Post on 31-Dec-2015
description
Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3 1
Dwie sprawy wymagające wyjaśnienia:
• Czy obliczenie musi koniecznie przebiegać w jakichś krokach ?
Model obliczeń sekwencyjnych,
Maszyna Turinga, Hipoteza Churcha-Turinga,
Analogowa i cyfrowa reprezentacja informacji,
Obliczenia analogowe i cyfrowe.
• Jeżeli już istotnie przebiega ‘krokowo’, to jakie elementarne kroki są dopuszczalne?
Wstęp do Informatyki, część 3
Dr inż. Jerzy MieścickiInstytut Informatyki PW
Analogowa i cyfrowa reprezentacja informacji
Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3 3
Informatyka
Reprezentowanie informacji
Potrzeby:
• Zapisywanie, przechowywanie, wyszukiwanie, odtwarzanie,
• Przesyłanie, rozpowszechnianie,
• Przetwarzanie.
Stąd:
• Metody,
• Nośniki, kanały,
• Urządzenia.
Analogowe (ciągłe, proporcjonalne)
Cyfrowe(nieciągłe, dyskretne)
Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3 4
Reprezentacja analogowa (ciągła, proporcjonalna)
Mierzalna wielkość fizyczna
Inna wielkość fizyczna
Inna wielkość fizyczna
Oryginał Analog Liniowe
odwzorowanie
Przechowywanie,przetwarzanie,przesyłanie itd.
Przechowywanie,przetwarzanie,przesyłanie itd.
Wynikowawielkośćfizyczna
Wynik (analogowy
Wynik (analogowy
proporcjonalność
Odwzorowanieodwrotne
odtwarzanie
Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3 5
‘Nie-elektroniczne’ obliczenia analogowe w życiu codziennym
• Domowe pomiary i obliczenia przy użyciu sznurka,
• Szkolne techniki typu ‘cyrkiel + linijka’,
• Mapa, globus,
• Waga uchylna (lub szalkowa bez odważników),
• Różne wykresy i nomogramy,
• Pantograf (powiększanie rysunków),
• Suwak logarytmiczny,
• ....
Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3 6
Wynalazek Edisona jako reprezentacja analogowa
Zmienne w czasie ciśnienie akustyczne
Głębokość rowka
Postulowana proporcjonalnoś
ć (liniowość)
...ideał osiągalny w praktyce jedynie w przybliżeniu
Oryginał
Analog
Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3 7
Analogowe przesyłanie dźwięku (Alexander G. Bell)
Sygnał akustyczn
y
Sygnał elektryczny
Sygnał akustyczn
y
Wzmacniacz Wzmacniacz
• Te same typowe problemy Jakie fizyczne zasady przekształcania ? Jak zapewnić dokładność przekształcania (czułość, szum) ? Jak zapewnić liniowość odwzorowania ?
Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3 8
Analogowy pomiar prędkości obrotowej
min
maxWał obrotowy
maszyny parowej
Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3 9
Analogowa regulacja prędkości obrotowej (James Watt)
min
max
Dopływ pary
Silnik parowySilnik
parowy
Sprzężenie zwrotne, zagadnienie stabilności
Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3 10
Sygnały i analogowa elektronika
Nieelektryczne: Prędkość, Masa, Temperatura, Wilgotność, Ciśnienie, Stężenie (pewnej
substancji) Itd.
Sygnały: zmienne w czasie wielkości fizyczne:
• Elektryczne: Napięcie, natężenie
prądu, Oporność,
pojemność, ... Natężenie pola
elektromagn. itd. Sygnały biomedyczne, radarowe,
geo- i astrofizyczne, itd.
Czujniki(sensory)
Napięcie,Natężenie prądu,Natężenie polaIndukcja magn. Itd.
Analogowe wielkości elektryczne:
Elementy wykonawcze
Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3 11
Sygnały i analogowa elektronika
Nieelektryczne: Prędkość, Masa, Temperatura, Wilgotność, Ciśnienie, Stężenie (pewnej
substancji) Itd.
Sygnały: zmienne w czasie wielkości fizyczne:
• Elektryczne: Napięcie, natężenie
prądu, Oporność,
pojemność, ... Natężenie pola
elektromagn. itd.
Czujniki(sensory)
Napięcie,Natężenie prądu,Natężenie polaIndukcja magn. Itd.
Analogowe wielkości elektryczne:
Elementy wykonawcze
Wspólna baza koncepcyjna i
technologiczna
Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3 12
Analogowa elektronika
Uniwersalne metody i układy do celów:
• Rejestracji (zapamiętywanie i odtwarzanie),
• Przesyłania,
• Wizualizacji,
• Przetwarzania: Wzmacnianie Sumowanie Całkowanie Różniczkowanie Modulacja i demodulacja Automatyczna regulacja ....
