokażemy, jak niektóre równania doprowadzić do takiej postaci, jaką miały równania oma-
wiane w poprzednim przykładzie.
Przykład 4.Rozwiążemy równanie x3 + x2 − 6x = 0.
Wyłączając x przed nawias, otrzymujemy równanie
x(x2 + x − 6) = 0,
którego lewa strona jest iloczynem dwóch czynników, a prawa jest równa zero. Zatem co naj-
mniej jeden z tych czynników jest równy zero, czyli x = 0 lub x2 + x − 6 = 0. Rozwiązujemy dru-
gie równanie.
∆ = 12 − 4 ? (−6) = 25
Ponieważ ∆ > 0, więc równanie to ma dwa rozwiązania x1 =−1 − 5
2 = − 3 oraz x2 =−1 + 5
2 = 2.
Rozwiązywane równanie ma więc trzy rozwiązania x1 = 0, x2 = − 3 oraz x3 = 2.
Przykład 5.Rozwiążemy równanie
x4 − 8x2 + 16 = 0
Zauważmy, że lewą stronę możemy zapisać, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia, w
następujący sposób
(x2 − 4)2
= 0
Korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów, otrzymujemy kolejno
[[x − 2][x + 2]]2
= 0
(x − 2)2(x + 2)
2= 0
Stąd wnioskujemy, że (x − 2)2
= 0 lub (x + 2)2
= 0, czyli x − 2 = 0 lub x + 2 = 0. Zatem x = 2 lub
x = − 2.
Równania stopnia trzeciego w postaci iloczynu
241
Przykład 6.Rozwiążemy równanie
x4 − x3 − 8x + 8 = 0
Żeby rozwiązać to równanie, pogrupujemy wyrazy. W tym celu wyłączmy przed nawias x3 z
dwóch pierwszych wyrazów oraz −8 z dwóch ostatnich. W ten sposób otrzymamy równanie
równoważne
x3(x − 1) − 8(x − 1) = 0,
w którym lewa strona jest różnicą dwóch iloczynów. W każdym z tych iloczynów występuje
wspólny czynnik (x − 1). Gdy wyłączymy go przed nawias, otrzymamy równanie
(x − 1)(x3 − 8) = 0
W ten sposób otrzymaliśmy równanie, którego lewa strona jest iloczynem dwóch czynników,
a prawa jest równa zero. Stąd otrzymujemy x1 − 1 = 0 lub x3 − 8 = 0. Pierwsze równanie speł-
nia jedynie liczba x = 1. Drugie równanie przekształcimy do postaci x3 = 8. Jedyną liczbą, któ-
ra spełnia to równanie, jest x2 =3√8 = 2. Ostatecznie otrzymaliśmy dwa rozwiązania x1 = 1
oraz x2 = 2 rozwiązywanego równania.
Poziom trudności: AZadanie 3.2.1-4
Aplikacja na epodreczniki.pl
Poziom trudności: AZadanie 3.2.5
Dane są wielomiany W(x) = (x − 3)(x + 1), V(x) = (x − 3)(x − 1). Wtedy równanie W(x) ? V(x) = 0 ma
a) 4 rozwiązania
b) 3 rozwiązania
c) 2 rozwiązania
d) 1 rozwiązanie
(Pokaż odpowiedź)
Równania stopnia trzeciego w postaci iloczynu
242
Poziom trudności: AZadanie 3.2.6Liczby x1, x2, x3 są rozwiązaniami równania (x + 1)(x + 2)(x + 3) = 0. Jeżeli x1 < x2 < x3, to
a) 2x1 + x2 = − 4
b) x1 ? x2 < x3
c) x1 = x2 + x3
d) x3 = x1 + x2
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.2.7Wybierz równanie, które ma dwa różne rozwiązania całkowite.
a) (x2 − 2)(x2 − 3) = 0
b) x(x2 − 4) = 0
c) x4 − 2 = 0
d) x(x − 3)(2x + 1) = 0
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.2.8Liczby −1 i 3 są jedynymi rozwiązaniami równania
a) (x2 − 2x + 1)(x − 3)2
= 0
b) (x2 − 2x − 3)(x − 3) = 0
c) 2x(x2 − 2x − 3) = 0
d) 5(x − 1)(x + 3) = 0
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.2.9Równanie x5 − 9 = 9x3 − x2 ma dokładnie
Równania stopnia trzeciego w postaci iloczynu
243
a) cztery rozwiązania x1 = − 3, x2 = − 1, x3 = 1, x4 = 3
b) jedno rozwiązanie x = 1
c) trzy rozwiązania x = − 3, x = − 1, x = 3
d) dwa rozwiązania x = 1, x = 9
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.2.10
Wielomian W(x) = x(x − 1)(x − 3) − (3 − x) można zapisać w postaci
a) W(x) = (x − 3)(x2 − x + 1)b) W(x) = (3 − x)(x − 1)
2
c) W(x) = (x − 3)(x2 − x − 1)d) W(x) = x(x − 1)(x − 3)(3 − x)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.2.11Równanie 3x4 − x2 = 0 można zapisać w postaci równoważnej
a) x2(3x − 1)2
= 0
b) x(√3x − 1)(√3x + 1) = 0
c) (√3x − 1)(√3x + 1)x2 = 0
d) x2(3x − 1)(3x + 1) = 0
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.2.12Równanie −4x4 − 6x3 + 18x2 = 0 można zapisać w postaci równoważnej
a) −2x2(2x − 3)(x − 3) = 0
Równania stopnia trzeciego w postaci iloczynu
244
b) −2x2(2x − 3)(x + 3) = 0
c) 2x2(2x + 3)(x − 3) = 0
d) 2x2(2x − 3)(x + 3) = 0
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.2.13
Liczba wszystkich rozwiązań równania x2(2x2 − 7)(x2 + 16) = 0 jest równa
a) pięć
b) cztery
c) trzy
d) dwa
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.2.14Rozwiąż równanie.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.2.15Rozwiąż równanie.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.2.16Rozwiąż równanie.
2x3 − 432 = 0a)
5x3
2 + 160 = 0b)
3x4 − 48 = 0a)
x6 − 27 = 0b)
5x8 + 20 = 0c)
Równania stopnia trzeciego w postaci iloczynu
245
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.2.17
Oblicz taką wartość m, dla której równanie (x − 3)(3x + m) = 0 ma tylko jedno rozwiązanie.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.2.18
Ile rozwiązań ma równanie (x4 − 16)(x2 + 3x − 10) = 0?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.2.19Rozwiąż równanie.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.2.20Rozwiąż równanie.
(Pokaż odpowiedź)
7x2(x + 3)2(3x − 1) = 0a)
(4x2 + 4x + 1)(x2 + 10) = 0b)
(16x2 − 9)(25x4 − 1) = 0c)
x4 − 8x3 + 16x2 = 0a)
2x3 − x2 − x = 0b)
x4 − 5x3 + 7x2 = 0c)
x3 + 2x2 − x − 2 = 0a)
x4 + 6x3 + x2 + 6x = 0b)
3x3 + 4x2 − 6x − 8 = 0c)
x3 − 3x2 − 4x + 12 = 0d)
Równania stopnia trzeciego w postaci iloczynu
246
Poziom trudności: AZadanie 3.2.21
Uzasadnij, że iloczyn pierwiastków równania x3 + 2x2 − 9x − 18 = 0 jest dodatni.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.2.22
Uzasadnij, że suma rozwiązań równania x50 + x2 = 50x48 + 50 jest liczbą całkowitą.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.2.23
Przez jaki wielomian trzeba pomnożyć wielomian W(x) = x2 − 4, żeby otrzymać wielomian
V(x) = x5 − 4x3 − 2x2 + 8?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.2.24
Udowodnij, że jeżeli liczba 2 jest rozwiązaniem równania (x − 2)2(x + 7) − x(x2 − ax + a) = 0, to
równanie to nie ma więcej rozwiązań.
(Pokaż odpowiedź)
Równania stopnia trzeciego w postaci iloczynu
247
3.3. Wyrażenia wymierne. Równania wymierneWyrażenia wymierne
Rozważając zależności między różnymi wielkościami, mamy do czynienia również z takimi, w któ-
rych występują wyrażenia wymierne. Na przykład wartość prędkości średniej obliczamy jako ilo-
raz drogi i czasu, w którym ta droga została przebyta.
Przykład 1.Miejscowości A i B są odległe o 154 km. W połowie drogi między nimi znajduje się miejsco-
wość C. Rowerzysta przejechał drogę z A do C, przy czym wartość jego średniej prędkości na
trasie z A do C była o 6 km / h większa niż wartość średniej prędkości na trasie z C do B.
Przyjmując, że wartość średniej prędkości tego rowerzysty na trasie z C do B była równa
v km / h, wyrazimy za pomocą v wartość jego średniej prędkości na całej trasie z A do B.
Z warunków zadania wnioskujemy, że czas t1 (w godzinach) przejazdu rowerzysty z A do C to
t1 =77
v + 6
Natomiast czas t2 (w godzinach) jego przejazdu z C do B to
t2 =77v
Zatem średnia prędkość V tego rowerzysty na trasie z A do B jest równa
V =154
77v + 6
+77v
Wyrażenie to przekształcamy następująco
15477
v + 6+
77v
=154
77v + 77(v + 6)(v + 6)v
=154(v + 6)v77(v + v + 6)
=154(v + 6)v77 ? 2(v + 3)
=(v + 6)v
v + 3
Wobec tego
V =(v + 6)v
v + 3
W powyższym przykładzie przy zapisie czasów t1 i t2 oraz prędkości średniej V wystąpiły wy-
rażenia wymierne t1 =77
v + 6 , t2 =77v , V =
(v + 6)vv + 3 . Każde z nich jest zapisane w postaci ilorazu, a
w mianowniku każdego z tych wyrażeń występuje zmienna v.
Zauważmy, że dla każdej wartości v (która jako wartość prędkości jest dodatnia), wyrażenia
te są określone. Gdyby na przykład ten rowerzysta jechał z C do B ze średnią prędkością
v = 22 km / h, to jego średnia prędkość na trasie z A do C byłaby równa 28 km / h, a średnia
prędkość na całej trasie z A do B – V =28 ? 22
25 km / h = 24,64 km / h. Nie jest to, jak widać,
średnia arytmetyczna wartości prędkości na trasach z A do B i z B do C.
Wyrażenia wymierne. Równania wymierne
248
Przykład 2.Rowerzysta przejechał drogę z A do B. W połowie drogi między miejscowościami A i B znaj-
duje się miejscowość C. Przyjmując, że na trasie z A do C rowerzysta jechał ze średnią pręd-
kością v1 km / h, a na trasie z C do B – ze średnią prędkością v2 km / h, zapiszemy wartość
jego średniej prędkości na całej trasie z A do B.
Oznaczmy przez s drogę z A do B.
Z warunków zadania wnioskujemy, że czas t1 (w godzinach) przejazdu rowerzysty z A do C to
t1 =
s2v1
=s
2v1
Natomiast czas t2 (w godzinach) jego przejazdu z C do B to
t2 =
s2v2
=s
2v2
Zatem średnia prędkość V tego rowerzysty na trasie z A do B jest równa
V =s
t1 + t2=
ss
2v1+
s2v2
=s
sv2 + sv12v1v2
=s ? 2v1v2
s(v1 + v2),
czyli wyraża się wzorem
V =2v1v2v1 + v2
Liczba2v1v2v1 + v2
to tzw. średnia harmoniczna liczb dodatnich v1, v2.
Przykład 3.Wielkość dodatnia a jest wyrażona w zależności od wielkości dodatnich b i c następującym
wzorem
a =3bc
b + 2c
Przyjmując, że to jest możliwe, wyrazimy
Przekształcamy dany wzór do postaci a(b + 2c) = 3bc, stąd ab + 2ac = 3bc. Zatem
b w zależności od a i ca)
c w zależności od a i bb)
2ac = 3bc − ab, a więc b ? (3c − a) = 2ac, co oznacza, że b =2ac
3c − a , gdy 3c − a ≠ 0.a)
ab = 3bc − 2ac, a więc c ? (3b − 2a) = ab, co oznacza, że c =ab
3b − 2a , gdy 3b − 2a ≠ 0.b)
Wyrażenia wymierne. Równania wymierne
249
Równanie wymierne
Równaniem wymiernym z niewiadomą x nazywamy równanie, które można sprowadzić do posta-
ci
W1(x)
W2(x)= 0
gdzie W1, W2 są wielomianami, przy czym W2 jest wielomianem co najwyżej pierwszego stopnia
W2(x) ≠ 0
Rozwiążemy kilka takich równań.
Przykład 4.Rozwiążemy równanie
23x + 1 =
18
Wyrażenie2
3x + 1 , zapisane po lewej stronie równania, jest określone, gdy x ≠ − 13 .
Mnożymy obie strony danego równania przez 8 ? (3x + 1) bo 8 ∙ (3x + 1) ≠ 0, stąd
3x + 1 = 2 ? 8
Oznacza to, że 3x = 15, czyli x = 5. Dla tej wartości x obie strony równania są określone, więc
liczba 5 jest szukanym rozwiązaniem danego równania.
Uwaga. Po zapisaniu warunku x ≠ − 13 można skorzystać z własności proporcji i w ten sposób
przekształcić równoważnie dane równanie do postaci
3x + 1 = 2 ? 8
Przykład 5.Rozwiążemy równanie
2x + 1 =
3x − 2
Wyrażenia zapisane w równaniu:2
x + 1 i3
x − 2 są określone, gdy x ≠ − 1 i x ≠ 2.
Ponieważ (x + 1)(x − 2) ≠ 0, to mnożymy obie strony danego równania przez (x + 1) ? (x − 2),stąd
2(x − 2) = 3(x + 1)
Otrzymujemy 2x − 3x = 3 + 4, czyli −7. Dla tej wartości x obie strony równania są określone,
więc liczba x = − 7 jest szukanym rozwiązaniem danego równania.
Wyrażenia wymierne. Równania wymierne
250
Przykład 6.Rozwiążemy równanie
x + 1x − 5 =
3x − 82x + 8
Wyrażenia zapisane w równaniu:x + 1x − 5 i
3x − 82x + 8 są określone, gdy x ≠ 5 i x ≠ − 4.
Mnożymy obie strony danego równania przez (x − 5) ? (2x + 8), stąd
(2x + 8)(x + 1) = (x − 5)(3x − 8)
Wobec tego
2x2 + 10x + 8 = 3x2 − 23x + 40
x2 − 33x + 32 = 0
Ponieważ wyróżnik tego równania jest dodatni: Δ = 332 − 4 ? 32 = 961 = 312, więc równanie
ma dwa rozwiązania:
x1 =33 − 31
2 = 1 oraz x2 =33 + 31
2 = 32.
Dla tych wartości x obie strony równania są określone, więc równaniex + 1x − 5 =
3x − 82x + 8 ma dwa
rozwiązania: 1 oraz 32.
Przykład 7.
Uzasadnimy, że żadna liczba całkowita nie jest rozwiązaniem równaniax
x − 1 = 2x − 3.
Wyrażeniex
x − 1 jest określone, gdy x ≠ 1.
Mnożymy obie strony danego równania przez liczbę x − 1 różną od zera, stąd
x = (2x − 3)(x − 1)
Wobec tego
x = 2x2 − 3x − 2x + 3
2x2 − 6x + 3 = 0
Wyróżnik tego równania jest dodatni: Δ = 36 − 24 = 12, więc równanie ma dwa rozwiązania.
Ponieważ √Δ = 2√3 jest liczbą niewymierną, to każde z tych rozwiązań
x1 =6 − 2√3
4 =32 − √3
2 oraz x2 =6 + 2√3
4 =32 + √3
2
jest liczbą niewymierną. Zatem równaniex
x − 1 = 2x − 3 nie ma rozwiązań w zbiorze liczb cał-
kowitych.
Wyrażenia wymierne. Równania wymierne
251
Przykład 8.
Rozwiążemy równanie2
(x − 1)(x + 1)=
4
x(x + 1)+
3x − 2
x(x − 1).
Wyrażenia2
(x − 1)(x + 1),
4
x(x + 1)i
3x − 2
x(x − 1)zapisane w równaniu są określone, gdy x ≠ 0, x ≠ 1 i
x ≠ − 1.
Mnożymy obie strony danego równania przez x ∙ (x + 1) ∙ (x − 1) wyrażenie różne od zera, stąd
2x = 4(x − 1) + (3x − 2)(x + 1)
Wobec tego
2x = 4x − 4 + 3x2 − 2x + 3x − 2
3x2 + 3x − 6 = 0
x2 + x − 2 = 0
Ponieważ wyróżnik tego równania jest dodatni: ∆ = 12 − 4 ∙ (−2) = 9 = 32, więc równanie ma
dwa rozwiązania
x1 =−1 − 3
2 oraz x2 =−1 + 3
2 = 1.
Tylko dla wartości x = − 2 obie strony równania2
(x − 1)(x + 1)=
4
x(x + 1)+
3x − 2
x(x − 1)są określone, więc
to równanie ma jedno rozwiązanie: x1 = − 2.
Przykład 9.
Rozwiążemy równanie1
(x − 4)(x − 1)+
1
(x − 1)(x + 2)+
1
(x + 2)(x + 5)=
112 .
Na początku odnotujmy, że wyrażenia zapisane po obu stronach danego równania są okre-
ślone, gdy x ≠ 4, x ≠ 1, x ≠ − 2, x ≠ − 5.
Przedstawimy dwa sposoby rozwiązania tego równania.
• sposób I
Przekształcamy lewą stronę równania. Dodajemy wyrażenia w parach: najpierw pierwsze do
drugiego, a następnie otrzymaną sumę z trzecim:
( x + 2
(x − 4)(x − 1)(x + 2)+
x − 4
(x − 4)(x − 1)(x + 2) ) +1
(x + 2)(x + 5)=
112
2(x − 1)(x − 4)(x − 1)(x + 2)
+1
(x + 2)(x + 5)=
112
Pierwszy ułamek możemy skrócić, bo x − 1 ≠ 0
2
(x − 4)(x + 2)+
1
(x + 2)(x + 5)=
112
Wyrażenia wymierne. Równania wymierne
252
2(x + 5)(x − 4)(x + 2)(x + 5)
+x − 4
(x − 4)(x + 2)(x + 5)=
112
3(x + 2)(x − 4)(x + 2)(x + 5)
=1
12
3
(x − 4)(x + 5)=
112 .
Stąd
(x − 4)(x + 5) = 36,
czyli
x2 + x − 56 = 0.
Otrzymane równanie ma dwa rozwiązania: x1 = 7 oraz x2 = − 8. Dla tych wartości x obie stro-
ny danego równania są określone, zatem są to jedyne rozwiązania danego równania.
• sposób II
Zauważmy, że różnice wyrażeń zapisanych w mianownikach każdego z trzech ułamków sto-
jących po lewej stronie równania są stałe i równe 3. Wykorzystamy ten fakt do przekształce-
nia równania. Pomnożymy najpierw obie strony równania przez 3:
3
(x − 4)(x − 1)+
3
(x − 1)(x + 2)+
3
(x + 2)(x + 5)=
14
Następnie zapiszemy w liczniku różnice wyrażeń z mianownika
(x − 1) − (x − 4)(x − 4)(x − 1)
+(x + 2) − (x − 1)(x − 1)(x + 2)
+(x + 5) − (x + 2)(x + 2)(x + 5)
=14
Każde z trzech wyrażeń zapiszemy jako różnicę dwóch ułamków
(x − 1)(x − 4)(x − 1)
−(x − 4)
(x − 4)(x − 1)+
(x + 2)(x − 1)(x + 2)
−(x − 1)
(x − 1)(x + 2)+
(x + 5)(x + 2)(x + 5)
−(x + 2)
(x + 2)(x + 5)=
14
a po skróceniu otrzymanych ułamków uporządkujemy lewą stronę równania
1x − 4 − 1
x − 1 +1
x − 1 − 1x + 2 +
1x + 2 − 1
x + 5 =14
1x − 4 − 1
x + 5 =14
Po pomnożeniu obu stron otrzymanego równania przez 4(x − 4)(x + 5) otrzymujemy:
4(x + 5) − 4(x − 4) = (x + 5)(x − 4)
Wyrażenia wymierne. Równania wymierne
253
4x + 20 − 4x + 16 = x2 + 5x − 4x − 20
x2 + x − 56 = 0
Jak wiemy z rozwiązania poprzednim sposobem, to równanie ma dwa rozwiązania: x1 = 7
oraz x2 = − 8. Są to jedyne rozwiązania równania1
(x − 4)(x − 1)+
1
(x − 1)(x + 2)+
1
(x + 2)(x + 5)=
112
Przykład 10.Rozwiążemy równanie
12x + 3 +
12x + 4 +
12x + 5 +
12x + 6 = 0
Wyrażenia zapisane po obu stronach danego równania są określone, gdy
x ≠ − 32 , x ≠ − 2, x ≠ − 5
2 , x ≠ − 3.
Przekształcamy lewą stronę równania. Dodajemy wyrażenia parami: pierwsze do ostatniego,
a drugie do trzeciego:
2x + 6 + 2x + 3
(2x + 3)(2x + 6)+
2x + 5 + 2x + 4
(2x + 4)(2x + 5)= 0
Stąd
4x + 9
(2x + 3)(2x + 6)+
4x + 9
(2x + 4)(2x + 5)= 0
(4x + 9)( 1
(2x + 3)(2x + 6)+
1
(2x + 4)(2x + 5) ) = 0
a więc 4x + 9 = 0 lub1
(2x + 3)(2x + 6)+
1
(2x + 4)(2x + 5)= 0
Rozwiązując równanie1
(2x + 3)(2x + 6)+
1
(2x + 4)(2x + 5)= 0, otrzymujemy
1
(2x + 3)(2x + 6)=
−1
(2x + 4)(2x + 5)
(2x + 4)(2x + 5) = − (2x + 3)(2x + 6)
4x2 + 18x + 19 = 0
stąd x1 = − 94 − √5
4 , x2 = − 94 + √5
4 . Zatem równanie ma dwa rozwiązania: − 94 − √5
4 oraz − 94 + √5
4 .
Wyrażenia wymierne. Równania wymierne
254
Poziom trudności: AZadanie 3.3.1
Aplikacja na epodreczniki.pl
Poziom trudności: AZadanie 3.3.2
Wyrażenie1
x + 1 +1
x + 2 jest równe
a)2x + 3
(x + 1)(x + 2)
b)3x
(x + 1)(x + 2)
c)1
(x + 1)(x + 2)
d)1
2x + 3
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.3.3
Rozwiązaniem równania2x + 1x − 3 =
32 jest liczba
a) 11
b) 4
c) – 4
d) – 11
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.3.4
Równanie(x + 2)(x − 1)(x − 1)(x − 2)
= 0
Wyrażenia wymierne. Równania wymierne
255
a) ma dokładnie trzy rozwiązania
b) ma dokładnie dwa rozwiązania
c) ma dokładnie jedno rozwiązanie
d) nie ma rozwiązań
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.3.5
Wspólnym pierwiastkiem równań2x − 6x + 1 = 0 oraz
(x − 3)(x + 1)x − 5 = 0 jest liczba
a) 5
b) 3
c) 1
d) – 1
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.3.6
Jeśli z =2x
x + 3y , to
a) x =3yzz − 2
b) x =z − 23yz
c) x =2 − z3yz
d) x =3yz2 − z
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.3.7
Rozwiązaniem równaniax + 2x − 2 =
x − 4x jest liczba
Wyrażenia wymierne. Równania wymierne
256
a) 4
b) 3
c) 2
d) 1
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.3.8
Wspólnym pierwiastkiem równańx2 − 16
x2 + 1= 0 oraz
x2 + 4xx + 2 = 0 jest liczba
a) – 4
b) 0
c) 1
d) 2
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.3.9
Równaniex2 + 9x + 9 = 0
a) ma dokładnie trzy rozwiązania
b) ma dokładnie dwa rozwiązania
c) ma dokładnie jedno rozwiązanie
d) nie ma rozwiązań
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.3.10Rozwiąż równanie.
7x − 2 =
6x + 3
a)
3x − 5 =
1x + 4
b)
127x + 10 =
53x + 4
c)
Wyrażenia wymierne. Równania wymierne
257
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.3.11Rozwiąż równanie.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.3.12Wielkości x, y łączy zależność xy + 2x − 3y + 5 = 0. Wyraź
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.3.13
Wielkości dodatnie a, b, c łączy zależność a =b + 2cb − c . Wyraź
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.3.14Rozwiąż równanie.
(Pokaż odpowiedź)
74 − 3x =
51 − 2x
d)
xx + 1 =
x − 1x + 3
a)
8x + 911 − 4x =
7 − 2xx + 3
b)
3x − 42 − x =
7 − 6x2x + 5
c)
x w zależności od y i ustal, dla jakich y otrzymane wyrażenie jest określonea)
y w zależności od x i ustal, dla jakich x otrzymane wyrażenie jest określoneb)
b w zależności od a i ca)
c w zależności od a i bb)
xx + 1 = x + 4a)
3x − 1x − 5 = 4x − 7b)
Wyrażenia wymierne. Równania wymierne
258
Poziom trudności: AZadanie 3.3.15Rozwiąż równanie.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.3.16Rozwiąż równanie.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.3.17Rozwiąż równanie.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.3.18
Uzasadnij, że żadna liczba całkowita nie jest rozwiązaniem równania2x
3x − 2 = 4x + 3.
(Pokaż odpowiedź)
2x − 5x − 1 =
3x − 3x + 5
a)
2x + 5x − 4 =
5x + 123x − 6
b)
3x + 1x + 4 =
9x − 294x − 11
c)
4x + 3 +
6x − 3 =
5x + 11
x2 − 9
a)
3x + 2 +
4x − 2 =
7x + 2
x2 − 4
b)
5x + 1 − 2
x − 1 =3x − 7
x2 − 1
c)
4x + 2 − 7
2 − x =11x + 6
x2 − 4
a)
xx + 2 − x − 4
2 − x =2 − 5x
x2 − 4
b)
x + 1x + 3 − x − 2
x − 3 =2x − 12
x2 − 9
c)
Wyrażenia wymierne. Równania wymierne
259
Poziom trudności: AZadanie 3.3.19
Uzasadnij, że żadna liczba całkowita nie jest rozwiązaniem równaniax
x + 1 = 3x − 2.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 3.3.20Rozwiąż równanie.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 3.3.21Rozwiąż równanie.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: CZadanie 3.3.22
Rozwiąż równanie1
(x + 1)(x + 2)+
1
(x + 2)(x + 3)+
1
(x + 3)(x + 4)=
310 .
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: CZadanie 3.3.23Rozwiąż równanie.
(Pokaż odpowiedź)
2
(x − 3)(x + 3)− 5
x(x − 3)=
x + 4
x(x + 3)a)
7
(x − 2)(x + 5)+
x − 4
x(x − 2)=
4
x(x + 5)b)
1x + 1 +
1x + 2 +
1x + 3 +
1x + 4 = 0a)
12x − 5 +
12x − 1 +
12x + 3 +
12x + 7 = 0b)
1
(x − 5)(x − 3)+
1
(x − 3)(x − 1)+
1
(x − 1)(x + 1)+
1
(x + 1)(x + 3)= − 1
3a)
1
(x − 5)(x − 3)+
1
(x − 3)(x − 1)+
1
(x − 1)(x + 1)+
1
(x + 1)(x + 3)= − 1
5b)
Wyrażenia wymierne. Równania wymierne
260
3.4. Zastosowanie równań wymiernych dointerpretacji zagadnień praktycznychPraca i czas potrzebny na jej wykonanie
W poniższych przykładach prezentujemy zadania tekstowe dotyczące pracy i czasu potrzebnego
na jej wykonanie.Przypomnijmy, że praca to miara wysiłku włożonego w wytworzenie danego do-
bra, a efektem pracy jest pewna wartość ekonomiczna; w poniższych zadaniach jest to zazwyczaj
wykonany towar lub usługa.
Przez wydajność pracy będziemy rozumieli wartość produkcji wytworzonej w określonym czasie
(najczęściej w jednostce czasu, np. w ciągu jednego dnia, w ciągu jednej godziny).
W rozpatrywanych poniżej przykładach i zadaniach zakładamy, że średnia wydajność wykonywa-
nej pracy przez opisanych w zadaniu robotników, firmy, automaty itp. nie zmienia się wraz z upły-
wem czasu.
Przykład 1.Dwie firmy: firma A i firma B otrzymały do wykonania pewną pracę. Firma A samodzielnie
wykonałaby tę pracę w ciągu 5 dni, a firma B sama wykonałaby tę pracę w ciągu 20 dni. W
ciągu ilu dni wykonałyby tę pracę firmy A i B, pracując razem?
Z treści zadania wynika, że firma A wykonywałaby dziennie15 zaplanowanej pracy, a firma B –
120 tej pracy. Oznacza to, że razem wykonywałaby dziennie
15 +
120 =
520 =
14 całej pracy. Zatem
pracując razem, wykonałyby całą tę pracę w ciągu 4 dni.
Przykład 2.W firmie świadczącej usługi obróbki plastycznej są dwa różne automaty, które tłoczą plasti-
kowe pojemniki o takiej samej wielkości i takim samym kształcie. Firma przyjęła zlecenie wy-
konania pewnej liczby takich pojemników. Gdyby oba automaty pracowały razem, to zlece-
nie zostałoby wykonane w ciągu 4 godzin. Gdyby zaś najpierw połowę tych detali wytłoczył
pierwszy automat, to drugi, do zakończenia zleconej pracy musiałby pracować jeszcze przez
6 godzin. W ciągu ilu godzin pierwszy automat wytłoczyłby wszystkie pojemniki?
Ponieważ drugi automat w ciągu 6 godzin wykonał połowę zleconej pracy, więc na wykonanie
wszystkich pojemników potrzebuje 12 godzin. Zatem w ciągu godziny automat ten wykonuje1
12 wszystkich pojemników.
Z treści zadania wynika, że oba automaty w ciągu godziny wykonują14 całej pracy, co oznacza,
że pierwszy automat wykonuje w tym czasie14 − 1
12 =2
12 =16 wszystkich pojemników. Wobec
tego pierwszy automat wytłoczyłby wszystkie pojemniki w ciągu 6 godzin.
Przykład 3.Firma budowlana planowała w ciągu 10 dni wykonać prace wykończeniowe w budowanym
bloku mieszkalnym. W tym celu zatrudniła dwa zespoły robotników: zespół A i zespół B. Po 4
dniach od rozpoczęcia wspólnej pracy zespół A zrezygnował z udziału w tym przedsięwzięciu,
więc zespół B sam dokończył tę pracę, na co potrzebował jeszcze 9 dni. W ciągu ilu dni każdy
Zastosowanie równań wymiernych do interpretacji zagadnień praktycznych
261
z tych zespołów wykonałby tę pracę samodzielnie?
Z treści zadania wynika, że w ciągu 4 dni wspólnej pracy zespoły wykonały 4 ?1
10 całej pracy.
Do wykonania zostało jeszcze6
10 całej pracy, którą zespół B wykonał w ciągu 9 dni. Zatem ze-
spół B wykonywał w ciągu jednego dnia6
10 ?19 =
115 całej pracy, czyli samodzielnie wykonałby
całe zamówienie w ciągu 15 dni. Oznacza to, że zespół A wykonywał w ciągu jednego dnia1
10 − 115 =
130 całej pracy, czyli wykonałby samodzielnie całą tę pracę w ciągu 30 dni.
Przykład 4.Dwie firmy A i B podjęły się wyprodukować wspólnie w ciągu 12 dni ustaloną liczbę jedna-
kowych okien. Firma A po dwóch dniach wycofała się z udziału w realizacji zamówienia, więc
pozostałą część okien wyprodukowała firma B. W ciągu ilu dni zostało wykonane zamówie-
nie, jeżeli dzienna produkcja firmy B stanowi23 dziennej produkcji firmy A?
Oznaczmy przez a – liczbę okien, które w ciągu jednego dnia produkuje firma A. Wtedy dzien-
na produkcja firmy B to23a, a obie firmy produkują razem a +
23a =
53a okien dziennie.
Ponieważ według planu całe zamówienie miało być wykonane przez obie firmy w ciągu 12
dni, więc do wykonania było 12 ?53a = 20a okien.
W ciągu dwóch dni obie firmy wykonały razem 2 ?53a =
103 a okien. Zatem firmie B pozostało
do wykonania 20a − 103 a =
503 a okien.
Ponieważ dzienna wydajność firmy B to23a, więc firma B wykona tę pracę w ciągu
503 a :
23a = 25 dni.
Oznacza to, że całe zamówienie zostało wykonane w ciągu 27 (dni).
Przykład 5.Dwa zespoły robotników: A i B mają wykonać pewną pracę. Zespół A samodzielnie wykonałby
tę pracę o 7 dni szybciej niż pracujący samodzielnie zespół B.
Przyjmując, że x to liczba dni potrzebnych zespołowi A na samodzielne wykonanie tej pracy,
wyrazimy za pomocą x tę część pracy, która zostanie wykonana w ciągu jednego dnia przez
zespoły A i B pracujące razem.
Z warunków zadania otrzymujemy, że x + 7 to liczba dni, które zespół B potrzebuje na wyko-
nanie zleconej pracy.
Zatem
• zespół A w ciągu jednego dnia wykonuje1x całej pracy,
• zespół B w ciągu jednego dnia wykonuje1
x + 7 całej pracy.
Oznacza to, że oba zespoły, pracując razem, w ciągu jednego dnia wykonują1x +
1x + 7 całej
pracy.
Sprowadzając do wspólnego mianownika ułamki, wyrażenie to zapiszemy w postaci
1x +
1x + 7 =
x + 7 + x
x(x + 7)=
2x + 7
x(x + 7)
Zastosowanie równań wymiernych do interpretacji zagadnień praktycznych
262
W powyższym przykładzie pojawiły się wyrażenia wymierne1x ,
1x + 7 ,
2x + 7
x(x + 7).
Zauważmy, że dla każdej wartości x (która jest liczbą dodatnią dni) wyrażenia te są określone.
Gdyby na przykład w opisanej sytuacji zespół A potrzebował na wykonanie całej pracy 21 dni,
to zespół B potrzebowałby na jej wykonanie 28 dni. Ponieważ1
21 +1
28 =1
12 , więc oba zespoły,
pracując razem, wykonałyby całą pracę w ciągu 12 dni.
Zauważmy też, że w przedstawionej sytuacji za pomocą wyrażeniax(x + 7)2x + 7 opisujemy liczbę
dni potrzebnych do wykonania całej pracy przez zespoły A i B pracujące razem.
Przykład 6.Dwa automaty, pracując jednocześnie, wykonały pewną pracę. Pierwszy automat, aby wyko-
nać tę pracę samodzielnie, musiałby pracować trzy razy dłużej, a drugi – o godzinę dłużej niż
wtedy, gdy pracowały razem. W jakim czasie każdy z automatów może samodzielnie wyko-
nać tę pracę?Oznaczmy przez x – czas (w godzinach), w którym oba automaty razem wyko-
nały pracę. Wtedy czas potrzebny pierwszemu automatowi i czas potrzebny drugiemu auto-
matowi na samodzielne wykonanie tej pracy to odpowiednio 3x oraz x + 1.
Zatem w ciągu godziny:
• razem wykonają1x całej pracy,
• pierwszy wykona1
3x całej pracy,
• drugi wykona1
x + 1 całej pracy.
Otrzymujemy więc równanie
13x +
1x + 1 =
1x
stąd
23x =
1x + 1
(x > 0)
a więc x = 2.
Zatem pierwszy automat samodzielnie wykonałby pracę w ciągu 6 godzin, a drugi – w ciągu
3 godzin.
Przykład 7.Dwie firmy wykonały prace drogowe w ciągu 32 dni, przy czym najpierw połowę pracy wyko-
nała tylko pierwsza firma, a następnie resztę pracy wykonała tylko druga firma. Gdyby obie
firmy pracowały razem, to wykonałyby te prace w ciągu 15 dni. Ilu dni potrzebowałaby każda
z tych firm na samodzielne wykonanie całej pracy?
Z treści zadania wynika, że wykonując po połowie pracy, obie firmy pracowały w sumie 32
Zastosowanie równań wymiernych do interpretacji zagadnień praktycznych
263
dni, więc suma liczb dni, w ciągu których każda z firm wykonuje całą pracę, jest równa 64.
Oznaczmy przez x liczbę dni potrzebnych pierwszej firmie na wykonanie całej pracy, wtedy
liczba dni potrzebnych drugiej firmie na wykonanie całej pracy to 64 − x.
Oznacza to, że pierwsza firma wykonuje dziennie1x całej pracy, a druga
164 − x .
Otrzymujemy więc równanie
1x +
164 − x =
115
stąd
15 ? (64 − x) + 15 ? x = x ? (64 − x)
x2 − 64x + 960 = 0
Równanie to ma dwa rozwiązania: x1 = 24 oraz x2 = 40. Każde z nich spełnia warunki zadania.
Wynika z tego, że jedna z tych firm wykonałaby samodzielnie całe zlecenie w ciągu 24 dni, a
druga – w ciągu 40 dni.
Przykład 8.Automat do obróbki plastycznej wykonał 720 metalowych detali, pracując na niższym pozio-
mie wydajności. Gdyby przestawić ten automat na wyższy poziom wydajności, to w ciągu go-
dziny będzie wykonywał o 40 detali więcej i tę samą liczbę detali wykona, pracując o 54 mi-
nuty krócej. W ciągu ilu godzin ten automat wykonał 720 detali?
Oznaczmy przez x czas, w ciągu którego automat wykonał wszystkie detale. Wtedy720
x to licz-
ba detali wykonanych przez ten automat w ciągu godziny.
Z treści zadania wynika, że na wyższym poziomie wydajności automat wytwarza (720x + 40)
detali na godzinę, a do wykonania 720 detali potrzebowałby (x − 910 ) godziny.
Otrzymujemy więc równanie
(x − 910 )(720
x + 40) = 720
stąd
720 − 648x + 40x − 36 = 720
40x − 36 − 648x = 0
10x2 − 9x − 162 = 0
Równanie to ma dwa rozwiązania: x1 = 412 oraz x2 = − 3
35 . Tylko pierwsze z nich spełnia wa-
Zastosowanie równań wymiernych do interpretacji zagadnień praktycznych
264
runki zadania.
Wynika z tego, że automat wykonał 720 detali w ciągu 4,5 godziny.
Przykład 9.Dwa zespoły robotników w ciagu 14 godzin wykonały zlecone prace murarskie, pracując ko-
lejno: najpierw tylko pierwszy, a następnie tylko drugi. Drugi zespół pracował wtedy1
10 tego
czasu, w którym pierwszy wykonał tę pracę samodzielnie. Gdyby oba zespoły pracowały ra-
zem, to wykonałyby tę pracę w ciągu 4 godzin. Ilu godzin potrzebowałby każdy z tych zespo-
łów, aby wykonać tę pracę samodzielnie?
Oznaczmy przez x – czas (w godzinach), w którym praca zostałaby wykonana, gdyby pracował
tylko pierwszy zespół.
Drugi zespół pracował zatem przez1
10x godzin, a więc pierwszy pracował przez (14 − 110x) go-
dzin.
Ponadto wiemy, że oba zespoły, pracując razem, wykonałyby w ciągu godziny14 całej pracy i
pierwszy zespół wykonałby w tym czasie1x całej pracy, więc drugi w ciągu godziny wykonałby
(14 − 1
x ) zleconej pracy.
Wobec tego otrzymujemy równanie
110x(1
4 − 1x ) + (14 − 1
10x) ?1x = 1
stąd
140x +
14x − 6
5 = 0
x2 − 48x + 560 = 0
Równanie to ma dwa rozwiązania: x1 = 20 oraz x2 = 28. Oba spełniają warunki zadania.
Mam więc dwie możliwości:
Przykład 10.Dwa różne automaty wykonują pewną pracę. Gdyby pierwszy automat pracował sam przez
3,5 godziny, to do zakończenia pracy oba automaty musiałyby pracować razem jeszcze przez
4,5 godziny. Drugi automat pracujący samodzielnie wykonuje tę pracę w czasie o 7 godzin
krótszym niż pierwszy. W ciągu ilu godzin każdy z automatów może samodzielnie wykonać
tę pracę?
Oznaczmy przez x – czas, w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tylko I au-
x = 20, wtedy zespół pierwszy do wykonania całej pracy potrzebuje 20 godzin, a drugi
– 5 godzin,
a)
x = 28, wtedy zespół pierwszy do wykonania całej pracy potrzebuje 28 godzin, a drugi
– 4 godzin i 40 minut.
b)
Zastosowanie równań wymiernych do interpretacji zagadnień praktycznych
265
tomat. Wtedy (x − 7) to czas, w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tylko
II automat.
Stąd
3,5x + 4,5(1
x +1
x − 7 ) = 1
co prowadzi do równania
2x2 − 39x + 112 = 0
Równanie to ma dwa rozwiązania: x1 = 16 oraz x2 = 3,5. Tylko pierwsze z nich spełnia warunki
zadania. Wobec tego pierwszy automat może samodzielnie wykonać tę pracę w ciągu 16 go-
dzin, a drugi – w ciągu 9 godzin.
Przykład 11.Dwa automaty wykonały pewną pracę. Najpierw pracował tylko pierwszy, a potem pracę do-
kończył drugi. Pierwszy automat pracował wtedy59 tego czasu, w którym drugi automat mo-
że wykonać całą pracę.
Gdyby oba automaty pracowały razem, to wówczas wykonałyby całą pracę w czasie o 6 go-
dzin i 40 minut krótszym, przy czym pierwszy automat wykonałby45 tej pracy, którą wykonał-
by wówczas drugi.
W jakim czasie każdy z automatów może wykonać tę pracę samodzielnie?
Oznaczmy:
przez x – czas (w godzinach), w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tylko
pierwszy automat,
przez y – czas (w godzinach), w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tylko
drugi automat.
Ponieważ w czasie wspólnej pracy pierwszy automat wykonuje45 pracy, którą wykonuje dru-
gi, więc y =45x.
W ciągu godziny pierwszy automat wykonuje1x całej pracy, drugi –
1y całej pracy.
Zatem, kiedy automaty pracowały jeden po drugim, to pierwszy automat wykonał59y ?
1x =
59 ?
45x ?
1x =
49 całej pracy.
Wobec tego drugi automat wykonał59 całej pracy, więc pracował przez
59y godzin. Oznacza to,
że cała praca została wykonana w ciągu59y +
59y =
109 y godzin.
Stąd, wynika, że gdyby oba automaty pracowały razem, to wykonałyby całą pracę w ciągu
(109 y − 20
3 ) godzin.
Zatem
(109 y − 20
3 )(1x +
1y ) = 1
Zastosowanie równań wymiernych do interpretacji zagadnień praktycznych
266
(109 ?
45x − 20
3 )(1x +
145
x ) = 1
8x − 609 ?
94x = 1
8x − 60 = 4x
x = 15
Oznacza to, że pierwszy automat samodzielnie wykonałby tę pracę w ciągu 15 godzin, a drugi
– w ciągu 12 godzin.
Poziom trudności: AZadanie 3.4.1Firma budująca pewien odcinek autostrady zatrudniła do prac geodezyjnych trzy zespoły:
G1, G2 i G3. Zespół G1 wykonałby tę pracę w ciągu 12 dni, zespół G2 – w ciągu 15 dni, a zespół
G3 – w ciągu 60 dni. W ciągu ilu dni zostaną wykonane prace geodezyjne, gdy wszystkie trzy
zespoły będą pracować jednocześnie?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.4.2Do wykonania pewnej pracy można użyć każdego z dwóch automatów. Pierwszy z nich samo-
dzielnie wykonuje tę pracę w ciągu 4 godzin, a drugi – w ciągu 5 godzin. Oba automaty włączo-
no do wspólnej pracy na 2 godziny. Ile czasu potrzebowałby każdy z tych automatów, żeby do-
kończyć pracę samodzielnie?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.4.3W firmie świadczącej usługi obróbki plastycznej pracują trzy różne automaty, które tłoczą me-
talowe detale. Firma przyjęła zlecenie wykonania pewnej liczby takich detali. Gdyby automaty
pracowały oddzielnie, to pierwszy z nich wykonałby zleconą liczbę detali w ciągu 16 godzin, dru-
gi – w ciągu 10 godzin, a trzeci – w ciągu 24 godzin. Do wykonania tej pracy najpierw włączono
na 2 godziny tylko pierwszy automat, następnie drugi pracował sam przez 5 godzin. Ile godzin
musiał potem pracować trzeci automat, żeby dokończyć zleconą pracę?
(Pokaż odpowiedź)
Zastosowanie równań wymiernych do interpretacji zagadnień praktycznych
267
Poziom trudności: AZadanie 3.4.4Do wykonania pewnej liczby detali można użyć każdego z dwóch automatów. Oba automaty,
pracując jednocześnie, wykonałyby tę liczbę detali w ciągu 4 godzin. Gdyby pierwszy pracował
samodzielnie przez 5 godzin, to oba automaty, aby wykonać wymaganą liczbę detali, musiałyby
pracować jeszcze przez 3 godziny. W jakim czasie każdy z automatów może samodzielnie wy-
konać tę liczbę detali?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.4.5Pewna firma planowała wykonać w ciągu 12 dni prace zbrojeniowe przy budowie wiaduktu dro-
gowego, wykorzystując do tego celu dwa zespoły zbrojarzy: zespół A i zespół B. Po 3 dniach od
rozpoczęcia wspólnej pracy zespół B został przeniesiony do pracy w innym miejscu, więc ze-
spół A dokończył tę pracę sam. W tych warunkach prace trwały dwa razy dłużej, niż planowano.
W ciągu ilu dni każdy z tych zespołów robotników wykonałby samodzielnie zlecone prace zbro-
jeniowe?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.4.6Dwa różne automaty wykonują razem daną pracę w ciągu 5 godzin. Gdyby najpierw przez 3
godziny pracował tylko pierwszy automat, a następnie przez 6 godzin pracował tylko drugi, to
wykonałyby razem 70% całej pracy. W ciągu ilu godzin każdy z tych automatów wykonuje całą
pracę?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.4.7Dwa zespoły robotników, pracując wspólnie, wykonały pewną pracę. Aby wykonać tę pracę od-
dzielnie, pierwszy zespół musiałby pracować o 4 godziny dłużej, a drugi 3,5 raza dłużej niż wte-
dy, gdy pracowały razem. W jakim czasie każdy z tych zespołów może samodzielnie wykonać tę
pracę?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.4.8Do wykonania pewnej liczby detali można użyć każdego z dwóch automatów. Oba automaty,
pracując jednocześnie, wykonałyby tę liczbę detali w ciągu 6 godzin. Gdyby pracowały kolejno:
najpierw pierwszy samodzielnie wykonałby połowę detali, a następnie drugi samodzielnie do-
Zastosowanie równań wymiernych do interpretacji zagadnień praktycznych
268
kończyłby pracę, to wymaganą liczbę detali wykonałyby w ciągu 16 godzin. W jakim czasie każ-
dy z tych automatów może samodzielnie wykonać tę liczbę detali?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.4.9
Do zbiornika o pojemności 840 m3 można doprowadzić wodę dwiema rurami. W ciągu jednej
godziny pierwsza rura dostarcza do zbiornika o 7 m3 wody więcej niż druga rura. Czas napeł-
niania zbiornika wodą tylko z pierwszej rury jest o 6 godzin krótszy od czasu napełniania tego
zbiornika wodą tylko z drugiej rury. Oblicz, w ciągu ilu godzin pusty zbiornik zostanie napełnio-
ny, jeśli woda będzie doprowadzana przez obie rury jednocześnie.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.4.10
Do zbiornika o pojemności 900 m3 można doprowadzić wodę dwiema rurami. W ciągu jednej
godziny pierwsza rura dostarcza do zbiornika o 7,5 m3 wody mniej niż druga rura. Czas napeł-
niania zbiornika wodą tylko z pierwszej rury jest o 20 godzin dłuższy od czasu napełniania tego
zbiornika wodą tylko z drugiej rury. Oblicz, w ciągu ilu godzin pusty zbiornik zostanie napełnio-
ny, jeśli woda będzie doprowadzana przez obie rury jednocześnie.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.4.11Dwa różne automaty wykonują razem pewną pracę w ciągu 2 godzin. Pierwszy automat, pra-
cując samodzielnie, potrzebuje na wykonanie tej pracy o 3 godziny mniej niż drugi automat
pracujący samodzielnie. W ciągu ilu godzin każdy z automatów może samodzielnie wykonać tę
pracę?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.4.12Dwa różne automaty mają wykonać pewną pracę. Gdyby pierwszy automat pracował sam
przez półtorej godziny, to aby dokończyć pracę oba automaty musiałyby pracować razem jesz-
cze przez 5,5 godziny. Pierwszy automat pracujący samodzielnie wykonuje tę pracę w czasie o
3 godziny dłuższym niż drugi automat pracujący samodzielnie. W ciągu ilu godzin każdy z au-
tomatów może samodzielnie wykonać tę pracę?
(Pokaż odpowiedź)
Zastosowanie równań wymiernych do interpretacji zagadnień praktycznych
269
Poziom trudności: AZadanie 3.4.13Dwa różne automaty wykonały pewną liczbę detali, przy czym pierwszy automat najpierw przez
godzinę pracował sam, a następnie oba razem pracowały jeszcze przez pewien czas. Po trzech
godzinach od momentu rozpoczęcia pracy pierwszego automatu wykonano 45% całej pracy, a
po jej zakończeniu okazało się, że każdy z automatów wykonał po tyle samo detali. W ciągu ilu
godzin każdy z automatów może samodzielnie wykonać tę liczbę detali?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.4.14Dwa automaty wykonały pewną pracę, pracując kolejno: najpierw tylko pierwszy, potem tylko
drugi. Pierwszy automat pracował wtedy56 tego czasu, w którym drugi automat może wykonać
całą pracę. Gdyby oba automaty pracowały razem, to wówczas wykonałyby całą pracę w czasie
o 8,5 godziny krótszym, przy czym pierwszy automat wykonałby35 tej pracy, którą wykonałby
wówczas drugi. W jakim czasie każdy z automatów może wykonać tę pracę samodzielnie?
(Pokaż odpowiedź)
Zastosowanie równań wymiernych do interpretacji zagadnień praktycznych
270
3.5. Proporcjonalność odwrotna
3.5.1. Proporcjonalność odwrotna
W rozdziale o funkcjach omówione zostały zależności wprost proporcjonalne. Teraz zajmiemy się
wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi.
Przykład 1.Szkoła przeznaczyła kwotę 270 zł na wydruk ulotek promocyjnych. Ceny proponowane za
usługę wydruku tej samej ulotki w różnych drukarniach zebrano w tabeli.
cena wydruku 1 ulotki (p) [zł] 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,40 0,45 0,50
liczba ulotek (r) [szt] 2700 1800 1350 1080 900 675 600 540
Za każdym razem koszt wydruku wszystkich ulotek jest taki sam: p ∙ r = 270.
Zauważmy, że im wyższa cena jednostkowa wydruku, tym mniej ulotek możemy wydrukować
za podaną kwotę.
Przykład 2.Długość oddanej do użytku (do 2015 roku) autostrady A1 od węzła Łódź Północ (woj. łódzkie)
do węzła Rusocin (woj. pomorskie) to ok. 300 km. Czas potrzebny na przejazd tego odcinka
jest uzależniony od średniej prędkości, z jaką porusza się pojazd. Zależności między tymi
wielkościami przedstawia tabela.
średnia prędkość
(v) [km / h] 80 85 90 95 100 110 120 130
czas przejazdu (t) [h] 3,75ok.
3,5
ok.
3,3
ok.
3,2 3ok.
2,7 2,5ok.
2,3
Zauważmy, że jeśli zwiększa się średnia prędkość samochodu (v), to czas przejazdu (t) jest
coraz krótszy.
Proporcjonalność odwrotna
271
Film na epodreczniki.pl
Przykład 3.Rozpatrzmy wszystkie prostokąty o bokach x , y, których pole jest równe 12.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Pola prostokątów są równe x ∙ y = 12. Iloczyn jest stały, a zwiększenie długości jednego z bo-
ków powoduje proporcjonalne zmniejszenie długości drugiego boku.
Proporcjonalność odwrotna
272
Wielkości przedstawione w powyższych przykładach charakteryzują się tym, że wzrost jednej
z nich powoduje takie zmniejszenie drugiej, że iloczyn tych wielkości pozostaje stały. O takich
wielkościach będziemy mówić, że są odwrotnie proporcjonalne.
Definicja: Wielkości odwrotnie proporcjonalne
Mówimy, że dwie dodatnie wielkości x i y są odwrotnie proporcjonalne wtedy i tylko
wtedy, gdy ich iloczyn jest stały i różny od zera.
Definicja: Proporcjonalność odwrotna
Funkcja f opisująca zależność między dodatnimi wielkościami odwrotnie proporcjo-
nalnymi x i y nazywana jest proporcjonalnością odwrotną, a iloczyn x ∙ y = a nazywa-
ny jest współczynnikiem proporcjonalności odwrotnej.
Z faktu, że liczby x i y są dodatnie, wynika, że współczynnik a także jest dodatni.
Zależność między wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi x i y możemy zapisać
również w postaci y =ax .
Proporcjonalność odwrotna
273
3.5.2. Wykres funkcji
Zajmiemy się teraz funkcjami opisanymi takim samym wzorem jak proporcjonalność odwrotna,
czyli f(x) =ax , ale określonymi dla dowolnej liczby x ≠ 0. Przyjmiemy, że współczynnik a ≠ 0. Przy
a = 0 f(x) = 0 jest nieokreślona dla x = 0, więc jej dziedziną jest R{a}.
Zastanówmy się, jak wygląda wykres funkcji opisującej proporcjonalność odwrotną.
Przykład 1.
Narysuj wykres funkcji y =1x , gdy x ≠ 0.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Otrzymany wykres nazywamy hiperbolą. Hiperbola składa się z dwóch ramion położonych
symetrycznie względem punktu (0,0). Charakterystyczne dla tego wykresu jest to, że każde z
jego ramion zbliża się do osi układu współrzędnych, ale w żadnym punkcie nie przecina ani
osi Ox, ani Oy.
Przyjrzymy się innym własnościom funkcji f(x) =1x .
Wykres funkcji
274
Przykład 2.
Odczytaj z wykresu własności funkcji f(x) =1x .
• Ramiona hiperboli leżą w I i III ćwiartce układu współrzędnych.
• Funkcja f jest określona dla wszystkich x ≠ 0 (wykres funkcji nie przecina osi Oy).
• Zbiorem wartości jest przedział (−∞, 0) ? (0, + ∞).• Funkcja f nie ma miejsc zerowych (wykres funkcji nie ma punktów wspólnych z osią Ox).
• Funkcja f jest malejąca w każdym z przedziałów (−∞, 0) oraz (0, + ∞).• Funkcja f przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów z przedziału (0, + ∞) oraz war-
tości ujemne dla argumentów z przedziału (−∞, 0).
Wykres funkcji
275
Przykład 3.
Korzystając z wykresu funkcji f(x) =1x , narysuj wykres funkcji g(x) = − 1
x .
Aplikacja na epodreczniki.pl
Zauważmy, że g(x) = − f(x), zatem wystarczy przekształcić hiperbolę f(x) =1x symetrycznie
względem osi Ox.
Odczytamy z wykresu własności funkcji g(x) = − 1x .
Wykres funkcji
276
• Ramiona hiperboli leżą w II i IV ćwiartce układu współrzędnych.
• Funkcja g jest określona dla wszystkich x ≠ 0 (wykres funkcji nie przecina osi Oy).
• Zbiorem wartości jest przedział (−∞, 0) ? (0, + ∞).• Funkcja g nie ma miejsc zerowych (wykres funkcji nie ma punktów wspólnych z osią Ox
).
• Funkcja g jest rosnąca w każdym z przedziałów (−∞, 0) oraz (0, + ∞).• Funkcja g przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów z przedziału (−∞, 0) oraz warto-
ści ujemne dla argumentów z przedziału (0, + ∞).
Przykład 4.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Wykres funkcji
277
Przykład 5.
Narysuj wykres f(x) =4x . Odczytaj z wykresu najmniejszą wartość funkcji w przedziale (0, 1 ?
Odpowiedź. Najmniejsza wartość funkcji f(x) =4x w przedziale (0, 1 ? jest równa 4.
Przykład 6.
Punkt P = (3, − 2) leży na wykresie proporcjonalności odwrotnej f(x) =ax . Wyznacz wartość
współczynnika a.
Z tego, że punkt P = (3, − 2) leży na wykresie f(x) =ax , wynika, że −2 =
a3 , czyli a = − 6.
Wykres funkcji
278
Przykład 7.
Narysuj wykres funkcji f(x) = − 3x . Odczytaj z wykresu, dla jakich argumentów funkcja f przyj-
muje wartości mniejsze od – 3.
Odpowiedź. Funkcja f(x) = − 3x przyjmuje wartości mniejsze od −3 dla argumentów z prze-
działu (0,1).
Poziom trudności: AZadanie 3.5.2.1
Aplikacja na epodreczniki.pl
Wykres funkcji
279
3.5.3. Przesunięcia wykresu wzdłuż osi układu współrzędnych
W rozdziale poświęconym własnościom funkcji mówiliśmy o przesuwaniu wykresu funkcji wzdłuż
osi układu współrzędnych. Teraz wykorzystamy te wiadomości do przesuwania hiperboli.
Przykład 1.
Narysuj wykres funkcji f(x) =3x + 2.
Zauważmy, że do narysowania wykresu funkcji f możemy wykorzystać hiperbolę g(x) =3x . Jeśli
przesuniemy ją o 2 wzdłuż osi Oy, to otrzymamy wykres funkcji f(x) =3x + 2.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Na podstawie wykresu omówmy własności funkcji f(x) =3x + 2.
• Funkcja f jest określona dla wszystkich x ≠ 0 (wykres funkcji nie przecina osi Oy).
• Zbiorem wartości jest przedział (−∞, 2) ? (2, + ∞).• Miejscem zerowym funkcji jest x0 = − 3
2 .
• Funkcja f jest malejąca w każdym z przedziałów (−∞, 0) oraz (0, + ∞).
• Funkcja f przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów ze zbioru (−∞, − 32 ) ? (0, + ∞)
oraz wartości ujemne dla argumentów z przedziału (− 32 , 0).
Przesunięcia wykresu wzdłuż osi układu współrzędnych
280
Przykład 2.
Narysuj wykres funkcji f(x) =3
x − 4 .
Podobnie jak poprzednio do narysowania wykresu funkcji f wykorzystamy hiperbolę g(x) =3x
. Jeśli przesuniemy ją o 4 w prawo wzdłuż osi Ox, to otrzymamy wykres funkcji f(x) =3
x − 4 .
Aplikacja na epodreczniki.pl
Na podstawie wykresu omówmy własności funkcji f(x) =3
x − 4 .
• Funkcja f jest określona dla argumentów z przedziału (−∞, 4) ? (4, + ∞).• Zbiorem wartości jest przedział (−∞, 0) ? (0, + ∞).• Funkcja nie ma miejsca zerowego.
• Funkcja f jest malejąca w każdym z przedziałów (−∞, 4) oraz (4, + ∞).• Funkcja f przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów z przedziału (4, + ∞) oraz war-
tości ujemne dla argumentów z przedziału (−∞, 4).
Przykład 3.
Narysuj wykres funkcji f(x) = − 3x − 5 − 3.
Do narysowania tego wykresu wykorzystamy wykres funkcji g(x) = − 3x i jego przesunięcie o
5 wzdłuż osi Ox i −3 wzdłuż osi Oy.
Z wykresu możemy odczytać własności funkcji f(x) = − 3x − 5 − 3.
• Funkcja f jest określona dla argumentów z przedziału (−∞, 5) ? (5, + ∞) .
• Zbiorem wartości jest przedział (−∞, − 3) ? (−3, + ∞).• Miejscem zerowym funkcji jest x0 = 4.
Przesunięcia wykresu wzdłuż osi układu współrzędnych
281
• Funkcja f jest rosnąca w każdym z przedziałów (−∞, 5) oraz (5, + ∞).• Funkcja f przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów z przedziału (4,5) oraz wartości
ujemne dla argumentów ze zbioru (−∞, 4) ? (5, + ∞).
Przykład 4.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Poziom trudności: AZadanie 3.5.3.1
Sprawdź, który z punktów A = (4, √32 ), B = (3
32, 2), C = (−3√3
2 ,−34 ) należy do wykresu funkcji
f(x) =2√3
x .
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.5.3.2
Wyznacz współczynnik a tak, aby do wykresu funkcji f(x) =ax należał punkt o współrzędnych
(−4, 2)a)
(412 , − 1
3 )b)
Przesunięcia wykresu wzdłuż osi układu współrzędnych
282
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.5.3.3
Naszkicuj wykres funkcji f(x) =−5
x + 3 − 5. Określ, dla jakich argumentów funkcja f przyjmuje war-
tości nieujemne.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.5.3.4
Naszkicuj wykres funkcji f(x) =6x + 3. Określ jej dziedzinę i zbiór wartości. Dla jakich argumen-
tów funkcja f przyjmuje wartości mniejsze od 6?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.5.3.5Określ dziedzinę i zbiór wartości funkcji f opisanej wzorem
(Pokaż odpowiedź)
( − 34 , − 8
27 )c)
(25,1
100 )d)
(3√3, − 13√3)e)
f(x) =−2
x + 12 − 1a)
f(x) =41
x − 5 + 23b)
f(x) =−7
x − 8 − 15c)
f(x) =−25x + 2 + 18d)
f(x) =5
x − √2 − √5e)
Przesunięcia wykresu wzdłuż osi układu współrzędnych
283
Poziom trudności: AZadanie 3.5.3.6
Funkcja f opisana jest wzorem f(x) =17
x − 34 + 54. Wyznacz wartość m, dla której funkcja f nie ma
punktów wspólnych z prostą o równaniu y = m.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.5.3.7
Wyznacz takie wartości liczby p, dla których punkt A = (4,12) należy do wykresu funkcji
f(x) =−12
x − p2 .
(Pokaż odpowiedź)
Przesunięcia wykresu wzdłuż osi układu współrzędnych
284
3.6. Zastosowania funkcji wymiernych dointerpretacji zagadnień praktycznychZadania tekstowe z zastosowaniem równań
wymiernych
W poniższych przykładach prezentujemy zadania tekstowe dotyczące pracy i czasu potrzebnego
na jej wykonanie.Praca to miara wysiłku włożonego w wytworzenie danego dobra.
Efektem pracy jest pewna wartość ekonomiczna. W poniższych zadaniach jest to najczęściej towar
lub usługa.
Wydajność pracy to wartość produkcji wytworzonej w określonym czasie (najczęściej w jednostce
czasu, np. w ciągu jednego dnia, w ciągu jednej godziny).
Przykład 1.Dwa różne automaty wykonują razem daną pracę w ciągu 5 godzin. Gdyby pierwszy automat
pracował sam 3 godziny, a następnie drugi pracował sam przez 6 godzin, to wykonałyby ra-
zem 70% całej pracy. W ciągu ilu godzin każdy automat wykonuje całą pracę samodzielnie?
Oznaczmy:
• przez x – czas, w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tylko pierwszy
automat,
• przez y – czas, w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tylko drugi au-
tomat.
Ponieważ w ciągu godziny pierwszy automat wykonuje1x całej pracy, drugi –
1y całej pracy, a
razem wykonują całą pracę w ciągu 5 godzin, to
1x +
1y =
15
W ciągu 3 godzin pierwszy automat wykonuje3x całej pracy, a drugi w ciągu 6 godzin wyko-
nuje6y całej pracy.
Ponadto po 3 godzinach samodzielnej pracy pierwszego automatu i po 6 godzinach samo-
dzielnej pracy drugiego automatu wykonane zostanie 70% całej pracy, zatem
3x +
6y =
710
Wówczas
1y =
15 − 1
x
więc
3x + 6(1
5 − 1x ) =
710
Zastosowania funkcji wymiernych do interpretacji zagadnień praktycznych
285
Po rozwiązaniu otrzymanego równania mamy x = 6, stąd y = 30.
Odpowiedź. Pierwszy automat – 6 godzin, drugi automat – 30 godzin.
Przykład 2.Dwa różne automaty wykonują pewną pracę. Gdyby pierwszy automat pracował sam przez
3,5 godziny, to do zakończenia pracy musiałyby razem pracować jeszcze przez 4,5 godziny.
Drugi automat pracujący samodzielnie wykonuje tę pracę w czasie o 7 godzin krótszym niż
pierwszy automat pracujący samodzielnie. W ciągu ilu godzin każdy z automatów może sa-
modzielnie wykonać tę pracę?
Szkic. Oznaczmy przez x – czas, w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tyl-
ko pierwszy automat. Wtedy x − 7 to czas, w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie
pracował tylko drugi automat.
Stąd
3,5x + 4,5(1
x +1
x − 7 ) = 1
co prowadzi do równania
2x2 − 39x + 112 = 0
Tylko jedno rozwiązanie (x = 16) otrzymanego równania spełnia warunki zadania.
Odpowiedź. Pierwszy automat – 16 godzin, drugi automat – 9 godzin.
Przykład 3.Dwa automaty wykonały pewną pracę, pracując kolejno: najpierw tylko pierwszy, potem tylko
drugi. Pierwszy automat pracował wtedy 5 / 9 tego czasu, w którym drugi automat może wy-
konać całą pracę.
Gdyby oba automaty pracowały razem, to wówczas wykonałyby całą pracę w czasie o 6 go-
dzin i 40 minut krótszym, przy czym pierwszy automat wykonałby45 pracy, którą wykonałby
wówczas drugi.
W jakim czasie każdy z automatów może wykonać tę pracę samodzielnie?
Oznaczmy:
• przez x – czas (w godzinach), w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował
tylko pierwszy automat,
• przez y – czas (w godzinach), w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował
tylko drugi automat.
Ponieważ w ciągu wspólnej pracy godziny I automat wykonuje45 tego, co wykonuje drugi, to
y =45x.
W ciągu godziny pierwszy automat wykonuje1x całej pracy, drugi –
1y całej pracy.
Zatem kiedy automaty pracowały jedne po drugim, to pierwszy automat wykonał59y ?
1x =
59 ?
45x ?
1x =
49 całej pracy.
Zastosowania funkcji wymiernych do interpretacji zagadnień praktycznych
286
Wobec tego drugi automat pracował wtedy przez59y godzin, czyli cała praca została wykona-
na w ciągu59y +
59y =
109 y godzin.
Stąd gdyby oba automaty pracowały razem, to pracowałyby przez109 y − 20
3 godzin. Ponieważ
wtedy wykonałyby całą pracę, to
(109 y − 20
3 )(1x +
1y ) = 1
(109 ?
45x − 20
3 )(1x +
145
x ) = 1
8x − 609 ?
94x = 1
8x − 60 = 4x
x = 15.
Odpowiedź. I automat – 15 godzin, II automat – 12 godzin.
Przykład 4.Dwa różne automaty wykonują razem zadaną pracę w ciągu 5 godzin. Gdyby pierwszy auto-
mat pracował sam 3 godziny, a następnie drugi pracował sam przez 6 godzin, to wykonałyby
razem 70% całej pracy. W ciągu ilu godzin każdy automat wykonuje całą pracę samodzielnie?
Oznaczmy
• przez x – czas, w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tylko I auto-
mat,
• przez y – czas, w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tylko II auto-
mat.
Ponieważ w ciągu godziny I automat wykonuje1x całej pracy, drugi –
1y całej pracy, a razem
wykonują całą pracę w ciągu 5 godzin, to
1x +
1y =
15
W ciągu 3 godzin I automat wykonuje3x całej pracy, a drugi w ciągu 6 godzin wykonuje
6y całej
pracy.
