LISTA 01

Zadanie 1.1 Definiujemy:

a� b = (ab) mod n

a⊕ b = (a+ b) mod n

Niech n = 4.

(a) Wykonaj tabelkę działania ⊕ dla zbioru Zn = {0, . . . , n − 1}. Czy w Zn istnieje element

neutralny e działania ⊕? Jeśli tak, czy (Zn,⊕, e) jest grupą?

(b) Wykonaj tabelkę działania � dla zbioru Zn = {0, . . . , n − 1}. Czy w Zn istnieje element

neutralny e działania �? Jeśli tak, czy (Zn,�, e) jest grupą?

(c) Wykonaj tabelkę działania � dla zbioru Z∗n = {1, . . . , n − 1}. Czy w Z∗n istnieje element

neutralny e działania �? Jeśli tak, czy (Zn,�, e) jest grupą? Czy odpowiedź zmieni się dla

n = 3?

Zadanie 1.2 Definiujemy:

a⊕ b = (a+ b) mod n, Zn = {0, . . . , n− 1}.

Znajdź element neutralny e działania ⊕.

Czy (Zn,⊕, e) jest grupą dla dowolnego n?

Zadanie 1.3 W zbiorze Z definiujemy działanie ◦:

a ◦ b = a+ b− 7

(a) Znajdź element neutralny e tego działania.

(b) Znajdź element odwrotny do a = 5.

(c) Znajdź element odwrotny do a ∈ Z.

(d) Czy działanie ◦ jest łączne?

(e) Czy (Z, ◦, e) jest grupą?

Zadanie 1.4 Czy G = {a+ b√

2 : a, b ∈ Z} jest podgrupą grupy liczb rzeczywistych względem

dodawania?

Zadanie 1.5 Czy działanie ◦ jest wewnętrzne w zbiorze G? Czy jest przemienne?

(a) a ◦ b = a− b, G = R

(b) a ◦ b = a− b, G = R+1

2

(c) a ◦ b =√a · b, G = R+

(d) a ◦ b =√a · b, G = Q+

(e) a ◦ b = 2a + 7b, G = Q

(f) a ◦ b =1

a2 + b2 + 5, G = Z

(g) a ◦ b =1

a2 + b2 + 5, G = Q

Zadanie 1.6 Wykonaj tabelkę dla grupy izometrii własnych trójkąta równobocznego.

Zadanie 1.7 Dana jest permutacja:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 9 2 1 8 3 7

(a) Rozłóż permutację na cykle rozłączne.

(b) Przedstaw permutację jako złożenie transpozycji.

(c) Wyznacz znak permutacji.

Zadanie 1.8 Dana są permutacje:

σ1 =

1 2 3 4 5

2 5 3 1 4

, σ2 =

1 2 3 4 5

4 5 3 2 1

.Znajdź permutacje:

(a) σ−11 oraz σ−12

(b) σ1 · σ2 - czy jest ona identyczna z permutacją σ2 · σ1?

3

LISTA 02

Zadanie 2.1 Dane jest z = 3 + 4i. Znajdź |z|, z̄, Rez, Imz.

Zadanie 2.2 Udowodnij, że |z̄| = |z|.

Zadanie 2.3 Wykonaj mnożenie liczb zespolonych z1 = a+ bi oraz z1 = c+ di, pamiętając, że

i2 = −1.

Zadanie 2.4 Wykonaj następujące działania:

(a) (3 + 2i)(1 + 5i)

(b) (3 + 4i)2

(c) Re(2 + 3i) + |4 + 3i|

(d) Re((2− 5i)(1 + 2i)

)+ Im

((3− 2i)(1− 5i)

)(e)

12 + 3i

(f)6 + 2i1− i

Zadanie 2.5 Rozwiąż następujące równania:

(a) z2 + 4 = 0

(b) z2 − 4z + 13 = 0

(c) 3z2 − 6z + 15 = 0

(d) 3z3 + 147z = 0

(e) 2z3 − 10z2 + 16z − 12 = 0

Zadanie 2.6 Przedstaw podaną liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej.

Wykonaj rysunek.

(a) z = 4i

(b) z = 3

(c) z = 5 + 5i√

3

(d) z = (1 + i)√

7

(e) z = 7− 7i√

3

(f) z =−5 + 5i√

2

4

Zadanie 2.7 Oblicz:

(a) 4√−16

(b) 3√

8i Uwaga: ile jest takich pierwiastków?