Typowe, wspólne problemy:
•dokładność,•szum,•liniowość,•stabilność, a także: •szybkość, •niezawodność, •pobór mocy
Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3 13
Reprezentacja cyfrowa (nieciągła, dyskretna)
• Określony jest alfabet danego sposobu reprezentacji, Alfabet ::= co najmniej dwuelementowy, skończony zbiór
symboli, Symbole – atomowe (elementarne, niepodzielne),
• Wszelkie informacje (dane, wyrażenia, instrukcje, ...) są ciągami (sekwencjami) złożonymi z symboli tego alfabetu,
• Przetwarzanie ::= przekształcanie sekwencji symboli w nowe sekwencje symboli. Ponieważ dane są ciągami – przetwarzanie również ma
postać ciągu kroków.
Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3 14
Przykłady alfabetów
• {0, 1, 2, ...., 9, + -, .} – trzynastoelementowy alfabet do reprezentowania liczb arabskich,
• {I, V, X, L, C, D, M} – do liczb rzymskich,
• 26 – literowy alfabet łaciński (antiqua, duże litery),
• (2 x 35) – literowe ‘abecadło’ polskie (litery duże i małe),
• 123 – znakowy (wliczając spację, ale nie znaki sterujące) alfabet polskiej klawiatury PC,
• Alfabet pisma klinowego, hieroglificznego egipskiego, cyrylica, alfabet hebrajski, gruziński, tajski ... i zapewne parę tysięcy innych,
Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3 15
Przykłady alfabetów
• Ale także pełnoprawnymi alfabetami są:
{ |, >, * } – alfabet do przedstawiania stopni podoficerskich i oficerskich w polskim wojskach lądowych, np.
| | - kapral, > - sierżant, * * * | | - pułkownik, itd.
{czerwone, żółte, zielone} – do sygnalizacji ulicznej, np.
‘wyrazy’ poprawne ‘wyrazy’ niepoprawne
Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3 16
.... I oczywiście reprezentacja dwójkowa (binarna)
• Najprostszy alfabet np. {0, 1}, {L, H}, {tak, nie}, {+, -},
• Najmniejsza niepewność przy zapamiętywaniu i odtwarzaniu informacji,
• Najprostsza realizacja techniczna (elementarne układy dwustanowe, a nie wielo-stanowe),
• Gotowe i czekające od stuleci koncepcyjne narzędzie do opisu, analizy i syntezy: logika dwuwartościowa. Arystoteles – V wiek p.n.e, W średniowieczu i czasach nowożytnych – nauka o
zasadach poprawnego formułowania myśli i poprawnego wnioskowania,
George Boole: 1856 – algebra Boole’a Claude Shannon: 1938 – o zastosowaniu algebry Boole’a do
syntezy układów przekaźnikowych, (Później, w 1948 r., wspólnie z Christopherem Weaverem – matematyczna ‘teoria komunikacji’).
Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3 17
Alfabet, składnia, semantyka
• Oprócz alfabetu muszą być określone są: Składnia (reguły rządzące budową poprawnych sekwencji), Semantyka (reguły określające znaczenie poprawnych
sekwencji).
• Np.
• A – alfabet łaciński (ze spacją), ‘Ala ma kota’ – ciąg składniowo poprawny (w języku polskim), ‘Ala ma kota’ – ciąg składniowo niepoprawny (w języku angielskim), ‘Ala am kota’ – ciąg niepoprawny (w języku polskim),
(Względy leksykalne) ‘Ala ma siedzi’ – ciąg niepoprawny (w języku polskim),
(Względy składniowe)
Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3 18
Dalsze przykłady
leksykalnie poprawne leksykalnie niepoprawne
Poprawna ‘wypowiedź’ świateł ulicznych
cykl cykl
‘wypowiedź’ składniowo niepoprawna
Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3 19
Zbiór A*, język, gramatyka
• Dany pewien alfabet A,
• A* - zbiór nad alfabetem A,
• A* jest zbiorem wszystkich możliwych (skończonych) ciągów, które dają się utworzyć z symboli należących do A,
• A* jest zbiorem nieskończonym, przeliczalnym,
A*
L
• Każdy podzbiór L A*, jest językiem,
• ... być może nieskończonym,
Jak przy pomocy skończonej liczby reguł opisać zasady• generowania poprawnych sekwencji,• rozpoznawania, czy dana sekwencja jest poprawna.
gramatyka
Lingwistyka matematyczna
Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3 20
Sygnały i analogowa elektronika
Nieelektryczne: Prędkość, Masa, Temperatura, Wilgotność, Ciśnienie, Stężenie (pewnej
substancji) Itd.
