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7/29/2019 FIJAS_MAT San Marcos
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1
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -A CONTINUACION PRESENTAMOS LASPREGUNTAS QUE POR SU SIMILITUD SE
REPITEN EN LOS EXAMENES DE ADMISION
A LA UNIVERSIDAD SAN MARCOS. ESTASSON EXTRAIDAS DE LOS MISMOSEXAMENES DE ADMISION.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
ECUACIONES- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1. SAN MARCOS ADMISION 2008 - II
Manuel pag una deuda de S/. 350 con billetes de S/.10, S/. 20 y S/. 50. Cul fue la mnima cantidad debilletes que utiliz en el pago de su deuda?A)9 B) 8 C) 10 D) 11 E) 7- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
10(a) + 20(b) + 50(c) = 350a + 2b + 5c = 35Mnima cantidad de billetes (por induccin) se da para:
a = 1 ; b = 2 ; c = 6 RPTA: A- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2. SAN MARCOS ADMISION 2008 - II
Juan le dice a Pedro: Si me dieras 5 de tus canicas,ambos tendramos la misma cantidad y este lerespondi: Si me dieras 10 de las tuyas, tendra eldoble de lo que te quedara. Cuntas canicas tieneJuan?A) 45 B) 30 C) 50 D) 35 E) 40- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
J + 5 = P 5 ........... (1)P + 10 = 2(J 10) ... (2)Resolviendo (1) y (2): J = 40 ; P = 50 RPTA: E- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -3. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS 2005 - II
Si p q r
0, hallar el valor de x en el siguientesistema.px + qz = rqy + rx = prz + py = q
A)pq
rqp 222 B)
pr2
qpr 222
C)pq2
rqp 222 D)
pr2
prq 222
E)
qr
prq 222
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
p x + q z = r ........... (multiplicando r)
r p x + r q z = r ......(a)r z + p y = q ........... (multiplicando q)q r z + q p y = q2 .....(b)Restando (a)-(b):r p x - p q y = r - q 2...... (1)
Dato: q y + r x = p ......... (multiplicando p)p q y + p r x = p ..... (2)
Sumando (1) y (2): 2 p r x = r - q + p
x = pr2qpr 222
RPTA: B- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -4. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS 2005 - II
Si x > 0, las soluciones de la ecuacin 3 2/1x3x =10 se puede hallar resolviendo la ecuacinA) x2 + x 10 =0 B) 3x2 + 3x 10 = 0
C) 9x2 82x + 9 = 0 D) 9x2 + 3x - 3
10= 0
E) 9x2 8x + 9 = 0- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
Ordenando:10
x
3x3
3x + 3 = 10 x
Elevando al cuadrado ambos lados:(3x + 3) = 100x9x - 82x + 9 = 0
Es decir: 3 10x3x2
1
se puede hallar resolviendo: 9x - 82x + 9 = 0 RPTA: C- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -5. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS
El valor de a para que el sistema:
54ayx3
18y2x
Sea posible e indeterminado es:A) 3/2 B) -6 C) -2 D) 2 E) 6- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:Se debe cumplir que son rectas paralelas:
54
18
a
2
3
1
de donde a = -6 RPTA: B
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -6. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS
Para qu valores a y b el sistemaax + y = 8.......(1)x + by = 9.......(2) tenga infinitas soluciones?
D como respuesta la suma de los valoresencontrados.A) 117 / 54 B) 113 / 56 C) 145 / 72D) 126 / 45 E) 130 / 63- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
Las rectas deben ser paralelas:
8/9a;9
8
b
1
1
a b = 9/8 ;
(Nota: existen mas fracciones equivalentes).
Pero la suma es: a + b =72
145
8
9
9
8 RPTA: C
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -7. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS
Si los enteros x = a e y = b constituyen una solucindel sistema
x
121y
y
12y2
x2
, entonces a + b es igual a
A) 7 B) 8 C) 6 D) 4 E) 5- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
2b
12
b
2a ; ab = 2b + 12 . . . (1)
1a
12b ; ab = 12 - a . . . (2)
b = (12 - a)/a . . . (3) Usando sustitucin:
(3) en (1) :
12a
a122
aa12
a2
a - 34a + 120 = 0a = 30; a = 4 y b = 2 a + b = 6 RPTA: C- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -8. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS 2005 - I
Dado los trminos semejantes:
(3a + 2b)ma+4b n-b-3a y a51b213 nmb
25a
3
5
El valor de: ....b
a
b
a
b
aba
1211
4
4
3
3
2
2 es
A) 8 B) 16 C) 20 D) 7 E) 13- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
Por ser trminos semejantes: a + 4b = 13 + 2b
a + 2b = 13 ......... (1) - b 3a = 1 5a
2a b = 1 ....... (2)Resolviendo (1) y (2): a = 3 ; b = 5
Se pide: ....b
a
b
a
b
a
b
a1
2
114
4
3
3
2
2 =
.....5
3
5
3
5
3
5
31
2
114
4
3
3
2
2
Hay una serie geomtrica de razn 3/5 < 1
Recordamos: S = 1 + q + q2 + q3 +. =q1
1
; (q < 1)
En la serie ser:25
211
1
1211
53
=
2
16= 8
El valor es 8 RPTA: C- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -9. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS 2005 - I
Sean x, y nmeros reales no nulos. Si 1x
y6
y
x el
valor de la expresin x2 - xy - 6y2 esA) 0 B) 2y C) 1 D) 2x E) 2- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
Operando: 1x
y6
y
x x2 - 6y2 = xy
x2 -xy - 6y2 = 0 En la expresin es: 0 RPTA: D- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
POLINOMIOS- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -10. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS 2006 - II