(c) 4√i

(d)√−2 + 2i

√3

Zadanie 2.8 Dane jest z = 3 + 3i√

3. Oblicz

(a) z4

(b) z2017

(c) z2018

5

LISTA 03

Zadanie 3.1 Podaj kombinację liniową wektorów

(a) [−1, 1, 0, 0, 3] i [0, 6, 0, 3, 4] ze współczynnikami 7 oraz12

(b) 0 3

1 1

0 1

,

1 3

2 −1

4 0

,

0 0

3 0

0 0

ze współczynnikami −5, 7,−3.

(c)

[2, 1, 0],[√

7, π,−101], [−2, 5, 1], [1, 0, 0]

ze współczynnikami(√

3− 1), 0, 1, 4

Zadanie 3.2 Sprawdź, czy

(a) [6, 2,−1] jest kombinacją liniową wektorów [3, 4,−2] i [−1,−2, 1]?

(b) [2,−1, 9] jest kombinacją liniową wektorów [1, 0, 3], [0, 1, 1], [0, 0, 1]?

(c) [4, 16] jest kombinacją liniową wektorów [1, 1], [2, 1], [0, 3]?

(d) [0, 0, 1] jest kombinacją liniową wektorów [1, 1, 3], [4, 7, 2], [1, 4,−7]?

(e)

5 6

2 −5

jest kombinacją liniową wektorów

0 3

6 0

, 1 1

0 −1

?

(f)

5 0 2

0 12 0

4 0 5

jest kombinacją liniową wektorów

0 0 1

0 3 0

2 0 0

,

1 0 0

0 1 0

0 0 1

?

(g) (6x3 + x2 + 5x) jest kombinacją liniową wektorów (x2 + 1) i (x3 + x)?

(h) (8x3+x2+3x+6) jest kombinacją liniową wektorów (x2 + 3x+ 2) oraz (−2x3 + x2 + 3x+ 1)?

Zadanie 3.3 Wskaż, które z podanych układów są liniowo niezależne.

(a) [2, 0, 2], [1, 1, 1], [2,−1, 2]

(b) [2, 3], [1, 1]

(c) [1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 0]

(d) [1, 2], [1, 0], [3, 4], [1, 1]

(e) [1, 0], [0, 1]

(f) x2, 3x2 + 11, x+ 1

6

(g) x2, 3x2 + 11, x

(h) x2, 3x2 + 11, 5

(i)

1 0

0 1

, 1 1

3 0

, 1 −1

−3 2

(j)

1 0

0 1

, 1 1

3 0

, 0 1

1 0

Zadanie 3.4 Sprawdź, czy dany układ jest bazą przestrzeni liniowej V :

(a) [2, 0, 2], [1, 1, 1], [2,−1, 2], V = R3

(b) [−2, 0, π], [4, 1, 5], V = R3

(c) [1, 0, 1], [7, 2, 7], [1, 2, 3], [√

2, 3, 0], V = R3

(d) w1(x) = 3x,w2(x) = x2 − 1, w3(x) = 7 + x,

V -przestrzeń wielomianów stopnia ¬ 2 zmiennej x o współczynnikach z R

(e) w1(x) = 3x+ 7, w2(x) = 5x2,

V -przestrzeń wielomianów stopnia ¬ 2 zmiennej x o współczynnikach z R

7

LISTA 04

Zadanie 4.1 Rozwiąż za pomocą eliminacji Gaussa

(a)

2x1 + 5x2 + 3x3 = 1

x1 + 2x2 + 2x3 = 0

3x1 + 9x2 + 7x3 = −1

(b)

3x1 + 6x2 + 2x3 = 19

10x1 + 8x2 + 3x3 = 7

8x1 + 7x2 + 10x3 = 1

(c)

6x1 + 3x2 + 4x3 = −2

8x1 + 3x2 + 8x3 = 10

10x1 + 5x2 + 9x3 = 6

(d)

3x1 + 3x2 + 4x3 = −23

6x1 + 8x2 + 3x3 = −29

7x1 + 3x2 + 5x3 = −16

(e)

4x1 + 4x2 + 4x3 = 12

2x1 + 6x2 + 5x3 = 13

6x1 + 3x2 + 8x3 = 17

(f)

7x1 + 5x2 + 2x3 = 21

9x1 + 5x2 + 7x3 = 11

7x1 + 2x2 + 4x3 = 2

(g)

3x1 + 3x2 + 3x3 = 18

6x1 + 10x2 + 10x3 = 68

9x1 + 4x2 + 3x3 = 11

(h)

5x1 + 7x2 + 9x3 = 47

2x1 + 6x2 + 3x3 = 17

10x1 + 8x2 + 4x3 = 52

(i)