Ponadto po 3 godzinach samodzielnej pracy I automatu i po 6 godzinach samodzielnej pracy
II automatu wykonane zostanie 70% całej pracy, zatem
3x +
6y =
710
Wówczas
Zastosowania funkcji wymiernych do interpretacji zagadnień praktycznych
287
1y =
15 − 1
x
więc
3x + 6(1
5 − 1x ) =
710
Po rozwiązaniu otrzymanego równania dostajemy x = 6, skąd y = 30.
Odpowiedź. I automat – 6 godzin, II automat – 30 godzin.
Przykład 5.Automat wykonał 720 detali, pracując na niższym poziomie wydajności. Gdyby przestawić
ten automat na wyższy poziom wydajności, to w ciągu godziny będzie wykonywał o 40 detali
więcej i wtedy wykona 720 detali, pracując o 54 minuty krócej.
W ciągu ilu godzin ten automat wykonał 720 detali?
Rozwiązanie.
{xy = 720
{x − 910{y + 40 = 720
stąd x2 − 9x − 162 = 0, x = 412 (x = − 3
35 nie spełnia).
Odpowiedź. 4,5 godziny.
Przykład 6.Dwa automaty, pracując jednocześnie wykonały pewną liczbę detali. Aby wykonać taką liczbę
detali, pracując samodzielnie pierwszy automat musiałby pracować 3 razy dłużej, a drugi – o
1 godzinę dłużej.
W jakim czasie każdy z automatów może samodzielnie wykonać tę liczbę detali?
Rozwiązanie.
13x +
1x + 1 =
1x ,
stąd2
3x =1
x + 1 i x = 2.
Odpowiedź. I: 4 godziny, II: 12 godzin.
Poziom trudności: AZadanie 3.6.1Do wykonania pewnej liczby detali można użyć każdego z dwóch automatów. Oba automaty,
pracując jednocześnie, wykonałyby tę liczbę detali w ciągu 4 godzin. Gdyby pierwszy pracował
samodzielnie przez 5 godzin, to aby wykonać wymaganą liczbę detali oba automaty musiałby
Zastosowania funkcji wymiernych do interpretacji zagadnień praktycznych
288
pracować jeszcze przez 3 godziny. W jakim czasie każdy z automatów może samodzielnie wy-
konać tę liczbę detali?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.6.2Do wykonania pewnej liczby detali można użyć każdego z dwóch automatów. Oba automaty,
pracując jednocześnie, wykonałyby tę liczbę detali w ciągu 6 godzin. Gdyby pracowały kolejno:
najpierw pierwszy samodzielnie wykonał połowę detali, a następnie drugi również samodziel-
nie dokończył pracę, to wymaganą liczbę detali wykonałyby przez 16 godzin. W jakim czasie
każdy z tych automatów może samodzielnie wykonać tę liczbę detali?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.6.3Dwa automaty, pracując razem, wykonały pewną pracę w ciągu 3 godzin. Gdyby pracowały ko-
lejno i najpierw tylko pierwszy wykonał połowę pracy, a następnie tylko drugi wykonał resztę,
to wykonałyby całą pracę w ciągu 8 godzin. W ciągu ilu godzin każdy z automatów może samo-
dzielnie wykonać tę pracę?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.6.4Dwa automaty wykonały pewną pracę, pracując kolejno: najpierw tylko pierwszy, potem tylko
drugi. Pierwszy automat pracował wtedy 5 / 6 tego czasu, w którym drugi automat może wy-
konać całą pracę. Gdyby oba automaty pracowały razem, to wówczas wykonałyby całą pracę w
czasie o 8 i pół godziny krótszym, przy czym pierwszy automat wykonałby 3 / 5 tego, co wyko-
nałby wówczas drugi. W jakim czasie każdy z automatów może wykonać tę pracę samodzielnie?
Poziom trudności: AZadanie 3.6.5Dwa różne automaty wykonały pewną liczbę detali, przy czym pierwszy automat najpierw przez
godzinę pracował sam, a następnie oba razem pracowały jeszcze przez pewien czas. Po trzech
godzinach od momentu rozpoczęcia pracy pierwszego automatu wykonano 45% całej pracy, a
po jej zakończeniu okazało się, że każdy z automatów wykonał po tyle samo detali. W ciągu ilu
godzin każdy z automatów może samodzielnie wykonać tę liczbę detali?
(Pokaż odpowiedź)
Zastosowania funkcji wymiernych do interpretacji zagadnień praktycznych
289
Poziom trudności: AZadanie 3.6.6Dwa różne automaty mają wykonać pewną pracę. Gdyby pierwszy automat pracował sam
przez półtorej godziny, to do zakończenia pracy musiałyby pracować razem jeszcze przez 5,5
godziny. Pierwszy automat pracujący samodzielnie wykonuje tę pracę w czasie o 3 godziny
dłuższym niż drugi automat pracujący samodzielnie. W ciągu ilu godzin każdy z automatów
może samodzielnie wykonać tę pracę?
Poziom trudności: AZadanie 3.6.7Dwa różne automaty wykonują razem pewną pracę w ciągu 2 godzin. Pierwszy automat, pra-
cując samodzielnie, potrzebuje na wykonanie tej pracy o 3 godziny mniej niż drugi automat
pracujący samodzielnie. W ciągu ilu godzin każdy z automatów może samodzielnie wykonać tę
pracę?
Poziom trudności: AZadanie 3.6.8Trzy różne automaty, pracując razem, wykonały pewną pracę. Gdyby każdy z tych automatów
miał wykonać tę pracę sam, to pierwszy wykonałby ją w czasie o 1 godzinę dłuższym, drugi –
w czasie o 17 godzin dłuższym, a trzeci – w czasie o 27 godzin dłuższym, niż gdy wykonały tę
pracę razem. W ciągu ilu godzin każdy z automatów może samodzielnie wykonać tę pracę?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.6.9Trzy różne automaty, pracując razem, wykonały pewną pracę. Gdyby każdy z tych automatów
miał wykonać tę pracę sam, to pierwszy wykonałby ją w czasie o 2 godziny dłuższym, drugi – w
czasie o 4 godziny dłuższym, a trzeci – w czasie o 10 godzin dłuższym, niż wtedy gdy wykonały
tę pracę razem. W ciągu ilu godzin każdy z automatów może samodzielnie wykonać tę pracę?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.6.10Trzy różne automaty, pracując razem, wykonały pewną pracę. Gdyby każdy z tych automatów
miał wykonać tę pracę sam, to pierwszy wykonałby ją w czasie o 1 godzinę dłuższym, drugi – w
czasie o 7 godzin dłuższym, a trzeci – w czasie o 16 godzin dłuższym, niż wtedy gdy wykonały
tę pracę razem. W ciągu ilu godzin każdy z automatów może samodzielnie wykonać tę pracę?
(Pokaż odpowiedź)
Zastosowania funkcji wymiernych do interpretacji zagadnień praktycznych
290
Rozdział 4. Ciągi
4.1. Pojęcie ciągu. Ciąg jako funkcja zmiennejnaturalnej
Film na epodreczniki.pl
Klasa IIb pojechała na białą szkołę. Tomek, Małgosia, Julka, Franek i Jurek stoją w kolejce do wy-
ciągu narciarskiego. Każde z nich zajmuje konkretną pozycję w kolejce. Możemy powiedzieć, że
każdej z pozycji, czyli kolejnej liczbie naturalnej od 1 do 5, przyporządkowana jest konkretna oso-
ba. Takie przyporządkowanie nazywamy ciągiem.
Liczbie 1 (pierwszemu miejscu w kolejce) przyporządkowany jest Tomek.
Liczbie 2 (drugiemu miejscu w kolejce) przyporządkowana jest Małgosia.
Liczbie 3 (trzeciemu miejscu w kolejce) przyporządkowana jest Julka.
Liczbie 4 (czwartemu miejscu w kolejce) przyporządkowany jest Franek.
Liczbie 5 (piątemu miejscu w kolejce) przyporządkowany jest Jurek.
Ciągi
291
Przykład 1.
Film na epodreczniki.pl
Definicja: Definicja ciągu
• Ciągiem nazywamy funkcję, określoną w zbiorze liczb całkowitych dodatnich.
Wartości tej funkcji dla kolejnych liczb naturalnych nazywamy wyrazami ciągu.
• Jeżeli ciąg jest nieskończony, to jego dziedziną jest zbiór dodatnich liczb całko-
witych. Dziedziną ciągu skończonego jest zbiór {1,2 , ..., n}, gdzie n jest ustalo-
ną dodatnią liczbą całkowitą.
• Ciąg dwuwyrazowy jest parą uporządkowaną, z którą spotkaliśmy się, np. po-
dając współrzędne punktu w prostokątnym układzie współrzędnych na płasz-
czyźnie. Zwróćmy uwagę, że pary uporządkowane (1, 3) i (3, 1) są różne.
• Ciąg opisany w przykładzie powyżej jest skończony, ponieważ w kolejce stoi 5
osób, czyli skończona liczba osób. Dziedziną tego ciągu jest zbiór
{1, 2, 3, 4, 5}.• Jeżeli elementy jakiegoś zbioru ponumerujemy, a więc ustalimy kolejność tych
elementów, to w ten sposób otrzymamy ciąg.
W praktyce będziemy zajmować się najczęściej ciągami liczbowymi, czyli takimi, któ-
rych wyrazy są liczbami. Ciąg oznaczamy zazwyczaj (an ) , (bn ), (cn ), itd. Natomiast
an oznacza n-ty wyraz ciągu (an), na przykład drugi wyraz ciągu (an) to a2.
Pojęcie ciągu. Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej
292
Jeżeli ciąg z podanego wyżej przykładu 1 oznaczymy (an), to a1 = Tomek, a2 = Małgo-
sia, a3 = Julka, a4 = Franek, a5 = Jurek.
Przykład 2.
Rozpatrzmy ciąg (an) składający się z 5 wyrazów, które są kolejnymi początkowymi liczbami
pierwszymi. Przypomnijmy, że najmniejszą liczbą pierwszą jest 2. Zatem
a1 = 2, a2 = 3, a3 = 5, a4 = 7, a5 = 11
Ciąg liczbowy, podobnie jak inne funkcje, można opisać na różne sposoby, np. narysować je-
go wykres. Oto wykres tego ciągu:
Przykład 3.Oblicz sześć początkowych wyrazów ciągu określonego wzorem an = n2 + 3n. Aby obliczyć
wyraz o numerze n, należy podnieść numer wyrazu do kwadratu i dodać do niego potrojony
numer tego wyrazu.
W ten sposób obliczamy
a1 = 12 + 3 ∙ 1 = 4
a2 = 22 + 3 ∙ 2 = 10
a3 = 32 + 3 ∙ 3 = 18
a4 = 42 + 3 ∙ 4 = 28
a5 = 52 + 3 ∙ 5 = 40
Pojęcie ciągu. Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej
293
a6 = 62 + 3 ∙ 6 = 54
Tak samo możemy obliczyć wyraz o dowolnie wybranym numerze, np.
a65 = 652 + 3 ∙ 65 = 4420
a100 = 1002 + 3 ∙ 100 = 10 300
Podany przez nas wzór ma tę własność, że każdy wyraz ciągu jest uzależniony od numeru
tego wyrazu, tego typu wzór określający ciąg nazywamy wzorem ogólnym.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Przykład 4.Dany jest ciąg ułamków takich, że licznik każdego z tych ułamków, a więc każdego wyrazu
tego ciągu równy jest numerowi, a mianownik jest o 1 większy od licznika. Zatem ciąg ten
ma postać (12 ,
23 ,
34 ,
45 , … ). Jego n-ty wyraz możemy opisać wzorem ogólnym an =
nn + 1 . Zna-
jąc wzór, możemy obliczyć dowolny wyraz tego ciągu, np.
a73 =73
73 + 1 =7374
Pojęcie ciągu. Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej
294
Przykład 5.
Dany jest ciąg nieskończony (an) o wzorze ogólnym an =n + 1
2n − 7 . Wypiszmy wszystkie wyrazy
ujemne tego ciągu.
Zauważmy, że każdy wyraz ciągu to ułamekn + 1
2n − 7 , którego licznik, czyli n + 1, jest dodatni,
gdyż n ≥ 1. Zatem ułamek jest ujemny, gdy jego mianownik jest ujemny, czyli gdy 2n − 7 < 0,
a więc n < 3,5. Wynika stąd, że ujemnymi wyrazami są tylko trzy początkowe wyrazy:
a1 =1 + 12 − 7 = − 2
5 , a2 =2 + 14 − 7 = − 1, a3 =
3 + 16 − 7 = − 4
Przykład 6.
Ciąg (an) określony jest wzorem ogólnym an =(−1)
n∙ (n2 − 25)n + 2 .
a1 =(−1)
1∙ (12 − 25)1 + 2 = 8
a2 =(−1)
2∙ (22 − 25)2 + 2 = − 21
4 = − 514
a3 =(−1)
3∙ (32 − 25)3 + 2 =
165 = 3
15
a10 =(−1)
10∙ (102 − 25)
10 + 2 =7512 = 6
14
a5 =(−1)
5∙ (52 − 25)5 + 2 = 0, a6 =
(−1)6
∙ (62 − 25)6 + 2 =
118 , a7 =
(−1)7
∙ (72 − 25)7 + 2 = − 24
9 = − 223 ,
co oznacza, że a5 < a6 oraz a6 > a7.
Przykład 7.
Ciąg (an) określony jest wzorem ogólnym an = (n + 3)(2n − 5).
Oblicz wyrazy a1, a2, a3, a10.
Korzystając z wzoru ogólnego, mamy:
a)
Wykaż, że a5 < a6 oraz a6 > a7.
Obliczmy
a)
Pojęcie ciągu. Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej
295
Przykład 8.
Ciąg (an) określony jest wzorem ogólnym an = √3n + 6. Który wyraz tego ciągu jest równy 2√3
?
Rozwiązujemy równanie √3n + 6 = 2√3, czyli √3n + 6 = √12. Stąd wynika, że 3n + 6 = 12, więc
n = 2. Zatem jedynie a2 = 2√3.
Przykład 9.
Ciąg (an) określony jest wzorem ogólnym an =3√n − 2. Oblicz a1, a2, a3.
Obliczamy
a1 =3√1 − 2 =
3√−1 = − 1, a2 =3√2 − 2 = 0, a3 =
3√3 − 2 = 1
Zauważmy, że podanie kilku początkowych wyrazów ciągu nie pozwala jednoznacznie obli-
czyć kolejnych jego wyrazów ani określić wzoru ogólnego tego ciągu. Rozpatrzmy nieskoń-
czony ciąg ( − 1,0, 1, ...). Można byłoby przypuszczać, że jest to ciąg z poprzedniego przykła-
du, a więc ciąg określony wzorem ogólnym an =3√n − 2. Można byłoby też przyjąć, że wzór
ogólny tego ciągu to an = n − 2 lub an = (n − 2)5. Wówczas jednak inne byłyby już czwarte wy-
razy tych ciągów. W pierwszym a4 =3√2 , w drugim a4 = 2, a w ostatnim a4 = 32.
Jeżeli oprócz podania początkowych wyrazów ciągu określimy również zasadę opisującą two-
rzenie kolejnych jego wyrazów z poprzednich wyrazów, to wtedy ciąg określimy w sposób
jednoznaczny. Na przykład gdybyśmy przy określaniu ciągu nieskończonego ( − 1,0, 1, ...) po-
dali jeszcze, że każdy jego wyraz, począwszy od wyrazu drugiego, jest o 1 większy od wyrazu
bezpośrednio go poprzedzającego, to wówczas obie te informacje moglibyśmy zapisać krót-
ko w postaci a1 = − 1, an + 1 = an + 1 dla n ≥ 1. W ten sposób można obliczyć kolejne wyrazy
ciągu:
a2 = a1 + 1 = − 1 + 1 = 0, a3 = a2 + 1 = 0 + 1 = 1, a4 = a3 + 1 = 1 + 1 = 2
Jednak aby obliczyć np. a100 = a99 + 1, musimy najpierw obliczyć a99, a98, a97 itd. Zauważ-
Uzasadnij, że żaden wyraz ciągu (an) nie jest równy zero.
Przypuśćmy, że któryś z wyrazów jest równy zero, a więc an = 0. Zatem
(n + 3)(2n − 5) = 0, czyli n + 3 = 0 lub 2n − 5 = 0. Stąd n = − 3 lub n = 2,5. Żadna z tych
równości nie jest prawdziwa, gdyż n to numer wyrazu ciągu i jest dodatnią liczbą cał-
kowitą. To oznacza, że żaden wyraz tego ciągu nie jest równy 0.
a)
Który wyraz tego ciągu jest równy 6?
Podobnie jak poprzednio, rozwiązujemy równanie an = 6, czyli (n + 3)(2n − 5) = 6. Po
przekształceniu tego równania otrzymujemy równanie kwadratowe 2n2 + n − 21 = 0,
które ma dwa rozwiązania n = − 3,5 lub n = 3. Tylko drugie z tych rozwiązań jest to do-
datnia liczba całkowita, więc n = 3. Oznacza to, że tylko trzeci wyraz tego ciągu jest
równy 6.
b)
Pojęcie ciągu. Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej
296
my jednak, że ten sam ciąg opisuje wzór ogólny an = n − 2, który pozwala obliczyć dowolny
wyraz ciągu, np.
a100 = 100 − 2 = 98
Przykład 10.Wyznacz wzór ogólny ciągu, którego pierwszy wyraz jest równy 7, a każdy następny wyraz
jest o 3 większy od poprzedniego.
Informacje podane w poleceniu możemy zapisać w postaci a1 = 7, an + 1 = an + 3 dla n ≥ 1.
Pierwszy wyraz ciągu to a1 = 7. Obliczmy kilka następnych wyrazów tego ciągu:
a2 = a1 + 3 = 7 + 1 ∙ 3 = 10
a3 = a2 + 3 = a1 + 3 + 3 = 7 + 2 ∙ 3 = 13
a4 = a3 + 3 = a1 + 2 ∙ 3 + 3 = 7 + 3 ∙ 3 = 16
Zauważmy, że trzeci wyraz jest większy od pierwszego wyrazu o dwie trójki, czyli o 2 ∙ 3,
czwarty jest większy od pierwszego o trzy trójki, czyli o 3 ∙ 3. Zatem wyraz o numerze n jest
większy od wyrazu pierwszego o n − 1 trójek. Wzór ogólny tego ciągu możemy więc zapisać
w postaci
an = 7 + (n − 1) ∙ 3
Zbadamy teraz, rozpatrując kilka przykładów, jak zachowują się kolejne wyrazy ciągu. Intere-
sować nas będzie, czy wyrazy ciągu rosną, maleją, czy nie zmieniają się.
Przykład 11.
Rozpatrzmy nieskończone ciągi (an), (bn), (cn) określone wzorami ogólnymi an =12 ∙ n − 5,
bn =2n − 3, cn = (n − 4)
2. Obliczymy trzy pierwsze wyrazy każdego z tych ciągów:
a1 =12 ∙ 1 − 5 = − 4
12 , a2 =
12 ∙ 2 − 5 = − 4, a3 =
12 ∙ 3 − 5 = − 3
12
b1 =21 − 3 = − 1, b2 =
22 − 3 = − 2, b3 =
23 − 3 = − 2
13
c1 = (1 − 4)2
= 9, c2 = (2 − 4)2
= 4, c3 = (3 − 4)2
= 1
Zauważmy, że
• Obliczone wyrazy ciągu (an) są coraz większe, a więc rosną. Tak też się dzieje z kolejny-
mi wyrazami tego ciągu, gdyż przy coraz większym n rośnie też wartość wyrażenia12 n − 5. Mówimy wówczas, że ciąg jest rosnący.
Pojęcie ciągu. Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej
297
To samo możemy też stwierdzić, gdy zauważymy, że wykres ciągu (an) składa się z punktów
leżących na prostej o równaniu y =12x − 5. Ta prosta jest wykresem rosnącej funkcji liniowej.
Zatem i ciąg (an) jest rosnący.
• Obliczone wyrazy ciągu (bn) są coraz mniejsze, następne również maleją. Jest tak dlate-
go, że przy zwiększaniu n maleje ułamek2n , a to oznacza, że maleje też różnica
2n − 3. Ci-
ąg (bn) jest więc malejący.
Podobnie jak poprzednio do tego samego wniosku możemy dojść, zauważając, że wykres ci-
ągu (bn) składa się z punktów leżących na hiperboli o równaniu y =2x − 3. Ta hiperbola jest
wykresem funkcji, która w przedziale (0, + ∞) jest malejąca. Zatem i ciąg (bn) jest malejący.
Pojęcie ciągu. Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej
298
• Obliczone wyrazy ciągu (cn) maleją, czwarty wyraz jest mniejszy od trzeciego
(c4 = 0 < 1 = c3), ale już kolejne wyrazy nie są coraz mniejsze. Piąty wyraz jest większy
od czwartego (c5 = 1 > 0 = c4). Ciąg ten nie jest więc malejący, nie jest też rosnący. To sa-
mo możemy zauważyć, patrząc na wykres (cn), który składa się z punktów leżących na
paraboli o równaniu y = (x − 4)2. Parabola ta jest wykresem funkcji malejącej w prze-
dziale (−∞, 4?, a rosnącej w przedziale ?4, + ∞. Funkcja ta nie jest więc monotoniczna w
przedziale ?1, + ∞, a w tym przedziale leżą wszystkie numery wyrazów ciągu.
Pojęcie ciągu. Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej
299
Film na epodreczniki.pl
Film na epodreczniki.pl
Pojęcie ciągu. Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej
300
Film na epodreczniki.pl
Film na epodreczniki.pl
Pojęcie ciągu. Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej
301
Film na epodreczniki.pl
Film na epodreczniki.pl
Pojęcie ciągu. Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej
302
Definicja: Ciągi monotoniczne
• Ciąg nazywamy rosnącym, jeżeli jego każdy wyraz, począwszy od drugiego,
jest większy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, a więc jeżeli dla do-
wolnej dodatniej liczby całkowitej n zachodzi nierówność
an + 1 > an
• Ciąg nazywamy malejącym, jeżeli jego każdy wyraz, począwszy od drugiego,
jest mniejszy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, a więc jeżeli dla
dowolnej dodatniej liczby całkowitej n zachodzi nierówność
an + 1 < an
• Ciąg nazywamy stałym, jeżeli wszystkie wyrazy tego ciągu są sobie równe, a
więc jeżeli dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n zachodzi równość
an + 1 = an
• Ciąg nazywamy niemalejącym, jeżeli jego każdy wyraz, począwszy od drugie-
go, jest nie mniejszy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, a więc jeże-
li dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n zachodzi nierówność
an + 1 ≥ an
• Ciąg nazywamy nierosnącym, jeżeli jego każdy wyraz, począwszy od drugiego,
jest nie większy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, a więc jeżeli dla
dowolnej dodatniej liczby całkowitej n zachodzi nierówność
an + 1 ≤ an
Jeżeli ciąg jest rosnący, malejący, nierosnący, niemalejący lub stały, to mówimy, że
ten ciąg jest monotoniczny. O innych ciągach mówimy, że nie są monotoniczne.
Przykład 12.
Ciąg określony wzorem an = (−1)n
∙ n nie jest monotoniczny. Wystarczy obliczyć trzy pierwsze
wyrazy tego ciągu: a1 = − 1, a2 = 2, a3 = − 3. Ponieważ a2 > a1 i a3 < a2, więc ciąg nie jest mo-
notoniczny.
Poziom trudności: AZadanie 4.1.1
W tabeli podane zostały wszystkie wyrazy ciągu (an).
Pojęcie ciągu. Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej
303
n 1 2 3 4 5 6 7
an −3 −1 0 1 3 5 4
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.1.2
Ile wyrazów ujemnych występuje w ciągu an = (n − 20)(2n + 5)?(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.1.3
Ciąg (an) określony jest wzorem an = n2 − 5n + 1.
a) Pierwszym wyrazem dodatnim tego ciągu jest a5.
b) Siódmy wyraz tego ciągu jest równy 15.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.1.4Podaj wzór ogólny, jakim może być określony
(Pokaż odpowiedź)
Narysuj wykres ciągu (an).a)
Rozstrzygnij, czy ciąg (an) jest monotoniczny.b)
ciąg siedmiowyrazowy (an): (4, 6, 8, 10, 12, 14, 16)a)
ciąg ośmiowyrazowy (bn): (2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, 65)b)
ciąg sześciowyrazowy (cn): ( − 1,12 , − 1
3 ,14 , − 1
5 ,16 )c)
ciąg dziewięciowyrazowy (dn): (2√3, √13, √14, √15, 4, √17, 3√2, √19, 2√5)d)
Pojęcie ciągu. Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej
304
Poziom trudności: AZadanie 4.1.5
Które wyrazy nieskończonego ciągu opisanego wzorem an =n2 + 5n + 6
n dla n ≥ 1 są liczbami cał-
kowitymi?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.1.6
Nieskończony ciąg opisany jest wzorem an = n2 − 6n + 5.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.1.7
Dany jest ciąg an =n + 12
7 . Czy istnieje wyraz tego ciągu równy 325?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.1.8
Dany jest nieskończony ciąg (an) określony wzorem ogólnym an =n + 3
4n + 1 . Które wyrazy tego ci-
ągu są większe od13?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.1.9
Oblicz piąty wyraz ciągu (an) określonego następująco a1 = 3 oraz an + 1 = (−1)n
∙ an + n dla do-
wolnej liczby całkowitej n ≥ 1.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.1.10
Ciąg (an) określony jest wzorem an =(−1)
n
n .
Wyznacz wyraz a7 i wyraz a10.a)
Wyznacz wszystkie ujemne wyrazy tego ciągu.b)
Udowodnij, że dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n mamy an ≥ − 4.c)
Pojęcie ciągu. Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej
305
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.1.11
Ile wyrazów nieskończonego ciągu określonego wzorem an =3
n + 2 należy do przedziału (13 , 2)?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.1.12Niech anoznacza liczbę wszystkich naturalnych dzielników dodatniej liczby całkowitej n, gdzie
1 ≤ n ≤ 7. Sporządź wykres ciągu (an) . Który wyraz tego ciągu jest największy?
(Pokaż odpowiedź)
Oblicz wartość wyrażenia a5 + 2a6.a)
Określ monotoniczność ciągu (an).b)
Pojęcie ciągu. Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej
306
Poziom trudności: AZadanie 4.1.13
Dane są ciągi (an) i (bn) o wzorach ogólnych an = n + 5 i bn = 3n − 7. Sumą ciągów (an) i (bn )na-
zywamy ciąg (cn) o wzorze ogólnym cn = an + bn . Różnicą ciągów (an) i (bn) nazywamy ciąg (dn) o
wzorze ogólnym dn = an − bn.Iloczynem ciągów (an) i (bn) nazywamy ciąg (en) o wzorze ogólnym
en = anbn.Ilorazem ciągów (an) i (bn) nazywamy ciąg (fn) o wzorze ogólnym fn =anbn
. Ciąg (fn) jest
określony dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n, ponieważ żaden wyraz ciągu (bn) nie jest
równy 0.
(Pokaż odpowiedź)
Ile wyrazów dodatnich ma ciąg (dn)?a)
Który wyraz ciągu (en) jest równy zero?b)
Czy liczba 1 jest jednym z wyrazów ciągu (fn)?c)
Które wyrazy ciągu (cn) są mniejsze od 10?d)
Czy ciąg (fn) jest monotoniczny?e)
Wyznacz wszystkie wartości n, dla których prawdziwa jest równość cn + 4 = en − 4 + 1.f)
Wykaż, że trzeci wyraz ciągu (en) jest kwadratem liczby naturalnej.g)
Pojęcie ciągu. Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej
307
Poziom trudności: AZadanie 4.1.14
W nieskończonym ciągu (an) każdy wyraz, począwszy od drugiego, jest dwa razy większy od
różnicy wyrazu poprzedniego i liczby 1. Wyraz a7 = 66. Oblicz wyrazy ciągu od pierwszego do
szóstego.
(Pokaż odpowiedź)
Aplikacja na epodreczniki.pl
Pojęcie ciągu. Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej
308
Aplikacja na epodreczniki.pl
Aplikacja na epodreczniki.pl
Pojęcie ciągu. Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej
309
Poziom trudności: AZadanie 4.1.15-17
Aplikacja na epodreczniki.pl
Pojęcie ciągu. Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej
310
4.2. Ciąg arytmetycznyCiąg arytmetyczny
Przykład 1.
Film na epodreczniki.pl
Ciąg arytmetyczny
311
Definicja: Ciąg arytmetyczny
Ciąg (an) nazywamy arytmetycznym, jeżeli ma co najmniej 3 wyrazy i każdy jego wy-
raz, począwszy od drugiego, jest sumą wyrazu poprzedniego i pewnej ustalonej licz-
by. Liczbę tę nazywamy różnicą ciągu i oznaczamy ją r.
Jeśli więc ciąg jest skończony i ma k ≥ 3 wyrazów, to an + 1 = an + r dla dowolnej liczby
całkowitej 1 ≤ n ≤ k − 1. Jeśli natomiast ciąg jest nieskończony, to an + 1 = an + r dla
dowolnej liczby całkowitej n ≥ 1.
Film na epodreczniki.pl
Zauważmy, że jeżeli znamy a1, czyli pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego, oraz różnicę r tego ci-
ągu, to możemy wyznaczyć dowolny wyraz tego ciągu.
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = a1 + 3r
a5 = a4 + r = a1 + 4r …
Ciąg arytmetyczny
312
Wystarczy zatem do wyrazu a1dodać (n − 1) razy różnicę r tego ciągu. Otrzymaliśmy w ten sposób
wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Ciąg arytmetyczny
313
Twierdzenie: Wzór ogólny ciągu arytmetycznego
Każdy wyraz ciągu arytmetycznego (an) o różnicy r jest równy an = a1 + (n − 1)r.
Zależność między dwoma kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, a więc równość
an + 1 = an + r możemy też zapisać w postaci równoważnej an + 1 − an = r.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Ciąg arytmetyczny
314
Aplikacja na epodreczniki.pl
Przykład 2.Sprawdź, czy nieskończony ciąg określony wzorem ogólnym an = 2 − 3n jest ciągiem arytme-
tycznym. Jeżeli tak, to oblicz jego różnicę.
Zbadamy różnicę an + 1 − an dwóch kolejnych wyrazów ciągu (an). Wyznaczmy najpierw
an + 1 = 2 − 3(n + 1) = 2 − 3n − 3 = − 3n − 1
Wtedy
an + 1 − an = − 3n − 1 − (2 − 3n) = − 3n − 1 − 2 + 3n = − 3
Otrzymana różnica jest stała (nie zależy od n), co oznacza, że rozważany ciąg jest arytmetycz-
ny, a otrzymana liczba −3 to właśnie różnica tego ciągu.
Zauważmy, że
a1 = 2 − 3 ∙ 1 = − 1
Wzór na n-ty wyraz to an = − 1 + (n − 1)(−3), co jest zgodne z tym, że an = 2 − 3n.
Przykład 3.
Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego (an) jest równy 7, a różnica tego ciągu jest równa −2.
Oblicz dziesiąty oraz trzydziesty drugi wyraz tego ciągu.
Korzystając ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego, mamy
a10 = 7 + (10 − 1)(−2) = 7 − 18 = − 11
Ciąg arytmetyczny
315
a32 = 7 + (32 − 1)(−2) = 7 − 62 = − 55
Przykład 4.
Piąty wyraz pewnego ciągu arytmetycznego jest równy 523 , a siódmy wyraz tego ciągu jest
równy 7. Podaj wyraz jedenasty tego ciągu.
Obliczymy jedenasty wyraz ciągu dwoma sposobami.
• sposób I
Zapiszemy, korzystając ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego, wyrazy a5 i a7
a5 = a1 + 4r
oraz
a7 = a1 + 6r
Otrzymujemy układ równań z dwiema niewiadomymi a1i r
{ a1 + 4r = 523
a1 + 6r = 7
Rozwiążmy ten układ:
{ a1 + 4r = 523
a1 = 7 − 6r
{ 7 − 6r + 4r = 523
a1 = 7 − 6r
{ −2r = − 7 + 523
a1 = 7 − 6r
{ −2r = − 43
a1 = 7 − 6r
Ciąg arytmetyczny
316
{ r =23
a1 = 7 − 6 ∙ 23 = 3
Możemy teraz, ponownie stosując wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego, obliczyć wyraz
jedenasty
a11 = a1 + 10r = 3 + 10 ∙ 23 = 9
23
• sposób II
Zauważmy, że wyraz siódmy różni się od piątego wyrazu o 2r, gdyż a7 − a6 = r oraz a6 − a5 = r
. Zatem 2r = 7 − 523 =
43 . Szukany wyraz jedenasty różni się od wyrazu siódmego o 4r. Zatem
a11 = a7 + 4r = 7 + 2 ∙ 43 = 9
23
Zwróćmy uwagę, że każdy ciąg arytmetyczny jest monotoniczny.
Film na epodreczniki.pl
Ciąg arytmetyczny
317
Twierdzenie: Monotoniczność ciągu arytmetycznego
Jeżeli różnica ciągu arytmetycznego jest dodatnia, to ciąg ten jest rosnący. Jeżeli różnica ciągu
arytmetycznego jest ujemna, to ciąg ten jest malejący. Jeżeli różnica ciągu arytmetycznego
jest równa zero, to ciąg jest stały i jego wszystkie wyrazy są równe a1.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Zauważmy, że każdy punkt wykresu ciągu arytmetycznego an = a1 + (n − 1)r leży na prostej o rów-
naniu y = a1 + (x − 1)r, czyli y = rx + a1 − r, gdzie r oraz a1 (różnica i pierwszy wyraz ciągu) to ustalo-
ne dla danego ciągu liczby. Współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy różnicy ciągu. Tak więc
ciąg(an) jest:
• rosnący, gdy rosnąca jest funkcja liniowa, której wykresem jest ta prosta, a więc gdy współ-
czynnik kierunkowy r tej prostej jest dodatni, czyli r > 0;
• malejący, gdy malejąca jest funkcja liniowa, której wykresem jest ta prosta, a więc gdy
współczynnik kierunkowy r tej prostej jest ujemny, czyli r < 0;
• stały, gdy stała jest funkcja liniowa, której wykresem jest ta prosta, a więc gdy współczynnik
kierunkowy r tej prostej jest równy zero, czyli r = 0.
Ciąg arytmetyczny
318
Przykład 5.
Ciąg (an) jest arytmetyczny oraz a1 + a5 = 8 i a2 ∙ a8 = 19. Oblicz pierwszy wyraz oraz różnicę
ciągu (an).Ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego możemy zapisać wyrazy a2, a5 i a8 w zależności
od a1 i r. Możemy wtedy zapisać równanie a1 + a5 = 8, podane w treści zadania, w postaci
a1 + (a1 + 4r) = 8. Stąd a1 = 4 − 2r. Podobnie możemy zapisać równanie a2 ∙ a8 = 19 w postaci
(a1 + r)(a1 + 7r) = 19. W ten sposób otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą r
(4 − 2r + r)(4 − 2r + 7r) = 19
Przekształcamy je w sposób równoważny
(4 − r)(4 + 5r) = 19
16 + 16r − 5r2 = 19
−5r2 + 16r − 3 = 0
Obliczamy wyróżnik tego równania ∆ = 256 − 60 = 196 > 0. Zatem równanie to ma dwa roz-
wiązania r1 = 3 oraz r2 =15 .
To oznacza, że istnieją dwa ciągi arytmetyczne, których wyrazy spełniają podane w treści
zadania warunki. Gdy r = 3, to a1 = 4 − 2r = 4 − 2 ∙ 3 = − 2, a gdy r =15 , to
a1 = 4 − 2r = 4 − 2 ∙ 15 =
185 .
Poziom trudności: AZadanie 4.2.1-2
Aplikacja na epodreczniki.pl
Poziom trudności: AZadanie 4.2.3
Wyrazami nieskończonego ciągu (an) są kolejne liczby naturalne, które przy dzieleniu przez 6
dają resztę 2, a trzeci wyraz tego ciągu a3 = 56. Oblicz siedemdziesiąty wyraz tego ciągu.
(Pokaż odpowiedź)
Ciąg arytmetyczny
319
Poziom trudności: AZadanie 4.2.4Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
a) Ciąg bn =n7 + 2 jest ciągiem arytmetycznym o różnicy 2.
b) Ciąg cn = 2n − 3 jest ciągiem arytmetycznym rosnącym.
c) Ciąg an = n2 + 7 jest ciągiem arytmetycznym.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.2.5Liczby a, 2, b, c, 3, d w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz a, b, c i d.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.2.6Pomiędzy liczby 6 i 30 wstaw siedem liczb, tak aby razem z liczbami 6 i 30 tworzyły ciąg arytme-
tyczny.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.2.7
Dany jest ciąg arytmetyczny (an), w którym a10 = 10√2 + 9 oraz r = √2 + 1. Wyznacz równanie
prostej, w której zawarty jest wykres ciągu (an).(Pokaż odpowiedź)
Ciąg arytmetyczny
320
Poziom trudności: AZadanie 4.2.8Który z rysunków przedstawia wykres ciągu arytmetycznego?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.2.9
Wyrazy każdego nieskończonego ciągu arytmetycznego (an) spełniają warunek
a) a4 + a5 = a2 + a7
b) a6 + a8 = 2a7
c) a3 + a7 = a10
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.2.10Liczby 5, − 2, − 9 są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego określonego dla
n ≥ 1. Wzór ogólny tego ciągu ma postać.
a) 7n − 12
b) −7n + 12
c) −7n − 12
Ciąg arytmetyczny
321
d) 7n + 12
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.2.11
Dany jest ciąg arytmetyczny (an), w którym r = 6 i a10 = 55. Wtedy pierwszy wyraz ciągu jest rów-
ny
a) 5
b) −1
c) −5
d) 1
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.2.12
Ciąg arytmetyczny (an) jest określony wzorem an = 2n + 6 . Wtedy
a) a6 + a12 = 48
b) a6 + a12 = 38
c) a6 + a12 = 28
d) a6 + a12 = 18
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.2.13Ciąg arytmetyczny jest określony wzorem an = 4n − 21. Ile wyrazów tego ciągu jest dodatnich?
a) 7
b) 6
c) 5
d) 4
(Pokaż odpowiedź)
Ciąg arytmetyczny
322
Poziom trudności: AZadanie 4.2.14
Sprawdź, czy podany ciąg jest arytmetyczny. Jeżeli tak, to podaj jego różnicę. an =2n
n + 1
bn = 3 − n + 25 cn = n2 + 5n
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.2.15
Aplikacja na epodreczniki.pl
Poziom trudności: AZadanie 4.2.16
Wyznacz wzór ogólny ciągu arytmetycznego, wiedząc, że a3 =45 oraz a10 = 5.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.2.17
Oblicz pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego (an), którego różnica jest równa r = − 7 oraz ósmy
wyraz jest równy a8 = 23.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.2.18
Wyznacz takie liczby a, b, c i d, żeby ciąg (3, a, b, c, 8, d) był arytmetyczny.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.2.19
Oblicz pierwszy wyraz i różnicę malejącego ciągu arytmetycznego (an), w którym a2 + a7 = − 17
oraz a3 ∙ a5 = 11.
(Pokaż odpowiedź)
Ciąg arytmetyczny
323
Poziom trudności: AZadanie 4.2.20Ciąg arytmetyczny składa się z trzech wyrazów. Ich suma jest równa 12, a suma ich kwadratów
jest równa 66. Oblicz wyrazy tego ciągu.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.2.21Miary kątów w pewnym czworokącie tworzą ciąg arytmetyczny. Największy z kątów ma miarę
105 ° . Oblicz miary pozostałych kątów tego czworokąta.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.2.22Rozważmy ciąg trójkątów równobocznych, których długości boków tworzą ciąg arytmetyczny.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 4.2.23Wykaż, że jeżeli cyfry liczby trzycyfrowej tworzą ciąg arytmetyczny, to liczba ta jest podzielna
przez 3.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 4.2.24Oblicz, ile wyrazów ma ciąg arytmetyczny, w którym suma dwóch pierwszych wyrazów jest rów-
na 23, suma dwóch ostatnich wyrazów jest równa 119, a wyraz jedenasty jest równy 40.
(Pokaż odpowiedź)
Czy obwody tych trójkątów tworzą ciąg arytmetyczny?a)
Czy pola tych trójkątów tworzą ciąg arytmetyczny?b)
Ciąg arytmetyczny
324
Poziom trudności: BZadanie 4.2.25Wykaż, że jeżeli w ciągu arytmetycznym prawdziwe są zależności an = m oraz am = n dla n ≠ m,
to różnica tego ciągu jest równa − 1.
(Pokaż odpowiedź)
Aplikacja na epodreczniki.pl
Ciąg arytmetyczny
325
4.3. Ciągi – własności ciągów arytmetycznychWłasności ciągu arytmetycznego
Przykład 1.
Rozważmy dowolny ciąg arytmetyczny (an) określony dla n > 1 i dowolnie wybrany jego wyraz
an.
Poszukamy zależności pomiędzy wyrazem an ciągu oraz wyrazami z nim sąsiadującymi, czyli
wyrazem o numerze o jeden mniejszym an − 1 oraz wyrazem o numerze o jeden większym
an + 1. Zauważmy, że są to trzy kolejne wyrazy ciągu. Różnica pomiędzy kolejnymi dwoma wy-
razami jest stała.
Mamy więc
an − an − 1 = an + 1 − an
stąd
an =an + 1 + an − 1
2
Własność: Własności wyrazów ciągu arytmetycznego
Ciąg (an) jest arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy dowolny wyraz tego ciągu (poza pierw-
szym i ostatnim, jeśli ciąg jest skończony) jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich
an =an + 1 + an − 1
2 dla n > 1
Niekiedy łatwiej korzystać z tej równości zapisanej w postaci
2an = an + 1 + an − 1
Ciągi – własności ciągów arytmetycznych
326
Przykład 2.Liczby x − 2, 3, x + 6 są w podanej kolejności pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu aryt-
metycznego. Oblicz czwarty wyraz tego ciągu.
Korzystając z własności ciągu arytmetycznego, mamy 3 =x − 2 + x + 6
2 , stąd 6 = 2x + 4, czyli x = 1.
Zatem trzy pierwsze wyrazy tego ciągu to −1, 3, 7. Różnica ciągu jest równa 7 − 3 = 4. Czwar-
ty wyraz ciągu jest zatem równy a4 = 11.
Film na epodreczniki.pl
Przykład 3.
Sprawdź, czy ciąg ( 1
√2 − 1 , √2,1
√2 + 1 ) jest arytmetyczny.
Ponieważ
1
√2 − 1+
1
√2 + 12 =
√2 + 12 − 1
+ √2 − 12 − 1
2 =2√2
2 = √2, więc ten ciąg jest arytmetyczny.
Przykład 4.
Wyznacz kilka początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (an), wiedząc, że jego początko-
we wyrazy spełniają warunki a1 + a2 + a3 = 12 oraz a1 ∙ a2 ∙ a3 = 28.
Ponieważ 2a2 = a1 + a3, to pierwsze równanie możemy zapisać w postaci 3a2 = 12, stąd a2 = 4
. Ponieważ a1 = a2 − r = 4 − r oraz a3 = a2 + r = 4 + r, równanie a1 ∙ a2 ∙ a3 = 28 zapisujemy w
postaci
4(4 − r)(4 + r) = 28
Ciągi – własności ciągów arytmetycznych
327
16 − r2 = 7, stąd r = 3 lub r = − 3. Otrzymaliśmy więc dwa ciągi arytmetyczne postaci
(1, 4, 7, 10, … ) oraz (7, 4, 1, − 2, ...).
Film na epodreczniki.pl
Zauważmy, że twierdzenie możemy uogólnić. Wybierzmy dowolny wyraz an, który nie jest pierw-
szym ani ostatnim wyrazem ciągu, a następnie całkowitą dodatnią liczbę k < n. Mamy wówczas
an = a1 + (n − 1)r
an + k = a1 + (n + k − 1)r
an − k = a1 + (n − k − 1)r
Wtedy
an + k + an − k2 =
a1 + (n + k − 1)r + a1 + (n − k − 1)r2 =
2a1 + 2(n − 1)r2 = a1 + (n − 1)r = an
Możemy zatem sformułować twierdzenie.
Ciągi – własności ciągów arytmetycznych
328
Własność: Uogólnienie własności wyrazów ciąguarytmetycznego
Dla dowolnego wyrazu ciągu arytmetycznego n > 1 oraz dowolnej dodatniej liczby całkowitej
k < n mamy
an =an − k + an + k
2
Zauważmy, że wyrazy an − k, an, an + k są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o
różnicy kr. Zatem twierdzenie to wynika także z twierdzenia o zależności pomiędzy trzema
kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Przykład 5.W pewnym ciągu arytmetycznym wyraz piąty jest równy 23, a wyraz piętnasty 37. Oblicz wy-
raz dziesiąty.
a10 =a5 + a15
2 =23 + 37
2 = 30
Ciągi – własności ciągów arytmetycznych
329
Poziom trudności: AZadanie 4.3.1Jaką liczbę należy wpisać pomiędzy liczby 7 i 20, żeby otrzymać trzywyrazowy ciąg arytmetycz-
ny?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.3.2Liczby a, b, 22 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym a + b = 26. Oblicz a i
b.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.3.3
Aplikacja na epodreczniki.pl
Poziom trudności: AZadanie 4.3.4
Liczby 5x − 3, x2 + 3x, 3x2 − 3 są w podanej kolejności trzema początkowymi wyrazami ciągu
arytmetycznego. Oblicz różnicę tego ciągu.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.3.5Dla pewnych liczb x i y wartości wyrażeń x + 4y, 3x + 2y, x + 2y + 2, 3x + y − 3 są czterema po-
czątkowymi, kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego (an). Wyznacz liczby x i y, a następnie
piąty wyraz tego ciągu.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.3.6
Nieskończony ciąg liczbowy (an) określony jest wzorem an = 3 − 2n . Wyznacz taką liczbę x, dla
której ciąg (a3, a9, x) jest arytmetyczny.
(Pokaż odpowiedź)
Ciągi – własności ciągów arytmetycznych
330
Poziom trudności: AZadanie 4.3.7
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej m ciąg (m + 46 ,
m + 24 ,
m + 13 ) jest arytmetyczny.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.3.8Liczby 5, a, 25 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Zatem a jest równe
a) 30
b) 20
c) 15
d) 10
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.3.9Jaką liczbę należy wstawić pomiędzy liczby √3 + 2 oraz 3√3 − 4, żeby wraz z nimi utworzyła trzy-
wyrazowy ciąg arytmetyczny?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.3.10Wyznacz liczbę x, dla której liczby x + 7, 2x + 9, 3x + 11 w podanej kolejności tworzą ciąg aryt-
metyczny.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.3.11
Liczby 6x2 + 8, 2x2 + 5x − 3, 7 − 7x są w podanej kolejności trzema pierwszymi wyrazami ciągu
arytmetycznego. Wyznacz x.
(Pokaż odpowiedź)
Ciągi – własności ciągów arytmetycznych
331
Poziom trudności: AZadanie 4.3.12
Ciąg ( 1x + 1 ,
2x + 13x ,
x + 2x + 1 ) jest arytmetyczny dla pewnej liczby x ? R \ {−1,0}. Wyznacz tę liczbę.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.3.13
Ciąg (x + 3y − 4, − x + y + 1, x + y, 3x + 2y, … ) jest arytmetyczny. Wyznacz x i y oraz oblicz
dwudziesty wyraz tego ciągu.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.3.14Znajdź wszystkie liczby dwucyfrowe x, dla których liczba x, podwojona cyfra jej jedności i po-
dwojona cyfra jej dziesiątek są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.3.15
Wiedząc, że w pewnym ciągu arytmetycznym (an) mamy a4 = 1 oraz a9 = 17, wyznacz czternasty
wyraz tego ciągu.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.3.16W pewnym ciągu arytmetycznym a1 = 4 oraz a5 = 17. Znajdź a2 + a3 + a4.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 4.3.17
Niech a, b, c będą dowolnymi dodatnimi liczbami, takimi że ciąg (a2, b2, c2) jest arytmetyczny.
Udowodnij, że ciąg liczb ( 1b + c ,
1c + a ,
1a + b ) też jest arytmetyczny.
(Pokaż odpowiedź)
Ciągi – własności ciągów arytmetycznych
332
4.4. Ciągi – suma wyrazów ciągu arytmetycznegoSuma wyrazów ciągu arytmetycznego
Przykład 1.
Film na epodreczniki.pl
Przykład 2.Podobną metodę możemy zastosować do zsumowania n początkowych wyrazów dowolnego
ciągu arytmetycznego. Oznaczmy symbolem Sn sumę n początkowych wyrazów ciągu (an),czyli Sn = a1 + a2 + … + an. Zapiszmy zatem sumę Sn dwukrotnie: raz składniki zapiszemy od
pierwszego do ostatniego, drugi raz odwrotnie, czyli
Sn = a1 + a2 + … + an − 1 + an
Sn = an + an − 1 + … + a2 + a1
Każdy wyraz ciągu (an) możemy zapisać w postaci an = a1 + (n − 1)r, więc
Sn = a1 + (a1 + r) + … + (a1 + (n − 2)r) + (a1 + (n − 1)r)Sn = (a1 + (n − 1)r) + (a1 + (n − 2)r) + … + (a1 + r) + a1
Zauważ, że w każdej kolumnie otrzymujemy sumę 2a1 + (n − 1)r, a to jest suma a1 + an.
Ciągi – suma wyrazów ciągu arytmetycznego
333
Ponieważ kolumn jest n, więc 2Sn = n ∙ (2a1 + (n − 1)r ) = n ∙ (a1 + an).W ten sposób udowodniliśmy twierdzenie o sumie wyrazów ciągu arytmetycznego.
Twierdzenie: O sumie wyrazów ciąguarytmetycznego
Suma Sn początkowych n wyrazów ciągu arytmetycznego (an) jest równa
Sn =2a1 + (n − 1)r
2 ∙ n =a1 + an
2 ∙ n.
Przykład 3.Oblicz sumę 1 + 2 + 3 + ... + 100.
Sumowane liczby tworzą ciąg arytmetyczny, w którym a1 = 1 oraz a100 = 100. Mamy więc
S100 =1 + 100
2 ∙ 100 = 5050
Przykład 4.Oblicz sumę stu początkowych liczb naturalnych, które podzielone przez 3 dają resztę 2.
Pierwszą liczbą naturalną, która podzielone przez 3 daje resztę 2 jest 2, drugą 5, trzecią 8.
Liczby te tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 3. Suma początkowych wyrazów tego ciągu jest
równa
S100 =2a1 + 99r
2 ∙ 100 =2 ∙ 2 + 99 ∙ 3
2 ∙ 100 = 15050.
Przykład 5.Rozwiąż równanie 3 + 7 + 11 + … + (4n − 1) = 595 z niewiadomą n.
Liczby, które sumujemy po lewej stronie równania, są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycz-
nego o pierwszym wyrazie a1 = 3, różnicy r = 4. Suma ta składa się z n wyrazów. Ponieważ n
jest liczbą wyrazów, więc jest liczbą całkowitą dodatnią. Ze wzoru na sumę n początkowych
wyrazów ciągu arytmetycznego mamy
Sn =2 ∙ 3 + (n − 1)4
2 ∙ n = 3n + 2n(n − 1) = 2n2 + n
Z treści zadania wynika, że
2n2 + n = 595
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe 2n2 + n − 595 = 0, które ma dwa rozwiązania
n1 = − 17,5 oraz n2 = 17. Tylko druga z liczb jest całkowita dodatnia. Zatem rozwiązaniem
równania jest liczba 17.
Ciągi – suma wyrazów ciągu arytmetycznego
334
Przykład 6.Liczby 9, 5, 1 są w podanej kolejności trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetyczne-
go (an). Oblicz sumę a10 + a11 + a12 + … + a30.
Pierwszy wyraz ciągu (an) jest równy a1 = 9, a różnica ciągu jest równa r = a2 − a1 = 5 − 9 = − 4
.
• sposób I
Zauważmy, że
a10 + a11 + a12 + … + a30 = a1 + a2 + … + a9 + a10 + a11 + a12 + … + a30 − (a1 + a2 + … + a9) = S30 − S9
Ponieważ
S30 =2a1 + 29r
2 ∙ 30 = (18 − 116) ∙ 15 = − 1470
oraz
S9 =2a1 + 8r
2 ∙ 9 =18 − 32
2 ∙ 9 = − 63,
więc
a10 + a11 + a12 + … + a30 = − 1470 + 63 = − 1407
• sposób II
Możemy zauważyć, że wyrazy a10, a11, a12, … , a30, które mamy zsumować, są kolejnymi
wyrazami ciągu arytmetycznego (bn), który składa się z 21 wyrazów i w którym
b1 = a10 = a1 + 9r = − 27
oraz
b21 = a30 = a1 + 29r = − 107
Suma 21 początkowych wyrazów tego ciągu jest więc równa
S21 =b1 + b21
2 ∙ 21 =−27 − 107
2 ∙ 21 = − 1407
Poziom trudności: AZadanie 4.4.1
Aplikacja na epodreczniki.pl
Ciągi – suma wyrazów ciągu arytmetycznego
335
Poziom trudności: AZadanie 4.4.2Suma kolejnych 100 liczb naturalnych jest równa 7250. Jakie to liczby?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.4.3Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
a) Suma n wyrazów ciągu arytmetycznego o wyrazie ogólnym an = 2n − 7 jest równa 352.
Ciąg składa się z 22 wyrazów.
b) Suma n wyrazów ciągu arytmetycznego o wyrazie ogólnym an = 2n − 7 dla n ≥ 1 jest
równa 352. Ciąg składa się z 22 wyrazów.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.4.4Oblicz sumę wszystkich liczb trzycyfrowych podzielnych przez 3.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.4.5Długości kolejnych boków pewnego wielokąta tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 5. Najdłuższy
bok wielokąta ma długość 28, a obwód wielokąta jest równy 93. Ile boków ma ten wielokąt?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.4.6
Suma n początkowych wyrazów pewnego ciągu arytmetycznego (an) jest równa Sn =3n2 − 13n
2
dla każdego n ≥ 1. Wtedy
a) Różnica tego ciągu jest równa 3
b) Piąty wyraz tego ciągu jest równy 5
(Pokaż odpowiedź)
Ciągi – suma wyrazów ciągu arytmetycznego
336
Poziom trudności: AZadanie 4.4.7Różnica pewnego ciągu arytmetycznego jest równa 2, natomiast sumy n oraz n + 2 jego począt-
kowych wyrazów są równe Sn = 176 oraz Sn + 2 = 240. Oblicz n.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.4.8
Aplikacja na epodreczniki.pl
Poziom trudności: AZadanie 4.4.9W ciągu arytmetycznym a1 = 5 oraz a30 = 9. Wtedy suma S30 = a1 + a2 + … + a30 jest równa
a) 1890
b) 270
c) 225
d) 210
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.4.10Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, które podzielone przez 5 dają resztę
2.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.4.11Oblicz sumę wszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.4.12
Dany jest ciąg arytmetyczny (an), w którym a1 = 3 oraz r = 4. Wyznacz największe n, dla którego
Sn < 80.
(Pokaż odpowiedź)
Ciągi – suma wyrazów ciągu arytmetycznego
337
Poziom trudności: AZadanie 4.4.13W pewnym ciągu arytmetycznym a9 = 11 oraz a14 = 1 znajdź sumę początkowych dwudziestu
jeden wyrazów tego ciągu.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.4.14Oblicz sumę piętnastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, którego wzór ogólny jest
postaci an =2n − 1
5 .
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.4.15Suma piętnastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa S15 = 135, a różnica
tego ciągu jest równa r = 3. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu od wyrazu szesnastego
do wyrazu trzydziestego.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.4.16Ile liczb trzeba wstawić między liczby −13 oraz 8, aby otrzymać ciąg arytmetyczny, którego su-
ma jest równa – 25?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.4.17Wyznacz pierwszy wyraz i różnicę ciągu arytmetycznego, w którym sumy ośmiu i trzynastu po-
czątkowych wyrazów są równe S8 = − 223 , S13 = 6
12 .
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 4.4.18
Rozwiąż równanie 42 ∙ 44 ∙ 46 ∙ … ∙ 42n = 0,25−30
(Pokaż odpowiedź)
Ciągi – suma wyrazów ciągu arytmetycznego
338
Poziom trudności: BZadanie 4.4.19
Wykaż, że n + 2n + 3n + … + n2 =n2(n + 1)
2 .
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 4.4.20
Wyznacz sumę dwudziestu pięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (an), wiedząc,
że a8 + a10 + a16 + a18 = 20.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 4.4.21Wiedząc, że siódmy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 0, oblicz sumę trzynastu pierw-
szych wyrazów tego ciągu.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.4.22
Wykaż, że 1002 − 992 + 982 − 972 + 962 − 952 + … + 42 − 32 + 22 − 12 = 5050.
(Pokaż odpowiedź)
Ciągi – suma wyrazów ciągu arytmetycznego
339
4.5. Ciąg geometrycznyCiąg geometryczny
Przykład 1.Spotykamy się czasem ze stwierdzeniem, że zeszyt, w którym piszemy, ma format A4 albo
A5. Co to oznacza? Międzynarodowa norma definiuje 3 serie formatów A, B i C, przy czym
formaty C związane są z określeniami formatów kopert.
Format A0 odpowiada prostokątowi o powierzchni 1 m2, przy czym jego wymiary są tak do-
brane, żeby stosunek dłuższego boku do krótszego był równy √2. Mamy więc wymiary arku-
sza formatu A0: 1188 mm i1188
√2 mm. Format A1 jest połową formatu A0, czyli krótszy bok
arkusza formatu A0 to dłuższy bok arkusza formatu A1 i stosunek dłuższego boku do krót-
szego jest równy √2. Zatem kartka formatu A1 ma wymiary:1188
√2 mm i1188
(√2)2 mm.
Otrzymujemy ciąg liczb, z których każda następna, oprócz pierwszej, jest √2 razy mniejsza od
poprzedniej, czyli (1188,1188
√2 ,1188
(√2)2 ,
1188
(√2)3 ,
1188
(√2)4 , ...). Jakie wymiary będzie miał arkusz formatu
A5?
Wymiary arkusza formatu A5 będą szóstą i siódmą liczbą w tym ciągu. Obliczamy
a6 =a5
√2 =1188
(√2)5 =
297
√2
oraz
a7 =a6
√2 =1188
(√2)6 =
11888 = 148,5
Zatem kartka formatu A5 ma wymiary297
√2 mm i1188
(√2)6 = 148,5 mm.
W praktyce wymiary arkuszy są zaokrąglane do pełnych milimetrów. Otrzymujemy w ten
sposób ciąg (1188, 840, 594, 420, 297, ...).
Oba przykłady opisują ciągi, w których każdy kolejny wyraz jest iloczynem wyrazu poprzedniego
przez pewną ustaloną liczbę. Takie ciągi nazywamy ciągami geometrycznymi.
Ciąg geometryczny
340
Definicja: Ciąg geometryczny
Ciąg (an) nazywamy ciągiem geometrycznym, jeżeli ma przynajmniej 3 wyrazy, jego
pierwszy wyraz jest różny od 0, a każdy następny wyraz jest iloczynem poprzednie-
go wyrazu i pewnej ustalonej liczby. Liczbę tę nazywamy ilorazem ciągu geometrycz-
nego i oznaczamy przez q.
Ciąg geometryczny
341
• Jeśli ciąg jest skończony i ma k ≥ 3 wyrazów, to a1 ≠ 0 i an + 1 = an ∙ q dla dowolnej liczby cał-
kowitej 1 ≤ n ≤ k − 1. Jeśli natomiast ciąg jest nieskończony, to a1 ≠ 0 i an + 1 = an ∙ q dla do-
wolnej liczby całkowitej n ≥ 1.
Z definicji wynika, że
• jeśli q ≠ 0, to, wobec warunku a1 ≠ 0, wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego (an) sa różne
od zera
• jeśli q = 0, to wyrazy ciągua2, a3, a4, … sa równe 0, czyli jest to ciąg postaci a1, 0,0, 0, …
• Ciąg geometryczny w pewnym sensie jest podobny do ciągu arytmetycznego. W ciągu aryt-
metycznym kolejny wyraz jest sumą poprzedniego wyrazu i pewnej ustalonej liczby. W ciągu
geometrycznym kolejny wyraz jest iloczynem poprzedniego wyrazu oraz pewnej ustalonej
liczby. Dlatego techniki, którymi będziemy się posługiwać w rozwiązywaniu zadań doty-
czących ciągów geometrycznych i ciągów arytmetycznych, będą podobne, lecz wykonywane
obliczenia będą inne.
• Żeby sprawdzić, czy ciąg jest geometryczny, postępujemy podobnie jak w przypadku ciągu
arytmetycznego. Tam badaliśmy, czy różnica pomiędzy kolejnymi wyrazami jest stała. W
przypadku ciągu geometrycznego, którego iloraz jest różny od zera, wystarczy zbadać, czy
ilorazan + 1
anjest stały dla każdej liczby całkowitej n ≥ 1.
• Dowolne trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego, w którym a1 ≠ 0 i an ≠ 0, spełniają rów-
nośćan + 1
an=
anan − 1
, którą możemy zapisać w postaci
an2 = an + 1 ∙ an − 1
Dowolne trzy kolejne, różne od 0 wyrazy ciągu geometrycznego spełniają równość
an + 1an
=an
an − 1,
którą możemy zapisać w postaci an2 = an + 1 ∙ an − 1
Ciąg geometryczny
342
Aplikacja na epodreczniki.pl
Własność: Własność ciągu geometrycznego
Ciąg (an) o wyrazach różnych od 0 jest ciągiem geometrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy dla
dowolnej liczby całkowitej n > 1 (1 < n < k, ciąg (an) jest k − wyrazowy) prawdziwa jest równo-
ść
an2 = an + 1 ∙ an − 1
Jeżeli wyrazy ciągu (an) są liczbami dodatnimi, to równość an2 = an + 1 ∙ an − 1 możemy zapisać
w postaci an = √an + 1 ∙ an − 1.
Oznacza to, że wyraz an jest średnią geometryczną wyrazów sąsiednich.
Zauważmy, że jeżeli w ciągu (an) jest a1 ≠ 0 oraz istnieją wyrazy równe 0 i wyrazy różne od
0, to z definicji wynika, że nie jest to ciąg geometryczny, mimo że może spełniać warunek
an2 = an + 1 ∙ an − 1
Na przykład ciąg (2, 0, 0, 3) spełnia warunki a22 = a1 ∙ a3 oraz a3
2 = a2 ∙ a4, lecz nie jest to ciąg
geometryczny.
Ciąg geometryczny
343
Przykład 2.Sprawdź, czy ciąg (√2 − 1, 1, √2 + 1) jest ciągiem geometrycznym.
Ponieważ wszystkie wyrazy ciągu są różne od zera, więc możemy skorzystać z twierdzenia o
własności ciągu geometrycznego. Wystarczy więc sprawdzić, czy a22 = a1 ∙ a3.
Iloczyn
a1 ∙ a3 = (√2 − 1) ∙ (√2 + 1) = 2 − 1 = 1 = 12 = a22,
więc wnioskujemy, że ten ciąg jest geometryczny.
Przykład 3.W ciągu geometrycznym kolejne wyrazy mają postać
a1
a2 = a1q
a3 = a2q = (a1q) ∙ q = a1q2
a4 = a3q = (a1q2) ∙ q = a1q3
i tak dalej.
Zauważmy, że każdy kolejny wyraz ciągu jest iloczynem wyrazu pierwszego oraz pewnej licz-
by czynników q. Czynników q jest o 1 mniej, niż wynosi numer wyrazu, który chcemy obliczyć,
a więc wyraz an jest iloczynem wyrazu a1oraz n − 1 czynników q . Zatem n-ty wyraz ciągu jest
równy an = a1qn − 1 .
Ciąg geometryczny
344
Twierdzenie: Wzór ogólny ciągu geometrycznego
Jeżeli a1 jest pierwszym wyrazem ciągu geometrycznego (an) i q jest ilorazem tego ciągu, to
dla dowolnej liczby całkowitej n > 1 mamy an = a1qn − 1 .
Aplikacja na epodreczniki.pl
Przykład 4.
Oblicz ósmy wyraz ciągu geometrycznego, w którym a1 = 81 oraz q = − 13 .
Zastosujemy podany wcześniej wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego. Ósmy wyraz ciągu
jest więc równy
a8 = a1q7 = 81 ∙ (− 13 )
7= − 34 ∙ 3−7 = − 3−3 = − 1
27
Przykład 5.
Którym wyrazem ciągu geometrycznego (an), w którym a1 = 3 oraz q = 5, jest liczba 1875?
Ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego mamy 3 ∙ 5n − 1 = 1875. Stąd otrzymujemy
5n − 1 = 625 = 54. Zatem n − 1 = 4, czyli n = 5. Liczba 1875 jest więc piątym wyrazem ciągu (an).
Ciąg geometryczny
345
Przykład 6.
Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego (an) jest równy a1 = 1, a trzeci wyraz tego ciągu jest o
2 większy od drugiego wyrazu tego ciągu. Oblicz iloraz q tego ciągu.
Drugi i trzeci wyraz ciągu są równe a2 = a1q, a3 = a1q2. Ponieważ a1 = 1, to a2 = 1 ∙ q = q oraz
a3 = 1 ∙ q2 = q2. Wyrazy te różnią się o 2, czyli a3 − a2 = 2, więc q2 − q = 2. Otrzymaliśmy rów-
nanie kwadratowe z niewiadomą q. Ma ono dwa rozwiązania q1 = − 1 oraz q2 = 2. Są więc
dwa takie ciągi geometryczne o ilorazach q1 = − 1 oraz q2 = 2.
Przykład 7.
Pomiędzy liczby643 oraz 9 wstaw takie dwie liczby, żeby otrzymać czterowyrazowy ciąg geo-
metryczny.
Liczba 9 jest czwartym, a liczba643 pierwszym wyrazem ciągu geometrycznego. Stąd 9 =
643 q3
, gdzie q oznacza iloraz tego ciągu. Zatem q =34 . Drugi wyraz tego ciągu jest więc równy
x =643 ∙ q =
643 ∙ 3
4 = 16, a trzeci y = x ∙ q = 16 ∙ 34 = 12.
Przykład 8.
Oblicz pierwszy wyraz i iloraz ciągu geometrycznego (an), w którym a6 + a5 = 540 oraz
a6 − a4 = 1296.
Korzystając ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego, kolejne wyrazy ciągu geometrycz-
nego zapisujemy a3 = a1q2, a4 = a1q3, a5 = a1q4, a6 = a1q5. Równania dane w zadaniu zapisu-
jemy więc w postaci układu równań
{ a1q5 + a1q4 = 1944
a1q5 − a1q3 = 1296
{ a1q4{q + 1 = 1944
a1q3{q2 − 1 = 1296
{ a1q4{q + 1 = 1944
a1q3{q − 1(q + 1) = 1296
Z pierwszego równania wynika, że a1 ≠ 0, q ≠ 0 oraz q + 1 ≠ 0. Gdyby tak nie było, równanie
Ciąg geometryczny
346
byłoby sprzeczne, gdyż po lewej stronie mielibyśmy 0, a po prawej 1944. Dzielimy więc stro-
nami drugie równanie przez pierwsze. Wtedy otrzymujemy
a1q3(q − 1)(q + 1)
a1q4(q + 1)=
12961944
czyli
q − 1q =
23
Stąd 3q − 3 = 2q. Zatem q = 3. Z równania a1q4(q + 1) = 1944 i q = 3, otrzymujemy
a1 =1944
q4(q + 1)=
1944
34(3 + 1)= 6
Ciąg geometryczny może być malejący, rosnący, stały, niemalejący, nierosnący albo w ogóle może
nie być monotoniczny. Zależy to od wartości ilorazu oraz znaku pierwszego wyrazu. Na przykład
ciąg geometryczny, w którym a1 = 4 oraz q = 2, a więc ciąg (4, 8, 16, 32, 64, … ) jest rosnący,
gdyż każdy kolejny wyraz ciągu jest dwa razy większy od poprzedniego i pierwszy wyraz jest do-
datni.
