6. Oddziaływanie światła z materią6. Oddziaływanie światła z materią

• Oscylator Lorentza• Funkcja dielektryczna w modelu Lorentza• Zespolony współczynnik załamania• Propagacja fali świetlnej w ośrodku• Prawo Lamberta-Beera• Dyspersja materiałów• Funkcja dielektryczna metali w modelu

Drudego-Lorentza-Sommerfelda• Częstość plazmowa metali• Ujemny współczynnik załamania• Metamateriały

Rola emisji wymuszonejRozwój akcji laserowej we wnęce laserowejCechy światła laserowegoPodstawy fizyczne działania laserów:

Inwersja obsadzeńWybór ośrodka aktywnego

Przegląd podstawowych typów laserów

poprzedni wykład:

5. Lasery5. Lasery

LASERy*

Laser He-Ne

Działanie lasera bazuje na dwóch zjawiskach: inwersji obsadzeń i emisji wymuszonej.

Unikalne właściwości światła laserowego:

mała szerokość linii emisyjnej (duża moc w emisyjnym obszarze widma)

łatwo uzyskać wiązkę:

spolaryzowaną,

spójną w czasie i przestrzeni

o bardzo małej rozbieżności

zwierciadło całkowicie odbijające

zwierciadło wyjściowe

ośrodek wzmacniajacy

wneka laserowa

źródło energii pompujacej

Inwersja obsadzeń Inwersja obsadzeń

Układ dwupoziomowy

Fizykom zajęło trochę czasu by zauważyć, że układ czteropoziomowy jest najkorzystniejszy.

Układ czteropoziomowy

Układ trójpoziomowy

Fast decay

Przejście laserowe

Pompowanie

Szybki zanik

Szybki zanik

1

2

3

0

2

1

N2

N1

Fast decay

Przejście laserowe

Pompowanie

1

23

Szybki zanik

Pompowanie energii:lamba błyskowa laser

rubinowy), inny laser (w ośrodkach

aktywnych, którymi są barwniki),

wyładowanie elektryczne (laser He-Ne),

przyłożone napiecie (lasery diodowe)

Podsumowanie: rozwój akcji laserowej

Oddziaływanie światła z materiąOddziaływanie światła z materiąNasz ogląd świata jest wynikiem

kreowania i anihilowania fotonów, czyli sposobu, w jaki światło oddziałuje z materią.

Wynik tego oddziaływania zależy od własności materii,

ale również od cech światła (częstotliwość, (dla materiałów dwójłomnych również kąt padania i

polaryzacja)

Oddziaływanie światła z materiąOddziaływanie światła z materią

Zależność od częstotliwości:Zależność od częstotliwości:modelowaniemodelowanie

Oddziaływanie światła z materiąOddziaływanie światła z materią

Oscylator harmonicznyOscylator harmonicznyKiedy działamy siłą periodyczną na układu zdolny do wykonywania oscylacji (wahadło, sprężyna, huśtawka, atom) mamy do czynienia z oscylatorem wymuszonym.

Przykłady: Dziecko (niekoniecznie) bujane na huśtawce Wahadło Wysokie lub długie konstrukcje na wietrze

lub w czasie trzęsienia ziemi Atom w polu fali świetlnej

Jean-Honore Fragonard: Jean-Honore Fragonard: The SwingThe Swing

Oscylator wymuszony jest jednym z ważniejszych problemów w fizyce.

Wiąże się z nim pojęcie częstości rezonansowejczęstości rezonansowej i zjawiska rezonansurezonansu.

Częstość:Częstość: zbyt mała, rezonansowa, zbyt duża

Odpowiedź ładunków związanych na pole elektromagnetyczne jest bardzo podobna!

Oscylator harmonicznyOscylator harmoniczny

Oscylator LoretzaOscylator Loretza- model, w którym atomy ośrodka wyobrażamy sobie jako oscylujące dipole. Każdy z atomów

posiada charakterystyczne częstości, które odpowiadają jego energiom przejść między poziomami energetycznymi modelu kwantowego.

Elektron w położeniu xe(t), sprężyście związany z atomem siłą:

Fspr = -ksprxe= meo2 xe

porusza się w polu elektrycznym fali świetlnej pod wpływem siły: Fel = eE0 exp(-it):

2 2 20 0/ exp( )e e e em d x dt m x eE i t

02 2

0

/( ) exp( )e

e

e mx t E i t

Elektron oscyluje w polu fali padającej z częstością pola , ale amplituda jego oscylacji zależy od różnicy częstości własnej i częstości pola.

Rozwiązaniem jest:

Oscylator LoretzaOscylator Loretza- model, w którym atomy ośrodka wyobrażamy sobie jako oscylujące dipole. Każdy z atomów

posiada charakterystyczne częstości, które odpowiadają jego energiom przejść między poziomami energetycznymi modelu kwantowego.