2x1 + 5x2 + 10x3 = 34

3x1 + 8x2 + 9x3 = 47

5x1 + 6x2 + 8x3 = 42

8

(j)

2x1 + 9x2 + 10x3 = 2

3x1 + 10x2 + 5x3 = 3

10x1 + 2x2 + 4x3 = 10

(k)

10x1 + 6x2 + 7x3 = −15

8x1 + 10x2 + 9x3 = −3

2x1 + 7x2 + 2x3 = 23

(l)

7x1 − 6x2 − 7x3 + 3x4 = −36

3x1 − 5x3 + 4x4 = −6

−6x1 − 4x2 + 2x3 + 4x4 = −24

−7x1 − 7x2 + 4x3 − 2x4 = −28

(m)

7x1 − 7x2 + x3 + 5x4 = 21

2x1 − x2 + 6x3 = 24

−4x1 + 5x2 + 7x3 + 6x4 = −9

−2x1 + 5x2 − x3 − 6x4 = −5

(n)

−2x2 − 7x3 − x4 = 23

−5x1 + 5x2 − 3x3 − 2x4 = 6

−2x1 + 5x2 − 2x3 − 6x4 = −7

6x1 + 2x2 − 4x3 + 3x4 = 33

(o)

−x1 + x2 − x3 + x4 = 12

6x1 − 3x2 − 6x3 − x4 = −8

3x1 − 7x2 + 2x3 + 2x4 = −30

−5x1 + 2x2 + 4x3 + 2x4 = 12

(p)

2x1 + 3x2 − 5x3 − 5x4 = 20

−x1 + x2 + 7x3 + 3x4 = −26

5x1 + 3x2 − 4x3 = −8

6x1 − 7x2 − 7x3 − 2x4 = 24

(q)

−4x1 + 7x2 − 4x3 − 6x4 = 13

−4x1 + 6x3 + 6x4 = −4

x1 − 3x2 + 7x3 − 3x4 = −28

7x2 + 3x3 − 4x4 = 7

9

(r)

−x2 + 5x3 − 3x4 = 7

6x1 − 5x2 − 3x3 + 3x4 = 1

6x1 + 5x2 + 5x3 + 5x4 = 51

−2x1 + 6x2 + 2x3 − 5x4 = −8

(s)

−4x1 − 6x2 − 4x3 + x4 = −32

x1 + 3x2 − 5x4 = −1

7x1 − x2 − 2x3 + 4x4 = −3

−2x1 − 4x2 + 4x3 + 3x4 = 10

(t)

−x1 − 7x2 + 6x3 + x4 = −59

−4x1 − 5x2 + 3x3 − 2x4 = −9

5x1 − 2x2 − 3x4 = −13

−4x1 + 7x2 − 4x3 + 5x4 = 39

(u)

7x1 − 3x2 + 4x3 − 7x4 = 48

5x1 + 3x2 − 5x3 = 6

4x1 + 2x2 − x3 − 5x4 = 14

3x1 − 5x2 − x3 − 4x4 = 30

(v)

4x1 +

√2x2 + 2x3 = 0

−2x1 + x2 − 3x3 = 4

3x1 + 9x2 + 3x3 = −3

(w)

2x1 − 7x2 + 4x3 = −4

6x1 + 72x2 + 4x3 = 13

2x1 − 4x2 + 53x3 = −5

(x)

5x1 − 5x3 = 0

4x1 − 2x2 − 7x3 = −2

6x1 + 2x2 − 4x3 = 1

(y)

−5x12 + x2 = 5

2

2x1 + 2x25 − 3x3 = 2

4x27 − 5x3 = −1021

Odpowiedzi:

(a) x1 = 2, x2 = 0, x3 = −1

(b) x1 = −3, x2 = 5, x3 = −1

(c) x1 = −2, x2 = −2, x3 = 4

(d) x1 = 3, x2 = −4, x3 = −5

10

(e) x1 = 1, x2 = 1, x3 = 1

(f) x1 = 0, x2 = 5, x3 = −2

(g) x1 = −2, x2 = 5, x3 = 3

(h) x1 = 4, x2 = 0, x3 = 3

(i) x1 = 2, x2 = 4, x3 = 1

(j) x1 = 1, x2 = 0, x3 = 0

(k) x1 = −1, x2 = 5, x3 = −5

(l) x1 = −1, x2 = 5, x3 = −1, x4 = −2

(m) x1 = 2, x2 = −2, x3 = 3, x4 = −2

(n) x1 = 1, x2 = 1, x3 = −4, x4 = 3

(o) x1 = −4, x2 = 2, x3 = −4, x4 = 2

(p) x1 = −2, x2 = −2, x3 = −2, x4 = −4

(q) x1 = 1, x2 = 3, x3 = −2, x4 = 2

(r) x1 = 1, x2 = 1, x3 = 4, x4 = 4

(s) x1 = 0, x2 = 3, x3 = 4, x4 = 2

(t) x1 = −4, x2 = 4, x3 = −5, x4 = −5

(u) x1 = 4, x2 = −3, x3 = 1, x4 = −1

(v) x1 = 1, x2 = 0, x3 = −2

(w) x1 = −1, x2 = 2, x3 = 3

(x) x1 = 1, x2 = −12 , x3 = 1

(y) x1 = 1, x2 = 5, x3 = 23

Zadanie 4.2 Rozwiąż za pomocą eliminacji Gaussa

(a)

−3x1 − 6x2 − 2x3 = 11

−15x1 + 2x2 + 6x3 = 2

3x1 + 2x2 = −1

(b)

−3x1 − 6x2 − 2x3 = 12

−15x1 + 2x2 + 6x3 = −4

3x1 + 2x2 = −4

(c)

3x1 − x2 + 4x3 = 10

−4x1 − 4x2 − x3 = −8

−4x2 + x3 = 4

2x1 + 2x3 = 6

11

(d)

−3x1 + 2x3 + 4x4 = 0

−2x1 − 2x2 + 4x3 + 3x4 = −1

x1 − 3x2 + x3 − 2x4 = 0

3x1 + 2x2 − 2x4 = 2

(e)

−3x1 + 2x3 + 4x4 = 2

−2x1 − 2x2 + 4x3 + 3x4 = 2

x1 − 3x2 + x3 − 2x4 = −2

3x1 + 2x2 − 2x4 = 2

Odpowiedzi:

(a) układ sprzeczny

(b) układ nieoznaczony: x1 = x33 , x2 = −x3

2 − 2

(c) układ oznaczony: x1 = 3, x2 = −1, x3 = 0

(d) układ sprzeczny

(e) układ nieoznaczony: x1 = x4, x2 = 1− x42 , x3 = 1− x4

2

Zadanie 4.3 Znajdź rząd macierzy:

(a)

−7 −4 −7

1 6 3

−6 3 −2

−5 5 −4

(b)

4 2 2

−3 1 5

1 3 7

−7 −1 3

(c)

−4 −6 0 2 1

−2 −7 −1 4 −1

5 2 2 −7 7

Zadanie 4.4 Znajdź współrzędne wektora w w podanej bazie:

(a) baza: [−5,−7, 1], [3, 6, 2], [3,−7, 1], wektor: w = [−32, 22,−16]

(b) baza: [−1,−6,−4], [−6, 3, 2], [−7, 3, 1], wektor: w = [3,−8,−8]

(c) baza: [0, 4,−2, 3], [3, 5,−3, 0], [−5,−5,−2, 4], [−4, 5,−3, 7], wektor: w = [−4,−3,−9,−10]

(d) baza: −4x2 − 4x− 2, 3x2 + 7x+ 2, 6x2 + 7x+ 2, wektor: −2x2 + x+ 4

12

Zadanie 4.5 Nie wykonując obliczeń podaj, czy układ jest oznaczony, nieoznaczony, czy sprzeczny,

jeśli macierz układu to:

(a) −53 1 −2

√6

0 0 7 log2 3

0 5 −3 − 1√7+π

(b)

0 0 0 sin π7

1 −2 311 4

2√

17 0 0

(c)

1 3 0 7 1

0 0 0 −2 1

0 0 5 −2 π

(d)

2 3 5 6

0 1 2 0

0 −1 −2 0

(e)

log 4 4 −2 0

0 2 2 7

0 0 −5 7

0 4 4 14

13

LISTA 05

Zadanie 5.1 Sprawdź, czy mnożenia A · B, B · A są wykonalne. Znajdź wyniki wykonalnych

mnożeń.

(a) A =

−3 5 2

3 0 4

6 3 −2

, B =

−4 1 4

1 −2 5

2 −1 0

(b) A =

−5 1 0 0

1 6 2 1

, B =

−3 2

0 −5

5 −3

−2 −2

(c) A =

6 −1

−5 1

3 −2

, B =

1 2 0 2 −1

6 4 2 6 −5

(d) A =

2 −1

0 4

, B =

1 0

3 1

(e) A =

2 6 2

1 −5 3

, B =

−1 −1

4 5

−5 −2

−6 0

(f) A =

3 0 −4 5 6

−2 −5 −7 0 1

0 −4 −1 2 3

−7 2 4 −2 2

, B =

0 −4 3

3 2 −3

−2 0 −6

−1 −4 −1

−5 0 −3

Odpowiedzi:

(a) A ·B =

21 −15 13

−4 −1 12

−25 2 39

, B ·A = .

