1

Bryła sztywna – ciało którego elementy nie mogą się przemieszczać względem siebie

Ruchu bryły sztywnej nie można opisywać tak jak ruchu punktu materialnego ponieważ bryła

sztywna może wykonywać oprócz postępowego ruch obrotowy.

Podczas ruchu obrotowego każdy element bryły sztywnej porusza się z inną prędkością liniową i innym

przyspieszeniem liniowym.

2

rs r

s

długość łuku/długość promienia

Kąt wyrażamy w radianach: 360°=2 radianów

Przmieszczenie kątowe

if

3

4

Średnia prędkość kątowa:

Chwilowa prędkość kątowa:

Średnia przyspieszenie kątowe:

Chwilowe przyspieszenie kątowe:

ttt if

if

ttt if

if

dt

d

tt

0lim

dt

d

tt

0lim

5

Prędkość kątowa jest wektorem. Jej kierunek i zwrot można wyznaczyć stosując regułę prawej dłoni, lub

śruby prawoskrętnej.

6

tif

2

2

1ttiif

atvv if

2

2

1attvxx iif

Ruch obrotowy: Ruch postępowy:

7

dt

dr

dt

rd

dt

dsv

dt

d rv

dt

dr

dt

rd

dt

dvat

dt

d rat Punkty o różnych odległościach od osi obrotu (różnych r) poruszają

się z takimi samymi prędkościami i przyspieszeniami kątowymi, ale z różnymi prędkościami i przyspieszeniami postępowymi.

8

r

var

2

rv

ra

rr

ra

t

r

2

2

tr aaa

9

Każdy element bryły sztywnej posiada energię kinetyczną związaną ze swoją masą i

prędkością ruchu postępowego:

2

2

iii

vmK

Całkowita energia kinetyczna ruchu obrotowego jest sumą energii

poszczególnych elementów:

222

2

1

2

1iiiiiobr rmvmKK

2

iirmI definicja mometu bezwładności

10

Ruch obrotowy: Ruch postępowy:

2

2

1IKobr

2

2

1mvK pos

Moment bezwładności w ruchu obrotowym jest odpowiednikiem masy w ruch postępowym.

Moment bezwładności zależy nie tylko od masy bryły, ale także od rozkładu masy wokół osi obrotu

11

dmrmrI i

i

im

22

0lim

Obręcz (masa M rozłożona równomiernie w odległości R od

środka)

222 MRdmRdmrI

12

obręcz, pierścień walec kula

pręt względem końca

pręt względem środka

2MRI 2

2

1MRI 2

5

2MRI

2

12

1MLI 2

3

1MLI

13

2MdIIŚM

Twierdzenie Steinera pozwala obliczyć moment bezwładności względem wybranej osi równoległej do osi przechodzącej przez

środek masy i odległej od niej o d.

Przykład: Dla pręta o masie M i długości L dla osi przechodzącej przez środek masy:

2

12

1MLI

ŚM

Dla osi przechodzącej przez koniec pręta (odległej o L/2 od środka):

2

2

2

3

1

212

1ML

LMMLI

oś obrotu

oś przez środek masy d

14

Frτ Moment siły– iloczyn wektorowy

wektora r łączącego oś obrotu i miejsce przyłożenia siły oraz wektora siły F.

Moment siły można interpretować jako zdolność siły do obracania ciała.

Iloczyn wektorowy wektorów a i b jest prostopadły do płaszczyzny w której leżą te wektory

sinabba

15

kierunek działania

siły

FdrF sin

Moment siły powoduje obrót bryły sztywnej

221121 dFdF wypadkowy moment siły

>0 gdy skręcenie jest przeciwnie do ruchu wskazówek zegara

<0 gdy skręcenie jest zgodnie z ruchem wskazówek zegara

d – ramię siły (prostopadłe do F)

sinrd

16

tt maF rmarF tt rat

2mrrmr Imr 2 I

I

Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego: wypadkowy

moment siły działający na bryłę jest proporcjonaly do jej przyspieszenia kątowego, a stałą proporcjonalności

jest moment bezwładności bryły.

Ft – siła styczna (prostopadła do r)

17

rdFddW sin sF

rdds

Jedynie składowa styczna siły (Fsin) wykonuje pracę, bo jest równoległa do

elementu łuku ds. Składowa radialna (Fcos) jest prostopadła do ds więc praca przez nią wykonana jest

równa zero.

ddW

W ruchu postępowym: dxFdW x

rF sin

18

d

dI

dt

d

d

dI

dt

dII

dWdId

Praca wykonana przez siły zewnętrzne nad obracającą się bryłą sztywną jest równa zmianie jej energii kinetycznej ruchu

obrotowego

22

2

1

2

1if IIdIdW

f

i

f

i

19

x

dt

dxv

dt

dva

m

maF

2

2

1mvK

Ruch postępowy Ruch obrotowy

dt

d

dt

d

I I

2

2

1IKobr

przemieszcznie przemieszcznie kątowe

prędkość prędkość kątowa

przyspieszenie przyspieszenie kątowe

masa moment bezwładności

siła moment siły

energa kinetyczna ruchu postępowego

energa kinetyczna ruchu obrotowego