Elektron w położeniu xe(t), sprężyście związany z atomem siłą:

Fspr = -ksprxe= meo2 xe

porusza się w polu elektrycznym fali świetlnej pod wpływem siły: Fel = eE0 exp(-it):

2 2 20 0/ exp( )e e e em d x dt m x eE i t

02 2

0

/( ) exp( )e

e

e mx t E i t

Elektron oscyluje w polu fali padającej z częstością pola , ale amplituda jego oscylacji zależy od różnicy częstości własnej i częstości pola.

Rozwiązaniem jest:

Oscylator LoretzaOscylator Loretza- model, w którym atomy ośrodka wyobrażamy sobie jako oscylujące dipole. Każdy z atomów

posiada charakterystyczne częstości, które odpowiadają jego energiom przejść między poziomami energetycznymi modelu kwantowego.

Elektron w położeniu xe(t), sprężyście związany z atomem siłą:

Fspr = -ksprxe= meo2 xe

porusza się w polu elektrycznym fali świetlnej pod wpływem siły: Fel = eE0 exp(-it):

2 2 20 0/ exp( )e e e em d x dt m x eE i t

02 2

0

/( ) exp( )e

e

e mx t E i t

Elektron oscyluje w polu fali padającej z częstością pola , ale amplituda jego oscylacji zależy od różnicy częstości własnej i częstości pola.

Rozwiązaniem jest:

Oscylator LoretzaOscylator Loretza- model, w którym atomy ośrodka wyobrażamy sobie jako oscylujące dipole. Każdy z atomów

posiada charakterystyczne częstości, które odpowiadają jego energiom przejść między poziomami energetycznymi modelu kwantowego.

Elektron w położeniu xe(t), sprężyście związany z atomem siłą:

Fspr = -ksprxe= meo2 xe

porusza się w polu elektrycznym fali świetlnej pod wpływem siły: Fel = eE0 exp(-it):

2 2 20 0/ exp( )e e e em d x dt m x eE i t

02 2

0

/( ) exp( )e

e

e mx t E i t

Elektron oscyluje w polu fali padającej z częstością pola , ale amplituda jego oscylacji zależy od różnicy częstości własnej i częstości pola .

Rozwiązaniem jest:

( )ex t( )E t

Oscylator LorentzaOscylator Lorentza

Nasze rozwiązanie:

w rezonansie ma nieskończoną amplitudę.

02 2

0

/( ) exp( )e

e

e mx t E i t

Oscylator Lorentza:Oscylator Lorentza:

( )ex t( )E t

220 02 exp( )e e

e e e ed x dx

m m m x eE i tdt dt

Ale już oscylator tłumiony:

posiada rozwiązanie:

2 20

( / )( ) ( )( )

ee

e mx t E ti

Elektron znowu oscyluje z częstością fali elektromagnetycznej, ale możliwe jest przesunięcie fazowe. Tym razem amplituda jest skończona dla wszystkich częstotliwości .

z siłą tłumiącą proporcjonalną do prędkości i skierowaną przeciwnie: dt

dxmF eetlum

Oscylator Lorentza:Oscylator Lorentza:

( )ex t( )E t

220 02 exp( )e e

e e e ed x dx

m m m x eE i tdt dt

Ale już oscylator tłumiony:

posiada rozwiązanie:

2 20

( / )( ) ( )( )

ee

e mx t E ti

Elektron znowu oscyluje z częstością fali elektromagnetycznej, ale możliwe jest przesunięcie fazowe. Tym razem amplituda jest skończona dla wszystkich częstotliwości .

z siłą tłumiącą proporcjonalną do prędkości i skierowaną przeciwnie: dt

dxmF eetlum

Oscylator Lorentza:Oscylator Lorentza:

( )ex t( )E t

220 02 exp( )e e

e e e ed x dx

m m m x eE i tdt dt

Ale już oscylator tłumiony:

posiada rozwiązanie:

2 20

( / )( ) ( )( )

ee

e mx t E ti

Elektron znowu oscyluje z częstością fali elektromagnetycznej, ale możliwe jest przesunięcie fazowe. Tym razem amplituda jest skończona dla wszystkich częstotliwości .

z siłą tłumiącą proporcjonalną do prędkości i skierowaną przeciwnie: dt

dxmF eetlum

Co opisuje czynnik tłumiącyCo opisuje czynnik tłumiący Atomy spontanicznie powracają do stanu podstawowego po pewnym czasie.

Oscylacje dipoli wzbudzone w ośrodku sumują się. Zderzenia powodują defazację poszczególnych oscylacji; ich suma maleje.

Defazacja oscylacji przez zderzenia sprawia, że wzbudzone oscylacje zanikają w czasie.

Światło emitowane przez taki ośrodek będzie się też w podobny sposób zmieniać w czasie.

time

Atom #1

Atom #2

Atom #3

Sum:

zderzenia

czas

Suma

Zobaczyliśmy, co światło może zrobić atomom Zobaczyliśmy, co światło może zrobić atomom ośrodka. ośrodka. Wniosek:Wniosek: skuteczność wymuszenia oscylacji skuteczność wymuszenia oscylacji (dipoli) atomowych ośrodka silnie zależy od (dipoli) atomowych ośrodka silnie zależy od częstości ! częstości !