Determine el MCD de los siguientes polinomios:
P(x ; y) = x3 + x2y + xy2 + y3
Q(x ; y) = x3 - xy2 + x2y - y3
R(x ; y) = x4 - 2x2y2 + y4
A)x(x-y) B)(x+y)y C)x+y D)x-y E)(x+y)(x-y)
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:Factorizando cada polinomio:
P(x ; y) = x3 + x2y + xy2 + y3 = x2(x + y) + y2(x + y)P(x ; y) = (x + y)(x2 + y2)
Q(x ; y) = x3 - xy2 + x2y - y3 = x(x2 - y2) + y(x2 - y2)Q(x ; y) = (x2 - y2)(x + y) = (x - y)(x + y)(x + y)Q(x ; y) = (x + y)2(x - y)
R(x ; y) = x4 - 2x2y2 + y4 = (x2 - y2)2 = (x + y)2 (x - y)2
Luego: MCD (P, Q, R) = x+y RPTA: C- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -11. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS 2006 - II
Si (x) =2
ee xx y (x) =
2
ee xx
Calcular: )x2(1 )x2(
A))x(1
)x(
B))x(
)x(1
C))x(
)x(
D) -)x(
)x(
E) -)x(1
)x(
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
Usando la regla de correspondencia:
)x2(1
)x2(
=
2
ee1
2
ee
x2x2
x2x2
Operando tenemos en el numerador binomiosconjugados de la forma: a2 - b2 = (a+b)(a-b); en eldenominador un binomio al cuadrado:
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2/8
2
=2x2
x2x2
x2x4
x4
)1e(
)1e)(1e(
1e2e
1e
Simplificando observamos que si dividimos numeradory denominador por 1/2 obtenemos:
=)x()x(
2
ee2ee
1e
1exx
xx
x2
x2
RPTA: C
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -12. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS 2006 - I
Cual es el nmero que se debe restar al siguiente
polinomio P(x) = 2x5 - x3 - 2x2 + 1 para que seadivisible por (x - 2)? Dar como respuesta la suma decifras de dicho nmero.A) 10 B) 19 C) 13 D) 16 E) 9- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
Al polinomio P(x) = 2x5 - x3 - 2x2 + 1 Se le restar N:
P(x) = 2x5 - x3 - 2x2 + 1 - NEste polinomio debe ser divisible por (x - 2), usando elteorema del resto:(x - 2) = 0 x = 2
P(2) = 2(2)5 - (2)3 - 2(2)2 + 1 - N = 0N = 49
Se pide la suma de ci fras: 4 + 9 = 13 RPTA: C- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -13. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS 2006 - I
Dado: R(x) =1x
1x
Q(x) =1x
1x2
2
Calcular: R( Q( R(x) ) )
A)1x
1x
B) x+1 C)2
1x
1x
D) x - 1 E)1x)1x( 2
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
SOLUCION:Primero calculamos Q( R(x) )
Q(R(x)) =
11x
1x
11x
1x
1)x(R
1)x(R2
2
2
2
=
=22
22
)1x()1x(
)1x()1x(
Usando las identidades de Legendre:
(a + b)2 + (a b)2 = 2(a2 + b2)
(a + b)2 + (a b)2 = 4ab
Q( R(x) ) =
x2
1x
)1)(x(4
)1x(2 22
Calculando R( Q( R(x) ) )
R( Q( R(x) ) ) = R(x2
1x2 ) =
1x2
1x
1x2
1x
2
2
=x21x
x21x2
2
Observamos binomios al cuadrado:
R( Q( R(x) ) ) =2
2
2
1x
1x
)1x(
)1x(
RPTA: C
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
14. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS 2001
Si el cociente notable2n
m30
yx
xx
tiene 10 trminos,
hallar el valor de (m+n)
A) 23 B) 21 C) 25 D) 35 E) 50- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
Por propiedad de Cocientes Notables:
# de trminos: 102
m
n
30
Resolviendo: n = 3 ; m = 20 ; m + n = 23 RPTA: A- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -15. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS
Al efectuar la suma siguiente3a1a
3a1a
se obtiene:
A)2a9
a4
B)
9a
a52
C)3a
a2
D)2a9
a4
E)
9a
1a2
2
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
Dando comn denominador (a+3):
3a
a2
3a
1a1a
3a
1a
3a
1aR
RPTA: C
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
SUCESIONES- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -16. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOSHallar la suma de los 30 primeros nmeros mayoresque 1 de la forma 4n + 1 4n - 1.A) 1 050 B) 960 C) 990 D) 980 E) 900- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
Hay 2 series cada uno de quince trminos:1 : 4 (1) + 1 = 52 : 4 (2) + 1 = 93 : 4 (3) + 1 = 1315 : 4 (15)+1 = 61
5, 9, 13, ... 61 suma: 152
615
La segunda suma es: 1 : 4 (1) - 1 = 32 : 4 (2) - 1 = 73 : 4 (3) - 1 = 1115 : 4 (1)-1 = 59
3,7,11,59
Suma: 152
593
La suma total es: 960 RPTA: B
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -17. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOSLa suma de los 2 nmeros que siguen, en la serie3, 14, 39, 84, 155, . . . . es
A) 258 B) 413 C) 657 D) 399 E) 671- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
SOLUCION:Buscando la relacin por diferencia:3 14 39 84 155 258 339
11 25 45 103 14114 20 26 32 38
6 6 6 6La suma es: 258 + 339 = 657 RPTA: C- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -18. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS
En una sucesin los 6 primeros trminos son:4. -2, 7, -5, 10, -8. La suma de los 5 ltimos trminos a
partir de - 8 esA) -4 B) 4 C) 2 D) 10 E) 62- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
La sucesin se forma sumando en parejas de 2
2
24
2
57
2
810
2
2
A partir del -8 la suma de los 5 ltimos trminos es:-8 + 2 + 2 = -4 RPTA: A- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
19. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS
En una proporcin geomtrica contina la suma de lostrminos medios es igual a los 5/13 de la suma de losextremos. Si la razn de la proporcin es menor queuno, hallar dicha razn.A) 1/7 B9 2/7 C) 2/3 D) 1/3 E) 1/5- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