39 −8 −12

21 20 −16

−9 10 0

14

(b) A ·B =

15 −15

5 −36

, B ·A =

17 9 4 2

−5 −30 −10 −5

−28 −13 −6 −3

8 −14 −4 −2

(c) A ·B =

0 8 −2 6 −1

1 −6 2 −4 0

−9 −2 −4 −6 7

(d) A ·B =

−1 −1

12 4

, B ·A =

2 −1

6 1

(e) B ·A =

−3 −1 −5

13 −1 23

−12 −20 −16

−12 −36 −12

(f) A ·B =

−27 −32 10

−6 −2 48

−27 −16 7

−10 40 −55

Zadanie 5.2 Znajdź wyznacznik macierzy

4 1 6

7 0 1

−1 2 5

, stosując:

(a) rozwinięcie Laplace’a względem pierwszego wiersza

(b) rozwinięcie Laplace’a względem drugiego wiersza

(c) rozwinięcie Laplace’a względem trzeciego wiersza

(d) rozwinięcie Laplace’a względem pierwszej kolumny

(e) rozwinięcie Laplace’a względem drugiej kolumny

(f) rozwinięcie Laplace’a względem trzeciej kolumny

(g) metodę Sarrusa

Zadanie 5.3 Znajdź wyznacznik macierzy

1 0 2 1

0 3 0 0

4 0 9 4

7 0 14 8

, stosując:

(a) rozwinięcie Laplace’a względem wybranego wiersza

15

(b) rozwinięcie Laplace’a względem pierwszej kolumny

(c) rozwinięcie Laplace’a względem wybranej kolumny

(d) operacje elementarne na wierszach lub kolumnach

Zadanie 5.4 Znajdź rząd macierzy:

(a) 5 −1 −5 −4 −2

−1 −3 3 0 0

−2 6 3 5 4

(b)

3 0 −4 0 6

−2 −5 −7 0 1

0 0 −1 2 3

−7 2 4 1 2

Zadanie 5.5 Podaj wyznacznik macierzy (uzasadnij odpowiedź).

(a)

2 −3 3 4

0 2 1 0

−3 6 4 −6

2 −2 1 4

(b)

5 0 4 2

3 3 4 5√

2 3 3 1

8 3 8 7

(c)

2 1 17 3

−1 5 0 6

3 −2 −17 1

−4 4 −51 3

, jeśli wiadomo, że

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 1 1 3

−1 5 0 6

3 −2 −1 1

−4 4 −3 3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 2

(d)

−1 −3 3 −2

0 6 −3 7

0 0 2 −3

0 0 0 1

16

(e)

−3 5 2

6 0 7

0 2 2

·

1 0 0

5 3 0

7 2 1

Zadanie 5.6 Odwróć macierz, posługując się

(1) metodą macierzy dopisanej,

(2) macierzą dopełnień algebraicznych

(a)

2 2 3

5 0 6

4 −3 4

(b)

−73 −1 35

6

−2 −1 112

2 1 −5

(c)

2 0 3

2 5 6

2 3 5

(d)

−2 0 4 0

−1 0 7 1

0 −1 4 0

2 0 0 1

Odpowiedzi:

(a)

−18 17 −12

−4 4 −3

15 −14 10

(b)

−3 5 2

6 0 7

0 2 2

(c) 12 ·

7 9 −15

2 4 −6

−4 −6 10

(d) 12 ·

−7 4 0 −4

−12 8 −2 −8

−3 2 0 −2

14 −8 0 10

17

Zadanie 5.7 Znajdź rząd macierzy w zależności od parametru a

(a) 1 −3 5

√2

−1 5 a 0

−2 6 −9 12

(b)

a 1 6 14

7 0 1 2

−1 2 5 14

Zadanie 5.8 Znajdź rozwiązania układów z zadania 4.1 korzystając z

(a) wzorów Cramera

(b) macierzy odwrotnej

Zadanie 5.9 Rozwiąż równania macierzowe:

(a) 5 3

2 2

·X =

7 16

2 12

(b) 3 2 −1

4 2 0

·X =

−1 1

2 −12

(c) −2 4

−7 1

·X + 2X =

1 0

−2 1

·X +

1 18

−13 0

Odpowiedzi:

(a) X =

2 −1

−1 7

;

(b) X =

3− a −b− 13

2a− 5 2b+ 20

a b

, gdzie a, b ∈ R;

(c) X =

3 2

1 5

Zadanie 5.10 Niech macierze z zadania 5.7. będą macierzami układów równan liniowych. Ko-

rzystając z twierdzenia Kroneckera-Capelliego sprawdź, dla jakich wartości parametru a dany

układ jest oznaczony, nieoznaczony, sprzeczny.