Korzystając z poniższego apletu, zbadaj monotoniczność kilku ciągów geometrycznych.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Ciąg geometryczny
347
Poziom trudności: AZadanie 4.5.1-2
Aplikacja na epodreczniki.pl
Poziom trudności: AZadanie 4.5.3Sprawdź, czy podany ciąg jest geometryczny. Jeżeli jest, to znajdź jego iloraz.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.5.4
Aplikacja na epodreczniki.pl
Poziom trudności: AZadanie 4.5.5
Wyznacz wzór ogólny ciągu geometrycznego (an), w którym
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.5.6Ustaw wyrazy w odpowiedniej kolejności, tak żeby utworzyły ciąg geometryczny, którego iloraz
jest mniejszy od 1.
an = (0,3)na)
bn =2n
7
b)
cn = 3n + 4c)
a1 = 10 oraz a6 =5
16a)
a3 =12 oraz a6 =
1252
b)
1254 ,
252 , 5, 2,
45 ,
825 ,
16125
a)
128√3,323 ,
8
√3 , 2, √32 ,
38
b)
Ciąg geometryczny
348
Poziom trudności: AZadanie 4.5.7Dane są dwa wyrazy ciągu geometrycznego a6 = 20, a8 = 80. Wtedy
a) a4 = 5
b) q = 2 lub q = − 2
c) a7 = 50
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.5.8Liczby x − 1, 2x + 2, 6x + 6 są kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego. Wyznacz
te liczby.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.5.9Suma trzech wyrazów tworzących ciąg geometryczny jest równa −7, a ich iloczyn jest równy 27
. Oblicz pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 4.5.10
Udowodnij, że jeśli (an) jest ciągiem geometrycznym, to dla każdej liczby całkowitej n ≥ 1 praw-
dziwa jest równość anan + 3 = an + 1an + 2.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.5.11
W ciągu geometrycznym pierwszy wyraz jest równy 3, a iloraz13 . Dwudziesty wyraz tego ciągu
można zapisać wzorem
a) a20 =13 ∙ (3)
19
b) a20 =13 ∙ (3)
20
c) a20 = 3 ∙ (13 )
19
Ciąg geometryczny
349
d) a20 = 3 ∙ (13 )
20
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.5.12
Piąty wyraz rosnącego ciągu geometrycznego jest równy 513 , a siódmy 21
13 . Iloraz tego ciągu
jest równy
a) −4
b) 2
c) −2
d) 4
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.5.13Który z ciągów jest geometryczny?
a)3 + √3
6 ,1 + √3
9 ,3 + √3
18
b)3 + √3
3 ,3 + √3
6 ,3 + √3
18
c)1 + √3
6 ,2 + √3
6 ,3 + √3
6
d)3 + √3
6 ,1 + √3
6 ,3 + √3
18
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.5.14
W ciągu geometrycznym mamy a2 =34 oraz a5 =
169 . Wtedy
a) a1 ∙ a3 =13
b) a1 ∙ a3 = 1
c) a1 ∙ a3 =9
16
d) a1 ∙ a3 =43
(Pokaż odpowiedź)
Ciąg geometryczny
350
Poziom trudności: AZadanie 4.5.15W ciągu geometrycznym dane są a1 = 3 oraz a4 = 192. Oblicz iloraz tego ciągu.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.5.16
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (an), w którym a3 = 1 oraz a4 =34 . Wyznacz pierwszy
wyraz tego ciągu.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.5.17
W ciągu geometrycznym (an) dane są wyrazy a4 =4516 oraz a6 =
4054 . Wyznacz wzór ogólny tego
ciągu.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.5.18Dany jest ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie a1 = − 3 oraz ilorazie q = − 2. Którym wyra-
zem tego ciągu jest liczba 96?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.5.19Stosunek sumy trzech pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego do sumy wyrazów pierwsze-
go i trzeciego jest równy35 . Oblicz iloraz tego ciągu.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.5.20Jaką liczbę trzeba dodać do każdej z liczb:−2, 2, 22, żeby otrzymane liczby były kolejnymi wy-
razami ciągu geometrycznego?
(Pokaż odpowiedź)
Ciąg geometryczny
351
Poziom trudności: AZadanie 4.5.21
Aplikacja na epodreczniki.pl
Poziom trudności: AZadanie 4.5.22
Wykaż, że jeżeli (an) jest ciągiem geometrycznym o wyrazach różnych od zera, to każdy z ciągów
(bn) i (cn) określonych wzorami bn =2
anoraz cn = a3n też jest geometryczny.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.5.23Znajdź x, wiedząc, że
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.5.24
Pomiędzy liczby 432 oraz 250 wstaw takie dwie liczby a i b, żeby ciąg (432, a, b, 250) był geo-
metryczny.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.5.25Ciąg geometryczny składa się z ośmiu wyrazów. Suma pierwszych sześciu wyrazów jest równa
1, a suma sześciu ostatnich jest równa 16. Oblicz iloraz tego ciągu.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 4.5.26
Wyznacz pierwszy wyraz oraz iloraz ciągu geometrycznego (an), w którym a4 + 17a2 = 1 oraz
a2 + a4 + a6 = 1.
(Pokaż odpowiedź)
ciąg (2, x, 98) jest geometryczny. Oblicz iloraz tego ciągu.a)
ciąg (2 + √3, 1 + √3, x) jest geometryczny. Oblicz iloraz tego ciągu.b)
Ciąg geometryczny
352
Poziom trudności: BZadanie 4.5.27Wykaż, że suma kwadratów trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego, które są liczbami
całkowitymi różnymi od zera, jest podzielna przez sumę tych wyrazów.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 4.5.28Wykaż, że liczby 5, 6 i 7 nie mogą być wyrazami tego samego ciągu geometrycznego.
(Pokaż odpowiedź)
Ciąg geometryczny
353
4.6. Suma wyrazów ciągu geometrycznego
Twierdzenie: Twierdzenie o sumie n początkowychwyrazów ciągu geometrycznego
Jeżeli (an) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q, to suma Sn jego n początkowych wyrazów
jest równa
Sn = a11 − qn
1 − q dla q ≠ 1 albo Sn = na1 dla q = 1.
Film na epodreczniki.pl
Przykład 1.
Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (an), w którym a1 =12
oraz q = 2.
Iloraz ciągu geometrycznego (an) jest różny od 1, więc suma S10 jego dziesięciu początkowych
wyrazów jest równa
S10 = a11 − q10
1 − q =12 ∙ 1 − 210
1 − 2 =12 ∙ 1 − 210
−1 =12 ∙ (210 − 1) =
1024 − 12 =
10232 = 511
12
Suma wyrazów ciągu geometrycznego
354
Przykład 2.
Oblicz sumę wyrazów od ósmego do dwunastego ciągu geometrycznego (an), w którym
a1 = 3 oraz q = − 2.
Suma, którą należy obliczyć, to a8 + a9 + … + a12. Zrobimy to dwoma sposobami.
• sposób I
Zauważmy, że wystarczy obliczyć sumy S12 oraz S7, odpowiednio dwunastu i siedmiu począt-
kowych wyrazów tego ciągu, a następnie od pierwszej z obliczonych sum odjąć drugą.
S12 = a11 − q12
1 − q = 3 ∙1 − (−2)
12
1 − (−2)= 3 ∙ 1 − 212
3 = 1 − 212 = 1 − 4096 = − 4095
S7 = a11 − q7
1 − q = 3 ∙1 − (−2)
7
1 − (−2)= 3 ∙ 1 + 27
3 = 1 + 27 = 1 + 128 = 129
Zatem
a8 + a9 + … + a12 = S12 − S7 = − 4095 − 129 = − 4224
• sposób II
Zauważmy, że ciąg, którego kolejnymi wyrazami są a8, a9, … , a12, to pięciowyrazowy ciąg
geometryczny, którego pierwszym wyrazem jest ósmy wyraz ciągu (an), i którego iloraz jest
taki sam, jak iloraz ciągu (an) czyli q = − 2. Zatem
a8 + a9 + … + a12 = a8 ∙ 1 − q5
1 − q = a1q7 ∙ 1 − q5
1 − q = 3 ∙ (−2)7
∙1 — (−2)
5
1 − (−2)= − 3 ∙ 128 ∙ 1 + 25
3 = − 128 ∙ 33 = − 4224
Przykład 3.
Dany jest ciąg geometryczny (an), w którym a1 = 27 oraz a4 = 1. Ile początkowych wyrazów
tego ciągu trzeba dodać, żeby otrzymać 4013?
Na początek obliczmy iloraz tego ciągu. Ponieważ a4 = a1q3, więc q3 =a4a1
=1
27 . Stąd q =13 . Po-
zostaje obliczyć n, dla którego Sn = 4013 . Ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu
geometrycznego otrzymujemy
27 ∙1 − (1
3 )n
1 −13
= 4013
Równanie to przekształcamy równoważnie
Suma wyrazów ciągu geometrycznego
355
27 ∙1 − (1
3 )n
23
=121
3
1 − (13 )
n=
1213 ∙ 27 ∙ 2
3
(13 )
n= 1 − 242
243
(13 )
n=
1243
(13 )
n= (1
3 )5
Stąd n = 5. Zatem należy dodać pięć początkowych wyrazów ciągu (an).
Przykład 4.
Suma n początkowych wyrazów ciągu (an) jest określona wzorem Sn = 3n + 1 − 3 dla każdej
liczby całkowitej n ≥ 1.
Rozwiązanie
an = Sn − Sn − 1 = (3n + 1 − 3) − (3n − 3) = 3n + 1 − 3n = 3n(3 − 1) = 2 ∙ 3n = 6 ∙ 3n − 1
To oznacza, że (an) jest ciągiem geometrycznym, w którym pierwszy wyraz jest równy a1 = 6
a iloraz q = 3.
Przykład 5.Stosunek sumy ośmiu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego do sumy jego czterech
początkowych wyrazów jest równy 82. Oblicz iloraz tego ciągu.
Oblicz czwarty wyraz ciągu (an).a)
Udowodnij, że ciąg (an) jest geometryczny oraz oblicz iloraz tego ciągu.b)
Zauważmy, że czwarty wyraz ciągu jest równy S4 − S3, czyli
a4 = (35 − 3) − (34 − 3) = 35 − 34 = 34(3 − 1) = 81 ∙ 2 = 162
a)
Wyznaczmy wzór na n-ty wyraz ciągu (an). Postępujemy podobnie jak w punkcie a). Dla
każdej liczby całkowitej n > 1 otrzymujemy
b)
Suma wyrazów ciągu geometrycznego
356
Trzeba zauważyć najpierw, że q ≠ 0. Gdyby q = 0 to S8 = 8a1, S4 = 4a1, więcS8S4
=8a14a1
= 2 ≠ 82
. Wobec tego ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego wyznacza-
my sumę ośmiu i sumę czterech jego początkowych wyrazów
S8 = a11 − q8
1 − q , S4 = a11 − q4
1 − q
Ich stosunek jest równy 82, zatem
82 =a1
1 − q8
1 − q
a11 − q4
1 − q
=1 − q8
1 − q4 =(1 − q4)(1 + q4)
1 − q4 = 1 + q4
Stąd q4 = 81, czyli q = 3 lub q = − 3.
Poziom trudności: AZadanie 4.6.1
Oblicz sumę ośmiu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (an) określonego wzorem
an = 512 ∙ (32 )
n.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.6.2
Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (an), w którym a3 = − 4
oraz a6 = 32.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.6.3Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów o numerach parzystych ciągu geometrycznego
(an), w którym a1 = 3 oraz q =12 .
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.6.4Łamana o długości 1270 mm składa się z odcinków, z których pierwszy odcinek ma długość
640 mm, a każdy następny jest dwa razy krótszy od poprzedniego. Oblicz, z ilu odcinków składa
się ta łamana.
(Pokaż odpowiedź)
Suma wyrazów ciągu geometrycznego
357
Poziom trudności: AZadanie 4.6.5
Oblicz sumę 7 wyrazów ciągu geometrycznego (an), w którym a1 =818 oraz q =
23 .
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.6.6
Oblicz pierwszy wyraz ciągu geometrycznego (an) o ilorazie q = √2, jeżeli suma S8 = 30 + 30√2.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.6.7
Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego (an) jest równy −8, iloraz tego ciągu jest równy12 oraz
suma pierwszych n wyrazów jest równa−1534 .Wyznacz n-ty wyraz tego ciągu geometrycznego.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.6.8
Ile wyrazów ciągu geometrycznego (an), który jest dany wzorem ogólnym an = (−2)n + 1
, trzeba
zsumować, żeby otrzymać −340?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.6.9W pewnym sześciowyrazowym ciągu geometrycznym suma wyrazów stojących na pozycjach
nieparzystych jest równa 63, a suma wyrazów stojąca na pozycjach parzystych jest równa 126
. Wyznacz szósty wyraz tego ciągu.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.6.10
Oblicz sumę wyrazów od szóstego do dziesiątego ciągu geometrycznego (an), w którym a1 = 5
oraz q = 2.
(Pokaż odpowiedź)
Suma wyrazów ciągu geometrycznego
358
Poziom trudności: AZadanie 4.6.11Wyznacz piąty wyraz ciągu geometrycznego, w którym S2 = 21 oraz S3 = 129.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.6.12
Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (an) o numerach nieparzy-
stych, w którym a1 = 7 oraz q = − 12 .
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.6.13
W pewnym ciągu suma n początkowych wyrazów wyraża się wzorem Sn = 4n + 1 − 4. Wykaż, że
jest to ciąg geometryczny.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.6.14Stosunek sumy dziesięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego do sumy pierwszych
pięciu wyrazów ciągu geometrycznego jest równy 33. Oblicz iloraz tego ciągu.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.6.15Wykaż, że dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n zachodzi równość
(5 − 3) + (52 − 32) + (53 − 33) + … + (5n − 3n) =5n + 1 − 2 ∙ 3n + 1 + 1
4 .
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.6.16Uzasadnij, że suma wszystkich potęg liczby 3 o wykładnikach naturalnych mniejszych od 10 jest
równa310 − 1
2 .
(Pokaż odpowiedź)
Suma wyrazów ciągu geometrycznego
359
Poziom trudności: AZadanie 4.6.17Wiedząc, że w pewnym ciągu geometrycznym pierwszy wyraz jest równy a1, ostatni wyraz jest
równy an oraz suma wszystkich n wyrazów jest równa Sn, wyznacz sumę odwrotności wyrazów
tego ciągu.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 4.6.18Wykaż, że różnica liczb 11...1
?2n
− 22...2?n
, gdzie w zapisie odjemnej występuje 2n jedynek, a w zapi-
sie odjemnika n dwójek, jest kwadratem liczby naturalnej.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 4.6.19Oblicz sumę 2 + 22 + 222 + … + 2 … 22
?n
, gdzie w zapisie ostatniego składnika występuje n dwó-
jek.
(Pokaż odpowiedź)
Suma wyrazów ciągu geometrycznego
360
4.7. Procent składanyProcent składany
Lokatę bankową możemy traktować jako umowę zawartą między klientem a bankiem, na mocy
której klient powierza bankowi określoną kwotę na ustalony termin. W zamian za to, po upływie
tego terminu, bank wypłaca klientowi wpłaconą kwotę powiększoną o odsetki, które zostały na-
liczone zgodnie z warunkami zapisanymi w umowie. Istotny wpływ na wysokość ostatecznie wy-
płaconej kwoty ma, oczywiście, oprocentowanie lokaty, ale ważne jest również to, co dzieje się z
naliczonymi po kapitalizacji odsetkami:
• mogą one zostać przelane na inny rachunek tego samego klienta – wtedy kwota lokaty się
nie zmienia i odsetki naliczone przy kolejnej kapitalizacji będą takie same - taki sposób obli-
czania odsetek nazywa się procentem prostym;
• mogą zostać dopisane do lokaty – wtedy kwota lokaty zwiększa się o odsetki, które biorą
udział w wypracowaniu zysku w kolejnym okresie – ten sposób nazywamy procentem skła-
danym.
W zadaniach w tym rozdziale, mówiąc o lokacie bankowej, przyjmiemy, że każdorazowo po kapi-
talizacji odsetki dopisywane są do lokaty i lokata nie została zerwana przed upływem ustalonego
terminu.
Film na epodreczniki.pl
Przykład 1.Pani Joanna wpłaciła 1000 zł do banku na pięcioletnią lokatę „Premium”. Warunki lokaty za-
kładają roczne oprocentowanie w wysokości 5% i roczną kapitalizację odsetek. Jaki kapitał
zostanie zgromadzony na lokacie po 5 latach od jej założenia?
Procent składany
361
Prześledzimy krok po kroku zmiany tej lokaty.
Kapitał początkowy Kp jest równy Kp = 1000 zł.
Lokata będzie utrzymywana przez 5 lat i kapitalizacja będzie następowała co rok. Mamy za-
tem 5 okresów kapitalizacji (n = 5) .
Oprocentowanie w okresie kapitalizacji jest równe 5%.
Obliczmy kapitał zgromadzony po kolejnych latach
• po pierwszym roku
K1 = 1000 zł + 5% ∙ 1000 zł = 1000 zł ∙ (1 +5
100 ) = 1000 zł ∙ 1,05 = 1050 zł.
Kwota lokaty zwiększyła się o 5% z 1000 zł, czyli o 50 zł.
• po drugim roku
Podstawę do naliczenia odsetek stanowi teraz kwota 1050 zł, czyli otrzymamy
K2 = 1050 zł + 5% ∙ 1050 zł = 1050 zł ∙ (1 +5
100 ) = 1050 zł ∙ 1,05 = 1000 zł ∙ 1,05 ∙ 1,05 =
= 1000zł ∙ (1,05)2
= 1102,50 zł.
Kwota lokaty zwiększyła się o 5% z 1050 zł, czyli o 52,50 zł.
• po trzecim roku
Podstawę do naliczenia odsetek stanowi teraz kwota powiększona o kolejne odsetki, czyli
1102,50 zł. Po następnej kapitalizacji otrzymamy
K3 = 1102,50 zł + 5% ∙ 1102,50 zł = 1102,50 zł ∙ (1 +5
100 ) = 1102,50 zł ∙ 1,05 = = 1000zł ∙ (1.05)2
∙ 1,05 = 1000zł ∙ (1.05)3
= 1157,625 zł ≈ 1157,63 zł
Kwota lokaty zwiększyła się o 5% z 1102,50 zł, czyli o 55,13 zł.
Zauważmy, że w każdym roku doliczamy inną kwotę odsetek. Wynika to z tego, że za każdym
razem inna jest podstawa ich naliczania.
Kwoty lokaty po kolejnych latach są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o ilorazie
q = 1,05 i wyrazach:
a1 = Kp = 1000 zł
a2 = K1 = 1000 zł ∙ 1,05
a3 = K2 = 1000 zł ∙ (1,05)2
a4 = K3 = 1000 zł ∙ (1,05)3
Wykorzystując wzór na n – ty wyraz ciągu geometrycznego, otrzymujemy:
• po czwartym roku
Procent składany
362
a5 = K4 = 1000 zł ∙ (1,05)4
= 1215,50625 zł ≈ 1215,51 zł.
• po piątym roku
a6 = K5 = 1000zł ∙ (1,05)5
≈ 1276,28 zł
Z tego wynika, że po 5 latach pani Joanna powinna otrzymać 1276,28 zł.
Film na epodreczniki.pl
Ważne
• W polskim systemie monetarnym najmniejszą jednostką jest 1 gr , dlatego wszystkie
kwoty zaokrąglamy z dokładnością do 1 gr.
• Od 2002 roku w Polsce obowiązuje podatek od dochodów kapitałowych. Oznacza to, że
przy każdej kapitalizacji dopisywane odsetki zostaną pomniejszone o 19% ich wartości.
W zadaniach w tym rozdziale kwotę podatku od dochodów kapitałowych będziemy pomi-
jać.Kwotę lokaty po n okresach kapitalizacji można obliczyć, korzystając ze wzoru:
Kn = Kp(1 +p
100 )n
gdzie:
• Kp − oznacza kapitał początkowy,
• Kn − oznacza kapitał zgromadzony na lokacie po n okresach kapitalizacji,
• n − oznacza liczbę kapitalizacji,
Procent składany
363
• p % − oznacza oprocentowanie lokaty w okresie, po którym następuje kapitalizacja.
Przykład 2.Pan Jerzy wpłacił 10 000 zł na lokatę z rocznym oprocentowaniem w wysokości 6% oraz z
miesięczną kapitalizacją odsetek. Jaką kwotę zgromadzi on na tej lokacie po roku od jej zało-
żenia?
W tym przykładzie mamy
Kp = 10 000 zł
Lokata będzie utrzymywana przez 1 rok, natomiast odsetki będą dopisywane co miesiąc. Ma-
my zatem 12 okresów kapitalizacji (n = 12).
Oprocentowanie roczne jest równe 6%, zatem w pojedynczym okresie kapitalizacji wyniesie
p% =6%12 = 0,5%
Obliczmy kapitał zgromadzony po 12 miesiącach
K12 = Kp(1 +p
100 )12
= 10 000(1 +0,5100 )
12= 10 000 (1,005)
12≈ 10 616,78 zł
Przedstawiony powyżej sposób obliczania kapitału końcowego zakłada, że obliczamy od razu
wartość końcową po n okresach kapitalizacji. Pomijamy tym samym wszystkie kwoty pośred-
nie – po pierwszym, drugim i kolejnych kapitalizacjach.
W rzeczywistości jest inaczej – każdorazowo kwota po dopisaniu odsetek jest zaokrąglana do
1 gr i otrzymane przybliżenie jest podstawą do obliczenia odsetek w następnym okresie. Przy
wielokrotnej kapitalizacji ostateczne kwoty kapitału końcowego mogą się nieznacznie różnić.
Musimy zatem pamiętać, że wzór na procent składany jest tylko matematycznym przybliże-
niem rzeczywistości bankowej.
Poziom trudności: AZadanie 4.7.1Pan Marek zdeponował w banku kwotę 2500 zł na lokacie dwuletniej, oprocentowanej w wyso-
kości 3% rocznie z kapitalizacją kwartalną. Jaki kapitał zgromadzi pan Marek po 2 latach oszczę-
dzania?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.7.2Uzupełnij tabelę, obliczając potrzebne wartości.
Procent składany
364
liczba
lat
liczba okresów
kapitalizacji
sposób kapitali-
zacji lokaty
oprocentowanie
w skali roku
oprocentowanie w okre-
sie kapitalizacji
4 rocznie 8%
3 kwartalnie 3%
6% 0,5%
10 półrocznie 3%
6
2 12 1%
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.7.3Pani Zofia chce ulokować w banku 10 000 zł na rocznej lokacie oprocentowanej w wysokości
6%. Oblicz, jaka kwota zostanie zgromadzona na tej lokacie, jeśli kapitalizacja będzie
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.7.4Lokata Wiosenna jest oprocentowana 4,5% rocznie i kapitalizowana co miesiąc. Paweł wpłacił
na lokatę 1350 zł. Po ilu miesiącach oszczędzania wartość lokaty przekroczy 1400 zł?
(Pokaż odpowiedź)
Przykład 3.Na realizację marzeń o wycieczce do Afryki Justyna potrzebuje co najmniej 9 500 zł. Postano-
wiła systematycznie, co miesiąc, odkładać 500 zł . Bank zaproponował lokatę z możliwością
dopłacania pieniędzy, oprocentowaną 6% rocznie z miesięczną kapitalizacją odsetek. Czy po
18 miesiącach oszczędzania Justyna zgromadzi odpowiednią kwotę?
Przeanalizujmy krok po kroku zmiany na tej lokacie.
Oprocentowanie w okresie kapitalizacji
rocznaa)
kwartalnab)
półrocznac)
miesięcznad)
Procent składany
365
p% =6%12 = 0,5%, n = 18
• Stan lokaty po pierwszym miesiącu
K1 = 500 zł +0,5100 ∙ 500 zł = 500 zł ∙ (1,005) = 502,5 zł
• Stan lokaty po drugim miesiącu
K2 = [500 zł ∙ [1,005] + 500zł] ∙ 1,005 = 500 zł ∙ (1,005)2
+ 500 zł ∙ (1,005) = 1007,51 zł
• Stan lokaty po trzecim miesiącu
K3 = (K2 + 500 zł) ∙ 1,005 = 500 zł ∙ (1,005)3
+ 500 zł ∙ (1,005)2
+ 500zł ∙ (1,005) = 1515,05 zł
• Stan lokaty po czwartym miesiącu
K4 = (K3 + 500 zł) ∙ 1,005 = 500 zł ∙ (1,005)4
+ 500 zł ∙ (1,005)3
+ 500 zł ∙ (1,005)2
+ 500zł ∙ (1,005) = 2025,13zł
Zauważmy, że 500 zł ulokowane w pierwszym miesiącu procentuje najdłużej, kolejne – 1 mie-
siąc krócej i tak dalej, aż do ostatniej wpłaconej kwoty, która procentuje tylko miesiąc.
Stan lokaty po 18 miesiącach oszczędzania możemy zapisać
500zł ∙ (1,005)18
+ 500zł ∙ (1,005)17
+ 500zł ∙ (1,005)16
+ 500zł ∙ (1,005)15
+ … + 500zł ∙ (1,005)Jest to suma osiemnastu kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego, w którym
a1 = 500zł ∙ 1,005, q = 1,005.
Wartość lokaty po 18 miesiącach będzie sumą osiemnastu wyrazów ciągu geometrycznego
S18 =a1(1 − q18)
1 − q =
500 ∙ 1,005 ∙ (1 − (1,005)18)
1 − 1,005 ≈ 9439,858427 zł ≈ 9439,86 zł.
Zatem Justyna jest bliska zgromadzenia potrzebnej kwoty 9 500 zł, ale brakuje jej jeszcze
około 60 zł.
Poziom trudności: AZadanie 4.7.5Henryk chce podarować wnukowi prezent na 18 urodziny. W dniu narodzin wnuka wpłacił do
banku 250 zł na lokatę oprocentowaną 3,5% w skali roku z roczną kapitalizacją odsetek. Po-
stanowił, że na każde kolejne urodziny będzie dopłacał do tej lokaty kolejne 250 zł. Jaką kwotę
Henryk zgromadzi na tej lokacie do 18 urodzin wnuka?
(Pokaż odpowiedź)
Procent składany
366
Ważne
Musimy pamiętać, że przedstawiane zadania i przykłady zastosowania procentu składanego
nie zawsze są wiernym odwzorowaniem rzeczywistości bankowej. Oferta lokat bankowych
jest bardzo bogata i zróżnicowana. Systemy obliczeniowe stosowane w bankach pozwalają
na zmianę oprocentowania w różnych okresach trwania lokaty, częstą kapitalizację lub nawet
możliwość wypłaty części środków z lokaty przed upływem zadeklarowanego okresu. Ponad-
to od 2002 roku obowiązuje, wspomniany wcześniej, podatek od dochodów kapitałowych,
który każdorazowo zmniejsza kwotę należnych odsetek o 19% ich wartości.
Poziom trudności: AZadanie 4.7.6Oblicz kapitał końcowy uzyskany po 5 latach, jeśli
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.7.7Wykonaj niezbędne obliczenia i uzupełnij tabelę.
kapitał początkowy(z
dokładnością do 1 zł)
oprocentowanie
roczne
okres kapi-
talizacji
czas
trwania
lokaty
kapitał końcowy (z
dokładnością do 1 gr
)
2500 zł 4% półroczna 3 lata
4500 zł 6% kwartalna 5069,22 zł
3,5% roczna 6 lat 1819,30 zł
3600 zł 4% kwartalna 3,5 roku
7500 zł 6% miesięczna 1 rok
(Pokaż odpowiedź)
wpłacono do banku 1570 zł na lokatę oprocentowaną 8% rocznie i kapitalizowaną co pół
roku;
a)
wpłacono 1500 zł na lokatę oprocentowaną 7% rocznie i kapitalizowaną co miesiąc.b)
Procent składany
367
Poziom trudności: AZadanie 4.7.8Filatelista kupił znaczek pocztowy za 150 zł. Jaka będzie jego wartość po 15 latach, jeśli przyjąć,
że w każdym roku wzrasta ona o 8% w stosunku do wartości sprzed roku?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.7.9Maciek kupił komputer za 3500 zł . Jaka będzie jego wartość po 6 latach, jeśli przyjąć, że w każ-
dym roku traci on 10% wartości sprzed roku?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.7.10Iza chce zdać egzamin na prawo jazdy. Koszt kursu, jazd dodatkowych i egzaminów zewnętrz-
nych to 1800 zł. Iza może odkładać w banku co miesiąc 155 zł na lokacie z oprocentowaniem
4,5% rocznie i kapitalizacją miesięczną. O ile kwota lokaty będzie większa od ceny kursu, jeśli
Iza będzie oszczędzać na tej lokacie przez 12 miesięcy?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.7.11Rodzice małej Zuzi oszczędzają na jej studia. Co roku wpłacają 1300 zł na lokatę z kapitalizacją
roczną, oprocentowaną 6% w skali roku. Po ilu latach kwota tych oszczędności przekroczy kwo-
tę 30 000 zł?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.7.12Kuba chce wpłacić do banku 3600 zł na roczną lokatę. Dwa banki mają w swojej ofercie lokatę
oprocentowaną w wysokości 8% rocznie. Bank X kapitalizuje ją co pół roku, natomiast bank Y –
co kwartał. O ile więcej zyska Kuba dzięki korzystniejszej kapitalizacji?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.7.13Bank proponuje trzy rodzaje lokat.
Lokata 3 – miesięcznaa)
Procent składany
368
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.7.14Wyobraź sobie, że codziennie odkładasz 1 zł na lokatę oprocentowaną 0,0001% dziennie i ka-
pitalizowaną codziennie. Jaką kwotę zbierzesz po roku, a jaką po dwóch latach takiego oszczę-
dzania? Do obliczeń możesz wykorzystać kalkulator lub komputer.
(Pokaż odpowiedź)
czas trwania lokaty 3 miesiące
minimalna kwota 500 zł
oprocentowanie roczne 4%
rodzaj kapitalizacji po zakończeniu trwania lokaty, odsetki dopisane do lokaty
inne warunki lokata może być odnawiana na następne okresy
Lokata 6 – miesięczna
czas trwania lokaty 6 miesięcy
minimalna kwota 1000 zł
oprocentowanie roczne 4,5%
rodzaj kapitalizacji po zakończeniu trwania lokaty, odsetki dopisane do lokaty
inne warunki lokata może być odnawiana na następne okresy
b)
Lokata 9 – miesięczna
czas trwania lokaty 9 miesięcy
minimalna kwota 2000 zł
oprocentowanie roczne 5%
rodzaj kapitalizacji kwartalnie, odsetki dopisane do lokaty
inne warunki lokata może być odnawiana na następne okresy
Która z nich jest najbardziej korzystna, jeśli chcemy ulokować 1750 zł na okres 2 lat?
c)
Procent składany
369
4.8. Ciąg arytmetyczny i geometrycznyzastosowanieCiąg arytmetyczny i geometryczny – zastosowanie
Przykład 1.
W nieskończonym ciągu arytmetycznym (an) dane są wyrazy a5 = − 7 i a9 = 13. Ile wyrazów
tego ciągu to dodatnie liczby całkowite dwucyfrowe?
Liczby całkowite dwucyfrowe są mniejsze od 100 i większe od 9. Z tego wynika, że musimy
rozwiązać nierówność an < 100 i an > 9.
Wyznaczymy wzór ogólny tego ciągu.
Rozwiązaniem układu równań
{ −7 = a1 + 4r
13 = a1 + 8r
otrzymanego po wstawieniu piątego i dziewiątego wyrazu do wzoru na n – ty wyraz ciągu są
a1 = − 27 i r = 5. Z tego wynika, że wzór ogólny tego ciągu ma postać
an = 5n − 32
Mamy zatem nierówność
9 < 5n − 32 < 100
czyli 815 < n < 26
25 . Oznacza, że warunki zadania spełnia 18 wyrazów ciągu. Są to wyrazy
a9, a10, … , a26.
Ciąg arytmetyczny i geometryczny zastosowanie
370
Przykład 2.
Ciąg (4, x,9
16 ) jest malejącym ciągiem geometrycznym, natomiast ciąg ( − 5, x +72 , y) jest
arytmetyczny. Wyznacz wyrazy obu ciągów.
Z własności ciągu geometrycznego (4, x,9
16 ) wynika równanie x2 = 4 ∙ 916 , czyli x2 =
94 .
Zatem x =32 lub x = − 3
2 . Rozwiązanie ujemne odrzucamy, ponieważ ciąg geometryczny jest
malejący.
Po podstawieniu otrzymanej wartości x otrzymamy ciąg arytmetyczny ( − 5,32 +
72 , y), czyli
( − 5, 5, y). Różnica w tym ciągu jest równa r = 10 . Z tego wynika, że y = 15.
Zatem liczby (4,32 ,
916 ) tworzą ciąg geometryczny, a liczby (−5, 5, 15) tworzą ciąg arytme-
tyczny.
Film na epodreczniki.pl
Poziom trudności: AZadanie 4.8.1
Ciąg (x, 9, x + 4) jest rosnącym ciągiem arytmetycznym, a ciąg (x + 1, 12, y − 7) jest ciągiem
geometrycznym. Oblicz x i y.
(Pokaż odpowiedź)
Ciąg arytmetyczny i geometryczny zastosowanie
371
Przykład 3.Miary kątów trójkąta tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 34 ° . Oblicz miarę największego
kąta w tym trójkącie.
Wprowadźmy oznaczenia wykorzystujące fakt, że miary kątów trójkąta tworzą ciąg arytme-
tyczny o różnicy 34 ° .
Suma miar kątów trójkąta jest równa α + α + 34 ° + α + 2 ∙ 34 ° = 180 ° . Z tego wynika, że
? = 26 ° .
Największy kąt w tym trójkącie ma miarę 26 ° + 68 ° = 94 ° .
Poziom trudności: AZadanie 4.8.2
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.8.3Boki trójkątów równobocznych tworzą ciąg arytmetyczny, w którym r > 0.
(Pokaż odpowiedź)
Przykład 4.Punkty S1, S2, S3, S4 są środkami półokręgów. Promień największego z półokręgów jest
równy 8. Oblicz długość spirali przestawionej na rysunku.
Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 5. Oblicz po-
le tego prostokąta.
a)
Obwód trójkąta prostokątnego jest równy 48 cm, a jego pole 96 cm2. Długości boków
trójkąta są trzema kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu arytmetycznego. Wyznacz dłu-
gości boków trójkąta.
b)
Czy obwody tych trójkątów tworzą ciąg arytmetyczny?a)
Czy pola tych trójkątów tworzą ciąg arytmetyczny?b)
Ciąg arytmetyczny i geometryczny zastosowanie
372
Z faktu, że każdy kolejny półokrąg tworzący spiralę przechodzi przez środek poprzedniego
półokręgu, wynika, że każdy kolejny promień jest połową promienia poprzedniego półokrę-
gu.
Zatem kolejne promienie półokręgów tworzą malejący ciąg geometryczny, którego iloraz
q =12 .
Długości kolejnych półokręgów są równe
L1 = 8π , L2 =12 ∙ 8π = 4π, L3 =
12 ∙ 4π = 2π…,
I również tworzą ciąg geometryczny o ilorazie q =12 .
Długość spirali jest sumą pięciu pierwszych wyrazów tego ciągu. Zatem
L = S5 = 8π1 − (1
2 )5
1 −12
= 8π ∙ 3116 =
312 π
Przykład 5.W pierwszym miesiącu pracy w pizzerii Kamil zarobił 650 zł. W każdym następnym miesiącu
zarabiał o 20 zł więcej niż w miesiącu poprzednim. Jaką kwotę zarobił Kamil, pracując w ten
sposób przez pół roku?
Zauważmy, że zarobione przez Kamila kwoty są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego,
w którym a1 = 650 zł i r = 20 zł.
Zarobiona przez pół roku kwota będzie sumą sześciu pierwszych wyrazów tego ciągu. Wsta-
wiając wartości do wzoru na sumę ciągu arytmetycznego, otrzymujemy
S6 =2 ∙ 650 + 5 ∙ 20
2 ∙ 6 = 4200 zł
Poziom trudności: AZadanie 4.8.4
Ciąg (3, 2x, y − 3) jest ciągiem arytmetycznym, a ciąg (64, y, x) jest ciągiem geometrycznym.
Wyznacz x i y.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.8.5Liczby 30 , x, y w podanej kolejności tworzą malejący ciąg arytmetyczny. Oblicz x i y, wiedząc,
że ciąg (x, y, 2) jest geometryczny.
(Pokaż odpowiedź)
Ciąg arytmetyczny i geometryczny zastosowanie
373
Poziom trudności: AZadanie 4.8.6
Wyrazami nieskończonego ciągu arytmetycznego (an) są kolejne dodatnie liczby całkowite, któ-
re przy dzieleniu przez 4 dają resztę 1: a1 = 1, a2 = 5. Wyrazami nieskończonego ciągu arytme-
tycznego (bn) są kolejne dodatnie liczby całkowite, które przy dzieleniu przez 5 dają resztę 2:
b1 = 2, b2 = 7. Wypisz wszystkie liczby dwucyfrowe, które występują w obu tych ciągach.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.8.7Oblicz sumę
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.8.8Miary kątów trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny. Oblicz różnicę tego ciągu.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.8.9Miary kątów trójkąta tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym najmniejszy kąt ma miarę 51 ° . Ob-
licz miarę największego kąta tego trójkąta.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.8.10Pierwszy odcinek łamanej ma długość 4 cm, a każdy kolejny jest dłuższy od poprzedniego o
2 cm. Z ilu odcinków składa się ta łamana, jeśli jej całkowita długość jest równa 270 cm?
(Pokaż odpowiedź)
wszystkich dodatnich liczb całkowitych, które są dwucyfrowe i dzielą się przez 3a)
parzystych liczb dwucyfrowychb)
wszystkich liczb dwucyfrowych podzielnych przez 8c)
wszystkich liczb dwucyfrowych, które przy dzieleniu przez 5 dają resztę 2d)
Ciąg arytmetyczny i geometryczny zastosowanie
374
Poziom trudności: AZadanie 4.8.11
Prostokąt o polu powierzchni równym 128 cm2 podzielono na dwa takie prostokąty, że pole
większego jest trzy razy większe od pola mniejszego. Długości odcinków a, b są długościami
boków mniejszego prostokąta, b, c są długościami boków większego z prostokątów, które po-
wstały z podziału. Wiedząc, że a, b, c tworzą ciąg arytmetyczny, wyznacz długości boków tego
prostokąta.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.8.12
Dany jest kwadrat o boku a i prostokąt o bokach x i y. Ciąg (x, a, y) jest geometryczny. Która z
tych figur ma większe pole?
(Pokaż odpowiedź)
Ciąg arytmetyczny i geometryczny zastosowanie
375
Poziom trudności: AZadanie 4.8.13Długości trzech krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka tworzą
ciąg geometryczny, a suma długości tych krawędzi jest równa 12. Objętość tego prostopadło-
ścianu jest równa 64. Oblicz długości krawędzi tego prostopadłościanu.
(Pokaż odpowiedź)
Film na epodreczniki.pl
Poziom trudności: AZadanie 4.8.14Na kolejnych rysunkach zaznaczono sposób tworzenia tzw. dywanu Sierpińskiego.
Za każdym razem z kwadratu jest usuwana pewna liczba kwadratów.
(Pokaż odpowiedź)
Ile łącznie kwadratów zostanie usuniętych po 4 kroku?a)
Ile łącznie kwadratów zostanie usuniętych po n krokach?b)
Ciąg arytmetyczny i geometryczny zastosowanie
376
Poziom trudności: AZadanie 4.8.15Pole trójkąta prostokątnego ABC jest równe 24, a długości boków tworzą ciąg arytmetyczny.
Oblicz obwód tego trójkąta.
(Pokaż odpowiedź)
Aplikacja na epodreczniki.pl
Ciąg arytmetyczny i geometryczny zastosowanie
377
Rozdział 5. Funkcja wykładnicza.Logarytmy
5.1. Funkcja wykładnicza i jej własności.Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczejZdefiniowaliśmy wcześniej potęgi o wykładnikach naturalnych, całkowitych i wymiernych, przyj-
mując odpowiednie założenia o podstawach tych potęg.Powyższą wiedzę uzupełnimy krótką in-
formacją o potędze o wykładniku niewymiernym.
Zakładamy, że podstawa a jest liczbą rzeczywistą, dodatnią, wykładnik x jest dowolną liczbą nie-
wymierną, na przykład 3√2, 2π.
Potęga ax jest liczbą, której przybliżenie możemy znaleźć, przyjmując przybliżenie wymierne wy-
kładnika x i ewentualnie podstawy a. Oczywiste jest, że im lepsze przybliżenie wykładnika i pod-
stawy, tym dokładniejszą wartość wymierną potęgi otrzymamy. Na przykład:
3√2 ≈ 31,4 = 31410 =
10√314 ≈ 4,656
3√2 ≈ 31,41 = 3141100 =
100√3141 ≈ 4,707
3√2 ≈ 31,414 = 314141000 =
1000√31414 ≈ 4,728
Korzystając z kalkulatora, otrzymamy:
3√2 ≈ 4,728804388
Możemy teraz przyjąć, że wyrażenie ax jest dobrze określone dla każdej liczby rzeczywistej x i każ-
dej podstawy a > 0.
Definicja: Funkcja wykładnicza
Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję określoną dla każdej liczby rzeczywistej x
wzorem f(x) = ax, gdzie a jest ustaloną liczbą dodatnią i różną od 1.
Warunek występujący w tej definicji, dotyczący podstawy a wynika z tego, że jedynie dla a > 0 mo-
żemy jednoznacznie określić funkcję f(x) = ax dla każdej liczby rzeczywistej x. Zauważmy, że dla
a < 0 funkcja nie byłaby określona dla każdej liczby rzeczywistej, np. nie dałoby się obliczyć f(12 )
, gdyż oznaczałoby to konieczność obliczenia pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej, a taki
Funkcja wykładnicza. Logarytmy
378
nie istnieje. Dla a = 0 nie można określić funkcji dla żadnej liczby x niedodatniej. Z innego powodu
zakładamy, że a ≠ 1 . Dla a = 1 funkcja jest, co prawda, określona dla każdej liczby rzeczywistej x,
ale wówczas jest to funkcja stała
f(x) = 1x = 1
Funkcji f(x) = 1x = 1 nie będziemy uznawać za funkcję wykładniczą, gdyż ma ona inne własności
niż każda z funkcji wykładniczych.
Przykład 1.Naszkicujmy wykres funkcji określonej dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem
f(x) = 2x
W tym celu uzupełnijmy tabelę wartościami funkcji dla kilku wybranych argumentów.
x −2 −1 − 12 0
12 1 2 3
f(x) = 2x
f(−2) = 2−2 =1
22 =14
f(−1) = 2−1 =12
f(− 12 ) = 2
−12 =
1
2
12
=1
√2 = √22
f(0) = 20 = 1
f(12 ) = 2
12 = √2
f(1) = 21 = 2
f(2) = 22 = 4
f(3) = 23 = 8
Uzupełniamy tabelę, wpisując obliczenia wartości funkcji f.
x −2 −1 − 12 0
12 1 2 3
f(x) = 2x 14
12
√22 1 √2 2 4 8
Zastanówmy się, jak funkcja f będzie się zachowywać dla bardzo małych argumentów. Na
przykład
f(−100) = 2−100 =1
2100
Jest to liczba dodatnia, ale na tyle mała, że nie uda nam się dokładnie zaznaczyć w układzie
Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej
379
współrzędnych punktu ( − 100,1
2100 ), który leży na wykresie tej funkcji. Dla jeszcze mniej-
szych argumentów wartości funkcji będą nadal dodatnie, ale jeszcze bliższe zeru. Każda, bar-
dzo, bardzo bliska zeru liczba dodatnia jest wartością tej funkcji wykładniczej dla pewnego
ujemnego argumentu. Geometrycznie oznacza to, że lewa część wykresu funkcji f zbliża się
do osi Ox, czyli do prostej o równaniu y = 0. Tę prostą nazywamy asymptotą wykresu funkcji.
Krzywa przechodząca przez wyznaczone punkty (te które znaleźliśmy i dowolne inne, które
moglibyśmy w ten sposób znaleźć) jest wykresem funkcji wykładniczej f(x) = 2x. Krzywą taką
nazywamy krzywą wykładniczą albo ekspotencjalną.
Przykład 2.Przypatrzmy się teraz wykresom innych funkcji wykładniczych
f(x) = ax
w przypadku, gdy a > 1.
Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej
380
Aplikacja na epodreczniki.pl
Zauważmy, że wszystkie te funkcje są rosnące, a ich wykresy w całości leżą nad osią Ox. Za-
tem żadna z tych funkcji nie ma miejsca zerowego. Wszystkie wykresy mają jeden wspólny
punkt. Jest to punkt o współrzędnych (0, 1), w którym wykres każdej z tych funkcji przecina
oś Oy. Jest tak, ponieważ dla dowolnej liczby a > 1 mamy a0 = 1.
Przykład 3.
Rozważmy teraz funkcję określoną dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem g(x) = (12 )
x. Korzy-
stając z własności potęg, wzór funkcji g możemy zapisać w postaci
g(x) = (12 )
x= (2−1)
x= 2−x
To oznacza, że wykres tej funkcji otrzymamy, znajdując obraz wykresu funkcji f(x) = 2x w sy-
metrii osiowej względem osi Oy.
Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej
381
Zauważmy, że w ten sposób możemy narysować wykres każdej funkcji f(x) = ax, gdzie
a ? (0, 1). Wykres każdej takiej funkcji w całości leży nad osią Ox, więc funkcja nie ma miejsc
zerowych. Również każdy z wykresów funkcji przecina oś Oy w punkcie (0, 1). Jednak każda
z takich funkcji jest malejąca.
Film na epodreczniki.pl
Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej
382
Film na epodreczniki.pl
Podsumujmy teraz własności funkcji wykładniczych, wykorzystując ich wykresy.
Własności funkcji wykładniczej
Każda funkcja wykładnicza f(x) = ax ma następujące własności:
• dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych,
• zbiorem wartości jest przedział (0, + ∞),• asymptotą wykresu funkcji jest prosta o równaniu y = 0,
• nie ma miejsc zerowych,
• jest monotoniczna, przy czym gdy a > 1, to funkcja f jest rosnąca, a gdy 0 < a < 1, to funkcja
jest malejąca,
• jest różnowartościowa, czyli każdą wartość przyjmuje tylko dla jednego argumentu,
• wykres funkcji przecina oś Oy w punkcie (0,1).
Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej
383
Omówimy teraz przesunięcia wykresów funkcji wykładniczych wzdłuż osi układu współrzędnych.
Jeżeli przesuniemy wykres funkcji wykładniczej f(x) = ax o p wzdłuż osi Ox, to otrzymamy wykres
funkcji o wzorze g(x) = ax − p. Przypomnijmy, że przesunięcie o np. p = − 2, oznacza przesunięcie
wykresu w lewo o 2 jednostki.
Film na epodreczniki.pl
Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej
384
Film na epodreczniki.pl
Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej
385
Jeżeli przesuniemy wykres funkcji wykładniczej f(x) = ax o q wzdłuż osi Oy, to otrzymamy wykres
funkcji o wzorze g(x) = ax + q. W tym przypadku przesunięcie o np. q = − 3 oznacza przesunięcie
wykresu w dół o 3 jednostki. Asymptotą wykresu funkcji g jest teraz prosta o równaniu y = q.
Film na epodreczniki.pl
Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej
386
Film na epodreczniki.pl
Przykład 4.Przesuniemy wykres funkcji f(x) = 3x o m wzdłuż podanej osi układu współrzędnych.
jeżeli m > 0, to wykres przesuwamy o m jednostek w górę.
jeżeli m < 0, to wykres przesuwamy o | m | jednostek w dół.
Narysujemy otrzymany w ten sposób wykres funkcji g oraz zapiszemy jej wzór.
Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej
387
Przesuwając wykres funkcji f(x) = 3x o 2 wzdłuż osi Ox, otrzymujemy wykres funkcji
g(x) = 3x − 2.
a)
Po przesunięciu wykresu funkcji f(x) = 3x o m = − 3 wzdłuż osi Ox otrzymujemy wykres
funkcji o wzorze g(x) = 3x − ( − 3) = 3x + 3.
b)
Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej
388
Przykład 5.Narysuj wykres funkcji f. Podaj wzór funkcji wykładniczej g, której wykres przesunęliśmy tak,
aby otrzymać wykres funkcji f. O ile jednostek i wzdłuż której osi układu współrzędnych wy-
konaliśmy to przesunięcie? W jakich punktach wykres funkcji f przetnie osie Oy i Ox?
Po przesunięciu wykresu funkcji wykładniczej f(x) = 3x o m = 1 wzdłuż osi Oy otrzyma-
my wykres funkcji g(x) = 3x + 1. Ponieważ zbiorem wartości funkcji g jest przedział
(1, + ∞), więc można narysować także prostą o równaniu y = 1, która jest asymptotą
wykresu funkcji g. Rysujemy ją zazwyczaj przerywaną linią.
c)
Przesunięcie o m = − 4 wzdłuż osi Oy oznacza przesunięcie wykresu w dół o 4 jednost-
ki. Wzór funkcji, której wykres otrzymamy po tym przekształceniu, ma postać
f(x) = 3x + (−4) = 3x − 4, a asymptotą jej wykresu jest prosta y = − 4.
d)
Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej
389
f(x) = (12 )
x − 4a)
f(x) = 2x + 3b)
f(x) = 4x + 1c)
f(x) = (13 )
x− 3
d)
Wykres funkcji f(x) = (12 )
x − 4to wykres funkcji g(x) = (1
2 )xprzesunięty o 4 wzdłuż osi Ox.
Obliczając wartość funkcji f dla argumentu x = 0, znajdujemy współrzędne punktu
przecięcia wykresu funkcji f z osią Oy. Mamy
f(0) = (12 )
0 − 4= 24 = 16
Zatem szukanym punktem jest (0,16). Cały wykres leży nad osią Ox, więc nie ma punk-
tów wspólnych z tą osią.
a)
Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej
390
Wzór funkcji f możemy zapisać w postaci f(x) = 2x + 3 = 2x − ( − 3). Jej wykres powstaje za-
tem przez przesunięcie wykresu funkcji g(x) = 2x o −3 wzdłuż osi Ox, czyli o 3 jednostki
w lewo.
Żeby znaleźć punkt przecięcia wykresu z osią Oy, obliczamy wartość funkcji dla argu-
mentu 0, czyli
f(0) = 20 + 3 = 8
Zatem wykres przecina tę oś w punkcie (0,8). Z osią Ox wykres funkcji nie przecina się,
ponieważ cały leży nad tą osią.
b)
Wykres funkcji f(x) = 4x + 1 jest wykresem funkcji g(x) = 4x przesuniętym o 1 wzdłuż osi
Oy.
c)
Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej
391
f(0) = 40 + 1 = 2, zatem punktem przecięcia wykresu funkcji f z osią Oy jest punkt (0,2).Cały wykres leży nad osią Ox, zatem nie istnieje punkt przecięcia wykresu z tą osią.
Wykres funkcji f(x) = (13 )
x− 3 powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji g(x) = (1
3 )x
o
−3 wzdłuż osi Oy.
Ponieważ wykres funkcji g przecina oś Oy w punkcie (0,1), więc punktem przecięcia
funkcji f z osią Oy jest punkt (0, − 2). Żeby wyznaczyć punkt przecięcia tego wykresu z
osią Ox, obliczymy argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość 0, czyli
0 = (13 )
x− 3. Stąd (1
3 )x
= 3, czyli
(13 )
x= (1
3 )−1
Zatem x = − 1. Punkt przecięcia z osią Ox to punkt ( − 1,0).
d)
Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej
392
Film na epodreczniki.pl
Film na epodreczniki.pl
Przykład 6.Narysujemy wykres funkcji
Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej
393
f(x) = − 4xa)
f(x) = − (12 )
x+ 2
b)
Wykres funkcji f(x) = − 4x jest symetryczny względem osi Ox do wykresu funkcji
g(x) = 4x.
a)
Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej
394
Przykład 7.Narysujmy wykres funkcji
Żeby sporządzić wykres funkcji f(x) = − (12 )
x+ 2, narysujemy najpierw wykres funkcji
g(x) = (12 )
x. Następnie znajdziemy wykres do niego symetryczny względem osi Ox. Jest
to wykres funkcji h(x) = − (12 )
x, który z kolei przesuniemy o 2 wzdłuż osi Oy. W ten spo-
sób otrzymamy wykres funkcji f.
b)
f(x) = 9 ? √3 ? 3xa)
f(x) = (12 )
x+ (1
2 )xb)
Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej
395
Przekształćmy wzór funkcji f, korzystając z własności potęg
f(x) = 9 ? √3 ? 3x = 32 ? 312 ? 3x = 3
2 +12
+ x= 3
x + 212 Zatem, żeby narysować wykres funk-
cji f, przesuwamy wykres funkcji g(x) = 3x o −212 wzdłuż osi Ox.
a)
Zapiszmy wzór funkcji w następujący sposób
f(x) = (12 )
x+ (1
2 )x
= 2 ? (12 )
x= (1
2 )−1
? (12 )
x= (1
2 )x − 1
. Zatem rysujemy wykres funkcji
g(x) = (12 )
x, a następnie przesuwamy go o 1 wzdłuż osi Ox.
b)
Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej
396
Przykład 8.
Wyznaczymy wzór funkcji wykładniczej f(x) = ax, mając dany punkt (−2,1
49 ) leżący na jej wy-
kresie.
Skoro punkt (−2,1
49 ) leży na wykresie funkcji f, więc dla argumentu x = − 2 funkcja przyjmuje
wartość f(−2) =1
49 . Mamy więc
149 = a−2
Po przekształceniu równanie to przyjmuje postać 7−2 = a−2, stąd a = 7. Zatem wzór funkcji f
ma postać f(x) = 7x.
Przykład 9.
Sprawdzimy, czy punkt A = (4, 4) leży na wykresie funkcji f(x) = (√2)x.
Wystarczy sprawdzić, czy dla argumentu x = 4 funkcja f przyjmie wartość 4. Ponieważ
f(4) = (√2)4
= 22 = 4, więc punkt A leży na wykresie funkcji f.
Przykład 10.
Jaka jest największa, a jaka najmniejsza wartość funkcji wykładniczej f(x) = (√5)x
w przedziale
?−2,0??
Funkcja f(x) = (√5)x
jest rosnąca, ponieważ √5 > 1, a dla a > 1 funkcja wykładnicza g(x) = ax jest
rosnąca. Zatem najmniejszą wartość funkcja osiąga dla najmniejszego argumentu z prze-
działu ?−2,0?, czyli dla x = − 2, a największą dla największego argumentu z tego przedziału,
czyli dla x = 0. Mamy więc wartość najmniejszą f(−2) = (√5)−2
=1
(√5)2 =
15 oraz wartość najwięk-
szą f(0) = (√5)0
= 1 w przedziale ?−2,0?.
Przykład 11.
Określ monotoniczność funkcji f(x) = (√32 )
xi na tej podstawie porównaj liczby (√3
2 )10
oraz (√32 )
20.
Ponieważ a = √32 ? (0,1), więc funkcja f(x) = (√3
2 )xjest malejąca. Zatem dla mniejszego argu-
mentu przyjmuje wartość większą. Ponieważ 10 < 20, więc (√32 )
10> (√3
2 )20
.
Przykład 12.
Wyznaczymy wszystkie argumenty funkcji f(x) = (13 )
x, dla których wartość funkcji jest
Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej
397
Narysujmy wykres funkcji f(x) = (13 )
x.
równa 81a)
większa od 81b)
co najmniej równa 81c)
Funkcja wykładnicza jest różnowartościowa, czyli każda wartość y ? (0, + ∞) jest przyj-
mowana tylko dla jednego argumentu. Szukamy takiego argumentu x, dla którego
f(x) = 81, czyli (13 )
x= 81. Mamy (1
3 )x
= (13 )
−4, stąd x = − 4.
a)
Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej
398
Funkcja wykładnicza i jej własności.
Przekształcenia wykresu funkcji wykładniczej.
Zadania
Poziom trudności: AZadanie 5.1.1-4
Aplikacja na epodreczniki.pl
Poziom trudności: AZadanie 5.1.5
Na wykresie funkcji f(x) = (13 )
xleży punkt o współrzędnych
a) (12 , √3)
b) ( − 2, 9)
Funkcja f(x) = (13 )
xjest malejąca, czyli wartości większe od 81 funkcja f przyjmuje dla ar-
gumentów mniejszych od x = − 4. Zatem f(x) > 81 dla x ? (−∞, − 4).
b)
Wartości co najmniej równe 81 funkcja f(x) = (13 )
xprzyjmuje dla argumentów mniej-
szych lub równych −4. Zatem f(x) ≥ 81 dla x ? (−∞, − 4?.
c)
Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej
399
c) (1, 3)
d) (1,0)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.1.6-7
Aplikacja na epodreczniki.pl
Poziom trudności: AZadanie 5.1.8Punkt A = ( − 1,3) leży na wykresie funkcji
a) f(x) = 9x
b) f(x) = (√3)x
c) f(x) = (13 )
x
d) f(x) = 3x
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.1.9Wskaż wzór funkcji rosnącej.
a) f(x) = (13 )
−x
b) f(x) = (13 )
x
c) f(x) = − 3x
d) f(x) = 3−x
(Pokaż odpowiedź)
Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej
400
Poziom trudności: AZadanie 5.1.10
Zbiorem wartości funkcji f(x) = (0,5)x
określonej dla każdego x ? ?−1,2? jest przedział
a) ?2, 4?
b) ?− 12 ,
14?
c) ?12 , 4?
d) ?14 , 2?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.1.11Wyłącznie dodatnie wartości przyjmuje funkcja
a) f(x) = − 5x + 7
b) f(x) = 3−x
c) f(x) = − 2x
d) f(x) = 2x − 3
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.1.12Na wykresie funkcji wykładniczej f(x) = ax leży punkt ( − 2,3). Wówczas
a) a = √33
b) a = √3
c) a =13
d) a = 3
(Pokaż odpowiedź)
Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej
401
Poziom trudności: AZadanie 5.1.13
Po przesunięciu wykresu funkcji f(x) = (23 )
xo −3 wzdłuż osi Ox otrzymamy wykres funkcji okre-
ślonej wzorem
a) y = (23 )
x+ 3
b) y = (23 )
x− 3
c) y = (23 )
x + 3
d) y = (23 )
x − 3
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.1.14
Wzór funkcji g, której wykres jest symetryczny do wykresu funkcji f(x) = (2√28 )
xwzględem osi Oy,
ma postać
a) g(x) = (2√2)x
b) g(x) = ( 8
√2 )x
c) g(x) = − (√24 )
x
d) g(x) = − ( 4
√2 )x
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.1.15Funkcja wykładnicza f(x) = 10x nie przyjmuje wartości
a) 10 000
b) 50
c) 1
d) −100
(Pokaż odpowiedź)
Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej
402
Poziom trudności: AZadanie 5.1.16Wykres funkcji f(x) = 3x − 3 przecina oś Oy w punkcie
a) (3, 0)
b) (0, − 3)
c) (0, 1)
d) (0, − 2)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.1.17Znajdź punkt przecięcia wykresu funkcji f z osią Oy. Narysuj wykres tej funkcji.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.1.18Narysuj wykres funkcji
(Pokaż odpowiedź)
f(x) = (12 )
x − 3a)
f(x) = 3x + 2b)
f(x) = 4x − 3c)
f(x) = − 3xa)
f(x) = − (23 )
x+ 1
b)
Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej
403
Poziom trudności: AZadanie 5.1.19Narysuj wykres funkcji
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.1.20
Na wykresie funkcji wykładniczej f(x) = ax leży punkt A = (−3,1
125 ) . Wyznacz wzór tej funkcji.
Określ jej monotoniczność.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.1.21
Na wykresie funkcji wykładniczej f(x) = ax leży punkt A = ( − 2, 9). Czy na wykresie tej funkcji le-
ży również punkt B = (12 , √3
3 )?(Pokaż odpowiedź)
f(x) =2x
8
a)
f(x) = 3x + 3x + 3xb)
f(x) = 2x + 4 + 2x + 6 − 48 ? 2xc)
Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej
404
Poziom trudności: AZadanie 5.1.22
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji wykładniczej f(x) = ax oraz zaznaczony jest jeden
z punktów leżących na tym wykresie . Wyznacz wzór funkcji f.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.1.23Wyznacz zbiór wartości funkcji
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.1.24Połącz wykresy funkcji z ich wzorami
f(x) = (17 )
x+ 7
a)
f(x) = (√3)−xb)
f(x) = − (1,5)x
− 3c)
f(x) = (13 )
x? √27
81 +13
d)
f(x) = (1,5)xa)
f(x) = (0,7)xb)
f(x) = − (0,8)xc)
Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej
405
f(x) = − 2xd)
f(x) = (0,5)x
− 2e)
f(x) = (1,6)x
+ 2f)
1)
Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej
406
2)
3)
Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej
407
4)
5)
Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej
408
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.1.25
Jaka jest największa, a jaka najmniejsza wartość funkcji f(x) = (14 )
xw przedziale ?− 1
2 ,32??
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.1.26
Wykres której funkcji: f(x) = − (√2)x
+ √2, g(x) = (√5)x
− 52 czy h(x) = (3
4 )x
+ √6 przetnie oś Oy w
punkcie najdalej leżącym od początku układu współrzędnych?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.1.27
Dana jest funkcja f(x) = (23 )
x. Oblicz wartość wyrażenia
f(x + 2)f(x − 2)
.
(Pokaż odpowiedź)
6)
Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej
409
Poziom trudności: AZadanie 5.1.28
Uporządkuj rosnąco liczby (0,9)3, (0,9)
10,(0,9)
π, (0,9)
3π.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.1.29
Dla jakiego argumentu funkcja f(x) = (√3)xprzyjmie wartość
19?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.1.30
Wyznacz wszystkie argumenty, dla których funkcja f(x) = (32 )
xprzyjmuje wartości mniejsze niż
funkcja g(x) = (23 )
x.
(Pokaż odpowiedź)
Aplikacja na epodreczniki.pl
Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej
410
Aplikacja na epodreczniki.pl
Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej
411
5.2. Definicja logarytmu. Własności logarytmuPojęcie logarytmu
Rozpatrzmy funkcję wykładniczą f(x) = ax, gdzie a jest ustaloną dodatnią liczbą rzeczywistą, różną
od 1.
Jak wiemy, funkcja f jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x, a zbiorem wartości tej funkcji
jest przedział (0, + ∞). Ponadto dla ustalonej dodatniej wartości y istnieje dokładnie jeden argu-
ment x, taki że ax = y.
Film na epodreczniki.pl
Przykład 1.Korzystając z własności funkcji wykładniczej, wyznaczymy, o ile istnieją, wszystkie argumenty,
dla których
Rozwiązanie.
funkcja wykładnicza f(x) = 2x przyjmuje wartość 32a)
funkcja wykładnicza f(x) = 3x przyjmuje wartość19
b)
funkcja wykładnicza f(x) = 4x przyjmuje wartość −16c)
funkcja wykładnicza f(x) = (15 )
xprzyjmuje wartość 5
d)
funkcja wykładnicza f(x) = (34 )
xprzyjmuje wartość 1
e)
Definicja logarytmu. Własności logarytmu
412
Przykład 2.Argument x, dla którego funkcja wykładnicza f(x) = 2x przyjmuje wartość 9, jest rozwiązaniem
równania 2x = 9. Z wykresu funkcji f odczytujemy, że x jest liczbą z przedziału (3, 4).Argument ten oznaczamy symbolicznie
x = log29
a zapis log29 czytamy „logarytm przy podstawie dwa liczby dziewięć” lub krócej „logarytm
przy podstawie dwa z dziewięciu”.
Zauważmy, że z przyjętej umowy wynika równość
2log29 = 9
Uwaga. Liczba log29 nie jest wymierna. Gdybyśmy założyli przeciwnie, że istnieją takie do-
datnie liczby całkowite p i q, dla których prawdziwa jest równość log29 =pq , to prawdą byłoby
również, że 2pq = 9, stąd 2p = 9q. Otrzymana równość jest sprzeczna, bo jej lewa strona jest
liczbą parzystą (jako iloczyn p dwójek), a prawa strona jest liczbą nieparzystą (jako iloczyn q
dziewiątek).
Weźmy dodatnią liczbę rzeczywistą a, różną od 1. Przyjmujemy, że argument b, dla którego
funkcja wykładnicza f(x) = ax przyjmuje wartość c, to
b = logac
Ponieważ funkcja wykładnicza f przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie, to logarytm określa-
my tylko dla dodatniej liczby c.
Definicja: Logarytm
Logarytmem logac dodatniej liczby c przy dodatniej i różnej od 1 podstawie a nazy-
wamy wykładnik b potęgi, do której należy podnieść a, aby otrzymać c.
logac = b wtedy i tylko wtedy, gdy ab = c.
Ponieważ 25 = 32, więc 2x = 32 wtedy i tylko wtedy, gdy x = 5.a)
Ponieważ 3−2 =19 , więc 3x =
19 wtedy i tylko wtedy, gdy x = − 2.b)
Funkcja wykładnicza f(x) = 4x przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie, zatem nie istnieje
taki argument x, dla którego 4x = − 16.
c)
Ponieważ (15 )
−1= 5, więc (1
5 )x
= 5 wtedy i tylko wtedy, gdy x = − 1.d)
Ponieważ (34 )
0= 1, więc (3
4 )x
= 1 wtedy i tylko wtedy, gdy x = 0.e)
Definicja logarytmu. Własności logarytmu
413
Zapamiętaj
Z definicji wynika logaac = c oraz alogac = c
Liczbę c w zapisie logac nazywamy liczbą logarytmowaną.
Logarytm log10x można też zapisać jako logx lub lgx.Taki logarytm nazywamy logarytmem
dziesiętnym.
Film na epodreczniki.pl
Przykład 3.Każdą z podanych liczb zapiszemy bez użycia logarytmu.
Bezpośrednio z definicji logarytmu wynika, że logaac = c. Korzystając z tego spostrzeżenia,
mamy:
log24a)
log381b)
log1000000c)
log1231d)
log1717e)
log24 = log222 = 2a)
log381 = log334 = 4b)
Definicja logarytmu. Własności logarytmu
414
Zauważmy, że dla każdej dodatniej i różnej od 1 liczby rzeczywistej a
loga1 = logaa0 = 0
oraz
logaa = logaa1 = 1
Przykład 4.Uzasadnimy, że każda z podanych liczb jest ujemną liczbą całkowitą.