Usando las propiedades de proporciones:
kcb
ba
11k
c)ca(k
ca 22
(a+c)=(k2+1)c
Por dato: 2b = c)1k(13
5)ck(2)ca(
13
5 2
Resolviendo: 5k - 26k + 5 = 0 Resulta:k = 1/5 ; k = 5 RPTA: E- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -20. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS
Si x es el trmino que sigue a 15 en la sucesin:0 , 1 , 3 , 7 , 15 ,... entonces el valor de x - 30 x + 2 esA) 72 B) 81 C) 63 D) 33 E) 31- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
Tenemos:
De este modo: 312 30(31) +2 = 33 RPTA: D- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -21. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS
Hallar el dcimo trmino del a sucesin:
;.........16
31;
8
17;
4
7;
2
1
A)1024
133B)
1024
147C)
1024
165D)
1024
199E)
1024
101
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
El denominador es una serie de la forma:21, 22, 23, 24, 210
El denominador dcimo es : 210
= 1024el numerador es una serie1 7 17 31 49 71 97 127 161 199
6 10 14 18 22 26 30 34 384 4 4 4 4 4 4 4
El dcimo trmino es: 199/1024 RPTA: D- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -22. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS
Hallar la suma de los 20 primeros trminos de lasucesin: 3 x 4 , 6 x 7 , 9 x 10 , 12 x 13 , A) 26 460 B) 28 520 C) 26 400D) 28 400 E) 26 520- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
Podemos escribir como:3 x (3+1) , 6 x (6+1) , 9 x (9+1) , 12 x (12+1) ,
32
+3 , 62
+6 , 92
+9 , 122
+12 .Al sumar tenemos:S = (32 + 62 + 92 +122 +.) + (3 + 6 + 9 + 12 + .)S = 32(12 + 22 + 32 +42 +.) + 3(1 + 2 + 3 + 4 + )Se trata de dos series conocidas cuya suma de los 20primeros trminos es:S = 32(20x21x41)/6 + 3(20x21)/2 = 26 460 RPTA: A- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -23. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS
N nmeros naturales estn en progresin aritmtica derazn 2 y el promedio aritmtico de los dos ltimosnmero es 8N. Hallar el promedio aritmtico de los Nnmeros dados.A) 6N+2 B) 7N+10 C) 7N+5 D) 6N+1 E) 7N+2- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
Sean los ltimos trminos: m, m-2Dato: (m-2 + m)/2 = 8 N m = 8N+1Por trmino de lugar N (ltimo):TN = a + (n-1)r (el ultimo termino es m = 8N+1)8N+1= a + (N -1)(2)a = 6N +3 (primer termino)
FIJASDEMATEMATICAPARA
SAN
MARCOS
EDITORADELTA-JR
CAMANA1135STAN
D467CERCADODELIMA
http://editoradelta.blogsp
ot.com
7/29/2019 FIJAS_MAT San Marcos
3/8
3
Promedio:
2N7)N(2
)N()3N6()1N8(
RPTA: E
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -24. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS
De cuntas maneras diferentes podemos elegir a 5personas de un grupo de 11 para ir a una fiesta, si sesabe que entre las 11 hay una pareja de esposos queno va el uno sin el otro?A) 3528 B) 210 C) 630 D) 3024 E) 126- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
Al tomar 5 de los 11 hay dos casos:
1) Que estn los esposos que van juntos: 93C
2) Que no estn los esposos que van juntos: 95C
Total de maneras: 93C +95C = 210 RPTA: B
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -25. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS
En la siguiente progresin aritmtica: 10, x, z,.....Se sabe que la suma de los primeros 6 trminos es270. Determine el valor de (x + z)A) 62 B) 60 C) 70 D) 54 E) 65- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
S = (a + u)/2 = [a + (a+(n-1)r)]/2 = [2a1+(n-1)r]n/2270=[2(10)+(6-1r)]6/2 r = 14La serie ser: 10, 24, 38 x + z = 62 RPTA: A- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
PUNTOS Y RECTAS- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -26. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS 2006 - II
Si AP es una bisectriz del ngulo A; adems AB //QP,calcular el valor de: x
A. 34 B. 30 C. 45 D. 60 E. 15- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
De los datos: + 28 = 2 = 28
Pero: 2 + x = 90 x = 34 RPTA: A- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -27. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS
En la figura, AB = 20 km, AP = 3
km, y BQ = 12 km. Una personaubicada en el punto P debe
llegar a un punto de AB y luegodirigirse al punto Q. Cul es lalongitud del mnimo recorrido?A) 21 km B) 24 kmC) 25 km D) 28 km E) 26 km- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
Para hallar el camino mas corto de P a Q pasando porun punto de AB, se traza simtricamente AP y BQ,respecto a la vertical AB, se cumple:a + b = 20...... (1)
Por semejanza:12
b
3
a .. (2)
Resolviendo: b = 16, a = 4Por Pitgoras: 22 12b = 20
22 3a = 5
La distancia es 20 + 5 = 25. RPTA: C- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -28. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS
Dados los tringulosPQR y PSR, segn lafigura adjunta, si =/5 y el ngulo PSR =50, Entonces el ngulo es igual a:A) 20 B) 18C) 22 D) 24E) 26- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
De la figura:
13565
5
En el triangulo PQR
18022
13026
= 24RPTA: D
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -29. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS 2006 - II
Hay dos postes de altura a y b separados por k metros.Si se traza una lnea de la cima de un poste a la basedel otro y viceversa cortndose en un punto P. Hallar laaltura del punto P al piso.