Teraz zobaczmy, jaki z kolei wpływ mają wzbudzone oscylacje na falę elektromagnetyczną, rozchodzącą się w ośrodku.

Niejednorodne równanie faloweNiejednorodne równanie falowePolaryzacja indukowana w ośrodku:

e jest ładunkiem elektronu,N jest koncentracją elektronów zwiaząnych ośrodka, które oddziałują ze światłem.

Dla naszych oscylujących elektronów:

2 2

2

2

22 02

1E Ez

Ptc t

00

1( , ) exp[ ( )]2 ( / 2)e

eP z t Ne E i kz tm i

0

1( ) ( )2 ( / 2)e

e

ex t E tm i

E(z,t)0P

2

0 0

12 ( / 2)e

Nem i

Możemy więc zapisać:

0( ) ( )P t E t gdzie:

jest podatnością elektryczną ośrodka0 0 0P E gdzie:

( ) ( )eP t Ne x t

gdzie: )1(0 jest przenikalnością elektryczną, )1( r jest względną przenikalnością elektryczną

(funkcją dielektryczną) ośrodka.

Dielektryki liniowe: Dielektryki liniowe: podatność elektryczna i przenikalność dielektrycznapodatność elektryczna i przenikalność dielektryczna

2

0 0

12 ( / 2)e

Nem i

podatność elektryczna ośrodka

)()( tEtP o

E

zewnEE

jest natężeniem całkowitego pola elektrycznego,

Wprowadźmy pole indukcji elektrycznej : PED

0

EEE

)1(000

A więc D

jest również proporcjonalne do E

: ED

Nie zapomnij: Wszystkie wielkości charakteryzujące odpowiedź danego ośrodka na pole elektromagnetyczne są funkcjami częstości !

gdzie: )1(0 jest przenikalnością elektryczną, )1( r jest względną przenikalnością elektryczną

(funkcją dielektryczną) ośrodka.

Dielektryki liniowe: Dielektryki liniowe: podatność elektryczna i przenikalność dielektrycznapodatność elektryczna i przenikalność dielektryczna

2

0 0

12 ( / 2)e

Nem i

podatność elektryczna ośrodka

)()( tEtP o

E

zewnEE

jest natężeniem całkowitego pola elektrycznego,

Wprowadźmy pole indukcji elektrycznej : PED

0EEE

)1(000

A więc D

jest również proporcjonalne do E

: ED

Nie zapomnij: Wszystkie wielkości charakteryzujące odpowiedź danego ośrodka na pole elektromagnetyczne są funkcjami częstości !

gdzie: )1(0 jest przenikalnością elektryczną, )1( r jest względną przenikalnością elektryczną

(funkcją dielektryczną) ośrodka.

Dielektryki liniowe: Dielektryki liniowe: podatność elektryczna i przenikalność dielektrycznapodatność elektryczna i przenikalność dielektryczna

2

0 0

12 ( / 2)e

Nem i

podatność elektryczna ośrodka

)()( tEtP o

E

zewnEE

jest natężeniem całkowitego pola elektrycznego,

Wprowadźmy pole indukcji elektrycznej : PED

0

EEE

)1(000

A więc D

jest również proporcjonalne do E

: ED

Nie zapomnij: Wszystkie wielkości charakteryzujące odpowiedź danego ośrodka na pole elektromagnetyczne są funkcjami częstości !

Dielektryki liniowe: Dielektryki liniowe: funkcja dielektryczna w modelu Lorentzafunkcja dielektryczna w modelu Lorentza

22220

220

0

2

1 )()(1)(

em

Ne

222200

2

2 )()()(

emNe

)(11)( 22

00

2

imNe

er

21 i

)(1)( 22

00

2

jj

j

jer i

fm

Ne

Dielektryki liniowe: Dielektryki liniowe: funkcja dielektryczna w modelu Lorentzafunkcja dielektryczna w modelu Lorentza

Gdy ośrodek posiada wiele częstości rezonansowych 0j:

Częstości rezonansowe 0j to częstości własne układu (istnieją niezależnie od tego, czy układ oddziałuje z polem fali świetlnej, czy nie); charakteryzują układ, jako taki.

Warto je znać!

Tacoma Narrows Bridge

zerwany z powodu wiatrów zerwany z powodu wiatrów uderzających z częstościami uderzających z częstościami rezonansowymi konstrukcji rezonansowymi konstrukcji

(November 7 1940 11:00AM ).(November 7 1940 11:00AM ).