Przykład 5.Zapiszemy liczby bez użycia logarytmu.
log1000000 = log106 = 6c)
log1231 = log1231230 = 0d)
log1717 = log17171 = 1e)
log616
a)
log218
b)
log319
c)
log50,2d)
log0,00001e)
Ponieważ16 = 6−1, więc log6
16 = log66−1 = − 1.a)
Ponieważ18 =
1
23 = 2−3, więc log218 = log22−3 = − 3.b)
Ponieważ19 =
1
32 = 3−2, więc log319 = log33−2 = − 2.c)
Ponieważ 0,2 =15 = 5−1, więc log50,2 = log55−1 = − 1.d)
Ponieważ 0,00001 =1
100 000 =1
105 = 10−5, więc log0,00001 = log 10−5 = − 5.e)
log17
149
a)
log23
827
b)
log45
54
c)
Definicja logarytmu. Własności logarytmu
415
Przykład 6.Każdą z podanych liczb zapiszemy bez użycia logarytmu.
Własności logarytmu
Przykład 7.Rozwiążemy równanie
log52
0,16d)
Ponieważ ( 149 )
2=
17 , więc log1
7
149 = log1
7(1
7 )2
= 2.a)
Ponieważ8
27 = (23 )
3, więc log2
3
827 = log2
3(2
3 )3
= 3.b)
Ponieważ (54 )
−1=
45 , więc log4
5
54 = log4
5(4
5 )−1
= − 1.c)
Ponieważ 0,16 =16
100 =4
25 = (25 )
2= (5
2 )−2
, więc log52
0,16 = log52(5
2 )−2
= − 2.d)
log2√2a)
log3√10b)
log93c)
log82d)
Ponieważ √2 = 212, więc log2√2 = log22
12 =
12 .
a)
Ponieważ3√10 = 10
13, więc log
3√10 = log1013 =
13 .
b)
Ponieważ 9 = 32, więc 3 = 912, co oznacza, że log93 = log99
12 =
12 .
c)
Ponieważ 23 = 8, więc 2 = 813, co oznacza, że log82 = log88
13 =
13 .
d)
3x = 5a)
2x =9
11b)
7x =14
c)
10x = 2d)
Definicja logarytmu. Własności logarytmu
416
Korzystamy z definicji logarytmu.
Przykład 8.Każdą z podanych liczb zapiszemy bez użycia logarytmu.
W definicji logarytmu zapisaliśmy, że dla dodatniej liczby c przy dodatniej i różnej od 1 pod-
stawie a prawdziwa jest równość alogac = c. Wobec tego
Przykład 9.Wyznaczymy wszystkie liczby x, dla których określone jest wyrażenie
Logarytm, którego podstawa jest liczbą dodatnią i różną od 1, jest określony wyłącznie dla
argumentów dodatnich. Wobec tego
Argument, dla którego funkcja wykładnicza f(x) = 3x
przyjmuje wartość 5, to x = log35.a)
Argument, dla którego funkcja wykładnicza f(x) = 2x
przyjmuje wartość9
11 , to
x = log29
11 .
b)
Argument, dla którego funkcja wykładnicza f(x) = 7x
przyjmuje wartość14 , to x = log7
14 .c)
Argument, dla którego funkcja wykładnicza f(x) = 10x przyjmuje wartość 2, to x = log2.d)
2log23a)
7log711b)
1000log2c)
(15 )
log56d)
2log23 = 3a)
7log711 = 11b)
1000log2 = (103)log2
= 103log2 = (10log 2)3
= 23 = 8c)
(15 )
log56= (5−1)
log56= 5−log56 = (5log56)
−1= 6−1 =
16
d)
log3(x − 5)a)
log2(2x + 7)b)
log15(3x − x2)c)
logx2 + 2x − 2
d)
Definicja logarytmu. Własności logarytmu
417
Przykład 10.Wyznaczymy wszystkie liczby x, dla których wyrażenie logx9 ma wartość 2.
Podstawa x logarytmu zapisanego po lewej stronie równania logx9 = 2 musi być liczbą do-
datnią i różną od 1.
Korzystając z definicji logarytmu, stwierdzamy, że logx9 = 2 wtedy i tylko wtedy, gdy x2 = 9.
Wobec tego x = 3 lub x = − 3.
Tylko pierwsza z tych liczb spełnia warunki określone dla podstawy logarytmu, co oznacza,
że jedyną liczbą, dla której wyrażenie logx9 ma wartość 2, jest x = 3.
Poziom trudności: AZadanie 5.2.1Dane są liczby a = log28, b = log39, c = log10. Wówczas
a) a + b + c > 10
b) a = b + c
c) b > c
d) a < b
(Pokaż odpowiedź)
wyrażenie log3(x − 5) jest określone tylko dla tych x, które spełniają nierówność
x − 5 > 0, czyli dla x > 5.
a)
wyrażenie log2(2x + 7) jest określone tylko dla tych x, które spełniają nierówność
2x + 7 > 0, czyli dla x > − 72 .
b)
wyrażenie log15(3x − x2) jest określone tylko dla tych x, które spełniają nierówność
3x − x2 > 0.
Zatem
x2 − 3x < 0 x(x − 3) < 0Po rozwiązaniu otrzymanej nierówności kwadratowej stwierdza-
my, że x ? (0, 3).
c)
wyrażenie logx2 + 2x − 2 jest określone tylko dla tych x, które spełniają nierówność
x2 + 2x − 2 > 0.
Ponieważ dla każdej liczby rzeczywistej wyrażenie x2 + 2 jest dodatnie, więc nierówno-
śćx2 + 2x − 2 > 0 jest równoważna nierówności x − 2 > 0. Zatem wyrażenie log
x2 + 2x − 2 jest okre-
ślone wyłącznie dla x > 2.
d)
Definicja logarytmu. Własności logarytmu
418
Poziom trudności: AZadanie 5.2.2Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
a) Liczba log1 000 000 jest 3 razy większa od liczby log100.
b) Liczby log21
16 i log12
16 są równe.
c) Suma liczb log39 i log319 jest równa 0.
d) Liczba log5125 jest o 100 większa od liczby log525.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.2.3Które z podanych wyrażeń jest określone dla każdej dodatniej liczby całkowitej x?
a) log(x2 − x)b) log1
2
(x + 2)
c) log53
(100 − x)
d) log2(3x − 1)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.2.4Funkcja wykładnicza określona jest wzorem f(x) = 5x. Wówczas
a) f(x) = 10 dla x = log525
b) f(x) = 7 dla x = log57
c) f(x) = 3 dla x = log553
d) f(x) = 2 dla x = log25
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.2.5Które z podanych liczb są całkowite?
Definicja logarytmu. Własności logarytmu
419
a) 10log
110
b) 9log32
c) log520
d) log20,125
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.2.6Funkcja wykładnicza określona wzorem f(x) = 4x przyjmuje wartość 12 dla argumentu
a) x = log124
b) x = log43
c) x = 3
d) x = log412
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.2.7Suma log1 000 + log71 jest równa
a) 3
b) 4
c) 7
d) 101
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.2.8Liczba t jest równa log26. Wtedy
a) t = 62
b) t = 26
c) 2t = 6
d) t = 3
(Pokaż odpowiedź)
Definicja logarytmu. Własności logarytmu
420
Poziom trudności: AZadanie 5.2.9
Różnica log15
25 − log31
81 jest równa
a) 6
b) 2
c) – 2
d) – 6
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.2.10Wyrażenie log1
3
(3 − x) jest określone dla wszystkich x, które spełniają warunek
a) x > − 3
b) x > 3
c) x < − 3
d) x < 3
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.2.11
Dane są liczby a = log12
12 , b = log1
2
4, c = log12
18 , d = log1
2
16. Największą z nich jest
a) d
b) c
c) b
d) a
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.2.12
O liczbie x wiadomo, że log9x =12 . Wtedy
Definicja logarytmu. Własności logarytmu
421
a) x =1
512
b) x = 4,5
c) x =29
d) x = 3
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.2.13Liczba log
3238 jest równa
a) 36
b) 34
c) 6
d) 4
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.2.14Zapisz każdą z podanych liczb, nie używając logarytmu.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.2.15Rozwiąż równanie.
(Pokaż odpowiedź)
log636a)
log7343b)
log121c)
log2727d)
2x = 5a)
3x = 10b)
7x = 2c)
10x = 99d)
Definicja logarytmu. Własności logarytmu
422
Poziom trudności: AZadanie 5.2.16Zapisz podaną liczbę bez użycia logarytmu.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.2.17Uzasadnij, że podana liczba jest całkowita.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.2.18Zapisz podaną liczbę bez użycia logarytmu.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.2.19Oblicz i zapisz wynik bez użycia logarytmu.
3log35a)
2log211b)
5log54c)
10log 7d)
log80,125a)
log41
64b)
log31
243c)
log21
128d)
log15
5a)
log19
81b)
log12
11024
c)
log32
23
d)
Definicja logarytmu. Własności logarytmu
423
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.2.20Oblicz i zapisz wynik bez użycia logarytmu.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.2.21Wyznacz wszystkie liczby x, dla których określone jest wyrażenie.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 5.2.22
Wyznacz wszystkie liczby x, dla których wyrażenie logxx − 310 ma wartość – 1.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 5.2.23Wykaż, że 5log164 + 7log255 = 6.
(Pokaż odpowiedź)
log4256 − log1000a)
17log171
17 − 32log21
32b)
9log38a)
100log11b)
log(7 − 4x)a)
log21
x + 3b)
log3(x2 − 4)c)
logx(2 − x)d)
Definicja logarytmu. Własności logarytmu
424
Poziom trudności: BZadanie 5.2.24
Wykaż, że 41 + log25 = 100.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 5.2.25
Wykaż, że log5√5 + log63√6 + log7
4√7 = 11
12 .
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 5.2.26Liczby dodatnie a, b, c spełniają warunek log3a = log5b = log7c = 4. Wykaż, że √abc = 11 025.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 5.2.27Dane są liczby a = log23 oraz b = log49. Wykaż, że liczby a i b są równe.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 5.2.28Dane są liczby a = log57, b = log7 oraz c = log5. Wykaż, że c ? a = b.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.2.29Rozstrzygnij, czy istnieją takie dodatnie liczby całkowite p i q, dla których zachodzi równość
log35 =pq .
(Pokaż odpowiedź)
Definicja logarytmu. Własności logarytmu
425
5.3. Działania na logarytmach
5.3.1. Działania na logarytmach. Przykłady
Logarytm iloczynu
Przykład 1.Wykażemy, że
log82 + log832 = 2
Oznaczmy c = log82 oraz d = log832. Korzystając z definicji logarytmu, otrzymujemy 8c = 2
oraz 8d = 32. Zatem
log8(8c ? 8d) = log8(2 ? 32) = log864 = log882 = 2
Równocześnie
log8(8c ? 8d) = log88c + d = c + d
Zachodzi więc równość
c + d = 2
czyli stosując przyjęte oznaczenia
log82 + log832 = 2
W ten sposób dowód został zakończony.
Twierdzenie: Logarytm iloczynu
Jeżeli liczba a jest dodatnia i różna od 1, to dla dowolnych liczb dodatnich x i y
loga(x ? y) = logax + logay
Dowód
Oznaczmy c = logax oraz d = logay. Korzystając z definicji logarytmu, otrzymujemy ac = x oraz
ad = y. Zatem
loga(x ? y) = loga(ac ? ad) = logaac + d = c + d
Działania na logarytmach
426
Stosując przyjęte oznaczenia, mamy
loga(x ? y) = logax + logay
To kończy dowód.
Film na epodreczniki.pl
Przykład 2.Wykażemy, że
Rozwiązanie
log93 + log9243 = 3a)
log12515 + log125625 = 1b)
log129 + log1216 = 2c)
log2 + log25 + log0,002 = − 1d)
Korzystamy z twierdzenia o logarytmie iloczynu.a)
log93 + log9243 = log9(3 ? 243) = log9729 = log993 = 3b)
log12515 + log125625 = log125(1
5 ? 625) = log125125 = 1c)
Działania na logarytmach. Przykłady
427
Logarytm ilorazu
Przykład 3.Wykażemy, że log3135 − log35 = 3.
Oznaczmy c = log3135 oraz d = log35. Korzystając z definicji logarytmu, otrzymujemy
3c = 135
3d = 5
Zatem
log8(3c : 3d) = log3(135 : 5) = log327 = log333 = 3
Równocześnie
log8(3c : 3d) = log33c − d = c − d
Zachodzi więc równość
c − d = 3
czyli stosując przyjęte oznaczenia
log3135 − log35 = 3
W ten sposób dowód został zakończony.
Twierdzenie: Logarytm ilorazu
Przy dodatniej i różnej od 1 podstawie a dla dowolnych liczb x > 0 i y > 0 prawdziwa jest rów-
ność
logaxy = logax − logay
Dowód
log129 + log1216 = log12(9 ? 16) = log12144 = log12122 = 2d)
Ponieważ log 2 + log25 = log(2 ? 25) = log50, więc
log2 + log25 + log0,002 = log50 + log1
500 = log (50 ?1
500 ) = log1
10 = log10−1 = − 1.
e)
Działania na logarytmach. Przykłady
428
Oznaczmy c = logax oraz d = logay. Korzystając z definicji logarytmu, otrzymujemy ac = x oraz
ad = y. Zatem
logaxy = loga
ac
ad = logaac − d = c − d
czyli stosując przyjęte oznaczenia
logaxy = logax − logay
To kończy dowód.
Film na epodreczniki.pl
Przykład 4.Wykażemy, że
log162 − log1632 = − 1a)
log49343 − log4917 = 2b)
log4192 − log43 = 3c)
log1750 − log7
40 = 4d)
Działania na logarytmach. Przykłady
429
Rozwiązanie
Korzystamy z twierdzenia o logarytmie ilorazu.
Logarytm potęgi
Przykład 5.Wykażemy, że log58 = 3log52.
Oznaczmy c = log52. Korzystając z definicji logarytmu, otrzymujemy 5c = 2. Zatem
log58 = log523 = log5(5c)3
= log553 ? c = 3 ? c = 3log52
W ten sposób dowód został zakończony.
log162 − log1632 = log162
32 = log161
16 = log1616−1 = − 1a)
log49343 − log4917 = log49
34317
= log49(343 ? 7) = log492401 = log49492 = 2b)
log4192 − log43 = log4192
3 = log464 = log443 = 3c)
log1750 − log7
40 = log1750
740
= log(1750 ?407 ) = log10 000 = log104 = 4
d)
Działania na logarytmach. Przykłady
430
Twierdzenie: Logarytm potęgi
Przy dodatniej i różnej od 1 podstawie a dla dowolnej liczby x > 0 prawdziwa jest równość
logaxr = r ? logax
Dowód
Oznaczmy c = logax. Korzystając z definicji logarytmu, otrzymujemy ac = x. Zatem
logaxr = loga(ac)r
= logaar ? c = r ? c
Stosując przyjęte oznaczenia mamy
logaxr = r ? logax
To kończy dowód.
Film na epodreczniki.pl
Przykład 6.Wykażemy, że
log516 = 4log52a)
Działania na logarytmach. Przykłady
431
Rozwiązanie
Korzystamy z twierdzenia o logarytmie potęgi.
log81 = 4log3b)
log317 = − log37c)
log60,04 = − 2log65d)
log516 = log524 = 4log52a)
log81 = log34 = 4log3b)
log317 = log37−1 = − 1 ? log37 = − log37c)
log60,04 = log64
100 = log61
25 = log65−2 = − 2log65d)
Działania na logarytmach. Przykłady
432
5.3.2. Zadania
Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.1-5
Aplikacja na epodreczniki.pl
Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.6Dane są liczby a = log82, b = log832, c = log84. Rozstrzygnij, czy równość jest prawdziwa, czy fał-
szywa.
a) a + b + c = 3
b) b − c = 1
c) a + c = 1
d) a + b = 2
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.7Która z podanych niżej liczb jest całkowita?
a) D = log16
4 − (log16
5 − log16
45)b) C = log(0,25) + log(0,008) + log(0,5)
c) B = log122 + log123 + log1224
d) A = log93 − log9243
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.8Funkcja wykładnicza określona jest wzorem f(x) = 3x. Wówczas
a) f(x) =2732 dla x = 3 − 5log32
b) f(x) =109 dla x = log310 − 2
c) f(x) = 625 dla x = 4log35
Zadania
433
d) f(x) = 6 dla x = 1 + log32
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.9Które z podanych niżej stwierdzeń są prawdziwe?
a) Liczba log220 jest o 2 większa od liczby log25.
b) Liczba log32 jest o 27 mniejsza od liczby log354.
c) Różnica log520 − log5100 jest równa – 1.
d) Suma log213 + log217 jest równa 1.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.10Przyjmijmy log23 = a i log25 = b. Wówczas
a) log2(16,2) = 4a − b
b) log2675 = 3a + 2b
c) log253 = a − b
d) log215 = a + b
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.11Wskaż liczbę, która spełnia równanie 5x = 23.
a) x = 2log53
b) x = 2log35
c) x = 3log25
d) x = 3log52
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
434
Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.12Suma log48 + log48 jest równa
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.13Suma log1525 + log159 jest równa
a) 1
b) 2
c) log3034
d) log1534
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.14
Wartość wyrażenia log354 − log323 to
a) 4
b) 2
c) log627
d) log35313
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.15Wskaż liczbę, która jest równa 7.
a) 2log93 + 5log322
b) 5log42 + 9log255
Zadania
435
c) 7log71 + log77
d) log1 + log2 + log4
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.16Liczba log21 jest równa
a) log3 ? log7
b) log20 + log1
c) log7 + log3
d) log25 − log4
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.17Liczba log25 jest równa
a) 2log5
b) log10 + log15
c) log100 − log75
d)12 log50
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.18Liczba 6log816 jest równa
a) 8
b) 12
c) 16
d) 48
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
436
Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.19Zapisz podaną liczbę bez użycia logarytmu.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.20Zapisz podaną liczbę bez użycia logarytmu.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.21Zapisz podaną liczbę bez użycia logarytmu.
(Pokaż odpowiedź)
log2 + log5a)
log219 + log2149b)
log1545 + log1575c)
log63 + log64 + log618d)
log240 − log25a)
log390 − log310b)
log560 − log512c)
log721 − (log724 − log78)d)
10log42a)
9log273b)
12log25√5c)
8log12(2√3)d)
Zadania
437
Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.22Wykaż, że
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.23Wykaż, że podana liczba jest całkowita.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.24
Wykaż, że log15 + log1250 − log3
16 = 5.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.25Wykaż, że 3log54 + 2log57 = log53136.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.26Wykaż, że log2405 − 4log23 = log25.
(Pokaż odpowiedź)
funkcja wykładnicza g(x) = 3x dla argumentu x = log32 + log35 przyjmuje wartość 10.a)
funkcja wykładnicza h(x) = 4x dla argumentu x = log455 − log45 przyjmuje wartość 11.b)
funkcja wykładnicza f(x) = 7x dla argumentu x = 6log72 przyjmuje wartość 64.c)
log56 − log530a)
log27 − log256b)
log37 − log363c)
log143 − (log26 + log55)d)
Zadania
438
Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.27Wykaż, że liczby log9, log21, log49 tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.28
Przyjmijmy log53 = a. Wykaż, że log5(27√5) =6a + 1
2 .
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.29Przyjmijmy log125 = a i log4 = b. Wykaż, że 2a + 3b = 6.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.30
Wykaż, że (log62)2
+ log63 ? log612 = 1.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 5.3.2.31Funkcja f każdej dodatniej liczbie x przyporządkowuje wykładnik potęgi, do której należy pod-
nieść liczbę 2, aby otrzymać x. Wykaż, że 2 ? f(5) + f(0,1) + 1 = f(40) + f(18 ).
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 5.3.2.32
Dane są takie liczby dodatnie x i y, że log2x + log3y2 =32 i log2x4 + log3y3 =
72 . Wykaż, że
2log6(x ? y) = 1.
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
439
5.4. Zastosowanie funkcji wykładniczejZa pomocą funkcji wykładniczej można opisać wiele zjawisk z życia codziennego. Funkcję tę sto-
sujemy do opisu wielkości, które w stałym tempie się zmieniają, czyli w kolejnych odcinkach czasu
tyle samo razy lub o ten sam procent się zwiększają lub zmniejszają. Wielkości takie mają tę wła-
sność, że ich przyrost od pewnego momentu jest dużo szybszy niż wzrost liniowy. Za to spadek w
tempie wykładniczym jest wolniejszy niż spadek w tempie liniowym. Z wzrostem i spadkiem wy-
kładniczym mamy do czynienia w biologii, chemii, demografii, gospodarce. Podamy poniżej kilka
zastosowań funkcji wykładniczej.
Przykład 1.Żeby określić liczebność pewnej populacji osobników, można skorzystać ze wzoru
L(t) = L(0) ? at
gdzie
L(0) jest początkową liczbą osobników w populacji,
a pewną stałą większą od zera, charakterystyczną dla tej populacji.
Populacja osobników w tempie wykładniczym rozmnaża się najczęściej przez pewien czas,
po którym następuje czas względnej równowagi pomiędzy ilością osobników tworzących się
i obumierających.
Przyrost populacji, przebieg epidemii czy zasięg sieci społecznościowych w internecie nie
mogą wzrastać w nieskończoność, gdyż istnieją ograniczenia środowiska czy przestrzeni, w
której dane zjawiska występują.
Pewna kolonia bakterii liczy na początku obserwacji 500 osobników. Co godzina ich liczba
wzrasta o 10%. Oblicz, ile bakterii będzie w tej kolonii po 3 godzinach, ile po 5 godzinach, a
ile po 10 godzinach.
Liczbę osobników tej kolonii obliczymy ze wzoru L(t) = 500 ? 1,1t.
Zatem
L(3) = 500 ? 1,13 = 665,5
L(5) = 500 ? 1,15 = 805,255
L(10) = 500 ? 1,110 = 1296,87
Przykład 2.W pewnym mieście odnotowano w kolejnych latach podaną w tabeli liczbę mieszkańców.
Zastosowanie funkcji wykładniczej
440
rok Liczba ludności (w tysiącach) Przyrost ludności (w tysiącach)
2009 30,30
2010 31,00 0,7
2011 31,71 0,71
2012 32,44 0,73
2013 33,19 0,75
2014 33,95 0,76
Zauważmy, że liczba mieszkańców nie przyrasta w sposób liniowy, ponieważ w kolejnych la-
tach przyrost jest coraz większy. Obliczmy stosunek liczby mieszkańców w danym roku do
liczby mieszkańców w poprzednim roku.
liczba mieszkańców w 2014liczba mieszkańców w 2013 =
33,9533,19 = 1,023
liczba mieszkańców w 2013liczba mieszkańców w 2012 =
33,1932,44 = 1,023
liczba mieszkańców w 2012liczba mieszkańców w 2011 =
32,4431,71 = 1,023
liczba mieszkańców w 2011liczba mieszkańców w 2010 =
31,7131 = 1,023
liczba mieszkańców w 2010liczba mieszkańców w 2009 =
3130,3 = 1,023
Ponieważ otrzymane ilorazy są równe, wynika stąd, że liczba mieszkańców rośnie każdego
roku o około 2,3%. Liczbę ludności w tym mieście po t latach od 2009 roku możemy opisać
wzorem
X(t) = 30,3 ? (1,023)t
Zatem przyrost ludności w tym mieście ma charakter wykładniczy. Jeżeli w kolejnych latach
przyrost ludności zachowa ten charakter, ile osób będzie mieszkało w tym mieście w latach
2016, 2020?
W roku 2016 będzie 33,95 ? (1,023)2
= 35,53, czyli 35,53.
Liczba mieszkańców w 2020 roku to
X(11) = 30,3 ? (1,023)11
= 38,91,
czyli 38,91 tysięcy.
Zastosowanie funkcji wykładniczej
441
Przykład 3.Pierwiastki promieniotwórcze samoistnie rozpadają się. Czasem połowicznego rozpadu na-
zywamy czas, po którym masa próbki takiego pierwiastka zmniejszy się o połowę. Masę
próbki po upływie czasu t możemy obliczyć ze wzoru
m(t) = m(0) ? (12 )
tT
gdzie
m(0) − jest masą próbki na początku,
T to okres połowicznego rozpadu.
Izotop jodu ma czas połowicznego rozpadu 8 dni. Ile miligramów jodu zostanie z 20 mg prób-
ki po upływie 32 dni? Jaki procent izotopu ulegnie rozpadowi w tym czasie?
32 dni to 4 okresy połowicznego rozpadu izotopu jodu, botT =
328 = 4. Mamy więc
m(32) = 20 ? (12 )
4=
2016 =
54 = 1,25
Zatem z próbki złożonej z 20 mg pozostanie po 32 dniach 1,25 mg. Rozpadowi ulegnie więc
18,75 mg z 20 mg. Układamy proporcję
100%
x
−
−
20 mg
18,75 mg
Stąd
x =18,75 ? 100%
20 = 93,75%
Przykład 4.W naturze występują trzy izotopy węgla C − 12, C − 13 i C − 14, różniące się między sobą licz-
bą protonów i neutronów w jądrze. Węgiel C − 14 jest radioaktywny i jego czas połowicznego
rozpadu jest równy 5730 lat. Powstaje on w górnych warstwach atmosfery w wyniku bom-
bardowania atomów azotu neutronami o wysokiej energii z promieniowania kosmicznego.
Izotopu C − 14 jest bardzo mało w zawartym w powietrzu dwutlenku węgla, jeden atom przy-
pada na około 1012atomów węgla C − 12. Wszystkie rośliny pobierają z atmosfery oba rodza-
je węgla. Także zwierzęta, jedząc rośliny, pobierają oba rodzaje węgla. Okazuje się, że zawar-
tość węgla C − 14 w organizmach jest podobna do jego zawartości w atmosferze. Po śmierci
kończy się dopływ węgla z zewnątrz i wtedy węgiel C − 12 pozostaje w komórkach, a węgiel
C − 14 ulega rozpadowi.
Liczbę atomów węgla C − 14 w próbce po czasie t obliczymy ze wzoru
N(t) = N(0) ? (12 )
t5730
Zastosowanie funkcji wykładniczej
442
Ponieważ w atmosferze na 1 atom węgla C − 14 przypada 1012atomów zwykłego węgla, więc
ilość węgla zmniejszyła się czterokrotnie. Po pierwszym okresie, czyli łącznie po 5730 latach,
ilość węgla zmniejszyła się o połowę i po kolejnym okresie, czyli po 11 460 latach, ilość węgla
zmniejszyła się czterokrotnie. Zatem zwierzę żyło około 11 500 lat temu.
Przykład 5.Po podaniu pewnego leku do organizmu substancja czynna tego leku przenika do krwiobie-
gu. Następnie z każdą godziną ilość tej substancji maleje o około 40%. Jeżeli podana dawka
leku zawierała 250 mg substancji, to po ilu godzinach zostanie w krwiobiegu pacjenta mniej
niż 32,4 mg substancji?
• sposób I
Jeżeli z każdą następną godziną ilość substancji w krwiobiegu maleje o 40%, to znaczy,
że po każdej godzinie pozostanie 0,6 ilości substancji obecnej w poprzedniej godzinie.
Zatem X(t) = 250 ? (0,6)t, gdzie t oznacza ilość czasu w godzinach, jaki upłynął od poda-
nia leku, a X(t) to ilość leku w organizmie po t godzinach.
Mamy więc 250 ? (0,6)t
< 32,4. Stąd (0,6)t
< 0,1296. Ponieważ 0,1296 = (0,6)4, więc nie-
równość ma postać (0,6)t
< (0,6)4. Funkcja y = (0,6)
xjest funkcją malejącą, więc dla więk-
szych argumentów przyjmuje mniejsze wartości. Stąd wynika, że t > 4.
• sposób II
W kolejnych godzinach mamy:
X(1) = 250 ? 0,6 = 150
X(2) = 150 ? 0,6 = 90
Ile lat temu zginął człowiek, jeżeli w jego szczątkach znajduje się tylko 6,25% ilości wę-
gla, jaka jest w żywym organizmie?
Zbadajmy, jaka ilość węgla C − 14 pozostanie po kolejnych okresach.
Okres, jaki upłynął Ilość węgla C − 14, jaka pozostanie
5730 50%
11 460 25%
17 190 12,5%
22 920 6,25%
Zatem człowiek ten żył około 22 920 lat temu.
a)
Znaleziono kość pewnego zwierzęcia, w której 1 atom węgla C − 14 przypada na
4 ? 1012atomów zwykłego węgla. Jaki czas upłynął od śmierci tego zwierzęcia?
b)
Zastosowanie funkcji wykładniczej
443
X(3) = 90 ? 0,6 = 54
X(4) = 54 ? 0,6 = 32,4
Funkcja opisująca ilość leku we krwi jest funkcją malejącą oraz dla argumentu 4 przyjmuje
dokładnie wartość 32,4, zatem dla argumentów większych przyjmuje wartości mniejsze.
Po czasie dłuższym niż 4 godziny w organizmie pacjenta pozostanie mniej niż 32,4 g leku.
Przykład 6.Jeżeli umieścimy przedmiot w stałej temperaturze otoczenia, niższej od jego temperatury, to
przedmiot ten będzie stygł aż do osiągnięcia temperatury otoczenia. Temperaturę po okre-
ślonym czasie obliczymy za pomocą wzoru
T(t) = TO + (TP − TO)a−t
TO to temperatura otoczenia, TP to temperatura początkowa przedmiotu, a jest stałą charak-
terystyczną dla danego przedmiotu.
Zastosowanie funkcji wykładniczej
444
Zagotowaliśmy wodę do temperatury 100 ° C, a następnie umieściliśmy w pomieszczeniu o
temperaturze 25 ° C. Po 10 minutach zmierzyliśmy temperaturę wody i okazało się, że wyno-
si ona 70 ° C. Jaką temperaturę będzie miała woda po następnych 10 minutach?
Temperaturę wody po 10 minutach opisuje wzór
T(10) = 25 ° + (100 ° − 25 ° ) ? a−10 = 70 °
stąd
75 ° ? a−10 = 45 °
Otrzymujemy więc a−10 = 0,6. Stąd a10 =1
0,6 = 1,67, a więc a =10√1,67 ≈ 1,053.
Po następnych 10 minutach, czyli po 20 minutach od zagotowania wody jej temperatura bę-
dzie równa
T(20) = 25 ° + 75 ° ? 1,053−20 = 25 ° + 75 ° ? 0,356 = 25 ° + 27 ° = 52 °
Przykład 7.Przykładem zastosowania funkcji wykładniczej w medycynie jest zanik monochromatycznej
wiązki promieniowania rentgenowskiego przy przechodzeniu przez materię. W tym przypad-
ku natężenie promieniowania I przy przejściu przez ciało grubości x dane jest wzorem:
I(x) = I0e−kx
gdzie
I0 – natężenie wychodzące z lampy rentgenowskiej,
k – liniowy współczynnik pochłaniania promieniowania w materii,
x – grubość warstwy pochłaniającej.
Zastosowanie funkcji wykładniczej
445
e – liczba niewymierna, e ≈ 2,718
Jednostką liniowego współczynnika pochłaniania (absorpcji) jest [1 / m].
Poziom trudności: AZadanie 5.4.1Kolonia bakterii składała się z 500 organizmów. Po każdej godzinie liczba bakterii rośnie o 20%
. Ile bakterii będzie po 3 godzinach?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.4.2Na początku obserwacji kolonia liczyła 500, a na końcu 845 bakterii. O ile procent przyrastała
liczba bakterii w ciągu godziny, jeżeli liczba bakterii przyrasta w tempie wykładniczym, czyli we-
dług wzoru L(t) = L(0) ? at, a eksperyment trwał 2 godziny?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.4.3Na początku obserwacji kolonia liczyła 1000 bakterii. Po 5 godzinach liczba ta wzrosła do 1800
. Ile osobników będzie liczyła kolonia po 20 godzinach?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.4.4W pewnej kolonii liczba bakterii zwiększa się co godzinę o 25%. Po ilu godzinach liczba ta uległa
podwojeniu?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.4.5W pewnej miejscowości mieszkało 1400 osób. Miejscowość rozwija się prężnie, tak że każdego
roku liczba ta zwiększa się o 10%. Po ilu latach liczba mieszkańców przekroczy 2000?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.4.6W pewnej kolonii bakterii po 4 godzinach od rozpoczęcia doświadczenia liczba organizmów by-
ła równa 7500, a po 6 godzinach była już równa 37 500. Wiedząc, że liczba bakterii przyrastała
Zastosowanie funkcji wykładniczej
446
w sposób wykładniczy oblicz, ile bakterii było na początku doświadczenia oraz ile po 12 godzi-
nach.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.4.7Dla uranu 235 czas połowicznego rozpadu wynosi 713 milionów lat. Ile lat potrzeba, żeby z 1 g
pierwiastka pozostało nie więcej niż 0,125 g?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.4.8Po upływie 15 dni z początkowej próbki o masie 2 g pozostanie 0,25 g bizmutu 210. Jaki jest
czas połowicznego rozpadu tego pierwiastka?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.4.9W próbce znajduje się 0,05 g izotopu wapnia. Jaka masa izotopu była 3 lata wcześniej, jeżeli
okres połowicznego rozpadu dla wapnia wynosi 6 miesięcy?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.4.10Ile wynosi okres połowicznego rozpadu kobaltu, jeżeli wiadomo, że podczas doświadczenia,
które trwało 20 lat, z próbki ważącej 40 g pozostało 2,5 g tego pierwiastka?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.4.11W pewnej kości zawartość węgla C − 14 jest mniejsza o 75% od zawartości w atmosferze. Oblicz
wiek znaleziska.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.4.12Określ wiek znaleziska archeologicznego, wiedząc, że jeden atom węgla C − 14 przypada na
16 ? 1012 atomów węgla C − 12.
(Pokaż odpowiedź)
Zastosowanie funkcji wykładniczej
447
Poziom trudności: AZadanie 5.4.13Jaki procent węgla C − 14 pozostał w znalezisku archeologicznym, które ma 15 000 lat?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.4.14Pewien płyn podgrzano do temperatury 80 ° C , a następnie odstawiono, żeby wystygł. Po 15
minutach temperatura płynu wynosiła 60 ° C. Jaką temperaturę miał płyn po godzinie od pod-
grzania?
(Pokaż odpowiedź)
Zastosowanie funkcji wykładniczej
448
Rozdział 6. Wykresy funkcjispecjalnych i ich własności
Wykresy funkcji specjalnych i ich własności
449
Wykresy funkcji specjalnych
Wykresy funkcji specjalnych i ich własności
450
Wykresy funkcji specjalnych
Film na epodreczniki.pl
Film na epodreczniki.pl
Wykresy funkcji specjalnych i ich własności
451
Film na epodreczniki.pl
Film na epodreczniki.pl
Wykresy funkcji specjalnych i ich własności
452
Film na epodreczniki.pl
Film na epodreczniki.pl
Wykresy funkcji specjalnych i ich własności
453
Film na epodreczniki.pl
Film na epodreczniki.pl
Wykresy funkcji specjalnych i ich własności
454
SłowniczekDefinicja: Ciąg arytmetyczny
Ciąg (an) nazywamy arytmetycznym, jeżeli ma co najmniej 3 wyrazy i każdy jego wy-
raz, począwszy od drugiego, jest sumą wyrazu poprzedniego i pewnej ustalonej licz-
by. Liczbę tę nazywamy różnicą ciągu i oznaczamy ją r.
Jeśli więc ciąg jest skończony i ma k ≥ 3 wyrazów, to an + 1 = an + r dla dowolnej liczby
całkowitej 1 ≤ n ≤ k − 1. Jeśli natomiast ciąg jest nieskończony, to an + 1 = an + r dla
dowolnej liczby całkowitej n ≥ 1.
Definicja: Ciąg geometryczny
Ciąg (an) nazywamy ciągiem geometrycznym, jeżeli ma przynajmniej 3 wyrazy, jego
pierwszy wyraz jest różny od 0, a każdy następny wyraz jest iloczynem poprzednie-
go wyrazu i pewnej ustalonej liczby. Liczbę tę nazywamy ilorazem ciągu geometrycz-
nego i oznaczamy przez q.
Definicja: Ciągi monotoniczne
• Ciąg nazywamy rosnącym, jeżeli jego każdy wyraz, począwszy od drugiego,
jest większy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, a więc jeżeli dla do-
wolnej dodatniej liczby całkowitej n zachodzi nierówność
an + 1 > an
• Ciąg nazywamy malejącym, jeżeli jego każdy wyraz, począwszy od drugiego,
jest mniejszy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, a więc jeżeli dla
dowolnej dodatniej liczby całkowitej n zachodzi nierówność
an + 1 < an
• Ciąg nazywamy stałym, jeżeli wszystkie wyrazy tego ciągu są sobie równe, a
więc jeżeli dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n zachodzi równość
an + 1 = an
• Ciąg nazywamy niemalejącym, jeżeli jego każdy wyraz, począwszy od drugie-
go, jest nie mniejszy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, a więc jeże-
li dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n zachodzi nierówność
an + 1 ≥ an
Słowniczek
455
• Ciąg nazywamy nierosnącym, jeżeli jego każdy wyraz, począwszy od drugiego,
jest nie większy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, a więc jeżeli dla
dowolnej dodatniej liczby całkowitej n zachodzi nierówność
an + 1 ≤ an
Jeżeli ciąg jest rosnący, malejący, nierosnący, niemalejący lub stały, to mówimy, że
ten ciąg jest monotoniczny. O innych ciągach mówimy, że nie są monotoniczne.
Definicja: Definicja ciągu
• Ciągiem nazywamy funkcję, określoną w zbiorze liczb całkowitych dodatnich.
Wartości tej funkcji dla kolejnych liczb naturalnych nazywamy wyrazami ciągu.
• Jeżeli ciąg jest nieskończony, to jego dziedziną jest zbiór dodatnich liczb całko-
witych. Dziedziną ciągu skończonego jest zbiór {1,2 , ..., n}, gdzie n jest ustalo-
ną dodatnią liczbą całkowitą.
• Ciąg dwuwyrazowy jest parą uporządkowaną, z którą spotkaliśmy się, np. po-
dając współrzędne punktu w prostokątnym układzie współrzędnych na płasz-
czyźnie. Zwróćmy uwagę, że pary uporządkowane (1, 3) i (3, 1) są różne.
• Ciąg opisany w przykładzie powyżej jest skończony, ponieważ w kolejce stoi 5
osób, czyli skończona liczba osób. Dziedziną tego ciągu jest zbiór
{1, 2, 3, 4, 5}.• Jeżeli elementy jakiegoś zbioru ponumerujemy, a więc ustalimy kolejność tych
elementów, to w ten sposób otrzymamy ciąg.
W praktyce będziemy zajmować się najczęściej ciągami liczbowymi, czyli takimi, któ-
rych wyrazy są liczbami. Ciąg oznaczamy zazwyczaj (an ) , (bn ), (cn ), itd. Natomiast
an oznacza n-ty wyraz ciągu (an), na przykład drugi wyraz ciągu (an) to a2.
Jeżeli ciąg z podanego wyżej przykładu 1 oznaczymy (an), to a1 = Tomek, a2 = Małgo-
sia, a3 = Julka, a4 = Franek, a5 = Jurek.
Twierdzenie: Funkcja kwadratowa w postacikanonicznej i ogólnej
Każdą funkcję kwadratową można zapisać w postaci ogólnej f(x) = ax2 + bx + c lub w równo-
ważnej postaci kanonicznej f(x) = a(x − p)2
+ q, gdzie p =−b2a i q = −Δ
4a .
Słowniczek
456
Symbolem ∆ (delta) oznaczyliśmy liczbę Δ = b2 − 4ac, którą nazywamy wyróżnikiem funkcji
kwadratowej f.
Dowód
Zauważmy, że po rozwinięciu wyrażenia (x − p)2, postać kanoniczną funkcji f możemy zapisać
jako
f(x) = a(x2 − 2px + p2) + q,
stąd
f(x) = ax2 − 2apx + ap2 + q.
Aby dla każdego x zachodziła równość
ax2 − 2apx + ap2 + q = ax2 + bx + c
potrzeba i wystarcza, żeby równe były współczynniki przy tych samych potęgach zmiennej x.
Zatem
−2ap = b oraz ap2 + q = c, stąd p =−b2a i q = c − a(−b
2a )2
= c − ab2
4a2 = c − b2
4a =4ac − b2
4a . Przyjmując
oznaczenie Δ = b2 − 4ac, otrzymujemy q = −Δ4a .
Należy zauważyć, że do przekształcenia wzoru funkcji kwadratowej z postaci ogólnej do ka-
nonicznej można też zastosować wzór skróconego mnożenia (tę metodę stosowaliśmy w kil-
ku poprzednich przykładach). Przekształcamy wtedy według poniższego schematu
f(x) = ax2 + bx + c = a(x2 +ba x) + c = a((x +
b2a )
2− b2
4a2 ) + c =
= a(x +b2a )
2− b2
4a + c = a(x +b2a )
2− b2 − 4a2
4a = a(x +b2a )
2− Δ
4a .
Definicja: Funkcja kwadratowa zmiennej x
Funkcją kwadratową zmiennej x nazywamy funkcję określoną wzorem
f(x) = ax2 + bx + c,
gdzie a, b oraz c to liczby rzeczywiste, przy czym liczba a jest różna od zera.
Powyższy wzór funkcji kwadratowej nazywamy jej postacią ogólną.
Słowniczek
457
• Wzór funkcji kwadratowej możemy też zapisać w postaci kanonicznej
f(x) = a(x − p)2
+ q,
gdzie a, p oraz q to liczby rzeczywiste i a ≠ 0.
Definicja: Funkcja wykładnicza
Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję określoną dla każdej liczby rzeczywistej x
wzorem f(x) = ax, gdzie a jest ustaloną liczbą dodatnią i różną od 1.
Twierdzenie: Liczba miejsc zerowych funkcjikwadratowej
Funkcja kwadratowa f określona wzorem f(x) = ax2 + bx + c, (a ≠ 0)• ma dwa różne miejsca zerowe rzeczywiste x1 i x2 wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyróżnik
∆ jest dodatni.
Wówczas wzór funkcji f można zapisać w postaci iloczynowej f(x) = a(x − x1)(x − x2),gdzie x1 =
−b + √Δ2a oraz x2 =
−b − √Δ2a .
• ma dokładnie jedno miejsce zerowe x0 wtedy i tylko wtedy, gdy ∆ = 0. W tym przypad-
ku wzór funkcji f można zapisać w postaci iloczynowej f(x) = a(x − x0)2, gdzie x0 = − b
2a .
• nie ma pierwiastków rzeczywistych wtedy i tylko wtedy, gdy Δ < 0. Wtedy wzoru funkcji
f nie można zapisać w postaci iloczynowej.
Twierdzenie: Liczba rozwiązań równaniakwadratowego
Równanie kwadratowe
ax2 + bx + c = 0
• nie ma rozwiązań rzeczywistych wtedy i tylko wtedy, gdy ∆ < 0,
• ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste x0 = − b2a wtedy i tylko wtedy, gdy ∆ = 0,
Słowniczek
458
• ma dwa (różne) rozwiązania rzeczywiste x1 =−b − √Δ
2a oraz x2 =−b + √Δ
2a wtedy i tylko wte-
dy, gdy ∆ > 0.
Definicja: Logarytm
Logarytmem logac dodatniej liczby c przy dodatniej i różnej od 1 podstawie a nazy-
wamy wykładnik b potęgi, do której należy podnieść a, aby otrzymać c.
logac = b wtedy i tylko wtedy, gdy ab = c.
Twierdzenie: Logarytm iloczynu
Jeżeli liczba a jest dodatnia i różna od 1, to dla dowolnych liczb dodatnich x i y
loga(x ? y) = logax + logay
Dowód
Oznaczmy c = logax oraz d = logay. Korzystając z definicji logarytmu, otrzymujemy ac = x oraz
ad = y. Zatem
loga(x ? y) = loga(ac ? ad) = logaac + d = c + d
Stosując przyjęte oznaczenia, mamy
loga(x ? y) = logax + logay
To kończy dowód.
Twierdzenie: Logarytm ilorazu
Przy dodatniej i różnej od 1 podstawie a dla dowolnych liczb x > 0 i y > 0 prawdziwa jest rów-
ność
logaxy = logax − logay
Słowniczek
459
Dowód
Oznaczmy c = logax oraz d = logay. Korzystając z definicji logarytmu, otrzymujemy ac = x oraz
ad = y. Zatem
logaxy = loga
ac
ad = logaac − d = c − d
czyli stosując przyjęte oznaczenia
logaxy = logax − logay
To kończy dowód.
Twierdzenie: Logarytm potęgi
Przy dodatniej i różnej od 1 podstawie a dla dowolnej liczby x > 0 prawdziwa jest równość
logaxr = r ? logax
Dowód
Oznaczmy c = logax. Korzystając z definicji logarytmu, otrzymujemy ac = x. Zatem
logaxr = loga1 children in msup = logaar ? c = r ? c
Stosując przyjęte oznaczenia mamy
logaxr = r ? logax
To kończy dowód.
Twierdzenie: Monotoniczność ciągu arytmetycznego
Jeżeli różnica ciągu arytmetycznego jest dodatnia, to ciąg ten jest rosnący. Jeżeli różnica ciągu
arytmetycznego jest ujemna, to ciąg ten jest malejący. Jeżeli różnica ciągu arytmetycznego
jest równa zero, to ciąg jest stały i jego wszystkie wyrazy są równe a1.
Słowniczek
460
Twierdzenie: O sumie wyrazów ciąguarytmetycznego
Suma Sn początkowych n wyrazów ciągu arytmetycznego (an) jest równa
Sn =2a1 + (n − 1)r
2 ∙ n =a1 + an
2 ∙ n.
Twierdzenie: Oś symetrii funkcji kwadratowej
Jeżeli funkcja kwadratowa
f(x) = ax2 + bx + c
ma dwa miejsca zerowe x1 i x2, to oś symetrii paraboli będącej wykresem funkcji f ma rów-
nanie
x =x1 + x2
2
Dowód
Jak zauważyliśmy, oś symetrii paraboli, która jest wykresem funkcji f, to jednocześnie syme-
tralna odcinka o końcach w punktach (x1, 0) i (x2, 0). Korzystając ze wzoru na współrzęd-
ne środka odcinka, stwierdzamy, że ta symetralna przechodzi przez punkt o współrzędnych
(x1 + x2
2 , 0). Dla dowodu wystarczy więc pokazać, że
x1 + x22 = p.
Ponieważ
x1 + x2 =−b − √Δ + (−b + √Δ)
2a =−ba ,
więc
x1 + x22 =
−b2a = p.
Słowniczek
461
Definicja: Proporcjonalność odwrotna
Funkcja f opisująca zależność między dodatnimi wielkościami odwrotnie proporcjo-
nalnymi x i y nazywana jest proporcjonalnością odwrotną, a iloczyn x ∙ y = a nazywa-
ny jest współczynnikiem proporcjonalności odwrotnej.
Z faktu, że liczby x i y są dodatnie, wynika, że współczynnik a także jest dodatni.
Zależność między wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi x i y możemy zapisać
również w postaci y =ax .
Twierdzenie: Proste prostopadłe
Proste o równaniach m : y = a1x + b1 oraz k : y = a2x + b2 są prostopadłe wtedy i tylko wtedy,
gdy ich współczynniki kierunkowe spełniają warunek
a1 ∙ a2 = − 1
Twierdzenie: Proste równoległe
Proste o równaniach
• m : y = a1x + b1
• k : y = a2x + b2
są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe.
a1 = a2
Twierdzenie: Rozwiązanie równania xn = a
Dla liczby naturalnej dodatniej n, większej od 1, oraz liczby rzeczywistej a ≠ 0 równanie xn = a
ma
• jedno rozwiązanie równe x =n√a, gdy n jest liczbą nieparzystą,
• dwa rozwiązania równe x =n√a oraz x = − n√a, gdy n jest liczbą parzystą oraz a jest liczbą
dodatnią,
Słowniczek
462
• zero rozwiązań, gdy n jest liczbą parzystą oraz a jest liczbą ujemną.
Definicja: Równanie ogólne prostej
Równanie Ax + By + C = 0, gdzie A, B i C są liczbami rzeczywistymi oraz A i B nie są
jednocześnie równe zero, nazywamy równaniem ogólnym prostej.
Twierdzenie: Twierdzenie o sumie n początkowychwyrazów ciągu geometrycznego
Jeżeli (an) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q, to suma Sn jego n początkowych wyrazów
jest równa
Sn = a11 − qn
1 − q dla q ≠ 1 albo Sn = na1 dla q = 1.
Własność: Uogólnienie własności wyrazów ciąguarytmetycznego
Dla dowolnego wyrazu ciągu arytmetycznego n > 1 oraz dowolnej dodatniej liczby całkowitej
k < n mamy
an =an − k + an + k
2
Zauważmy, że wyrazy an − k, an, an + k są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o
różnicy kr. Zatem twierdzenie to wynika także z twierdzenia o zależności pomiędzy trzema
kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.
Definicja: Wielkości odwrotnie proporcjonalne
Mówimy, że dwie dodatnie wielkości x i y są odwrotnie proporcjonalne wtedy i tylko
wtedy, gdy ich iloczyn jest stały i różny od zera.
Słowniczek
463
Definicja: Wielomian
Wielomianem zmiennej x stopnia n (n − liczba naturalna dodatnia) nazywamy funk-
cję określoną wzorem
W(x) = anxn + an − 1xn − 1 + … + a1x + a0
gdzie x ? R, an ≠ 0 oraz an − 1, an − 2, … , a1, a0 są liczbami rzeczywistymi. Liczby
an, an − 1, an − 2, … , a1, a0nazywamy współczynnikami wielomianu.
• Przyjmujemy ponadto, że funkcja liniowa stała W(x) = a0 , gdzie a0 ≠ 0, jest wie-
lomianem stopnia zerowego, natomiast funkcję liniową W(x) = 0 nazywamy
wielomianem zerowym i nie określamy stopnia tego wielomianu.
• Zgodnie z tą definicją funkcja liniowa f(x) = ax + b jest wielomianem stopnia
pierwszego, gdy a ≠ 0, a funkcja kwadratowa
g(x) = ax2 + bx + c
jest wielomianem stopnia drugiego. Oczywiście a ≠ 0, gdyż inaczej nie byłaby to
funkcja kwadratowa.
Własność: Własności wyrazów ciągu arytmetycznego
Ciąg (an) jest arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy dowolny wyraz tego ciągu (poza pierw-
szym i ostatnim, jeśli ciąg jest skończony) jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich
an =an + 1 + an − 1
2 dla n > 1
Niekiedy łatwiej korzystać z tej równości zapisanej w postaci
2an = an + 1 + an − 1
Własność: Własność ciągu geometrycznego
Ciąg (an) o wyrazach różnych od 0 jest ciągiem geometrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy dla
dowolnej liczby całkowitej n > 1 (1 < n < k, ciąg (an) jest k − wyrazowy) prawdziwa jest równo-
ść
Słowniczek
464
an2 = an + 1 ∙ an − 1
Jeżeli wyrazy ciągu (an) są liczbami dodatnimi, to równość an2 = an + 1 ∙ an − 1 możemy zapisać
w postaci an = √an + 1 ∙ an − 1.
Oznacza to, że wyraz an jest średnią geometryczną wyrazów sąsiednich.
Twierdzenie: Wzór ogólny ciągu arytmetycznego
Każdy wyraz ciągu arytmetycznego (an) o różnicy r jest równy an = a1 + (n − 1)r.
Zależność między dwoma kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, a więc równość
an + 1 = an + r możemy też zapisać w postaci równoważnej an + 1 − an = r.
Twierdzenie: Wzór ogólny ciągu geometrycznego
Jeżeli a1 jest pierwszym wyrazem ciągu geometrycznego (an) i q jest ilorazem tego ciągu, to
dla dowolnej liczby całkowitej n > 1 mamy an = a1qn − 1 .
Słowniczek
465
Rozdział 7. Odpowiedzi
Geometria analityczna / Równanieprostej w postaci ogólnej oraz w postacikierunkowejZadanie 1.2.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Prosta przechodząca przez punkty A = ( − 4, − 2) i B = ( − 3, − 1) ma równanie y = x + 2.
Punkty A = (3, 6) i B = ( − 3, 6) leżą na prostej o równaniu y = 6.
Zadanie 1.2.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.2.5 (Wróć do zadania)Odpowiedźy = − 3x − 1
Zadanie 1.2.7 (Wróć do zadania)Odpowiedź
przecina oś Ox w punkcie ( − 5, 0)
przecina oś Oy w punkcie (0, 2)
Zadanie 1.2.9 (Wróć do zadania)Odpowiedź6
Zadanie 1.2.10 (Wróć do zadania)Odpowiedźy = √2
Zadanie 1.2.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź
y =12x +
32
Fa)
Ab)
Cc)
Bd)
Ee)
Df)
Odpowiedzi
466
Zadanie 1.2.12 (Wróć do zadania)OdpowiedźB = − 2
Zadanie 1.2.13 (Wróć do zadania)Odpowiedźm = 7
Zadanie 1.2.14 (Wróć do zadania)Odpowiedź−8x + 12y + 24 = 0
Zadanie 1.2.15 (Wróć do zadania)Odpowiedź
S = ( − 1,4)
Zadanie 1.2.16 (Wróć do zadania)Odpowiedź
B = (2,2)
Zadanie 1.2.17 (Wróć do zadania)OdpowiedźAC : y = x, BC : y = − 2x + 150
Zadanie 1.2.18 (Wróć do zadania)OdpowiedźAC : x + 1 = 0, BD : y − 4 = 0
Zadanie 1.2.19 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.2.20 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.2.21 (Wróć do zadania)Odpowiedź
x + 4y = 0a)
−7x + 4y − 2 = 0b)
x + 5 = 0c)
−12x + 31y = 0d)
x − 4y + 11√3 = 0e)
M = ( − 1,2)a)
M = (5,3)b)
M = (0,2)c)
M = ( − 3, − 5)d)
A = (4, − 4), B = ( − 4, − 4), C = (1,1)a)
A = (1, − 3), B = ( − 4,2), C = (5,3)b)
Odpowiedzi
467
Zadanie 1.2.22 (Wróć do zadania)Odpowiedźrównania przekątnych: AC : x − 2y = 0, BD : 9x + 7y − 10 = 0
punkt przecięcia przekątnych: S = (45 ,
25 )
Zadanie 1.2.23 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.2.24 (Wróć do zadania)OdpowiedźGdyby była taka wartość m, dla której prosta byłaby prostopadła do osi Ox, to wówczas jej współ-
czynnik przy y byłby równy 0, a więc m − 3 = 0, czyli m = 3. Wtedy jednak współczynnik przy x też
byłby równy 0, co jest niemożliwe, gdyż oba te współczynniki nie mogą być jednocześnie równe 0.
A = (4,7), B = ( − 4,3), C = (4,3)c)
m = − 2a)
m = − 4b)
m = − 5 lub m = 5c)
Odpowiedzi
468
Geometria analityczna / Prosterównoległe, proste prostopadłeZadanie 1.3.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Uwaga.
Aby wykazać, że dwie proste, opisane równaniami kierunkowymi są równoległe, wystarczy wyka-
zać, że ich współczynniki kierunkowe są równe.
Zadanie 1.3.3 (Wróć do zadania)OdpowiedźBok AD leży na prostej y = − 2x + 9, a bok CD na prostej y = 3.
Rozwiązanie
Z własności równoległoboku wynika, że bok AD leży na prostej równoległej do BC przechodzącej
przez wierzchołek D.
Proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe, zatem równanie prostej AD możemy
zapisać w postaci y = − 2x + b. Współczynnik b obliczymy po podstawieniu do tego równania
współrzędnych punktu D.
3 = − 2 ∙ 3 + b
y =23x + 7a)
y = 3x − 5b)
Prosta zawierająca bok AB ma równanie y =12x − 3, a prosta zawierająca bok CD ma równa-
nie y =12x +
12 . Obie proste mają ten sam współczynnik kierunkowy a =
12 , więc AB ? CD. Wy-
nika z tego, że ABCD jest trapezem.
c)
Odpowiedzi
469
b = 9
Wynika z tego, że bok AD leży na prostej o równaniu y = − 2x + 9.
Bok CD leży na prostej równoległej do AB i przechodzącej przez punkt D. Prosta CD jest również
równoległa do osi Ox i opisuje ją równanie y = 3.
Zadanie 1.3.8 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.3.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź
y =14x
Zadanie 1.3.12 (Wróć do zadania)Odpowiedź−2
Zadanie 1.3.13 (Wróć do zadania)Odpowiedźy = 3x + 3
Zadanie 1.3.14 (Wróć do zadania)Odpowiedź
y = − 12x + 4
Zadanie 1.3.15 (Wróć do zadania)Odpowiedźprzecinają się pod kątem innym niż kąt prosty
Zadanie 1.3.16 (Wróć do zadania)Odpowiedźa = − 4
Zadanie 1.3.17 (Wróć do zadania)Odpowiedź2√2 − 2
Zadanie 1.3.18 (Wróć do zadania)Odpowiedź
y = − 53x + 6a)
y = − 2x + 1b)
Prosta zawierająca bok AB ma równanie y = − 12x − 1
2 , a prosta zawierająca bok AC ma rów-
nanie y = 2x − 3. Iloczyn współczynników kierunkowych obu prostych jest równy
− 12 ∙ 2 = − 1 , zatem AB ? AC. Wynika z tego, że trójkąt ABC jest prostokątny.
c)
y = 5x + 8a)
y = 5xb)
y = 5x − 20c)
Odpowiedzi
470
Zadanie 1.3.19 (Wróć do zadania)Odpowiedź
y =12x − 2
Zadanie 1.3.20 (Wróć do zadania)Odpowiedź
y = − 59x +
73
Zadanie 1.3.21 (Wróć do zadania)OdpowiedźBoki AB i DC czworokąta leżą na prostych o równaniach x = 2 i x = − 2. Wynika z tego, że są do
siebie równoległe.
Bok CB leży na prostej o równaniu y =34x − 1
2 , a bok AD na prostej o równaniu y =34x + 4
12 . Te pro-
ste są do siebie równoległe.
Wynika z tego, że czworokąt ABCD ma dwie pary boków równoległych , czyli jest równoległobo-
kiem.
Zadanie 1.3.22 (Wróć do zadania)Odpowiedźm = 2
Zadanie 1.3.23 (Wróć do zadania)Odpowiedźm = − 7
Zadanie 1.3.24 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Bok AC leży na prostej o równaniu y =12x + 2, a bok CB na prostej y = − 2x + 7.
12 ∙ (−2) = − 1, zatem boki AC i CB są do siebie prostopadłe, czyli trójkąt ABC jest prostokątny.
Zadanie 1.3.25 (Wróć do zadania)Odpowiedźy = − 3x − 2
Zadanie 1.3.26 (Wróć do zadania)Odpowiedź
y = − x, y = − x + 6, y = 2x − 3, y = 2x + 6, D = ( − 2,2)
y = 5x + 5d)
Odpowiedzi
471
Geometria analityczna / Długość odcinka.Środek odcinkaZadanie 1.4.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.4.9 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Rozwiązanie
Zadanie 1.4.10 (Wróć do zadania)Odpowiedź
(−√2, 4√2)a)
(−2, 3√3)b)
(−4√2, 0)c)
(1, − 3)d)
| AB | = 5√2, | AC | = 10, | BC | = 5√2. Obwód L = 10 + 10√2.a)
| AB | = 5, | AC | = √97, | BC | = 10. Obwód L = 15 + √97.b)
| AB | = √2, | AC | = 3√2 , | BC | = 2√2. Obwód L = 6√2.c)
| AB | = √(1 + 4)2
+ (6 − 1)2
= √50 = 5√2, | AC | = √(1 − 1)2
+ (6 + 4)2
= √100 = 10 ,
| BC | = √(−4 − 1)2
+ (1 + 4)2
= √50 = 5√2.
Obwód L = 10 + 10√2.
a)
| AB | = √(2 + 2)2
+ (8 − 5)2
= √25 = 5, | AC | = √(2 − 6)2
+ (8 + 1)2
= √97 ,
| BC | = √(−2 − 6)2
+ (5 + 1)2
= √100 = 10.
Obwód L = 15 + √97.
b)
| AB | = √(1 − √3 − 2 + √3)2
+ (1 + 2√3 − 2 − 2√3)2
= √(−1)2
+ (−1)2
= √2,
| AC | = √(1 − √3 − 4 + √3)2
+ (1 + 2√3 − 4 − 2√3)2
= √(−3)2
+ (−3)2
= 3√2 ,
| BC | = √(2 − √3 − 4 + √3)2
+ (2 + 2√3 − 4 − 2√3)2
= √(−2)2
+ (−2)2
= 2√2 .
Obwód L = 6√2.
c)
Równanie prostej zawierającej środkową: x = 2a)
Równanie prostej zawierającej środkową: y = 4b)
Równanie prostej zawierającej środkową: y =23xc)
Równanie prostej zawierającej środkową: y =35x + 2
15
d)
Odpowiedzi
472
Rozwiązanie
Zadanie 1.4.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Rozwiązanie
Zadanie 1.4.12 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Środek odcinka BC: S = (2,2). Prosta zawierająca środkową przechodzi przez punkty A = (2,8)i S = (2,2) . Równanie tej prostej ma postać x = 2.
a)
Środek odcinka BC: S = (5,4). Prosta zawierająca środkową przechodzi przez punkty
A = ( − 3,4) i S = (5,4). Równanie tej prostej ma postać y = 4.
b)
Środek odcinka BC: S = (3,2). Prosta zawierająca środkową przechodzi przez punkty A = (0,0)i S = (3,2). Równanie tej prostej ma postać y =
23x.
c)
Środek odcinka BC: S = (3,4). Prosta zawierająca środkową przechodzi przez punkty
A = ( − 2,1) i S = (3,4). Równanie tej prostej ma postać y =35x + 2
15 .
d)
Przekątna | AC | = 5√2. Współrzędne wierzchołka D = (2, − 1).a)
Przekątna | AC | = √65. Współrzędne wierzchołka D = (5,2).b)
Przekątna | AC | = 15. Współrzędne wierzchołka D = (6, − 9).c)
Przekątna | AC | = √(−2 − 7)2
+ (3 − 2)2
= √50 = 5√2 . Środek przekątnych prostokąta ma
współrzędne S = (−2 + 52 ,
3 + 22 ) = (3
2 ,52 ) . Zatem (3
2 ,52 ) = (
1 + xD2 ,
6 + yD2 ). Z tego wynika, że xD = 2
i yD = − 1.
a)
Przekątna | AC | = √(2 − 1)2
+ (−8)2
= √65 . Środek przekątnych prostokąta ma współrzęd-
ne S = (2 + 12 ,
82 ) = (3
2 , 4) . Zatem (32 , 4) = (
−2 + xD2 ,
6 + yD2 ). Z tego wynika, że xD = 5 i yD = 2.
b)
Zauważ, że punkty A i C mają pierwszą współrzędną równą 0, zatem leżą na osi Oy. Długość
przekątnej AC jest równa | yA − yC | = | 3 + 12 | = 15. Środek przekątnych również leży
na osi Oy i ma współrzędne S = (0,3 − 12
2 ) = (0, − 92 ). Zatem (0, − 9
2 ) = (−6 + xD
2 ,yD2 ). Z tego wy-
nika, że xD = 6 i yD = − 9.
c)
| AB | = | AC | = √65. Trójkąt jest równoramienny.a)
| AB | = √85 , | AC | = √85 .Trójkąt jest równoramienny.b)
| AB | = √50, | AC | = √106 , | BC | = √104 .Trójkąt nie jest równoramienny.c)
Odpowiedzi
473
Rozwiązanie
Zadanie 1.4.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź
RozwiązaniePunkt S jest środkiem każdej przekątnej równoległoboku.
| AB | = √(2 + 5)2
+ (−7 + 3)2
= √65 , | AC | = √(2 − 6)2
+ (−7)2
= √65 . Trójkąt jest równora-
mienny.
a)
| AB | = √(1 + 5)2
+ (−6 − 1)2
= √85 , | AC | = √(1 − 7)2
+ (−6 − 1)2
= √85 . Trójkąt jest rów-
noramienny.
b)
| AB | = √(1 − 8)2
+ (−5 + 6)2
= √50, | AC | = √(1 − 6)2
+ (−5 − 4)2
= √106 ,
| BC | = √(8 − 6)2
+ (−6 − 4)2
= √104 . Trójkąt nie jest równoramienny.
c)
C = (6,4), D = ( − 1,5)a)
C = ( − 5, − 5), D = (3,3)b)
C = ( − 7, − 2), D = (0,2)c)
C = (4, − 3), D = (9,0)d)
Przekątna AC: S = (3,0) = (0 + xC
2 ,−4 + yC
2 ). Z tego wynika, że xC = 6 i yC = 4.
Przekątna BD: S = (3,0) = (7 + xD
2 ,−5 + yD
2 ). Z tego wynika, że xD = − 1 i yD = 5.
a)
Przekątna AC: S = (2, − 2) = (9 + xC
2 ,1 + yC
2 ). Z tego wynika, że xC = − 5 i yC = − 5.
Przekątna BD: S = (2, − 2) = (1 + xD
2 ,−7 + yD
2 ). Z tego wynika, że xD = 3 i yD = 3.
b)
Przekątna AC: S = (0, − 1) = (7 + xC
2 ,yC2 ). Z tego wynika, że xC = − 7 i yC = − 2.
Przekątna BD: S = (0, − 1) = (xD2 ,
−4 + yD2 ). Z tego wynika, że xD = 0 i yD = 2.
c)
Przekątna AC: S = (7, − 72 ) = (
10 + xC2 ,
−4 + yC2 ). Z tego wynika, że xC = 4 i yC = − 3.
Przekątna BD: S = (7, − 72 ) = (
5 + xD2 ,
−7 + yD2 ). Z tego wynika, że xD = 9 i yD = 0.
d)
Odpowiedzi
474
Zadanie 1.4.14 (Wróć do zadania)Odpowiedź
prosta AS1 : y =12x − 1
prosta BS2 : y = − 112 x + 7
prosta CS3 : y = − 710x +
35
RozwiązanieIlustracja 1. Srodek odcinka. Dlugosc odcinka_rys_rozw_zad4
• Prosta zawierająca środkową AS1 przechodzi przez wierzchołek A i punkt S1 – środek boku
CB.
S1 = (2 − 22 ,
−4 + 22 ) = (0, − 1)
Równanie prostej AS1 ma postać y =12x − 1
• Prosta zawierająca środkową BS2 przechodzi przez wierzchołek B i punkt S2 – środek boku
AC.
S2 = (4 − 22 ,
1 + 22 ) = (1, − 3
2 )
Równanie prostej BS2 ma postać y = − 112 x + 7
• Prosta zawierająca środkową CS3 przechodzi przez wierzchołek C i punkt S3 – środek boku
AB.
S3 = (4 + 22 ,
1 − 42 ) = (3, − 3
2 )
Równanie prostej CS3 ma postać y = − 710x +
35 .
Odpowiedzi
475
Zadanie 1.4.15 (Wróć do zadania)OdpowiedźTrójkąty ABC i A1B1C1 są podobne.
Rozwiązanie
Długości boków trójkąta ABC: | AB | = √10, | AC | = √10, | BC | = 2√5.
Długości boków trójkąta A1B1C1: | A1B1 | = 2√10, | A1C1 | = 2√10, | B1C1 | = 4√5.
Odpowiednie boki trójkątów są proporcjonalne, ponieważ| AB |
| A1B1 |= √10
2√10 =12 ,
| AC |
| A1C1 |= √10
2√10 =12 oraz
| BC |
| B1C1 |=
2√54√5 =
12 . Wynika z tego, że trójkąty ABC i A1B1C1 są podob-
ne.