A)
ba
a
B)
ba
ab
C)
b
ba D)
b
aE)
ba
ba
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
Se observa que:b
x
nm
m;
a
x
mn
n
Sumando miembro a miembro
baabxbxax1 RPTA: B
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -30. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS 2006 - II
Halle el valor de x en la ecuacin
)60(tan2
x)30csc()4x()45(cos)1x(6 22
A) 10 B) 21/5 C) 15 D) 21/4 E) 14- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
6(x-1)cos2(45) - (x-4)csc30=2
xtan2(60)
cos45=2
2
2
1 ; csc30= 2; 360tan
Reemplazando:
22
)3.(2
x2).4x(
2
2)1x(6
x2
38x23x3 x = 10 RPTA: A
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
TRIANGULOS
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -31. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS 2006 - II
Los lados de un tringulo son nmeros naturalesconsecutivos y el ngulo mayor es el doble del menor.Hallar la suma de los lados.A. 10 B. 12 C. 13 D. 15 E. 17- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
Sea el triangulo ABC de lados consecutivos:p, p+1, p+2, prolongando CB hasta P, de manera que: APC =
Por semejanzaentre PAC y PBA:
2p
p
1p2
2p
p = 4Suma de lados:4 + 5+ 6 = 15
RPTA: D- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -32. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS 2006 - II
Si AP es una bisectriz del ngulo A; adems AB //QP ,calcular el valor de: x
A. 34B. 30C. 45D. 60E. 15
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
De los datos: + 28 = 2
= 28Pero:2 + x = 90 x = 34RPTA: A- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -33. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS 2006 - II
Halle el permetro del tringuloequiltero ABC, sabiendo que labase media del trapecio BCMN
mide 3 3 . M y N son puntos
medios de los lados AB y AC
respectivamente.A. 4 3 B. 8 3 C. 12 3 D. 24 3 E. 8 3
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
Si el lado del trianguloequiltero mide: 2a, labase media mide:
MN = a
Por dato: PQ = 3 3
332
a2a
a = 2 3
Permetro = 3(2a) = 12 3 RPTA: C
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -34. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS
En la figura AB BC, hallar el valor de x + y
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4/8
4
A) 70B) 47C) 63D) 49E) 51
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
De la figura, en ABC: 64 + 57 + x + 26 = 180x = 33
ADE, nguloexterior:y + 41 = x + 26y + 41 = 59y = 18x + y = 51
RPTA: E
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -35. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS
Calcular la medida de una de las diagonales de unpentgono regular cuyo lado mide 2 cm.
A) (1 + 5 ) cm B) (2 - 2 ) cm C. (2 - 5 ) cm
D) (2 + 2 ) cm E) (1 - 5 ) cm- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
Como el triangulosombreado pertenece aun decgono regular:
L10 = )15(2
R
2 = )15(2
x
x = 1 + 5
Otro mtodo, es usando la formula: L52 = L102 + L62
RPTA: A- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
36. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOSUn tringulo issceles tiene un rea de 12 cm y sualtura es menor en 2 cm que el tercer lado. Hallar elpermetro del tringulo.A) 16cm B) 22cm C) 29cm D) 18cm E) 14cm- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
En la figura tenemos:
122
H2H
(H - 2) (H) = 24H = 6
Permetro:10 + 6 = 16 RPTA: A
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -37. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS
En un triangulo AOB tal BO = 4m y AB = 8m. Cul essu rea total?
A) 32 B) 16 C) 8 D) 8 3 E) Ninguna anterior
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
Por Pitgoras:
34x
2
344S = 8 3
RPTA: D- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
CIRCUNFERENCIA- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -38. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS
En la figura, la recta t es tangente a la circunferencia yparalela al segmento DE.Si AD = 6, AE = 5 y CE = 7, hallar BD.
A) 2.5B) 4C) 3D) 4.5E) 3.5
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
De la semejanzade tringulosentre: ADE y ABC(por el ngulo yel ngulo A), setiene que:
2
B
A
C
x 7
ED
6
5
AD
AC
AE
AB
6
75
5
6x
x = 4 RPTA: B
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -39. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS
En la figura, A, B y C son centros de lascircunferencias; T y P son puntos de tangencia.Si AC = 7 cm, calcular el
permetro del tringuloABC.A) 14 cm B) 35 cmC) 22 cm D) 21 cmE) 28 cm
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
En la figura se tiene:TA = r + n = 7(TA radio de lacircunferencia)Permetro:n + r + 7 + 7 = 21RPTA: D- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -40. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS
En la figura, P, Q, y T son puntos de tangencia, a y bson los radios de las semicircunferencias.
Determinar la distancia del punto T a la recta PQA) ab2 B)
baab2
C)ba
ab
D) ba E) ab
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
Sea OM OP,TR = x distancia
Se tiene:x = m + b ...... (1)
Por proporciones: m / (a-b) = b / (a+b) ..... (2)(2) en (1) x = (2ab)/(a+b)- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -41. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS
Si la circunferencia rueda a la derecha, desde laposicin indicada en la figura, qu longitud recorrerhasta que el punto B toque la superficie por terceravez?A) 10/3B) 40C) 100/3D) 20E) 80/3
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
La longitud del recorrido del ngulo en radianes es:I = R
Primero recorre 2 -3
2=
34
3
20)5)(
3
4(l1
Una vuelta entera es: 2(5)
El punto B toque la superficie por tercera vez:l1 + l2 + l3 = 20/3 + 2[(2)(5)] = 80/3 RPTA: E- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -42. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS
Un crculo y un cuadrado tienen la misma rea cul esla relacin del permetro del crculo al permetro delcuadrado?