NowyNowyTacoma Narrows BridgeTacoma Narrows Bridge

(otwarty 2007)(otwarty 2007)

)()(~ n

Absorpcja i załamanie światła w ośrodku opisane są przez zespolony współczynnik załamaniazespolony współczynnik załamania:

)(~Re)( nn

)(~Im)( n

)(11)( 22

00

2

imNe

er

funkcja dielektryczna w modelu Lorentza

jest (rzeczywistym) współczynnikiem załamaniawspółczynnikiem załamania

jest współczynnikiem ekstynkcjiwspółczynnikiem ekstynkcji

(absorpcji)(absorpcji)

)()(~ n

Absorpcja i załamanie światła w ośrodku opisane są przez zespolony współczynnik załamaniazespolony współczynnik załamania:

)(~Re)( nn

)(~Im)( n

)(11)( 22

00

2

imNe

er

funkcja dielektryczna w modelu Lorentza

jest (rzeczywistym) współczynnikiem załamaniawspółczynnikiem załamania

jest współczynnikiem ekstynkcjiwspółczynnikiem ekstynkcji

(absorpcji)(absorpcji)

Współczynnik załamania w funkcji częstościWspółczynnik załamania w funkcji częstościPonieważ częstości rezonansowe pojawiają się w różnych obszarach widma elektromagnetycznego, współczynniki n() i () zmieniają się w złożony sposób.

n rośnie z częstotliwością, z wyjątkiem obszarów anomalanomalnej dyspersjinej dyspersji..

podczerień widzialne UV X

czestotliwość (Hz)

Rezonanse: oscylacyjnei rotacyjne

przejścia elektronowe

n

Całkowite pole elektryczne Całkowite pole elektryczne propagujące się w ośrodkupropagujące się w ośrodku::

• Współczynnik ekstynkcji tłumi pole• Współczynnik załamania zmienia długość wektora falowego (długość fali):

))~

(exp()0(),( tzkiEtzE

cin

cnk )(~~

Relacja dyspersji:

E0(z)

))(exp()0(),( 0/ tznkieEtzE cz

Powoli zmieniająca się obwiednia i oscylacje

)/(2~Re0 nc

nkk

0 jest długością fali o częstości w próżnin=c/vph

ck 0

• Współczynnik ekstynkcji tłumi pole• Współczynnik załamania zmienia długość wektora falowego (długość fali):

))~

(exp()0(),( tzkiEtzE

cin

cnk )(~~

Relacja dyspersji:

E0(z)

))(exp()0(),( 0/ tznkieEtzE cz

Powoli zmieniająca się obwiednia i oscylacje

)/(2~Re0 nc

nkk

0 jest długością fali o częstości w próżnin=c/vph

ck 0

Całkowite pole elektryczne Całkowite pole elektryczne propagujące się w ośrodkupropagujące się w ośrodku::

• Współczynnik ekstynkcji tłumi pole• Współczynnik załamania n zmienia długość

wektora falowego k (długość fali):

))~

(exp()0(),( tzkiEtzE

cin

cnk )(~~

Relacja dyspersji:

E0(z)

))(exp()0(),( 0/ tznkieEtzE cz

Powoli zmieniająca się obwiednia i oscylacje

)/(2~Re0 nc

nkk

0 jest długością fali o częstości w próżnin=c/vph

ck 0

Całkowite pole elektryczne Całkowite pole elektryczne propagujące się w ośrodkupropagujące się w ośrodku::

Modyfikacja fali świetlnej po przejściu do ośrodka:Modyfikacja fali świetlnej po przejściu do ośrodka:

Zazwyczaj: prędkość światła, długość fali, amplituda maleją.Częstotliwość nie zmienia się.

n = 1 Ren = 2

nk0

Próżnia (lub powietrze) Ośrodek

Głębokość absorpcji = 1/

k0

nDługość fali maleje

00 exp[( / 2) ](0) exp[ ( )]E iz k tn z 0 0( , ) (0) exp[ ( )]E z t E i k z t

n=c/vph

c 2

Natężenie jest proporcjonalne do (średniego) kwadratu pola.

Ponieważ E(z) exp(-z/2), natężenie wynosi:

Współczynnik ekstynkcji i irradiancja (natężenie)Współczynnik ekstynkcji i irradiancja (natężenie)))

gdzie I(0) jest natężeniem w z = 0, a I(z) jest natężeniem w z,

I(z) = I(0) exp(-z)

Tak więc natężenie światła jest tłumione i zanika ~ exp(-z) w miarę propagacji w ośrodku.

współczynnik absorpcji:c 2

Prawo BEERaPrawo BEERalublub

Lamberta-BeeraLamberta-Beera

z

W obszarze widzialnym współczynnik absorbancji bezbarwnych materiałów przezroczystych (szkło) jest w przybliżeniu stały. W ogólności (jak i ) silnie

zależą od częstości (DYSPERSJA!).

Natężenie jest proporcjonalne do (średniego) kwadratu pola.