Zadanie 1.4.16 (Wróć do zadania)Odpowiedźm = 2
RozwiązaniePunkt S jest środkiem odcinka AB, zatem
(412 , − 1
2 ) = (3m + 32 ,
2m − 52 )
412 =
3m + 32 , − 1
2 =2m − 5
2
Oba równania są prawdziwe dla m = 2 .
Zadanie 1.4.17 (Wróć do zadania)Odpowiedź
m = 5 lub m = 415
RozwiązanieDługość odcinka AB możemy zapisać
| AB | = √(m − 7)2
+ (−2m + 8)2
= 2√2
Zatem otrzymamy równanie
√(m − 7)2
+ (−2m + 8)2
= √8
Ponieważ liczby pod pierwiastkiem są nieujemne, to równanie można zapisać w postaci
(m − 7)2
+ (−2m + 8)2
= 8
Po zastosowaniu wzorów skróconego mnożenia i uporządkowaniu wyrażeń otrzymamy równanie
kwadratowe
5m2 − 46m + 105 = 0
Odpowiedzi
476
Rozwiązaniami tego równania są liczby m = 5 lub m = 415 .
Odpowiedzi
477
Geometria analityczna / Zastosowaniarównania prostej: wysokości, środkowe,symetralne boków trójkątaZadanie 1.5.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.5.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.5.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Współczynnik kierunkowy prostej AB: a1 = − 15 , współczynnik kierunkowy prostej AC: a2 = 5. Wy-
nika z tego, że bok AB jest prostopadły do boku AC. Zatem trójkąt ABC jest prostokątny.
Trójkąt jest równoramienny, gdyż | AB | = √26, | AC | = √26, czyli | AB | = | AC | .
Zadanie 1.5.4 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Przekątna AC leży na prostej y = − 32x + 5, a przekątna BC na prostej y =
23x +
23 . Z tego, że
− 32 ∙ 2
3 = − 1 wynika, że przekątne czworokąta są do siebie prostopadłe.
Punkt S = (2,2) jest środkiem przekątnej AC i jednocześnie środkiem przekątnej BD. Wynika z tego,
że punkt przecięcia się prostopadłych do siebie przekątnych dzieli każdą z nich na połowy. Zatem
czworokąt ABCD jest rombem.
Zadanie 1.5.5 (Wróć do zadania)Odpowiedź
E = (72 ,
32 ), prosta y = − 1
3x + 223
y = 212x + 1
34
a)
y = − 2x − 2b)
y = − xc)
y = 4x − 4d)
y = − x + 3e)
y =14xf)
Równanie środkowej AD: y = − 23x + 1
23
a)
Równanie środkowej AD: y = − 12x +
32
b)
Równanie środkowej AD: y =12x − 2c)
Równanie środkowej AD: y = 2d)
Odpowiedzi
478
Zadanie 1.5.6 (Wróć do zadania)Odpowiedź
AC : y =14x + 1
Zadanie 1.5.7 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.5.8 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Równanie wysokości y = x + 2, | CD | = 5√2
Zadanie 1.5.9 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Długość boku | CB | = √17 , długość wysokości opuszczonej na bok jest równa CB h = 2√17.
Pole równoległoboku jest równe P = 34.
Zadanie 1.5.10 (Wróć do zadania)Odpowiedź
A = (−2,5), B = ( − 4, − 1), C = (2, − 3), D = (4,3)
PABC = 12a)
PABC = 15b)
Odpowiedzi
479
Funkcja kwadratowa / Jednomiankwadratowy i jego własności.Przesunięcie wykresu jednomianukwadratowego wzdłuż osi układuwspółrzędnychZadanie 2.1.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź– 1
0
Zadanie 2.1.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź−√3 + 2
Zadanie 2.1.4 (Wróć do zadania)Odpowiedźy = − 1
Zadanie 2.1.5 (Wróć do zadania)Odpowiedź
odbić parabolę o równaniu y = 2x2 symetrycznie względem osi Ox
Zadanie 2.1.6 (Wróć do zadania)Odpowiedź
? −1, + ∞)
Zadanie 2.1.7 (Wróć do zadania)Odpowiedź
f( – 50) = f(52)
Zadanie 2.1.8 (Wróć do zadania)Odpowiedź
f(x) = (x − 2)2
Zadanie 2.1.9 (Wróć do zadania)Odpowiedź
g(x) = − x2 + 3
Zadanie 2.1.10 (Wróć do zadania)Odpowiedźx = 0
Odpowiedzi
480
Zadanie 2.1.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź
a)
b)
c)
Odpowiedzi
481
Zadanie 2.1.12 (Wróć do zadania)Odpowiedź
a)
b)
c)
Odpowiedzi
482
Zadanie 2.1.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 2.1.14 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 2.1.15 (Wróć do zadania)Odpowiedź
d)
? 1, + ∞)a)
? 0, + ∞)b)
? −3, + ∞)c)
? 0, + ∞)d)
(−∞, 0 ?a)
(−∞, −4 ?b)
(−∞, 2 ?c)
(−∞, 0 ?d)
(−∞, 0 ?a)
? −2, + ∞)b)
(−∞, 1 ?c)
? 0, + ∞)d)
Odpowiedzi
483
Zadanie 2.1.16 (Wróć do zadania)Odpowiedź
0 rozwiązańa)
1 rozwiązanieb)
2 rozwiązaniac)
Odpowiedzi
484
Zadanie 2.1.17 (Wróć do zadania)Odpowiedź
2 rozwiązaniad)
0a)
1b)
Odpowiedzi
485
Zadanie 2.1.18 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 2.1.19 (Wróć do zadania)Odpowiedźk < m < n < l
2c)
2d)
W = (0, − 2), f(x) = x2 − 2
W = (0, – 2), zatem funkcja jest określona wzoremf(x) = ax2 − 2. Ponieważ do wykresu tej
funkcji należy punkt (1, − 1), więc f(1) = − 1, skąd a = 1.
a)
W = (3, 0), g(x) =13 (x − 3)
2
W = (3, 0), zatem funkcja jest określona wzorem g(x) = a(x − 3)2. Ponieważ do wykresu tej
funkcji należy punkt (0, 3), więc g(0) = 3, skąd a =13 .
b)
W = (−1, 0), k(x) = − (x + 1)2
W = (−1, 0), zatem funkcja jest określona wzorem k(x) = a(x + 1)2. Ponieważ do wykresu tej
funkcji należy punkt (−1, 0), więc k(2) = − 1, skąd a = − 1.
c)
Odpowiedzi
486
Zadanie 2.1.20 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Obliczamy f(n) − f(n − 1) = 3(n + 2)2
− 3(n + 1)2
= 3(n2 − (n2 − 2n + 1)) = 3(2n − 1). Zatem dla dowol-
nej liczby całkowitej n różnica f(n) − f(n − 1) jest iloczynem dwóch liczb nieparzystych, więc jest nie-
parzysta. Koniec dowodu.
Odpowiedzi
487
Funkcja kwadratowa / Wykres funkcjikwadratowej zapisanej wzorem w postacikanonicznej. Wykres funkcji kwadratowejzapisanej wzorem w postaci ogólnejZadanie 2.2.3 (Wróć do zadania)Odpowiedźprzecina oś Oy
ma dwa punkty wspólne z prostą y = 5
Zadanie 2.2.4 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Najmniejsza wartość funkcji g(x) = (x – 2)2
– 3 to – 3.
Największa wartość funkcji h(x) = – 2x2 + 3 to 3.
Zadanie 2.2.5 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 2.2.8 (Wróć do zadania)Odpowiedź
? – 1, + ∞)a)
( – ∞, 3 ?b)
( – ∞, 4 ?c)
? 2, + ∞)d)
a)
Odpowiedzi
488
b)
c)
d)
Odpowiedzi
489
Zadanie 2.2.9 (Wróć do zadania)Odpowiedź
a)
b)
c)
Odpowiedzi
490
Zadanie 2.2.10 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 2.2.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 2.2.12 (Wróć do zadania)Odpowiedź
d)
maksymalny przedział, w którym f rośnie to ? −1, +∞, maksymalny przedział, w którym f
maleje, to (−∞, −1 ? .
a)
maksymalny przedział, w którym f rośnie, to (−∞, 4 ? , maksymalny przedział, w którym f
maleje, to ? 4, +∞.
b)
maksymalny przedział, w którym f rośnie, to ? 5, +∞, maksymalny przedział, w którym f
maleje, to (−∞, 5 ? .
c)
maksymalny przedział, w którym f rośnie, to (−∞, −6 ? , maksymalny przedział, w którym f
maleje, to ? −6, ∞.
d)
f(x) = (x − 1)2
+ 6; zbiór wartości tej funkcji to przedział ? 6, +∞a)
g(x) = (x + 5)2
− 25; zbiór wartości tej funkcji to przedział ? −25, +∞b)
h(x) = (x − 6)2
− 16; zbiór wartości tej funkcji to przedział ? −16, +∞c)
t(x) = (x + 2)2
+ 5; zbiór wartości tej funkcji to przedział ? 5, +∞d)
f(x) = − (x − 3)2
+ 10; zbiór wartości tej funkcji to przedział (−∞, 10 ?a)
g(x) = − (x − 1)2
− 3; zbiór wartości tej funkcji to przedział (−∞, −3 ?b)
h(x) = − (x + 4)2
+ 30; zbiór wartości tej funkcji to przedział (−∞, 30 ?c)
t(x) = − (x +52 )
2+
254 ; zbiór wartości tej funkcji to przedział (−∞,
254 ?
d)
Odpowiedzi
491
Zadanie 2.2.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 2.2.14 (Wróć do zadania)Odpowiedź
f(x) = 2(x − 32 )
2− 3
2 ; osią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta o równaniu x =32
a)
g(x) =12 (x − 5)
2− 1
2 ; osią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta o równaniu x = 5b)
h(x) = − 3(x +52 )
2+
754 ; osią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta o równaniu x = − 5
2c)
t(x) = − 14 (x − 7)
2+
494 ; osią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta o równaniu x = 7d)
f(x) =12 (x − 4)
2− 3, f(x) =
12x2 − 4x + 5a)
f(x) = (x + 3)2
+ 2, f(x) = x2 + 6x + 11b)
f(x) = − 2(x + 1)2
+ 5, f(x) = − 2x2 − 4x + 3c)
f(x) = − 13 (x − 2)
2+ 2, f(x) = − 1
3x2 +43x +
23
d)
Odpowiedzi
492
Funkcja kwadratowa / Współrzędnewierzchołka paraboli / Współrzędnewierzchołka paraboliZadanie 2.3.2.1 (Wróć do zadania)Odpowiedźwykres f – rys. D
wykres g – rys. A
wykres h – rys. B
Zadanie 2.3.2.2 (Wróć do zadania)Odpowiedźwierzchołek tej paraboli leży na prostej o równaniu x = − 4
Zadanie 2.3.2.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź
z wykresem funkcji f1(x) = x2 + 2x − 2
z wykresem funkcji f2(x) = x2 − 2x − 2
z wykresem funkcji f3(x) = − x2 − 2x − 4
Zadanie 2.3.2.4 (Wróć do zadania)OdpowiedźDla p = 3 współczynnik b jest równy 6.
Jeżeli b = p, to wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (0, 2).
Zadanie 2.3.2.5 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 2.3.2.8 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Jeżeli a = − 1 i b = 6, to W = (3, 9).
Jeżeli W = (1, 1), to a = − 1 i b = 2.
Jeżeli W = ( − 3, − 27), to a = 3 i b = 18.
Zadanie 2.3.2.9 (Wróć do zadania)Odpowiedź
f(−10) = f(0)
f(−20) > 30
b = 0, c = 2a)
b = − 4, c = 4b)
b = − 2, c = 2c)
b = 2, c = 3d)
Odpowiedzi
493
f(−7) + f(−9) > f(−4) + f(−2)
Zadanie 2.3.2.10 (Wróć do zadania)Odpowiedźx = 1
Zadanie 2.3.2.11 (Wróć do zadania)Odpowiedźy = 9
Zadanie 2.3.2.12 (Wróć do zadania)Odpowiedź
y = x2 − 10x + 30
Zadanie 2.3.2.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź
? 4, +∞)
Zadanie 2.3.2.14 (Wróć do zadania)Odpowiedźjest równa 18
Zadanie 2.3.2.15 (Wróć do zadania)Odpowiedź
y = (x + 2)2
− 2
Zadanie 2.3.2.16 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 2.3.2.17 (Wróć do zadania)Odpowiedź
f(0) = f(6)
Zadanie 2.3.2.18 (Wróć do zadania)Odpowiedźb = 4, c = 7
Odpowiedzi
494
Zadanie 2.3.2.19 (Wróć do zadania)Odpowiedź
? 3, + ∞)
Zadanie 2.3.2.20 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 2.3.2.21 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 2.3.2.22 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 2.3.2.23 (Wróć do zadania)Odpowiedź
f(x) = 2x2 − 5a)
f(x) = − 3x2 + 4b)
f(x) = (x +12 )
2c)
f(x) = − 2(x − 54 )
2d)
f(x) = 5(x + 3)2
− 14a)
f(x) = 2(x − 1)2
− 3b)
f(x) = − 3(x +16 )
2+ 6
112
c)
f(x) = − 4(x − 74 )
2+ 5
14
d)
f(x) =54 (x − 2)
2a)
f(x) = − 3(x + 1)2
+ 1b)
f(x) = (x + 2)2
− 3c)
f(x) = − 12 (x − 4)
2+ 6d)
f(x) = (x − 2)2
− 1a)
f(x) = 2(x + 1)2
− 2b)
f(x) =13 (x − 1)
2− 3c)
f(x) = − (x + 2)2
+ 2d)
f(x) = − 3(x − 1)2
+ 3e)
f(x) = − 14 (x + 1)
2+ 2f)
Odpowiedzi
495
Zadanie 2.3.2.24 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 2.3.2.25 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 2.3.2.26 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 2.3.2.27 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 2.3.2.28 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 2.3.2.29 (Wróć do zadania)Odpowiedźm = 2
Zadanie 2.3.2.30 (Wróć do zadania)Odpowiedźc = − 14
f(x) = 2x2 + 1a)
f(x) = − (x + 3)2
+ 4b)
? 2, +∞)a)
(−∞, 5 ?b)
? −9, +∞)c)
(−∞, 7 ?d)
? −36, +∞)a)
? 2, +∞)b)
(−∞, −4 ?c)
(−∞, 5 ?d)
(−∞, 2 ?a)
? 1, +∞)b)
? 3, +∞)c)
(−∞, −5 ?d)
(−∞, 212 ?a)
(−∞, − 34 ?b)
? −2, +∞)c)
? 113 , +∞)d)
Odpowiedzi
496
Zadanie 2.3.2.31 (Wróć do zadania)Odpowiedź
k = 1, W = (−3, − 12)
Zadanie 2.3.2.32 (Wróć do zadania)Odpowiedźc = 1
Odpowiedzi
497
Funkcja kwadratowa / Miejsca zerowefunkcji kwadratowej. Postać iloczynowafunkcji kwadratowejZadanie 2.4.2 (Wróć do zadania)Odpowiedźfunkcje f i g mają wspólne miejsce zerowe
Zadanie 2.4.3 (Wróć do zadania)Odpowiedźwykres f – rys. B
wykres g – rys. C
wykres h – rys. A
Zadanie 2.4.4 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Funkcję kwadratową określoną wzorem y = x2 − 7x + 6 można zapisać w postaci iloczynowej wzo-
rem y = (x − 1)(x − 6).
Funkcję kwadratową określoną wzorem y = − x2 + 3x + 10 można zapisać w postaci iloczynowej
wzorem y = − (x + 2)(x − 5).
Zadanie 2.4.5 (Wróć do zadania)Odpowiedź
wykres funkcji g przedstawiony jest na rysunku c)żaden z tych rysunków nie przedstawia wykresu funkcji h
na jednym z tych rysunków przedstawiony jest wykres funkcji k
Zadanie 2.4.6 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Funkcja kwadratowa y = x2 − 10 ma dwa różne miejsca zerowe.
Funkcja kwadratowa y = x2 − 6x + 9 ma dokładnie jedno miejsce zerowe.
Zadanie 2.4.7 (Wróć do zadania)Odpowiedźdla c = 0 funkcja f ma dwa różne miejsca zerowe
jeśli jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest – 1, to c = 3
Zadanie 2.4.9 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Funkcja kwadratowa y = x2 − 12x + 11 ma dwa różne miejsca zerowe, które są liczbami całkowity-
mi.
Iloczyn miejsc zerowych funkcji kwadratowej y = 3x2 − 11x + 3 jest równy 1.
Odpowiedzi
498
Zadanie 2.4.10 (Wróć do zadania)Odpowiedźx1 = − 3, x2 = 5
Zadanie 2.4.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź
f(x) = − (x − 2)(x + 1)
Zadanie 2.4.12 (Wróć do zadania)Odpowiedź
y = − 4(x + 1)(x − 1)
Zadanie 2.4.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 2.4.14 (Wróć do zadania)Odpowiedźx1 = − 1, x2 = − 5
Zadanie 2.4.15 (Wróć do zadania)Odpowiedź
y = 2x2 + 3x − 2
Zadanie 2.4.16 (Wróć do zadania)Odpowiedź
(−1, 0)
Zadanie 2.4.17 (Wróć do zadania)Odpowiedź3
Zadanie 2.4.18 (Wróć do zadania)Odpowiedźc < − 4
Odpowiedzi
499
Zadanie 2.4.19 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 2.4.20 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 2.4.21 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 2.4.22 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 2.4.23 (Wróć do zadania)Odpowiedź
0 oraz – 2a)
7 oraz – 11b)
− 83 oraz
14
c)
3 oraz − 58
d)
y = 2x(x − 11)a)
y = − 3(x − 4)(x + 4)b)
y = 9(x − 73 )(x +
73 )c)
y = 25x(x +35 )d)
y = (x + 2)2, x0 = − 2a)
y = − (x − 1)2, x0 = 1b)
y = 3(x + 5)2, x0 = − 5c)
y = − 2(x − 3)2, x0 = 3d)
y = (x − 2)(x + 1)a)
y = − (x − 1)(x + 3)b)
y =13 (x − 1)(x + 3)c)
y =12 (x − 3)(x + 1)d)
Δ = − 7 < 0a)
Δ = − 3 < 0b)
Δ = − 39 < 0c)
Δ = − 7 < 0d)
Odpowiedzi
500
Zadanie 2.4.24 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 2.4.25 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Miejscami zerowymi są liczby13 oraz − 1
2 . Żadna z tych liczb nie jest całkowita.
Zadanie 2.4.26 (Wróć do zadania)Odpowiedź4x1 + 6x2 = 2
Zadanie 2.4.27 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 2.4.28 (Wróć do zadania)Odpowiedź
x1 + x2 = − 2, x1x2 = − 72 (nauczyciel może wspomnieć o wzorach Viete’a)
Zadanie 2.4.29 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Można obliczyć pierwiastki: x1 = 1 − 2√33 oraz x2 = 1 +
2√33 i pokazać odpowiednie oszacowania (czy
też rozwinięcie dziesiętne z kalkulatora), albo zauważyć, że p = 1 ? (−1, 3) oraz f(−1) > 0 i f(3) > 0.
Zadanie 2.4.30 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zauważmy, że – 1 jest jedynym miejscem zerowym funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy f(x) = (x + 1)2
, a więc f(x) = x2 + 2x + 1. Stąd b = 2.
Zadanie 2.4.31 (Wróć do zadania)Odpowiedź
b = − 3, drugie miejsce zerowe to15
Zadanie 2.4.32 (Wróć do zadania)Odpowiedźb = − 2, c = 24
1 oraz −212
a)
– 1 oraz 434
b)
– 4 oraz − 23
c)
15 oraz 2d)
2 − √10 oraz 2 + √10a)
−1 − √6 oraz −1 + √6b)
3 − 2√5 oraz 3 + 2√5c)
−4 + √23 oraz −4 − √23d)
Odpowiedzi
501
Zadanie 2.4.33 (Wróć do zadania)OdpowiedźPonieważ wyróżnik Δ = 36 − 4c, więc f: ma dwa różne miejsca zerowe dla c < 9, ma dokładnie jed-
no miejsce zerowe dla c = 9, nie ma miejsc zerowych dla c > 9. Można też zapisać funkcję w posta-
ci kanonicznej
f(x) = (x + 3)2
+ c − 9 i komentować znak wyrażenia c − 9.
Odpowiedzi
502
Funkcja kwadratowa / Wyznaczaniewzoru funkcji kwadratowej na podstawiepewnych informacji o tej funkcji lub o jejwykresieZadanie 2.5.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź
W = (−1, 9)
Zadanie 2.5.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Funkcja f dana jest wzorem f(x) = x + (x + 2)2, stąd f(x) = x2 + 5x + 4. Zbiór wartości tej funkcji to
? −214 , +∞), a jej miejscami zerowymi są liczby −4 i −1.
Zadanie 2.5.3 (Wróć do zadania)Odpowiedźc = 6
Zadanie 2.5.4 (Wróć do zadania)Odpowiedźb = − 8
Zadanie 2.5.5 (Wróć do zadania)Odpowiedźc = − 4
Zadanie 2.5.6 (Wróć do zadania)Odpowiedźb = 6, c = 9
Zadanie 2.5.7 (Wróć do zadania)Odpowiedźb = − 10, c = − 8
Zadanie 2.5.8 (Wróć do zadania)Odpowiedźb = 2, c = 8.
Zadanie 2.5.9 (Wróć do zadania)Odpowiedźb = 12, c = − 1
Zadanie 2.5.10 (Wróć do zadania)Odpowiedź
a = 1, b = − 2, c = 1a)
a = − 1, b = − 6, c = − 9b)
Odpowiedzi
503
Zadanie 2.5.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 2.5.12 (Wróć do zadania)Odpowiedź
a =14 , b = − 1 , c = − 15
Zadanie 2.5.13 (Wróć do zadania)Odpowiedźa = − 4, b = 8 , c = 5
Zadanie 2.5.14 (Wróć do zadania)Odpowiedź
a =13 , b = − 2, c = − 2
Zadanie 2.5.15 (Wróć do zadania)Odpowiedźa = 25, b = − 90 , c = − 40
Zadanie 2.5.16 (Wróć do zadania)Odpowiedźa = − 2, b = − 12 , c = − 13
Zadanie 2.5.17 (Wróć do zadania)Odpowiedźa = 2, b = − 4 , c = − 1
Zadanie 2.5.18 (Wróć do zadania)Odpowiedź
a = − 12 , b = − 3 , c = − 7
2
a =12 , b = 1, c =
12
c)
a = − 12 , b = − 2, c = 0d)
a =13 , b = − 4
3 , c =13
e)
a = − 14 , b = − 1
2 , c =114
f)
a = 1, b = − 1, c = − 2a)
a = − 1, b = 3, c = 0b)
a =12 , b = − 1
2 , c = 0c)
a = − 32 , b = − 3
2 , c = 3d)
a =12 , b = 2, c =
32
e)
a = − 13 , b = − 1
3 , c = 2f)
Odpowiedzi
504
Zadanie 2.5.19 (Wróć do zadania)OdpowiedźZałóżmy wbrew tezie, że każdy z punktów A, B i C leży na wykresie funkcji f. Wówczas
f(−3) = 5, f(−1) = 1, f(1) = − 3, więc współczynniki a, b, c spełniają układ równań
{9a − 3b + c = 5
a − b + c = 1
a + b + c = − 3
Odejmując drugie równanie tego układu od trzeciego, otrzymujemy 2b = − 4, stąd b = − 2. Wobec
tego
{b = − 2
9a + c = − 1
a + c = − 1
Odejmując trzecie równanie powyższego układu od drugiego, otrzymujemy 8a = 0, stąd a = 0 i
c = − 1.
Funkcja f ma więc wzór f(x) = 0 ? x2 − 2x − 1. Jednak wtedy funkcja f nie jest funkcją kwadratową.
Wobec otrzymanej sprzeczności stwierdzamy, że punkt C = (1, − 3) nie leży na wykresie funkcji f.
Zadanie 2.5.20 (Wróć do zadania)Odpowiedź
{a = − 1
b = − 4
c = − 4
lub {a = − 1
4
b = − 212
c = − 614
Zadanie 2.5.21 (Wróć do zadania)Odpowiedźb = 5 lub b = − 5
Zadanie 2.5.22 (Wróć do zadania)Odpowiedźc = − 1 lub c = 2
Odpowiedzi
505
Funkcja kwadratowa / RównaniekwadratoweZadanie 2.6.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Równanie (x − 2)(x + 3) = 0 ma dwa rozwiązania 2 oraz −3.
Równanie x(x − 1) = 0 ma dwa rozwiązania rzeczywiste.
Zadanie 2.6.2 (Wróć do zadania)Odpowiedźx1x2 = − 14
1x1
+1
x2= − 5
14
Zadanie 2.6.3 (Wróć do zadania)Odpowiedźx2 = 2
2x1 + 3x2 = 1
Zadanie 2.6.4 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Równanie (2x + 5)2
+ 3 = 0 nie ma rozwiązań rzeczywistych.
Równanie 4x2 = x ma dwa rozwiązania rzeczywiste.
Zadanie 2.6.5 (Wróć do zadania)Odpowiedźx1 + x2 = 8
x1x2 = 5
x2 > 7
Zadanie 2.6.6 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Każde z rozwiązań równania 6x2 − 5x + 1 = 0 należy do przedziału (0, 1).
Jedno z rozwiązań równania x2 + 2x − 5 = 0 należy do przedziału (−4, − 3).
Jednym z rozwiązań równania 2x2 − x − 10 = 0 jest liczba całkowita.
Zadanie 2.6.7 (Wróć do zadania)Odpowiedź– 1
Zadanie 2.6.8 (Wróć do zadania)Odpowiedź– 3
Odpowiedzi
506
Zadanie 2.6.9 (Wróć do zadania)Odpowiedźnie ma rozwiązań
Zadanie 2.6.10 (Wróć do zadania)Odpowiedź5 oraz – 3
Zadanie 2.6.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź148
Zadanie 2.6.12 (Wróć do zadania)Odpowiedź
x2 − 2x + 5 = 0
Zadanie 2.6.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź– 1
Zadanie 2.6.14 (Wróć do zadania)Odpowiedź3
Zadanie 2.6.15 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 2.6.16 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 2.6.17 (Wróć do zadania)Odpowiedź
x = − 5 lub x = 6a)
x =32 lub x = − 7
3b)
x =14 lub x = 2c)
x = 4 lub x = − 119
d)
x = − 6 lub x = 6a)
równanie nie ma rozwiązań rzeczywistychb)
x =72 lub x = − 7
2c)
równanie nie ma rozwiązań rzeczywistychd)
x = 2a)
x = 0 lub x = 4b)
x = − 23
c)
x = 0 lub x =43
d)
Odpowiedzi
507
Zadanie 2.6.18 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 2.6.19 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 2.6.20 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 2.6.21 (Wróć do zadania)Odpowiedźx = 4
Zadanie 2.6.22 (Wróć do zadania)Odpowiedźx = 14
Zadanie 2.6.23 (Wróć do zadania)OdpowiedźTe liczby to – 12 oraz – 7.
Zadanie 2.6.24 (Wróć do zadania)OdpowiedźTe liczby to 8, 9 oraz 10.
Zadanie 2.6.25 (Wróć do zadania)Odpowiedź
(1, 3) oraz (−1, 1)
Zadanie 2.6.26 (Wróć do zadania)Odpowiedź
(1, − 2) oraz (−4, 28)
x = − 7 lub x = 5a)
równanie nie ma rozwiązań rzeczywistychb)
x = − 1 lub x =154
c)
x = − 4 lub x =73
d)
równanie nie ma rozwiązań rzeczywistycha)
x = 3 − 2√2 lub x = 3 + 2√2b)
x = 4 + √7 lub x = 4 − √7c)
x = − √5 + √2 lub x = − √5 − √2d)
x = 1 lub x = − 172
a)
x = 10 lub x = − 373
b)
x = 5 lub x = 8c)
x =72 lub x =
32
d)
Odpowiedzi
508
Zadanie 2.6.27 (Wróć do zadania)OdpowiedźProstokąt ma wymiary 3 i 6.
Zadanie 2.6.28 (Wróć do zadania)Odpowiedź8 oraz 15
Zadanie 2.6.29 (Wróć do zadania)OdpowiedźPierwszy prostokąt ma wymiary 15 i 20, a drugi – 7 i 24.
RozwiązanieOznaczmy: x – długość krótszego boku pierwszego prostokąta, y – długość dłuższego boku pierw-
szego prostokąta. Wtedy boki drugiego prostokąta mają długości x − 8 oraz y + 4.
Ponieważ w każdym z tych prostokątów przekątna ma długość 25, to
x2 + y2 = 252 i (x − 8)2
+ (y + 4)2
= 252.
Przekształcamy drugie równanie do postaci x2 − 16x + 64 + y2 + 8y + 16 = 252. Ponieważ
x2 + y2 = 252, więc −16x + 8y + 80 = 0, stąd y = 2x − 10. Zatem x2 + (2x − 10)2
= 252.
Rozwiązujemy otrzymane równanie
x2 + 4x2 − 40x + 100 = 625
5x2 − 40x − 525 = 0
x2 − 8x − 105 = 0
Obliczamy wyróżnik trójmianu x2 − 8x − 105: Δ = (−8)2
− 4 ? 1 ? (−105) = 484 > 0. Wobec tego
otrzymane równanie ma dwa rozwiązania
x1 =8 − √484
2 = − 7 oraz x2 =8 + √484
2 = 15.
Zauważamy, że x1 jest sprzeczne z warunkami zadania. Gdy x = 15, to y = 2 ? 15 − 10 = 20. Wtedy
długości boków drugiego prostokąta to x − 8 = 7 oraz y + 4 = 24.
Zadanie 2.6.30 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Dla b = 5. Wtedy otrzymujemy równanie x2 − 7x + 10 = 0, którego rozwiązaniami są 2 oraz 5.
Zadanie 2.6.31 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Dla c = 7 (wtedy otrzymujemy równanie x2 − 10x + 21 = 0, którego rozwiązaniami są 3 oraz 7) lub
c = 0(wówczas otrzymujemy równanie x2 − 10x = 0, którego rozwiązaniami są 0 oraz 10).
Zadanie 2.6.32 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Dla b = 1. Wtedy otrzymujemy równanie x2 + 2x + 1 = 0, którego jedynym rozwiązaniem jest – 1.
Odpowiedzi
509
Zadanie 2.6.33 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Wyróżnik trójmianu x2 − (m + 3)x + 2(m + 1) jest równy Δ = (−(m + 3))2
− 4 ? 1 ? 2(m + 1), skąd
Δ = m2 − 2m + 1, a zatem Δ = (m − 1)2. Wobec tego dla każdej wartości m wyróżnik ten jest nie-
ujemny, więc równanie x2 − (m + 3)x + 2(m + 1) = 0 ma co najmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste.
To spostrzeżenie kończy dowód.
Uwaga. Można również zauważyć, że dla każdej wartości m rozwiązaniem równania
x2 − (m + 3)x + 2(m + 1) = 0jest 2: 22 − (m + 3) ? 2 + 2(m + 1) = 4 − 2m − 6 + 2m + 2 = 0. Stąd dla każ-
dej wartości m równanie x2 − (m + 3)x + 2(m + 1) = 0 ma co najmniej jedno rozwiązanie rzeczywi-
ste.
Zadanie 2.6.34 (Wróć do zadania)Odpowiedź
• sposób I
Wyróżnik trójmianu x2 − 7kx + 10k2 jest równy Δ = (−7k)2
− 4 ? 1 ? 10k2 = 9k2. Ponieważ k jest do-
datnią liczbą całkowitą, więc Δ > 0 i równanie ma dwa rozwiązania
x1 =7k − √9k2
2 =7k − 3k
2 = 2k oraz x2 =7k + √9k2
2 =7k + 3k
2 = 5k.
Każde z nich jest liczbą całkowitą. Koniec dowodu.
• sposób II
Przekształcamy dane równanie
x2 − 5kx − 2kx + 10k2 = 0
x(x − 5k) − 2k(x − 5k) = 0
(x − 5k)(x − 2k) = 0,
stąd x = 2k lub x = 5k. Ponieważ k jest dodatnią liczbą całkowitą, więc liczby 2k i 5k są całkowite i
różne.
To spostrzeżenie kończy dowód.
Odpowiedzi
510
Funkcja kwadratowa / NierównośćkwadratowaZadanie 2.7.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź
x2 > − 2
−2x2 < 1
Zadanie 2.7.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź– 2
−√2
Zadanie 2.7.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zbiorem rozwiązań nierówności (x + 2)(4 − x) > 0 są liczby należące do przedziału (−2, 4).
Zbiorem rozwiązań nierówności x2 < x są liczby należące do przedziału (0, 1).
Zadanie 2.7.4 (Wróć do zadania)Odpowiedźjest liczba 0
Zadanie 2.7.5 (Wróć do zadania)Odpowiedź
x2 + 4x − 21 < 0
x2 − 9x + 20 ≤ 0
6x2 − 13x − 8 ≤ 0
Zadanie 2.7.6 (Wróć do zadania)Odpowiedź
x2 − 36 < 0
x2 − 25 < 0
Zadanie 2.7.7 (Wróć do zadania)Odpowiedź5
Zadanie 2.7.8 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 2.7.9 (Wróć do zadania)Odpowiedźk = − 4
Odpowiedzi
511
Zadanie 2.7.10 (Wróć do zadania)Odpowiedź
(0, 9)
Zadanie 2.7.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź– 1
Zadanie 2.7.12 (Wróć do zadania)Odpowiedź
(−∞, − 4) ? ( 4, + ∞)
Zadanie 2.7.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź12
Zadanie 2.7.14 (Wróć do zadania)Odpowiedź
f(x) > g(x)
Zadanie 2.7.15 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 2.7.16 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 2.7.17 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 2.7.18 (Wróć do zadania)Odpowiedź
x ? (−1, 2)a)
x ? (−∞, −234 ? ? ? 5, + ∞)b)
x ? (−∞, 2) ? (2, + ∞)c)
x ? ? − 12 , 3 ?d)
x ? ? −5, 5 ?a)
x ? (−∞, 0) ? (8, + ∞)b)
x ? (−∞, − 32 ? ? ? 0, + ∞)c)
x ? (−√3, √3)d)
x ? (−∞, 9) ? (9, + ∞)a)
x = 3b)
nierówność nie ma rozwiązań rzeczywistychc)
każda liczba rzeczywista x spełnia tę nierównośćd)
x ? (−6, 4)a)
Odpowiedzi
512
Zadanie 2.7.19 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 2.7.20 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 2.7.21 (Wróć do zadania)Odpowiedź
x ? ? −1,53 ? . Liczby całkowite, które spełniają daną nierówność to – 1, 0 oraz 1.
Zadanie 2.7.22 (Wróć do zadania)Odpowiedź
x ? (−∞, −3 ? ? ? 135 , 2)
Zadanie 2.7.23 (Wróć do zadania)OdpowiedźPrzekształcamy nierówność w sposób równoważny.
25x2 + 36 ≥ 60x
25x2 − 60x + 36 ≥ 0
(5x − 6)2
≥ 0
Dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność (5x − 6)2
≥ 0, gdyż kwadrat każdej liczby
rzeczywistej jest nieujemny.
x ? (−∞, − 3) ? (8, + ∞)b)
x ? ? −4, 8 ?c)
x ? (−∞, −9 ? ? ? 2, + ∞)d)
x ? ? −4,12 ?a)
x ? (−2, − 113 )b)
x ? (−∞, − 412 ) ? (−3, + ∞)c)
x ? (−∞, −8 ? ? ?13 , + ∞)d)
x ? (−∞, − 212 ) ? (41
2 , + ∞)a)
x ? (−∞, − 23 ? ? ?
15 , + ∞)b)
x ? (−∞,14 ) ? (6, + ∞)c)
x ? ? − 56 , 2 ?d)
Odpowiedzi
513
Zadanie 2.7.24 (Wróć do zadania)OdpowiedźPrzekształcamy nierówność w sposób równoważny.
3x2
10 +56 ≥ x
9x2 + 25 ≥ 30x
9x2 − 30x + 25 ≥ 0
(3x − 5)2
≥ 0
Dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność (3x − 5)2
≥ 0.
Zadanie 2.7.25 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Przekształcamy nierówność w sposób równoważny do postaci 2x2 − 9x + 11 > 0.
Wystarczy więc pokazać, że trójmian kwadratowy y = 2x2 − 9x + 11 przyjmuje wyłącznie wartości
dodatnie.
Ponieważ współczynnik przy x2 tego trójmianu jest dodatni, więc wykresem tego trójmianu jest
parabola o ramionach skierowanych do góry .
Obliczamy wyróżnik trójmianu
Δ = (−9)2
− 4 ? 2 ? 11 = 81 − 88 = − 7 < 0.
Zatem trójmian nie ma miejsc zerowych. Trójmian kwadratowy y = 2x2 − 9x + 11 przyjmuje tylko
dodatnie wartości.
Wobec tego dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność 2x2 − 9x + 11 > 0. To koń-
czy dowód.
Zadanie 2.7.26 (Wróć do zadania)OdpowiedźPrzekształcamy nierówność w sposób równoważny.
5x2 + 10 > 14x
5x2 − 14x + 10 > 0
25x2 − 70x + 50 > 0
(5x − 7)2
+ 1 > 0
Odpowiedzi
514
Dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność (5x − 7)2
≥ 0, więc suma (5x − 7)2
+ 1
jest liczbą dodatnią.
Zadanie 2.7.27 (Wróć do zadania)OdpowiedźPrzekształcamy nierówność w sposób równoważny.
49x2 − 42xy + 9y2 ≥ 0
(7x − 3y)2
≥ 0
Otrzymana nierówność jest prawdziwa, gdyż kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny.
Zadanie 2.7.28 (Wróć do zadania)OdpowiedźPrzekształcamy nierówność w sposób równoważny.
2x2 + y2 + 8x + 16 − 2xy ≥ 0
x2 + 8x + 16 + y2 − 2xy + x2 ≥ 0
(x + 4)2
+ (y − x)2
≥ 0
Jeżeli liczby x i y są rzeczywiste, to prawdziwa jest każda z nierówności (x + 4)2
≥ 0 oraz (y − x)2
≥ 0,
a zatem również prawdziwa jest nierówność (x + 4)2
+ (y − x)2
≥ 0. To kończy dowód.
Zadanie 2.7.29 (Wróć do zadania)OdpowiedźPrzekształcamy nierówność w sposób równoważny.
x2 + 10y2 + 6xy ≥ 10y − 25
x2 + 10y2 + 6xy − 10y + 25 ≥ 0
x2 + 6xy + 9y2 + y2 − 10y + 25 ≥ 0
(x + 3y)2
+ (y − 5)2
≥ 0
Jeżeli liczby x i y są rzeczywiste, to prawdziwa jest każda z nierówności (x + 3y)2
≥ 0 oraz (y − 5)2
≥ 0
, a zatem również prawdziwa jest nierówność (x + 3y)2
+ (y − 5)2
≥ 0. To kończy dowód.
Odpowiedzi
515
Zadanie 2.7.30 (Wróć do zadania)OdpowiedźW przypadku, gdy a < 0 i b < 0, prawa strona nierówności jest ujemna, lewa dodatnia – zatem nie-
równość jest spełniona.
Podobnie, gdy b > a.
Dla a>b obie strony nierówności są dodatnie. Po podniesieniu obu stron nierówności do kwadratu
i przekształceniach otrzymujemy:
a2 + b2
2 ?a2 + b2 + 2ab
4 ,
co po przekształceniach prowadzi do nierówności zawsze prawdziwej
(a + b)2 ? 0.
Odpowiedzi
516
Funkcja kwadratowa / Wartośćnajmniejsza oraz wartość największafunkcji kwadratowej w przedzialedomkniętymZadanie 2.8.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź3
Zadanie 2.8.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź−16
Zadanie 2.8.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź5
Zadanie 2.8.4 (Wróć do zadania)Odpowiedź
– 23
Zadanie 2.8.5 (Wróć do zadania)Odpowiedźc = 5
Zadanie 2.8.6 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 2.8.7 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 2.8.8 (Wróć do zadania)Odpowiedź
wartość największa 6 dla x = − 1, wartość najmniejsza – 2 dla x = 1a)
wartość największa 1 dla x = 0, wartość najmniejsza – 3 dla x = 2b)
wartość największa 6 dla x = 5, wartość najmniejsza 1 dla x = 4c)
wartość największa 3 dla x = − 4, wartość najmniejsza −5 dla x = − 6a)
wartość największa 4 dla x = − 3, wartość najmniejsza 0 dla x = − 5b)
wartość największa 0 dla x = − 1, wartość najmniejsza −5 dla x = 0c)
wartość największa 4 dla x = − 4, wartość najmniejsza −4 dla x = − 2a)
wartość największa −1 dla x = − 3, wartość najmniejsza −5 dla x = − 1b)
wartość największa 31 dla x = 5, wartość najmniejsza 4 dla x = 2c)
Odpowiedzi
517
Zadanie 2.8.9 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 2.8.10 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 2.8.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 2.8.12 (Wróć do zadania)OdpowiedźWartość najmniejsza −10 dla x = 0.
Zadanie 2.8.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź4 x = 1
Zadanie 2.8.14 (Wróć do zadania)Odpowiedźwartość największa 4 dla x = 1
wartość najmniejsza − 498 dla x = − 5
4
Zadanie 2.8.15 (Wróć do zadania)Odpowiedźwartość największa 10 dla x = 0
wartość najmniejsza 7 dla x = − 1
Zadanie 2.8.16 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Funkcja f określona jest wzorem f(x) = x2 + x dla x ? ? −2, 3 ? .
Zadanie 2.8.17 (Wróć do zadania)Odpowiedź5
wartość największa −17 dla x = 0, wartość najmniejsza −31 dla x = − 1a)
wartość największa 1 dla x = 3, wartość najmniejsza −7 dla x = 1b)
wartość największa −7 dla x = 5, wartość najmniejsza −17 dla x = 6c)
wartość największa 18 dla x = − 1, wartość najmniejsza −14 dla x = 3a)
wartość największa −17 dla x = 4 oraz dla x = 6, wartość najmniejsza −18 dla x = 5b)
wartość największa 7 dla x = 10, wartość najmniejsza −14 dla x = 7c)
wartość największa 2 dla x = − 3, wartość najmniejsza −10 dla x = − 5a)
wartość największa 6 dla x = − 1, wartość najmniejsza 5 dla x = − 2 oraz x = 0b)
wartość największa 2 dla x = 1, wartość najmniejsza −19 dla x = 4c)
wartość największa 12 dla x = 3a)
wartość najmniejsza − 14 dla x = − 1
2b)
Odpowiedzi
518
RozwiązanieOznaczmy pierwszą z tych liczb przez x, a drugą przez y.
Wiadomo, że x + 2y = 5, skąd x = 5 − 2y. Sumę S = x2 + y2 kwadratów tych dwóch liczb zapisujemy
w zależności od zmiennej y : S(y) = (5 − 2y)2
+ y2. Funkcja S zapisana w postaci kanonicznej ma
wzór: S(y) = 5(y − 2)2
+ 5. Najmniejsza wartość funkcji S jest równa 5 i jest przyjmowana dla y = 2.
Oznacza to, że gdy y = 2 i x = 1, to suma kwadratów tych liczb jest najmniejsza i równa 5.
Zadanie 2.8.18 (Wróć do zadania)OdpowiedźNajwiększy iloczyn 56, gdy pierwsza z liczb jest równa 14, a druga jest równa 4.
RozwiązanieOznaczmy pierwszą z tych liczb przez x, a drugą przez y.
Wiadomo, że 2x + 7y = 56, skąd x =56 − 7y
2 . Iloczyn I = xy tych dwóch liczb zapisujemy w zależności
od zmiennej y: I(y) =56 − 7y
2 ∙ y = − 72 ∙ y ∙ (y − 8). Najmniejsza wartość funkcji I jest przyjmowana dla
y = 4 i jest równa I(4) = − 72 ∙ 4 ∙ (−4) = 56. Oznacza to, że gdy y = 4 i x = 14, to iloczyn tych liczb jest
największy i równa 56.
Zadanie 2.8.19 (Wróć do zadania)Odpowiedź1
RozwiązanieOznaczmy długość krawędzi podstawy prostopadłościanu przez x, długość krawędzi bocznej
przez y. Suma długości jego wszystkich krawędzi jest równa 12, więc 8x + 4y = 12, skąd y = 3 − 2x
. Pole P = 2x2 + 4xy powierzchni całkowitej prostopadłościanu zapisujemy w zależności od zmien-
nej x
P(x) = 2x2 + 4x(3 − 2x) = − 6x(x − 2),
gdzie x ? (0,32 ). Największa wartość funkcji P jest przyjmowana dla x = 1 i jest równa P(1) = 6. Za-
tem największe pole powierzchni całkowitej ma ten prostopadłościan, którego krawędź podstawy
ma długość 1 (ten prostopadłościan jest wtedy sześcianem, którego pole powierzchni całkowitej
jest równe 6).
Zadanie 2.8.20 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Największe możliwe pole klombu kwiatowego jest równe 576 m2, gdy wymiary działki będą wyno-
siły: 24 m i 25 m.
RozwiązanieRozwiązanie. Oznaczmy:przez x – długość boku działki, do którego przylega ścieżka,
przez y – długość drugiego boku.
Obwód ogrodzonej ma być równy 98 m, czyli 2x + 2y = 98, skąd y = 49 − x. Pole P = (y − 1) ∙ x pole
powierzchni klombu zapisujemy w zależności od zmiennej x. P(x) = (48 − x) ∙ x, gdzie x ? (0,48).P(x) przyjmuje wartość największą dla x = 24 i wynosi 576. Oznacza to, że największe możliwe pole
powierzchni klombu kwiatowego jest równe 576 m2, gdy cała działka będzie miała wymiary: 24 m
i 25 m, przy czym ścieżka przylega do krótszego boku.
Odpowiedzi
519
Zadanie 2.8.21 (Wróć do zadania)Odpowiedź1 zł 80 gr
RozwiązaniePrzyjmijmy, że cenę bochenka chleba obniżano x razy o 5 groszy. Wtedy cena sprzedaży jednego
bochenka to (2 − 0,05x) zł, co oznacza, że zysk właściciela sklepu to (0,7 − 0,05x) zł. Z obserwacji
wynika, że przy tak ustalonej cenie dziennie zostanie sprzedanych (60 + 10x) bochenków chleba.
Zatem dzienny zysk, w złotych, właściciela sklepu jest równy ( 0,7 − 0,05x)(10x + 60), gdzie x jest
dodatnią liczbą całkowitą.
Rozpatrzmy funkcję f określoną wzorem f(x) = (0,7 = 0,05x)(10x + 60) = − 12 (x + 6)(x − 14).
Dla x = 4 funkcja f osiąga wartość największą, równą f(4) = 50. Dla tej wartości x spełnione są wa-
runki zadania. Wynika z tego, że sprzedawca osiągnie największy dzienny zysk równy 50 zł, kiedy
ustali, że cena sprzedaży jednego bochenka chleba będzie równa 1zł 80 gr.
Zadanie 2.8.22 (Wróć do zadania)OdpowiedźZ zależności a + b = 10 wyznaczamy b = 10 − a. Zapisujemy iloczyn I liczb a i b jako funkcję zmien-
nej a: I(a) = a ∙ (10 − a) = − a ∙ (a − 10), gdzie a ? (0,10).Dla a = 5 funkcja I przyjmuje wartość największą równą 25.
Oznacza to, że jeśli a > 0 i b > 0 oraz a + b = 10, to ab ≤ 25.
Zadanie 2.8.23 (Wróć do zadania)OdpowiedźZ zależności 2a + b = 6 wyznaczamy b = 6 − 2a. Zapisujemy iloczyn I liczb a i b jako funkcję zmien-
nej a
I(a) = a ∙ (6 − 2a) = − 2a ∙ (a − 3),
gdzie a ? (0, 3).Dla a =
32 funkcja I przyjmuje wartość największą równą
92 .
Oznacza to, że jeśli a > 0 i b > 0 oraz 2a + b = 6, to ab ≤ 92 .
Zadanie 2.8.24 (Wróć do zadania)Rozwiązanie
Z zależności 3a + 5b = 30 wyznaczamy b =30 − 3a
5 . Zapisujemy iloczyn I liczb a i b jako funkcję
zmiennej a
I(a) = a ∙ 30 − 3a5 = − 3
5a ∙ (a − 10),
gdzie a ? (0, 10).Dla a = 5 funkcja I przyjmuje wartość największą równą 15.
Oznacza to, że jeśli a > 0 i b > 0 oraz 3a + 5b = 30, to ab ≤ 15.
Zadanie 2.8.25 (Wróć do zadania)OdpowiedźZ zależności a + b = 8 wyznaczamy b = 8 − a. Zapisujemy sumę kwadratów S liczb a i b jako funkcję
zmiennej a
Odpowiedzi
520
S(a) = a2 + 8(8 − a)2
= 2(a − 4)2
+ 32
gdzie a ? (0, 8).Dla a = 4 funkcja S przyjmuje wartość najmniejszą równą 32.
Oznacza to, że jeśli a > 0 i b > 0 oraz a + b = 8, to a2 + b2 ≥ 32.
Zadanie 2.8.26 (Wróć do zadania)OdpowiedźZ zależności a + 3b = 20 wyznaczamy a = 20 − 3b. Zapisujemy sumę kwadratów S liczb a i b jako
funkcję zmiennej b S(b) = (20 − 3b)2
+ b2 = 10(b − 6)2
+ 40,
gdzie b ? (0, 623 ).
Dla b = 6 funkcja S przyjmuje wartość najmniejszą równą 40.
Oznacza to, że jeśli a > 0 i b > 0 oraz a + 3b = 20, to a2 + b2 ≥ 40.
Zadanie 2.8.27 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Z zależności 5a + 2b = 58 wyznaczamy a =58 − 2b
5 . Zapisujemy sumę kwadratów S liczb a i b jako
funkcję zmiennej b S(b) = (58 − 2b5 )
2+ b2 =
2925 (b − 4)
2+ 116, gdzie b ? (0, 29).
Dla b = 4 funkcja S przyjmuje wartość najmniejszą równą 116.
Oznacza to, że jeśli a > 0 i b > 0 oraz 5a + 2b = 58, to a2 + b2 ≥ 116.
Odpowiedzi
521
Funkcja kwadratowa / Zastosowaniafunkcji kwadratowej / Zadania tekstoweprowadzące do równań kwadratowych –prędkość, droga, czasZadanie 2.9.2.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź18 i 19 oraz – 19 i – 18
Szkic rozwiązania. Oznaczamy mniejszą z tych liczb przez x, stąd druga to x + 1. Otrzymujemy rów-
nanie x2 + (x + 1)2
= 685, które ma dwa rozwiązania x1 = 18 i x2 = − 19.
Zadanie 2.9.2.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź21 boków
Szkic rozwiązania. Oznaczamy liczbę boków wielokąta przez n. Wtedy liczba jego przekątnych ton(n − 3)
2 .
Otrzymujemy równanie n +n(n − 3)
2 = 210, które ma dwa rozwiązania n1 = 21 i n2 = − 20. Drugie z
tych rozwiązań odrzucamy.
Zadanie 2.9.2.3 (Wróć do zadania)OdpowiedźP = 240
Szkic rozwiązania. Oznaczamy długość krawędzi podstawy prostopadłościanu przez x. Wtedy kra-
wędź boczna ma długość 4x − 1.
Otrzymujemy równanie 2x2 + 4x(4x − 1) = 272, które ma dwa rozwiązania x1 = 4 oraz x2 = − 349 .
Drugie z tych rozwiązań odrzucamy.
Zadanie 2.9.2.4 (Wróć do zadania)Odpowiedź1,50 zł
Szkic rozwiązania. Oznaczamy liczbę zakupionych teczek przez x, a cenę jednej teczki przez y (w
złotych).
Otrzymujemy równania xy = 435 oraz (x + 10)(y − 0,05) = 435, stąd xy + 10y − 120x − 1
2 = 435.
Uwzględniając xy = 435, otrzymujemy y =1
200x +1
20 , stąd x ? ( 1200x +
120 ) = 435, a więc
x2 + 10x − 87 000 = 0. To równanie ma dwa rozwiązania x1 = 290 i x2 = − 300. Drugie z tych rozwi-
ązań odrzucamy.
Zadanie 2.9.2.5 (Wróć do zadania)Odpowiedź3 godziny
Szkic rozwiązania. Oznaczamy przez x – liczbę kopert produkowanych w ciągu minuty przez
Odpowiedzi
522
ten automat, a przez y – czas pracy (w minutach). Otrzymujemy równania xy = 7200 oraz
(x + 8)(y − 30) = 7200, stąd xy − 30x + 8y − 240 = 7200. Uwzględniając xy = 7200, otrzymujemy
y =154 x + 30, stąd x ? (15
4 x + 30) = 7200. Zatem x2 + 8x − 1920 = 0. To równanie ma dwa rozwiązania
x1 = 40 i x2 = − 48. Drugie z tych rozwiązań odrzucamy.
Zadanie 2.9.2.6 (Wróć do zadania)Odpowiedź
48 km / h
Szkic rozwiązania. Oznaczamy przez x – średnią prędkość samochodu, przez y – czas, w którym
samochód pokonał 240 km. Otrzymujemy równania xy = 240 oraz (x + 12)(y − 1) = 240, stąd
xy + 12y − x − 12 = 240. Uwzględniając xy = 240, otrzymujemy x = 12y − 12. Zatem
(12y − 12) ? y = 240, co oznacza, że y2 − y − 20 = 0. To równanie ma dwa rozwiązania y1 = 5 i
y2 = − 4. Drugie z tych rozwiązań odrzucamy.
Zadanie 2.9.2.7 (Wróć do zadania)Odpowiedź
50 km / h
Szkic rozwiązania. Oznaczamy przez x – średnią prędkość samochodu, przez y – czas, w którym
samochód pokonał 210 km. Otrzymujemy równania xy = 210 oraz (x + 10)(y − 4260 ) = 210, stąd
xy + 10y − 710x − 7 = 210. Uwzględniając xy = 210, otrzymujemy y =
7100x +
710 . Zatem
( 7100x − 7
10 ) ? x = 210, co oznacza, że x2 − 10x − 3000 = 0. To równanie ma dwa rozwiązania
x1 = − 60 i x2 = 50. Pierwsze z tych rozwiązań odrzucamy.
Zadanie 2.9.2.8 (Wróć do zadania)Odpowiedź
24 km / h
Szkic rozwiązania. Oznaczamy przez x – średnią prędkość rowerzysty, przez y – czas, w którym
rowerzysta pokonał 72 km. Otrzymujemy równania xy = 72 oraz (x + 6)(y − 3660 ) = 72, skąd
xy + 6y − 35x − 18
5 = 72. Uwzględniając xy = 72, otrzymujemy y =1
10x +35 . Zatem x ? ( 1
10x +35 ) = 72, co
oznacza, że x2 + 6x − 720 = 0. To równanie ma dwa rozwiązania x1 = 24 oraz x2 = − 30. Drugie z
tych rozwiązań odrzucamy.
Zadanie 2.9.2.9 (Wróć do zadania)Odpowiedź
24 km / h
Oznaczamy przez x – planowaną średnią prędkość rowerzysty, przez y – czas, w którym pokonał
on pierwsze 60 km. Otrzymujemy równania xy = 60 oraz (x + 6)(4,5 − y) = 60, stąd
4,5x − 6y + 27 − xy = 60. Uwzględniając xy = 60, otrzymujemy 4,5x − 6y − 93 = 0, stąd x =43y +
623
. Zatem (43y +
623 ) ? y = 60, co oznacza, że 2y2 + 31y − 90 = 0. To równanie ma dwa rozwiązania
y1 = 2,5 i y2 = − 18. Drugie z tych rozwiązań odrzucamy.
Odpowiedzi
523
Zadanie 2.9.2.10 (Wróć do zadania)OdpowiedźPierwszy plac: 68 m, 51 m, drugi plac: 75 m, 40 m.
Szkic rozwiązania. Oznaczamy przez x i y odpowiednio długość i szerokość pierwszego placu za-
baw.
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy równania x2 + y2 = 852 oraz
(x + 7)2
+ (y − 11)2
= 852, stąd x2 + 14x + 49 + y2 − 22y + 121 = 852. Uwzględniając x2 + y2 = 852,
otrzymujemy y =7
11x +8511 . Zatem x2 + ( 7
11x +8511 )
2= 852, co oznacza, że x2 + 7x − 5100 = 0. To rów-
nanie ma dwa rozwiązania x1 = 68 i x2 = − 75. Drugie z tych rozwiązań odrzucamy.
Odpowiedzi
524
Wielomiany. Funkcje wymierne /Pierwiastki równańZadanie 3.1.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź
x3 + 2x2 − 2x + 2
Zadanie 3.1.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź0
Zadanie 3.1.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź
W(x) = x4 + 2x3
Zadanie 3.1.4 (Wróć do zadania)Odpowiedź
a = − 377
Zadanie 3.1.5 (Wróć do zadania)Odpowiedź
W(100) = W( − 100)Zadanie 3.1.6 (Wróć do zadania)Odpowiedź
W(x) = − x4
− x2 − 2
Zadanie 3.1.7 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Q(x) = − x4 + 2x3 − 8x2
Zadanie 3.1.8 (Wróć do zadania)Odpowiedź
16 − 81x4
Zadanie 3.1.9 (Wróć do zadania)Odpowiedź
W(x) − V(x) = x7 + 5x3
W(x) + V(x) = 5x7 + 2x3 − 3x5
Zadanie 3.1.10 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Funkcja P(x) = 7x jest wielomianem stopnia 1.
Zadanie 3.1.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź
−4x7 + 10x6 − 3x5 − 2x4
Odpowiedzi
525
Rozwiązanie
W(x) ? V(x) = (−4x5 + 2x4 + x3)(x2 − 2x) =
−4x5 ? x2 − 4x5 ? (−2x) + 2x4 ? x2 + 2x4 ? (−2x) + x3 ? x2 + x3 ? (−2x) =
−4x7 + 8x6 + 2x6 − 4x5 + x5 − 2x4 = − 4x7 + 10x6 − 3x5 − 2x4.
Zadanie 3.1.12 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Rozwiązanie
Zadanie 3.1.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź34
Rozwiązanie
W(x) − 3V(x) + 2P(x) = (3x5 − x4 + 6x2) − 3(x5 + x4 + 2x) + 2(3x4 − 3x + 7) =
3x5 − x4 + 6x2 − 3x5 − 3x4 − 6x + 6x4 − 6x + 14 = 3x5 − x4 + 6x2 − 3x5 − 3x4 − 6x + 6x4 − 6x + 14 =
2x4 + 6x2 − 12x + 14
Podstawiając w miejsce x liczbę −1, otrzymujemy
2 ? (−1)4
+ 6 ? (−1)2
− 12 ? (−1) + 14 = 2 + 6 + 12 + 14 = 34
−x3 + 7a)
−5x3 − 6x2 + 7b)
−12x3 − 15x2 + 14c)
−6x6 − 15x5 − 9x4 + 14x3 + 21x2d)
P(x) + Q(x) = − 3x3 − 3x2 + 7 + 2x3 + 3x2 = 7 − x3a)
P(x) − Q(x) = (−3x3 − 3x2 + 7) − (2x3 + 3x2) = −3x3 − 3x2 + 7 − 2x3 − 3x2 = − 5x3 − 6x2 + 7b)
2P(x) − 3Q(x) = 2(−3x3 − 3x2 + 7) − 3(2x3 + 3x2) = −6x3 − 6x2 + 14 − 6x3 − 9x2 =
= − 12x3 − 15x2 + 14
c)
P(x) ? Q(x) = (−3x3 − 3x2 + 7)(2x3 + 3x2) =d)
−6x6 − 6x5 + 14x3 − 9x5 − 9x4 + 21x2 = = − 6x6 − 15x5 − 9x4 + 14x3 + 21x2e)
Odpowiedzi
526
Zadanie 3.1.14 (Wróć do zadania)Odpowiedź
W(x) = V(x) ? P(x) − 2Q(x) = (2x − 3) ? (x2 + 3) − 2(x3 − 3x2 − 7) =
= 2x3 − 3x2 + 6x − 9 − 2x3 + 6x2 + 14 = 3x2 + 6x + 5. Jest to wielomian drugiego stopnia, ponieważ
najwyższą potęgą w jakiej występuje x, jest 2.
Zadanie 3.1.15 (Wróć do zadania)Odpowiedźa oraz b
Rozwiązanie
Podstawiamy w miejsce x liczbę a = 0 i otrzymujemy W(0) = 03 − 7 ? 02 = 0. Zatem liczba 0 jest
pierwiastkiem wielomianu W(x).Podstawiamy w miejsce x liczbę b = 7 i otrzymujemy W(7) = 73 − 7 ? 72 = 0. Liczba 7 jest pierwiast-
kiem wielomianu W(x).Podstawiamy w miejsce x liczbę c = 4 i otrzymujemy W(4) = 43 − 7 ? 42 = 64 − 112 = − 48, więc licz-
ba 4 nie jest pierwiastkiem wielomianu W(x).
Zadanie 3.1.16 (Wróć do zadania)Odpowiedźa = 3 lub a = − 3
Rozwiązanie
Wartość wielomianu dla argumentu x = 2 jest równa 1, czyli 25 − 5 ? 23 + (a2 − 1)2 − 7 = 1. Zatem
32 − 5 ? 8 + 2a2 − 2 − 7 = 1. Po uporządkowaniu otrzymujemy równanie 2a2 = 18, stąd a2 = 9. Osta-
tecznie a = 3 lub a = − 3.
Zadanie 3.1.17 (Wróć do zadania)Odpowiedźa = √3 lub a = − √3
Rozwiązanie
Wartość wielomianu P(x) dla argumentu −1 jest równa
P(−1) = 5 ? (−1)4
+ 7 ? (−1) = 5 − 7 = − 2
Zatem szukamy wartości parametru a, dla której W(−1) = − 2. Wstawiając w miejsce x argument
−1, otrzymujemy
W(−1) = a ? ( − 1)3
− (5 − a) ? ( − 1)2
− a2 ? (−1) = − 2
Przekształcając to równanie równoważnie, mamy −a − 5 + a + a2 + 2 = 0, czyli a2 − 3 = 0. Korzysta-
jąc ze wzoru skróconego mnożenia, otrzymujemy (a − √3)(a + √3) = 0, stąd ostatecznie odczytuje-
my dwa rozwiązania a = √3 lub a = − √3.
Zadanie 3.1.18 (Wróć do zadania)Odpowiedź
• sposób I
Odpowiedzi
527
Zapiszmy oba wielomiany w postaci sumy
P(x) = (x2 − 9)(x2 − 16) = x4 − 9x2 − 16x2 + 144 = x4 − 25x2 + 144 oraz
Q(x) = (x2 − x − 12)(x2 + x − 12) = x4 − x3 − 12x2 + x3 − x2 − 12x − 12x2 + 12x + 144 = x4 − 25x2 + 144.
Zauważmy, że P(x) oraz Q(x) opisane są tym samym wzorem. Dla dowolnej liczby rzeczywistej x
przyjmują więc tę samą wartość.
• sposób II
Zapiszmy oba wielomiany w postaci iloczynu czynników liniowych. Korzystając ze wzoru na róż-
nicę kwadratów, mamy P(x) = (x − 3)(x + 3)(x − 4)(x + 4). Wielomian Q(x) jest iloczynem dwóch trój-
mianów kwadratowych. Każdy z nich przedstawimy w postaci iloczynowej. Wyróżnik trójmianu
W(x) = x2 − x − 12 jest równy ∆ = 1 − 4 ? (−12) = 49, czyli trójmian ten ma dwa miejsca zerowe
x =1 − 7
2 = − 3 oraz x =1 + 7
2 = 4. Wyróżnik trójmianu x2 − x − 12 jest równy ∆ = 1 − 4 ? (−12) = 49,
czyli trójmian ten ma również dwa miejsca zerowe x =−1 − 7
2 = − 4 oraz x =−1 + 7
2 = 3. Ostatecznie
więc wielomian Q(x) możemy zapisać w postaci
Q(x) = (x + 3)(x − 4)(x + 4)(x − 3) = (x − 3)(x + 3)(x − 4)(x + 4)
Zauważmy, że P(x) oraz Q(x) opisane są tym samym wzorem, przyjmują więc tę samą wartość dla
dowolnej liczby rzeczywistej x.
Zadanie 3.1.19 (Wróć do zadania)Odpowiedź
W(x) = − x4 + 6x2 − 9 = − (x4 − 10x2 + 25) = − (x2 − 5)2
≤ 0
Zadanie 3.1.20 (Wróć do zadania)Odpowiedź
W(x) = − x4 + 6x2 − 9 = − (x4 − 6x2 + 9) = − (x2 − 3)2
≤ 0. Równość zachodzi tylko wtedy, gdy
x2 − 3 = 0. Równanie to jest równoważne równaniu x2 = 3, które ma dwa rozwiązania x1 = √3 oraz
x2 = − √3. Zauważmy, że dla obu rozwiązań | x | = √3. Zatem, gdy | x | ≠ √3 wartość jest licz-
bą ujemną.
Odpowiedzi
528
Wielomiany. Funkcje wymierne /Równania stopnia trzeciego w postaciiloczynuZadanie 3.2.5 (Wróć do zadania)Odpowiedź3 rozwiązania
Zadanie 3.2.6 (Wróć do zadania)Odpowiedźx1 = x2 + x3
Zadanie 3.2.7 (Wróć do zadania)Odpowiedź
x(x − 3)(2x + 1) = 0
Zadanie 3.2.8 (Wróć do zadania)Odpowiedź
(x2 − 2x − 3)(x − 3) = 0
Zadanie 3.2.9 (Wróć do zadania)Odpowiedźtrzy rozwiązania x = − 3, x = − 1, x = 3
Zadanie 3.2.10 (Wróć do zadania)Odpowiedź
W(x) = (x − 3)(x2 − x + 1)Zadanie 3.2.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź
(√3x − 1)(√3x + 1)x2 = 0
Zadanie 3.2.12 (Wróć do zadania)Odpowiedź
−2x2(2x − 3)(x + 3) = 0
Zadanie 3.2.13 (Wróć do zadania)Odpowiedźtrzy
Zadanie 3.2.14 (Wróć do zadania)Odpowiedź
x = 6a)
x = − 4b)
Odpowiedzi
529
Rozwiązanie
Zadanie 3.2.15 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Rozwiązanie
Zadanie 3.2.16 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Rozwiązanie
2x3 − 432 = 0
Przekształcając równanie równoważnie, otrzymujemy
2x3 = 432 x3 = 216 Jedyną liczbą spełniającą to równanie jest liczba x =3√216 = 6.
a)
5x3
2 + 160 = 0
5x3 + 320 = 0 x3 = − 64 Jedyną liczbą spełniającą to równanie jest x =3√−64 = − 4.
b)
x = 2 oraz x = − 2a)
x1 = √3 lub x2 = − √3b)
brak rozwiązańc)
Równanie możemy zapisać w postaci 3x4 = 48 x4 = 16 To równanie ma dwa rozwiązania
x1 =4√16 = 2 oraz x2 = − 4√16 = − 2.
a)
x6 − 27 = 0
x6 = 27
Istnieją dwie liczby spełniające to równanie x2 =6√27 =
6√33 = √3 oraz x2 = − √3.
b)
Przekształcamy równanie 5x8 + 20 = 0 kolejno do postaci
5x8 = − 20 x8 = − 4 Równanie to jest sprzeczne.
c)
x1 = 0, x2 = − 3, x3 =13
a)
x = − 12
b)
x1 =34 , x2 = − 3
4 , x3 = √55 , x4 = − √5
5c)
Ponieważ lewa strona tego równania jest iloczynem trzech czynników, a prawa jest równa
zero, to przynajmniej jeden z czynników tego wielomianu jest równy zero. Mamy więc
x2 = 0 lub (x + 3)2
= 0 lub 3x − 1 = 0. Zatem kolejno otrzymujemy x = 0, x = − 3 lub x =13 .
a)
Ponownie lewa strona równania jest iloczynem dwóch czynników, a prawa jest równa zero.