A)2 B)
2 C)
4 D)
1 E)
4
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
Por dato tenemos:A(circulo) = A(cuadrado)
22 ar
1
ar
Formando la relacin:2
1
a4
2
a4
r2
RPTA: A
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -43. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS
En la figura, se tiene un cuadradode lado 8 cm y tres semicrculos
con radios iguales. Hallar el reasombreadaA) 8(8 - ) B) 8(4 - )C) 16(4 - ) D) 16 E) 8- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
Haciendo traslacin de reas hacemos posible unasolucin rpida del problema pues:A(x) = Area del cuadrado - Area de medio circulo
2)4(
8)x(A2
2
A = 64 - 8A = 8( )8
RPTA: A- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
44. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOSEn la figura se muestra un trapecio issceles cuyasbases miden a cm y b cm. Hallar el radio de lacircunferencia inscrita.
A) ab cm B)21 ab cm
C) 2 ab cm C)41 ab cm
E) a b cm
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
Trazando la altura delrapecio, este adems
es el dimetro de lacircunferencia.
Si las bases son a y b, por los puntos de tangencia y lasimetra tenemos que se forma un triangulo rectngulode hipotenusa: (a+b)/2 y catetos (a-b)/2 ; hUsando Pitgoras y la Identidad algebraica dediferencia de cuadrados en el triangulo:
222
h2
ba2
ba
abh Pero h = 2R
Entonces:2ab
RabR2 RPTA: B
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
CUADRILATEROS- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -45. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS 2005 - I
Dos lados consecutivos de un paralelogramo miden 8m y 12 m, respectivamente, y forman un ngulo de 60.Hallar el producto de las longitudes de sus diagonales.
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5/8
5
A) 16 133 m2 B) 18 133 m2 C) 16 19 m2
D) 12 19 m2 E) 16 7 m2
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
En la figura:
Por Pitgoras en ACE:AC2 = AE2 + CE2
AC2 = 162 + (4 3 )2
AC2 = 304En BDF: BD2 = DF2 + BF2
BD2 = (4 3 )2 + 82
BD2 = 112
Se pide el producto: (AC)(BD) = 16 133 RPTA: A
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -46. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS 2005 - I
En la figura, se tiene doscircunferencias de centros O1 yO2 y del mismo radio, lascuales se intersectan en lospuntos P y Q. Si 21OO es el
dimetro de la circunferenciainterior y PQ = 6m, hallar elrea de la regin sombreada.
A)2
5m2 B) 5 m2 C)
2
365m2
D) (5 - 6 3 )m2 E)3
5m2
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
Se forma un tringulo equiltero O1PO2O1P = PO2 = O1O2 = R MO2P = 60Por simetra tenemos: PM = MQ = 3
En el triangulo obtenemos:
R = 2 3 , r = MO2 = 3
El rea sombreada es:2 [A. sector (120) - A. (PQO2) A. semicrculo]
3652
)3(
2
36)32(
360
1202
2
RPTA: D
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -47. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS 2005 - I
Un rombo de lado 8 cm es tal que uno de sus ngulosinternos mide 45. Hallar el rea del rombo.
A) 28 2 cm2 B) 36 2 cm2 C) 30 2 cm2
D) 32 2 cm2 E) 26 2 cm2
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
Debemos tener en cuenta lapropiedad del rea del triangulo:
A = sen2
ab
En el problema:
Area del rombo = 2(Area ABC)
Por la propiedad
Area ABC =2
)8)(8(sen 45
= 16 2Entonces:
Area del rombo = 2(16 2 )
= 32 2 RPTA: D- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -48. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS 2005 - I
Se tiene un cuadrado inscrito en unasemicircunferencia de dimetro 2R. Hallar el rea delcrculo inscrito en dicho cuadrado.
A) 2R5 B) 2R5 C)5
R2D)
5R2
E) 2R
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
= lado del cuadradoPor Pitgoras:
5
R2R
22
22
r = radio inscrito en el cuadrado.
r =5
R
2
; Area =
5R
r2
2 RPTA: E
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -49. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS 2005 - I
Hallar el rea de la zona sombreadaen el cuadrado ABCD, donde M y Nson puntos medios de los lados, yMN = 1,5 m.A) 2.65 m2 B) 2.25 m2C) 2.50 m2 D)2.16 m2
E) 2.56 m2- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
= lado del cuadrado
MN =2
2
2
AC
= 1.5 2
A = (1.5 2 )2 = 4.5
A AMB = A BNC =4
1A
A sombreada =2
1A = 2.25 RPTA: E
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
RELACIONES METRICAS- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -50. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS 2006 - II
Los lados de un tringulo son nmeros naturalesconsecutivos y el ngulo mayor es el doble del menor.Hallar la suma de los lados.A. 10 B. 12 C. 13 D. 15 E. 17- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
Sea el triangulo ABC de lados consecutivos: p, p+1,p+2, prolongando CB hasta P, de manera que APC =
Por semejanza entrePAC y PBA:
2p
p
1p2
2p
p = 4
Suma de lados: 4 + 5+ 6 = 15 RPTA: D- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -51. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS 2006 - II
Consideremos un tringulo rectngulo cuyos catetosmiden a y b (a < b), en l se traza la alturacorrespondiente al ngulo recto determinndose dos
regiones triangulares cuyas reas son A y B que tienencomo uno de sus lados a dichos catetos de longitudesa y b respectivamentea. Calcule A / B en trminos de a y bb. Demuestre que A < B- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
Condiciones1. Tringulo rectngulo
2. Longitud de los catetos es a y b, tal que a < b3. altura correspondiente al ngulo recto4. A: rea de la regin triangular determinada por la
altura y el cateto de longitud a.B: rea de la regin triangular determinada por laaltura y el cateto de longitud b.
Piden:a. Calcular A/B en trminos de a y b.b. Demostrar que A < B
a. Las condiciones
En el ABC notemos que al haber tarazado la alturaBH..m Ang. BAC = m Ang. HBC = m ang. ACB = m Ang. ABH = EntoncesTriang. AHB = Triang. BHCPor relacin de reas de regiones semejantes
2
2
b
a
B
A
Debido a que AB y BC son elementos homlogos dedichos tringulos semejantes (sus hipotenusas)b. De lo anteriorA / B = a2 / b2 ..(1)De la condicin a < b como b 0, entonces
(por ser la longitud de un cateto) a/b < 1Elevando al cuadrado a2 / b2 < 1 (2)De (1) y (2) A / B < 1 luego: A < B- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -52. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS 2005 - II
En el tringulo ABC, calcular ladistancia del baricentro alvrtice C, siendo CD dimetrode la circunferencia.