Ponieważ E(z) exp(-z/2), natężenie wynosi:

Współczynnik ekstynkcji i irradiancja (natężenie)Współczynnik ekstynkcji i irradiancja (natężenie)))

I(z) = I(0) exp(-z)

Za tłumienie odpowiedzialne są dwa procesy:• absorpcjaabsorpcja (energia jest pochłonięta (np. przez atom; elektrony walencyjne przechodzą do stanu o wyższej energii). Zaabsorbowana energia może być ponownie wyemitowana jako energia promieniowania, lub może być zamieniona na ciepło.• rozpraszanierozpraszanie - wiąże się z niejednorodnościami układu, w którym zachodzi propagacja fal. Światło oddziaływując z materią powoduje drgania cząsteczek i wypromieniowanie (wtórnych) fal elektromagnetycznych

współczynnik absorpcji:c 2

Prawo BEERaPrawo BEERalublub

Lamberta-BeeraLamberta-Beera

gdzie I(0) jest natężeniem w z = 0, a I(z) jest natężeniem w z,

38

Dyspersja materiałówDyspersja materiałów: podsumowanie: podsumowanie

n ()

1

0

–/2 /2

()

00

–/2 /2

• współczynnik załamania szybko się zmienia w pobliżu atomowej (molekularnej) częstości rezonansowej

• wówczas rośnie też współczynnik absorpcji

• n(), n() to krzywa dyspersji krzywa dyspersji materiałowejmateriałowej• rejon krzywej dyspersji, w którym n() rośnie, gdy rośnie, to obszar dyspersji dyspersji normalnej normalnej • rejon krzywej dyspersji, w którym n() , gdy rośnie to dyspersja anomalnadyspersja anomalna• ze względu na absorpcję, dyspersja anomalna jest trudna do obserwacji (ośrodek jest nieprzezroczysty). Większość materiałów optycznych absorbuje w UV)

• materiały optyczne - duże n , małe

Dla światła widzialnego, dla większości materiałów przezroczystych (np. dla szkieł):

                                        czyli:

        

Dyspersja Dyspersja materiałówmateriałów przezroczystychprzezroczystych

- obszar dyspersji normalnej

szkło

n

5 10 20 30 50 m]

Współczynnik załamania w funkcji częstościWspółczynnik załamania w funkcji częstościdla rzeczywistych materiałówdla rzeczywistych materiałów

Przykłady:

Współczynnik załamaniaWspółczynnik załamaniaPrzykłady wartości dla światła o długość 580 nm dla różnych materiałów:

Zadanie domowe:Zadanie domowe:

220 02 exp( )e e

e e e ed x dxm m m x eE i tdt dt

1. Sprawdź, że wyrażenie:

jest rozwiązaniem równania:

2 20

( / )( ) ( )( )

ee

e mx t E ti

z E(t) = exp(-it)

Jak w języku funkcji dielektrycznej i Jak w języku funkcji dielektrycznej i zespolonego współczynnika załamania zespolonego współczynnika załamania

opisać własności optyczne metali?opisać własności optyczne metali?

Własności te wynikają z faktu, ze metale zawierają wysokie gęstości elektronów swobodnych (niezwiązanych), które pochodzą z powłok walencyjnych atomów metalu. Elektrony te (gaz elektronowy) nie są już związane z konkretnym jonem dodatnim i mogą się swobodnie poruszać.

Elektrony swobodne nie doświadczają siły przeciwdziałającej wychyleniu w polu elektrycznym

Własności:• tworzenie połyskliwej, gładkiej powierzchni• ciągliwość i kowalność• dobre przewodnictwo elektryczne• dobre przewodnictwo cieplne

Metale: funkcja dielektryczna w Metale: funkcja dielektryczna w modelu Drudego-Lorentza-Sommerfeldamodelu Drudego-Lorentza-Sommerfelda

Elektron w położeniu xe(t), porusza się w polu elektrycznym fali świetlnej pod wpływem siły:

Fel = eE0 exp(-it)

Ruch elektronu podlega sile tłumiącej proporcjonalnej do prędkości i skierowanej przeciwnie:

dtdxmF e

etlum

220 02 exp( )e e

e e e ed x dxm m m x eE i tdt dt

Metale: funkcja dielektryczna w Metale: funkcja dielektryczna w modelu Drudego-Lorentza-Sommerfeldamodelu Drudego-Lorentza-Sommerfelda

Elektron w położeniu xe(t), porusza się w polu elektrycznym fali świetlnej pod wpływem siły:

Fel = eE0 exp(-it)

Ruch elektronu podlega sile tłumiącej proporcjonalnej do prędkości i skierowanej przeciwnie:

dtdxmF e

etlum

220 02 exp( )e e

e e e ed x dxm m m x eE i tdt dt

Metale: funkcja dielektryczna w Metale: funkcja dielektryczna w modelu Drudego-Lorentza-Sommerfeldamodelu Drudego-Lorentza-Sommerfelda

Elektron w położeniu xe(t), porusza się w polu elektrycznym fali świetlnej pod wpływem siły:

Fel = eE0 exp(-it)

Ruch elektronu podlega sile tłumiącej proporcjonalnej do prędkości i skierowanej przeciwnie:

dtdxmF e

etlum

220 02 exp( )e e

e e e ed x dxm m m x eE i tdt dt

Metale: funkcja dielektryczna w Metale: funkcja dielektryczna w modelu Drudego-Lorentza-Sommerfeldamodelu Drudego-Lorentza-Sommerfelda

Wprowadźmy pole indukcji elektrycznej : PED

0EEE

)1(000

gdzie: )1(0 jest przenikalnością elektryczną, )1( r jest względną przenikalnością elektryczną

(funkcją dielektryczną) ośrodka.