Ponieważ przynajmniej jeden z tych czynników jest równy zero, więc 4x2 + 4x + 1 = 0 lub
x2 + 10 = 0. Pierwsze z tych równań możemy zapisać za pomocą wzoru na kwadrat sumy w
postaci (2x + 1)2
= 0, stąd otrzymujemy 2x + 1 = 0 i ostatecznie x = − 12 . Drugie równanie
b)
Odpowiedzi
530
Zadanie 3.2.17 (Wróć do zadania)Odpowiedźm = − 9
RozwiązanieLewa strona równania jest iloczynem dwóch czynników stopnia pierwszego, a prawa jest równa
zero. Żeby iloczyn równał się zero, to x − 3 = 0 lub 3x + m = 0. Zatem x = 3 lub x = − m3 . Ponieważ
równanie ma mieć tylko jedno rozwiązanie, więc − m3 = 3, stąd m = − 9.
Zadanie 3.2.18 (Wróć do zadania)Odpowiedź3
Rozwiązanie
Lewa strona równania jest iloczynem dwóch czynników, a prawa jest równa zero, więc x4 − 16 = 0
lub x2 + 3x − 10 = 0. Pierwsze równanie zapisujemy w postaci x4 = 16. To równanie ma dwa
rozwiązania x =4√16 = 2 oraz x = − 2. Drugie równanie jest równaniem kwadratowym, którego
∆ = 9 + 4 ? 10 = 49 > 0. Zatem równanie to ma dwa rozwiązania x =−3 − 7
2 = − 5 lub x =−3 + 7
2 = 2.
Ostatecznie równanie zapisane w zadaniu ma trzy rozwiązania x = 2, x = − 2 lub x = − 5.
Zadanie 3.2.19 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Rozwiązanie
przekształcamy do równania x2 = − 10 i zauważamy, że jest to równanie sprzeczne. Osta-
tecznie jedynym rozwiązaniem jest liczba x = − 12 .
(16x2 − 9)(25x4 − 1) = 0, czyli 16x2 − 9 = 0 lub 25x4 − 1 = 0. Pierwsze równanie przekształca-
my do równania x2 =9
16 , które ma dwa rozwiązania x = √ 916 =
34 lub x = − 3
4 . Drugie równa-
nie przekształcamy do równania x4 =1
25 , które ma dwa rozwiązania x =4√ 1
25 =4√ 1
52 =1
√5 = √55
lub x = − √55 .
c)
x = 0 lub x = 4a)
x = 0, x = 1 lub x = − 12
b)
x = 0c)
Wyłączamy przed nawias wyrażenie x2 i otrzymujemy x2(x2 − 8x + 16) = 0. Ponieważ lewa
strona równania jest zapisana w postaci iloczynu, a prawa jest równa zero, równanie może-
my zapisać w postaci dwóch warunków x2 = 0 lub x2 − 8x + 16 = 0. Pierwszy warunek jest
spełniony dla x = 0, drugi możemy zapisać w postaci równoważnej, korzystając ze wzoru na
kwadrat różnicy (x − 4)2
= 0, co z kolei jest równoważne postaci x − 4 = 0, stąd x = 4. Równa-
nie ma więc dwa rozwiązania x1 = 0 oraz x2 = 4.
a)
Odpowiedzi
531
∆ = (−5)2
− 4 ? 7 = 25 − 28 < − 0
Ponieważ ∆ < 0 równanie nie posiada rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.
Zadanie 3.2.20 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Rozwiązanie
W równaniu 2x3 − x2 − x = 0 wyłączamy przed nawias x i otrzymujemy x(2x2 − x − 1) = 0, co
możemy zapisać w postaci dwóch warunków x = 0 lub 2x2 − x − 1 = 0. Dla drugiego równa-
nia obliczamy ∆ = 1 − 4 ? 2 ? (−1) = 9. Ponieważ delta jest większa od zera, to równanie
kwadratowe ma dwa rozwiązania x =1 − 3
4 = − 12 oraz x =
1 + 34 = 1. Równanie ma więc trzy
rozwiązania x = 0, x = − 12 lub x = 1.
b)
W równaniu x4 − 5x3 + 7x2 = 0 wyłączamy przed nawias x2 i otrzymujemy x2(x2 − 5x + 7) = 0.
Ponieważ lewa strona równania jest iloczynem dwóch czynników, a prawa jest równa zero,
to równanie jest równoważne dwóm równaniom x2 = 0 lub x2 − 5x + 7 = 0. Z pierwszego
mamy x = 0, zaś drugie jest równaniem kwadratowym, które rozwiązujemy, obliczając
c)
x = − 2, x = 1 lub x = − 1a)
x = − 6 lub x = 0b)
x = − 43 , x = √2 lub x = − √2c)
x = 3, x = 2 lub x = − 2d)
Z dwóch pierwszych składników wyłączamy przed nawias x2, a z dwóch ostatnich −1 i otrzy-
mujemy równanie x2(x + 2) − (x + 2) = 0. W obu składnikach występuje wyrażenie x + 2, mo-
żemy więc wyłączyć je przed nawias (x + 2)(x2 − 1) = 0. Wyrażenie x2 − 1 zapisujemy w posta-
ci iloczynu, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów (x + 2)(x − 1)(x + 1) = 0. Ponieważ
równanie to jest zapisane w postaci iloczynu, który jest równy zero, więc możemy je zapisać
równoważnie jako trzy równania x + 2 = 0 lub x − 1 = 0 lub x + 1 = 0. Ostatecznie otrzymali-
śmy trzy rozwiązania x = − 2, x = 1 lub x = − 1.
a)
Z dwóch pierwszych składników wyłączamy przed nawias x3, a z dwóch następnych x i
otrzymujemy równanie x3(x + 6) + x(x + 6) = 0. W obu składnikach występuje czynnik x + 6,
wyłączamy go przed nawias i otrzymujemy iloczyn równy zero (x + 6)(x3 + x) = 0. Po wyłącze-
niu z drugiego czynnika x mamy (x + 6)x(x2 + 1) = 0, stąd x + 6 = 0 lub x = 0 lub x2 + 1 = 0.
Pierwsze równanie ma rozwiązanie x = − 6, trzecie jest równaniem sprzecznym. Ostatecz-
nie wyjściowe równanie ma dwa rozwiązania x = − 6 lub x = 0.
b)
Odpowiedzi
532
Zadanie 3.2.21 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Wyłączamy przed nawias z dwóch pierwszych składników sumy wyrażenie x2, natomiast z dwóch
ostatnich −9. Otrzymujemy równanie x2(x + 2) − 9(x + 2) = 0. W obu iloczynach występuje czynnik
x + 2, wyłączamy go przed nawias i równanie zapisujemy w postaci (x + 2)(x2 − 9) = 0. Korzystając
ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów, przekształcamy je do postaci
(x + 2)(x − 3)(x + 3) = 0. Skoro iloczyn jest równy zero, więc przynajmniej jeden z czynników jest ze-
rem, zatem x + 2 = 0 lub x − 3 = 0 lub x + 3 = 0. Rozwiązaniem równania są więc liczby x = − 2 ,
x = 3 oraz x = − 3. Dwa obliczone pierwiastki są ujemne i jeden dodatni, czyli ich iloczyn jest liczbą
dodatnią.
Zadanie 3.2.22 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Równanie jest równoważne równaniu x50 + x2 − 50x48 − 50 = 0. Z pierwszych dwóch składników
wyłączamy przed nawias x2, a z dwóch kolejnych −50 i otrzymujemy x2(x48 + 1) − 50(x48 + 1) = 0. Po
wyłączeniu wyrażenia x48 + 1 otrzymujemy równanie, którego lewa strona jest iloczynem dwóch
składników, a prawa strona jest równa zero (x48 + 1)(x2 − 50) = 0, stąd x48 + 1 = 0 lub x2 − 50 = 0
. Pierwsze równanie jest sprzeczne, ponieważ x48 ≥ 0, czyli x48 ≠ − 1. Drugie równanie ma dwa
rozwiązania x = √50 = √2 ? 25 = 5√2 lub x = − 5√2. Zatem suma rozwiązań równania wynosi
5√2 + (−5√2) = 0, jest więc liczbą całkowitą.
Zadanie 3.2.23 (Wróć do zadania)Odpowiedź
P(x) = x3 − 2
Rozwiązanie
Zapiszmy wielomian V(x) w postaci iloczynu. W tym celu z pierwszych dwóch składników wyłącza-
my przed nawias x3, a z dwóch kolejnych −2 . Otrzymujemy wówczas
Z dwóch pierwszych składników wyłączamy przed nawias x2, a z dwóch kolejnych −2 i otrzy-
mujemy równanie x2(3x + 4) − 2(3x + 4) = 0. Wspólnym czynnikiem jest 3x + 4, zatem
(3x + 4)(x2 − 2) = 0. Wyrażenie w drugim nawiasie zapisujemy, korzystając ze wzoru na różni-
cę kwadratów (3x + 4)(x − √2)(x + √2) = 0, stąd 3x + 4 = 0 lub x − √2 = 0 lub x + √2 = 0. Otrzy-
maliśmy trzy rozwiązania x = − 43 , x = √2 lub x = − √2.
c)
Z dwóch pierwszych składników wyłączamy x2, a z dwóch następnych −4 i otrzymujemy
równanie x2(x − 3) − 4(x − 3) = 0. Po wyłączeniu wspólnego czynnika x − 3 mamy
(x − 3)(x2 − 4) = 0. Drugi czynnik zapisujemy w postaci iloczynu, korzystając ze wzoru na róż-
nicę kwadratów (x − 3)(x − 2)(x + 2) = 0 i otrzymujemy trzy rozwiązania równania x = 3, x = 2
lub x = − 2.
d)
Odpowiedzi
533
V(x) = x5 − 4x3 − 2x2 + 8 = x3(x2 − 4) − 2(x2 − 4)Wspólnym czynnikiem jest x2 − 4, który wyłączamy przed nawias i wówczas mamy
V(x) = (x2 − 4)(x3 − 2) = W(x) ? (x3 − 2)
Zatem wielomian W(x) trzeba pomnożyć przez wielomian P(x) = x3 − 2.
Zadanie 3.2.24 (Wróć do zadania)OdpowiedźSkoro liczba 2 jest rozwiązaniem tego równania, więc
(2 − 2)2(2 + 7) − 2(22 − 2a + a) = 0
Pierwszy składnik sumy jest równy 0, więc równanie sprowadza się do postaci 4 − a = 0, stąd a = 4
.
Równanie ma więc postać (x − 2)2(x + 7) − x(x2 − 4x + 4) = 0. Korzystając ze wzoru skróconego mno-
żenia, przekształcamy je do postaci (x − 2)2(x + 7) − x(x − 2)
2= 0, a następnie wyłączamy wspólny
czynnik (x − 2)2
przed nawias i otrzymujemy (x − 2)2(x + 7 − x) = 0, a ostatecznie 7(x − 2)
2= 0. Jest
to równanie, którego jedynym rozwiązaniem jest liczba 2.
Odpowiedzi
534
Wielomiany. Funkcje wymierne /Wyrażenia wymierne. RównaniawymierneZadanie 3.3.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź
2x + 3
(x + 1)(x + 2)
Zadanie 3.3.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź– 11
Zadanie 3.3.4 (Wróć do zadania)Odpowiedźma dokładnie jedno rozwiązanie
Zadanie 3.3.5 (Wróć do zadania)Odpowiedź3
Zadanie 3.3.6 (Wróć do zadania)Odpowiedź
x =3yz2 − z
Zadanie 3.3.7 (Wróć do zadania)Odpowiedź1
Zadanie 3.3.8 (Wróć do zadania)Odpowiedź– 4
Zadanie 3.3.9 (Wróć do zadania)Odpowiedźnie ma rozwiązań
Zadanie 3.3.10 (Wróć do zadania)Odpowiedź
x = − 33a)
x = − 172
b)
x = 2c)
x = 13d)
Odpowiedzi
535
Rozwiązanie
Zadanie 3.3.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Rozwiązanie
Przekształcamy równanie: x(x + 3) = (x − 1)(x + 1), stąd x2 + 3x = x2 − 1, a więc x = − 13 . Dla tej war-
tości x obie strony równania są określone.
Przekształcamy równanie: (8x + 9)(x + 3) = (11 − 4x)(7 − 2x), stąd 8x2 + 33x + 27 = 8x2 − 50x + 77, a
więc x =5083 . Dla tej wartości x obie strony równania są określone.
Przekształcamy równanie: (3x − 4)(2x + 5) = (7 − 6x)(2 − x), stąd 6x2 + 7x − 20 = 6x2 − 19x + 14, a
więc x =1713 . Dla tej wartości x obie strony równania są określone.
Zadanie 3.3.12 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 3.3.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 3.3.14 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Przekształcamy równanie: 7(x + 3) = 6(x − 2), stąd x = − 33. Dla tej wartości x obie strony
równania są określone.
a)
Przekształcamy równanie: 3(x + 4) = x − 5, stąd x = − 172 . Dla tej wartości x obie strony rów-
nania są określone.
b)
Przekształcamy równanie: 12(3x + 4) = 5(7x + 10), stąd x = 2. Dla tej wartości x obie strony
równania są określone.
c)
Przekształcamy równanie: 7(1 − 2x) = 5(4 − 3x), stąd x = 13. Dla tej wartości x obie strony
równania są określone.
d)
x = − 13
a)
x =5083
b)
x =1713
c)
x =3y − 5y + 2 , dla y ≠ − 2a)
y =−2x − 5
x − 3 , dla x ≠ 3b)
b =2c + aca − 1 , dla a ≠ 1a)
c =b(a − 1)
a + 2 , dla a ≠ − 2b)
x = − 2a)
x =32 lub x = 6b)
Odpowiedzi
536
Rozwiązanie
Przekształcamy równanie: x = (x + 1)(x + 4), stąd x2 + 4x + 4 = 0, a więc x = − 2. Dla tej wartości x
obie strony równania są określone.
Przekształcamy równanie: 3x − 1 = (x − 5)(4x − 7), stąd 2x2 − 15x + 18 = 0, a więc x =32 lub x = 6. Dla
każdej z tych wartości x obie strony równania są określone.
Zadanie 3.3.15 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Rozwiązanie
Zadanie 3.3.16 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Rozwiązanie
Zadanie 3.3.17 (Wróć do zadania)Odpowiedź
x = 4 lub x = 7a)
x = − 9 lub x = − 2b)
x = 5 lub x = 7c)
Przekształcamy równanie: (2x − 5)(x + 5) = (3x − 3)(x − 1), stąd x2 − 11x + 28 = 0, a więc x = 4
lub x = 7. Dla każdej z tych wartości x obie strony równania są określone.
a)
Przekształcamy równanie:(2x + 5)(3x − 6) = (x − 4)(5x + 12), stąd x2 + 11x + 18 = 0, a więc
x = − 2 lub x = − 9. Dla każdej z tych wartości x obie strony równania są określone.
b)
Przekształcamy równanie: (3x + 1)(4x − 11) = (x + 4)(9x − 29), stąd x2 − 12x + 35 = 0, a więc
x = 5 lub x = 7. Dla każdej z tych wartości x obie strony równania są określone.
c)
x = 1a)
równanie jest spełnione przez każdą liczbę różną od 2 i różną od – 2b)
równanie nie ma rozwiązańc)
Przekształcamy równanie: 4(x − 3) + 6(x + 3) = 5x + 11, stąd x = 1. Dla tej wartości x obie
strony równania są określone.
a)
Przekształcamy równanie:3(x − 2) + 4(x + 2) = 7x + 2, stąd 7x + 2 = 7x + 2. Otrzymane równa-
nie jest spełnione przez każdą liczbę różną od 2 i różną od – 2.
b)
Przekształcamy równanie: 5(x − 1) − 2(x + 1) = 3x − 4, stąd 3x − 7 = 3x − 4. Otrzymane rów-
nanie jest sprzeczne, zatem dane równanie nie ma rozwiązań.
c)
Równanie jest spełnione przez każdą liczbę różną od −2 i różną od 2.a)
x = − 52
b)
równanie nie ma rozwiązańc)
Odpowiedzi
537
Rozwiązanie
Zadanie 3.3.18 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Dowód. Wyrażenie2x
3x − 2 jest określone, gdy x ≠ 2.3
Przekształcamy równanie: 2x = (3x − 2)(4x + 3), stąd 12x2 − x − 6 = 0, więc x = − 23 lub x =
34 .
Żadna z tych liczb nie jest całkowita, co oznacza, że równanie2x
3x − 2 = 4x + 3 nie ma rozwiązań w
zbiorze liczb całkowitych.
Zadanie 3.3.19 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Dowód. Wyrażeniex
x + 1 jest określone, gdy x ≠ − 1.
Przekształcamy równanie: x = (x + 1)(3x − 2), stąd 3x2 − 2 = 0, czyli x2 =23 . Nie ma takiej liczby cał-
kowitej, której kwadrat jest równy23 (równanie x2 =
23 ma dwa rozwiązania niewymierne: x = − √6
3
lub x = √63 ), zatem równanie
xx + 1 = 3x − 2 nie ma rozwiązań w zbiorze liczb całkowitych.
Zadanie 3.3.20 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Rozwiązanie
Zadanie 3.3.21 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Przekształcamy równanie: 4(x − 2) + 7(x + 2) = 11x + 6, stąd 11x + 6 = 11x + 6. Otrzymane
równanie jest spełnione przez każdą liczbę rzeczywistą różną od −2 i różną od 2.
a)
Przekształcamy równanie: x(x − 2) + (x − 4)(x + 2) = 2 − 5x, stąd 2x2 + x − 10 = 0, a więc x = 2
lub x = − 52 . Tylko dla x = − 5
2 obie strony równania są określone.
b)
Przekształcamy równanie:(x + 1)(x − 2) − (x − 2)(x + 3) = 2x − 12, stąd −5x = − 15, a więc
x = 3. Dla tej wartości x nie są określone wyrażeniax − 2x − 3 oraz
2x − 12
x2 − 9, zatem dane równanie
nie ma rozwiązań.
c)
x = − 1a)
x = − 6b)
Przekształcamy równanie: 2x − 5(x + 3) = (x + 4)(x − 3), stąd x2 + 4x + 3 = 0, a więc x = − 1
lubx = − 3. Tylko dla x = − 1 obie strony równania są określone.
a)
Przekształcamy równanie: 7x − (x − 4)(x + 5) = 4(x − 2), stąd x2 + 4x − 12 = 0, a więc x = − 6
lubx = 2. Tylko dla x = − 6 obie strony równania są określone.
b)
x = − 52 , x =
−5 + √52 , x =
−5 − √52
a)
x = − 12 , x =
−1 + 2√52 , x =
−1 + 2√52
b)
Odpowiedzi
538
Rozwiązanie
Zadanie 3.3.22 (Wróć do zadania)Odpowiedźx = − 6, x = 1
RozwiązanieWyrażenia zapisane po obu stronach danego równania są określone, gdy x ≠ − 1, x ≠ − 2,
x ≠ − 3, x ≠ − 4.
Przekształcamy równanie:
(x + 2) − (x + 1)(x + 1)(x + 2)
+(x + 3) − (x + 2)(x + 2)(x + 3)
+(x + 4) − (x + 3)(x + 3)(x + 4)
=3
10
1x + 1 − 1
x + 2 +1
x + 2 − 1x + 3 +
1x + 3 − 1
x + 4 =3
10
1x + 1 − 1
x + 4 =3
10
10(x + 4) − 10(x + 1) = 3(x + 4)(x + 1)
x2 + 5x − 6 = 0
Otrzymane równanie ma dwa rozwiązania: x1 = 1 oraz x2 = − 6.
Zadanie 3.3.23 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Wyrażenia zapisane po obu stronach danego równania są określone, gdy
x ≠ − 1, x ≠ − 2, x ≠ − 3, x ≠ − 4.
Przekształcamy równanie:1
x + 1 +1
x + 4 = − ( 1x + 2 +
1x + 3 ), stąd
2x + 5
(x + 1)(x + 4)= − 2x + 5
(x + 2)(x + 3). Zatem
x = − 52 lub (x + 1)(x + 4) = − (x + 2)(x + 3). To drugie równanie ma dwa rozwiązania:
x1 =−5 + √5
2 oraz x2 =−5 − √5
2 .
a)
Wyrażenia zapisane po obu stronach danego równania są określone, gdy
x ≠ 52 , x ≠ 1
2 , x ≠ − 32 , x ≠ − 7
2 .
Przekształcamy równanie:1
2x − 5 +1
2x + 7 = − ( 12x − 1 +
12x + 3 ), stąd
4x + 2
(2x − 5)(2x + 7)= − 4x + 2
(2x − 1)(2x + 3).
Zatem x = − 12 lub (2x − 5)(2x + 7) = − (2x − 1)(2x + 3). To drugie równanie ma dwa rozwiąza-
nia: x1 =−1 + 2√5
2 oraz x2 =−1 − √5
2 .
b)
Równanie nie ma rozwiązańa)
Równanie nie ma rozwiązańb)
Odpowiedzi
539
RozwiązanieWyrażenia zapisane po obu stronach danego równania są określone, gdy
x ≠ − 3, x ≠ − 1, x ≠ 1, x ≠ 3, x ≠ 5.
Przekształcamy równanie:
x − 1 + x − 5
(x − 5)(x − 3)(x − 1)+
x + 3 + x − 1
(x − 1)(x + 1)(x + 3)= − 1
3
2
(x − 5)(x − 1)+
2
(x − 1)(x + 3)= − 1
3
2x + 6 + 2x − 10
(x − 5)(x − 1)(x + 3)= − 1
3
4
(x − 5)(x + 3)= − 1
3
(x − 5)(x + 3) = − 12
x2 − 2x − 3 = 0
Otrzymane równanie ma dwa rozwiązania: x1 = − 1 oraz x2 = 3 . Żadna z tych liczb nie jest rozwi-
ązaniem danego równania.
Wyrażenia zapisane po obu stronach danego równania są określone, gdy
≠ − 3, x ≠ − 1, x ≠ 1, x ≠ 3, x ≠ 5.
Postępując podobnie, jak w poprzednim podpunkcie, przekształcamy równanie do postaci4
(x − 5)(x + 3)=
15 ,
stąd (x − 5)(x + 3) = 20, czyli x2 − 2x − 35 = 0. Otrzymane równanie ma dwa rozwiązania: x1 = − 5
oraz x2 = 7, oba są pierwiastkami danego równania.
Odpowiedzi
540
Wielomiany. Funkcje wymierne /Zastosowanie równań wymiernych dointerpretacji zagadnień praktycznychZadanie 3.4.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź6 dni
Rozwiązanie
W ciągu jednego dnia wszystkie trzy zespoły wykonają razem1
12 +1
15 +1
60 =16 pracy. Zatem cała
praca zostanie wykonana w ciągu 6 dni.
Zadanie 3.4.2 (Wróć do zadania)OdpowiedźPierwszy automat – 24 minuty, drugi – pół godziny.
Rozwiązanie
W ciągu 2 godzin automaty, pracując razem, wykonują 2 ? (14 +
15 ) =
910 całej pracy, więc do wykona-
nia pozostaje jeszcze1
10 tej pracy. Zatem pierwszy automat samodzielnie dokończy pracę w ciągu
4 ?1
10 =25 godziny, a drugi – w ciągu 5 ?
110 =
12 godziny.
Zadanie 3.4.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź9 godzin
Rozwiązanie
W ciągu początkowych 2 godzin pierwszy automat wykonał 2 ?1
16 =18 całego zlecenia, a następnie
drugi wykonał 5 ?1
10 =12 tej pracy. Zatem trzeci miał do wykonania 1 − (1
8 +12 ) =
38 wszystkich deta-
li. Skoro w ciągu 24 godzin wykonałby on wszystkie zlecone detale, to dokończy zlecenie w ciągu38 ? 24 = 9 godzin.
Zadanie 3.4.4 (Wróć do zadania)OdpowiedźPierwszy automat – w ciągu 20 godzin, drugi – w ciągu 5 godzin.
Rozwiązanie
W ciągu godziny, pracując razem, automaty te wykonują14 całej pracy, więc w ciągu 3 godzin
34 ca-
łej pracy. Zatem pierwszy automat w ciągu 5 godzin ma do wykonania14 całej pracy, co oznacza,
że wykona całą pracę w ciągu 20 godzin. Wobec tego drugi automat w ciągu godziny wykonuje14 − 1
20 =15 całej pracy, czyli całą pracę wykona w ciągu 5 godzin.
Zadanie 3.4.5 (Wróć do zadania)OdpowiedźZespół A – w ciągu 28 dni, zespół B – w ciągu 21 dni.
Odpowiedzi
541
Rozwiązanie
W ciągu 3 dni wspólnej pracy zespoły wykonały 3 ?1
12 =14 całej pracy. Zatem zespół A sam wykonał
34 całej pracy w ciągu 21 dni, więc w ciągu jednego dnia wykonywał
34 ?
121 =
128 całej pracy, czyli
całe zamówienie wykonałby samodzielnie w ciągu 28 dni. Oznacza to, że zespół B wykonywał w
ciągu jednego dnia1
12 − 128 =
121 całej pracy, czyli całą tę pracę wykonałby samodzielnie w ciągu 21
dni.
Zadanie 3.4.6 (Wróć do zadania)OdpowiedźPierwszy automat – w ciągu 6 godzin, drugi automat – w ciągu 30 godzin.
Rozwiązanie
• sposób I
W ciągu godziny oba automaty wykonują razem15 całej pracy, zatem po 3 godzinach pracy
pierwszego automatu i 3 godzinach pracy drugiego z nich wykonane będzie35 całej pracy. Po
kolejnych 3 godzinach pracy drugiego automatu wykonane zostanie7
10 całej pracy, co ozna-
cza, że w ciągu 3 godzin wykonuje on7
10 − 35 =
110 całej pracy. Wobec tego drugi automat wy-
konuje całą pracę w ciągu 30 godzin, a więc pierwszy w ciągu godziny wykonuje15 − 1
30 =16
całej pracy, czyli całą pracę wykona w ciągu 6 godzin.
• sposób II
Oznaczamy: przez x – czas, w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tylko
pierwszy automat, przez y – czas, w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował
tylko drugi automat. Ponieważ w ciągu godziny pierwszy automat wykonuje1x całej pracy,
drugi –1y całej pracy, a razem wykonują całą pracę w ciągu 5 godzin, to
1x +
1y =
15 , stąd
1y =
15 − 1
x . Po 3 godzinach samodzielnej pracy pierwszego automatu i po 6 godzinach samo-
dzielnej pracy drugiego automatu wykonane zostanie 70% całej pracy, zatem3x +
6y =
710 .
Oznacza to, że3x + 6(1
5 − 1x ) =
710 . Po uporządkowaniu otrzymujemy równanie
3x =
12 , stąd x = 6
. Wobec tego1y =
15 − 1
6 =1
30 , czyli y = 30.
Zadanie 3.4.7 (Wróć do zadania)OdpowiedźPierwszy zespół: 14 godzin, drugi zespół: 35 godzin.
RozwiązanieOznaczamy przez x – czas (w godzinach), w którym oba zespoły razem wykonały pracę. Wtedy licz-
ba godzin potrzebna pierwszemu zespołowi oraz drugiemu na wykonanie tej pracy to odpowied-
nio x + 4 oraz 3,5x. Zatem w ciągu godziny: razem wykonają1x całej pracy, pierwszy wykona
1x + 4
całej pracy, a drugi wykona1
3,5x całej pracy. Otrzymujemy równanie1
x + 4 +2
7x =1x , stąd
57x =
1x + 4 , a
więc x = 10. Stąd x + 4 = 14 i 3,5x = 35.
Zadanie 3.4.8 (Wróć do zadania)OdpowiedźJeden z automatów – w ciągu 8 godzin, drugi – w ciągu 24 godzin.
Odpowiedzi
542
RozwiązanieZ treści zadania wynika, że suma godzin, w ciągu których każdy z automatów wykonuje całą pracę,
jest równa 32. Oznaczamy przez x liczbę godzin potrzebnych pierwszemu automatowi na wykona-
nie całej pracy, wtedy liczba godzin potrzebnych drugiemu automatowi na wykonanie całej pracy
to 32 − x. Zatem pierwszy automat wykonuje1x całej pracy w ciągu godziny, a drugi
132 − x . Otrzy-
mujemy więc równanie1x +
132 − x =
16 , stąd 6 ? (32 − x) + 6 ? x = x ? (32 − x), a więc x2 − 32x + 192 = 0
. Równanie to ma dwa rozwiązania: x = 8 lub x = 24. Każde z rozwiązań spełnia warunki zadania.
Zadanie 3.4.9 (Wróć do zadania)OdpowiedźW ciągu 13 godzin i 20 minut.
RozwiązanieOznaczamy przez x czas, w jakim zbiornik zostanie napełniony, gdy woda będzie doprowadzana
tylko pierwszą rurą. Wtedy x + 6 to czas napełniania pustego zbiornika, gdy wodę doprowadza tyl-
ko druga rura. Pierwsza rura w ciągu godziny dostarcza do zbiornika840
x m3 wody, a więc druga
dostarcza w ciągu godziny (840x − 7) m3 wody. Otrzymujemy więc równanie (x + 6)(840
x − 7) = 840.
Stąd5040
x − 7x − 42 = 0, a więc x2 + 6x − 720 = 0. Równanie to ma dwa rozwiązania: x1 = − 30 oraz
x2 = 24. Tylko drugie z nich spełnia warunki zadania. Wynika z tego, że pierwsza rura napełnia
zbiornik wodą w ciągu 24 godzin, czyli w ciągu godziny doprowadza do zbiornika84024 = 35 m3 wo-
dy. Zatem druga rura w ciągu godziny doprowadza do zbiornika 35 − 7 = 28 m3 wody, więc razem
doprowadzają w tym czasie 63 m3 wody. Oznacza to, że jeśli woda będzie doprowadzana przez
obie rury jednocześnie, to pusty zbiornik zostanie napełniony w ciągu84063 =
403 = 13
13 godziny.
Zadanie 3.4.10 (Wróć do zadania)OdpowiedźW ciągu 24 godzin.
RozwiązanieOznaczamy przez x czas, w jakim zbiornik zostanie napełniony, gdy woda będzie doprowadzana
tylko pierwszą rurą. Wtedy x − 20 to czas napełniania pustego zbiornika, gdy wodę doprowadza
tylko druga rura. Pierwsza rura w ciągu godziny dostarcza do zbiornika900
x m3 wody, a więc
druga dostarcza w ciągu godziny (900x + 7,5) m3 wody. Otrzymujemy więc równanie
(x − 20)(900x +
152 ) = 900. Stąd
152 x − 1800
x − 150 = 0, a więc x2 − 20x − 2400 = 0. Równanie to ma dwa
rozwiązania: x1 = − 40 oraz x2 = 60. Tylko drugie z nich spełnia warunki zadania. Wynika z tego,
że pierwsza rura napełnia zbiornik wodą w ciągu 60 godzin, czyli w ciągu godziny doprowadza
do zbiornika90060 = 15 m3 wody. Zatem druga rura w ciągu godziny doprowadza do zbiornika
15 + 7,5 = 22,5m3 wody, więc razem doprowadzają w tym czasie 37,5 m3 wody. Oznacza to, że jeśli
woda będzie doprowadzana przez obie rury jednocześnie, to pusty zbiornik zostanie napełniony
w ciągu90037,5 = 24 godzin.
Zadanie 3.4.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź− 3 6
Odpowiedzi
543
Rozwiązanie
x x + 31x
1x + 3
1x +
1x + 3 =
12 x2 − x − 6 = 0 x = − 2 x = 3 3 − 6
Zadanie 3.4.12 (Wróć do zadania)OdpowiedźPierwszy: w ciągu 14 godzin, drugi: w ciągu 11 godzin.
RozwiązanieOznaczmy przez x liczbę godzin potrzebnych pierwszemu automatowi na wykonanie całej pracy.
Wtedy liczba godzin potrzebnych drugiemu na wykonanie całej pracy to x − 3.1x
1x − 3
32 ∙ 1
x +112 ∙ (1
x +1
x − 3 ) = 1 2x2 − 31x + 42 = 0 x =32 x = 14 14 − 11
Zadanie 3.4.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź12 godzin i 10 godzin
RozwiązanieOznaczmy przez x liczbę godzin potrzebnych drugiemu automatowi na wykonanie wszystkich de-
tali. Z treści zadania wynika, że na wykonanie połowy detali pierwszy automat potrzebuje o go-
dzinę więcej niż drugi. Zatem liczba godzin potrzebnych pierwszemu automatowi na wykonanie
całej pracy to x + 2.1
x + 21x
3x + 2 +
2x =
920 9x2 − 82x + 80 = 0 x = − 8
9 x = 10 12 − 10
Zadanie 3.4.14 (Wróć do zadania)OdpowiedźPierwszy automat – w ciągu 20 godzin, drugi w ciągu 12 godzin.
RozwiązanieOznaczmy:przez x – czas ( w godzinach), w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował
tylko I automat.
przez x – czas ( w godzinach), w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tylko II au-
tomat.
Zatem w ciągu godziny pierwszy automat wykonuje1x
1y Z treści zadania wynika, że y =
35x
56y ∙ 1
x =56 ∙ 3
5x ∙ 1x =
12
12y
56y +
12y =
43y (4
3y − 172 )( 3
5y +1y ) = 1 y = 12 x = 20 12 − 20
Odpowiedzi
544
Wielomiany. Funkcje wymierne /Proporcjonalność odwrotna /Przesunięcia wykresu wzdłuż osi układuwspółrzędnychZadanie 3.5.3.1 (Wróć do zadania)OdpowiedźPunkt A należy do wykresu funkcji, punkty B i C nie należą do tego wykresu.
Zadanie 3.5.3.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 3.5.3.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Funkcja przyjmuje wartości nieujemne dla argumentów z przedziału < − 4, − 3).
Zadanie 3.5.3.4 (Wróć do zadania)Odpowiedź
D = (−∞, 0) ? (0, + ∞)ZW = (−∞, 3) ? (3, + ∞)f(x) < 6 dla x ? (−∞, 0) ? (2, + ∞)
Zadanie 3.5.3.5 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 3.5.3.6 (Wróć do zadania)OdpowiedźFunkcja f nie ma punktów wspólnych z prostą o równaniu y = m dla m = 54.
a = − 8a)
a = − 32
b)
a =29
c)
a =14
d)
a = − 3e)
D = (−∞, − 12) ? (−12, + ∞), ZW = (−∞, − 1) ? (−1, + ∞)a)
D = (−∞, 5) ? (5, + ∞), ZW = (−∞, 23) ? (23, + ∞)b)
D = (−∞, 8) ? (8, + ∞), ZW = (−∞, − 15) ? (−15, + ∞)c)
D = (−∞, − 2) ? (−2, + ∞), ZW = (−∞, 18) ? (18, + ∞)d)
D = (−∞, √2) ? (√2, + ∞), ZW = (−∞, − √5) ? (−√5, + ∞)e)
Odpowiedzi
545
Zadanie 3.5.3.7 (Wróć do zadania)Odpowiedźp = √5 lub p = − √5
Odpowiedzi
546
Wielomiany. Funkcje wymierne /Zastosowania funkcji wymiernych dointerpretacji zagadnień praktycznychZadanie 3.6.1 (Wróć do zadania)OdpowiedźI automat 20 godzin
II automat 5 godzin
Rozwiązanie
5 ?1x + 3 ?
14 = 1 skąd x = 20 i
1y =
14 − 1
20 , więc y = 5
Zadanie 3.6.2 (Wróć do zadania)OdpowiedźI automat 8 godzin
II automat 24 godziny
Rozwiązanie1x +
132 − x =
16 stąd x = 8 lub x = 24
Zadanie 3.6.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź4 godziny i 12 godzin
Rozwiązanie1x +
116 − x =
13 , stąd x2 − 16x + 48 = 0
Zadanie 3.6.5 (Wróć do zadania)Odpowiedź12 godzin i 10 godzin
Rozwiązanie3
x + 2 +2x =
920 , stąd 9x2 − 82x + 80 = 0, x = 10 (x = − 8
9 nie spełnia)
Zadanie 3.6.8 (Wróć do zadania)OdpowiedźI automat – 4 godziny
II automat – 20 godzin
III automat – 30 godzin
Rozwiązanie1
x + 1 +1
x + 17 +1
x + 27 =1x , stąd 2x3 + 45x2 − 459 = 0, x = 3
Zadanie 3.6.9 (Wróć do zadania)OdpowiedźI automat – 4 godziny
II automat – 20 godzin
III automat – 30 godzin
Odpowiedzi
547
Rozwiązanie1
x + 2 +1
x + 4 +1
x + 10 =1x , stąd x3 + 8x2 − 40 = 0, x = 2 (pozostałe rozwiązania są ujemne)
Zadanie 3.6.10 (Wróć do zadania)OdpowiedźI automat – 3 godziny
II automat – 9 godzin
III automat – 18 godzin
Rozwiązanie1
x + 1 +1
x + 7 +1
x + 16 =1x , stąd x3 + 12x2 − 56 = 0, x = 2 (pozostałe rozwiązania są ujemne)
Odpowiedzi
548
Ciągi / Pojęcie ciągu. Ciąg jako funkcjazmiennej naturalnejZadanie 4.1.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 4.1.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź19
RozwiązanieZbadajmy, dla jakich n prawdziwa jest nierówność an < 0. Ponieważ 2n + 5 > 0, bo n ≥ 1, więc
(n − 20)(2n + 5) < 0, gdy n − 20 < 0, czyli gdy n < 20. To oznacza, że ujemne są wyrazy od a1 do a19.
Jest więc 19 takich wyrazów.
Zadanie 4.1.3 (Wróć do zadania)OdpowiedźSiódmy wyraz tego ciągu jest równy 15.
Pierwszym wyrazem dodatnim tego ciągu jest a5.
Zadanie 4.1.4 (Wróć do zadania)OdpowiedźWzory ogólne mogą mieć postać
a)
ciąg nie jest monotoniczny, ponieważ zachodzą jednocześnie dwie nierówności a1 < a2 oraz
a5 > a6
b)
an = 2n + 2 dla n = 1, 2, … , 7a)
bn = n2 + 1 dla n = 1, 2, … , 8b)
Odpowiedzi
549
Zadanie 4.1.5 (Wróć do zadania)Odpowiedźa1, a2, a3, a6
Rozwiązanie
Zapiszmy wzór na n-ty wyraz ciągu w postaci an =n2 + 5n + 6
n =n2
n +5nn +
6n = n + 5 +
6n . Liczba n + 5
jest liczbą całkowitą, gdyż n jest liczbą całkowitą, więc wyraz ciągu jest liczbą całkowitą, gdy uła-
mek6n jest liczbą całkowitą. Wynika stąd, że n jest dzielnikiem liczby 6, zatem n ? {1, 2, 3, 6}.
Zadanie 4.1.6 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Rozwiązanie
cn =(−1)
n
n dla n = 1, 2, … , 6c)
dn = √n + 11 dla n = 1, 2, … , 9d)
a7 = 12 , a10 = 45a)
a2 = − 3, a3 = − 4, a4 = − 3b)
a7 = 72 − 6 ∙ 7 + 5 = 12, a10 = 102 − 6 ∙ 10 + 5 = 45a)
an = n2 − 6n + 5 = (n − 1)(n − 5). Wykres ciągu (an) składa się z punktów leżących na paraboli,
która jest wykresem funkcji kwadratowej określonej wzorem f(x) = (x − 1)(x − 5).
Zatem ujemnymi wyrazami tego ciągu są: a2 = − 3, a3 = − 4, a4 = − 3.
b)
Zauważmy, że parabola, w której zawarty jest wykres ciągu (an), jest zwrócona ramionami
do góry, a jej wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych (3, − 4). Wynika stąd, że −4 jest
najmniejszą wartością funkcji kwadratowej f. To oznacza, że a3 = − 4 jest najmniejszym wy-
c)
Odpowiedzi
550
Zadanie 4.1.7 (Wróć do zadania)Odpowiedźnie istnieje
Rozwiązanie
Przypuśćmy, że an = 325 . Zatem
n + 127 = 3
25 , czyli
n + 127 =
175 . Stąd 5n + 60 = 119, czyli n = 11,8. Ta licz-
ba nie jest naturalna, więc nie istnieje wyraz ciągu, który jest równy 325 .
Zadanie 4.1.8 (Wróć do zadania)Odpowiedźwszystkie wyrazy od pierwszego do siódmego
Rozwiązanie
Rozwiążmy nierówność an >13 , czyli
n + 34n + 1 >
13 .
Ponieważ wyrażenie 4n + 1 > 0, więc obie strony nierówności możemy pomnożyć przez 3(4n + 1).Otrzymujemy kolejno
3(n + 3) > 4n + 1
8 > n
n < 8
Zatem mniejsze od13 są wszystkie wyrazy od pierwszego do siódmego.
Zadanie 4.1.9 (Wróć do zadania)Odpowiedź7
RozwiązanieObliczmy kolejne wyrazy ciągu
a2 = (−1)1a1 + 1 = − 3 + 1 = − 2
a3 = (−1)2a2 + 2 = − 2 + 2 = 0
a4 = (−1)3a3 + 3 = 0 + 3 = 3
a5 = (−1)4a4 + 4 = 3 + 4 = 7
Zadanie 4.1.10 (Wróć do zadania)Odpowiedź
razem tego ciągu. Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n prawdziwa jest więc nierówno-
ść an ≥ − 4.
215
a)
Odpowiedzi
551
Rozwiązanie
Zadanie 4.1.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź6
Rozwiązanie
• sposób I
Rozwiążmy nierówność13 < an < 2, czyli
13 <
3n + 2 < 2.
Rozwiążmy najpierw nierówność13 <
3n + 2 . Ponieważ n + 2 jest liczbą dodatnią, więc możemy obie
strony tej nierówności pomnożyć przez 3(n + 2). Zatem n + 2 < 9, czyli n < 7.
Podobnie rozwiązujemy drugą nierówność3
n + 2 < 2. Mnożąc obie jej strony przez n + 2, otrzymu-
jemy 3 < 2n + 4, czyli n > − 12 , co jest prawdą dla każdej liczby całkowitej n ≥ 1.
Istnieje więc 6 wyrazów ciągu należących do przedziału (13 , 2).
• sposób II
Wykres ciągu (an) składa się z punktów leżących na hiperboli o równaniu y =3
x + 2 . Jest ona wykre-
sem funkcji, która w przedziale (−2, + ∞) jest malejąca.
ciąg nie jest monotonicznyb)
Piąty i szósty wyraz ciągu obliczamy, korzystając z podanego wzoru: a5 =(−1)
5
5 = − 15 ,
a6 =(−1)
6
6 =16 . Zatem wartość szukanego wyrażenia jest równa
a5 + 2a6 = − 15 +
26 = − 3
15 +5
15 =2
15 .
a)
Ponieważ wyrazy o numerach parzystych są dodatnie, a wyrazy o numerach nieparzystych
są ujemne, więc ciąg nie jest monotoniczny.
b)
Odpowiedzi
552
Odczytujemy z wykresu, że wszystkie wyrazy tego ciągu są mniejsze od 2 i od pewnego momentu
wszystkie wyrazy są mniejsze od13 . Wyznaczmy taki argument funkcji f(x) =
3x + 2 , dla którego funk-
cja przyjmuje wartość13 .
f(x) =13 , gdy
3x + 2 =
13 , czyli x + 2 = 9, a więc x = 7. To oznacza, że do przedziału (1
3 , 2) należy począt-
kowych sześć wyrazów ciągu.
Zadanie 4.1.12 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Wyznaczmy wyrazy ciągu (an): a1 = 1, gdyż liczba 1 ma tylko 1 dzielnik naturalny (jest nim 1).
a2 = 2, gdyż liczba 2 ma 2 dzielniki naturalne (są to 1 i 2).
Podobnie wyznaczamy następne wyrazy: a3 = 2, a4 = 3, a5 = 2, a6 = 4, a7 = 2.
Rozwiązanie
Największy wyraz tego ciągu to a6 = 4.
Zadanie 4.1.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź
5a)
nie ma takiego wyrazub)
jestc)
a1oraz a2d)
niee)
n = 8f)
Odpowiedzi
553
Rozwiązanie
Zadanie 4.1.14 (Wróć do zadania)Odpowiedźa6 = 34, a5 = 18, a4 = 10, a3 = 6, a2 = 4, a1 = 3
Rozwiązanie
Zależność między wyrazami ciągu możemy opisać wzorem an + 1 = 2(an − 1) dla dowolnej liczby cał-
kowitej n ≥ 1. Stąd an =12an + 1 + 1.
Obliczmy kolejno szukane wyrazy ciągu (an), zaczynając od wyrazu a6.
a6 =12a7 + 1 =
12 ∙ 66 + 1 = 34
a5 =12a6 + 1 =
12 ∙ 34 + 1 = 18
a4 =12a5 + 1 =
12 ∙ 18 + 1 = 10
a3 =12a4 + 1 =
12 ∙ 10 + 1 = 6
a2 =12a3 + 1 =
12 ∙ 6 + 1 = 4
a1 =12a2 + 1 =
12 ∙ 4 + 1 = 3
Ponieważ dn = an − bn, więc dn = n + 5 − 3n + 7 = 12 − 2n. Rozwiązujemy nierówność dn > 0,
czyli 12 − 2n > 0, stąd n < 6. Ciąg ma więc pięć wyrazów dodatnich.
a)
Ponieważ en = anbn, więc en = (n + 5) ∙ (3n − 7). Rozwiązujemy równanie en = 0, czyli
(n + 5) ∙ (3n − 7) = 0, stąd n = − 5 lub n =73 . Żadna z tych liczb nie może być numerem wyra-
zu ciągu, czyli żaden wyraz ciągu (en) nie jest równy zero.
b)
Ponieważ fn =anbn
, więc fn =n + 53n − 7 . Rozwiązujemy równanie fn = 1, czyli
n + 53n − 7 = 1, stąd
n + 5 = 3n − 7. Ostatecznie n = 6, czyli szósty wyraz ciągu (fn) jest równy 1.
c)
Ponieważ cn = an + bn, więc cn = n + 5 + 3n − 7 = 4n − 2. Rozwiązujemy nierówność cn < 10,
czyli 4n − 2 < 10, stąd n < 3. Zatem mniejsze od 10 są wyrazy a1oraz a2.
d)
Korzystając ze wzoru wyprowadzonego w pkt. c), obliczamy f1 =6
−4 = − 32 , f2 =
7−1 = − 7,
f3 =82 = 4. Zauważmy, że f1 > f2 oraz f2 < f3, czyli ciąg (fn) nie jest monotoniczny.
e)
Korzystając ze wzoru wyprowadzonego w pkt. b), obliczamy trzeci wyraz ciągu (en)e3 = (3 + 5) ∙ (9 − 7) = 16 = 42.
f)
Korzystając ze wzoru wyprowadzonego w pkt. d), obliczamy cn + 4 = 4n + 14. Ciąg (en) okre-
ślony jest w sposób następujący en = an ∙ bn, więc cn − 4 = 3n2 − 16n − 19. Rozwiązujemy rów-
nanie
4n + 14 = 3n2 − 16n − 19 + 1stąd otrzymujemy n = − 43 lub n = 8. Pierwsza z otrzymanych
liczb nie jest liczbą całkowitą, więc rozwiązaniem jest liczba 8.
g)
Odpowiedzi
554
Ciągi / Ciąg arytmetycznyZadanie 4.2.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź458
RozwiązanieLiczby naturalne, które przy dzieleniu przez 6 dają resztę 2, to kolejne wyrazy ciągu arytmetyczne-
go o różnicy równej 6, gdyż co szósta liczba naturalna daje przy dzieleniu przez 6 resztę 2. Zatem
wyraz a70 jest równy a70 = a3 + 67r = 56 + 402 = 458.
Zadanie 4.2.4 (Wróć do zadania)OdpowiedźCiąg cn = 2n − 3 jest ciągiem arytmetycznym rosnącym.
Zadanie 4.2.5 (Wróć do zadania)Odpowiedź
a = 123
b = 213
c = 223
d = 313
Rozwiązanie
Niech r oznacza różnicę ciągu arytmetycznego (a, 2, b, c, 3, d). Drugi wyraz tego ciągu jest równy
2, a piąty 3. Piąty i drugi wyraz ciągu arytmetycznego różnią się o 3r, więc r =13 . Teraz możemy
obliczyć kolejno: pierwszy, trzeci, czwarty i szósty wyraz tego ciągu.
a = 2 − 13 = 1
23
b = 2 +13 = 2
13
c = 2 + 2 ∙ 13 = 2
23
d = 3 +13 = 3
13
Zadanie 4.2.6 (Wróć do zadania)Odpowiedź9, 12, 15, 18, 21, 24, 27
RozwiązaniePonieważ mamy wstawić siedem liczb, więc a1 = 6 oraz a9 = 30. Ze wzoru na n-ty wyraz ciągu
otrzymujemy a9 = a1 + 8r, czyli 30 = 6 + 8r, stąd r = 3. Zatem pierwsza z szukanych liczb jest równa
a2 = a1 + r = 6 + 3 = 9, druga to 9 + 3 = 12, trzecia to 15, czwarta to 18, piąta 21, szósta 24 i siódma
27.
Zadanie 4.2.7 (Wróć do zadania)Odpowiedź
y = (√2 + 1)x − 1
Odpowiedzi
555
Rozwiązanie
Współczynnik kierunkowy szukanej prostej jest równy różnicy ciągu (an), więc równanie prostej
możemy zapisać w postaci y = (√2 + 1)x + b. Ponieważ a10 = 10√2 + 9, więc na szukanej prostej
leży punkt o współrzędnych (10, 10√2 + 9) . Zatem 10√2 + 9 = (√2 + 1) ∙ 10 + b. Stąd
b = 10√2 + 9 − 10(√2 + 1) = − 1. Równanie szukanej prostej ma więc postać y = (√2 + 1)x − 1.
Zadanie 4.2.8 (Wróć do zadania)OdpowiedźA, B i D
Zadanie 4.2.9 (Wróć do zadania)Odpowiedźa4 + a5 = a2 + a7
a6 + a8 = 2a7
Zadanie 4.2.10 (Wróć do zadania)Odpowiedź−7n + 12
Zadanie 4.2.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź1
Zadanie 4.2.12 (Wróć do zadania)Odpowiedźa6 + a12 = 48
Zadanie 4.2.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź5
Zadanie 4.2.14 (Wróć do zadania)Odpowiedź(A) nie (B) tak
(C) nie
Rozwiązanie
an + 1 − an =2n + 2n + 2 − 2n
n + 1 =(2n + 2)(n + 1) − 2n(n + 2)
(n + 1)(n + 2)=
2
(n + 1)(n + 2). Ponieważ różnica między kolejny-
mi wyrazami ciągu zależy od n, więc nie jest stała, zatem ciąg nie jest arytmetyczny.
a)
bn + 1 − bn = 3 − n + 35 − (3 − n + 2
5 ) = − 15 . Ponieważ różnica między kolejnymi wyrazami ciągu
jest stała, więc jest to ciąg arytmetyczny, a jego różnica jest równa r = − 15 .
b)
cn + 1 − cn = (n + 1)2
+ 5(n + 1) − (n2 + 5n) = n2 + 2n + 1 + 5n + 5 − n2 − 5n = 2n + 6. Ponieważ
różnica między kolejnymi wyrazami ciągu zależy od n, więc nie jest stała, zatem ten ciąg nie
jest arytmetyczny.
c)
Odpowiedzi
556
Zadanie 4.2.16 (Wróć do zadania)Odpowiedź
an =35n − 1
Rozwiązanie
Ponieważ a10 − a3 = 7r, więc 5 − 45 = 7r. Stąd 7r = 5 − 4
5 =215 , zatem r =
35 . Pierwszy wyraz ciągu
jest równy a1 = a3 − 2r =45 − 6
5 = − 25 . Zatem ogólny wzór ciągu arytmetycznego ma postać
an = − 25 + (n − 1) ∙ 3
5 =35n − 1.
Zadanie 4.2.17 (Wróć do zadania)Odpowiedź72
Rozwiązanie
a8 = a1 + 7r, czyli 23 = a1 + 7 ∙ ( − 7), stąd a1 = 72
Zadanie 4.2.18 (Wróć do zadania)Odpowiedź
a = 414
b = 512
c = 634
d = 914
RozwiązanieZ treści zadania wiemy, że a1 = 3 oraz a5 = 8. Ponieważ a5 − a1 = 4r, więc 4r = 8 − 3 = 5, stąd
r =54 = 1
14 . Zatem a = 3 + 1
14 = 4
14 , b = 4
14 + 1
14 = 5
12 , c = 5
12 + 1
14 = 6
34 , d = 8 + 1
14 = 9
14 .
Zadanie 4.2.19 (Wróć do zadania)Odpowiedźa1 = 9
r = − 5
RozwiązanieZe wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego możemy równania podane w treści zadania zapisać
w postaci a1 + r + a1 + 6r = − 17 oraz (a1 + 2r)(a1 + 4r) = 11. Z pierwszego z nich wyznaczmy
a1 = − 17 + 7r2 .
Wtedy drugie z równań możemy zapisać w postaci (− 17 + 7r2 + 2r)(− 17 + 7r
2 + 4r) = 11. Przekształcając
je, otrzymujemy kolejno
(−17 − 3r)(−17 + r) = 44
−3r2 + 34r + 245 = 0
Wyróżnik tego równania jest równy ∆ = 1156 + 2940 = 4096 > 0, więc równanie ma dwa rozwi-
ązania r1 = − 5 oraz r2 = 1613 . Ponieważ ciąg jest malejący, więc r = − 5. Pierwszy wyraz ciągu jest
zatem równy
Odpowiedzi
557
a1 = − 17 + 7r2 = − 17 − 35
2 = 9
Zadanie 4.2.20 (Wróć do zadania)Odpowiedź
(1,4, 7) lub (7,4, 1)RozwiązanieNiech x oznacza środkowy wyraz ciągu, a r różnicę tego ciągu. Wtedy pierwszy wyraz jest równy
x − r, natomiast trzeci jest równy x + r. Suma tych wyrazów jest wtedy równa x − r + x + x + r = 12
, czyli 3x = 12, zatem x = 4. Suma kwadratów wyrazów jest równa (x − r)2
+ x2+(x + r)2
= 66, czyli
(4 − r)2
+ 42+(4 + r)2
= 66. Stąd otrzymujemy kolejno 16 − 8r + r2 + 16 + 16 + 8r + r2 = 66, 2r2 = 18,
r2 = 9, r = − 3 lub r = 3. Gdy r = − 3 , to x − r = 4 − (−3) = 7 oraz x + r = 4 + (−3) = 1. Gdy r = 3, wów-
czas x − r = 4 − 3 = 1 oraz x + r = 4 + 3 = 7. Zatem dwa szukane ciągi to (1,4, 7) oraz (7,4, 1).
Zadanie 4.2.21 (Wróć do zadania)Odpowiedź95 ° , 85 ° , 75 °Rozwiązanie
Niech r będzie różnicą ciągu arytmetycznego (105 ° , α, β, γ) miar kątów czworokąta. Wtedy
α = 105 ° + r, β = 105 ° + 2r, γ = 105 ° + 3r. Suma miar wszystkich kątów czworokąta jest równa
360 ° , więc otrzymujemy równanie 105 ° + 105 ° + r + 105 ° + 2r + 105 ° + 3r = 360 ° . Zatem
6r = − 60 ° , stąd r = − 10 ° . Wtedy α = 105 ° − 10 ° = 95 ° , β = 105 ° − 20 ° = 85 ° oraz
γ = 105 ° − 30 ° = 75 ° . Szukane kąty mają miary 95 ° , 85 ° , 75 ° .
Zadanie 4.2.22 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Niech (an) będzie ciągiem arytmetycznym o różnicy r, gdzie an oznacza długość boku trójkąta rów-
nobocznego o numerze n.
Zadanie 4.2.23 (Wróć do zadania)OdpowiedźNiech a1 oznacza najmniejszą z cyfr liczby. Wtedy dwie pozostałe cyfry to a1 + r, a1 + 2r. Liczby a1 i
r są całkowite. Suma wszystkich cyfr liczby jest równa a1 + a1 + r+a1 + 2r = 3a1 + 3r = 3(a1 + r). Licz-
ba a1 + r jest całkowita, więc suma cyfr jest podzielna przez 3. To z kolei oznacza, że liczba jest
podzielna przez 3. To kończy dowód.
Obwód n − tego trójkąta Ln = 3 ∙ an. Ze wzoru na n − ty wyraz ciągu arytmetycznego otrzy-
mujemy Ln = 3(an + (n − 1)r) = 3a1 + 3(n − 1)r, czyli Ln = L1 + (n − 1)r. To oznacza, że ciąg (Ln)obwodów kolejnych trójkątów równobocznych jest arytmetyczny, a jego różnica jest równa
3r.
a)
Wykażemy, że ciąg (Pn) kolejnych trójkątów nie jest arytmetyczny. Wystarczy rozpatrzyć trój-
kąty, których długości boków są kolejnymi liczbami całkowitymi dodatnimi. Pola trzech
pierwszych trójkątów są równe: P1 = √34 , P2 = √3, P3 =
9√34 . Ponieważ P2 − P1 = √3 − √3
4 =3√3
4
oraz P3 − P2 =9√3
4 − √3 =5√3
4 , a więc P2 − P1 ≠ P3 − P2, zatem ciąg (Pn) nie jest arytmetyczny.
b)
Odpowiedzi
558
Zadanie 4.2.24 (Wróć do zadania)Odpowiedź18
Rozwiązanie
Niech (an) będzie ciągiem arytmetycznym, którego wyrazy spełniają warunki podane w treści za-
dania. Warunki te możemy zapisać w postaci a1 + a2 = 23, an + an − 1 = 119 oraz a11 = 40. Równa-
nia te możemy zapisać, korzystając ze wzoru na n − ty wyraz ciągu arytmetycznego w postaci
a1 + (a1 + r) = 23, a1 + (n − 1)r + a1 + (n − 2)r = 119 oraz a1 + 10r = 40. Z pierwszego równania otrzy-
mujemy r = 23 − 2a1. Stąd z trzeciego równania mamy: a1 + 10(23 − 2a1) = 40, 19a1 = 230 − 40,
19a1 = 190, a1 = 10. Zatem r = 23 − 2 ∙ 10 = 3.
Drugie z równań możemy więc zapisać w postaci 10 + (n − 1) ∙ 3 + 10 + (n − 2) ∙ 3 = 119, stąd
6n = 108, czyli n = 18.
Zadanie 4.2.25 (Wróć do zadania)OdpowiedźZe wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego równości an = m oraz am = n możemy zapisać w po-
staci
a1 + (n − 1)r = m oraz a1 + (m − 1)r = n.
Odejmując te równania stronami, otrzymujemy (n − 1)r − (m − 1)r = m − n. Stąd
(n − m)r = − (n − m). Ponieważ n ≠ m, więc n − m ≠ 0. Możemy zatem podzielić obie strony otrzy-
manego równania przez n − m i wtedy mamy r = − 1.
Odpowiedzi
559
Ciągi / Ciągi – własności ciągówarytmetycznychZadanie 4.3.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź13,5
a2 =7 + 20
2 = 13,5
Zadanie 4.3.2 (Wróć do zadania)Odpowiedźa = 10, b = 16
Rozwiązanie
Ponieważ ciąg jest arytmetyczny, to b =a + 22
2 . Otrzymujemy więc układ równań
{ a + b = 26
−a + 2b = 22
Stąd 3b = 48, stąd b = 16 oraz a = 26 − 16 = 10.
Zadanie 4.3.4 (Wróć do zadania)Odpowiedź6 lub 11
RozwiązanieZ twierdzenia o zależności pomiędzy trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego mamy
x2 + 3x =5x − 3 + 3x2 − 3
2
2x2 + 6x − 5x − 3x2 + 6 = 0
−x2 + x + 6 = 0
Równanie to ma dwa rozwiązania x1 = 3, x2 = − 2, czyli trzy pierwsze wyrazy ciągu są równe
12, 18, 24 lub −13, − 2, 9. Różnica pierwszego z tych ciągów jest równa 6, a drugiego 11.
Zadanie 4.3.5 (Wróć do zadania)Odpowiedźx = 3, y = 5, a5 = 7
RozwiązaniePonieważ x + 4y, 3x + 2y, x + 2y + 2 są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, to ma-
my zależność
2(3x + 2y) = x + 4y + x + 2y + 2,
Odpowiedzi
560
która po przekształceniu ma postać 2x − y = 1.
Ponieważ
3x + 2y, x + 2y + 2, 3x + y − 3
są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, to mamy zależność
2(x + 2y + 2) = 3x + 2y + 3x + y − 3,
która po przekształceniu ma postać −4x + y = − 7. Otrzymaliśmy więc układ równań:
{ 2x − y = 1
−4x + y = − 7
skąd po dodaniu równań stronami mamy −2x = − 6, czyli x = 3 i y = 5.
Cztery pierwsze wyrazy rozważanego ciągu arytmetycznego są równe 23, 19, 15, 11, a więc róż-
nica tego ciągu jest równa r = − 4 , natomiast piąty wyraz to 7.
Zadanie 4.3.6 (Wróć do zadania)Odpowiedź
329
Rozwiązanie
Mamy a3 = 213 , a9 = 2
79 . Ponieważ ciąg (a3, a9, x) jest arytmetyczny, a9 =
a3 + x
2 , czyli 2 ∙ 279 = 2
13 + x
. Ostatecznie x = 329 .
Zadanie 4.3.7 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Ciąg ten będzie arytmetyczny, jeżelim + 2
4 =
m + 46
+m + 1
32 , czyli
m + 22 =
m + 46 +
m + 13 , więc
3m + 6 = m + 4 + 2m + 2, co jest równoważne równaniu tożsamościowemu 0 = 0. Zatem dla do-
wolnej liczby rzeczywistej m ciąg jest arytmetyczny.
Zadanie 4.3.8 (Wróć do zadania)Odpowiedź15
Zadanie 4.3.9 (Wróć do zadania)Odpowiedź2√3 − 1
Rozwiązanie
a2 = √3 + 2 + 3√3 − 42 =
4√3 − 22 = 2√3 − 1
Zadanie 4.3.10 (Wróć do zadania)Odpowiedźx ? R
Odpowiedzi
561
Rozwiązanie
• sposób I
Ciąg (x + 7, 2x + 9, 3x + 11) jest arytmetyczny dla każdej liczby x, która spełnia równanie
2x + 9 =x + 7 + 3x + 11
2 , a więc gdy 4x + 18 = 4x + 18. To równanie jest tożsamościowe, więc spełnia je
każda liczba rzeczywista x. Oznacza to, że dla każdej liczby x liczby x + 7, 2x + 9, 3x + 11 są kolej-
nymi wyrazami ciągu arytmetycznego.
• sposób II
Zauważmy, że (2x + 9) − (x + 7) = x + 2 oraz (3x + 11) − (2x + 9) = x + 2, co oznacza, że dla każdej war-
tości x podane liczby tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy x + 2 .
Zadanie 4.3.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź1,5 lub 7
RozwiązanieZ twierdzenia o zależności pomiędzy trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego mamy
2x2 + 5x − 3 =6x2 + 8 + 7 − 7x
2
4x2 + 10x − 6 = 6x2 − 7x + 15
stąd otrzymujemy równanie kwadratowe 2x2 − 17x + 21 = 0 mające dwa rozwiązania x1 = 1,5 oraz
x2 = 7.
Zadanie 4.3.12 (Wróć do zadania)Odpowiedź2 lub 1
Rozwiązanie
Ciąg ( 1x + 1 ,
2x + 13x ,
x + 2x + 1 ) jest arytmetyczny, więc między jego wyrazami zachodzi zależność
2 ∙ 2x + 13x =
1x + 1 +
x + 2x + 1
Stąd otrzymujemy4x + 2
3x =x + 3x + 1 . Z własności proporcji możemy to równanie zapisać w postaci
(4x + 2)(x + 1) = 3x(x + 3),
stąd
4x2 + 4x + 2x + 2 = 3x2 + 9x,
więc x2 − 3x + 2 = 0. Jest to równanie kwadratowe, które ma dwa rozwiązania x1 = 2 oraz x2 = 1.
Odpowiedzi
562
Zadanie 4.3.13 (Wróć do zadania)Odpowiedźx = 2, y = − 1, a20 = 52
RozwiązaniePonieważ x + 3y − 4, − x + y + 1, x + y są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, więc
mamy
2(−x + y + 1) = x + 3y − 4 + x + y,
co po przekształceniu daje równanie 2x + y = 3.
Ponieważ – x + y + 1, x + y, 3x + 2y są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, mamy
2(x + y) = − x + y + 1 + 3x + 2y,
co po przekształceniu daje równanie y = − 1.
Z pierwszego otrzymanego równania mamy zatem x = 2.
Pierwsze wyrazy rozważanego ciągu arytmetycznego są więc równe −5, − 2, 1, 4, stąd różnica
ciągu jest równa r = 3. Dwudziesty wyraz wyliczamy za pomocą wzoru
a20 = a1 + 19r = − 5 + 19 ∙ 3 = 52.
Zadanie 4.3.14 (Wróć do zadania)Odpowiedź14 lub 28
RozwiązanieOznaczmy cyfrę jedności szukanej liczby przez a oraz cyfrę dziesiątek przez b. Ponieważ a i b
są cyframi oraz x jest liczbą dwucyfrową, więc a ? {0,1, … , 9}, b ? {1,2, … , 9}. Mamy wtedy, że
x = 10b + a. Szukany ciąg ma zatem postać (10b + a, 2a, 2b). Z twierdzenia o trzech kolejnych wy-
razach ciągu arytmetycznego otrzymujemy równanie 4a = 10b + a + 2b, stąd a = 4b. Wypisane wy-
żej warunki dla liczb a i b spełniają tylko dwie pary rozwiązań tego równania { a = 4
b = 1oraz { a = 8
b = 2
. Oznacza to, że istnieją dwie liczby o danej własności 14 oraz 28.
Zadanie 4.3.15 (Wróć do zadania)Odpowiedź33
Rozwiązanie
• sposób I
Zauważmy, że a9 =a9 − 5 + a9 + 5
2 =a4 + a14
2 , stąd a14 = 2a9 − a4 = 2 ∙ 17 − 1 = 33.
• sposób II
Ponieważ a9 − a4 = 5r, mamy r =165 . Ze wzoru na czwarty wyraz ciągu a4 = a1 + 3r, czyli
1 = a1 + 3 ∙ 165 . Stąd a1 = − 43
5 . Zatem a14 = a1 + 13r = − 435 + 13 ∙ 16
5 =165
5 = 33.
Odpowiedzi
563
Zadanie 4.3.16 (Wróć do zadania)Odpowiedź31,5
Rozwiązanie
• sposób I
Z własności ciągu arytmetycznego 2a3 = a2 + a4, stąd mamy a2 + a3 + a4 = 3a3. Ponieważ
a3 =a3 − 2 + a3 + 2
2 =a1 + a5
2 =4 + 17
2 =212 = 10,5. Ostatecznie mamy więc
a2 + a3 + a4 = 3 ∙ 212 =
632 = 31,5.