BC = 12 m5 y OD = 30 m
A) 4 m B) 10 m C) 6 mD) 8 m E) 2 m- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
Por relaciones
mtricas en elCBD:
CB2 = MCxCD
(12 5 )2 = (CM)(60) CM = 12Por teora del baricentro, la distancia delvrtice C al baricentro en el punto G es: CG
=3
2CM CG =
3
2(12) = 8 RPTA: D
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -53. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS 2005 - II
Se tiene un tringulo issceles PQR cuya rea es 144m2, los ngulos en P y en R miden 15 cada uno.Calcular la altura relativa al lado QR .
A) 12 m3 B) 12 m C) 12 m2
D) 12 m56
E) m2
12
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
FIJASDEMATEMATICA
PARASANMARCOS
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6/8
6
SOLUCION:
Se busca: PH = xDe la figura: PQ = QR = 2xrea:
1442
x2x2QRPH
x = 12 RPTA: B- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -54. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS
En la figura, PQRS son lospuntos medios del cuadrilteroABCD y SP = 2CQ. La medidadel ngulo x es:A) 150 B) 30 C) 120D) 60 E) 90- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
En el triangulo cuyahipotenusa es 2x y uncateto es x se cumpleque el Angulo es 30El ngulo x = 60RPTA: D
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -55. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS
Los ngulos de un tringulo rectngulo estn enprogresin aritmtica. Hallar su permetro en funcin dela altura H, relativa a la hipotenusa.A) 3H(3 + 2) B) 2H(3 + 1) C) 4H (3 - 1)D) 3H (3 + 1) E) 2H(3 + 2)- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
Usando los tringulos notablesde 30 y 60 obtenemos elpermetro 2H (3 + 1)RPTA: B
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
AREAS- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
56. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOSSi ABCD es un cuadrado y el rea de cada tringulo es125 m Cul ser el rea del cuadrado sombreado,
si ?2
MBAM
A) 120 mB) 100 mC) 125 mD) 75 mE) 130 m- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
El rea sombreada es:A = Area(ABCD) - 4(Area de cada triangulo) .(1)Area(ABCD) = (a5)2 =5a2
Area de un triangulo:
1252
)a2)(a(
a2 = 125En (1):A = 5a2 - 4(a2) = a2 = 125RPTA: C- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -57. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS
El permetro de un cuadrado es igual al permetro deun tringulo equiltero. Cul es el valor del rea deltringulo equiltero, si el rea del cuadrado es
m3481
?
A) 31m B) 29m C) 28m D) 30m E) 27m- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
Sea a: lado del cuadrado ; b: lado del triangulo
Por dato: 4a = 3b; b2 =9a16 2
3481
a2
Nos piden: A = 3481
43
916
a43
916
43b 2
2
A = 27 RPTA: E- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -58. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS
En la figura, se tiene una sucesin de tringuloscongruentes, m y n son puntos enteros positivos.Cul es la cuarta partedel rea sombreada?
A)16
mnabB)
8
abnm
C)8
mnabD)
4
mnab
E)2
mnab
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
El rea de un tringulo esta dado por:
2
abEn total hay mn tringulos.
Se pide:8
mnab
2
abmn
4
1
RPTA: C
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -59. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOSEn la figura se tiene el rectngulo ABCD, O es el punto
medio de AC ; AD//RS ; m32AC ; CD = 2 2 mEl rea de la reginsombreada es:A) 22 m B) 32 m
C) 2m23
4D) 2m2
3
5
E) 2m22
3
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
El rea A(x) buscada es la resta de:
A(x) = A(ABCD) - A(tringulos)Las reas de los tringulosestn dados por la formula:(base x altura)/2La del rectngulo esta dado por:lado x lado; as tenemos:
A(x) = 2(22) - 2(2
)2(2= 22
RPTA: A- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -60. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS
Sean cuatro crculos todosde radio igual a 1.5u,uniendo los centros seobtiene un cuadrilteroirregular convexo. El rea de
la regin sombreada mide:A) 2,25 u B) 2,75 uC) 4,30 u D) 3 uE) 3,25 u- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
Sumando las reas de cada sector circular:
A = )360b(R)
360a(R 22 )
360d(R)
360c(R 22
360
dcbaR2
360
3605.1 2 = 2.25 R.A
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -61. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS
En la figura se tieneun rectngulo inscritoen un tringulo. Si elrea del rectngulo.Si el rea delrectngulo es 32m,entonces el valor de k
es.A) 5 m B) 9 m C) 6 m D) 8 m E) 7 m- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
Aplicando semejanza
32ak;16
k
8
a8
16 - 2a = k
kk
32216
K2 - 16k + 64 = 0K = 80 RPTA: D
8-a
k
16
a
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -62. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS
En la figura O es el centro del
crculo. Calcular el reasombreada.
A)
4
14
t2
B)4
t2C)
4
t2D)
42
4t2
E)
41
t
42
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
A(x) = 2A +B
2
4
)2/t(t2A
22;
4
)2/t(B
2
A
B
A
A(x)=216
t
8
tt4BA
222
A(x)
42
4
t2RPTA: D
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -63. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS 2009 - I
En la figura, BM = MC y AO = OM.
Qu parte delrea del tringuloABC es el reade la reginsombreada?