18

Zadanie 5.11 Za pomocą minorów znajdź rząd macierzy:

(a)

3 3 6

4 −2 4

−1 3 6

0 0 −2

6 −1 3

(b)

−2 1 8 −4 12

0 1 2 −1 3

5 0 −4 7 −5

3 2 6 2 10

(c)

2 0 −2 4

−1 0 1 −2

8 3 −5 28

−1 2 5 17

(d)

4 5 3 2 7

7 3 1 9 9

2 1 3 1 2

9 0 1 −2 6

(e)

3 4 2

0 3 −1

2 −2 6

−2 4 4

1 4 0

2 4 0

1 6 2

Odpowiedzi:

(a) 3

(b) 3

(c) 3

(d) 4

(e) 3

19

LISTA 06

Zadanie 6.1 Wskaż przekształcenia liniowe (uzasadnij!)

(a) ϕ(x1, x2, x3) = (√

2x3, 5x1 + x2 + x3, 7x1 − 3x3)

(b) ϕ(x1, x2) =(x2 − 17x2, x2, 13x1 + x2

)(c) ϕ(x1, x2, x3) = (x1 − x2, x1 + x3)

(d) ϕ(x1, x2, x3) = (x1, 0, 0, 7x1 − x3)

(e) ϕ(x1, x2, x3) = (4x1 − x3, 5 + 2x3)

(f) ϕ(x1, x2) = (|x1|, 3x1 + x2)

(g) ϕ(x, y) =

(5x3 − 3x2y + 5x− 3y

x2 + 1, 2 sin2(x) + cos(2x)− 7y

)

Odpowiedzi:

(a) TAK - ogólny wzór na przekształcenie liniowe.

(b) TAK - ogólny wzór na przekształcenie liniowe.

(c) TAK - ogólny wzór na przekształcenie liniowe.

(d) TAK - ogólny wzór na przekształcenie liniowe.

(e) NIE - np. ϕ(0, 0, 0) 6= (0, 0) - drugi warunek nie jest spełniony

(f) NIE - np.

ϕ(−1 + 1, 0) = (|−1 + 1|, 0) = (0, 0) 6= ϕ(−1, 0) +ϕ(1, 0) = (|−1|, 0) + (|1|, 0) = (1, 0) + (1, 0) = (2, 0)

tzn. pierwszy warunek nie jest spełniony

(g) TAK: po uproszczeniu mamy ϕ(x, y) = (5x− 3y, 1− 7y)

Uwaga: Ogólny wzór na przekształcenie liniowe ϕ : Kn → Km to

ϕ((x1, . . . , xn)) = (a11x1 + · · ·+ a1nxn, . . . , am1x1 + · · ·+ amnxn)

Zadanie 6.2 Znajdź jądro i obraz przekształcenia liniowego:

(a) ϕ(x1, x2, x3) = (−5x1 + 7x2 + 6x3, 5x1 + x2 − 22x3,−4x1 + 6x2 + 4x3)

(b) ϕ(x1, x2, x3) = (x1 − x2 − x3,−6x1 + 8x2 + 5x3, 3x1 − 4x3)

(c) ϕ(x1, x2, x3, x4) = (2x1 − x2 + 7x4, x2 + 5x3, 3x1 − 2x2 − 2x3 + x4)

(d) ϕ(x1, x2, x3) = (−x1 + 2x3, x1 + x2 − x3,−x1 − 4x2 − x3, 7x2)

Odpowiedzi:

20

(a) Najpierw szukamy jądra: α = (x1, x2, x3) takiego, że ϕ(x1, x2, x3) = 0−5x1 + 7x2 + 6x3 = 0

5x1 + x2 − 22x3 = 0

−4x1 + 6x2 + 4x3 = 0

daje rozwiązanie:

x1 = 4x3

x2 = 2x3

To oznacza, że:

ker(ϕ) = {[4x3, 2x3, x3] : x3 ∈ R} = {x3 · [4, 2, 1] : x3 ∈ R} = lin([4, 2, 1])

Teraz szukamy obrazu (najłatwiej wziąć bazę standardową R3):

im(ϕ) = lin (ϕ(1, 0, 0), ϕ(0, 1, 0), ϕ(0, 0, 1)) = lin ([−5, 5,−4], [7, 1, 6], [6,−22, 4])

Możemy zauważyć, że układ [−5, 5,−4], [7, 1, 6], [6,−22, 4] jest liniowo zależny, np. wektor

[6,−22, 4] jest kombinacją liniową dwóch pozostałych wektorów z współczynnikami −4 i −2.