• sposób II
Ze wzoru na piąty wyraz ciągu arytmetycznego mamy
a5 = a1 + 4r = 4 + 4r,
stąd 4 + 4r = 17, czyli r =134 . Suma
a2 + a3 + a4 = a1 + r + a1 + 2r + a1 + 3r = 3a1 + 6r = 3 ∙ 4 + 6 ∙ 134 = 31,5.
Zadanie 4.3.17 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Pokażemy, że2
c + a =1
b + c +1
a + b .
Prawa strona jest równa
P =1
b + c +1
a + b =2b + a + c
(b + c)(a + b)=
(2b + a + c)(c + a)
(b + c)(a + b)(c + a)=
(2b + a + c)(c + a)
(b + c)(a + b)(c + a)=
a2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
(b + c)(a + b)(c + a)
Lewa strona jest równa
L =2
c + a =2(b + c)(a + b)
(b + c)(a + b)(c + a)=
2b2 + 2ab + 2bc + 2ac
(b + c)(a + b)(c + a)
Z założenia, że ciąg (a2, b2, c2) jest arytmetyczny, wiemy, że 2b2 = a2 + c2, co kończy dowód.
Odpowiedzi
564
Ciągi / Ciągi – suma wyrazów ciąguarytmetycznegoZadanie 4.4.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź23, 24, ... 122
RozwiązanieKolejne liczby naturalne są wyrazami ciągu arytmetycznego, w którym różnica jest równa 1.
Oznaczmy pierwszą z szukanych liczb, a więc pierwszy wyraz tego ciągu przez a1. Suma 100 po-
czątkowych wyrazów tego ciągu jest równa
S100 =2a1 + 99 ∙ 1
2 ∙ 100 = (2a1 + 99) ∙ 50
Z treści zadania wynika, że ta suma jest równa 7250. Otrzymujemy zatem równanie
(2a1 + 99) ∙ 50 = 7250
stąd a1 = 23. Kolejne wyrazy tego ciągu są równe a2 = 24, a3 = 25, … , a100 = 122.
Zadanie 4.4.3 (Wróć do zadania)OdpowiedźSuma n wyrazów ciągu arytmetycznego o wyrazie ogólnym an = 2n − 7 dla n ≥ 1 jest równa 352.
Ciąg składa się z 22 wyrazów.
Zadanie 4.4.4 (Wróć do zadania)Odpowiedź165 150
RozwiązanieMamy policzyć sumę 102 + 105 + 108 + ... + 999. Jest to suma ciągu arytmetycznego o różnicy r = 3
, pierwszym wyrazie a1 = 102 i ostatnim wyrazie an = 999. Wyznaczmy liczbę wyrazów ciągu. Po-
nieważ an = a1 + (n − 1)r, więc 999 = 102 + 3(n − 1), stąd n = 300. Poszukiwana suma jest równa
S300 =a1 + a300
2 ∙ 300 = (102 + 999) ∙ 150 = 165150
Zadanie 4.4.5 (Wróć do zadania)Odpowiedź6
RozwiązanieNiech n oznacza liczbę boków wielokąta, którego boki, od najkrótszego do najdłuższego, mają dłu-
gości: a1, a2, a3, … , an. Różnica ciągu (an) jest równa r = 5 , ostatni wyraz jest równy an = 28, na-
tomiast suma wszystkich wyrazów, a więc obwód wielokąta, jest równa Sn = 93. Mamy więc układ
równań
Odpowiedzi
565
{a1 + {n − 1 ∙ 5 = 28
2a1 + {n − 1 ∙ 5
2 ∙ n = 93
{a1 = 33 − 5n
[2[33 − 5n] + 5n − 5]n = 186
{ a1 = 33 − 5n
−5n2 + 61n − 186 = 0
Równanie −5n2 + 61n − 186 = 0 ma dwa rozwiązania n1 = 6,2 oraz n2 = 6. Ponieważ liczba wyrazów
ciągu jest liczbą całkowitą dodatnią, więc n = 6.
Zadanie 4.4.6 (Wróć do zadania)OdpowiedźRóżnica tego ciągu jest równa 3
Zadanie 4.4.7 (Wróć do zadania)Odpowiedź8 lub 22
RozwiązanieZauważmy, że Sn + 2 − Sn = an + 1 + an + 2 = an + 1 + an + 1 + r = 2an + 1 + r
Z danych z zadania mamy
240 − 176 = 2an + 1 + 2
stąd an + 1 = 31, czyli a1 + nr = 31. Stąd a1 = 31 − 2n, gdyż r = 2. Ze wzoru na sumę n początkowych
wyrazów ciągu arytmetycznego otrzymujemy
Sn =2a1 + (n − 1)r
2 ∙ n =2(31 − 2n) + (n − 1) ∙ 2
2 ∙ n = (30 − n) ∙ n
Ponieważ Sn = 176 , więc otrzymujemy równanie (30 − n) ∙ n = 176, czyli n2 − 30n + 176 = 0. Rów-
nanie to ma dwa rozwiązania n1 = 8 oraz n2 = 22, które są liczbami całkowitymi dodatnimi.
Zadanie 4.4.9 (Wróć do zadania)Odpowiedź210
Zadanie 4.4.10 (Wróć do zadania)Odpowiedź981
Odpowiedzi
566
RozwiązanieMamy policzyć sumę 12 + 17 + 22 + ... + 97. Zauważmy, że jest to suma wyrazów ciągu arytmetycz-
nego o różnicy r = 5. Zacznijmy od wyznaczenia liczby wyrazów tego ciągu. Ponieważ an = 97, to ze
wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego otrzymujemy a1 + (n − 1)r = 97, czyli 12 + (n − 1) ∙ 5 = 97
. Stąd 5n = 90, czyli n = 18. Suma 18 początkowych wyrazów tego ciągu jest zatem równa
S18 =12 + 97
2 ∙ 18 = 981.
Zadanie 4.4.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź494550
RozwiązanieMamy obliczyć sumę następujących liczb: 100, 101, 102, … , 999. Jest to suma 900 początko-
wych wyrazów ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie równym 100, ostatnim równym 999.
Zatem S =100 + 999
2 ∙ 900 = 494 550.
Zadanie 4.4.12 (Wróć do zadania)Odpowiedź6
RozwiązanieSuma n początkowych wyrazów w danym ciągu arytmetycznym jest równa
Sn =2a1 + (n − 1)r
2 ∙ n =2 ∙ 3 + (n − 1) ∙ 4
2 ∙ n. Ponieważ Sn < 80, więc otrzymujemy nierówność4n + 2
2 ∙ n < 80, czyli 2n2 + n − 80 < 0. Wykresem funkcji kwadratowej f(x) = 2x2 + x − 80 jest para-
bola, której ramiona zwrócone są do góry. Miejscami zerowymi tej funkcji są liczby
x1 =1 − √641
4 ≈ − 6,2 oraz x2 =−1 + √641
4 ≈ 6,1. Zatem liczby całkowite dodatnie n, które spełniają tę
nierówność, to: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Największą liczbą n, dla której Sn < 80 jest 6.
Zadanie 4.4.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź147
RozwiązanieObliczamy wyraz dziewiąty i czternasty ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego. Otrzymuje-
my równania a9 = a1 + 8r = 11 oraz a14 = a1 + 13r = 1. Odejmując stronami od drugiego równania
pierwsze, otrzymujemy 5r = − 10, stąd r = − 2. Stąd i z pierwszego równania a1 = 11 − 8 ∙ (−2) = 27
.
Szukana suma jest równa
S21 =2a1 + 20r
2 ∙ 21 = (27 − 20) ∙ 21 = 147
Zadanie 4.4.14 (Wróć do zadania)Odpowiedź45
Rozwiązanie
Z podanego wzoru obliczamy wyraz pierwszy i piętnasty a1 =2 ∙ 1 − 1
5 =15 , a15 =
2 ∙ 15 − 15 =
295 . Szuka-
na suma jest zatem równa S15 =a1 + a15
2 ∙ 15 =
15
+295
2 ∙ 15 = 45.
Odpowiedzi
567
Zadanie 4.4.15 (Wróć do zadania)Odpowiedź810
RozwiązanieZauważmy, że a16 = a1 + 15r, a17 = a2 + 15r, a18 = a3 + 15r, … , a30 = a15 + 15r. Zatem
a16 + a17 + … + a30 = a1 + a2 + … + a15 + 15 ∙ 15r = S15 + 225 ∙ 3 = 135 + 675 = 810
Zadanie 4.4.16 (Wróć do zadania)Odpowiedź8
RozwiązaniePo wstawieniu n − 2 liczb otrzymujemy n – wyrazowy ciąg arytmetyczny, w którym a1 = − 13
, an = 8 oraz Sn = − 25. Ponieważ suma n wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem
Sn =a1 + an
2 ∙ n, otrzymujemy równanie−13 + 8
2 ∙ n = − 25, stąd n = 10. Należy więc wstawić osiem
wyrazów pomiędzy dane liczby.
Zadanie 4.4.17 (Wróć do zadania)Odpowiedź
a1 = − 32 , r =
13
RozwiązanieStosując dwukrotnie wzór na sumę ciągu arytmetycznego, otrzymujemy układ równań
{2a1 + 7r
2 ∙ 8 = − 83
2a1 + 12r
2 ∙ 13 =132
{ 6a1 + 21r = − 2
2a1 + 12r = 1
{ 6a1 + 21r = − 2
−6a1 − 36r = − 3
Po dodaniu stronami otrzymujemy −15r = − 5, czyli r =13 . Stąd mamy 2a1 = 1 − 4 = − 3, więc
a1 = − 32 .
Zadanie 4.4.18 (Wróć do zadania)Odpowiedź5
Odpowiedzi
568
RozwiązanieKorzystając z własności iloczynu potęg o tej samej podstawie, zapisujemy lewą stronę rozważa-
nego równania w postaci 42 + 4 + 6 + … + 2n. Zauważmy, że 2 + 4 + 6 + … + 2n jest sumą n początko-
wych wyrazów ciągu arytmetycznego. Zatem
2 + 4 + 6 + … + 2n =2 + 2n
2 ∙ n = (n + 1)n
Prawa strona równania jest równa 0,25−30 = (14 )
−30= 430. Otrzymaliśmy więc 4(n + 1)n = 430. Równa-
nie jest równoważne równaniu (n + 1)n = 30, czyli n2 + n − 30 = 0. Równanie to ma dwa rozwiąza-
nia n1 = − 6 oraz n2 = 5. Ponieważ liczba wyrazów ciągu jest dodatnią liczbą całkowitą, więc rozwi-
ązaniem równania jest n = 5.
Zadanie 4.4.19 (Wróć do zadania)OdpowiedźZauważmy, że suma po lewej stronie równania jest sumą kolejnych n wyrazów ciągu arytmetycz-
nego, w którym a1 = n oraz an = n2. Zatem suma
Sn =a1 + an
2 ∙ n =n + n2
2 ∙ n =n2 + n3
2 =n2(n + 1)
2
Zadanie 4.4.20 (Wróć do zadania)Odpowiedź125
RozwiązanieZauważmy, że trzynasty wyraz ciągu jest środkowym wyrazem sumy a1 + a2 + a3 + … + a25. Z wła-
sności ciągu arytmetycznego otrzymujemy
2a13 = a13 − 12 + a13 + 12 = a1 + a25
2a13 = a13 − 5 + a13 + 5 = a8 + a18
2a13 = a13 − 3 + a13 + 3 = a10 + a16
Stąd a1 + a25 = a8 + a18 = a10 + a16. Zatem 20 = (a8 + a18) + (a10 + a16) = 2(a1 + a25), stąd
a1 + a25 = 10
Szukana suma jest więc równa S25 =a1 + a25
2 ∙ 25 = 5 ∙ 25 = 125.
Zadanie 4.4.21 (Wróć do zadania)Odpowiedź0
Rozwiązanie
Skorzystamy z własności ciągu arytmetycznego an =an + k + an − k
2 dla dowolnej dodatniej liczby cał-
kowitej k < n. Zatem a7 =a1 + a13
2 . Ponieważ siódmy wyraz jest równy zero, więc a1 + a13 = 0.
Odpowiedzi
569
Suma trzynastu pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem
S13 =a1 + a13
2 ∙ 13 =02 ∙ 13 = 0.
Zadanie 4.4.22 (Wróć do zadania)OdpowiedźKorzystając pięćdziesiąt razy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów, możemy lewą
stronę równości zapisać w postaci
1002 − 992 + 982 − 972 + 962 − 952 + … + 42 − 32 + 22 − 12 =
(100 − 99)(100 + 99) + (98 − 97)(98 + 97) + (96 − 95)(96 + 95) + … + (4 − 3)(4 + 3) + (2 − 1)(2 + 1) =
1 ∙ 199 + 1 ∙ 195 + 1 ∙ 191 + … + 1 ∙ 7 + 1 ∙ 3 =
199 + 195 + 191 + … + 7 + 3.
W ten sposób otrzymaliśmy sumę pięćdziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego o
różnicy r = − 4. Zatem suma ta jest równa
S50 =a1 + a50
2 ∙ 50 = (199 + 3) ∙ 25 = 5050
Odpowiedzi
570
Ciągi / Ciąg geometrycznyZadanie 4.5.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 4.5.5 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Rozwiązanie
Zadanie 4.5.7 (Wróć do zadania)Odpowiedźa4 = 5
q = 2 lub q = − 2
Zadanie 4.5.8 (Wróć do zadania)Odpowiedź
(4, 12, 36)
Tak. Dla dowolnej liczby dodatniej całkowitej n mamyan + 1
an=
(0,3)n + 1
(0,3)n = 0,3. Ponieważ iloraz
dowolnych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest stały i równy 0,3, więc jest to ciąg geo-
metryczny o ilorazie 0,3.
a)
Tak. Dla dowolnej liczby dodatniej całkowitej n mamybn + 1
bn=
2n+1
7
2n
7
= 2. Ponieważ iloraz do-
wolnych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest stały i równy 2, więc jest to ciąg geome-
tryczny o ilorazie 2.
b)
Tak. Dla dowolnej liczby dodatniej całkowitej n mamycn + 1
cn=
3n + 5
3n + 4 = 3. Ponieważ iloraz do-
wolnych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest stały i równy 3, więc jest to ciąg geome-
tryczny o ilorazie 3.
c)
an = 10 ∙ (12 )
n − 1a)
an =1
50 ∙ 5n − 1b)
Ze wzoru na szósty wyraz ciągu geometrycznego a6 = a1 ∙ q5 , czyli5
16 = 10q5, stąd q5 =1
32 ,
czyli q =12 . Wzór na n − ty wyraz tego ciągu ma postać an = 10 ∙ (1
2 )n − 1
.
a)
Zauważmy, że a6 = a3 ∙ q3, więc125
2 =12q3, stąd q3 = 125. Zatem q = 5. Ze wzoru na trzeci
wyraz ciągu otrzymujemy a3 = a1q2, czyli12 = a1 ∙ 52. Stąd a1 =
150 . Wzór ogólny ciągu ma za-
tem postać an =1
50 ∙ 5n − 1 .
b)
Odpowiedzi
571
RozwiązanieLiczby x − 1, 2x + 2, 6x + 6 są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, więc prawdziwa jest
równość (2x + 2)2
= (x − 1)(6x + 6), czyli 4x2 + 8x + 4 = 6x2 − 6x + 6x − 6. Otrzymaliśmy równanie
kwadratowe −x2 + 4x + 5 = 0, które ma dwa rozwiązania x1 = 5 oraz x2 = − 1. To oznacza, że mamy
dwa ciągi (4, 12, 36) oraz ( − 2, 0, 0). Rosnący jest tylko ciąg pierwszy.
Zadanie 4.5.9 (Wróć do zadania)Odpowiedź
q = − 3 oraz a1 = 1 lub q = − 13 oraz a1 = − 9
Rozwiązanie
Kolejne wyrazy ciągu geometrycznego dane są wzorami a1, a1q, a1q2 oraz q ≠ 0. Iloczyn tych
trzech wyrazów jest równy a1 ∙ a1q ∙ a1q2 = 27, czyli (a1q)3
= 27. Stąd a1q = 3. Suma wyrazów ci-
ągu jest z kolei równa a1 + a1q + a1q2 = − 7, więc a1 + 3 + a1q2 = − 7, a dalej a1 + a1q2 = − 10. To
możemy zapisać w postaci a1 + a1q ∙ q = − 10, czyli a1 + 3 ∙ q = − 10. Stąd a1 = − 3q − 10. Podsta-
wiając w równaniu a1q = 3 w miejsce a1 wyrażenie −3q − 10, otrzymujemy równanie kwadratowe
z jedną niewiadomą q
(−3q − 10)q = 3
−3q2 − 10q = 3
3q2 + 10q + 3 = 0
Równanie to ma dwa rozwiązania q1 = − 3 oraz q2 = − 13 . To oznacza, że są dwa ciągi geome-
tryczne spełniające podane w zadaniu warunki. Iloraz jednego z tych ciągów jest równy q = − 3, a
pierwszy wyraz jest równy a1 = − 3 ∙ (−3) − 10 = − 1. Iloraz drugiego z ciągów jest równy q = − 13 , a
pierwszy wyraz a1 = − 3 ∙ (− 13 ) − 10 = − 9.
Zadanie 4.5.10 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Ponieważ ciąg (an) jest geometryczny, więc mamy an + 1 = anq, an + 2 = anq2, an + 3 = anq3. Obliczmy
iloczyny anan + 3 = an ∙ anq3 = an2q3 oraz an + 1an + 2 = anq ∙ anq2 = an
2q3. Mamy więc
anan + 3 = an + 1an + 2, co było do udowodnienia.
Zadanie 4.5.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź
a20 = 3 ∙ (13 )
19
Zadanie 4.5.12 (Wróć do zadania)Odpowiedź2
Odpowiedzi
572
Zadanie 4.5.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź3 + √3
6 ,1 + √3
6 ,3 + √3
18
Zadanie 4.5.14 (Wróć do zadania)Odpowiedź
a1 ∙ a3 =9
16
Zadanie 4.5.15 (Wróć do zadania)Odpowiedź4
Rozwiązanie
Korzystając ze wzoru na czwarty wyraz ciągu geometrycznego, mamy a4 = a1 ∙ q3, czyli 192 = 3q3,
i dalej q3 = 64. Stąd wynika, że q = 4.
Zadanie 4.5.16 (Wróć do zadania)Odpowiedź169
Rozwiązanie
Znając dwa kolejne wyrazy ciągu geometrycznego, obliczamy iloraz tego ciągu q =a4a3
=
341 =
34
. Korzystając ze wzoru na n − ty wyraz ciągu geometrycznego, otrzymujemy a3 = a1q2, czyli
1 = a1(34 )
2= a1
916 . Stąd a1 =
169 .
Zadanie 4.5.17 (Wróć do zadania)Odpowiedź
an =5 ∙ 6n − 1
384 lub an = −5 ∙ ( − 6)
n − 1
384
RozwiązanieZauważmy, że
q2 =a6a4
=
4054
4516
=405
4 ∙ 1645 = 9 ∙ 4 = 36,
stąd q = 6 lub q = − 6. Oznacza to, że są dwa ciągi geometryczne o podanych wyrazach. Czwarty
wyraz ciągu geometrycznego jest równy a4 = a1q3, stąd a1 =a4
q3 . Gdy q = 6 , to a1 =
4516
63 =5
384 , więc
wtedy ciąg (an) ma wzór ogólny postaci an =5 ∙ 6n − 1
384 , a gdy q = − 6, to wówczas
a1 =
4516
( − 6)3
= − 5384 ,
a wzór ogólny ma postać an = −5 ∙ ( − 6)
n − 1
384 .
Odpowiedzi
573
Zadanie 4.5.18 (Wróć do zadania)Odpowiedźszóstym
RozwiązanieKorzystając ze wzoru na n − ty wyraz ciągu geometrycznego, mamy
96 = an = a1qn − 1 = (−3)(−2)n − 1
, czyli (−2)n − 1
= − 32, stąd n − 1 = 5. Zatem n = 6.
Zadanie 4.5.19 (Wróć do zadania)Odpowiedź
−2 lub − 12
Rozwiązanie
Ze wzoru na n-ty wyraz ciągu otrzymujemy a2 = a1q oraz a3 = a1q2. Opisany w zadaniu stosunek
jest równya1 + a1q + a1q2
a1 + a1q2 =35 , czyli
1 + q + q2
1 + q2 =35 . Stąd, z własności proporcji, otrzymujemy równanie
5 + 5q + 5q2 = 3 + 3q2 . Otrzymane równanie kwadratowe 2q2 + 5q + 2 = 0 ma dwa rozwiązania
q = − 2 oraz q = − 12 .
Zadanie 4.5.20 (Wróć do zadania)Odpowiedź3
Rozwiązanie
Mamy wyznaczyć taką liczbę x, dla której ciąg (−2 + x, 2 + x, 22 + x) jest geometryczny. Z własno-
ści ciągu geometrycznego otrzymujemy równanie (2 + x)2
= (x − 2)(22 + x), które jest równoważne
równaniu 16x = 48. Stąd x = 3.
Zadanie 4.5.22 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Ponieważ ciąg (an) jest geometryczny, więcan + 1
an= q, gdzie q jest ilorazem tego ciągu. Zbadajmy,
jak wygląda iloraz kolejnych dowolnych wyrazów ciągu bn i cn.
bn + 1bn
=
2an+1
2an
=2
an + 1∙
an2 =
anan + 1
=1q ,
a więc iloraz jest liczbą stałą, niezależną od n. Zatem ciąg (bn) jest geometryczny, a jego iloraz jest
równy1q
cn + 1cn
=a
3(n + 1)a3n
=a3n + 3
a3n=
a1q3n + 2
a1q3n − 1 = q3,
więc iloraz jest liczbą stałą, niezależną od n. Zatem ciąg (cn) jest geometryczny, a jego iloraz jest
równy q3.
Odpowiedzi
574
Zadanie 4.5.23 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Rozwiązanie
sposób II
Obliczamy iloraz ciągu geometrycznego q =a2a1
=1 + √32 + √3 =
(1 + √3)(2 − √3)(2 + √3)(2 − √3)
=2 + 2√3 − √3 − 3
4 − 3 = √3 − 1. Trzeci
wyraz ciągu jest więc równy x = a2q = (1 + √3)(√3 − 1) = √3 + 3 − 1 − √3 = 2.
Zadanie 4.5.24 (Wróć do zadania)Odpowiedźa = 360 oraz b = 300
RozwiązanieNiech q oznacza iloraz danego ciągu. Ponieważ 250 jest czwartym wyrazem ciągu geometrycz-
nego, więc 250 = a1q3 = 432q3, stąd q3 =250432 =
125216 , czyli q =
56 . Drugi wyraz tego ciągu jest zatem
równy a = a1q = 432 ∙ 56 = 360, a trzeci b = aq = 360 ∙ 5
6 = 300.
Zadanie 4.5.25 (Wróć do zadania)Odpowiedź4 lub −4
RozwiązanieSuma pierwszych sześciu wyrazów jest równa 1, czyli a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 1. To równanie
możemy zapisać w postaci a1 + a1q + a1q2 + a1q3 + a1q4 + a1q5 = 1, czyli
a1(1 + q + q2 + q3 + q4 + q5) = 1.
Suma sześciu ostatnich wyrazów jest równa 16, a więc a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 = 16. To równanie
możemy zapisać, podobnie jak poprzednie, w postaci
a1q2 + a1q3 + a1q4 + a1q5 + a1q6 + a1q7 = 16,
czyli
a1q2(1 + q + q2 + a13 + q4 + q5) = 16
x = 14 i q = 7 lub x = − 14 i q = − 7a)
x = 2 i q = √3 − 1b)
Z własności ciągu geometrycznego otrzymujemy warunek x2 = 2 ∙ 98 = 196, stąd x = 14 lub
x = − 14. Oznacza to, że są dwa takie ciągi geometryczne. Gdy x = 14 , to wtedy iloraz tego
ciągu jest równy q =142 = 7, a gdy x = − 14, to iloraz ciągu jest równy q =
−142 = − 7.
a)
sposób I
Z własności ciągu geometrycznego otrzymujemy równanie (1 + √3)2
= (2 + √3)x, stąd
x =(1 + √3)
2
(2 + √3)=
1 + 2√3 + 32 + √3 =
4 + 2√32 + √3 =
2(2 + √3)2 + √3 = 2. Wtedy iloraz ciągu jest równy
q =2
1 + √3 =2(1 − √3)
(1 + √3)(1 − √3)=
2 − 2√31 − 3 = √3 − 1.
b)
Odpowiedzi
575
Z pierwszego równania wynika, że a1 ≠ 0 i 1 + q + q2 + … + q5 ≠ 0, gdyż w przeciwnym razie rów-
nanie a1(1 + q + q2 + q3 + q4 + q5) = 1 byłoby sprzeczne (lewa jego strona byłaby równa 0, a prawa
byłaby różna od 0). Możemy więc podzielić przez siebie lewe i prawe strony otrzymanych równań.
Stąd otrzymujemy q2 = 16, stąd q = 4 lub q = − 4.
Zadanie 4.5.26 (Wróć do zadania)Odpowiedź
q = 2 i a1 =1
42 lub q = − 2 i a1 = − 142
Rozwiązanie
Ze wzoru na n-ty wyraz mamy a1q3 + 17a1q = 1 oraz a1q + a1q3 + a1q5 = 1. Rozwiążmy układ rów-
nań
{ a1q{q2 + 17 = 1
a1q{1 + q2 + q4 = 1
Z pierwszego równania wynika, że a1 ≠ 0, q ≠ 0 oraz q2 + 17 ≠ 0, gdyż w przeciwnym razie równa-
nie byłoby sprzeczne (lewa jego strona byłaby równa 0, a prawa różna od 0). Dzieląc lewą stronę
drugiego równania przez lewą stronę pierwszego i prawą drugiego przez prawą pierwszego, otrzy-
mujemy
1 + q2 + q4
q2 + 17= 1
Stąd
1 + q2 + q4 = q2 + 17
q4 = 16
q = 2 lub q = − 2.
Gdy q = 2 , to a1 ∙ 2 ∙ (4 + 17) = 1, a więc a1 =1
42 . Gdy natomiast q = − 2, to a1 ∙ (−2) ∙ (4 + 17) = 1,
czyli a1 = − 142 .
Zadanie 4.5.27 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Niech (a, b, c) będzie ciągiem geometrycznym, w którym wyrazy a, b i c to liczby całkowite różne
od zera. Z własności ciągu geometrycznego wynika, że b2 = ac. Suma kwadratów tych wyrazów
jest więc równa
a2 + b2 + c2 = a2 + ac + c2 = (a + c)2
− ac = (a + c)2
− b2 = (a + c + b)(a + c − b)
Odpowiedzi
576
czyli jest podzielna przez a + b + c, ponieważ a + c − b jest liczbą całkowitą.
Zadanie 4.5.28 (Wróć do zadania)OdpowiedźPrzypuśćmy, że liczby 5, 6 i 7 są pewnymi wyrazami tego samego ciągu geometrycznego o ilorazie
q. Możemy przyjąć, że jest to ciąg rosnący. Zatem istnieją takie dodatnie liczby całkowite n, m
, że 6 = 5qn, 7 = 5qm oraz n < m. Podnosząc obie strony pierwszej równości do potęgi m oraz
obie strony drugiej równości do potęgi n, otrzymujemy 6m = 5mqm + n oraz 7n = 5nqm + n. Stąd
qm + n =6m
5m oraz qm + n =7n
5n . Porównując prawe strony otrzymanych równań, mamy6m
5m =7n
5n , stąd
5m − n =6m
7n . Otrzymujemy sprzeczność, ponieważ 5m − n jest liczbą całkowitą, a liczba6m
7n nie jest
całkowita.
Odpowiedzi
577
Ciągi / Suma wyrazów ciągugeometrycznegoZadanie 4.6.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź37830
Rozwiązanie
Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy a1 = 512 ∙ (32 )
1= 768, a iloraz jest równy q =
32 . Możemy teraz
obliczyć sumę ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu
S8 = a11 − q8
1 − q = 768 ∙1 − (3
2 )8
1 −32
= 768 ∙ 2 ∙ ((32 )
8− 1) = 1536 ∙ (6561
256 − 1) = 1536 ∙ 6305256 = 37830.
Zadanie 4.6.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź341
Rozwiązanie
Ponieważ a6 = a3q3, więc 32 = − 4q3, stąd q3 = − 8, czyli q = − 2. Trzeci wyraz tego ciągu jest równy
−4, więc a3 = a1q2, stąd −4 = a1(−2)2. Zatem a1 = − 1. Możemy teraz obliczyć sumę dziesięciu po-
czątkowych wyrazów tego ciągu
S10 = a11 − q10
1 − q = − 1 ∙1 − (−2)
10
1 + 2 341
Zadanie 4.6.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź40952048
Rozwiązanie
Zauważmy najpierw, że jeżeli (an) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q, to wyrazy tego ciągu o
numerach parzystych także tworzą ciąg geometryczny, którego pierwszym wyrazem jest a2 oraz
którego iloraz jest równy q2, gdyż a2n = a1q2n − 1 = a1q ∙ q2n − 2 = a2(q2)n − 1
. Zatem mamy obliczyć
sumę sześciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (bn), w którym b1 = a2 = 3 ∙ 12 =
32
oraz iloraz qb = q2 = (12 )
2=
14 . Suma ta jest więc równa
S6 = b1
1 − qb6
1 − qb=
32 ∙
1 − (14 )
6
1 −14
=32 ∙ 4
3 ∙ (1 − 14096 ) =
40952048
Zadanie 4.6.4 (Wróć do zadania)Odpowiedźz siedmiu
Odpowiedzi
578
RozwiązanieDługości odcinków łamanej są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, w którym a1 = 640 oraz
q =12 . Długość łamanej jest więc sumą n początkowych wyrazów tego ciągu. Ponieważ Sn = a1
1 − qn
1 − q
, więc otrzymujemy równanie 1270 = 640 ∙1 − (1
2 )n
1 −12
, stąd1270640 ∙ 1
2 = 1 − (12 )
n, czyli
127128 = 1 − (1
2 )n. Stąd
(12 )
n=
1128 = (1
2 )7. Zatem n = 7, czyli łamana składa się z siedmiu odcinków.
Zadanie 4.6.5 (Wróć do zadania)Odpowiedź2059
72
RozwiązanieSuma 7 pierwszych wyrazów ciągu jest równa
S7 = a11 − qn
1 − q =818 ∙
1 − (23 )
7
1 −23
=818 ∙
1 −128
218713
=243
8 ∙ 20592187 =
205972 .
Zadanie 4.6.6 (Wróć do zadania)Odpowiedź2
Rozwiązanie
Przekształcając wzór na sumę pierwszych ośmiu wyrazów ciągu S8 = a11 − q8
1 − q , otrzymujemy
30 + 30√2 = a11 − (√2)
8
1 − √2 , stąd a1 =30(1 + √2)(1 − √2)
1 − 24 =30(1 − 2)
1 − 16 =3015 = 2.
Zadanie 4.6.7 (Wróć do zadania)Odpowiedź
a6 = − 14
Rozwiązanie
Przekształcając wzór na sumę pierwszych n wyrazów Sn = a11 − qn
1 − q , otrzymujemy
−1534 = − 8 ∙
1 − ( 12 )
n
1 −12
, skąd kolejno
634 = 16 ∙ (1 − ( 1
2 )n
)
6364 = 1 − ( 1
2 )n
( 12 )
n=
164 = ( 1
2 )6
Odpowiedzi
579
i ostatecznie n = 6.
Szósty wyraz rozważanego ciągu obliczamy ze wzoru
a6 = a1q5 = − 8 ∙ ( 12 )
5= − 1
4
Zadanie 4.6.8 (Wróć do zadania)Odpowiedź8
Rozwiązanie
Przekształcając wzór ogólny ciągu, otrzymujemy an = (−2)n + 1
= (−2)2
∙ (−2)n − 1
= 4 ∙ (−2)n − 1
, stąd
możemy odczytać pierwszy wyraz tego ciągu a1 = 4 oraz iloraz q = − 2.
Sumę n pierwszych wyrazów ciągu obliczamy ze wzoru Sn = a11 − qn
1 − q , czyli −340 = 4 ∙1 − (−2)
n
1 − ( − 2), stąd
kolejno
−340 =43 (1 − (−2)
n)
−255 = 1 − (−2)n
(−2)n
= 256 = (−2)8
Ostatecznie n = 8. Po zsumowaniu pierwszych ośmiu wyrazów tego ciągu otrzymamy −340.
Zadanie 4.6.9 (Wróć do zadania)Odpowiedźa6 = 96
RozwiązaniePonieważ ciąg jest geometryczny, więc ma postać
(a1, a1q, a1q2, a1q3, a1q4, a1q5).
Wiemy, że suma wyrazów stojących na pozycjach nieparzystych wynosi
a1 + a1q2 + a1q4 = 63
oraz suma wyrazów stojących na pozycjach parzystych wynosi
a1q + a1q3 + a1q5 = 126
Drugie równanie przekształcamy do postaci q(a1 + a1q2 + a1q4) = 126 i wstawiając do niego warto-
ść z pierwszego równania, otrzymujemy q ∙ 63 = 126, stąd q = 2.
Wstawiając wyliczony iloraz do równania a1 + a1q2 + a1q4 = 63, mamy
a1 + 4a1 + 16a1 = 63,
Odpowiedzi
580
czyli 21a1 = 63 i ostatecznie a1 = 3.
Obliczamy szósty wyraz tego ciągu a6 = a1q5 = 3 ∙ 25 = 96.
Zadanie 4.6.10 (Wróć do zadania)Odpowiedź4960
RozwiązanieSuma, którą należy obliczyć, to a6 + a7 + a8 + a9 + a10. Obliczymy ją dwoma sposobami.
• sposób I
Zauważmy, że wystarczy obliczyć sumy S10 oraz S5 odpowiednio dziesięciu i pięciu początkowych
wyrazów tego ciągu, a następnie od pierwszej z obliczonych sum odjąć drugą.
S10 = a11 − q10
1 − q = 5 ∙ 1 − 210
1 − 2 = 5 ∙ 210 − 11 = 5(1024 − 1) = 5115
S5 = a11 − q5
1 − q = 5 ∙ 1 − 25
1 − 2 = 5 ∙ 25 − 11 = 5(32 − 1) = 155.
Zatem
a6 + a7 + a8 + a9 + a10 = S10 − S5 = 5115 − 155 = 4960
• sposób II
Zauważmy, że ciąg, którego kolejnymi wyrazami są a6, a7, a8, a9, a10, to pięciowyrazowy ciąg geo-
metryczny, którego pierwszym wyrazem jest szósty wyraz ciągu (an) oraz którego iloraz jest taki
sam, jak iloraz ciągu (an), czyli q = 2. Zatem
a6 + a7 + a8 + a9 + a10. = a6 ∙ 1 − q5
1 − q = a1q5 ∙ 1 − q5
1 − q = 5 ∙ 25 ∙ 1 — 25
1 − 2 = 5 ∙ 32 ∙ 31 = 4960
Zadanie 4.6.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź
a5 = 3888 lub a5 =3888
49
RozwiązanieZauważmy, że sumę trzech pierwszych wyrazów możemy obliczyć jako sumę sumy dwóch pierw-
szych wyrazów i wyrazu trzeciego
S3 = S2 + a3 = S2 + a1q2 = 21 + a1q2,
stąd 129 = 21 + a1q2, czyli a1q2 = 108.
Sumę dwóch pierwszych wyrazów obliczamy jako
S2 = a1 + a1q = a1(1 + q),
czyli a1(1 + q) = 21. Zauważmy, że a1 ≠ 0 oraz 1 + q ≠ 0. Gdyby tak nie było, to ostatnie równanie
byłoby sprzeczne (po lewej stronie byłoby 0, a po prawej stronie 21). Dzieląc równanie a1q2 = 108
stronami przez równanie a1(1 + q) = 21, otrzymujemya1q2
a1(1 + q)=
10821 , czyli
q2
1 + q =367 . Korzystając z
Odpowiedzi
581
własności proporcji, otrzymujemy równanie kwadratowe 7q2 = 36 + 36q, które przekształcamy do
postaci 7q2 − 36q − 36 = 0. Równanie to ma dwa rozwiązania q = − 67 lub q = 6. Otrzymujemy więc
dwa ciągi, pierwszy o ilorazie q = − 67 i pierwszym wyrazie a1 =
108
q2 =108
(67 )
2 =108 ∙ 49
36 = 147 oraz drugi
o ilorazie q = 6 i pierwszym wyrazie a1 =108
q2 =10836 = 3. Piąty wyraz jest równy w pierwszym ciągu
a5 = a1q4 = 147 ∙ (− 67 )
4=
3 ∙ 129649 =
388849
w drugim ciągu
a5 = a1q4 = 3 ∙ 64 = 3888
Zadanie 4.6.12 (Wróć do zadania)Odpowiedź95551024
RozwiązanieSześć pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego tworzy następujący ciąg
(a1, a3, a5, a7, a9, a11) = (a1, a1q2, a1q4, a1q6, a1q8, a1q10)
Zauważmy, że jest to też ciąg geometryczny (bn), o pierwszym wyrazie b1 = a1 = 7 oraz ilorazie
równym
Q = q2 = (− 12 )
2=
14
Obliczmy sumę tego ciągu
S6 = b1 + b2 + … + b6 = b11 − Q6
1 − Q = 7 ∙1 − (1
4 )6
1 −14
= 7 ∙1 −
1409634
= 7 ∙ 40954096 ∙ 4
3 =7 ∙ 1365
1024 =95551024
Zadanie 4.6.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Wyznaczmy wzór na n-ty wyraz ciągu (an). Zauważmy, że n-ty wyraz ciągu, dla każdej liczby całko-
witej n > 1 , jest równy
an = Sn − Sn − 1 = (4n + 1 − 4) − (4n − 4) = 4n + 1 − 4n = 4n(4 − 1) = 3 ∙ 4n = 12 ∙ 4n − 1.
To oznacza, że (an) jest ciągiem geometrycznym, w którym pierwszy wyraz a1 = 12 i ilorazie q = 4.
Zadanie 4.6.14 (Wróć do zadania)OdpowiedźZe wzoru na sumę pierwszych n wyrazów ciągu geometrycznego liczymy opisane sumy
Odpowiedzi
582
S10 = a11 − q10
1 − q , S5 = a11 − q5
1 − q
Ich stosunek jest równy
33 =a1
1 − q10
1 − q
a11 − q5
1 − q
=1 − q10
1 − q5 =(1 − q5)(1 + q5)
1 − q5 = 1 + q5,
stąd q5 = 32, czyli q = 2.
Zadanie 4.6.15 (Wróć do zadania)OdpowiedźZapisując podaną sumę w następujący sposób
(5 − 3) + (52 − 32) + (53 − 33) + … + (5n − 3n) = (5 + 52 + 53 + … + 5n) − (3 + 32 + 33 + … + 3n),
otrzymujemy różnicę sum pierwszych n wyrazów dwóch ciągów geometrycznych.
W pierwszym ciągu a1 = 5 oraz q = 5, czyli suma n wyrazów tego ciągu wynosi
5 + 52 + 53 + … + 5n = 5 ∙ 1 − 5n
1 − 5 .
W drugim ciągu a1 = 3 oraz q = 3, czyli suma n wyrazów tego ciągu wynosi
3 + 32 + 33 + … + 3n = 3 ∙ 1 − 3n
1 − 3 .
Szukana różnica jest więc równa
5 ∙ 1 − 5n
1 − 5 − 3 ∙ 1 − 3n
1 − 3 =5 − 5n + 1
−4 − 3 − 3n + 1
−2 =5n + 1 − 5
4 +6 − 2 ∙ 3n + 1
4 =5n + 1 − 2 ∙ 3n + 1 + 1
4
Zadanie 4.6.16 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Chcemy obliczyć sumę 30 + 31 + 32 + … + 39. Zauważmy, że jest to suma dziesięciowyrazowego ci-
ągu geometrycznego, w którym pierwszy wyraz jest równy a1 = 1 oraz q = 3. Sumę tego ciągu ob-
liczamy ze wzoru
S10 = a11 − q10
1 − q = 1 ∙ 1 − 310
1 − 3 =310 − 1
2
Zadanie 4.6.17 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Sna1 ∙ an
Rozwiązanie
Sn = a1 + a2 + … + an = a1 + a1q + a1q2 + … + a1qn − 1. Suma odwrotności wyrazów tego ciągu jest
równa
1a1
+1
a2+
1a3
+ … +1
an=
1a1
+1
a1q +1
a1q2 + … +1
a1qn − 1
Wspólnym mianownikiem wszystkich ułamków jest a1qn − 1 i suma ma postać
Odpowiedzi
583
qn − 1 + qn − 2 + … + q + 1
a1qn − 1 =qn − 1 + qn − 2 + … + q + 1
an
Mnożąc licznik i mianownik przez a1, otrzymujemySn
a1 ∙ an.
Zadanie 4.6.18 (Wróć do zadania)OdpowiedźLiczbę, w zapisie której występuje 2n jedynek, możemy zapisać jako sumę
102n − 1 + 102n − 2 + … + 102 + 10 + 1. Jest to suma ciągu geometrycznego składającego się z 2n wy-
razów, w którym pierwszy wyraz a1 = 1 oraz iloraz q = 10. Zapisując sumę takiego ciągu, otrzymu-
jemy
1 − q2n
1 − q =1 − 102n
1 − 10 =19 (102n − 1)
Drugą z liczb, w zapisie której występuje n dwójek, możemy zapisać jako sumę
2 ∙ 10n + 2 ∙ 10n − 1 + … + 2 ∙ 10 + 2. Jest to suma ciągu geometrycznego składającego się z n wyra-
zów, w którym pierwszy wyraz o a1 = 2 oraz iloraz q = 10. Zapisując sumę takiego ciągu, otrzymu-
jemy
a11 − qn
1 − q = 2 ∙ 1 − 10n
1 − 10 =29 (10n − 1)
11...1?
2n
− 22...2?n
=19 (102n − 1) − 2
9 (10n − 1) =19 (102n − 2 ∙ 10n + 1) =
(10n − 1)2
32 = (10n − 13 )
2
.
Liczba10n − 1
3 jest naturalna, ponieważ 10n − 1 = 99 … 9?
n − 1
, czyli dzieli się przez 3.
Zadanie 4.6.19 (Wróć do zadania)Odpowiedź
29 (10n + 1 − 10
9 − n)RozwiązanieZauważmy, że kolejne składniki występujące w sumie możemy zapisać następująco
22 = 2 ∙ 10 + 2
222 = 2 ∙ 102 + 2 ∙ 10 + 2
2222 = 2 ∙ 103 + 2 ∙ 102 + 2 ∙ 10 + 2
i tak dalej aż do ostatniego wyrazu
Odpowiedzi
584
22 … 2?n
= 2 ∙ 10n − 1 + 2 ∙ 10n − 2 + … + 2 ∙ 10 + 2.
Zauważmy, że każda z powyższych liczb jest sumą innej liczby wyrazów (kolejno 2, 3, 4, ...n) ci-
ągu geometrycznego, w którym pierwszy wyraz jest równy 2 i iloraz jest równy q = 10. Sumę takie-
go ciągu obliczamy ze wzoru
Sn = a11 − qn
1 − q = 2 ∙ 1 − 10n
1 − 10 =29 (10n − 1),
czyli rozważane liczby są równe kolejno
22 =29 (102 − 1)
222 =29 (103 − 1)
2222 =29 (104 − 1)
i tak dalej aż do ostatniego wyrazu
22 … 2?n
=29 (10n − 1)
Zauważmy jeszcze, że
2 =29 (10 − 1)
Obliczmy teraz szukaną sumę
2 + 22 + 222 + … + 2 … 22?n
=29 (10 − 1) +
29 (102 − 1) +
29 (103 − 1)+
29 (104 − 1) + … +
29 (10n − 1) =
29 (10 + 102 + 103 + 104 + … + 10n) − 2
9n
Zapisana w nawiasie suma kolejnych potęg liczby 10 jest ciągiem geometrycznym składającym się
z n wyrazów, w którym pierwszy wyraz jest równy 10 i iloraz jest równy 10. Korzystając ze wzoru na
sumę takiego ciągu, otrzymujemy
Sn = a11 − qn
1 − q = 10 ∙ 1 − 10n
1 − 10 =109 (10n − 1)
Stąd
2 + 22 + 222 + … + 2 … 22?n
=29 ∙ 10
9 (10n − 1) − 29n =
29 (10n + 1 − 10
9 − n)
Odpowiedzi
585
Ciągi / Procent składanyZadanie 4.7.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź2654 zł
Rozwiązanie
Kp = 2500 zł
n = 2 ∙ 4 kwartały = 8 kwartałów
p% =3%4 = 0,75%
K8 = 2500 zł ∙ (1 +0,75100 )
8= 2500 zł ∙ (1,0075)
8= 2500 zł ∙ 1,0615988 … . ≈ 2654 zł.
Zauważmy, że na końcowy wynik ma wpływ to, z jaką dokładnością zaokrąglony zostanie wynik
potęgowania liczby 1,0075. Końcowa kwota może się różnić nawet o kilka złotych np.:
K8 = 2500 zł ∙ (1,0075)8
= 2500zł ∙ 1,0616 = 2654 zł
K8 = 2500 zł ∙ (1,0075)8
= 2500zł ∙ 1,062 = 2655 zł
K8 = 2500 zł ∙ (1,0075)8
= 2500zł ∙ 1,06 = 2650 zł
Warto pamiętać, że banki w obliczeniach stosują dokładne wyniki potęgowania, natomiast za-
okrąglane są ostateczne kwoty lokaty.
Zadanie 4.7.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Odpowiedzi
586
liczba
lat
liczba okresów
kapitalizacji
sposób kapitali-
zacji lokaty
oprocentowanie w
skali roku
oprocentowanie w okre-
sie kapitalizacji
4 4 rocznie 8% 8%
3 12 kwartalnie 12% 3%
2 24 miesięcznie 6% 0,5%
5 10 półrocznie 3% 1,5%
6 6 rocznie 4% 4%
2 12 dwumiesięcznie 6% 1%
Zadanie 4.7.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Tabela przedstawia stan lokaty w kolejnych miesiącach jej trwania. Zaznaczone są miesiące, po
których nastąpiła kapitalizacja odsetek.
Stan lokaty po upływie n miesięcyczas trwa-
nia lokaty
[miesiące] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
kapitalizacja
miesięczna 10050 10100,25 10150,75 10201,51 10252,51 10303,78 10355,29 10407,07 10459,11 10511,40 10563,96 10616,78
kapitalizacja
kwartalna 10000 10000 10150 10150 10150 10302,25 10302,25 10302,25 10456,78 10456,78 10456,78 10613,64
kapitalizacja
półroczna 10000 10000 10000 10000 10000 10300 10300 10300 10300 10300 10300 10609
kapitalizacja
roczna 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10600
Zauważmy, że największy zysk przyniesie jak najczęstsza kapitalizacja – w tym przypadku mie-
sięczna.
Te same zależności możemy zaobserwować na diagramie
10600 zła)
10609 złb)
10613,64 złc)
10616,78 złd)
Odpowiedzi
587
Ilustracja 1. Procent skladany_atrapa_rys_400
Zadanie 4.7.4 (Wróć do zadania)OdpowiedźPo 10 miesiącach.
Rozwiązanie
Kp = 1350 zł
p% =4,5%
12 = 0,375%
Kn > 1400 zł
Po wstawieniu do wzoru otrzymamy
Kn = 1350 zł ∙ (1 +0,375100 )
n= 1350 zł ∙ (1,00375)
n> 1400 zł
czyli
1350 ∙ (1,00375)n
> 1400
(1,00375)n
> 1, (037)
Używając kalkulatora, sprawdzimy, że (1,00375)9
≈ 1,034261 < 1, (037), ale
(1,00375)10
≈ 1,03814 > 1, (037).Z tego wynika, że kwota 1400 zł zostanie przekroczona po 10 miesiącach oszczędzania.
Zadanie 4.7.5 (Wróć do zadania)Odpowiedź6339,30 zł
Odpowiedzi
588
RozwiązaniePierwszej wpłaty Henryk dokonał w dniu narodzin wnuka, ostatniej w dniu jego 17 urodzin. Ostat-
nia, 18 kapitalizacja odsetek nastąpiła w dniu 18 urodzin. Wtedy stan konta lokaty był równy
s18 = 250 ∙ 1,035 + 250 ∙ (1,035)2
+ … + 250 ∙ (1,035)18
= 250 ∙ 1,035 ∙ 1 − 1,03518
1 − 0,035 ≈ 6339,295124 ≈ 6339,30 zł
Zadanie 4.7.6 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 4.7.7 (Wróć do zadania)Odpowiedź
kapitał początkowy(z
dokładnością do 1 zł)
oprocentowanie
roczne
okres kapi-
talizacji
czas trwa-
nia lokaty
kapitał końcowy(z do-
kładnością do 1 gr)
2500 zł 4% półroczna 3 lata 2815,41 zł
4500 zł 6% kwartalna 2 lata 5069,22 zł
1480 zł 3,5% roczna 6 lat 1819,30 zł
3600 zł 4% kwartalna 3,5 roku 4138,11 zł
7500 zł 6% miesięczna 1 rok 7962,58 zł
Zadanie 4.7.8 (Wróć do zadania)OdpowiedźZnaczek będzie wart około 475,83 zł.
Zadanie 4.7.9 (Wróć do zadania)OdpowiedźPo 6 latach komputer będzie wart około 1860 zł.
Zadanie 4.7.10 (Wróć do zadania)OdpowiedźKwota lokaty po 12 miesiącach to 1905,97 zł. Po opłaceniu kursu zostanie 105,97 zł.
Zadanie 4.7.11 (Wróć do zadania)Odpowiedźpo 15 latach
Zadanie 4.7.12 (Wróć do zadania)OdpowiedźKwota tej lokaty po roku w banku X − 3893,76 zł, a w banku Y − 3896,76 zł. W banku Y Kuba zy-
ska więcej o 3 zł.
2323,98 zła)
2126,44 złb)
Odpowiedzi
589
Zadanie 4.7.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 4.7.14 (Wróć do zadania)OdpowiedźPo roku – 371,76 zł, a po dwóch latach – 757,34 zł.
Lokata 3 – miesięczna po dwóch latach − 1895 zła)
Lokata 6 – miesięczna po dwóch latach − 1912,90 złb)
Lokata 9 – miesięczna nie może być wybrana ze względu na zbyt niską kwotę kapitału po-
czątkowego
c)
Odpowiedzi
590
Ciągi / Ciąg arytmetyczny i geometrycznyzastosowanieZadanie 4.8.1 (Wróć do zadania)Odpowiedźx = 7 i y = 25
Rozwiązanie
Z własności ciągu arytmetycznego (x, 9, x + 4) otrzymamy 9 =2x + 4
2 , czyli x = 7.
Zatem ciąg geometryczny ma postać (8, 12, y − 7). Iloraz w tym ciągu jest równy q =128 =
32 . Ponie-
waż iloraz jest stały w całym ciągu, to otrzymamy równanie32 =
y − 712 . Z tego wynika, że y = 25.
Zadanie 4.8.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Rozwiązanie
Boki trójkąta są równe 15 cm, 20 cm i 25 cm , a pole P = 150 cm2.a)
12 cm, 16 cm i 20 cmb)
Najkrótszy bok trójkąta oznaczmy a (a > 0 ). Pozostałe oznaczymy, wykorzystując własności
ciągu arytmetycznego.
Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy a2 + (a + 5)2
= (a + 10)2.Po uporządkowaniu otrzyma-
my równanie kwadratowe a2 − 10a − 75 = 0, które ma dwa rozwiązania a = − 5 lub a = 15.
Rozwiązanie ujemne odrzucamy, ponieważ nie spełnia założenia (a > 0 ). Zatem boki trój-
kąta mają długości: a = 15 , a + 5 = 20, a + 10 = 25.
Pole trójkąta prostokątnego:
P =12 ∙ 15 ∙ 20 = 150
a)
Najkrótszy bok trójkąta oznaczmy a (a > 0 ). Pozostałe boki oznaczymy, wykorzystując wła-
sności ciągu arytmetycznego.
b)
Odpowiedzi
591
Zadanie 4.8.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź
RozwiązanieOznaczmy pierwszy wyraz ciągu długości boków trójkątów przez a1oraz różnicę ciągu przez r. Wte-
dy boki kolejnych trójkątów tworzą ciąg (a1, a1 + r, a1 + 2r, a1 + 3r, … ).Ciąg obwodów trójkątów równobocznych ma postać (3a1, 3a2, 3a3, … , 3an, … ). Wybierzmy
dowolny wyraz ciągu 3an oraz wyraz po nim następujący 3an + 1. Zauważmy, że różnica pomiędzy
tymi wyrazami jest równa 3an + 1 − 3an = 3(an + 1 − an) = 3r, czyli jest liczbą stałą. Oznacza to, że ci-
ąg obwodów jest arytmetyczny i jego różnica jest równa 3r.
Ciąg pól trójkątów równobocznych ma postać (a12√3
4 ,(a1 + r)
2√3
4 ,(a1 + 2r)
2√3
4 , … ).Przypuśćmy, że jest to ciąg arytmetyczny. Wtedy dla trzech pierwszych wyrazów zachodzi twier-
dzenie o zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu, czyli
2 ∙(a1 + r)
2√3
4 =a1
2√3
4 +(a1 + 2r)
2√3
4
2(a1 + r)2
= a12 + (a1 + 2r)
2
2a12 + 4a1r + 2r2 = 2a1
2 + 4a1r + 4r2
stąd 2r2 = 4r2, co jest spełnione tylko dla r = 0, a to jest sprzeczne z założeniem. Zatem ciąg pól
kolejnych trójkątów równobocznych nie jest arytmetyczny.
Zadanie 4.8.4 (Wróć do zadania)Odpowiedźx = 4 , y = 16
Rozwiązanie
Z własności ciągu arytmetycznego wynika, że 2x =3 + y − 3
2 , czyli x =14y .
Ciąg geometryczny ma postać (64, y,14y). Z własności ciągu geometrycznego wynika, że
Obwód trójkąta jest równy 48 cm, czyli a + a + r + a + 2r = 48 .Po uporządkowaniu otrzyma-
my a + r = 16.Pole trójkąta jest równe 96 cm2, czyli12a(a + r) = 96 . Po uporządkowaniu
a(a + r) = 192. Z wcześniejszych obliczeń wynika, że a + r = 16, zatem po podstawieniu otrzy-
mamy 16a = 192, czyli a = 12.
Z tego wynika, że kolejne boki trójkąta są równe a = 12 i a + r = 16 , czyli r = 4.Przeciwpro-
stokątna jest równa a + 2r = 20.
Taka)
Nieb)
Odpowiedzi
592
y2 = 64 ∙ 14y.
Po uporządkowaniu otrzymujemy równanie kwadratowe y2 − 16y = 0, którego rozwiązaniem jest
y = 0 lub y = 16 . Rozwiązanie y = 0 odrzucamy, ponieważ żaden wyraz ciągu geometrycznego nie
może być równy 0. Zatem pozostaje y = 16. Z tego wynika, że x =14y = 4.
Zadanie 4.8.5 (Wróć do zadania)Odpowiedźx = 18 i y = 6 lub x = 12,5 i y = – 5
Zadanie 4.8.6 (Wróć do zadania)Odpowiedź37, 57, 77, 97
Zadanie 4.8.7 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Rozwiązanie
Zadanie 4.8.8 (Wróć do zadania)Odpowiedź30 °
Zadanie 4.8.9 (Wróć do zadania)Odpowiedź27 °
S30 = 1665a)
S45 = 2430b)
S11 = 616c)
S18 = 981d)
Liczby dwucyfrowe podzielne przez 3 tworzą ciąg arytmetyczny, w którym r = 3. Pierwszą z
liczb dwucyfrowych tego ciągu jest a1 = 12, a ostatnią an = 99. Obliczymy liczbę wyrazów w
tym ciągu:
99 = 12 + (n − 1) ∙ 3, czyli n = 30. Obliczamy sumę S30 =12 + 99
2 ∙ 30 = 1665.
a)
Parzyste liczby dwucyfrowe tworzą ciąg arytmetyczny, w którym a1 = 10 i r = 2. Ostatni wy-
raz tego ciągu an = 98. Obliczymy liczbę wyrazów tego ciągu: 98 = 10 + 2(n − 1), stąd otrzy-
mujemy n = 45. Obliczamy sumę S45 =10 + 98
2 ∙ 45 = 2430.
b)
Liczby dwucyfrowe podzielne przez 8 tworzą ciąg arytmetyczny, w którym a1 = 16 i r = 8.
Ostatni wyraz tego ciągu an = 96. Obliczymy liczbę wyrazów tego ciągu: 96 = 16 + 8(n − 1),skąd otrzymujemy n = 11. Obliczamy sumę S11 =
16 + 962 ∙ 11 = 616.
c)
Liczby te tworzą ciąg arytmetyczny, w którym a1 = 12 i r = 5. Ostatni wyraz tego ciągu
an = 97. Liczba wyrazów tego ciągu 97 = 12 + 5(n − 1), stąd otrzymujemy n = 18. Obliczamy
sumę S18 =12 + 97
2 ∙ 18 = 981.
d)
Odpowiedzi
593
Zadanie 4.8.10 (Wróć do zadania)Odpowiedź18
Zadanie 4.8.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź16 cm i 8 cm
Rozwiązanie
Ponieważ długości boków a, b, c tworzą ciąg arytmetyczny, więc mamy b =a + c
2 . Pole prostokąta
jest równe P = (a + c) ∙ b = 128. Podstawiając a + c = 2b, otrzymujemy równanie z jedną niewiado-
mą b.
2b ∙ b = 128, skąd b = 8.
Z treści zadania wiemy, że P2 = 3P1, czyli bc = 3ab, stąd c = 3a. Wiemy również, że a + c = 2 ∙ 8 = 16.
Mamy więc 4a = 16, czyli a = 4 i c = 12. Szukane długości boków prostokąta wynoszą 16 cm i 8 cm
.
Zadanie 4.8.12 (Wróć do zadania)Odpowiedźprostokąt i kwadrat mają równe pola
Rozwiązanie
Skoro liczby (x, a, y) tworzą ciąg geometryczny, więc a2 = xy. Zatem pola obu figur są równe.
Zadanie 4.8.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź4, 4, 4
Rozwiązanie
Jeżeli długości krawędzi tworzą ciąg geometryczny o ilorazie q, to są one równe: a1, a1q, a1q2,
gdzie a1 > 0 oraz q > 0. Objętość tego prostopadłościanu jest równa 64 = a1 ∙ a1q ∙ a1q2 = (a1q)3,
stąd a1q = 4. Mamy więc a1 =4q .
Suma długości krawędzi jest równa 12 = a1 + a1q + a1q2 =4q + 4 + 4q. Otrzymujemy równanie kwa-
dratowe q2 − 2q + 1 = 0, które ma jedno rozwiązanie q = 1, czyli a1 =4q = 4. Wszystkie krawędzie są
więc równej długości 4.
Zadanie 4.8.14 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Rozwiązanie
585a)
8n − 17
b)
Zauważmy, że liczba kwadratów, które usuwamy w kolejnych krokach, tworzy ciąg geome-
tryczny. Za pierwszym razem usuwamy jeden kwadrat, czyli a1 = 1, a następnie w każdym
kroku usuwamy 8 razy więcej mniejszych kwadratów, bo wokół większego kwadratu mamy
8 mniejszych kwadratów. Zatem q = 8. Po 4 kroku mamy więc
S4 = a1 ∙ 1 − q4
1 − q = 1 ∙ 1 − 84
1 − 8 = 585 kwadratów.
a)
Odpowiedzi
594
Zadanie 4.8.15 (Wróć do zadania)Odpowiedź24
RozwiązanieOznaczmy długości przyprostokątnych i przeciwprostokątnej trójkąta ABC literami, odpowiednio
a, b i c. Są to liczby dodatnie i największą z nich jest c. Możemy przyjąć, że a ≤ b . Wtedy ciąg aryt-
metyczny (a, b, c) jest rosnący.
Niech r oznacza różnicę tego ciągu. Zatem b = a + r oraz c = a + 2r . Z twierdzenia Pitagorasa otrzy-
mujemy a2 + (a + r)2
= (a + 2r)2, stąd po przekształceniu mamy kolejno
a2 + a2 + 2ar + r2 = a2 + 4ar + 4r2
a2 − 2ar − 3r2 = 0.
Potraktujmy to równanie jak równanie kwadratowe z niewiadomą a. Wtedy wyróżnik tego rów-
nania jest równy ∆ = (−2r)2
− 4 ∙ 1 ∙ (−3r2) = 16r2 > 0, więc równanie ma dwa rozwiązania
a =2r − 4r
2 = − r lub a =2r + 4r
2 = 3r.
Pierwsze z rozwiązań nie spełnia warunków zadania, gdyż a > 0, zaś – r < 0. Zatem a = 3r.
Pole trójkąta prostokątnego to połowa iloczynu długości przyprostokątnych, czyli 24 =12a(a + r).
Stąd i z otrzymanej wcześniej równości a = 3r mamy
24 =12 ∙ 3r(3r + r)
24 =12 ∙ 3r ∙ 4r
4 = r2.
Stąd r = 2, gdyż r > 0. Zatem a = 3r = 3 ∙ 2 = 6, b = a + r = 6 + 2 = 8 oraz c = b + r = 8 + 2 = 10. Ob-
wód trójkąta ABC jest zatem równy a + b + c = 6 + 8 + 10 = 24.
Liczba usuniętych kwadratów po n krokach jest sumą n pierwszych wyrazów ciągu geome-
trycznego o a1 = 1 oraz q = 8, czyli Sn = a1 ∙ 1 − qn
1 − q =1 − 8n
1 − 8 =8n − 1
7 .
b)
Odpowiedzi
595
Funkcja wykładnicza. Logarytmy / Funkcjawykładnicza i jej własności.Przekształcanie wykresu funkcjiwykładniczejFunkcja wykładnicza. Logarytmy / Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcanie wykresu
funkcji wykładniczej / Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcenia wykresu funkcji
wykładniczej. Zadania
Zadanie 5.1.5 (Wróć do zadania)Odpowiedź
( − 2, 9)
Zadanie 5.1.8 (Wróć do zadania)Odpowiedź
f(x) = (13 )
x
Zadanie 5.1.9 (Wróć do zadania)Odpowiedź
f(x) = (13 )
−x
Zadanie 5.1.10 (Wróć do zadania)Odpowiedź
?14 , 2?
Zadanie 5.1.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź
f(x) = 3−x
Zadanie 5.1.12 (Wróć do zadania)Odpowiedź
a = √33
Zadanie 5.1.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź
y = (23 )
x + 3
Zadanie 5.1.14 (Wróć do zadania)Odpowiedź
g(x) = (2√2)x
Odpowiedzi
596
Zadanie 5.1.15 (Wróć do zadania)Odpowiedź−100
Zadanie 5.1.16 (Wróć do zadania)Odpowiedź
(0, − 2)
Zadanie 5.1.17 (Wróć do zadania)Odpowiedź
(0,8)a)
(0,9)b)
Odpowiedzi
597
(0, − 2)c)
f(0) = (12 )
0 − 3= 8, czyli punktem przecięcia wykresu z osią Oy jest punkt (0,8). Wykres funkcji
f(x) = (12 )
x − 3powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji g(x) = (1
2 )xo 3 wzdłuż osi Ox.
a)
f(0) = 30 + 2 = 9, czyli wykres ten przecina oś Oy w punkcie (0, 9). Przesuwając wykres funk-
cji g(x) = 3x o −2 wzdłuż osi Ox, otrzymujemy wykres funkcji f(x) = 3x + 2.
b)
Wykres funkcji g(x) = 4x przesuwamy o −3 wzdłuż osi Oy i otrzymujemy wykres funkcji
f(x) = 4x − 3. Punkt przecięcia tego wykresu z osią Oy przesunie się więc o 3 w dół z punktu
(0,1) do punktu (0, − 2).
c)
Odpowiedzi
598
Zadanie 5.1.18 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Wykres funkcji f(x) = − 3x jest obrazem wykresu funkcji g(x) = 3x w symetrii osiowej wzglę-
dem osi Ox.
a)
Przekształcamy wykres funkcji g(x) = (23 )
xw symetrii osiowej względem osi Ox i otrzymujemy
wykres funkcji h(x) = − (23 )
x, który następnie przesuwamy o 1 wzdłuż osi Oy. W ten sposób
otrzymujemy wykres funkcji f(x) = − (23 )
x+ 1.
b)
Odpowiedzi
599
Zadanie 5.1.19 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Wzór funkcji f przekształcamy do postaci f(x) =2x
8 =2x
23 = 2x − 3. Rysujemy wykres funkcji
g(x) = 2x i przesuwamy go o 3 wzdłuż osi Ox. Otrzymujemy wykres funkcji f.
a)
Przekształcamy wzór funkcji f i otrzymujemy f(x) = 3x + 3x + 3x = 3 ? 3x = 3x + 1. Rysujemy wy-
kres funkcji g(x) = 3x, a potem przesuwamy go o −1 wzdłuż osi Ox. Otrzymujemy wykres
funkcji f.
b)
Odpowiedzi
600
Zadanie 5.1.20 (Wróć do zadania)Odpowiedź
f(x) = 5x, rosnąca
Rozwiązanie
Ponieważ na wykresie funkcji f leży punkt A = (−3,1
125 ), więc dla argumentu x = − 3 funkcja przyj-
muje wartość f(−3) =1
125 . Otrzymujemy więc równanie1
125 = a−3, które jest równoważne równa-
niu 5−3 = a−3. Stąd a = 5, więc wzór funkcji f ma postać f(x) = 5x. Jest to funkcja rosnąca.
Zadanie 5.1.21 (Wróć do zadania)OdpowiedźTak
Rozwiązanie
Na wykresie funkcji f leży punkt A = ( − 2,9). Zatem 9 = a−2. Równanie to jest równoważne równa-
niu (13 )
−2= a−2. Stąd a =
13 . Rozważaną funkcją jest więc f(x) = (1
3 )x. Żeby sprawdzić, czy punkt B le-
ży na wykresie funkcji f, badamy, czy dla argumentu x =12 funkcja przyjmuje wartość √3
3 . Mamy
f(12 ) = (1
3 )12 =
1
√3 = √33 , a zatem punkt B również leży na wykresie funkcji f.