A) 21 B) 53 C) 43 D) 52 E) 32
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
A AOP = A OPM = A ABO = A OBM = SA ABC = 3 + 3SA sombreada = 2S + 2
3
2
)S(3
)S(2
ABCA
Asombreada
RPTA: E
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -64. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS 2009 - I
En la figura, AB es dimetro del semicrculo y
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7
AO = OB = 2m. Haciendo centro en A y B se hatrazado los arcos DO y CO, respectivamente. Halle elrea de la regin sombreada.
A) ( 3 ) m2
B) 23 m2C) ( 32 ) m2
D) ( 233 ) m2 E) 232 m2- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
A ABC A APO A OCB = A sombreadaAC = 23
A ABC =
322
322
A APO = 3360)30)(2(
A OCB = 32
360
)60)(2(
A sombreada = 23 - RPTA: C- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
TRIGONOMETRIA- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -63. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS
Los valores de los ngulos comprendidos entre O y180, que satisfacen la ecuacin
2/1
28
x2cos
2 son:
A) /6 y 5/6 B) /3 y 5/6 C) /3 y 5/3
D) /6 y 5/3 E) 2/3 y 5/6- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
Tenemos
2
1cos2x;416
x2cos
2
2x = /3 2x = 5/3 x = /6 x = 5/6 RPTA: A- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -64. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS
La expresin
sen1
coses equivalente a
A)
4tg
B)
4tg
C)
4tg2
D)
42tg E)
42tg
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
Multiplicando por (1+sen) al numerador ydenominador para buscar una IdentidadTrigonometrica.
Sen1
CosSen1
Sen1
Sen1
Sen1
Cos
=
Cos
Sen1
Cos
CosSen1
= Sec + Tg = Csc
2
Ctg2
= Ctg
24 = Tg
24 RPTA: D
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -65. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS
Sabiendo que:
3xcossenx , determine: tgx + ctg x
A) 23 B) 2 C) 4 D) 3 E) 4+23- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
Por funciones complementarias: x+x+/3 = /2
12x;
6x2
tg x+ ctgx = csc 2x
Luego: 2csc(/6) = 4 RPTA: C- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -66. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS
La ecuacin Trigonomtrica:
xsecxtanx2cosx2sen1 2222 ;es equivalente a:A) cos2x = -1/4 B) tanx = secxC) 1 + sen2x = D) cos2x = 1E) sen2x = -1/2- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
Por propiedades:
xsecxtanx2cosx2sen1R 2222 Desarrollando el binomio al cuadrado y llevando tan2xal segundo miembro, formamos las identidades
trigonometricas siguientes:sen2x + cos2x = 1 tan2x + sec2x =1Tenemos lo siguiente:
1
22 x2cosx2senx2sen21R
1
22 xtgxsec
Resulta que podemos obtener el valor de sen 2x
R = 1 + 2sen2x = 0 212 /xsen RPTA: E- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -67. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS
Sabiendo que es un ngulo agudo, el cual satisfacela ecuacin ctg + cosec = 5determine el valor de la expresin 24 tg + 25 senA) 10 B) 20 C) 15 D) 5/12 E) 5/13- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
A seno y coseno resulta: 1+cos = 5sen ...... (1)Por arco mitad tenemos: 1+cos = 2cos2(/2)
sen = 2sen /2 cos /2Reemplazando en (1) obtenemos:
(Sen /2) / (cos /2) = 1/5es decir: Tag /2 = 1/5
Formando su triangulo rectngulo tenemos:Sen /2 = 1/ 26 ; Cos /2 = 5/ 26
Ahora con : Sen = 2sen /2 cos /2Obtenemos Sen = 5/13Su triangulo rectngulo es de lados 5,12,13Se pide: 24 (5/12) + 26(5/13) = 20 RPTA. B- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -68. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS
Los tres lados de un triangulo miden 9,16 y 18mts,respectivamente. Disminuidos en x el triangulo seria
rectngulo, en consecuencia:A) x= 4m B) x = 7m C) x = 2mD) x = 1.5m E) x = 1m- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
Se cumple: 222 x9x16x18 Resolviendo:
013x14x2 01x13x
13x1 ; 1x2 En las alternativas: x = 1 RPTA: E- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -69. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS
En la siguiente figura se tiene: 30 ,
60 , DC = 5mts. Hallar la longitud de AB.
A
D
CB
A) 53 B) 3/2 C) 3/5
D) 3/10 E) 2/3
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
En el triangulo BCD: 32
L5 ;
3
10L
ABD: isosceles AB = BD = I3
10AB Rpta: D
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -70. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS
Simplificando la expresin: x2senx2cos1
resulta:
A) tanx B) 2tanx C) 3tanx D) ctgx E) 2ctgx- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
Por ngulo mitad:
xcossenx2
1xcos21x2sen
x2cos1R
2
ctgxsenxxcosxcos.senx2 xcos2R
2
RPTA: D
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -71. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS
En la figura, hallar sen + cos D
3
A
1
45
B C
A) 252 B) 2
53 C) 3
54 D) 2
54 E) 3
52
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
Se tiene un triangulo rectngulo de 45, donde:
AB C
D
3
3
45
1
+ = 45 , tg 45=1
tgtg1tgtg
)(tg ; tg=3/4
71tg;
)4
3(tg1
4
3
tg1 ;
25
7cos;
25
1sen
luego5
24cossen ; RPTA D
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
ECUACION LINEAL- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -72. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS
Cules son las coordenadas del punto medio delsegmento de la lnea OP que se ha dibujado entre elpunto: (0,0) y el punto P(6,4)?A) (2,3) B) (12,8) C) (6,2) D) (3,2) E) (1,4)- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
De la teora de Punto medio:
2
OP
2
OPx
;
2,32
0,04,6x
RPTA: D
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -73. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS
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ABCD es un trapecio de rea igual a: (3(7+ 3)/2 m2 .Halle la abscisa del vrtice C
A) 5,2 m B)4,8 m C)5 m D)6 m E)4,5 m- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
De la figura observamos que:
Area =21
(BC+AD)h =2
1( { x - 2 }+{ x -1+3ctg60 } )(3)
Reemplazando el dato rea: x = 5 RPTA: C- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -74. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS
Una parbola tiene su foco en el punto F(-1,2) y sudirectriz es la recta L : y 6 = 0Determinar su ecuacin.