Po wyrzuceniu tego wektora układ jest liniowo niezależny. Zatem:

im(ϕ) = lin ([−5, 5,−4], [7, 1, 6])

(b)

lin(ϕ) = {0}, im(ϕ) = R3

(c)

lin(ϕ) = lin([−51,−95, 19, 1]) ker(ϕ) = R3

Wskazówki:

ϕ(x1, x2, x3, x4) = 0 ⇐⇒

x1 = −51x4

x2 = −95x4

x3 = 19x4

ker(ϕ) = lin (ϕ(1, 0, 0, 0), ϕ(0, 1, 0, 0), ϕ(0, 0, 1, 0), ϕ(0, 0, 0, 1)) = lin([2, 0, 3], [−1, 1,−2], [0, 5,−2], [7, 0, 1])

ale dopiero po wyrzuceniu np. [7, 0, 1] mamy układ liniowo niezależny [2, 0, 3], [−1, 1,−2], [0, 5,−2];

jest on złożony z 3 wektorów, zatem układ ten jest bazą R3.

(d)

lin(ϕ) = {0}, im(ϕ) = lin([−1, 1,−1, 0], [0, 1,−4, 7], [2,−1,−1, 0])

Zadanie 6.3 Znajdź macierz przekształcenia, M(ϕ)BA, w podanych bazach.

ϕ(x1, x2) = [−6x2, 7x1 − 19x2]

(a) A = {[1, 0], [0, 1]}, B = {[1, 0], [0, 1]}

(b) A = {[3, 1], [−2,−1]}, B = {[1, 1], [1, 0]}

21

(a) M(ϕ)BA =

0 −6

7 −19

(b) M(ϕ)BA =

2 5

−8 1

Zadanie 6.4 Znajdź macierz zamiany współrzędnych z bazyA = {α1, α2} do bazy B = {β1, β2},

gdzie

(a) α1 = [3, 4], α2 = [2, 5], β1 = [1, 0], β2 = [0, 1]

(b) α1 = [8, 5], α2 = [3, 2], β1 = [1, 1], β2 = [1, 0]

(c) α1 = [1, 0], α2 = [0, 1], β1 = [4, 1], β2 = [11, 3]

Odpowiedzi:

(a) M(id)BA =

3 2

4 5

(b) M(id)BA =

5 2

3 1

(c) M(id)BA =

3 −11

−1 4

Zadanie 6.5 Znajdź współrzędne wektora v = [2, 1] w bazie A z poprzedniego zadania. Korzy-

stajac ze znalezionej macierzy zamiany współrzędnych znajdź współrzędne tego wektora również

w bazie B.

(a) v =87α1 −

57α2

v = 2β1 + 1β2

(b) v = α1 − 2α2

v = β1 + β2

(c) v = 2α1 + α2

v = −5β1 + 2β2

22

LISTA 06

Zadanie 7.1 Znajdź wektor ~AB i oblicz odległość między punktami A,B:

(a) A = (9,−13), B = (2, 11)

(b) A = (5, 2,−3), B = (8, 6, 9)

(c) A = (5, 0, 1,−8), B = (8, 6,−9, 4)

Odpowiedzi:

(a) ~AB = [−7, 24], | ~AB| = 25

(b) ~AB = [3, 4, 12], | ~AB| = 13

(c) ~AB = [3, 6,−10, 12], | ~AB| = 17

Zadanie 7.2 Znajdź kąt θ między wektorami ~v, ~w:

(a) ~v = [3, 1], ~w = [−2, 6]

(b) ~v = [2√

3, 2], ~w = [3√

3,−3]

(c) ~v = [1,−1], ~w = [0, 2]

(d) ~v = [3, 2,−6], ~w =[32 , 1,−3

](e) ~v = [2, 3, 1, 4], ~w = [1, 2,−1, 2]

Odpowiedzi:

(a) θ = π2 –wektory są prostopadłe

(b) θ = π3

(c) θ = 3π4

(d) θ = 0–wektory są równoległe

(e) θ = π6

Zadanie 7.3 Znajdź iloczyn wektorowy ~v × ~w:

(a) ~v = [3,−2, 0], ~w = [4,−5,−1]

(b) ~v = [1, 3, 4], ~w = [−1, 0, 2]

(c) ~v = [−1, 0, 2], ~w = [1, 3, 4]

(d) ~v = [2, 0,−3], ~w = [−1, 3, 2]

Odpowiedzi:

(a) ~v × ~w = [2, 3,−7]

(b) ~v × ~w = [6,−6, 3]

(c) ~v × ~w = (−1) · [6,−6, 3] = [−6, 6,−3]

(iloczyn wektorowy jest antyprzemienny, możemy więc skorzystać z poprzedniego punktu)

(d) ~v × ~w = [9,−1, 6]

23

Zadanie 7.4 Obliczyć pole równoległoboku zbudowanego na wektorach ~v i ~w:

(a) ~v = [3, 2, 4], ~w = [5, 3, 4]

(b) ~v = [3, 2, 4], ~w = [3, 0, 4]

(c) ~v = [0, 2, 3], ~w = [3, 2, 4]

Odpowiedzi:

(a) ~p = ~v × ~w = [−4, 8,−1], zatem pole to |~p| = 9

(b) ~p = ~v × ~w = [8, 0,−6], zatem pole to |~p| = 10

(c) ~p = ~v × ~w = [2, 9,−6], zatem pole to |~p| = 11

Zadanie 7.5 Oblicz pole P równoległoboku o wierzchołkach:

A = (1, 3, 0), B = (0, 1, 2), C = (0, 3, 1), D = (−1, 1, 3).

Rozwiązanie:

~AB = [−1,−2, 2] , ~AC = [−1, 0, 1], zatem

P = | ~AB × ~AC| = |[2, 1, 2]| = 3

A

B C

D

0

2

4x

0

2

4y

0

2

4

z

Zadanie 7.6 Znajdź równanie płaszczyzny przechodzącej przez podane punkty:

(a) (1, 0,−7), (3, 5,−8), (1, 3,−9)

(b) (1,−2, 3), (5,−2, 2), (5,−2, 1)

(c) (1, 1, 3), (5, 6,−4), (3, 4,−2)

24

Odpowiedzi:

(a) 49− 7x+ 4y + 6z = 0

(b) 8 + 4y = 0; po uproszczeniu y = −2

(c) −8− 4x+ 6y + 2z = 0; po uproszczeniu np. −2x+ 3y + z = 4

Zadanie 7.7 Obliczyć objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach [1, 3, 1], [1, 10, 8], [−1,−1, 2].

Odpowiedź: 7.

Zadanie 7.8 Znaleźć równanie prostej l przechodzącej przez punkty:

(a) A = (2, 1), B = (9,−4)

(b) A = (−4, 7, 7), B = (−1, 11, 12)

(c) A = (0, 5, 7, 5), B = (2, 6, 6, 9)

Odpowiedzi:

(a) ~AB = [7,−5], zatem mamy:

l : (2, 1) + t · [7,−5]

Inaczej:

l :

x = 2 + 7t

y = 1 + (−5)t

Inny zapis:

l :x− 2

7=y − 1−5

(b) ~AB = [3, 4, 5], zatem mamy:

l : (−4, 7, 7) + t · [3, 4, 5]

Inaczej:

l :

x = −4 + 3t

y = 7 + 4t

z = 7 + 5t

Inny zapis:

l :x− (−4)

3=y − 7

4=z − 7

5

(c) ~AB = [2, 1,−1, 4], zatem mamy:

l : (0, 5, 7, 5) + t · [2, 1,−1, 4]

25

Inaczej:

l :

x = 0 + 2t

y = 5 + 1t

z = 7 + (−1)t

w = 5 + 4t

Inny zapis:

l :x− 0

2=y − 5

1=z − 7−1

=w − 5

4

26

Krzywe stożkowe

Zadanie 8.1 Sklasyfikuj krzywą stożkową:

(a) 9x2 + 25y2 = 900

(b) 9x2 − 16y2 = 144

Odpowiedzi:

(a) Elipsa: (x

10

)2+(y

6

)2= 1

Mamy a = 10, b = 6.

-10 10x

-6

6

y

a

ba

H-c,0L Hc,0L

Uwaga: c =√a2 − b2 = 8.

(b) Hiperbola: (x

4

)2−(y

3

)2= 1

Mamy a = 4, b = 3.

-4 4x

-3

3

y

c-c a-a

b

-b

Uwaga: c =√a2 + b2 = 5.