N = {1, 2, , ...}〈n〉 = {j ∈ N : j ≤ n}

1 MacierzeNiech F oznacza ciało, wówczas definiujemy

F1 = {{a} : a ∈ F}

∀n∈N\{1} Fn = {u = (u1, ..., un) : ∀j∈〈n〉 uj ∈ F} .

1.1 Definicja macierzy (dwuwymiarowej)Niech ∀j∈〈n〉 cj ∈ Fm. Macierzą (dwuwymiarową) typu (m,n) (inaczej

rozmiaru m× n) nad ciałem F nazywamy n-tkę uporządkowaną

A = (c1, ..., cn) ∈ (Fm)n . (1)

Zbiór wszystkich macierzy typu (m,n) nad ciałem F, to jest (Fm)n, oznaczamyzwykle przez Fm,n.

Dowolną macierz A = (c1, ..., cn) ∈ Fm,n, gdzie dla każdego k ∈ 〈n〉 ck =(a1k, ..., amk) ∈ Fm możemy zapisać w postaci

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

.... . .

...am1 am2 · · · amn

, (2)

k-ta współrzędna ck nazywana jest k-tą kolumną macierzyA, zaś n-tka uporząd-kowana rj = (aj1, ..., ajn) ∈ Fn j-tym wierszem macierzy A.

1.2 Transpozycja macierzyDla każdej macierzy A ∈ Fm,n oraz dla każdego j ∈ 〈m〉 niech rj oznacza j-

ty wiersz macierzy A. Transpozycja macierzy typu (m,n) to przekształcenie

τ : Fm,n 3 A 7→ AT = (r1, ..., rn) ∈ Fn,m (3)

AT nazywa się wówczas macierzą transponowaną macierzy A.

1.3 Macierz kwadratowaMacierzą kwadratową stopnia n nc. F nazywamy dwolną macierz typu (n, n)

A = (c1, ..., cn) =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

.... . .

...an1 an2 · · · ann

∈ Fn,n , (4)

1

gdzie dla każdego k ∈ 〈n〉 ck = (a1k, ..., ank) ∈ Fm. Macierzą jednostkowąstopnia n nc. F nazywamy macierz

In = (e1, ..., en) =

1F 0F · · · 0F0F 1F · · · 0F...

.... . .

...0F 0F · · · 1F

(5)

1.4 Wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia n

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej stopnia n nazywamy jedyne przeksz-tałcenie

detn : Fn,n 3 A = (c1, ..., cn) 7→ detn(A) ∈ F (6)

o następujących własnościach:

• detn jest przekształceniem n-liniowym,

• detn(In) = 1F,

• ∀A=(c1,...,cn)∈Fn,n (∃j 6=k∈〈n〉 cj = ck ⇒ detn(A) = 0F).

Często, jeśli tylko nie wprowadza to nieporozumień, litera n przy symbolu detjest pomijana.

2