A) x2 + 2x 8y + 32 = 0 B)x2 + 2x + 8y - 32 = 0C) x2 + 2x 8y + 31 = 0 D) x2 - 2x + 8y - 31 = 0E) x2 + 2x + 8y - 31 = 0- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
Graficando tenemos:
El vrtice ser V(-1,4) ; c = 2Un punto de paso es el vrtice V (p , q)En la formula: (x p ) 2 = - 4c ( y q )
( x (-1) ) 2 = - 4(2) (y 4)operando resulta: x2 + 2x + 8y - 31 = 0 RPTA: E- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -75. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS
El rea del circulo determinada por la ecuacin:x2 + y2 = x es:
A) 2 B) /2 C) D) /4 E) /3- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
Debemos formar la ecuacin de la circunferencia, parareconocer el radio:
x2 x +y2= 0 (Completando cuadrados)x2 x +(1/2)2 (1/2)2 + y2= 0(x 1/2)2 + y2 = (1/2)2
Se trata de la ecuacin de la circunferencia:(x - a)2 + (y - b)2 = R2
Entonces R = ; el rea ser: A = R2 = /4 RPTA: D- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
LOGARITMOS Y FUNCIONES- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -76. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS
El logaritmo de N en base 5 es igual al logaritmo de Men base 5 Si M+N=7/4; hallar el valor de M-N.
A) 212
B) 21122
C) 41122
D) 2
122
E) 2
112
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
Log5N = Log5M N = M ; M + N = 7/4M + M = 7/4 ; 4M + 4M - 7 = 0M = 2 - ; N = 9/4 - 2
M - N = 22 -4
11RPTA: C
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -77. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS
Los logaritmos decimales de 2 y 3 son: log 2=0,3010 ;log 3=0,4711 calcular log2880 con cuatro cifrasdecimales.A) 1,4116 B) 1,7236 C) 2,2236D) 1,7060 E) 2,0103- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
Tenemos:
723,112log3log22log42
1
12Log3log24Log221
10log2log12Log22
1
10.2.)12(Log2
1
2880Log2
12880log
2
RPTA: B- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -78. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS
Hallar el valor de x en la ecuacin siguiente:
2x2x2
x xlogx
1log1xlog2
A) 2 B) 1 C) D) 4 E) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
Como Log x x2 = 2 ; tenemos:2 + Logx (x-1)2 + Logx (1/x2) = 2
0x )1x(Log 2
2
x
1x )1x( 2
2
De donde x = RPTA: E- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -79. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS
Cul es el valor positivo de para que el polinomiox + ( + - 1) x + ( - 1) x +
sea divisible por ( x + 2)?A) 2 B) 3/2 C) 5/4 D) E) 5/2- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
Por teorema del resto para x+2 = 0x = -2 reemplazando en:x3 + (2+-1)x2+(-1)x + Tenemos = 5/4 RPTA: C- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -80. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS
Si F(x) es una fraccin que cumpleF(x-1)=x-x+1 entonces, el valor de F(x + 1) - F(x - 1)esA) 2x + 4 B) 4x + 2 C) 2x - 4D) 2x - 2 E) 2x + 2x + 4- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
F(x-1) = x2 x + 1 x 1 = a; x = a + 1F(a) = (a + 1)2 (a + 1) + 1 F(a) = a2 + a + 1F(x+1) F(x-1) = (x+1)2 +(x+1) +1 - [(x-1)2 + (x-1) +1]= 4x + 2 RPTA: B- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -81. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS
Si x > -4, hallar el valor de x que resuelve la ecuacin:log(x+5) + log(x2+8x+16) = 1 + log(x2+9x+20)
A) 1 B) 10 C) 4 D) 2 E) 6- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
(x+5) (x2+8x+16) =10(x2+9x+20)(x-5) (x+4) (x+4) = 10 (x+5) (x+4)
x+4= 10; x= 6 RPTA: E- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -82. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS
En el conjunto de los nmeros reales, definimos:
2xsi1-x
2xsi1-x)x(f 2
Si a < 0, calcular: af(3 - a) + f(2a)A) 3a + 2a - 1 B) 3a - a - 2 C) 2a + a - 1
D) 2a + a + 1 E) a + 3a + 1- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
De a < 0 ; 3 - a > 3 y 2 a < 0 Se buscaa(3-a-1) + (2a)2 - 1 = 3a2 + 2a - 1 RPTA: A- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -83. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS
Hallar el producto de las soluciones de:
12logxxlog 7
A) 109 B) 106 C) 107 D) 103 E) 105- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
Log x = m ; 12m7m m = 7m - 12 ; m - 7m + 12 = 0 m = 4 ; m = 3Log x = 4 ; x = 104
Log x = 3 ; x = 103104 . 103 = 107 RPTA: C- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -84. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS
Determinar el mximo valor que alcanza la expresin:
13x6x
322
A) 8 B) 16 C) 4 D) 3 E) 6- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:
Para ser mximo el denominador es mnimoPrimer Mtodo: Completando cuadrados:
32___(x-3)2 +4 El mnimo es cuando x = 3
El valor ser 32/4 = 8Segundo Mtodo: Derivando el denominador
2x-6 = 0 ........ x = 3 es un mnimoReemplazando el valor x = 3 en el denominadorResulta: 32/(9-18+13) = 8 RPTA: A- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -TODAS LAS PREGUNTAS FUERON EXTRAIDAS DELOS EXAMENES DE ADMISION A SAN MARCOS.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -LA TEORIA Y LOS PROBLEMAS DE LOS EXAMENES
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