ED

i

pr

2

2

1 gdzie p jest częstością plazmową danego metalu:

2/1

0

2

ep m

Ne

A więc D

jest również proporcjonalne do E

:

21 i

224

2

1 1

p

224

2

2 1

p

Metale: funkcja dielektryczna w Metale: funkcja dielektryczna w modelu Drudego-Lorentza-Sommerfeldamodelu Drudego-Lorentza-Sommerfelda

Wprowadźmy pole indukcji elektrycznej : PED

0EEE

)1(000

gdzie: )1(0 jest przenikalnością elektryczną, )1( r jest względną przenikalnością elektryczną

(funkcją dielektryczną) ośrodka.

ED

i

pr

2

2

1 gdzie p jest częstością plazmową danego metalu:

2/1

0

2

ep m

Ne

A więc D

jest również proporcjonalne do E

:

21 i

224

2

1 1

p

224

2

2 1

p

Metale: funkcja dielektryczna w Metale: funkcja dielektryczna w modelu Drudego-Lorentza-Sommerfeldamodelu Drudego-Lorentza-Sommerfelda

Wprowadźmy pole indukcji elektrycznej : PED

0EEE

)1(000

gdzie: )1(0 jest przenikalnością elektryczną, )1( r jest względną przenikalnością elektryczną

(funkcją dielektryczną) ośrodka.

ED

i

pr

2

2

1 gdzie p jest częstością plazmową danego metalu:

2/1

0

2

ep m

Ne

A więc D

jest również proporcjonalne do E

:

21 i

224

2

1 1

p

224

2

2 1

p

Metale: funkcja dielektryczna w Metale: funkcja dielektryczna w modelu Drudego-Lorentza-Sommerfeldamodelu Drudego-Lorentza-Sommerfelda

Wprowadźmy pole indukcji elektrycznej : PED

0EEE

)1(000

gdzie: )1(0 jest przenikalnością elektryczną, )1( r jest względną przenikalnością elektryczną

(funkcją dielektryczną) ośrodka.

ED

i

pr

2

2

1 gdzie p jest częstością plazmową danego metalu:

2/1

0

2

ep m

Ne

A więc D

jest również proporcjonalne do E

:

21 i

224

2

1 1

p

224

2

2 1

p

Metale: funkcja dielektryczna w Metale: funkcja dielektryczna w modelu Drudego-Lorentza-Sommerfeldamodelu Drudego-Lorentza-Sommerfelda

i

pr

2

2

1 gdzie p jest częstością plazmową danego metalu:

2/1

0

2

ep m

Ne

Załóżmy dla prostoty, że = 0. Wówczas dla częstości poniżej częstości plazmowej r < 0, a współczynnik

załamania:,~ in

Metale: funkcja dielektryczna w Metale: funkcja dielektryczna w modelu Drudego-Lorentza-Sommerfeldamodelu Drudego-Lorentza-Sommerfelda

i

pr

2

2

1 gdzie p jest częstością plazmową danego metalu:

2/1

0

2

ep m

Ne

Załóżmy dla prostoty, że = 0. Wówczas dla częstości poniżej częstości plazmowej r < 0, a współczynnik

załamania:,~ in

Współczynnik załamania metali jest więc liczbą zespoloną nawet wtedy, gdy funkcja dielektryczna jest rzeczywista!

gdyż dla: < p

r() < 0

Metale: funkcja dielektryczna w Metale: funkcja dielektryczna w modelu Drudego-Lorentza-Sommerfeldamodelu Drudego-Lorentza-Sommerfelda

i

pr

2

2

1 gdzie p jest częstością plazmową danego metalu:

2/1

0

2

ep m

Ne

Światło o częstotliwości poniżej częstotliwości plazmowej jest odbijane; elektrony metalu ekranują pole elektryczne fali światła.

Długość fali

Odb

ijaln

ość

%

Metale: funkcja dielektryczna w Metale: funkcja dielektryczna w modelu Drudego-Lorentza-Sommerfeldamodelu Drudego-Lorentza-Sommerfelda

i

pr

2

2

1 gdzie p jest częstością plazmową danego metalu:

2/1

0

2

ep m

Ne

Bardzo silna absorpcja sprawia, że fala elektromagnetyczna może wniknąć do metalu jedynie niewiele, na odległość mniejszą niż długość fali: efekt naskórkowy

Głębokość wnikania dla różnych metali

Metale: funkcja dielektryczna w Metale: funkcja dielektryczna w modelu Drudego-Lorentza-Sommerfeldamodelu Drudego-Lorentza-Sommerfelda

Konfrontacja z metalami rzeczywistymi:

Metale: funkcja dielektryczna w Metale: funkcja dielektryczna w modelu Drudego-Lorentza-Sommerfeldamodelu Drudego-Lorentza-Sommerfelda

Konfrontacja z metalami rzeczywistymi:

