Post on 28-Feb-2019
Zygmunt Szefliński Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów
szef@fuw.edu.pl http://www.fuw.edu.pl/~szef/
Fizyka 1- Mechanika Wykład 8
23.XI.2017
Moment siły
23.XI.2017 Wykład 8
FrM
Moment siły rośnie ze wzrostem siły i odległości punktu jej przyłożenia od osi obrotu. Ważny jest kąt między kierunkiem siły i promienia.
23.XI.2017 Wykład 8
Ogólna definicja momentu siły
Trzy czynniki: 1. Wartość siły 2. Odległość punktu przyłożenia od osi obrotu 3. Kąt przyłożenia
FrM
Moment siły
23.XI.2017 Wykład 8
FrM
Trzy czynniki: 1. Wartość siły 2. Odległość punktu przyłożenia od osi obrotu 3. Kąt przyłożenia
Fr
23.XI.2017 Wykład 8
Znak momentu siły
Gdy siła generuje przyspieszenie zgodne z ruchem wskazówek zegara moment siły jest ujemny; gdy ruch przeciwny do ruchu wskazówek zegara moment siły jest dodatni. Iloczyn wektorowy wyjaśnia wszystko.
FrM
0M
0M
Prawoskrętny układ współrzędnych
23.XI.2017 Wykład 8
x z
y
x y
z
yxz
Środek masy a równowaga
23.XI.2017 Wykład 8
Rozciągły obiekt zrównoważyć możemy wykorzystać pojęcie środka masy. Bryła sztywna pozostaje nieruchoma, wtedy i tylko wtedy, gdy działające na nią siły i momenty sił równoważą się:
Statyka
23.XI.2017 Wykład 8
Warunek równowagi:
00 dt
pdFF
i
zew
i
zew
00 dt
LdMM
i
zew
i
zew
Siły, z którymi na ogół będziemy mieć do czynienia, to siła ciężkości i siły reakcji więzów
Środek masy a równowaga
23.XI.2017 Wykład 8
Rozciągły obiekt w jednorodnym polu grawitacyjnym jest w równowadze gdy podparty jest pod lub nad środkiem masy. Ten fakt może posłużyć do empirycznego wyznaczenia środka masy układu
Ruch obrotowy – moment pędu
23.XI.2017 Wykład 8
Definicja dla punktu materialnego:
prvrmL
Wprowadzając pojęcie momentu bezwładności dla punktu materialnego:
r
vrvmrI 2
Mamy:
IL
Moment pędu – ruch na płaszczyźnie
23.XI.2017 Wykład 8
Moment pędu możemy przedstawić w ogólnej postaci:
22 mrLr
vmrL
mrvLvvrmL r
IL ˆ
Zasada zachowania momentu pędu
23.XI.2017 Wykład 8
Siły centralne Jeśli układ ciał (lub pojedyncze ciało) działa jakaś siła zewnętrzna to pęd układu musi się zmieniać: Siły które działają na układ często są siłami centralnymi - działają w kierunku ustalonego źródła siły. Jeśli położenie źródła przyjmiemy za środek układu
Przykład: • siła grawitacyjna: • siła kulombowska • siła sprężysta Czy można coś “uratować” z zasady zachowania pędu ?.
0totF
constpi
rtot irFF ,...
2
21
r
mmGrF
2
21
r
qqkrF
rkrF
Zasada zachowania momentu pędu
23.XI.2017 Wykład 8
FrM
Równanie ruchu:
IprL
MFrpv
dt
pdrp
dt
rd
dt
prd
dt
Ld
0
constLM 0
Przykład: Wirujące koło
1. Koło i student(ka) nie wirują 2. Student rozkręca koło przy pionowej osi
koła z momentem pędu w górę (co się dzieje z krzesłem?) Krzesło rotuje z momentem pędu w dół.
3. Zatrzymujemy ręką rotację koła. Co się dzieje z krzesłem?.
23.XI.2017 Wykład 8
L1 = L2 = L3 Krzesło zatrzymuje się
Pytanie 1 [1] Spoczywam trzymając rotujące koło [2] Odwracam oś rotacji koła, a krzesło zaczyna rotować Pytanie: Co się stanie jeśli [3] odwrócimy jeszcze raz?
(a) rotacja ustaje; (b) zwiększa się 2x; (c) pozostaje b.z.
[1] [2]
??
[3]
Wykład 8 23.XI.2017
Dwukrotne odwrócenie koła
LNET
LW LS
LNET
LW
LNET
brak obrotu
LW
[1] [2] [3]
Wykład 8 23.XI.2017
Ruch obrotowy – moment bezwładności
23.XI.2017 Wykład 8
Dla punktu materialnego:
prvrmL
Przy wprowadzeniu pojęcia momentu bezwładności dla punktu materialnego:
2mrI
IL
Dla układu punktów materialnych względem osi obrotu:
i
iirmI 2
Dla ciągłego rozkładu masy:
2rdmI
Moment bezwładności - pręt
23.XI.2017 Wykład 8
Jednorodny pręt wokół osi przechodzącej przez środek liczymy z definicji:
Jednorodny liniowy rozkład masy:
2rdmI
dldml
M
1212322
3222
23
3
32/
0
3
0
2
2/
0
2 lM
llldllldlI
ll
Jednorodny pręt wokół osi przechodzącej przez koniec pręta:
333
23
0
3
0
2
0
2 lM
lldllldlI
lll
Moment bezwładności - przykłady
23.XI.2017 Wykład 8
Dla ciała jednorodnego (=const=M/V):
Gdzie:
Obręcz (pusta w środku) obrót wokół osi symetrii. Wszystkie punkty równoodległe od osi:
2rdmI
2222 rMrdv
dv
Mrdv
V
MrdvI
2r średni kwadrat odległości od osi obrotu
Stosunek momentu bezwładności do masy zależy od kształtu i rozmiarów ciała:
2rM
I
222 MrIrr
Moment bezwładności - przykłady
23.XI.2017 Wykład 8
Obręcz (pusta w środku) obrót wokół średnicy, oś obrotu - oś X, średnica prostopadła do osi obrotu – oś Y:
2
212
2122
22222
MrIryr
yxiryx
Sfera (pusta w środku) obrót wokół osi symetrii:
2
322
32222
2222222
MrIryxr
zyxirzyx
Twierdzenie Steinera – o osiach równoległych
23.XI.2017 Wykład 8
Zazwyczaj liczymy moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek ciężkości S Bryła może jednak wirować wokół dowolnej osi... Moment bezwładności względem osi równoległej 0, odległej o h od osi S: (XY: układ środka masy)
22
222
22222
.0
2
2
MhIISteineraTwIMhI
rmxmhmhrmI
rhxhyhxr
SOSO
iS
i
ii
i
i
i
iiO
i
iO
iSiiiiO
Moment bezwładności - koło
23.XI.2017 Wykład 8
Krążek wokół osi symetrii:
Względem osi równoległej na obwodzie koła z Tw. Steinera:
222
02
3
2MRMR
RMI
2. MhIISteineraTw SO
rdrdmR
M
2
2
2422
2
0
432 R
Mr
drrrdmI
R