Zadanie 5.1.22 (Wróć do zadania)Odpowiedź
f(x) = (13 )
x
Rozwiązanie
Z rysunku odczytujemy współrzędne punktu zaznaczonego na wykresie: ( − 1,3). Prawdziwa jest
zatem równość 3 = a−1, którą możemy zapisać w postaci (13 )
−1= a−1. Zatem a =
13 , więc f(x) = (1
3 )x.
f(x) = 2x + 4 + 2x + 6 − 48 ? 2x = 2x ? 24 + 2x ? 26 − 48 ? 2x = 16 ? 2x + 64 ? 2x − 48 ? 2x = 32 ? 2x = 25 ? 2x = 2x + 5
. Rysujemy wykres funkcji g(x) = 2x i przesuwamy go o −5 wzdłuż osi Ox. Otrzymujemy wy-
kres funkcji f.
c)
Odpowiedzi
601
Zadanie 5.1.23 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Rozwiązanie
Zadanie 5.1.24 (Wróć do zadania)Odpowiedźa − 4, b − 3, c − 1, d − 6, e − 5, f − 2
Zadanie 5.1.25 (Wróć do zadania)Odpowiedź
najmniejsza to18 , największa 2
(7, + ∞)a)
(0, + ∞)b)
(−∞, − 3)c)
(13 , + ∞)d)
Wykres funkcji f(x) = (17 )
x+ 7 powstaje po przesunięciu wykresu funkcji g(x) = (1
7 )x
o 7 wzdłuż
osi Oy. Ponieważ zbiorem wartości funkcji g jest zbiór (0, + ∞), więc zbiorem wartości funk-
cji f jest zbiór (7, + ∞).
a)
Wykres funkcji f(x) = (√3)−x
jest symetryczny do wykresu funkcji g(x) = (√3)x
względem osi Oy,
zatem funkcja f ma taki sam zbiór wartości jak funkcja g, a więc przedział (0, + ∞).
b)
Zauważmy, że aby narysować wykres funkcji f(x) = − (1,5)x
− 3, możemy najpierw narysować
wykres funkcji g(x) = (1,5)x, której zbiorem wartości jest przedział (0, + ∞). Teraz rysujemy
wykres symetryczny do wykresu funkcji g względem osi Ox. W ten sposób otrzymujemy wy-
kres funkcji h(x) = − (1,5)x, której zbiorem wartości jest przedział (−∞, 0). Teraz wystarczy
przesunąć wykres funkcji h o −3 wzdłuż osi Oy, żeby otrzymać wykres funkcji f. Zatem zbio-
rem wartości funkcji f jest przedział (−∞, 3).
c)
Najpierw przekształcamy wzór funkcji
f(x) = (13 )
x? √27
81 +13 = (1
3 )x
?3
32
34 +13 = (1
3 )x
? 3−
52 +
13 = (1
3 )x
? (13 )
52 +
13 = (1
3 )x +
52 +
13 . Wynika stąd,
że wykres funkcji f otrzymamy, przesuwając wykres funkcji g(x) = (13 )
xo − 5
2 wzdłuż osi Ox.
Następnie otrzymany wykres funkcji h(x) = (13 )
x +52 przesuwamy o
13 wzdłuż osi Oy. W ten
sposób otrzymujemy wykres funkcji f. Funkcje g i h mają ten sam zbiór wartości (0, + ∞).
Zbiorem wartości funkcji f jest więc przedział (13 , + ∞).
d)
Odpowiedzi
602
Rozwiązanie
Funkcja f(x) = (14 )
xjest malejąca, zatem w przedziale ?− 1
2 ,32? najmniejszą wartość przyjmuje dla
największego argumentu, czyli dla x =32 , a największą dla najmniejszego, czyli dla x = − 1
2 . Mamy
więc wartość najmniejszą f(32 ) = (1
4 )32 = ((1
4 )12)
3
= (12 )
3=
18 oraz wartość największą
f(− 12 ) = (1
4 )−
12 = 4
12 = 2.
Zadanie 5.1.26 (Wróć do zadania)OdpowiedźWykres funkcji g
Rozwiązanie
Wykresy funkcji f, g, h przecinają oś Oy odpowiednio w punktach F = (0, √2 − 1), G = (0, − 32 )
, H = (0, 1 + √6). Odległości tych punktów od punktu O = (0,0) są równe odpowiednio
| OF | = √2 − 1 ≈ 1,4142, | OG | =32 = 1,5 , | OH | = 1 + √6 ≈ 3,4495. Zatem najdalej od
punktu O leży punkt H przecięcia wykresu funkcji h z osią Oy.
Zadanie 5.1.27 (Wróć do zadania)Odpowiedź1681
Rozwiązanie
Obliczamyf(x + 2)f(x − 2)
=(23 )
x + 2
(23 )
x − 2 = (23 )
x + 2 − (x − 2)= (2
3 )4
=1681 .
Zadanie 5.1.28 (Wróć do zadania)Odpowiedź
(0,9)10
< (0,9)3π
< (0,9)π
< (0,9)3
Rozwiązanie
Funkcja f(x) = (0,9)x
jest malejąca, ponieważ a = 0,9 ? (0, 1). Ustawiamy w kolejności malejącej wy-
kładniki potęg, a więc argumenty funkcji f: 10 > 3π > π > 3. Zatem wartości funkcji dla tych argu-
mentów będą w porządku przeciwnym, czyli (0,9)10
< (0,9)3π
< (0,9)π
< (0,9)3.
Zadanie 5.1.29 (Wróć do zadania)Odpowiedź−4
RozwiązaniePonieważ funkcja f jest różnowartościowa, więc taki argument będzie tylko jeden. Szukamy ta-
kiego argumentu x, dla którego f(x) =19 , czyli (√3)
x=
19 . Równanie to jest równoważne równaniu
(√3)x
= (√3)−4
. Stąd x = − 4.
Odpowiedzi
603
Zadanie 5.1.30 (Wróć do zadania)Odpowiedź
(−∞, 0)RozwiązanieNarysujmy wykresy obu funkcji.
Zauważmy, że funkcja f jest rosnąca, a funkcja g jest malejąca. Wykresy obu tych funkcji przecinają
oś Oy w tym samym punkcie (0,1). Wynika stąd, że dla każdego argumentu x < 0 wartość funkcji f
jest mniejsza od wartości funkcji g. Dla żadnego nieujemnego argumentu już tak nie jest.
Odpowiedzi
604
Funkcja wykładnicza. Logarytmy /Definicja logarytmu. Własności logarytmuZadanie 5.2.1 (Wróć do zadania)Odpowiedźb > c
a = b + c
Zadanie 5.2.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Suma liczb log39 i log319 jest równa 0.
Liczby log21
16 i log12
16 są równe.
Liczba log1 000 000 jest 3 razy większa od liczby log100.
Zadanie 5.2.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź
log2(3x − 1)
log12
(x + 2)
Zadanie 5.2.4 (Wróć do zadania)Odpowiedź
f(x) = 7 dla x = log57
Zadanie 5.2.5 (Wróć do zadania)Odpowiedźlog20,125
9log32
Zadanie 5.2.6 (Wróć do zadania)Odpowiedźx = log412
Zadanie 5.2.7 (Wróć do zadania)Odpowiedź3
Zadanie 5.2.8 (Wróć do zadania)Odpowiedź
2t = 6
Zadanie 5.2.9 (Wróć do zadania)Odpowiedź2
Odpowiedzi
605
Zadanie 5.2.10 (Wróć do zadania)Odpowiedźx < 3
Zadanie 5.2.11 (Wróć do zadania)Odpowiedźc
Zadanie 5.2.12 (Wróć do zadania)Odpowiedźx = 3
Zadanie 5.2.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź4
Zadanie 5.2.14 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Rozwiązanie
Zadanie 5.2.15 (Wróć do zadania)Odpowiedź
RozwiązanieKorzystamy z definicji logarytmu.
Zadanie 5.2.16 (Wróć do zadania)Odpowiedź
2a)
3b)
0c)
1d)
log636 = log662 = 2a)
log7343 = log773 = 3b)
log121 = log12120 = 0c)
log2727 = log27271 = 1d)
x = log25a)
x = log310b)
x = log72c)
x = log99d)
5a)
11b)
4c)
Odpowiedzi
606
RozwiązanieKorzystamy z definicji logarytmu.
Zadanie 5.2.17 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Rozwiązanie
Zadanie 5.2.18 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Rozwiązanie
Zadanie 5.2.19 (Wróć do zadania)Odpowiedź
7d)
– 1a)
– 3b)
– 5c)
– 7d)
log80,125 = log818 = log88−1 = − 1a)
log41
64 = log41
43 = log44−3 = − 3b)
log31
243 = log31
35 = log33−5 = − 5c)
log21
128 = log21
27 = log22−7 = − 7d)
– 1a)
– 2b)
10c)
– 1d)
Ponieważ (15 )
−1= 51 = 5, więc log1
5
5 = log15
(15 )
−1= − 1.
a)
Ponieważ (19 )
−2= 92 = 81, więc log1
9
81 = log19
(19 )
−2= − 2.
b)
Ponieważ (12 )
10=
11024 , więc log1
2
11024 = log1
2(1
2 )10
= 10.c)
Ponieważ (32 )
−1=
23 , więc log3
2
23 = log3
2(3
2 )−1
= − 1.d)
1a)
143b)
Odpowiedzi
607
Rozwiązanie
Zadanie 5.2.20 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Rozwiązanie
Zadanie 5.2.21 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Rozwiązanie
Zadanie 5.2.22 (Wróć do zadania)Odpowiedźx = 5
log4256 − log1000 = log444 − log103 = 4 − 3 = 1
a)
17log171
17 − 32log21
32 = 17log171
171 − 32log21
25 = 17log1717−1 − 32log22−5 = 17 ? (−1) − 32 ? (−5) = 143b)
64a)
121b)
9log38 = (32)log38
= (3log38)2
= 82 = 64a)
100log11 = (102)log 11
= (10log11)2
= 112 = 121b)
x < 134
a)
x > − 3b)
x ? (−∞, − 2) ? (2, + ∞)c)
x ? (0, 1) ? (1, 2).d)
Wyrażenie log(7 − 4x) jest określone tylko dla tych x, które spełniają warunek 7 − 4x > 0,
stąd x <74 = 1
34 .
a)
Wyrażenie log21
x + 3 jest określone tylko dla tych x, które spełniają warunek1
x + 3 > 0, stąd
x + 3 > 0, czyli x > − 3.
b)
Wyrażenie log3(x2 − 4) jest określone tylko dla tych x, które spełniają warunek x2 − 4 > 0.
Rozwiązujemy tę nierówność i otrzymujemy, że podane wyrażenie jest określone dla
x ? (−∞, − 2) ? (2, + ∞).
c)
Wyrażenie logx(2 − x) jest określone tylko dla tych x, które spełniają jednocześnie trzy wa-
runki: 2 − x > 0, x > 0 i x ≠ 1. Wobec tego x ? (0, 1) ? (1, 2).d)
Odpowiedzi
608
Rozwiązanie
Wyrażenie logxx − 310 jest określone tylko dla tych x, które spełniają jednocześnie trzy warunki:
x − 310 > 0, x > 0 i x ≠ 1, czyli dla x > 3. Załóżmy, że istnieje x > 3, dla którego logx
x − 310 = − 1. Wówczas
z definicji logarytmu otrzymujemy, że x jest rozwiązaniem równaniax − 310 = x−1, stąd
x − 310 =
1x ,
x(x − 3) = 10, a więc x2 − 3x − 10 = 0. Rozwiązaniami tego równania kwadratowego są liczby x = 5
oraz x = − 2. Tylko dla pierwszej z nich wyrażenie logxx − 310 jest określone, zatem logx
x − 310 = − 1
wtedy i tylko wtedy, gdy x = 5.
Zadanie 5.2.23 (Wróć do zadania)Odpowiedź
log164 = log161612 =
12 oraz log255 = log2525
12, zatem 5log164 + 7log255 =
52 +
72 = 6
Zadanie 5.2.24 (Wróć do zadania)Odpowiedź
41 + log25 = 41 ? 4log25 = 4 ? (22)log25
= 4 ? 22 ? log25 = 4 ? (2log25)2
= 4 ? 52 = 4 ? 25 = 100
Zadanie 5.2.25 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Ponieważ log5√5 = log5512 =
12 , log6
3√6 = log6613 =
13 oraz log7
4√7 = log7714 =
14 , więc
log5√5 + log63√6 + log7
4√7 =12 +
13 +
14 =
6 + 4 + 312 =
1312 = 1
112 .
Zadanie 5.2.26 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Korzystając z definicji logarytmu, otrzymujemy a = 34, b = 54, c = 74. Zatem
√abc = √34 ? 54 ? 74 = √(3 ? 5 ? 7)4
= 1052 = 11 025. Koniec dowodu.
Zadanie 5.2.27 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Korzystając z definicji logarytmu, otrzymujemy 2a = 3 oraz 4b = 9. Stąd (22)b
= 32, czyli (2b)2
= 32.
Liczba 2b jest dodatnia, zatem 2b = 3. Oznacza to, że liczba a i liczba b to rozwiązania równania
2x = 3. Ponieważ funkcja wykładnicza f określona wzorem f(x) = 2x osiąga wartość 3 tylko dla jed-
nego argumentu, więc a = b. To kończy dowód.
Zadanie 5.2.28 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Korzystając z definicji logarytmu, otrzymujemy 5a = 7, 10b = 7 oraz 10c = 5. Stąd
10c ? a = (10c)a
= 5a = 7. Oznacza to, że liczba c ? a i liczba b to rozwiązania równania 10x = 7. Po-
nieważ funkcja wykładnicza f określona wzorem f(x) = 10x osiąga wartość 7 tylko dla jednego ar-
gumentu, więc c ? a = b. W ten sposób dowód został zakończony.
Odpowiedzi
609
Zadanie 5.2.29 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Załóżmy, że istnieją takie dodatnie liczby całkowite p i q, dla których log35 =pq . Wtedy 3
pq = 5, czyli
3p = 5q. Otrzymana równość jest sprzeczna, bo jej lewa strona jest liczbą podzielną przez 3 (jako
iloczyn p trójek), a prawa przez 3 się nie dzieli, gdyż jest iloczynem q piątek.
Odpowiedzi
610
Funkcja wykładnicza. Logarytmy /Działania na logarytmach / ZadaniaZadanie 5.3.2.6 (Wróć do zadania)Odpowiedźa + b = 2
a + c = 1
b − c = 1
Zadanie 5.3.2.7 (Wróć do zadania)OdpowiedźA = log93 − log9243
B = log122 + log123 + log1224
C = log(0,25) + log(0,008) + log(0,5)
D = log16
4 − (log16
5 − log16
45)Zadanie 5.3.2.8 (Wróć do zadania)Odpowiedź
f(x) = 6 dla x = 1 + log32
f(x) = 625 dla x = 4log35
f(x) =109 dla x = log310 − 2
f(x) =2732 dla x = 3 − 5log32
Zadanie 5.3.2.9 (Wróć do zadania)OdpowiedźSuma log213 + log217 jest równa 1.
Różnica log520 − log5100 jest równa – 1.
Liczba log220 jest o 2 większa od liczby log25.
Zadanie 5.3.2.10 (Wróć do zadania)Odpowiedźlog215 = a + b
log2675 = 3a + 2b
log2(16,2) = 4a − b
Zadanie 5.3.2.11 (Wróć do zadania)Odpowiedźx = 3log52
Odpowiedzi
611
Zadanie 5.3.2.12 (Wróć do zadania)Odpowiedź3
Zadanie 5.3.2.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź2
Zadanie 5.3.2.14 (Wróć do zadania)Odpowiedź4
Zadanie 5.3.2.15 (Wróć do zadania)Odpowiedź5log42 + 9log255
Zadanie 5.3.2.16 (Wróć do zadania)Odpowiedźlog7 + log3
Zadanie 5.3.2.17 (Wróć do zadania)Odpowiedź2log5
Zadanie 5.3.2.18 (Wróć do zadania)Odpowiedź8
Zadanie 5.3.2.19 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Rozwiązanie
Zadanie 5.3.2.20 (Wróć do zadania)Odpowiedź
1a)
2b)
3c)
3d)
log2 + log5 = log(2 ? 5) = log10 = 1a)
log219 + log2149 = log21(9 ? 49) = log21441 = 2b)
log1545 + log1575 = log15(45 ? 75) = log153375 = 3c)
log63 + log64 + log618 = log6(3 ? 4) + log618 = log6(3 ? 4 ? 18) = log6216 = 3d)
3a)
2b)
1c)
1d)
Odpowiedzi
612
Rozwiązanie
Zadanie 5.3.2.21 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Rozwiązanie
Zadanie 5.3.2.22 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 5.3.2.23 (Wróć do zadania)Odpowiedź
log240 − log25 = log2405 = log28 = 3a)
log390 − log310 = log39010 = log39 = 2b)
log560 − log512 = log56012 = log55 = 1c)
log721 − (log724 − log78) = log721 − log7248 = log721 − log73 = log7
213 = log77 = 1d)
5a)
3b)
3c)
4d)
10log42 = log4210 = log445 = 5a)
9log273 = log2739 = log27273 = 3b)
12log25√5 = log25(√5)12
= log2556 = log25253 = 3c)
8log12(2√3) = log12(2√3)8
= log12(√12)8
= log12124 = 4d)
g(log32 + log35) = g(log3(2 ? 5)) = g(log310) = 3log310 = 10a)
h(log455 − log45) = h(log4555 ) = h(log411) = 4log411 = 11
b)
f(6log72) = f(log726) = f(log764) = 7log764 = 64c)
log56 − log530 = log56
30 = log515 = − 1a)
log27 − log256 = log27
56 = log218 = − 3b)
log37 − log363 = log37
63 = log319 = − 2c)
log143 − (log26 + log55) = log143 − log(26 ? 55) = log143 − log1430 = log143
1430 = log1
10 = − 1d)
Odpowiedzi
613
Zadanie 5.3.2.24 (Wróć do zadania)Odpowiedź
log15 + log1250 − log3
16 = log(15 ? 1250) − log3
16 = log18750
316
= log18750 ? 16
3 = log100 000 = 5
Zadanie 5.3.2.25 (Wróć do zadania)Odpowiedź
3log54 + 2log57 = log543 + log572 = log5(43 ? 72) = log5(64 ? 49) = log53136
Zadanie 5.3.2.26 (Wróć do zadania)Odpowiedź
log2405 − 4log23 = log2405 − log234 = log2405 − log281 = log240581 = log25
Zadanie 5.3.2.27 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Ponieważlog9 + log49
2 =log(9 ? 49)
2 =log441
2 =log212
2 =2 ? log21
2 = log21, więc ciąg (log9, log21, log49)jest arytmetyczny.
Zadanie 5.3.2.28 (Wróć do zadania)Odpowiedź
log5(27√5) = log527 + log5√5 = log533 + log5512 = 3log53 +
12 = 3a +
12 =
6a + 12
Zadanie 5.3.2.29 (Wróć do zadania)Odpowiedź
2a + 3b = 2log125 + 3log4 = 2log53 + 3log22 = 3 ? 2log5 + 2 ? 3log2 = 6(log2 + log5) = 6log(2 ? 5) = 6log10 = 6
Zadanie 5.3.2.30 (Wróć do zadania)Odpowiedź
(log62)2
+ log63 ? log612 = (log62)2
+ log63 ? log6(3 ? 4) = (log62)2
+ log63 ? (log63 + log64) =
= (log62)2
+ (log63)2
+ log64 ? log63 = (log62)2
+ (log63)2
+ log622 ? log63 =
= (log62)2
+ (log63)2
+ 2log62 ? log63 = (log62 + log63)2
= (log6(2 ? 3))2
= (log66)2
= 12 = 1
Zadanie 5.3.2.31 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Z treści zadania wynika, że funkcja f jest określona wzorem f(x) = log2x. Wówczas
2f(5) + f(0,1) + 1 = 2log25 + log21
10 + log22 = log252 + log2( 110 ? 2) = log225 + log2
15 = log2(25 ?
15 ) = log25
oraz
f(40) + f(18 ) = log240 + log2
18 = log2(40 ?
18 ) = log25.
Zatem 2 ? f(5) + f(0,1) + 1 = f(40) + f(18 ).
Odpowiedzi
614
Zadanie 5.3.2.32 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Oznaczmy:a = log2x
b = log3y Wtedy
{ a + 2b = 1,5
4a + 3b = 3,5, stąd a = 0,5 i b = 0,5.
Wynika stąd, że x = √2, y = √3.
2log6(xy) = log6(√2 ∙ √3)2
= log66 = 1
Odpowiedzi
615
Funkcja wykładnicza. Logarytmy /Zastosowanie funkcji wykładniczejZadanie 5.4.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź864
RozwiązaniePo każdej godzinie liczba bakterii rośnie 1,2 raza, zatem
L(3) = 500 ? (1,2)3
= 864
Zadanie 5.4.2 (Wróć do zadania)Odpowiedźo 30%
Rozwiązanie
Liczbę bakterii po upływie 2 godzin policzymy za pomocą wzoru L(2) = L(0) ? a2, stąd po podsta-
wieniu danych otrzymujemy
845 = 500 ? a2
Zatem a2 = 1,69, stąd a = 1,3 lub a = − 1,3. Interesuje nas wartość dodatnia. Zatem w każdej go-
dzinie liczba bakterii w tej kolonii zwiększa się o 30%.
Zadanie 5.4.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź9650
Rozwiązanie
Mamy L(5) = L(0) ? a5, czyli 1800 = 1000 ? a5, stąd a5 =18001000 = 1,8. Otrzymaliśmy wartość stałej
a =5√1,8 = 1,12.
Zatem L(20) = 1000 ? 1,1220 ≈ 1000 ? 9,65 = 9650.
Zadanie 5.4.4 (Wróć do zadania)Odpowiedź4
Rozwiązanie
Mamy L(t) = L0 ? (1,25)t. Liczba bakterii ma się podwoić, czyli L0 ? (1,25)
t≥ 2L0. Stąd (1,25)
t≥ 2. Zba-
dajmy ciąg kolejnych potęg całkowitych dodatnich liczby 1,25 =54 . Ciąg ten jest ciągiem geome-
trycznym54 ,
2516 ,
12564 ,
625256 , … . Ciąg jest rosnący, jeżeli więc znajdziemy liczbę, dla której wyraz ciągu
będzie większy od 2, to wszystkie następne też będą większe od 2. Zauważmy, że czwarty wyraz
tego ciągu625256 jest już większy od 2, czyli po czwartej godzinie liczba bakterii podwoi się.
Zadanie 5.4.5 (Wróć do zadania)Odpowiedź4
Odpowiedzi
616
Rozwiązanie
Mamy L(t) = 1400 ? (1,1)t
> 2000, stąd (1,1)t
>107 ≈ 1,43. Ciąg kolejnych naturalnych potęg liczby
1,1 jest ciągiem rosnącym, czyli szukamy tej liczby, dla której wyraz ciągu będzie większy od 1,43.
Rozważany ciąg wygląda następująco: 1,1; 1,21; 1,331; 1,4641 itd. Po czterech latach liczba lud-
ności w tej miejscowości przekroczy 2000.
Zadanie 5.4.6 (Wróć do zadania)Odpowiedź300, 4 687 500
RozwiązanieLiczbę bakterii po 4 godzinach od rozpoczęcia doświadczenia obliczymy ze wzoru
L(4) = L(0) ? a4 = 7500, a liczbę bakterii po 6 godzinach ze wzoru
L(6) = L(0) ? a6 = 37 500
Zauważmy, że iloraz
L(6)L(4)
= a2 =37 5007500 = 5
Stąd a = √5, gdyż a jest liczbą stałą większą od zera.
Mamy więc L(4) = L(0) ? (√5)4
= 7500, stąd
L(0) =7500
(√5)4 =
750025 = 300
Liczba bakterii po 12 godzinach jest równa
L(12) = 300 ? (√5)12
= 300 ? 56 = 4 687 500
Zadanie 5.4.7 (Wróć do zadania)Odpowiedź2139 milionów lat
Rozwiązanie
• sposób I
Uzupełniamy tabelę.
Okres (w milionach lat) 713 1426 2139
Ilość uranu (w gramach) 0,5 0,25 0,125
Po 2139 milionach lat pozostanie nie więcej niż 0,125 g uranu w tej próbce.
• sposób II
Rozwiązujemy nierówność m(t) = m(0) ? (12 )
tT = 1 ? (1
2 )t
713 ≤ 0,125, stąd (12 )
t713 ≤ (1
2 )3. Ponieważ
funkcja y = (12 )
xjest funkcją malejącą, to
t713 ≥ 3, stąd t ≥ 2139.
Odpowiedzi
617
Zadanie 5.4.8 (Wróć do zadania)OdpowiedźT = 5
RozwiązanieKorzystając ze wzoru na masę pierwiastka promieniotwórczego, jaki pozostał w próbce po czasie
t, mamy
m(15) = 2 ? (12 )
15T = 0,25
0,25 = 1 ? (12 )
15T , stąd otrzymujemy (1
2 )2
= 2 ? (12 )
15T . Po podzieleniu przez 2 mamy (1
2 )3
= (12 )
15T , a po-
nieważ podstawy są takie same, a funkcja wykładnicza jest różnowartościowa, więc 3 =15T . Stąd
odczytujemy, że okres połowicznego rozpadu bizmutu 210 wynosi T = 5.
Zadanie 5.4.9 (Wróć do zadania)Odpowiedź3,2 g
RozwiązaniePonieważ okres połowicznego rozpadu podany jest w miesiącach, więc trzy lata zamieniamy
na miesiące i otrzymujemy T = 3 ? 12 = 36. Po tym okresie masa próbki jest równa
m(36) = m(0) ? (12 )
366 = 0,05. Stąd obliczamy, że początkowa masa próbki była równa
m(0) = 0,05 ? 26 =1
20 ? 64 = 3,2.
Zadanie 5.4.10 (Wróć do zadania)Odpowiedź5 lat
Rozwiązanie
Po 20 latach otrzymujemy masę równą m(20) = 40 ? (12 )
20T = 2,5 =
52 , stąd (1
2 )20T =
580 =
116 = (1
2 )4.
Funkcja wykładnicza dla różnych argumentów przyjmuje różne wartości, zatem równanie to jest
równoważne równaniu20T = 4, stąd T = 5.
Zadanie 5.4.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź11 460 lat
RozwiązanieJeżeli zawartość węgla C − 14 zmniejszyła się o 75%, to mamy 25% początkowej ilości węgla C − 14.
Po pierwszych 5730 latach pozostanie 50%, po następnych 5730 latach znów połowa ulegnie roz-
padowi, czyli zostanie 25% początkowej ilości. Minie więc więcej niż 11 460 lat.
Zadanie 5.4.12 (Wróć do zadania)Odpowiedź22 920 lat
Odpowiedzi
618
RozwiązanieZawartość węgla C − 14 jest szesnastokrotnie mniejsza niż w organizmach żywych. Ponieważ
116 = (1
2 )4, zatem nastąpiły 4 okresy połowicznego rozpadu izotopu węgla, co odpowiada 22 920 la-
tom.
Zadanie 5.4.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź16%
RozwiązanieKorzystamy ze wzoru na ilość atomów węgla C − 14, która pozostanie po t latach
N(15000) = N(0) ? (12 )
150005730
Stąd stosunek ilości atomów dziś i 15 000 lat temu jest równy
N(15000)N(0)
≈ (12 )
2,62≈ 0,16
Zatem pozostanie około 16% pierwotnej ilości węgla C − 14.
Zadanie 5.4.14 (Wróć do zadania)Odpowiedźokoło 34 ° C
RozwiązanieTemperaturę płynu po 15 minutach opisuje wzór
T(15) = 25 ° C + (80 ° C − 25 ° C) ? a−15 = 60 ° C
Wynika z niego, że 55 ° C ? a−15 = 35 ° C, stąd a−15 =3555 =
711 . Mamy więc a15 =
117 ≈ 1,57, stąd
a ≈ 15√1,57 ≈ 1,03
Po godzinie od podgrzania płyn miał temperaturę
T(60) = 25 ° C + (80 ° C − 25 ° C) ? (1,03)−60
= 25 ° C + 55 ° C ? 0,1697 ≈ 25 ° + 9,33 ° C = 34,33 ° C
Odpowiedzi
619
Rozdział 8. O e-podręczniku
Cele kształcenia - wymagania ogólne:
Moduł: Geometria analityczna / Wprowadzenie do geometrii w prostokątnym układzie współrzędnych
Autor: Politechnika Łódzka
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iSebwrX2DD/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iSebwrX2DD
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.1: dodaje i odejmuje w pamięci liczby naturalne dwucyfrowe, liczby wielocyfrowe w przypadkach,
takich jak np. 230 + 80 lub 4600 - 1200; liczbę jednocyfrową dodaje do dowolnej liczby naturalnej i odejmuje od
dowolnej liczby naturalnej;
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Ilya Andreev: Okładka [Licencja: shutterstock]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do geometrii_atrapa_animacji_2000 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Określanie położenia punktów na płaszczyźnie, wskazywanie punktu o danych
współrzędnych na płaszczyźnie [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Określanie położenia punktów na płaszczyźnie, odczytywanie współrzędnych
punktu na płaszczyźnie [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do geometrii_ustawianie rownolegloboku [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do geometrii_ustawianie wys trojkata [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do geometrii_ustawianie srodkowych [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do geometrii_ustawianie bokow srodki [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do geometrii_trojkat o podanym polu [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do geometrii_ustawianie ortocentrum [Licencja: CC BY NC 3.0]
O e-podręczniku
620
Moduł: Geometria analityczna / Równanie prostej w postaci ogólnej oraz w postaci kierunkowej
Autor: Jacek Stańdo
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/im3YqbtoOZ/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/im3YqbtoOZ
Hasła podstawy programowej:
E4-SRE-MAT-1.0-I-3: Równania i nierówności. Uczeń:
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Rownanie prostej. Proste rownolegle, proste prostop_ggb_cw1 [Licencja: CC BY NC
3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Rownanie prostej. Proste rownolegle, proste prostop_L2_atrapa_rys_04 [Licencja:
CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Rownanie prostej. Proste rownolegle, proste prostop_L2_atrapa_rys_05 [Licencja:
CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Rownanie prostej. Proste rownolegle, proste prostop_L2_atrapa_rys_06 [Licencja:
CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Rownanie prostej. Proste rownolegle, proste prostop_L2_atrapa_rys_07 [Licencja:
CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Rownanie prostej. Proste rownolegle, proste prostop_L2_atrapa_rys_08 [Licencja:
CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Rownanie prostej. Proste rownolegle, proste prostop_L2_atrapa_rys_09 [Licencja:
CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Rownanie prostej. Proste rownolegle, proste prostop_przyklad1 [Licencja: CC BY
3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: atrapa:opis animacji [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Rownanie prostej. Proste rownolegle, proste prostop_atrapa_animacji_6101
[Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Rownanie prostej. Proste rownolegle, proste prostop_przyklad3ab [Licencja: CC BY
3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Rownanie prostej. Proste rownolegle, proste prostop_L2_atrapa_rys_12 [Licencja:
CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Rownanie prostej. Proste rownolegle, proste prostop_przyklad4 [Licencja: CC BY
3.0]
O e-podręczniku
621
Moduł: Geometria analityczna / Proste równoległe, proste prostopadłe
Autor: Jacek Stańdo
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iDvVAVc0GR/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iDvVAVc0GR
Hasła podstawy programowej:
E4-SRE-MAT-1.0-I-3: Równania i nierówności. Uczeń:
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: 01b_Proste rownolegle i proste prostopadle_ustawianie prostej Geometria
analityczna [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: 01b_Proste rownolegle i proste prostopadle Geometria analityczna_ustawianie
wspolczynnika [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: 01b_Proste rownolegle i proste prostopadle Geometria analityczna_przyklad2
[Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: atrapa:opis animacji [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Rownanie prostej. Proste rownolegle, proste prostop_L2_atrapa_rys_31 [Licencja:
CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: 01b_Proste rownolegle i proste prostopadle Geometria analityczna_proste
prostopadle [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: 01b_Proste rownolegle i proste prostopadle Geometria analityczna_przyklad4
[Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: 01b_Proste rownolegle i proste prostopadle Geometria analityczna_przyklad6
[Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: 01b_Proste rownolegle i proste prostopadle Geometria analityczna_przyklad7
[Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
622
Moduł: Geometria analityczna / Długość odcinka. Środek odcinka
Autor: Jacek Stańdo
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iQa4B0s9mq/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iQa4B0s9mq
Hasła podstawy programowej:
E4-SRE-MAT-1.0-I-3: Równania i nierówności. Uczeń:
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Srodek odcinka. Dlugosc odcinka_L2_rys_atrapa_40 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: atrapa:opis animacji [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Srodek odcinka. Dlugosc odcinka_L2_rys_atrapa_52 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Srodek odcinka. Dlugosc odcinka_L2_rys_atrapa_53 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: atrapa:opis animacji [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Srodek odcinka. Dlugosc odcinka_L2_rys_atrapa_65 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Srodek odcinka. Dlugosc odcinka_ustawianie srodka [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Srodek odcinka. Dlugosc odcinka_rys_przyklad5 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Srodek odcinka. Dlugosc odcinka_L2_rys_atrapa_66 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Srodek odcinka. Dlugosc odcinka_L2_rys_atrapa_67 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Srodek odcinka. Dlugosc odcinka_L2_rys_atrapa_68 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Srodek odcinka. Dlugosc odcinka_L2_rys_atrapa_69 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Srodek odcinka. Dlugosc odcinka_L2_rys_atrapa_70 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Srodek odcinka. Dlugosc odcinka_cwiczenie1 [Licencja: CC BY NC 3.0]
O e-podręczniku
623
Moduł: Geometria analityczna / Zastosowania równania prostej: wysokości, środkowe, symetralne boków trójkąta
Autor: Politechnika Łódzka
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iDpzUxWz9D/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iDpzUxWz9D
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.1: dodaje i odejmuje w pamięci liczby naturalne dwucyfrowe, liczby wielocyfrowe w przypadkach,
takich jak np. 230 + 80 lub 4600 - 1200; liczbę jednocyfrową dodaje do dowolnej liczby naturalnej i odejmuje od
dowolnej liczby naturalnej;
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Zastosowania rownania prostej, wysokości, srodkowe, symetralne w
trojkacie_przyklad1_s1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Zastosowania rownania prostej, wysokości, srodkowe, symetralne w
trojkacie_przyklad2 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Zastosowania rownania prostej, wysokości, srodkowe, symetralne w
trojkacie_przyklad3s1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Zastosowania rownania prostej, wysokości, srodkowe, symetralne w
trojkacie_przyklad3s2 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Zastosowania rownania prostej, wysokości, srodkowe, symetralne w
trojkacie_przyklad4 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Zastosowania rownania prostej, wysokości, srodkowe, symetralne w
trojkacie_przyklad5 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Zastosowania rownania prostej, wysokości, srodkowe, symetralne w trojkacie_rys6
[Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Zastosowania rownania prostej, wysokości, srodkowe, symetralne w
trojkacie_przyklad6rys3 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Zastosowania rownania prostej, wysokości, srodkowe, symetralne w
trojkacie_przyklad6_rys4 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Zastosowania rownania prostej, wysokości, srodkowe, symetralne w
trojkacie_przyklad6s2 [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Zastosowania rownania prostej, wysokości, srodkowe, symetralne w
trojkacie_cwiczenie1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Zastosowania rownania prostej, wysokości, srodkowe, symetralne w
trojkacie_przyklad7 [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
624
Moduł: Funkcja kwadratowa / Jednomian kwadratowy i jego własności. Przesunięcie wykresu jednomianu
kwadratowego wzdłuż osi układu współrzędnych
Autor: Politechnika Łódzka
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/ik1JIubkZ2/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/ik1JIubkZ2
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.1: dodaje i odejmuje w pamięci liczby naturalne dwucyfrowe, liczby wielocyfrowe w przypadkach,
takich jak np. 230 + 80 lub 4600 - 1200; liczbę jednocyfrową dodaje do dowolnej liczby naturalnej i odejmuje od
dowolnej liczby naturalnej;
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_ggb_parabola_1 [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: 01 Przykład 7 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_4010 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_ggb_parabola_3 [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_ggb_parabola_4 [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_przyklad9_1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_przyklad9_2 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_przyklad10a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_przyklad10b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_przyklad10c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_przyklad10d [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_przyklad11a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_przyklad11b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_przyklad11c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_przyklad11d [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_zad_zam6 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_zad_zam6 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_zad_zam7 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_zad_zam7 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_zad_o_8a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_zad_o_8b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_zad_o_8d [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
625
Moduł: Funkcja kwadratowa / Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w postaci kanonicznej. Wykres funkcji
kwadratowej zapisanej wzorem w postaci ogólnej
Autor: Politechnika Łódzka
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/inT4yVy8ED/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/inT4yVy8ED
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.1: dodaje i odejmuje w pamięci liczby naturalne dwucyfrowe, liczby wielocyfrowe w przypadkach,
takich jak np. 230 + 80 lub 4600 - 1200; liczbę jednocyfrową dodaje do dowolnej liczby naturalnej i odejmuje od
dowolnej liczby naturalnej;
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_przyklad1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_przyklad2 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_przyklad3 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_przyklad4 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_APLET5 [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_przyklad5 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_przyklad6 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_przyklad7 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_przyklad8 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_przyklad9 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_przyklad10a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_przyklad10b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_przyklad10c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_przyklad10d [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_otwarte7a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_otwarte7b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_otwarte7c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_otwarte7d [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
626
Moduł: Funkcja kwadratowa / Współrzędne wierzchołka paraboli / Zależności między wartościami współczynników
występujących we wzorach funkcji kwadratowej zapisanej w postaci ogólnej i w postaci kanonicznej
Autor: Politechnika Łódzka
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/i6DI3bt4cP/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/i6DI3bt4cP
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.1: dodaje i odejmuje w pamięci liczby naturalne dwucyfrowe, liczby wielocyfrowe w przypadkach,
takich jak np. 230 + 80 lub 4600 - 1200; liczbę jednocyfrową dodaje do dowolnej liczby naturalnej i odejmuje od
dowolnej liczby naturalnej;
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Postac iloczynowa funkcji_zamiana postaci
ogolnej na kanoniczna [Licencja: CC BY NC 3.0]
Moduł: Funkcja kwadratowa / Współrzędne wierzchołka paraboli / Współrzędne wierzchołka paraboli
Autor: Politechnika Łódzka
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iHN7wgfWsq/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iHN7wgfWsq
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.1: dodaje i odejmuje w pamięci liczby naturalne dwucyfrowe, liczby wielocyfrowe w przypadkach,
takich jak np. 230 + 80 lub 4600 - 1200; liczbę jednocyfrową dodaje do dowolnej liczby naturalnej i odejmuje od
dowolnej liczby naturalnej;
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_ggb_parabola_6 [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_cw1a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_z7b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_z7c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_z7d [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_z7b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_z7c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_z7d [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_o4a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_o4b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_o4c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_o4d [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_o4e [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_o4f [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
627
Moduł: Funkcja kwadratowa / Miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Postać iloczynowa funkcji kwadratowej
Autor: Politechnika Łódzka
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/igOAxoUD0e/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/igOAxoUD0e
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.1: dodaje i odejmuje w pamięci liczby naturalne dwucyfrowe, liczby wielocyfrowe w przypadkach,
takich jak np. 230 + 80 lub 4600 - 1200; liczbę jednocyfrową dodaje do dowolnej liczby naturalnej i odejmuje od
dowolnej liczby naturalnej;
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wyznaczanie wzoru funkcji kw na podstawie pewnych inf o tej funkcji lub jej
wykresie_liczba miejsc zer paraboli [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Mnozenie ulamkow zwyklych_delta i miejsca zerowe [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_cw2a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_cw5a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_cw5b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_cw5c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_cw5d [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_cw5a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_cw5b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_cw5c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_cw5d [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_zamkniete2 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_zamkniete2 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_z4a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_z4b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_z4d [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_z4a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_z4b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_z4d [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_o4a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_o4b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_z4c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_o4d [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
628
Moduł: Funkcja kwadratowa / Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji
lub o jej wykresie
Autor: Politechnika Łódzka
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iF2jXRqhtN/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iF2jXRqhtN
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.1: dodaje i odejmuje w pamięci liczby naturalne dwucyfrowe, liczby wielocyfrowe w przypadkach,
takich jak np. 230 + 80 lub 4600 - 1200; liczbę jednocyfrową dodaje do dowolnej liczby naturalnej i odejmuje od
dowolnej liczby naturalnej;
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_przyklad 1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_3087 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_kwadratowa symetria miejsc zerowych
[Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Postac iloczynowa funkcji_symetria miejsc
zer [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wyznaczanie wzoru funkcji kw na podstawie pewnych inf o tej funkcji lub jej
wykresie Wyznaczanie wzoru funkcji kw na podstawie pewnych inf o tej funkcji lub jej wykresie_atrapa_rys_72 [Licencja:
CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wyznaczanie wzoru funkcji kw na podstawie pewnych inf o tej funkcji lub jej
wykresie_atrapa_rys_74 [Licencja: CC BY 3.0]
Moduł: Funkcja kwadratowa / Równanie kwadratowe
Autor: Politechnika Łódzka
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/isA2lPIdwn/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/isA2lPIdwn
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.1: dodaje i odejmuje w pamięci liczby naturalne dwucyfrowe, liczby wielocyfrowe w przypadkach,
takich jak np. 230 + 80 lub 4600 - 1200; liczbę jednocyfrową dodaje do dowolnej liczby naturalnej i odejmuje od
dowolnej liczby naturalnej;
O e-podręczniku
629
Moduł: Funkcja kwadratowa / Nierówność kwadratowa
Autor: Politechnika Łódzka
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iFwzWacLch/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iFwzWacLch
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.1: dodaje i odejmuje w pamięci liczby naturalne dwucyfrowe, liczby wielocyfrowe w przypadkach,
takich jak np. 230 + 80 lub 4600 - 1200; liczbę jednocyfrową dodaje do dowolnej liczby naturalnej i odejmuje od
dowolnej liczby naturalnej;
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac ogolna funkcji kwadratowej_przyklad1 [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac ogolna funkcji kwadratowej_obrazki1_1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac ogolna funkcji kwadratowej_obrazki1_2 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac ogolna funkcji kwadratowej_obrazki1_3 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac ogolna funkcji kwadratowej_przyklad2 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac ogolna funkcji kwadratowej_przyklad2_os [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac ogolna funkcji kwadratowej_przyklad3 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac ogolna funkcji kwadratowej_przyklad3b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac ogolna funkcji kwadratowej_przyklad3b_drugi sposob [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac ogolna funkcji kwadratowej_przyklad3c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac ogolna funkcji kwadratowej_przyklad4 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac ogolna funkcji kwadratowej_przyklad4b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac ogolna funkcji kwadratowej_przyklad4c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac ogolna funkcji kwadratowej_przyklad4d [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac ogolna funkcji kwadratowej_zadanie10 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac ogolna funkcji kwadratowej_zadanie10b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac ogolna funkcji kwadratowej_zadanie10d [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac ogolna funkcji kwadratowej_zadanie10 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac ogolna funkcji kwadratowej_zadanie10b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac ogolna funkcji kwadratowej_zadanie10d [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
630
Moduł: Funkcja kwadratowa / Wartość najmniejsza oraz wartość największa funkcji kwadratowej w przedziale
domkniętym
Autor: Politechnika Łódzka
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/ipzjMCMVgH/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/ipzjMCMVgH
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.1: dodaje i odejmuje w pamięci liczby naturalne dwucyfrowe, liczby wielocyfrowe w przypadkach,
takich jak np. 230 + 80 lub 4600 - 1200; liczbę jednocyfrową dodaje do dowolnej liczby naturalnej i odejmuje od
dowolnej liczby naturalnej;
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Najmniejsza_najwieksza wartosc funkcji kwadratowej w przedz dom_przyklad 1
[Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Najmniejsza_najwieksza wartosc funkcji kwadratowej w przedz dom_wartosc
min_max [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Najmniejsza_najwieksza wartosc funkcji kwadratowej w przedz dom_przyklad 2
[Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Mnozenie ulamkow zwyklych_przyklad3 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Najmniejsza_najwieksza wartosc funkcji kwadratowej w przedz
dom_wartosci_min_max_dowolnej [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Najmniejsza_najwieksza wartosc funkcji kwadratowej w przedz dom_zadanie
pudelko [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Najmniejsza_najwieksza wartosc funkcji kwadratowej w przedz dom_rys_zad1
[Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Najmniejsza_najwieksza wartosc funkcji kwadratowej w przedz dom_rys_zad2
[Licencja: CC BY 3.0]
Moduł: Funkcja kwadratowa / Zastosowania funkcji kwadratowej / Zadania wstępne
Autor: Politechnika Łódzka
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iTtrwRYti3/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iTtrwRYti3
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.1: dodaje i odejmuje w pamięci liczby naturalne dwucyfrowe, liczby wielocyfrowe w przypadkach,
takich jak np. 230 + 80 lub 4600 - 1200; liczbę jednocyfrową dodaje do dowolnej liczby naturalnej i odejmuje od
dowolnej liczby naturalnej;
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: atrapa:opis animacji [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: atrapa:opis animacji [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
631
Moduł: Funkcja kwadratowa / Zastosowania funkcji kwadratowej / Zadania tekstowe prowadzące do równań
kwadratowych – prędkość, droga, czas
Autor: Politechnika Łódzka
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iMiy9p13AX/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iMiy9p13AX
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.1: dodaje i odejmuje w pamięci liczby naturalne dwucyfrowe, liczby wielocyfrowe w przypadkach,
takich jak np. 230 + 80 lub 4600 - 1200; liczbę jednocyfrową dodaje do dowolnej liczby naturalnej i odejmuje od
dowolnej liczby naturalnej;
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: atrapa:opis animacji [Licencja: CC BY 3.0]
Moduł: Wielomiany. Funkcje wymierne / Pierwiastki równań
Autor: Jacek Stańdo
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iV1ROpe61v/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iV1ROpe61v
Hasła podstawy programowej:
E4-SRE-MAT-1.0-I-3: Równania i nierówności. Uczeń:
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Pierwiastki równań postaci x=a_wielomiany1 [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wykres proporcji prostej. Przesuwanie wykr proporcjonalnosci prostej wzdłuz osi
układu wsp_przyklad 9 [Licencja: CC BY 3.0]
Moduł: Wielomiany. Funkcje wymierne / Równania stopnia trzeciego w postaci iloczynu
Autor: Jacek Stańdo
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iJ9nWPn9aj/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iJ9nWPn9aj
Hasła podstawy programowej:
E4-SRE-MAT-1.0-I-3: Równania i nierówności. Uczeń:
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
O e-podręczniku
632
Moduł: Wielomiany. Funkcje wymierne / Wyrażenia wymierne. Równania wymierne
Autor: Jacek Stańdo
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iIEiNx2IIi/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iIEiNx2IIi
Hasła podstawy programowej:
E4-SRE-MAT-1.0-I-5: Ciągi. Uczeń:
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Moduł: Wielomiany. Funkcje wymierne / Zastosowanie równań wymiernych do interpretacji zagadnień praktycznych
Autor: Jacek Stańdo
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iYcmaHaJ3L/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iYcmaHaJ3L
Hasła podstawy programowej:
E4-SRE-MAT-1.0-I-5: Ciągi. Uczeń:
Moduł: Wielomiany. Funkcje wymierne / Proporcjonalność odwrotna / Proporcjonalność odwrotna
Autor: Jacek Stańdo
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iCQnc1UXLj/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iCQnc1UXLj
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-10.4: rysuje siatki prostopadłościanów.
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: atrapa:opis animacji [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Najmniejsza_najwieksza wartosc funkcji kwadratowej w przedz dom_pole
prostokata [Licencja: CC BY NC 3.0]
O e-podręczniku
633
Moduł: Wielomiany. Funkcje wymierne / Proporcjonalność odwrotna / Wykres funkcji
Autor: Politechnika Łódzka
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/itIav9LEIk/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/itIav9LEIk
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.1: dodaje i odejmuje w pamięci liczby naturalne dwucyfrowe, liczby wielocyfrowe w przypadkach,
takich jak np. 230 + 80 lub 4600 - 1200; liczbę jednocyfrową dodaje do dowolnej liczby naturalnej i odejmuje od
dowolnej liczby naturalnej;
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Najmniejsza_najwieksza wartosc funkcji kwadratowej w przedz dom
Najmniejsza_najwieksza wartosc funkcji kwadratowej w przedz dom_rysowanie hiperboli [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Najmniejsza_najwieksza wartosc funkcji kwadratowej w przedz dom_przyklad5
[Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Najmniejsza_najwieksza wartosc funkcji kwadratowej w przedz dom_przyklad6
wersja2 [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Najmniejsza_najwieksza wartosc funkcji kwadratowej w przedz dom_przyklad6
wersja2 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Najmniejsza_najwieksza wartosc funkcji kwadratowej w przedz dom_hiperbola
dowolna [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Najmniejsza_najwieksza wartosc funkcji kwadratowej w przedz dom_cwiczenie2
[Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Najmniejsza_najwieksza wartosc funkcji kwadratowej w przedz dom_cwiczenie4
[Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
634
Moduł: Wielomiany. Funkcje wymierne / Proporcjonalność odwrotna / Przesunięcia wykresu wzdłuż osi układu
współrzędnych
Autor: Politechnika Łódzka
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iD72UsX2V7/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iD72UsX2V7
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.1: dodaje i odejmuje w pamięci liczby naturalne dwucyfrowe, liczby wielocyfrowe w przypadkach,
takich jak np. 230 + 80 lub 4600 - 1200; liczbę jednocyfrową dodaje do dowolnej liczby naturalnej i odejmuje od
dowolnej liczby naturalnej;
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Najmniejsza_najwieksza wartosc funkcji kwadratowej_przyklad1_przesuniecia
[Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Najmniejsza_najwieksza wartosc funkcji kwadratowej w przedz
dom_przesuniecia_przyklad2 [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Najmniejsza_najwieksza wartosc funkcji kwadratowej w przedz
dom_przesuniecie_cwiczenie [Licencja: CC BY NC 3.0]
Moduł: Wielomiany. Funkcje wymierne / Zastosowania funkcji wymiernych do interpretacji zagadnień praktycznych
Autor: Jacek Stańdo
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iezjqGA4u8/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iezjqGA4u8
Hasła podstawy programowej:
E3-GIM-MAT-1.0-1.5: oblicza wartości nieskomplikowanych wyrażeń arytmetycznych zawierających ułamki zwykłe i
dziesiętne;
O e-podręczniku
635
Moduł: Ciągi / Pojęcie ciągu. Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej
Autor: Jacek Stańdo
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iZFjx378LV/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iZFjx378LV
Hasła podstawy programowej:
E4-SRE-MAT-1.0-I-5: Ciągi. Uczeń:
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: atrapa:opis animacji [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Pojęcie ciągu.Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej_atrapa_animacja_6087
[Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Pojęcie ciągu.Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej_rys_451 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Pojęcie ciągu.Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej_wyrazy ciagu [Licencja: CC BY
NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Pojęcie ciągu.Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej_rys_452 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Pojęcie ciągu.Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej_rys_453 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Pojęcie ciągu.Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej_rys_4011 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: atrapa:opis animacji [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: atrapa:opis animacji [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: atrapa:opis animacji [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: atrapa:opis animacji [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: atrapa:opis animacji [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: atrapa:opis animacji [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Pojęcie ciągu.Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej_brakujacy wyraz ciagu
[Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Pojęcie ciągu.Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej_srednia arytmetyczna
[Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Pojęcie ciągu.Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej_trzeci wyraz ciagu arytm
[Licencja: CC BY NC 3.0]
O e-podręczniku
636
Moduł: Ciągi / Ciąg arytmetyczny
Autor: Jacek Stańdo
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iaKE2NFytN/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iaKE2NFytN
Hasła podstawy programowej:
E4-SRE-MAT-1.0-I-5: Ciągi. Uczeń:
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: atrapa:opis animacji [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: atrapa:opis animacji [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: 21a_Ciag arytmetyczny_ciag_arytmetyczny_wzor [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: 21a_Ciag arytmetyczny_Brakujacy wyraz ciagu [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: 21a_Ciag arytmetyczny_Trzeci wyraz ciagu [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: 21a_Ciag arytmetyczny_ciag arytmetyczny_nutki [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Pojęcie ciągu.Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej_wzor ogolny arytmetyczny
[Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: 02 Cwiczenie 7, 1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: 21a_Ciag arytmetyczny_wzor ogolny arytmetyczny [Licencja: CC BY NC 3.0]
Moduł: Ciągi / Ciągi – własności ciągów arytmetycznych
Autor: Jacek Stańdo
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/ikHgzbVvV3/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/ikHgzbVvV3
Hasła podstawy programowej:
E4-SRE-MAT-1.0-I-5: Ciągi. Uczeń:
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Ciag arytmetyczny i jego własnosci_3084 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Ciag arytmetyczny i jego własnosci_3085 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Pojęcie ciągu.Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej_srednia arytmetyczna ciag
[Licencja: CC BY NC 3.0]
O e-podręczniku
637
Moduł: Ciągi / Ciągi – suma wyrazów ciągu arytmetycznego
Autor: Jacek Stańdo
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/ia7BnhauDm/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/ia7BnhauDm
Hasła podstawy programowej:
E4-SRE-MAT-1.0-I-5: Ciągi. Uczeń:
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: atrapa:opis animacji [Licencja: CC BY 3.0]
Moduł: Ciągi / Ciąg geometryczny
Autor: Jacek Stańdo
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iTDlAqaSFo/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iTDlAqaSFo
Hasła podstawy programowej:
E4-SRE-MAT-1.0-I-5: Ciągi. Uczeń:
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: 01 Przykład 2 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Ciag geometryczny i jego własnosci_ciag_geometryczny2 [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Ciag geometryczny i jego własnosci_ciag_geometryczny [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Ciag geometryczny i jego własnosci_ciag geomeryczny [Licencja: CC BY NC 3.0]
Moduł: Ciągi / Suma wyrazów ciągu geometrycznego
Autor: Jacek Stańdo
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/ilt8Dxv1rf/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/ilt8Dxv1rf
Hasła podstawy programowej:
E4-SRE-MAT-1.0-I-5: Ciągi. Uczeń:
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Suma wyrazow ciągu geometrycznego. Procent
składany_animacja_dowod_twierdzenia [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
638
Moduł: Ciągi / Procent składany
Autor: Jacek Stańdo
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/ihw165xY1e/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/ihw165xY1e
Hasła podstawy programowej:
E3-GIM-MAT-1.0-1.5: oblicza wartości nieskomplikowanych wyrażeń arytmetycznych zawierających ułamki zwykłe i
dziesiętne;
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: atrapa:opis animacji [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Powtorzenie i utrwalenie wiadomosci o ciagach_3080 [Licencja: CC BY 3.0]
Moduł: Ciągi / Ciąg arytmetyczny i geometryczny zastosowanie
Autor: Jacek Stańdo
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/i80wLmpN3X/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/i80wLmpN3X
Hasła podstawy programowej:
E4-SRE-MAT-1.0-I-5: Ciągi. Uczeń:
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Powtorzenie i utrwalenie wiadomosci o ciagach_3086 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: 01 Przykład 3 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: 04 Ćwiczenie 3 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: 05 Przykład 4 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: 06 Zadanie otwarte 8 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: 07 Zadanie otwarte 9 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: atrapa:opis animacji [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: 08 Zadanie otwarte 11 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Powtorzenie i utrwalenie wiadomosci o ciagach_funkcja a ciag [Licencja: CC BY NC
3.0]
O e-podręczniku
639
Moduł: Funkcja wykładnicza. Logarytmy / Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcanie wykresu funkcji
wykładniczej
Autor: Politechnika Łódzka
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iy3bhUU7QM/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iy3bhUU7QM
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.1: dodaje i odejmuje w pamięci liczby naturalne dwucyfrowe, liczby wielocyfrowe w przypadkach,
takich jak np. 230 + 80 lub 4600 - 1200; liczbę jednocyfrową dodaje do dowolnej liczby naturalnej i odejmuje od
dowolnej liczby naturalnej;
O e-podręczniku
640
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja wykladnicza i jej własnsci.Przeksztalcenia wykresu funkcji
wykladniczej_przykład_2 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja wykladnicza i jej własnsci.Przeksztalcenia wykresu funkcji
wykladniczej_przyklad2 [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja wykladnicza i jej własnsci.Przeksztalcenia wykresu funkcji
wykladniczej_przykład_3 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja wykladnicza i jej własnsci.Przeksztalcenia wykresu funkcji
wykladniczej_wykladnicza_przeciwdziedzina [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja wykladnicza i jej własnsci.Przeksztalcenia wykresu funkcji
wykladniczej_wykladnicza_symetria_Oy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: atrapa:opis animacji [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja wykladnicza i jej własnsci.Przeksztalcenia wykresu funkcji
wykladniczej_1800 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: atrapa:opis animacji [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja wykladnicza i jej własnsci.Przeksztalcenia wykresu funkcji
wykladniczej_1801 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja wykladnicza i jej własnsci.Przeksztalcenia wykresu funkcji
wykladniczej_przykład_4 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja wykladnicza i jej własnsci.Przeksztalcenia wykresu funkcji
wykladniczej_przykład_4a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja wykladnicza i jej własnsci.Przeksztalcenia wykresu funkcji
wykladniczej_przykład_4b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja wykladnicza i jej własnsci.Przeksztalcenia wykresu funkcji
wykladniczej_przykład_4 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja wykladnicza i jej własnsci.Przeksztalcenia wykresu funkcji
wykladniczej_przykład_4d [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja wykladnicza i jej własnsci.Przeksztalcenia wykresu funkcji
wykladniczej_przykład_5 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja wykladnicza i jej własnsci.Przeksztalcenia wykresu funkcji
wykladniczej_przykład_5b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja wykladnicza i jej własnsci.Przeksztalcenia wykresu funkcji
wykladniczej_przykład_5c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja wykladnicza i jej własnsci.Przeksztalcenia wykresu funkcji
wykladniczej_przykład_5d [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: atrapa:opis animacji [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja wykladnicza i jej własnsci.Przeksztalcenia wykresu funkcji
wykladniczej_1802 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja wykladnicza i jej własnsci.Przeksztalcenia wykresu funkcji
wykladniczej_przykład_6 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja wykladnicza i jej własnsci.Przeksztalcenia wykresu funkcji
wykladniczej_przykład_6b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja wykladnicza i jej własnsci.Przeksztalcenia wykresu funkcji
wykladniczej_przykład_7 [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
641
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja wykladnicza i jej własnsci.Przeksztalcenia wykresu funkcji
wykladniczej_przykład_7a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja wykladnicza i jej własnsci.Przeksztalcenia wykresu funkcji
wykladniczej_przykład_13 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja wykladnicza i jej własnsci.Przeksztalcenia wykresu funkcji
wykladniczej_przykład_13b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja wykladnicza i jej własnsci.Przeksztalcenia wykresu funkcji
wykladniczej_przykład_13c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja wykladnicza i jej własnsci.Przeksztalcenia wykresu funkcji
wykladniczej_zadanie_16 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja wykladnicza i jej własnsci.Przeksztalcenia wykresu funkcji
wykladniczej_zadanie_18a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja wykladnicza i jej własnsci.Przeksztalcenia wykresu funkcji
wykladniczej_zadanie_18b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja wykladnicza i jej własnsci.Przeksztalcenia wykresu funkcji
wykladniczej_zadanie_18c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja wykladnicza i jej własnsci.Przeksztalcenia wykresu funkcji
wykladniczej_zadanie_18d [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja wykladnicza i jej własnsci.Przeksztalcenia wykresu funkcji
wykladniczej_zadanie_18e [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja wykladnicza i jej własnsci.Przeksztalcenia wykresu funkcji
wykladniczej_zadanie_18f [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja wykladnicza i jej własnsci.Przeksztalcenia wykresu funkcji
wykladniczej_wykres f_wykladniczej [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja wykladnicza i jej własnsci.Przeksztalcenia wykresu funkcji
wykladniczej_Funkcja wykladnicza4 [Licencja: CC BY NC 3.0]
Moduł: Funkcja wykładnicza. Logarytmy / Definicja logarytmu. Własności logarytmu
Autor: Jacek Stańdo
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iUebUJTEGs/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iUebUJTEGs
Hasła podstawy programowej:
E3-GIM-MAT-1.0-1.5: oblicza wartości nieskomplikowanych wyrażeń arytmetycznych zawierających ułamki zwykłe i
dziesiętne;
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Definicja logarytmu_atrapa_animacja_wprowadzenie do logarytmow_1891
[Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Definicja logarytmu_6055_logarytm_definicja [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
642
Moduł: Funkcja wykładnicza. Logarytmy / Działania na logarytmach / Działania na logarytmach. Przykłady
Autor: Jacek Stańdo
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/il6ZbItQlA/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/il6ZbItQlA
Hasła podstawy programowej:
E3-GIM-MAT-1.0-1.5: oblicza wartości nieskomplikowanych wyrażeń arytmetycznych zawierających ułamki zwykłe i
dziesiętne;
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Definicja logarytmu_atrapa_animacja_1888 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Definicja logarytmu_atrapa_animacja_1889_odejmowanie [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Definicja logarytmu_atrapa_animacja_1890_potegowanie [Licencja: CC BY 3.0]
Moduł: Funkcja wykładnicza. Logarytmy / Działania na logarytmach / Zadania
Autor: Jacek Stańdo
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iY0d2qW92Y/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iY0d2qW92Y
Hasła podstawy programowej:
E3-GIM-MAT-1.0-1.5: oblicza wartości nieskomplikowanych wyrażeń arytmetycznych zawierających ułamki zwykłe i
dziesiętne;
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Moduł: Funkcja wykładnicza. Logarytmy / Zastosowanie funkcji wykładniczej
Autor: Jacek Stańdo
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iiQ3iMPWc5/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iiQ3iMPWc5
Hasła podstawy programowej:
E4-SRE-MAT-1.0-I-3: Równania i nierówności. Uczeń:
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Zastosowania funkcji wykladniczej_zastosowania_funkcji_wyk_1 [Licencja: CC BY
3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Zastosowania funkcji wykladniczej_zastosowania_funkcji_wyk_2 [Licencja: CC BY
3.0]
O e-podręczniku
643
Moduł: Wykresy funkcji specjalnych i ich własności
Autor: Politechnika Łódzka
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iQgAw2U76v/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iQgAw2U76v
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.1: dodaje i odejmuje w pamięci liczby naturalne dwucyfrowe, liczby wielocyfrowe w przypadkach,
takich jak np. 230 + 80 lub 4600 - 1200; liczbę jednocyfrową dodaje do dowolnej liczby naturalnej i odejmuje od
dowolnej liczby naturalnej;
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Definicja logarytmu_6056_logarytm_przeciwdziedzina [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Definicja logarytmu_6057_logarytm_symOx [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: atrapa:opis animacji [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: atrapa:opis animacji [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: atrapa:opis animacji [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja wykladnicza i jej własnsci.Przeksztalcenia wykresu funkcji
wykladniczej_1803 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja wykladnicza i jej własnsci.Przeksztalcenia wykresu funkcji
wykladniczej_1804 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja wykladnicza i jej własnsci.Przeksztalcenia wykresu funkcji
wykladniczej_1805 [Licencja: CC BY 3.0]
Moduł: Słowniczek
Moduł wygenerowany przez platformę
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/129738_22_glossary/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/129738_22_glossary
O e-podręczniku
644
Informacje o licencjach osadzonych obiektów w odpowiedziach (w kolejności występowania w treści e-podręcznika)
O e-podręczniku
645
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: 01b_Proste rownolegle i proste prostopadle Geometria analityczna_cwiczenie3
[Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Srodek odcinka. Dlugosc odcinka_rys_rozw_zad4 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_zad_o1a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_zad_o1b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_zad_o1c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_zad_o2a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_zad_o2b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_zad_o2c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_zad_o2d [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_zad_o6a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_zad_o6b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_zad_o6c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_zad_o6d [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_zad_o_7a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_zad_o_7b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_zad_o_7c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_zad_o_7d [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_otwrte1a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_otwarte1b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_otwarte1c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_otwarte1d [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_otwarte2a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_otwarte2b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_otwarte2c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_otwarte2d [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_z7a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_z7a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_z4c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_z4c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac ogolna funkcji kwadratowej_zadanie10c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac ogolna funkcji kwadratowej_zadanie10c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Pojęcie ciągu.Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej_rys_455 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Pojęcie ciągu.Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej_rys_450 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Pojęcie ciągu.Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej_rys_457 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Pojęcie ciągu.Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej_rys_458 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Procent skladany_atrapa_rys_400 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: 02 Ćwiczenie 2, 1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: 03 Ćwiczenie 2, 2 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja wykladnicza i jej własnsci.Przeksztalcenia wykresu funkcji
wykladniczej_zadanie11a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja wykladnicza i jej własnsci.Przeksztalcenia wykresu funkcji
wykladniczej_zadanie+11b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja wykladnicza i jej własnsci.Przeksztalcenia wykresu funkcji
wykladniczej_zadanie_11c [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
646
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja wykladnicza i jej własnsci.Przeksztalcenia wykresu funkcji
wykladniczej_zadanie_12a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja wykladnicza i jej własnsci.Przeksztalcenia wykresu funkcji
wykladniczej_zadanie_12b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja wykladnicza i jej własnsci.Przeksztalcenia wykresu funkcji
wykladniczej_zadanie_13a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja wykladnicza i jej własnsci.Przeksztalcenia wykresu funkcji
wykladniczej_zadanie_13b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja wykladnicza i jej własnsci.Przeksztalcenia wykresu funkcji
wykladniczej_zadanie_13c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja wykladnicza i jej własnsci.Przeksztalcenia wykresu funkcji
wykladniczej_zadanie_24 [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
647
Lista licencji
E-podręczniki 1.0 http://www.epodreczniki.pl/licenses/e-podreczniki/1.0
domena publiczna http://www.epodreczniki.pl/licenses/domena-publiczna/1.0
tylko do użytku edukacyjnego http://www.epodreczniki.pl/licenses/tylko-do-uzytku-edukacyjnego/1.0
tylko do użytku edukacyjnego na epodreczniki.pl http://www.epodreczniki.pl/licenses/tylko-do-uzytku-edukacyjnego-na-
epodreczniki_pl/1.0
tylko do użytku niekomercyjnego http://www.epodreczniki.pl/licenses/tylko-do-uzytku-niekomercyjnego/1.0
CC 0 1.0 http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/legalcode
CC BY 1.0 https://creativecommons.org/licenses/by/1.0/legalcode
CC BY 2.0 https://creativecommons.org/licenses/by/2.0/pl/legalcode
CC BY 2.5 https://creativecommons.org/licenses/by/2.5/pl/legalcode
CC BY 3.0 http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/pl/legalcode
CC BY 4.0 https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/legalcode
CC BY SA 1.0 https://creativecommons.org/licenses/by-sa/1.0/legalcode
CC BY SA 2.0 https://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/pl/legalcode
CC BY SA 2.5 https://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5/pl/legalcode
CC BY SA 3.0 https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/legalcode
CC BY SA 4.0 https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/legalcode
CC BY ND 1.0 https://creativecommons.org/licenses/by-nd/1.0/legalcode
CC BY ND 2.0 https://creativecommons.org/licenses/by-nd/2.0/pl/legalcode
CC BY ND 2.5 https://creativecommons.org/licenses/by-nd/2.5/pl/legalcode
CC BY ND 3.0 https://creativecommons.org/licenses/by-nd/3.0/pl/legalcode
CC BY ND 4.0 https://creativecommons.org/licenses/by-nd/4.0/legalcode
CC BY NC 1.0 https://creativecommons.org/licenses/by-nc/1.0/legalcode
CC BY NC 2.0 https://creativecommons.org/licenses/by-nc/2.0/pl/legalcode
CC BY NC 2.5 https://creativecommons.org/licenses/by-nc/2.5/pl/legalcode
CC BY NC 3.0 https://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0/pl/legalcode
CC BY NC 4.0 https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode
CC BY NC ND 2.0 https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/pl/legalcode
CC BY NC ND 2.5 https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.5/pl/legalcode
CC BY NC ND 3.0 https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/pl/legalcode
CC BY NC ND 4.0 https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/legalcode
CC BY NC SA 1.0 https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/1.0/legalcode
CC BY NC SA 2.0 https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/pl/legalcode
CC BY NC SA 2.5 https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pl/legalcode
CC BY NC SA 3.0 https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/pl/legalcode
CC BY NC SA 4.0 https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/legalcode
PŁ - Politechnika Łódzka
O e-podręczniku
648