)()(

2

ip

D

- - prędkość relaksacji związana z przewodnictwem prędkość relaksacji związana z przewodnictwem DCDC

2/1

*0

2

ep m

Ne

, N , N ii m* - m* - koncentracja i masa efektywna elektronów koncentracja i masa efektywna elektronów przewodnictwaprzewodnictwa

ε∞ - zawiera dodatkowy wkład elektronów związanych do polaryzowalności (o wartości 1 jeśli mamy tylko elektrony swobodne

Funkcja dielektryczna Drudego z parametrami efektywnymi:

Metale: funkcja dielektryczna w Metale: funkcja dielektryczna w modelu Drudego-Lorentza-Sommerfeldamodelu Drudego-Lorentza-Sommerfelda

Konfrontacja z metalami rzeczywistymi:metale alkaiczne

Sód w nafcie

Metale: funkcja dielektryczna w Metale: funkcja dielektryczna w modelu Drudego-Lorentza-Sommerfeldamodelu Drudego-Lorentza-Sommerfelda

Konfrontacja z metalami rzeczywistymi:metale szlachetne

parametry efektywne: 0 = 9,84, p = 9,096eV ,= 0,072eV dla złota

0 = 3,7, p = 8,9 eV , = 0,021eV dla srebra

Metale: funkcja dielektryczna w Metale: funkcja dielektryczna w modelu Drudego-Lorentza-Sommerfeldamodelu Drudego-Lorentza-Sommerfelda

Dlaczego modele funkcji dielektrycznej

są tak ważne, skoro znamy współczynnik załamania i absorpcji

wielu przydatnych materiałów (tabele zmierzonych wielkości dla

wielu częstotliwości )?

Zadanie domowe:Zadanie domowe:

220 02 exp( )e e

e e e ed x dxm m m x eE i tdt dt

1. Sprawdź, że wyrażenie:

jest rozwiązaniem równania:

2 20

( / )( ) ( )( )

ee

e mx t E ti

z E(t) = exp(-it)

Metale: funkcja dielektryczna w Metale: funkcja dielektryczna w modelu Drudego-Lorentza-Sommerfeldamodelu Drudego-Lorentza-Sommerfelda

Dlaczego modele funkcji dielektrycznej

są tak ważne, skoro znamy współczynnik załamania i absorpcji

wielu przydatnych materiałów (tabele zmierzonych wielkości dla

wielu częstotliwości )?

Dla większości materiałów optycznych μr jest stała i bliska 1dla częstości optycznych i mogliśmy używać definicji:

Ujemny współczynnik załamaniaUjemny współczynnik załamania

Ostatnie badania wykazały istnienie materiałów o ujemnym współczynniku załamania, który pojawia się, gdy obie części rzeczywiste Re(εr()) i Re(μr()) są naraz ujemne

(jest to warunek wystarczający, ale nie konieczny).

Materiały o takich własnościach nie są znane w przyrodzie, ale można je wytworzyć jako tzw. metamateriały.

)()(~ rn

Ogólniej:)()()(~ rrn

))()()(()(~ rrn

Praktycznie wszystkie przezroczyste materiały mają dodatnie wartości zarówno przenikalności elektrycznej ε jak i magnetycznej μ.

Ogólniej:4 rozwiązania.

Które można zrealizować?

Dla większości materiałów optycznych μr jest stała i bliska 1dla częstości optycznych i mogliśmy używać definicji:

Ujemny współczynnik załamaniaUjemny współczynnik załamania

Ostatnie badania wykazały istnienie materiałów o ujemnym współczynniku załamania, który pojawia się, gdy obie części rzeczywiste Re(εr()) i Re(μr()) są naraz ujemne

(jest to warunek wystarczający, ale nie konieczny).

Materiały o takich własnościach nie są znane w przyrodzie, ale można je wytworzyć jako tzw. metamateriały.

)()(~ rn

Ogólniej:)()()(~ rrn

))()()(()(~ rrn

Praktycznie wszystkie przezroczyste materiały mają dodatnie wartości zarówno przenikalności elektrycznej ε jak i magnetycznej μ.

Ogólniej:4 rozwiązania.

Które można zrealizować?

Dla większości materiałów optycznych μr jest stała i bliska 1dla częstości optycznych i mogliśmy używać definicji:

Ujemny współczynnik załamaniaUjemny współczynnik załamania

Ostatnie badania wykazały, że mogą istnienić materiały o ujemnym współczynniku załamania, gdy obie części rzeczywiste Re(εr()) i Re(μr()) są naraz ujemne (jest to

warunek wystarczający, ale nie konieczny).

Materiały o takich własnościach nie są znane w przyrodzie, ale można je wytworzyć jako tzw. metamateriały.

)()(~ rn

Ogólniej:)()()(~ rrn

))()()(()(~ rrn

Praktycznie wszystkie przezroczyste materiały mają dodatnie wartości zarówno przenikalności elektrycznej ε jak i magnetycznej μ.

Ogólniej:4 rozwiązania.