Sygnały: zmienne w czasie wielkości fizyczne:
• Elektryczne: Napięcie, natężenie
prądu, Oporność,
pojemność, ... Natężenie pola
elektromagn. itd.
Czujniki(sensory)
Napięcie,Natężenie prądu,Natężenie polaIndukcja magn. Itd.
Analogowe wielkości elektryczne:
Elementy wykonawcze
Wspólna baza koncepcyjna i
technologiczna
Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3 21
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów
Nieelektryczne
Sygnały: zmienne w czasie, ciągłe wielkości
fizyczne:
Elektryczne
Czujniki(sensory)
Elementy wykonawcze
Analogowe wielkości
elektryczne
Konwersja AC
Konwersja AC
Konwersja CA
Konwersja CA
Cyfrowe przetwarzanie
sygnałów
Cyfrowe przetwarzanie
sygnałów
Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3 22
Konwersja A-C (ang. A-D, Analog to Digital)
• Konieczna dyskretyzacja: w czasie = próbkowanie
(sampling), co stały czas , na osi wartości – z założoną
dokładnością.
• Tutaj – sekwencja:
5, 6, 7, 8, 8, 7, 5, 3, 3,....
z dokładnością ±10%
t
u(t)
9876543210
umin
umax
Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3 23
Potencjalne zniekształcenie konwersji
• Odtworzony z powrotem sygnał
5, 6, 7, 8, 8, 7, 5, 3, 3,....
• Trzeba zapewnić właściwą dyskretyzację zarówno ‘w pionie’, jak ‘w poziomie’.
t
u(t)
9876543210
umin
umax
Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3 24
Dyskretyzacja ‘w pionie’ i ‘w poziomie’
• ‘W pionie’: zejść poniżej progu dokładności źródła sygnału lub czułości odbiorcy sygnału, Podział na 1000 poziomów – dokładność 0.1%, Konwersja 8 - bitowa – dokładność 1/256 = ok. 0.4%, Konwersja 16–bitowa – dokładność 2-16 = ok. 0.0015 % , Itd.
• ‘W poziomie’ – próbkowanie – okazuje się, że
Przy odpowiednio małym czasie próbkowania można nie ponieść dokładnie żadnej straty informacji.
Twierdzenie o próbkowaniu (Shannona – Kotielnikowa)
Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3 25
Sinusoida
y(t) = a*sin(2*f*t + )
Czas [s], zmienna niezależna
Amplituda
Częstotliwość [1/s], [Hz]Okres T=1/f [s]
Przesunięcie fazy [stopnie]
Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3 26
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
czas w milisekundach
Dwie sinusoidy
Chw
ilow
a w
ielk
osc
sygn
alu
Sumowanie sinusoid
1
2
1
a f
[Hz]
[stop]
1 0.5 1000 0
2 0.2 5000 0
Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3 27
Sumowanie dwóch sinusoid
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
czas w milisekundach
Chw
ilow
a w
ielk
osc
sygn
alu
Suma dwoch sinusoid
Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3 28
Sumowanie sinusoid, c.d.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
czas w milisekundach
Szesc sinusoid
Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3 29
Suma sześciu sinusoid
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
czas w milisekundach
Chw
ilow
a w
ielk
osc
sygn
alu
Suma szesciu sinusoid
Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3 30
Przekształcenie Fouriera (J. B. Joseph Fourier, 1768 -- 1830)
• Każdy przebieg okresowy da się przedstawić jako suma (być może nieskończona) przebiegów sinusoidalnych),
Przebieg okresowy
Przekształcenie(Transformata)
Fouriera
‘Wykaz’‘uczestniczących’
sinusoid
• FFT - Fast Fourier Transform,
• DFT – Discrete Fourier Transform, Widmo (spectrum)
Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3 31
Widmo modułu i fazy (zasada)
Częstotliwość f
Częstotliwość f
Moduł a
Przesunięcie fazy
aJedna
sinusoida
f
a
y(t) = a*sin(2*f*t + )
-1800
+1800
log
log f
log f
Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3 32
Twierdzenie o próbkowaniu (Shannon – Kotielnikow)
• Jeśli najszybciej zmienna sinusoidalna składowa sygnału ma
częstotliwość fmax,
• To przy próbkowaniu z częstotliwością nie mniejszą niż 2fmax
nie ponosi się straty informacji (na skutek próbkowania),
• Inaczej: czas próbkowania
1/(2fmax)
• Np. ludzkie ucho słyszy dźwięki z zakresu częstotliwości
20 – 20 000 Hz,
Przyjmuje się częstotliwość próbkowania 46000 Hz.
Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3 33
Przykładowy przebieg prostokątny
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-3
-2
-1
0
1
2
3
czas [s]
wie
lkos
c sy
gnal
u
Przykladowy przebieg prostokatny
Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3 34
Widmo modułu (liniowa skala częstotliwości !)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4Widmo modulu przebiegu prostokatnego
numery kolejnych harmonicznych
Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3 35
Widmo modułu w skali loglog
100
101
102
10-2
10-1
100
101
Widmo modulu przebiegu prostokatnego (skala loglog)
czestotliwosc [Hz]
Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3 36
Widmo modułu i fazy
100
101
102
10-2
10-1
100
101
Widmo modulu przebiegu prostokatnego (skala loglog)
ampl
ituda
100
101
102
180
182
184
186
188
190Widmo fazy przebiegu prostokatnego (skala semilog)
czestotliwosc [Hz]
prze
suni
ecie
faz
y w
sto
pnia
ch
Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3 37
Pierwsza składowa sinusoida przebiegu prostokątnego
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
czas [s]
wie
lkos
c sy
gnal
u
Odtwarzanie przebiegu prostokatnego
Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3 38
Suma pierwszych dwóch składowych
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
czas [s]
wie
lkos
c sy
gnal
u
Odtwarzanie przebiegu prostokatnego
Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3 39
... Pierwszych pięciu składowych
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
czas [s]
wie
lkos
c sy
gnal
u
Odtwarzanie przebiegu prostokatnego
Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3 40
... Pierwszych dziesięciu składowych itd.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
czas [s]
wie
lkos
c sy
gnal
u
Odtwarzanie przebiegu prostokatnego
Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3 41
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-3
-2
-1
0
1
2
3
czas [s]
wie
lkos
c sy
gnal
u
Przykladowy przebieg prostokatny
Sygnał w dziedzinie czasu i w dziedzinie częstotliwości
2048 próbek
1024 1024
FFT
Widmo sygnału:‘wykaz’
amplitud i faz1024 sinusoid
Time domain Frequency domain
Dyskretna, ‘szybka’
Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3 42
Dyskretyzacja sygnału
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
czas w milisekundach
Chw
ilow
a w
ielk
osc s
ygnalu
Suma szesciu sinusoid
• Była to suma sześciu sinusoid,
• fmax= 15 000 Hz, stąd częstość próbkowania > 30 000 razy na sekundę,
33 s,
• Przyjmijmy, że dyskretyzacja ‘w pionie’ jest 12-bitowa (212 = 4096 wartości, dokładność 0.024%,
Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3 43
Dyskretyzacja sygnału
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
czas w milisekundach
Chw
ilow
a w
ielk
osc s
ygnalu
Suma szesciu sinusoid
Okres T=1 ms 30 s
110....101 101....011 110....101
Ponad 30 liczb 12-bitowych na jeden okres T
Strumień bitów do rejestracji i przetwarzania
.... ....
Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3 44
High = 5 V
Low = 0 V
u(t)
t
Np.
Pewien paradoks cyfrowej reprezentacji sygnału ciągłego
....1 1 0 1 0 1.....Ciąg bitów, np. ..... ... też musi mieć jakąś fizyczną reprezentację
1 okres zegara
Pomiędzy sąsiednimi próbkami musi się zmieścić
co najmniej 12 okresów zegara
Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3 45
Inne formy fizycznej reprezentacji sygnałów dwójkowych
‘0’‘1’ Modulacja amplitudy
u(t)
t
‘0’ ‘1’
Modulacja częstotliwości
u(t)
t
‘0’
‘0’ ‘1’
Modulacja fazy
u(t)
t
‘0’
Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3 46
Paradoks cyfrowej reprezentacji sygnału
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
czas w milisekundach
Chw
ilow
a w
ielk
osc s
ygnalu
Suma szesciu sinusoid
Równie ‘fizyczny’ przebieg, dodatkowo o znacznie większej częstotliwości zmian
Konwersja AC
?
Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3 47
... w zamian – korzyści:
• Większa odporność na szum i zakłócenia,
• Możliwość wykorzystania gotowych metod i algorytmów, opracowanych wcześniej dla potrzeb telekomunikacji i informatyki (np. detekcja i korekcja błędów, złożone struktury danych, itd.)
• Ogromne możliwości algorytmicznego (nie zaś ‘układowego’) przetwarzania, np.: Filtrowanie, Kompresja, Wizualizacja i edycja, Rozpoznawanie, ....
Warunek: odpowiednia szybkość konwersji i
przetwarzania.
• Specjalizowane układy i systemy: Karty graficzne, Karty dźwiękowe, Procesory sygnałowe, ...