Które można zrealizować?

MetamateriałyMetamateriałyOśrodki sztucznie wyprodukowane o parametrach materiałowych nieznanych w przyrodzie. Ich

odpowiedź na pole elektromagnetyczne posiada cechy wykraczające poza cechy materiałów, z których są wykonane.

Materiały o ujemnym współczynniku załamania. tzw materiały lewoskrętne , mają szczególne znaczenie w optyce i fotonice, gdzie ich własności umożliwiają wytwarzanie nieklasycznych typów soczewek, anten, modulatorów i filtrów.

Przykłady topografii:

Są to materiały, które zyskują swe własności raczej dzięki strukturze (nie wynikają wprost z powodu składu). Metamateriały często tworzone są ze struktur periodycznych.

a prawo Snellaa prawo Snella:

Załamanie światła zachodzi zgodnie z prawem Snelliusa: n1sinθ1 = n2sinθ2

dla kąta załamania o ujemnej wartości:

Ujemny współczynnik załamaniaUjemny współczynnik załamania

normalny materiał (np. szkło, woda) metamateriał

Ujemny współczynnik załamaniaUjemny współczynnik załamaniaMetamateriałyMetamateriały

normalny materiał metamateriał

Ujemny współczynnik załamaniaUjemny współczynnik załamania

SupersoczewkaSupersoczewka(cienka warstwa) normalny materia

Ujemny współczynnik załamaniaUjemny współczynnik załamaniaMetamateriałyMetamateriały

Ta soczewka ma niezwykłą własność: jest pozbawiona aberacji:

SupersoczewkaSupersoczewka

Ujemny współczynnik załamaniaUjemny współczynnik załamaniaMetamateriałyMetamateriały

Ponieważ współczynnik załamania jest ujemny, prędkość fazowa i prędkość grupowa fali elektromagnetycznej mogą rozchodzić się

w przeciwnych kierunkach!

Kierunek propagacji i kierunek przepływu energii są więc róże!

Materiały „lewoskrętne”Materiały „lewoskrętne”

Przykład: Jednowymiarowa packa falowa w materiale lewo- i prawo-skrętnym

Dla fali płaskiej propagującej a się w metamateriale wzajemne kierunki pola elektrycznego, pola magnetycznego i wektora Poyntinga podlegają regule lewej ręki (nie jak w regule „prawej reki” dla iloczynu wektorowego):

nowa klasa materiałów: metamateriały lewoskrętne.

k = k0 n

Uśredniony po czasie wektor Poyntinga jest anty-równoległy do prędkości fazowej. Oznacza to, że w przeciwieństwie do zwykłych materiałów prawoskrętnych, fronty falowe

poruszają się w kierunku przeciwnym do kierunku przepływu energii!

Ujemny współczynnik załamaniaUjemny współczynnik załamaniaMetamateriałyMetamateriały

Specyficzne własności:

• Załamują światło zgodnie z prawem Snelliusa (N1sinθ1 = N2sinθ2) dla negatywnej wartości refrakcji, czyli kąt załamania ma ujemną wartość (patrz diagram).

• Efekt Dopplera jest odwrócony (światło ze źródła poruszającego się w kierunku obserwatora ma obniżoną częstotliwość)

• Promieniowanie Czerenkowa jest wysyłane w przeciwną stronę niż poruszająca się cząstka naładowana.

• Prędkość grupowa fali ma zwrot przeciwny do prędkości fazowej.• Światło ma tym większą długość fali im wyższą częstotliwość (odwrotnie niż w

zwykłych materiałach).• Dla fali płaskiej propagującej a się w takim metamateriale wzajemne kierunki

pola elektrycznego, pola magnetycznego i wektora Poyntinga podlegają regule lewej ręki (nie jak w regule „prawej reki” dla iloczynu wektorowego). Fakt ten pozwala nazywać klasę materiałów: metamateriały lewoskrętne. Ale uwaga: termin materiał lewoskrętny czy prawoskrętny używany jest w kontekście materiałów posiadających skrętność optyczną

Nowa terminologia!!!

MetamateriałyMetamateriały

Niewidzialność!?Niewidzialność!?

MetamateriałyMetamateriały

Niewidzialność!?Niewidzialność!?

Rysunek wskazujący jako promienie świetlne musiałyby być ugięte wokół maskowanego

obiektu, by sprawić, by stał się niewidoczny; światło rozchodzi się tak, że obserwator ma

wrażenie, że przeszło przez obiekt.

Niewidzialny tunel

http://www.youtube.com/watch?v=oLbS3M4V7oI&feature=response_watchhttp://www.youtube.com/watch?v=Ja_fuZyHDuk

Hipotetyczny metamateriał

MetamateriałyMetamateriały

Niewidzialny płaszcz (na wybrane długości fal)

Sekretny tunel(na wybrane długości fal)

http://www.youtube.com/watch?v=oLbS3M4V7oI&feature=response_watchhttp://www.youtube.com/watch?v=Ja_fuZyHDuk

Dziękuję za uwagęDziękuję za uwagę